专题08 高三
高考物理一轮复习 专题08 探究弹力与弹簧伸长之间的关系(测)(含解析)-人教版高三全册物理试题
专题08 探究弹力与弹簧伸长之间的关系【总分为：110分时间：90分钟】实验题〔共10小题，每题11分〕1．在“探究弹力和弹簧伸长关系〞的实验中，某实验小组将不同数量的钩码分别挂竖直弹簧下端，进展测量，根据实验所测数据，利用描点法做出了所持钩码的重力G与弹簧总长L的关系图象，根据图象回答以下问题。
〔1〕弹簧的原长为______.〔2〕弹簧的劲度系数为______.〔3〕分析图象，总结出弹簧力F跟弹簧长度L之间的关系式为.【答案】〔1〕10cm 〔2〕 1000N/m 〔3〕F=1000L-100 〔N〕【名师点睛】此题比拟简单，结合图象考查了胡克定律的根底知识，是一道考查根底知识的好题．在研究弹簧的伸长与拉力的关系问题时，一定要特别区分“弹簧的长度〞与“弹簧的伸长〞的不同。
2．橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内伸长量x与弹力F成正比，即F=kx，k的值与橡皮筋的原长L、横截面积S有关，理论与实验都证明Sk YL，其中Y是由材料决定的常数，材料力学中称之为杨氏模量〔1〕在国际单位中，杨氏模量Y 的单位应为A 、NB 、mC 、N/mD 、2N /m〔2〕某同学通过实验测得该橡皮筋的一些数据，做出了外力F 与伸长量x 之间的关系图像如下列图，由图像可求得该橡皮筋的劲度系数k =______________ N/m〔3〕假设橡皮条的原长为10.0cm ，面积为1.02mm ，如此该橡皮筋的杨氏模量Y 的大小是_________〔只填数字，单位取〔1〕中正确单位，结果保存两位有效数字〕【答案】〔1〕D 〔2〕2510/N m ⨯〔3〕725.010/N m ⨯3．某同学在“探究弹力和弹簧伸长量的关系〞时，将轻质弹簧竖直悬挂，弹簧下端挂一个小盘，在小盘中增添砝码，改变弹簧的弹力，通过旁边竖直放置的刻度尺可以读出弹簧末端指针的位置x ，实验得到了弹簧指针位置x 与小盘中砝码质量m 的图象如图2所示，取g =10m/s 2．回答如下问题．(1)某次测量如图1所示，指针指示的刻度值为cm 〔刻度尺单位为:cm 〕．(2)从图2可求得该弹簧的劲度系数为N/m 〔结果保存两位有效数字〕；(3)另一同学在做该实验时有如下做法，其中错误的答案是．A ．刻度尺零刻度未与弹簧上端对齐B．实验中未考虑小盘的重力C．读取指针指示的刻度值时，选择弹簧指针上下运动最快的位置读取D．在利用x-m图线计算弹奏的劲度系数时舍弃图中曲线局部数据．【答案】(1)18.00 (2)0.3 (3)AC【名师点睛】此题考查探究弹国和弹簧伸长之间的关系实验，要注意明确实验原理与实验中的须知事项，并正确根据图象分析实验数据．4．某物理兴趣小组的同学在研究弹簧弹力的时候，测得弹力的大小F和弹簧长度l的关系如图1所示，如此由图线可知：〔1〕弹簧的劲度系数为N/m．〔2〕为了用弹簧测定两木块A和B间的动摩擦因数μ，两位同学分别设计了如图2所示的甲、乙两种方案．①为了用某一弹簧测力计的示数表示A和B之间的滑动摩擦力的大小，你认为方案更合理．②假设A和B的重力分别为10.0N和20.0N．当A被拉动时，弹簧测力计a的示数为6.0N，b 的示数为11.0N，c的示数为4.0N，如此A和B间的动摩擦因数为．【答案】〔1〕300/N m；〔2〕①甲；②0.3【解析】〔1〕由图读出，弹簧的弹力0F=时，弹簧的长度为10L cm=，即弹簧的原长为10cm，由图读出弹力为60F N=，弹簧的长度为5L cm=，弹簧压缩的长度004020200.2x L L cm m=-=-==；由胡克定律得弹簧的劲度系数为600.2/300/k N m N mxF===。
专题08 导数中的极值和极值点偏移(解析版)
专题08 导数中的极值和极值点偏移一、重点题型目录【题型】一、求已知函数的极值 【题型】二、根据极值点求参数【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系 【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系 【题型】五、求已知函数的极值点 【题型】六、函数最值与极值的关系 【题型】七、导数中的极值偏移问题 二、题型讲解总结【题型】一、求已知函数的极值例1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中的项1a ，105a 是函数()32692f x x x x =-+-的极值点，则53a =（ ）A ．3B ．C ．D 【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105a a ⋅，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，()()()23129313f x x x x x =-+=--'，则(),1x ∈-∞时0fx ，函数单调递增，()1,3x ∈时()0f x '<，函数单调递减，()3,x ∈+∞时0fx ，函数单调递增，于是x =1和x =3是函数的两个极值点，故1a ，105a 是()231290x x f x =-+='的两个根，所以11053a a ⋅=，所以25311053a a a =⋅=，又110540a a +=>，所以10a >，1050a >，设公比为q ，525310a a q =>，所以55a =故选：D.例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（ ） A ．1y x= B ．e x y x =- C ．2y = D ．3y x =【答案】B【分析】对每个选项求导，然后判断即可 【详解】对选项A ，210y x '=-<，故没有极值点； 对选项B ，1e x y '=-，则极值点为0x =，故正确； 对选项C ，0y '=，故没有极值点； 对选项D ，230y x '=≥，故没有极值点；故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22e e x a f x a x =-至多有2个不同的零点，则实数a 的最大值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．e【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到20e a a =或224e e a a ≥，再次构造关于a 的函数()2e a a h a =，研究其单调性，解出不等式，求出数a 的最大值.【详解】令()22e e 0xa f x a x =-=，得到22e ex a x a=，函数()22e e xa f x a x =-至多有2个不同的零点，等价于22e ex a x a=至多有两个不同的根，即函数2e x x y =与2e a a y =至多有2个不同的交点令()2ex x g x =，则()22exx x g x -'=， 当02x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当0x <或2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =与2x =为函数()g x 的极值点，且()()2400,2e g g ==， 且()20e x x g x =≥在R 上恒成立，画出()2ex x g x =的图象如下：有图可知：20e a a =或224e e a a ≥时，符合题意，其中20e aa=，解得：0a = 设()2e a a h a =，则()22e aah a -'=，当1a <时，()0h a '>，当1a >时，()0h a '<， 所以()2e aah a =在()1-∞，上单调递增，在()1+∞，上单调递减， 由224e e a a ≥可得：()()2h a h ≥，所以2a ≤， 综上：实数a 的最大值为2 故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1 B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B【题型】二、根据极值点求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，()2e xf x x a '=+，因为函数()()2e 1xf x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根， 亦即2e xxa -=有两个不等实根. 令()2e x xg x =，则()()21exx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 21eg x g ==， 又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<， 即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于ω的不等关系，即可求得参数范围. 【详解】因为()f x 在[)0,π有2个极值点，也即()f x 在区间[)0,π取得一次最大值，一次最小值；又0ω>，则当[)0,x π∈，,333x πππωωπ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 要使得()f x 满足题意，只需35232ππωππ<+≤，解得713,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C.例7．（2023·全国·高三专题练习）若2x =是函数21()2ln 2f x ax x x =--的极值点，则函数（ ）A ．有最小值2ln2-，无最大值B ．有最大值2ln2-，无最小值C ．有最小值2ln2-，最大值2ln 2D ．无最大值，无最小值【答案】A【分析】对()f x 求导，根据极值点求参数a ，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，2()1f x ax x '=--且(2)0f '=，∴220a -=，可得1a =.∴2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--=且0x >，当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增； ∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值. 综上，有最小值2ln2-，无最大值. 故选：A例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】1k ≥-【分析】先求函数()f x 的导函数2(e )(1)()x k x f x x+-'=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明e 0x k +=在,()0x ∈+∞上无解，或有唯一解1x = ，求实数k 的取值 【详解】e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为(0,)+∞222(1)e 11(e )(1)()()x x x k x f x k x x x x -+-'∴=+-+=1x =是函数()f x 的唯一极值点1x ∴= 是导函数()0f x '=的唯一根 （∴）e 0x k +=在(0,)+∞无变号零点令()e x g x k =+ ，则()e 0x g x '=> ，即()g x 在(0,)+∞上单调递增 此时min ()10g x k =+≥ 1∴≥-k（∴）当()e x g x k =+ 在(0,)+∞有解1x = 时，此时e 0k += ，解得e k =- 此时()f x 在(0,1) 和(1,)+∞ 上均单调递增，不符合题意 故答案为：1k ≥-【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系例9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d 【答案】C【分析】根据导函数的图象确定()f x 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当x c ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 在,c 上单调递增，又a <b <c ，所以()()()f a f b f c <<，故A 不正确． 因为()0f c '=，()0f e '=，且当x c <时，0f x；当c <x <e 时，()0f x '<；当x >e 时，0fx．所以函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x ＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B 不正确，C 正确．由题图可知，当d x e ≤≤时，()0f x '≤，所以函数()f x 在[d ，e ]上单调递减，从而()()f d f e >，所以D 不正确． 故选：C ．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3-是()f x 的极小值点B ．1-是()f x 的极小值点C ．()f x 在区间(),3-∞上单调递减D ．曲线()y f x =在2x =处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC 选项，根据导数的定义和几何意义即判断D 选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当3x <-或3x >时，0fx，()f x 单调递增，当33x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在区间(),3-∞-，()3,+∞内单调递增，在区间()3,3-内单调递减， 3-是()f x 的极大值点，3是()f x 的极小值点，故ABC 错误；又因为()20f '<，所以曲线()y f x =在2x =处切线斜率小于零，故D 正确. 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 定义域为(),a b ，其导函数'()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据导函数的图象可判断出()f x 的单调性，结合极小值点的概念即可得结果. 【详解】由()f x '的图象可得：函数()f x 在()1,a x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()24,x x 上单调递增，在()4,x b 上单调递减，故2x x =为函数()f x 的极小值点，即()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是1， 故选：A.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在[,]a b 上的函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题：∴函数()y f x =在区间[]24,x x 上单调递减； ∴若45x m n x <<<，则()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭；∴函数()y f x =在[,]a b 上有3个极值点；∴若23x p q x <<<，则[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<． 其中正确命题的序号是（ ）A ．∴∴B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】B【分析】根据()y f x '=图象判断函数()y f x =单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.【详解】∴中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，在区间[]34,x x 上，()0f x '≤，故函数()y f x =在区间[]24,x x 上先增再减，∴错误；∴中，看图知，在区间[]45,x x 上，()y f x '=是下凸的，任意连接两点()(),(),,()m f m n f n ''，中点为()(),22m n f m f n M ''++⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段一定在()y f x '=图象上方，故中点也在图象上方，即()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭，故∴正确；∴中，看图知，在区间[]3,a x 上，()0f x '≥，在区间[]35,x x 上，()0f x '≤，在区间[]5,x b 上，()0f x '≥，所以()y f x =有一个极大值点3x 和一个极小值点5x ，故∴错误；∴中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，且()f x '递减，故()y f x =单调递增，故()(),()()f p f q f p f q '<'>，故[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<，即∴正确.综上，正确命题的序号是∴∴. 故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数判断函数()f x 的单调性和极值的方法：∴写定义域，对函数()f x 求导()f x '；∴在定义域内，令 ()0f x '>的区间即是增区间，令()0f x '<的区间即是减区间，∴根据单调区间，判断极值点即可.【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系 例13．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋323cbx +的单调递增区间是（ ）A ．(－∞，－2]B ．1[,)2+∞C ．[2,3)D ．9[,)8+∞【答案】D【分析】由图象知0a >，0d =，不妨取1a =，先对函数32()f x x bx cx d =+++进行求导，根据2x =-，3x =时函数取到极值点知(2)0f '-=，(3)f '0=，故可求出b ，c 的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案． 【详解】解：不妨取1a =，32()f x x bx cx =++，2()32f x x bx c '∴=++由图可知(2)0f '-=，(3)f '0=1240b c ∴-+=，2760b c ++=， 1.5b ∴=-，18c =-2964y x x ∴=--，924y x '=-，当98x >时，0'>y2964y x x ∴=--的单调递增区间为：9[8，)∞+故选：D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在(),a a -上存在唯一极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2424ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2424ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求函数()f x 的解析式，再根据平移公式，求解函数()g x 的解析式，结合函数的图象，列式求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=，∴()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()5sin 2sin 23412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，作出()g x 的图象如图所示，数形结合可知0112424a a a ππ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩ ，解得：112424a ππ<≤ ∴实数a 的取值范围是11,2424ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D例15．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在()3,1-内()f x 是增函数B ．在()4,5内()f x 是增函数C ．在1x =时()f x 取得极大值D ．在2x =时()f x 取得极小值【答案】B【分析】根据()'y f x =图象判断()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，()f x 在区间()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x <递减；在区间()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x >递增.所以1x =不是()f x 的极值点，2x =是()f x 的极大值点.所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()x af x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（ ）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点C ．当e a >时，()f x 有两个零点D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点 【答案】ABC【分析】选项A ，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B ，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C ，结合选项A 中的新函数进行判断；选项D ，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D ．【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即e ln 1e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔≤，设()ln x g x x=， 则()21ln xg x x-'=，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()()ln e 1e e eg x g ≤==，故A 正确； 对于B 选项，当01a <<时，()x af x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，因此()f x 只有一个零点，故B 正确；对于C 选项，()0ln ln x af x a x x a a x =⇔=⇔=，即ln ln x ax a=，当e a >时，由A 选项可知，()10eg a <<，因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确；对于D 选项，()1ln x a f x a a ax -'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则()1ln a h x a x -'=-，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,ln a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC.