第九章第六节微分法的几何应用

2 2 1 1 s { , , } { 2 , 2 , 2} ，或取 s { 2 , 2 , 2} ，则 4 4 2 4
切线方程：
x 2 y 2 z 1 2 ； 2 2 2
法平面： 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2( z 1 2 ) 0 ，或 2 x 2 y 2 z 1 0 。 例 2．求曲线 y 2 2mx ， z 2 m x 在点 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切线及法平面方程。
例 3．在曲面 z xy 上求一点，使该点处的法线垂直于已知平面 x 2 y z 9 0 ，并写出法线 的方程。 解：设所求点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，曲面 xy z 0 ，则 f ( x, y ) xy ， f x y ， f y x ； f z 1 ；
xx x 1 2 解：视 x 为参数，曲线参数方程为： y 2mx ，对参数 x 求导： 2 yy 2m z2 m x 2 zz 1
在 ( x0 , y0 , z 0 ) 点处， x 1 、 y 切线方程：
m 1 m 1 } ，从而 、 z ，即 s {1, , y0 2z 0 y0 2 z0
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《高等数学》下册教案
第九章
多元函数微分学
刘伟庆
切线方程：
x x0 y y0 z z0 ； 1 y( x0 ) z ( x0 )
法平面方程： ( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z ( x0 )( z z0 ) 0
x 2 cos 4t 例 1．求曲线 y 2sin 4 t 在 t 1 所对应点的切线及法平面方程。 z 1t 2
x dx (t0 ) ， t dt t t0
y dy z dz (t0 ) ， (t0 ) ；当 M 1 最终与 M 0 重合时，割线到达极限位置，即 t dt t t0 t dt t t0
为切线，从而切线的方程为：
x x0 y y0 z z0 ； (t0 ) (t0 ) (t0 )
y y0 y ，则有 z z0 f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )x ，等式的右端恰是函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的全微分，而等式 z z0 f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )x 表明，全微分的几何意义是在 ( x0 , y0 , z0 ) 处曲面的切平面上 z 坐标的改变量 z z0 。
x 2 sin 4 t 1 解 ： t 1 所 对 应 点 为 ： M 0 ( 2, 2, ) ， 又 y 2 cos 4 t ， 故 2 z 1 2
2 x(1) 4 2 y(1) 4 ； 从 而 z (