【题型】五、求已知函数的极值点例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题： ∴函数()f x 有2个极值点 ∴函数()f x 有3个零点∴点(0,1)是函数()f x 的对称中心 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】利用导数研究()f x 的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据()()2f x f x +-=判断对称中心. 【详解】令2()310f x x '=-=，可得x =所以(,-∞、)+∞上()0f x '>，()f x递增；(上()0f x '<，()f x 递减；所以x =是()f x 的极值点， 又(2)50f -=-<，(10f =>，10f =->，所以()f x在(2,-上存在一个零点，所以()f x 有2个极值点，1个零点，∴正确，∴错误；33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，故(0,1)是函数()f x 的对称中心，∴正确.故选：C例18．（2023·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（ ）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D【分析】由题知0()0f x '=，可得01cos26x =，由二倍角公式可算得207cos 12x =，进而有205sin 12x =，所以205tan 7x =. 【详解】()2001112cos2,cos22cos 1366f x x x x =-∴=∴-='，∴207cos 12x =，∴22005sin 1cos 12x x =-=， ∴220020sin 5tan cos 7x x x == 故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()8sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所有极值点的和为（ ） A ．223πB ．13πC ．17πD ．503π【答案】D【分析】根据已知条件，令()0f x '=，求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得极值点，从而可求解()f x 所有极值点的和.【详解】解：()16cos 26f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()16cos 206f x x π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈， 因为()f x '在,23k x k Z ππ=+∈两侧异号，所以,23k x k Z ππ=+∈是函数()f x 的极值点， 又(]0,4x π∈，所以极值点54117171023,,,,,,,36363636x ππππππππ=，所以()f x 所有极值点的和为5411717102350,363636363πππππππππ++++++=， 故选：D.例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+= B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项. 【详解】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x x f x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f x B 选项正确； C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，0f x ，函数单调递增，所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，，()13n ππ+-，又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确；故选：ABD.【题型】六、函数最值与极值的关系例21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数222()xx x f x e+-=，则下列结论不正确的是（ ） A ．函数()f x 有极小值也有最小值 B ．函数()f x 存在两个不同的零点 C ．当260k e -<<时，()f x k =恰有三个实根 D ．若[0,]x t ∈时，max 26()f x e=，则t 的最小值为2 【答案】C【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案.【详解】由222()x x x f x e +-=，得()22'2(22)(22)4()x x x x x e x x e x f x e e +-+--+==， 令'()0f x =，则2x =-或2x =，当<2x -或2x >时，'()0f x <；当22x -<<时，'()0f x > ， 所以()f x 在(,2)-∞-和(2,+)∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，所以()f x 有极小值()2244222f e e ---==--，有极大值()224+4262f e e-==， 当x →-∞时，()f x →+∞， 当x →+∞时，()0f x →， 故函数的图象如图，由图像可知A ，B ，D 正确，C 错误. 故选：C例22．（2022·全国·高三专题练习）对函数()242()ln 1f x x a x x =+++(x R ∈，a R ∈且0a ≠)的极值和最值情况进行判断，一定有（ ） A ．既有极大值，也有最大值 B ．无极大值，但有最大值 C ．既有极小值，也有最小值 D ．无极小值，但有最小值【答案】C【分析】先求出导数，34242()21x xf x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，然后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，进而判断各选项【详解】34242()21x xf x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，下面讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况.令2[0,)u x =∈+∞，2()(21)1g u u a u a =++++，（1）当(0)10g a =+<时(即1a <-)，()g u 仅有一个唯一的正零点，不妨设为0u ，此时()f x '有三个不同零点，分别为0（2）当(0)10g a =+=时(即1a =-)3422()(1)(1)1x f x x x x x =+-++'；满足既有极小值，也有最小值；（3）当(0)10g a =+>时(即1a >-且0a ≠)，若2102a u +=-≤(即12a ≥-且0a ≠)，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0，若212a u +=-1012a ⎫⎛>-<<- ⎪⎝⎭，结合22Δ(21)4(1)43a a a =+-+=-分析可知：当1a -<<()g u 有两个不同的正零点(令为1u ，2u 且12u u <).此时()f x 在(,-∞，()，上单调递减，当12a ≤<-时，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析， 故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当(0)10g a =+<；（2）当(0)10g a =+=；（3）当(0)10g a =+>，进而判断各选项，属于难题例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()x f x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【答案】C【解析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且e 0x >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解， 所以220x x a ++=有两个不等实根， 所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f e f d f c <<C ．x c =时，()f x 取得最大值D ．x d =时，()f x 取得最小值【答案】AB【分析】由()f x '图象可确定()f x 的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由()f x '图象可知：当()(),,x c e ∈-∞+∞时，0fx；当(),x c e ∈时，()0f x '<；f x 在(),c -∞，(),e +∞上单调递增，在(),c e 上单调递减；对于A ，a b c <<，()()()f a f b f c ∴<<，A 正确； 对于B ，c d e <<，()()()f e f d f c ∴<<，B 正确；对于C ，由单调性知()f c 为极大值，当>x e 时，可能存在()()0f x f c >，C 错误； 对于D ，由单调性知()()f e f d <，D 错误. 故选：AB.【题型】七、导数中的极值偏移问题例25．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】C【分析】对于A ，分析()f x 导函数可作判断；对于B ，考查函数()y f x x =-的单调性可作判断；对于C ，分离参数，再分析函数()f x x最值情况而作出判断；对于D ，构造函数()()(4)(02)g x f x f x x =--<<讨论其单调性，确定()0g x >即可判断作答.【详解】对于A 选项：()f x 定义域为(0,)+∞，22212()x f x x x x'-=-+=， 02x <<时,()0,2f x x '<>时()0f x '>，2x =是()f x 的极小值点，A 正确；对于B 选项：令222()(),()0x x h x f x x h x x -+'=-=-<， ()h x 在(0,)+∞上递减，(1)1,(2)ln 210h h ==-<， ()h x 有唯一零点，B 正确；对于C 选项：令23()2ln ln 4(),()f x x x x x x x x x x x ϕϕ-+'==+=-， 令()ln 4F x x x x =-+，()ln ,(0,1)F x x x '=∈时,()0,(1,)F x x '<∈+∞时,()0F x '>，()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，则min ()(1)30F x F ==>，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,)+∞上递减，()ϕx 图象恒在x 轴上方，与x 轴无限接近，不存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，C 错误； 对于D 选项：由A 选项知，()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增， 因正实数1x ，2x ，且12x x >，()()12f x f x =，则2102x x <<<，02x <<时，令()()(4)g x f x f x =--，()()()()2222404x x g x f x f x x x --=+-'+-''=<， 即()g x 在(0,2)上递减，于是有()()20g x g >=，从而有()()122(4)f x f x f x =>-， 又242x -> ，所以124x x >-，即124x x +>成立，D 正确. 故选：C.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x <C ．ln 2D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y > 【答案】AD【分析】A ：代入2,5直接计算比较大小；B ：求()f x 的导函数，分析单调性，可得当()f x m=有两个不相等实根时1x 、2x 的范围，不妨设1x 2x <，则有10e x <<2x <，比较()211,e f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，因为()()12f x f x =，可构造()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0e)x <<，求导求单调性，计算可得()0F x <成立，可证212e x x >；C ：用()f x 在()0,e 上单调递增，构造ln 2ln e2e<可证明；D ：令23xyt ==，解出lg lg 2t x =，lg lg 3ty =，做差可证明23x y >.【详解】解：对于A ：()()12ln 52525n f f ====又105232==1025=，3225>>()()25f f >，A 正确；对于B ：若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x >，故B 不正确；证明如下：函数()ln x f x x =，定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=， 当0fx时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >；所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()max 1ef x =且e x >时，有()0f x >，所以 若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，有10em <<，不妨设1x 2x <，有10e x <<2x <，要证212e x x >，只需证221e x x >，且221e e x x >>，又()()12f x f x =，所以只需证()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()()2e F x f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(0e)x << 则有()()()22241111e ln e F x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0e x <<时，1ln 0x ->，24110e x ->，所以有()0F x '>，即()F x 在(0,e)上单调递增，且()0e F =，所以()0F x <恒成立，即()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即212e x x >.对于C ：由B 可知，()f x 在()0,e 上单调递增，则有()()2e f f <，即ln 2ln e2e<，则有2ln 2e <<C 不正确； 对于D ：令23x y t ==，则1t >，2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3ty t ==， 2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y -∴-=-=>⋅， 23∴>x y ，故D 正确；故选：AD.【点睛】知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()(0).e xaxf x a =≠ (1)若对任意的x R ∈，都有1()ef x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设,m n 是两个不相等的实数，且e m n m n -=．求证： 2.m n +>【答案】(1)(0,1] (2)证明见解析【分析】（1）先判断a<0不成立，当0a >时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；（2）设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，可得()0h x >恒成立，从而可证不等式. (1)当a<0时，111e af a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为10e e a<<，所以111e e a>，即11e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，不符合题意；当0a >时，(1)()e xa x f x -'=， 当(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 所以()(1)eaf x f ≤=． 由1()e f x ≤恒成立可知1e ea ≤，所以1a ≤．又因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1]． (2)因为e m n m n -=，所以e e m n m n --=，即e em n m n=． 令()e xxg x =，由题意可知，存在不相等的两个实数m ，n ，使得()()g m g n =． 由（1）可知()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． 不妨设m n <，则1m n <<．设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，则2221e 1()()[(2)](1)e (1)0e e x x x xx h x g x g x x x ----'''=--=+-=-⋅>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()0h x >，即()(2)g x g x >-在区间(1,)+∞上恒成立． 因为1n >，所以()(2)g n g n >-． 因为()()g m g n =，所以()(2)g m g n >-．又因为1m <，21n -<，且()g x 在区间(,1)-∞上单调递增， 所以2m n >-，即2m n +>．【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭． (1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1x x f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1xF x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明.(1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1x x f x x x -=∈-+， 则221()e 0(1)x x f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增， 所以1()e (0)11x x f x f x -=<=-+． (2) e ()(1)1x f x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ； 设函数e ()1xF x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+ 当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11x x h x x x -=++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'， 由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，由（1）有1e 01x x x ++>-，故()0h x '<， 即函数()h x 在(1,0)-上单调递减， 所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-， 由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增， 所以21x x >-，所以120x x +>．【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.。
高考数学二级结论快速解题：专题08三点共线充要条件(解析版)
专题08三点共线充要条件一、结论1、设平面上三点O ,A ,B 不共线,则平面上任意一点P 与A ,B 共线的充要条件是存在实数 与,使得OP OA OB,且1 .特别地,当P 为线段AB 的中点时,1122OP OA OB .二、典型例题1．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a ，AC b ，AF xa yb ，则21x y的最小值为（）A ．6B ．7C ．4 D ．4【答案】D 【解析】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y ，故2121332()()422x x yy x y x y y x，由题意可知0,0x y ，故2132442x yx y y x，当且仅当322x y y x 时，即11,32x y时，等号取得，故选：D.【反思】本题重点C ,F ,D 三点共线，可以得到AF mAD nAC且1m n ，所以本题中AF xa yb 中的AF 如何化简成AF mAD nAC 才是本题的关键，又D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB ,所以得到32x AF xa yb x AB y AC AD y AC这样，由C ,F ,D 三点共线，得到312x y ，进而才利用均值不等式求解最值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB u u u r u u r u u u r ，且3BP PA，则（）A ．23x ，13yB ．13x ，23yC ．14x，34yD ．34x，14y 【答案】D 【详解】因为3BP PA ，所以3331()4444OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB ，又OP xOA yOB u u u r u u r u u u r ，,OA OB 不共线，所以31,44x y ，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在OAB 中，C 是AB 的中点，P 在线段OC 上，且2OC OP .过点P 的直线交线段,OA OB 分别于点N ，M ，且,OM mOB ON nOA ，其中,[0,1]m n ，则m n 的最小值为（）A ．12B ．23C ．1D ．34【答案】C【详解】解：1()2OC OA OB u u u r u u r u u u r ，则11122OP ON OM n m，1144OP ON OM n m，又P ，M ，N 共线，∴11144n m.又,[0,1]m n ，∴ 111111214444m n m n m n n m n m ，当且仅当12m n 时取等号，故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，3AC AD ，BE ED ，设(,)AE AB AC R，则 （）A ．13B ．13C ．23D ．43【答案】C 【详解】在三角形ABC 中，3AC AD ，BE ED ，可得111111()222326AE AB AD AB AC AB AC ,因为(,)AE AB AC R ，所以11,26，所以23 .故选：C.4．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在ABC 中，13AD DC，P 是线段BD上一点，若16AP m AB AC ，则实数m 的值为（）A ．13B ．23C ．2D ．12【答案】A 【详解】设BP BD ，因为13AD DC，所以14AD AC ，则1()(1)4AP AB BP AB BD AB BA AD AB AC，又因为16AP m AB AC ，所以11146m，解得21,33m .故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC OA OB,R ，则 的取值范围是（）A ． 0,1B ． 1, C．D ．1,0 【答案】B 【详解】因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以,,O C D 三点共线，所以OC 与OD共线，设OC mOD ，则1m >，因为OC OA OB ，所以OA O OD B m ，可得OA OD O mB m ，因为,,A B D 三点共线，设AD t AB u u u r u u u r，所以OD OA t OB OA 即 1OD t OA tOB ，所以1t mtm，所以1m m ，可得1m ，所以 的取值范围是 1, .故选：B.6．（2021·四川成都·高三期中（文））如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB xAM ，AC y AN，则111x y 的最小值为（）A ．2B．1C ．32D．2 【答案】A 【详解】G ∵为ABC 的重心，21()32AG AB AC1()3xAM y AN又G ∵在线段MN 上，11133x y 3x y (1)2x y11111[(1)]()121x y x y x y 11(11)21x y y x1(22)22故选：A ．7．（2021·山西大附中高三阶段练习（文））如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设xAB AM ，y AC AN，则11x y的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】延长AG 交BC 与点H ,H 为BC 中点,G ∵为ABC 的重心，2211133333111123AG AH AB AC AB AC AM ANA x yxy M ANM G N ∵、、三点共线11133x y ,113x y故选:A8．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，23AN NC，P 是BN 上一点，若13AP AB AC，则实数 的值为（）A ．13B ．16C ．23D ．14【答案】B 【详解】由题意及图：1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB ,又23AN NC ,所以25AN AC,所以 215AP m AC m AB ,又13AP AB AC,所以12153m m，解得：51,66m .故选：B.二、填空题9．（2021·湖南·周南中学高二开学考试）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE ，P 为BE 上任一点，AD mAB ，AF nAC ，（0m ，0n ），若AP AD AF ，则当31m n取最小值时，四边形ADPF 的面积与ABC 的面积之比等于________．【答案】16##1:6【详解】解：由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE，而P ，B ，E 三点共线，则：31m n ，据此有：3131936612n m m n m n m n m n ，当且仅当12m，16n 时等号成立，取到最小值，此时12AD AB ，16AF AC，所以11sin sin 126116sin sin 22ADPF ABCAB AC ABC AD AF ABC S S AB AC ABC AB AC ABC .故答案为：16.10．（2021·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB，,m n R ，则11n m的值为________．【答案】3【详解】解：设,OA a OB b，由题意知211()()323OG OA OB a b ，11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP ma b，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数 使得PQ PG，即1133n b m a m a b，从而1,31,3m m n消去 ，得113n m ．故答案为：3三、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）如图，在AOB 中，14OC OA u u u r u u r ，12OD OB u u u r u u u r，AD 与BC 相交于点M ，设OA a，OB b，（1）试用a ，b表示向量OM ：（2）在线段AC 上取一点E ，在BD 上取一点F ，使得EF 过点M ，设OE OA ，OF OB，求证：13177．【答案】（1）1377OM a ；（2）证明见解析．【详解】（1）解：由A ，M ，D 三点共线可知，存在实数1 使得11111122OM OA AM a AD a a b a b．由B ，M ，C 三点共线可知，存在实数2 使得22221144OM OB BM b BC b b a a b．由平面向量基本定理知21121412．解得126747，所以1377OM a b ．（2）证明：若OE OA ，OF OB，则13137777OM a b OE OF．又因为E ，M ，F 三点共线，所以13177 ．。
高考生物二轮复习 专题08 遗传的基本规律(测)(含解析)-人教版高三全册生物试题
专题08 遗传的基本规律一、选择题（15小题，共60分）1．已知单、双眼皮性状受一对等位基因控制，一对双眼皮的夫妇一共生了四个孩子，三个单眼皮和一个双眼皮，关于这种现象的相关说法正确的是（）A．符合孟德尔分离定律的显性：隐性＝3：1B．该遗传不符合孟德尔的分离定律C．这对夫妇再生一个单眼皮孩子的概率为1/4D．单眼皮为显性性状【答案】C【解析】亲本产生的A、a两种配子发生了随机结合，该遗传在后代数量较少的情况下，不一定出现3：1的性状分离比，A错误；单眼皮与双眼皮是由一对遗传因子决定的，遵循基因分离定律，B错误；这对夫妇后代发生性状分离，说明都是杂合体，所以再生一个单眼皮孩子的概率为1/4，C正确；一对双眼皮夫妇后代出现单眼皮，发生性状分离，说明单眼皮是隐性性状，双眼皮是显性性状，D错误。
2．基因型为AaBb的植物甲与基因型为aabb的乙杂交，后代基因型及比例为AaBb:Aabb:aaBb:aabb=9:1:1:9，下列有关说法错误的是（）A．两对等位基因的遗传不遵循基因的自由组合定律B．由测交结果推测植物甲产生四种配子，比例为AB:Ab:aB:ab=9:1:1:9C．植物甲自交后代仍是9种基因型、4种表现型D．植物甲自交后代中，隐性纯合子所占比例为1/16【答案】D【解析】由测交结果推测植物甲产生四种配子，比例为AB:Ab:aB:ab=9:1:1:9，不是1:1:1:1，两对等位基因的遗传不遵循基因的自由组合定律，A正确；基因型为AaBb的植物甲与基因型为aabb的乙杂交即为测交，测交后代基因型及比例为AaBb:Aabb:aaBb:aabb=9:1:1:9，由测交结果推测植物甲产生四种配子，比例为AB:Ab:aB:ab=9:1:1:9，B正确；植物甲的基因型为AaBb，产生了四种配子及比例为AB：Ab：aB：ab=9:1:1:9，所以植物甲自交所产生的后代的基因型有9种、4种表现型，C正确；植物甲自交后代中，隐性纯合子aabb 所占比例为9/20×9/20=81/400，D错误。
专题08语言文字运用(简答题)-2023年高考真题和模拟题语文分项汇编(解析卷)
专题08：语言文字运用（简答题）（2023·全国·统考新高考I真题）阅读下面的文字，完成下面小题。
日常生活中，我们常常会因为忘记重要信息而懊恼，幻想着要是能过目不忘该多好啊！其实，我们更应该庆幸 A ，因为遗忘可以降低记忆带来的认知负荷，使认知系统能够更加高效地工作。
而超强记忆力往往是以牺牲抽象、泛化能力为代价的。
从下面例子中可以看出一些端倪。
有一位记者，①拥有人们只能望其项背的超强记忆力。
②他虽然能轻松地记住一长串数字，③却发现不了其中的规律；④他脑海里充满各种孤立的事实，⑤却不能归纳出一些模式将它们组织起来。
⑥这促使他不能理解隐喻等修辞手法，⑦甚至复杂一点的句子。
⑧记忆大师奥布莱恩曾多次获得世界记忆锦标赛冠军，⑨虽然他的阅读理解能力比常人低很多，⑩听课的时候也很难集中注意力。
也许正是牺牲了一部分记忆，我们才有了独一无二的归纳和抽象思维能力。
网络时代，我们没有办法也没有必要 B ，毕竟互联网随时可以帮我们查阅。
不过我们也不能过于依赖互联网，像互联网可以解决所有问题似的。
通过一些训练提升记忆力，也一直是我们孜孜以求的目标。
1．请在文中画横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过10个字。
2．文中第二段有三处表述不当，请指出其序号并做修改，使语言表达准确流畅，逻辑严密。
不得改变原意。
【答案】1．A：自己拥有遗忘的能力B：记住所有的信息2．语句①可修改为：拥有人们难以望其项背的超强记忆力。
语句⑥可修改为：这导致他不能理解隐喻等修辞手法。
语句⑨可修改为：但是他的阅读理解能力比常人低很多。
【解析】1．本题考查学生语言表达之情境补写的能力。
A处，由“因为忘记重要信息而懊恼，幻想着要是能过目不忘该多好啊”可知，我们希望拥有过目不忘的能力，而“其实”意味着前面的认识是不正确的，因此我们应该庆幸的是自己拥有与过目不忘相对的能力，根据后面的“因为遗忘可以……”可知，此处可填“自己拥有遗忘的能力”之类的内容。
专题08 立体几何解答题常考全归类(精讲精练)(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。
2023年新高考数学创新题型微专题08 数列专题(新定义)(解析版)
专题08 数列专题（新定义）一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列{}n a 中，定义：12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称值”已知数列{}n a 的“匀称值”为2n G n =+，则该数列中的10a =（ ） A ．83B ．125 C ．94D ．2110【答案】D【分析】确定()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，取10n =和9n =带入式子，相减得到答案. 【详解】123232nn a a a na G n n+++⋅⋅⋅+==+，即()123223n n nG n n a a a na =+=+++⋅⋅⋅+，故()12310231010102a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+；()1239239992a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯+； 两式相减得101021a =，所以102110a =． 故选：D2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对(,)h k ，定义函数(,)f h k 如下：(1,)1f j =，()()()()11,,,i f i j j i f i j i ++=−≤，则（ ）A ．(1,)1f j j +=B ．1(,)2C i j f i j −=C ．()21(,)21jji j f i j j =⎡⎤⋅=⋅−⎣⎦∑D ．[]11(,)22jn nj i j f i j n ==⋅=+−∑∑【答案】C【分析】根据新定义得(1,)(,)1f i j j if i j i +−=+，令i j =即可判断A ，根据()()()()()()2,3,4,123,,,1,22,33,4f j f j f j j j j f j f j f j −−−===累乘可判断B ，利用二项式定理求得12C C C 21nnnnn+++=−，结合()211(,)21jji jji i j f i j j C j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑判断C ，[]()111(,)21j n nj j i j j f i j ===⋅=−∑∑∑，结合等比数列的前n 项和公式判断D. 【详解】()()()()()()1,11,,,,1f i j j ii f i j j i f i j f i j i +−++=−∴=+，令i j =，则(1,)0(,)f j j f j j +=，(1,)0f j j ∴+=，A 错误；(2,)1(3,)2(4,)3,,,(1,)2(2,)3(3,)4f j j f j j f j j f j f j f j −−−===，(,)1,(1,)f i j j i f j i−+= 累乘得：(,)(1)(2)(3)(1)1C (1,)2345ij f i j j j j j i f j i j−−−−+==⨯⨯⨯⨯⨯，1(1,)1,(,)C ,()ij f j f i j i j j=∴=≤，令1i =，则B 错误； 因为()01211C C C C nnn n n n +=++++，所以12C C C 21n nn n n +++=−，()211(,)C 21jji jj i i jf i j j j ==⎡⎤⋅==−⎣⎦∑∑，则C 正确；[]()11112(12)(,)212212n jnnjn j i j j f i j n n +===−⋅=−=−=−−−∑∑∑，则D 错误． 故选：C ．3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*N T T ∈，使得对任意的正整数0n n ≥恒有n T n a a +=，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．已知周期数列{}n b 满足：11b =，23b =，12n n n b b b −−=−（3n ≥），则2023b =（ ） A ．1− B ．3− C ．2− D ．1【答案】D【分析】写出周期数列{}n b 的前几项，发现周期为6，进而求得2023b 的值. 【详解】写出周期数列{}n b 的前几项：1，3，2，1−，3−，2−，1，3，2，1−，3−，2−，1，…， 发现周期数列{}n b 是周期为6的周期数列， ∴20233376111b b b ⨯+===． 故选：D ．4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且n bn =，设数列⎧⎫的前n 项和为n T ，若()2132n m m T −<对*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]1,2−B ．()1,2-C ．()(),12,−∞−⋃+∞D ．(][),12,−∞−⋃+∞【答案】B【分析】由新定义求得n S ，然后由1n n n a S S −=−求得n a ，从而可求得n T （裂项相消法）后得n T 的最小值，解相应不等式可得结论． 【详解】由题意nS n n=,即2n S n =, ∴2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−，又111a S ==，∴*n ∈N 时，21n a n =−，==2n n T +=+=， 易知1{}2是递增数列，∴1{}2的最小值是12（1n =时取得）， 由题意21(3)2m m −<，解得12m −<<．故选：B ．5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个n 项数列()*1212:,,,,1,n k k A a a a S a a a k n k =+++≤≤∈N ，记A 的“Cesaro 平均值”为()121+++n S S S n，若数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为2022，数列121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为2046，则x =（ ）A ．24B ．26C ．1036D ．1541【答案】B【分析】先求出121010S S S +++的值，再根据Cesaro 平均值的求法列出等式，即可求出x 的值.【详解】因为数列121010,,,a a a 的“Cesaro 平均值”为12101020221010S S S +++=，所以12101020221010S S S +++=⨯. 因为121010,,,,x a a a 的“Cesaro 平均值”为()()()12101020461011x x S x S x S +++++++=，所以10112022101020461011x +⨯=，所以20202046x +=，解得26x =，故选:B.6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列{}n a 中1512a =，公比12q =−，用12Π⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a 表示它的前n 项之积，则1Π，2Π，…，n ∏中最大的是（ ） A ．11Π B ．10Π C ．9Π D ．8Π【答案】C【分析】根据题意分析,n n a ∏的符号，结合前n 项之积的性质运算求解.【详解】∵110,02a q >=−<，则当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，∴当()43N n k k *=−∈或()4N n k k *=∈时，0n ∏>，当()42N n k k *=−∈或()41N n k k *=−∈时，0n ∏<，由题意可得：115122n n a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令1151212n n a −⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得10n ≤，若n ∏取到最大，则3k =，9n =，即{}n ∏中最大的是9Π. 故选：C.7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++−=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ） ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{}2nn ⋅是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义211n n n na a k a a +++−=(k 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列{}n a 满足12n na n a +=，则2112(1)22n n n na a n n a a +++−=+−=，满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列{2}n n ⋅，+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++−=+⋅+⋅−+⋅⋅ 2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅−+⋅==−⋅+⋅+，不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为q ，则2110n n n na a a a q q +++−==−，满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为d ， 则22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++−++−=−=++， 故当0d=时，满足2110n n n na a a a +++−=，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④ 故选：B.8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在()(),00,∞−+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在()(),00,∞−+∞U 上的如下函数：①()2f x x =；②()2xf x =；③()1f x x=；④()ln f x x =，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质221n n n a a a ++=，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．【详解】设{}n a 是等比数列，由等比数列性质知221n n n a a a ++=，对于①，()()()()222222211n n n n n n a a f a f a a f a ++++===，即(){}n f a 仍是等比数列，故正确；对于②，()()()22122212222n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=，即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 对于③，()()()221221111n n n n n n f a f a f a a a a ++++=⋅==，即(){}n f a 是等比数列，故正确；对于④，()()()()222211ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=， 即(){}n f a 不是等比数列，故不正确； 故选：C ．9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列{}n a 满足1120n na a +−=，则称{}n a 为“必会数列”，已知正项数列{}n a 为“必会数列”，若453a a +=，则23a a +=（ ）. A ．19B ．1C ．6D ．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1120n n a a +−=，可得112n n a a +=， 故正项数列{}n a 是以12q =为公比的等比数列， 则2322532341()()3,124a a a a a a a a q +===+∴=++，故选：D10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数.若{}n b 是间隔递增数列，则数列{}n b 的通项不可能．．．是（ ）A ．92n b n n=−B ．31n n b =+C ．113n nb =−D ．()2nn b n =−−【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可. 【详解】对于A ：()()9922n k n b n k n b n k n ++−=−++−，化简得：()920n n kb k n b n k +⎡⎤=+>⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦，存在正整数k ，使得对任意的n *∈N ，0n n k b b +>−恒成立，所以{}n b 是间隔递增数列；对于B ：()3131313n k n k nk n n b b ++=+−−−−=， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以()3130k n−>，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于C ：11111113333n k n k n nn k b b ++⎪−⎛⎫=−−+=− ⎝⎭， 因为k 为正整数且n *∈N ，所以111033n k ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，所以0n n k b b +>−，所以{}n b 是间隔递增数列； 对于D ：()()()22n knn k n b n k n b ++−=−+−+−()()()22n kn n k ⎡⎤=−−+−⎣⎦，当k ∈正奇数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−>，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；当k ∈正偶数，n *∈N 时，()()20kn n k −+−<，()2n−的正负由n 的奇偶性决定，此时0n n k b b +>−不恒成立，不符合间隔递增数列的定义； 故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a −<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”．在数列{}n a 中，若98n a n n=+−，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2 B ．7C ．2，7D ．2，5，7【答案】C【分析】先求出12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，再得到7n ≥，N n ∈，980n n+−>，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．【详解】因为98n a n n=+−， 所以12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，当7n ≥，N n ∈，980n n+−>，所以9988n a n n n n =+−=+−，因为函数98y x x=+−在[)7,+∞上单调递增， 所以7n ≥时，数列98n a n n=+−为单调递增数列， 所以21a a <，23a a <，76a a <，78a a <， 所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7． 故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列{}n a 满足121n n a a +=−，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．123n −⨯ B ．12n − C ．12n + D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+−，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+−，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b −=⨯=．故选：D ．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n −中，14a=，211a =，则()4a Ω=（ ）A ．21B ．20C ．41D ．40【答案】C【分析】设{}n a n −的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果. 【详解】设{}n a n −的公比为q ，则2121123141a q a −−===−−， 所以111(1)(41)33n n n n a n a q−−−=−⋅=−⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=. 故选：C14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列{}n a ，定义11222−=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ）A ．127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，分类讨论n 可求出结果.【详解】由1112222n n n n A a a a n −+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n −−+++=−⋅，∴1122(1)2−+⋅=⋅−−⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n N *∈恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n −+−⨯++−⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p pn n n n −+−⨯+−+−≤， 即5(5)(53)0222pn p p n n −+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +−++≤， 即216(5)06+⎛⎫−+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n N *∈恒成立，当14n ≤≤时，2164266+−≤=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125−≤p ，所以125p ≥−，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫−+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+−≥=+++n p n n 对任意的n N *∈恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73−≥p ，所以73p ≤−，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦．故选：A ．15．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n b 满足：若()*,m n b b m n ∈=N ，则11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“等同数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=−n n n a n a a ，若“等同数列”{}n b 的前n 项和为n S ，且114b a b ==，22b a =，510S a =，则2022S =（ ）A ．4711B ．4712C ．4714D ．4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列{}n a 的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得{}n b 是周期数列，即可得2022S ． 【详解】由()1+=−n n n a n a a 得11n n a a n n+=+，则1251125n n n a a aa n n n −−=====−−， 故n a n =,所以111b a ==，222b a ==，411b a ==， 所以41b b =，所以522b b ==1010S a ==，所以3121210b ++++=，解得34b =，同理得634b b ==， 741b b ==，852b b ==，…，故数列{}n b 是以3为周期的数列，所以()202267431246744718S S ⨯==++⨯=， 故选:D ．16．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a ，若存在常数t ，对任意小的正数s ，总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a t s −<，则数列{}n a 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ） A ．若等比数列{}n a 是收敛数列，则公比()0,1q ∈ B ．等差数列不可能是收敛数列C ．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列D ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，11n n S a +=+，则数列{}n a 是收敛数列 【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前n 项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB 不正确；选项C ：设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，所以1111(1)2n S na n n d =+−，当0d ≠时，当n →+∞时，10nS →， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D ：因为11a =，11n n S a +=+，所以可得21a =，当2,N n n *≥∈时，由1111n n n n S a S a +−=+⇒=+，两式相减，得11n n n a a a +−=−，所以345670,1,1,0,1a a a a a ==−=−==，所以该数列的周期为6，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确， 故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列{}m A ：1a ，2a ，…，()2m a m ≥，若存在公比为q 的等比数列{}1m B +：1b ，2b ，…，1m b +，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，…，m ，则称数列{}1m B +为数列{}m A 的“等比分割数列”.若数列{}10A 的通项公式为()21,2,,10nn a n ==，其“等比分割数列”{}11B 的首项为1，则数列{}11B 的公比q 的取值范围是（ ） A ．()9102,2 B ．()10112,2C ．()1092,2D ．()11102,2【答案】C【分析】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，从而可得2q >且()121,2,3,,10n n q n −<=L ，可得122nn q −<<，再根据指数函数的单调性求出12nn −的最小值即可【详解】由题意可得，()121,2,3,,10n n n qq n −<<=L ，所以2q >，且()121,2,3,,10n n qn −<=L ，当1n =时，12<成立；当2n =，3，…，10时，应有12nn q −<成立， 因为2x y =在R 上单调递增，所以111122nn n −−+=随着n 的增大而减小，故1092q <，综上，q 的取值范围是()1092,2. 故选：C.18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an }满足21321111222n n a a a a a a −−<−<<−<……，则称数列{an }为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn }的前n项和Sn 满足*221()n n S c t n N +=−∈，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1(,)2−∞B ．（-∞，1）C ．1(,)2+∞D ．（1， +∞）【答案】A【分析】根据*221()n n S c t n N +=−∈,利用递推公式求得数列{}n c 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数t 的取值范围.【详解】因为*221()n n S c t n N +=−∈所以当2n ≥时, 11221n n S c t −−+=−两式相减可得1220n n n c c c −+−=,即123n n c c −=,所以数列{}n c 是以公比23q =的等比数列 当1n =时,1213t c −=所以121233n n t c −−⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则1221121221221223363183n n n n n t t t c c −−−−−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112121212212233233183nn n n n t t t c c −−+−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=⋅−⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由“差半递增”数列的定义可知21212212183183n n t t −−−−⎛⎫⎛⎫⋅<⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()221213t t −<−⨯解不等式可得12t <即实数t 的取值范围为1,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭故选：A.19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}n a ，则1025a 的值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．108【答案】A【分析】设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −，从而可得1121n n n n b b b b +=+−=−，从而可求出21nn b =+，从而可知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第n 次拓展后的项数为n b ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第1n +次拓展后增加的项数为1n b −， 所以1121n n n n b b b b +=+−=−， 即()1121n n b b +−=−，即1121n n b b +−=−， 所以数列{}1−n b 是以12b =为首项，2为公比的等比数列，是以12nn b −=，所以21n n b =+，则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为1021−，所以经过11次拓展后6所在的位置为第10102111211025−++=+=， 所以10256a =. 故选：A.二、多选题20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列{}n a 满足：对任意正整数{}1,n n n a a +−为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*N n a n ∈，其中是“差递减数列”的有（ ） A ．2n n a = B ．2n a n =C ．n aD ．ln n a n =【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A ，若2n n a =，则11222n n nn n a a ++−=−=，由函数2n y =在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故A 错误；对B ，若2n a n =，则221(1)21n n a a n n n +−=+−=+，由函数21y n =+在()0,∞+上单调递增，所以{}1n n a a +−为递增数列，故B 错误；对C ，若n a =1n n a a +−==y =()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故C 正确；对D ，若ln n a n =，则()111ln 1ln ln ln 1n n n a a n n n ++⎛⎫−=+−==+ ⎪⎝⎭，由函数1ln 1y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，所以{}1n n a a +−为递减数列，故D 正确． 故选：CD ．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列{}n a 满足：,A B ∃∈R ，0AB ≠，使得对于*n ∀∈N ，都有21n n n a Aa Ba ++=+，则称{}n a 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）. A ．若数列{}n a 是等差数列，则{}n a 具有“三项相关性” B ．若数列{}n a 是等比数列，则{}n a 具有“三项相关性” C ．若数列{}n a 是周期数列，则{}n a 具有“三项相关性”D ．若数列{}n a 具有正项“三项相关性”，且正数A ，B 满足1A B +=，12a a B +=，数列{}n b 的通项公式为n n b B =，{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则对*n ∀∈N ，n n S T <恒成立【答案】ABD【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】若{}n a 为等差数列，则有211n n n n a a a a +++−=−，212n n n a a a ++=−，A 正确；若数列{}n a 是等比数列，则21n n a qa ++=，1n n a qa +=，（0q ≠）,即()211n n n a q a qa ++=−+，易知1q ≠，显然成立，1q =时，21n n n a a a ++==，取12A B ==，有211122n n n a a a ++=+，也成立，所以B 正确； 对周期数列：0，0，1，0，0，1，⋅⋅⋅，所以1n =时，100A B =⨯+⨯，显然不成立，所以C 错误； 对D ，()211n n n a B a Ba ++=−+，即()211n n n n a a B a a ++++=+，12a a B += ∴121n n n n a a B BB −+++=⋅=，1B >，易知()211n n n n n a a B a a a ++++=+>，即n n b a >，*N n ∈，故n n S T <，D 正确； 故选：ABD22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121ni n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．()2123n n n a a a n −+=+≥C ．20222202220231i i a a a ==⋅∑D ．2021202311i i a a ==−∑【答案】BCD【分析】由数列的递推公式可判断A,B ；利用累加法计算可判断选项C,D.【详解】对A ，由21n n n a a a ++=+知，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中，第一二项相等，不满足递增性，故A 错误；对B ，根据递推公式12n n n a a a −−=+，得()21213n n n n n n n a a a a a a a n −−−++=++=+≥，故B 正确；对C ，2121a a a =⋅，()222312321a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，()233423432a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，……，()220222022202320212022202320222021a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，∴22212202220222023a a aa a ++⋅⋅⋅=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，故C 正确；对D ，由递推式，得321a a a −=，432a a a −=，…，202320222021a a a −=， 累加得324320232022122021a a a a a a a a a −+−+⋅⋅⋅+−=++⋅⋅⋅+， ∴20232122021a a a a a −=++⋅⋅⋅+， ∴1220212023220231a a a a a a ++⋅⋅⋅+=−=−， 即2021202311i i a a ==−∑，故D 正确；故选：BCD ．23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若{}n a 不是等比数列，但{}n a 中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称{}n a 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ） A ．(){}28n−+ B ．137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭C ．17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D ．{}225n +【答案】ABD【分析】对于ABD ，直接取特定项验证即可；对于C ，定义法可证为等比数列后即可判断.【详解】对于A ：若()28nn a =−+，则16a =，212a =，424a =，由212624=⨯，得1a ，2a ，4a 成等比数列，因为(){}28n−+不是等比数列，所以(){}28n−+是局部等比数列.故A 正确；对于B ：若137n a n =+，则1110a =，11140a =，511160a =，由21114010160⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得1a ，11a ，51a 成等比数列，因为137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭不是等比数列，所以137n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是局部等比数列. 故B 正确；对于C ：若117113222n n n n a ++=−=，则112n n a a +=，则{}n a 是等比数列，所以17122n n +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭不是局部等比数列. 故C 错误；对于D ：若225n a n =+，则550a =，15250a =，351250a =，由250125050250=，得5a ，15a ，35a 成等比数列，因为{}225n +不是等比数列，所以{}225n +是局部等比数列. 故D 正确.故选：ABD.24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*N n ∈，对于函数()f x ，若数列(){}ln n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，则定义在()0,∞+上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ） A ．()1f x x=为“保比差数列函数” B ．()2f x x =为“保比差数列函数”C ．()e xf x =为“保比差数列函数” D ．()f x =“保比差数列函数”【答案】ABD【分析】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】设数列{}n a 的公比为()1q q ≠， 选项A ：()1ln lnn nf a a =， 所以()()11111ln ln lnln ln ln n n n n n n af a f a q a a a +++−=−==−是常数， 所以数列(){}ln n f a 为等差数列，A 满足题意；选项B ：()2ln ln n n f a a =，所以()()22221112ln ln ln ln ln ln 2ln n n n n nna f a f a aa q q a +++−=−===是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，B 满足题意；选项C ：()ln ln e n an n f a a ==，所以()()11ln ln n n n n f a f a a a ++−=−不是常数， 所以数列(){}ln n f a 不为等差数列，C 不满足题意； 选项D ：()ln n f a =所以()()11ln ln ln 2n n f a f a q +−==是常数，所以数列(){}ln n f a 为等差数列，D 满足题意； 故选：ABD25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）A ．{}(2)n−是平方等差数列B ．若{}n a 是平方等差数列，则{}2n a 是等差数列C ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,n ka b k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列D ．若{}n a 是平方等差数列，则{}(,,,kn b a k b k b *+∈N 为常数）也是平方等差数列【答案】BD【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当n 为奇数时，则()1n −为偶数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=−+=−，当n 为偶数时，则()1n −为奇数，所以()()()11122223?2n n n n n −−−−−−=+=，即{}(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数），即{}2n a 是首项为21a ，公差为p 的等差数列，故正确；对于C ，若{}n a 是平方等差数列，则221(2,,n n a a p n n p *−−=≥∈N 为常数）， 则()()()()222221112n n n n n n ka b ka b k a a kb a a −−−+−+=−+−，即()())222112n n n n ka b ka b k p kb a a −−+−+=+−，当{}n a 为等差数列时，1n n a a d −−=，则{}n ka b +为平方等差数列， 当{}n a 不为等差数列时，则{}n ka b +不为平方等差数列，故错误；对于D ，因为{}n a 是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=kn kn kn kn kn k n a a a a a a p ，把以上的等式相加，得()()()()()222222121111+++++−−+−+⋯+−=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ， 22(1)k n kn a a kp +∴−=，则()221kn b k n ba a kp +++−=，即数列{}knb a +是平方等差数列，故正确； 故选:BD26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，L ，设第n 次“美好成长”后得到的数列为121,,,,,4k x x x L ，并记()412log 14n k a x x x =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则（ ）A ．25a =B ．131n n a a +=−C ．21nk =+D ．数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++【答案】ABD【分析】对A ：由题意直接运算判断；对B ：根据第1n +次“美好成长”与第n 次“美好成长”的关系分析运算；对C ：根据题意分析可得：()1121n n b b ++=+，利用构造法结合等比数列分析运算；对D ：由131n n a a +=−，利用构造法结合等比数列可得312n n a +=，利用裂项相消结合分组求和运算求解.【详解】对A ：()()25144244log 144log 42,log 144164log 45a a =⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==，A 正确；对B ：由题意可知：()()()(){}()()212141211241214log 1414log 1414k n k k k x x x a x x x x x x x x x x +⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦⨯⎢⎥⎣⎦()()312441214log 3log 141314k k n x x x x x x a ⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯−=−，故131n n a a +=−，B 正确；对C ：设第n 次“美好成长”后共插入n b 项，即n k b =，共有1n b +个间隔，且11b =， 则第1n +次“美好成长”后再插入1n b +项，则()1121n n n n b b b b +=++=+， 可得()1121n n b b ++=+，且1120b +=≠，故数列{}1n b +是以首项为2，公比为2的等比数列， 则11222n n n b −+=⨯=，故21n n k b ==−，C 错误；对D ：∵131n n a a +=−，则111322n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且113022a −=≠， 故数列12n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为32，公比为3的等比数列，则11333222n n n a −−=⨯=，即312n n a +=，设()()()1313232332222n n n n n n n n nna An B A n B An A B +=+⋅−++⋅+=−−−⋅+=⨯+⎡⎤⎣⎦，则122320A A B ⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩，解得1438A B ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1321233882n n n n n nna +−−=⋅−⋅+， 设数列{}n na 的前n 项和为n S ， 则22311211133212122333333888888222n n n n n n n S a a na +⎡−−−−−⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯−⨯+⨯−⨯++⋅−⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L L()()1113122321322388218n n n n n n n n ++⎛⎫+ −++⎪−⎝⎭=−⋅++=， 即数列{}n na 的前n 项和为()()13213218n n n n +−+++，D 正确.故选：ABD. 【点睛】结论点睛：（1）构造法：()()110,1n n n n a ka m km k a a λλ++=+≠≠⇔+=+；（2）裂项构造：()()()11n n n kn b q An B q A n B q ++⋅=+⋅−++⋅⎡⎤⎣⎦.27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第()*N n n ∈次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ,2．记1212n k a x x x =+++⋅⋅⋅++，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．342a = B ．133n n a a +=− C ．()2332n a n n =+ D ．()133234n n S n +=+− 【答案】ABD【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可． 【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时1k =， 第2次得到数列1，4，3，5，2，此时3k =，第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时7k =，第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时15k =，第n 次得到数列1，1x ，2x ，3x ，L ，k x ，2，此时21n k =−， 由此可得133a =+，2339a =++，33392742a =+++=，故A 正确； 43392781a =++++，…，()112331333333333132n n nna +−+=++++⋅⋅⋅+=+=−，故C 错误； 由1332n n a ++=，可得2133332n n n a a +++==−，故B 正确；由()()()23411129131313333333232221324n n n n n n n S a a a n ++−=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=⨯+=+−−，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列{}n a ，若存在正整数m ，使得对任意正整数n ，都有n m n a a q +=（其中q 为非零常数），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{}n a 前21项的和为__． 【答案】1090【分析】确定43n n a a +=，数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】43n n a a +=，故513a a q ==，由题意得数列{}n a 从第二项起连续四项成等比数列， 234512339,3a a a a q +++=+++==，则数列{}n a 前21项的和为()5523451913()(1)11090113a a a a q a q ⨯−+++−+=+=−−． 故答案为：109029．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列{}n a ，记：()()()()()()()1212311112n n n n n n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，，…，()()()111k k n n k n−+−∆∆=∆（其中*n ∈N ），并称数列(){}k n ∆为数列{}n a 的k 阶商分数列.特殊地，当(){}kn ∆为非零常数数列时，称数列{}n a 是k 阶等比数列.已知数列{}n a 是2阶等比数列，且20123220482a a a ===，，，若n m n a a −=，则m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算(1)(1)12,∆∆，进而求出数列(1){}n ∆的公比及通项，再借助累乘法求出数列{}n a 的通项即可推理计算作答.【详解】由数列{}n a 是2阶等比数列，得(2)(0)nq q ∆=≠，即(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆， 且(1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆，即数列(1){}n ∆是首项为102，公比为12的等比数列， 则有(1)10111112()()22n n n −−∆=⨯=，即1111()2n n n a a −+=，当2n ≥时， 22320109121(10)(9)(12)3221121111112()()()()()22222nn n n n n n aa a a a a a a −+−−−−+−+−++−−=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯==，而12a =满足上式，因此22320212n n n a −+⎛⎫= ⎪⎝⎭，由n m n a a −=得：222320()23()202211()()22nn m n m n −+−−−+=，即222320()23()20n n m n m n −+=−−−+，整理得(2)23(2)m n m n m −=−，又n 为小于m 的任意正整数，所以23m =. 故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有______． ①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若1a k =（1k =，2，3，…，9），则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 不可能为等差数列或等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N 均不包含数字4．【答案】②④【分析】对①，由外观数列定义列举判断； 对②，由外观数列定义判断； 对③，取反例，如122a =；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.【详解】对①，12343,13,1113,3113a a a a ====，①错；对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k （1k =，2，3，…，9）始终在最右边，即最后一个数字，②对； 对③，取122a =，则2322a a ===，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；对④，1234123,111213,31121113,1321123113a a a a ====，设数列()*,5k a k k N ∈≥首次出现数字4，则1k a −必出现了4个连续的相同数字m （1m =，2，3，…，9），而2k a −的描述必包含“1个m ，1个m ”，与1k a −的描述矛盾，故()*n a n ∈N 均不包含数字4，④对.故选：②④31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N 都有1n n a a t ++=（t 为常数），则称该数列为“t 数列”，若数列{}n a 为“2数列”，且11a =−，则2023S =______. 【答案】2021【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：2320222402532a a a a a a ++=+===，所以()()()202312345202220232101112021S a a a a a a a =+++++++=⨯−=.故答案为：2021.32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n 个正数12,,,n p p p ⋯的“均倒数”为12nnp p p ++⋅⋅⋅+，若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，则2023a 的值为______ 【答案】8091【分析】利用“均倒数”的概念求出(21)n S n n =+，再利用递推关系求出41n a n =−，再代入值即可. 【详解】由已知可得数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为 121,21n n n n a a a S n ==++⋯++可得(21)n S n n =+,则2n …时, 21[2(1)1](1)231n S n n n n −=−+−=−+141n n n a S S n −∴=−=−，当1n =时,113a S ==,满足41n a n =−, 202341,4202318091n a n a ∴=−=⨯−=.故答案为: 8091 .33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列{}()0n n a a ≠，记1n n na b a +=，则称数列{}n b 为数列{}n a 的一阶商数列；记1n n nb c b +=，则称数列{}n c 为数列{}n a 的二阶商数列；以此类推，可得数列{}n a 的P 阶商数列()P *∈N ，已知数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，且121,1a a ==，则10a =___________．【答案】36e【分析】由题意可得1e n n n b c b +==，从而得1e n n b −=，即11e n n naa −+=，由累乘法即可求得10a 的值. 【详解】解：由数列{}n a 的二阶商数列的各项均为e ，可知1e n n nb c b +==， 而2111a b a ==， 故数列{}n b 是以1为首项，e 为公比的等比数列，即1e n n b −=，即11e ,n n na n a −*+=∈N ， 即283102412391,e,e ,,e a a a a a a a a ====． 所以()18828128363102421011239··11e e ?·e e =e=e a a a a a a a a a a +⋅+++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，故3610e a =．故答案为：36e34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列{}n a ,假如存在一个常数a 使得对任意的正整数n 都有n a a <,且lim n n a a →+∞=,则称a 为数列{}n a 的“上渐近值”．已知数列{}n a 有12,a a a p ==（p 为常数,且0p >）,它的前n 项和为n S ,并且满足()12n n n a a S −=,令2112n n n n n S S p S S ++++=+,记数列{}122n p p p n +++−的“上渐近值”为k ,则100coskπ的值为 _____． 【答案】12−##-0.5【分析】先根据n S 求解数列{}n a 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出n S ,代入n p 得出n p 的表达式,最后即可得出上渐近值． 【详解】解:当1n =时,()1111102a a S a ⨯−===,当2n ≥时,()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S −−−−−=−=−,得到112n n n a a n −−=−, 根据累乘法:()212332123421n n n n a a n p n n n −−−=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=−−−−;满足n=1情况， 故而数列{}n a 是首项为0,公差为p 的等差数列,()12n n n pS −∴=,21122112222n n n n n S S n n p S S n n n n +++++⎛⎫∴=+=+=+− ⎪++⎝⎭, 122n p p p n ∴+++−=111111111221232435112n n n n n n ⎛⎫+−+−+−++−+−− ⎪−++⎝⎭11121212n n ⎛⎫=+−− ⎪++⎝⎭()()46312n n n +=−++,()()()1246li 231m l 32im n n n n p p p n n n →+∞→+∞⎛⎫+∴+++−=−= ⎪ ⎪++⎝⎭, 3k ∴=,10010021coscos cos 332k πππ⎛⎫∴==−=− ⎪⎝⎭. 故答案为:12−35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列{}n a 中，所有满足10i i a a +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n a 的变号数.已知数列{}n b 的前n 项和26n S n n a =−+（n *∈N ，5a ≠），令41n na b =−（n *∈N ），若数列{}n a 的变号数为2，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()(),59,−∞+∞。
专题08天体运动的随绕模型(原卷版)
专题08 天体运动的随绕模型星球表面上的物体随着星球自转而做圆周运动，对此类问题的分析主要有两点：一是要把握好物体所受的万有引力被分为两部分——重力与所需的向心力；二是所需的向心力与星球自转的周期有关，对于赤道上的物体，可利用同一直线上力的分解进行分析。
模型(一) 太空电梯模型1.情景设定：太空电梯由以下几个核心部分组成地面端基座：该部分为所有缆绳的起始段，主要起到固定作用。
整体基座结构位于赤道地区的海面上，主视觉呈现为一个巨型海上平台。
缆索：9部轿厢由216根粗细不等的碳纳米缆绳垂直连接。
轿厢：其第一视觉印象源自我们常见的建筑工地垂直升降机，从而降低观众的视觉陌生感。
太空电梯的基础功能也与我们常见的电梯无异，但运力更强，单个轿厢的运力是现今世界上最大的运载火箭的4倍。
每天上上下下，运送人员、物资、以及建造空间站的原材料。
空间站：空间站位于距离地表3.6万公里的地球静止同步轨道，与太空电梯同心纵向连接。
配重：在太空电梯距离地表9万公里的尾端设置配重，使其与地球自转同步稳定。
2.配重锤的作用：因为电梯向上会对空间站有向下的拉力，就像平常的电梯一样，所以需要有一个较重的物体平衡掉电梯对空间站的拉力。
3.空间站的地基选址问题：位置：赤道区域原因：空间站位于地球同步轨道上，所以要尽可能的保证空间站和地球同步运动，这样对工程的技术难度要求是最小的，同时空间站和地基一起旋转减少的空间站位置的维持损耗。
相当于空间站位于地球静止卫星轨道上。
3.有关运载舱运载舱作用:载运人和货物两个结论:(1)运载舱上升时，线速度越来越大;(2)运载舱上升时合力方向不沿缆绳方向。
4.空间站坠落、配重锤甩出问题因为配重锤的速度远大于在该轨道上应有的速度;所以配重锤和缆绳的连接切断后会飞出。
模型(二同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较模型如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
专题08 力的合成与分解(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题08 力的合成与分解特训目标特训内容目标1 力的合成法则和基本规律（1T—4T）目标2 特殊角度下的两力的合成（5T—8T）目标3 力的分解法则和基本规律（9T—12T）目标4生活和科技中的力的合成与分解（13T—18T）目标5力的合成与分解的极值和多解问题（19T—22T）一、力的合成法则和基本规律1．如图所示，物体只受到同一平面内三个力的作用，图中线段的长短表示力的大小，其中力F1与OO′成θ＝30°的角。
右边四图中能正确描述该物体获得加速度方向的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】根据平行四边形法则作图求出合力如图所示，根据牛顿第二定律，加速度的方向与合力的方向相同，B正确，ACD错误。
故选B。
2．如图所示，AB是半圆的直径，O为圆心，P点是圆上的一点，在P点作用了三个共点力F1、F2、F3。
若F2的大小已知，则这三个力的合力为（）A．F2B．2F2C．3F2D．4F2【答案】C【详解】以F1、F3为邻边作平行四边形，由几何特征，可知平行四边形是矩形，则合力F13=2F2，故F1、F2、F3的合力F=3F2，所以C正确；故选C.3．一个质量为5kg的物体，在几个恒定的共点力作用下处于平衡状态，现同时撤去大小分别为15N和20N的两个力而其余力保特不变，关于此后该物体运动的说法中正确的是（）A．一定做匀加速直线运动，加速度大小可能是23m/sB．可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是28m/sC．一定做加速度不变的运动，加速度大小可能是26m/sD．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小可能是25m/s【答案】C【详解】物体原来受力平衡，撤去两个力之后，剩余力的合力与撤去的两力的合力等大反向，合力范围在5N~35N之间，根据牛顿第二定律F=ma其余力保特不变，所以加速度不变，物体一定是匀变速运动；加速度在1m/s2~7m/s2之间；因为不知道初速度方向，所以不能确定速度与合外力是否共线，不能确定物体作直线运动还是曲线运动，但一定是匀变速运动。
专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题
2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇 函数与导数专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题”一．方法综述含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题,历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键．本专题举例说明辨别“任意性问题”与“存在性问题”的方法、技巧.二．解题策略类型一 “∀x ，使得f(x)>g(x)”与“∃x ，使得f(x)>g(x)”的辨析(1)∀x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min >0.如图①.(2)∃x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max >0.如图②. 【例1】【2020·河南濮阳一中期末】已知函数1()ln (0),()a f x a x a g x x x x=-≠=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若存在0[1,]x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 【指点迷津】(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x 0≥0时，总有f (x 0)≥g (x 0)，即f (x 0)－g (x 0)≥0(注意不是f (x )min ≥g (x )max )，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )≥0恒成立问题．(2)存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，即至少有一个x 0≥0，满足f (x 0)－g (x 0)不是负数，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )的函数值至少有一个是非负数． 【举一反三】【2020·江西瑞金一中期中】已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝”的辨析(1) 1122x D x D ∃∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 与g (x )在D 2上的值域B 的交集不是空集，即A ∩B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2) 1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 是g (x )在D 2上的值域B 的子集，即A ⊆B ，如图④.其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的值域都在函数y ＝g (x )的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 【例2】【2020河北衡水中月考】已知函数()()()11ln 1f x a x x =---+，()1xg x xe -=.（1）求()g x 在区间(]0,e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的(]00,x e ∈，在[]1,e 存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =，若存在，求出a 的范围，若不存在，说出理由.【指点迷津】本例第(2)问等价转化的基本思想是：函数g (x )的任意一个函数值都与函数f (x )的某两个函数值相等，即f (x )的值域都在g (x )的值域中． 【举一反三】【2020·河南南阳一中期中】已知函数1()ln 1f x x x=+-, 32()324g x x a x a =--+, []0,1x ∈,其中0a ≥.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]11,x e ∈,总存在[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,求a 的取值范围.类型三 f (x )，g (x )是闭区间D 上的连续函数，“∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”与“∃x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”的辨析(1)f (x )，g (x )是在闭区间D 上的连续函数且∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )min >g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值均大于函数y ＝g (x )的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )max >g (x )min .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的某一个函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值．如图⑥.【例3】【2020·甘肃天水一中月考】已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【指点迷津】1.本例第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点低于g (x )图象的最高点．2.题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【举一反三】【2020·四川石室中学月考】已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．类型四 “∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)”与“∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)”的辨析(1)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min >g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在)．其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑦.(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于g (x )在D 2上的最大值，即f (x )max <g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑧. 【例4】【2020·江西抚州二中期末】已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【指点迷津】“对任意x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于g (x )在[1,2]上的最小值”． 【举一反三】【2020重庆西南大学附中月考】已知函数()()()11ln x x f x x++=，()()ln g x x mx m R =-∈ .（1）求函数()g x 的单调区间；（2）当0m >时，对任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，试确定实数m 的取值范围.三．强化训练1．【2020·江西萍乡一中期中】已知函数ln ()xx af x e +=. （1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）设()xg x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围.2．【2020·河北邯郸期末】已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9x xf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 3．【2020·天津滨海新区期末】已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 4．【2020·全国高三专题练习】已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.5．【2020·河南安阳期末】已知函数()ln f x x x x =+，()x xg x e=. （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.6．【2020·山东邹平一中期末】已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值;(3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <. 7．【2020·陕西西安中学高三期末】已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.8．【2020·浙江温州期末】已知函数()()2log ln a f x x x x =+-，1a >. （1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的112,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围.9．【2020·浙江台州期末】已知函数()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R .（2）使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.10．【2020·蒙阴实验中学期末】设函数()212ln 222a f x ax x x -=+++，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，()217ln 422g x x x x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，若[)11,x ∀∈+∞，()20,x ∃∈+∞，使不等式()()1122mf xg x x x -≥+恒成立，求m 的取值范围.。
专题08 功和功能关系(解析版)
2022届高三物理二轮高频考点专题突破专题08 功和功能关系 专练目标专练内容 目标1重力场中的功和功能关系（1T—8T ） 目标2电场中的功和功能关系（9T—13T ） 目标3磁场中的功和功能关系（14T—18T ）一、重力场中的功和功能关系1．力F 对物体所做的功可由公式cos =⋅W F S α求得。
但用这个公式求功是有条件的，即力F 必须是恒力。
而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。
那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F 所做的功。
如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（ ）A ．甲图中若F 大小不变，物块从A 到C 过程中力F 做的为()=-W F OA OCB ．乙图中，全过程中F 做的总功为108JC ．丙图中，绳长为R ，若空气阻力f 大小不变，小球从A 运动到B 过程中空气阻力做的功12=W πRf D ．图丁中，F 始终保持水平，无论是F 缓慢将小球从P 拉到Q ，还是F 为恒力将小球从P 拉到Q ，F 做的功都是sin W Fl θ=【答案】A【详解】A ．因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A 到C 过程中力F 做的为()=-W F OA OC ，故A 正确；B ．乙图F x -的面积代表功，则全过程中F 做的总功为156(3)672J W =⨯+-⨯=故B 错误；C ．丙图中，绳长为R ，若空气阻力f 大小不变，可用微元法得小球从A 运动到B 过程中空气阻力做的功为1422πR W f πRf =-⋅=-故C 错误； D ．图丁中，F 始终保持水平，当F 为恒力时将小球从P 拉到Q ，F 做的功是sin W Fl θ=而F 缓慢将小球从P 拉到Q ，F 为水平方向的变力，F 做的功不能用力乘以位移计算，故D 错误；故选A 。
2．水平桌面上，长R =5m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m =2.0kg 的小球，现对小球施加一个大小不变的力F =10N ，F 拉着物体从M 点运动到N 点，方向始终与小球的运动方向成37°角。
2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)
专题08 幂函数与二次函数【考点预测】 1.幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：R RR {|0}x x ≥ （1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. （1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max 4()4ac b f x a -=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=： （1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==； （2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=； （3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=； （4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.n （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．0或2 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出m ，再验证单调性可得. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意， 当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pqy x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且0p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q < C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p 、q 的取值情况. 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数， 又函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0， 又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12##0.5 【解析】 【分析】点A 坐标代入幂函数解析式，求得a ，然后计算函数值． 【详解】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______． 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，根据函数()f x 的奇偶性、单调性来求得a 的取值范围. 【详解】设()f x x α=，则()1823αα-=-⇒=，所以()13f x x =，()f x 在R 上递增，且为奇函数，所以()()()311313f a f a a a f a a =-+≤--+-⇒≤⇒≤. 故答案为：(],1-∞例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论． 【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数223()mm y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ， 因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意； 当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意； 所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数， 当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x x x --=-==-，此时是偶函数， 当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数()3e e x xf x x -=+-，利用()1f a =，()1f b =-，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.【详解】构建函数()3e e x xf x x -=+-，则()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.由3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，得()1f a =，()()()()1f b f a f b f b a b =-⇒=-=-⇒=-，所以0a b +=. 故选：B.例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）A ．2<B ．2<C ．2log <D ．2<【答案】A 【解析】 【分析】对于A 、B ：作出2x y =和2yx 在第一象限的图像判断出：在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.即可判断A 、B ；对于C：判断出2>, log 1，即可判断；对于D：判断出2>，2=，即可判断.【详解】 对于A 、B ： 作出2x y =和2yx 在第一象限的图像如图所示：其中2x y =的图像用虚线表示，2yx 的图像用虚线表示.可得，在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.因为24<，所以2<，故A 正确；4，所以2>，故B 错误；对于C：2>,而22log log 21<=，所以log >故C 错误；对于D：2>，而2=，所以>.故D 错误.故选：A例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()f x 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点， 在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论1a =，01a <<与1a >三种情况下函数的单调性情况，从而判断. 【详解】当1a =时，()1(0)=-=>-a xx f x x x a ，此时函数()f x 为一条射线，且函数()1f x x =-在()0,∞+上为增函数，B 选项符合；当01a <<时，函数a y x =在()0,∞+上为增函数，x y a =在()0,∞+上为减函数，所以函数()=-a x f x x a 在()0,∞+上为增函数，此时函数在()0,∞+上只有一个零点，A 选项符合；当1a >时，x →+∞时，函数a y x =的增长速度远小于函数x y a =的增长速度，所以x →+∞时，函数()=-a xf x x a 一定为减函数，选项D 符合，C 不符合. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】 【分析】 将不等式化为()()10111011222211x x x x +≤-+-，构造()1011f x x x =+根据其单调性可得221x x ≤-，求解即可.【详解】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，显然()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，可得212x ≤，解得x ≤≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：⎡⎢⎣⎦例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.【答案】(),1-∞- 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出,a m ，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，所以31m +=，解得2m =-，又其图象过点(，所以2a 12a =， 则()()212log 23g x x x =--， 则2230x x -->，解得3x >或1x <-， 令223x x μ=--，则函数223x x μ=--在()3,+∞上递增，在(),1-∞-上递减， 又因函数12log y μ=为减函数，所以函数()g x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,-- 【解析】 【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根， 所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可. 【详解】（1）（1）因为幂函数()2242()22mm f x m m x-+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意； ②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<； 由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >， 因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求解. 【详解】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上， 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a << 故实数a 的取值范围是()3,4 故选：C例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax xg x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()24x xg x =-；(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)根据()218f a +=求出a 即可；(2)方程()80xg x m -⋅=参变分离得222x x m --=-，换元法求值域即可.(1)由()218f a +=，可得：2318a +=，解得：32a =，∴()24x xg x =-；(2)由()80xg x m -⋅=，可得222x x m --=-，令12,44xt -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则原问题等价于y ＝m 与y ＝h (t )＝2t t -在1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，数形结合可知m ∈[h (12)，h (4)]＝1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈． (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围． 【答案】(1)当0x =，π2，π时， max ()1f x =(2))2a ∈【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令()t f x =，问题转化为23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出a 的取值范围.(1)∵()521,66512,066sinx x f x sinx x x πππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<<≤⎪⎩或，∴当5[,]66x ππ∈时， ()max 12f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴当5[0,)(,]66x πππ∈时， max ()(0)(π)1f x f f ===．故当02x ππ=，，时， max ()1f x =． (2)令()t f x =，则[0,1]t ∈，使方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根，则方程23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，令2()321g t t at =-+，则()()()201013210Δ24310012g g a a a ⎧=>⎪=-+>⎪⎪⎨=--⨯⨯>⎪⎪<<⎪⎩2a <<．故所求的a的取值范围是)2．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设()t f x =，即有()()g x f t =，t k ，可得函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即有k 的范围，可得最大值为2． 【详解】解：设()t f x =，由题意可得2()()g x f t at bt c ==++，t k ， 函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分， 即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集， 即[2，)[k +∞⊆，)+∞， 可得2k ，即有k 的最大值为2． 故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =+；(2)(],2-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据(1)(1)f x f x -+=--可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知122x x -=进行求解，求出a 的值，即可得出()f x 的表达式；（2）根据题意，可以判断出函数()g x 在区间[2,2]-上的单调性，由()()g x f x kx =-，求得()2(2)g x x k x =+-，进而可知()g x 的对称轴方程为22k x -=，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出222k -≤-，即可求出k 的取值范围. (1)解：由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线1x =-对称， 函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--， 所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-， 根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=， 因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===， 解得：1a =，所以()22f x x x =+.(2)解：由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -， 则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-， 故k 的取值范围为(],2-∞-.例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==【解析】 【分析】（1）代入3a =解不等式组226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x 可得答案； （2）由题意(0)(2)0f f a ==，结合最大值为0最小值是4-分0=t 、22t a +=数形结合可得答案. (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，② 函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③ 函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由(0)3f =，可求得3c =，由条件可得函数的对称轴，又()f x 的最大值为4，可得关于,a b 的方程组，求解即可. 【详解】解：由(0)3f =，可求得3c =，则2()3f x ax bx =++ 若选择① (1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立 可得()f x 的对称轴为1x =，所以2ba-=1，又()f x 的最大值为4，可得0a <且(1)4f =，即34a b ++=，解得1,2a b =-=，此时2()23f x x x =-++； 若选择函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称 可得()f x 的对称轴为2x =，则2ba-=2， 又f （x ）的最大值为4，可得0a <且(2)4f =，即4234a b ++=，解得a 14=-，1b =，此时21()34f x x x =-++若选择③ 函数f （x ）的单调递减区间是1[2+∞，）， 可得f （x ）关于x 12=对称，则122b a -=，又()f x 的最大值为4，可得0a <且142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即113442a b ++=解得4a b ==-，此时2()434f x x x -=-+例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-． （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围． 【答案】（1）2()2f x x x =-；（2）[1,2]. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式，设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；（2）根据()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，(1)1f =-，从而函数()f x 的对称轴在区间[1,1]a a -+上，1a +离对称轴远，建立关系式，从而求出a 的范围【详解】（1）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则 (1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩解之得：1,2,0a b c ==-=2()2f x x x ∴=- （2）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩解之得：12a ≤≤a ∴的取值范围为[]1,2例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得. (1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++. (2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ） A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x > B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x < C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x = D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，画出函数草图，即可判断. 【详解】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性. 【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．1或3- B ．1 C ．1- D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求得n 的值. 【详解】依题意()f x 是幂函数，所以22221230n n n n +-=⇒+-=，解得1n =或3n =-. 当1n =时，()f x x =在()0,∞+递增，不符合题意.当3n =-时，()3f x x -=在()0,∞+递减，符合题意.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（ ） A ．1或3 B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或3【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为R ，所以0α>，12α≠， 又函数为奇函数，所以2α≠，则满足条件的1α=或3. 故选:A5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解 【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．72(,)2e e-- B ．72](,2e e--C ．72(,)(,)2e e -∞--+∞D ．72(,(,2])e e-∞--+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究分段函数()f x 的性质，作出函数图形，数形结合得到124010t t e -<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【详解】 因为0x ≥时，()xx f x e =，则1()x xf x e-'=，令()0f x '=，则1x =，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，1(1)f e=，x →+∞时，()0f x →；0x <时，3()3f x x x =-，则2()33f x x =-'，令()0f x '=，则1x =-，所以()1,0x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，(1)4f -=-，x →-∞时，()f x →+∞； 作出()f x 在R 上的图象，如图：关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，令()f x t =，则2210t kt --=有两个不同的实根12121,02t t t t =-<，，所以124010t t e-<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，令()221g t t kt =--，则()()280400010k g g g e ⎧∆=+>⎪->⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得722k e e -<<-，故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】 【分析】画出函数244y x x =--的图象，结合值域可得实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（ ） A ．[]30,log 2M = B ．(]3,log 2M ⊆-∞ C ．3log 2M ∈ D ．0M ∈【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令3x t =，则()222g t t t =-+，结合()g t 的值域为[1,2]，求出t 的取值范围，进而区间M 的特征，即可得到正确选项. 【详解】令3x t =(0)t >，则222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=， 由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =； 由()2g t =，得0=t （舍）或2，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，(]3log 2M ⊆-∞，. 故选：BCD ．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ） A ．e e m n > B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断. 【详解】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增， 由()()2320f m n f n -+->， 得()()()2322f m n f n f n ->--=-， 所以232m n n ->-， 即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确； 因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误； 令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （ ） A ．只有有限个 B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，根据5y x x =+的单调性有3x y x +=-，即可知(),x y 的性质.【详解】由题意，可得()()()()5533x y x y x x +++=-+-， 又5y x x =+单调递增，得3x y x +=-，则40x y +=， 故满足条件的点(),x y 有无穷多个，且都在直线40x y +=上． 故选：BC 三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______． ①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）； 【解析】 【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据幂函数()f x x α=，当α为奇数时，函数为奇函数，0α<时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f (x )＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3， 又f (x )＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1. 故答案为：-1.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛- ⎝【解析】 【分析】分析函数21()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239MT MT MT +++=______. 【答案】30 【解析】 【分析】先求出函数()y g x =的解析式，得到23()2m n -=，从而得到()724n MT n n =-≥，对239MT MT MT +++利用分组求和法求和即可. 【详解】由39()24α=，得12α=，()12f x x =，123()2g x x =+.因为点(,)n m 在函数()g x 上，所以1232m n -=，即23()2m n -=.所以n MT ==7(2)4n n =-≥， 所以239777(2)(3)(9)444MT MT MT +++=-+-+⋯+-7(239)84=+++-⨯811142⨯=- 30=.故答案为：30. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++． 【答案】()()211-∞--，，． 【解析】 【分析】不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，将21x +视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数()35f x x x =+，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令()35f x x x =+，易知()f x 在R 上单调递增．原不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，即()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭． 由()f x 在R 上单调递增得21x x >+，解得2x <-或11x -<<． 所以原不等式的解集为()()211-∞--，，． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+-=m m ，再根据函数为0,增函数得1m =；（2）由（1）得()216g x x x=+，再根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-. 若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦， 即()()12gx g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减.【点睛】。
重难点专题08 极值点偏移的十大类型(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
极值点偏移问题中（极值点为x0），证明x1+x2>2x0或x1+x2<2x0的方法：①构造F(x)=f(x)―f(2x―x)，②确定F(x)的单调性，③结合特殊值得到f(x)―f(2x0―x2)>0或f(x2)―f(2x0―x2)<0，再利用f(x1)=f(x2)，2得到f(x)与f(2x0―x2)的大小关系，1④利用f(x)的单调性即可得到x1+x2>2x0或x1+x2<2x0.处理极值点偏移问题中的类似于x1x2<a（f(x)=f(x2)）的问题的基本步骤如下：1①求导确定f(x)的单调性，得到x1,x2的范围；②构造函数F(x)=f(x)―f a，求导后可得F(x)恒正或恒负；x极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0（x为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0；4.若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，令x0=x1+x22，求证：f′(x)>0.比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值（一般用t表示）表，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t的函数示两个极值点，即t=x1x2问题求解．两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)=a―bln a―ln b(a≠b), a(a=b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab≤L(a,b)≤a+b2（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a=b时，等号成立．。
08反应机理、历程分析
（四）基元反应类：
6.【福建T5】有研究认为，强碱性溶液中反应I-+ClO＝IO-+Cl-分三步进行，其中两步如下：
第一步 ClO-+H2O →HOCl +OH-K1=3.3×10-10
B．由A的分析可知，最佳反应时间为14h，B错误；
C．根据表格数据，温度超过140℃时，生成物的产率降低，可能是温度过高导致了催化剂活性降低，C正确；
D．反应产物为 ，属于反式结构，D错误；
【思维建模】实验图表类题是较传统题型，关键在于分清因变量与需要严格控制的变量，分析变量对速率和平衡的影响，尤其要注意溶液总体积必须恒定，以确保变量控制的有效性。且可能会引入其它模块相关考点进行考察。
D．如果原料为丙烯，则中间产物 连接在第二个C原子上得到的产物为丙酮，D错误；
【思维建模】分清闭环内循环物质（催化剂和中间产物，在循环内但过程中结构会变）和进出物质（反应物生成物）。
（二）能垒图类
4.【湖南T9】活泼自由基与氧气的反应一直是关注的热点。 自由基与 反应过程的能量变化如图所示：
下列说法正确的是( )
（五）表格类：
7.【辽宁T11】苯乙烯与溴苯在一定条件下发生Heck反应：
+
溴苯用量(mmol)
100
100
100
100
100
100
100
催化剂用量(mmol)
2
2
2
2
2
2
2
反应温度(℃)
100
100
100
专题08 同词异境词语意义用法辨析考点(课件)新高考语文一轮复习
阅读下面的文字，完成下面各题。 节日期间，无论是家人团圆，还是老友欢聚，“吃”往往是必不可少的。因此，节后 很多人会增添新的烦恼，那就是“节日肥”“过年肥”，减肥也就提到日程上来。事实上 ，生活中你会发现，有许多整天嚷嚷着要减肥或者正在减肥的人，其实根本不胖，反而是 一些真正应该减肥的人对此却毫不在意，那么，怎么判断是否需要减肥呢？从医学角度来 说，身材是否肥胖，主要看体质指数。体质指数是用体重千克数除以身高米数之平方而得 出的数字，国人的健康体质指数为18.5~23.9，如果低于18.5，就是偏瘦，不需要减肥，而 高于23.9，就可以考虑减肥了。 5.(2022新高考Ⅰ卷21题)下列句子中的“你”和文中画横线处的“你”，用法相同的
C 一项是（3分）（ ） A．你要觉得这段话对深化文章的主题没什么帮助，就删了吧。 B．听了老师的话，三个人你看看我，我看看你，都不吭声了。 C．他是个非常用功的同学，尤其是钻研精神叫你不得不佩服。 D．请你选三名学生参加今年五月的“青春和梦想”演讲比赛。
【考点突破】
一．考点：同词异境词语意义用法辨析
C 用法相同的一项是（3分）（ ） A. 身处困境他却并不消沉，相信自己能拼出一个光明的未来。 B. 我满心欢喜地迎接他回来，相信现在的他一定和从前不同。 C. 看到气势磅礴的壶口瀑布，相信每一位游客都会激动不已。 D. 翠翠还是不离开码头，相信祖父会来找她，同她一起回家。
阅读下面的文字，完成下面小题。 （I）网络时代，我们没有办法也没有必要记住所有的信息，毕竟互联网随时可以帮我们查阅。不 过我们也不能过于依赖互联网，像互联网可以解决所有问题似的。通过一些训练提升记忆力，也一直是 我们孜孜以求的目标。 （II）祥子愿意早早的拉车跑一趟，凉风飕进他的袖口，使他全身像洗冷水澡似的一哆嗦，一痛 快。有时候起了狂风，把他打得出不来气，可是他低着头，咬着牙，向前钻，像一条浮着逆水的大鱼； 风越大，他的抵抗也越大，似乎是和狂风决一死战。 （2023年新课标I卷22T）语言文字运用I和II中画波浪线部分，都有“像……似的”，说说二者表 意上的不同。（3分） （1）不过我们也不能过于依赖互联网，像互联网可以解决所有问题似的。 （2）使他全身像洗冷水澡似的一哆嗦，一痛快。 【答案】①“像互联网可以解决所有问题似的”属于扩大夸张，其意思是互联网并不能够决所有 的问题，“像……似的”表示看似是，但其实不是，总体上表示否定。②“像洗冷水澡似的”是打比方 （比喻），表示“凉风飚进他的袖口”的感觉就如同“洗冷水澡”一样，“像……似的”表示“与…… 相似”。(3分)
专题08 圆锥摆与单摆模型(解析版)
2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题08 圆锥摆与单摆模型专练目标 专练内容目标1 圆锥摆模型（1T—8T ）目标2 单摆模型（9T—16T ）一、类平抛模型1．如图所示，同一水平面的皮带轮A B 、通过不打滑的皮带传动，A 轮的半径是B 轮的2倍。
在皮带轮各自的轴上用长度相同的轻绳分别悬挂质量为m 甲和m 乙的甲、乙两个小球，二者质量关系满足=4m m 甲乙 。
两轻绳上端的悬挂点足够高且在同一水平面上，通过外力驱动A 轮，待系统稳定转动后，两轻绳与轴的夹角分别为α和β。
下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两球转动的角速度之比为2∶1B ．甲、乙两球在同一水平面上C ．因为=4m m 甲乙，所以αβ<D ．甲、乙两球受到细绳的拉力大小相等 【答案】D【详解】A ．AB 、通过皮带传动，系统稳定后，A B 、匀速转动，线速度大小相同，即A B v v =，2=A B R R ωω所以::1:2==甲乙A B ωωωω，A 错误；B ．甲、乙两球做匀速圆周运动，设θ为轻绳与轴的夹角，显然02πθ<<，由2tan sin mg m L θωθ=，cos h L θ=得2gh ω=甲、乙两球离悬挂点的高度之比为:4:1=甲乙h h 故甲、乙两球不在同一水平面上，B错误；C ．甲、乙两球做匀速圆周运动，由2tan sin mg m L θωθ=得2cos =gLωθ再由<甲乙ωω得cos cos αβ>故αβ<但此大小关系与质量无关，C 错误； D ．由题知拉力cos ==mg mgLF hθ因=4m m 甲乙且:4:1=甲乙h h 故甲球受到细绳的拉力等于乙球受到细绳的拉力，D 正确。
故选D 。
2．如图所示是一款玩具的简化示意图，当启动开关时，电动机会带动水平转盘绕其中心水平转动，从而带动下面的小玩具转动起来。
已知两个小玩具的质量分别为1m 、2m ，两条细绳的长度分别为1l 、2l 。
专题08应用文写作-2023年高考英语真题题源解密(新高考卷)
专题08 应用文写作（2023·新高考卷I、卷II应用文写作）假定你是李华，外教Ryan准备将学生随机分为两人一组，让大家课后练习口语，你认为这样分组存在问题。
请你给外教写一封邮件，内容包括；1. 说明问题；2. 提出建议。
注意:1. 写作词数应为80个左右：2. 请按如下格式在答题卡的相应位置作答。
Dear Ryan,I’m Li Hua from Class 3.___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ Yours sincerely,Li Hua【参考答案】Dear Ryan,I’m Li Hua from Class 3. I think it’s not a good idea to randomly pair up students for the spoken English training after class. The reasons are as follows.To begin with, randomly pairing up students may lead to unbalanced language abilities within the groups. This can hinder the progress of students as the more advanced one may dominate the conversation, leaving little room for the other students to improve. Besides, students may feel uncomfortable or less motivated if paired with someone who they don’t get along with or have difficulty communicating with.My suggestion is to group students based on their language abilities or to let students choose their own partners. This way, everyone can feel more comfortable practicing and improving their spoken English together.Thank you for considering my suggestion.Yours sincerely,Li Hua【解析】Dear Ryan,【表达观点】I’m Li Hua from Class 3. I think it’s not a good idea to randomly pair up students for the spoken English training after class. The reasons are as follows.the groups. This can hinder the progress of students as the more advanced one may dominate the conversation, leaving little room for the other students to improve. Besides, students may feel uncomfortable or less motivated if paired with someone who they don’t get along with or have difficulty communicating with.their own partners. This way, everyone can feel more comfortable practicing and improving their spoken English together.Thank you for considering my suggestion.Yours sincerely,Li Hua【解析】【导语】本篇是应用文写作，要求考生给外教写一封邮件，告诉他将学生随机分为两人一组，让大家课后练习口语，你认为这样分组存在问题。
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三好网中高级教师在线1对1辅导，专注K12中小学在线一对一辅导，高考辅导、中考辅导，老师质量高，互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！以上资料来源于网络，如有异议，请添加QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！第 1 页 共 8 页专题08 高三▪数学卷（理A ）平面向量注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （ ） A ．()7,3 B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,3【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ， 故选A ．2．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（ ）A 1BA BC - B BA BC - C BA BC +D BA BC +【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：11CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项． 3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号座位号【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．已知平面向量()1,3=a ，(),3x =-b ，且∥a b ，则 ） A ．10 BC ．5D【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ， 则()21,3+=--a b ，即D ．5．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（ ） A ．1- B ．37C ．35-D ．35【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，所以()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，所以()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ．6．若向量a 、b 满足1=a、=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π 【答案】C【解析】()⊥+a a b ，所以，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ，所以2||cos ,=-=⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．单位圆O 中一条弦AB，则·AB OB =（ ） A ．1B C ．2 D ．无法确定【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形， 所以AB 与OB ，·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（ ）三好网中高级教师在线1对1辅导，专注K12中小学在线一对一辅导，高考辅导、中考辅导，老师质量高，互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！以上资料来源于网络，如有异议，请添加QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！第 3 页 共 8 页ABCD【答案】C【解析】向量a 与bC ． 9．在ABC △中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则mn的值为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 又AD mAB nAC =+323n =，故12m n =．故选A ．10．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ．11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（ ） ABCD 【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒所以2222341261+=+⋅=a b a a b +9b，23+a b 22224413+=+⋅+=a b a a b b ，所以2+=a b ()()232cos 23,2232++++==++a b a b a b a b a b a b，所以向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为23cos 23,2+++==a b a b a b ，故选D ． 12．在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2 【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒2AB AC -=，∴(C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则2AB AC x ⋅=-，所以AB AC ⋅的取值范围为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则． 【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，三好网中高级教师在线1对1辅导，专注K12中小学在线一对一辅导，高考辅导、中考辅导，老师质量高，互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！以上资料来源于网络，如有异议，请添加QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！第 5 页 共 8 页14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+m n ．15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ． （1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．【答案】（1（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b，所以2=a +b （2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ，()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．（12，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n，即022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =． （2而由m ，n)1sin cos 2x x -=，三好网中高级教师在线1对1辅导，专注K12中小学在线一对一辅导，高考辅导、中考辅导，老师质量高，互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！以上资料来源于网络，如有异议，请添加QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！第 7 页 共 8 页20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，， （1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件； （2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值． 【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3． 【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =． k ∴满足的条件是12k =． （2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，； 若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OPAB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=，∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=， 22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ， (),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ．（1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =． 【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－a c C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=， 根据正弦定理，可化为()()()0－a a c b c c b -++=，即222a c b ac +-=，又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，所以1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去）， 综上所述，1k =或2k =．。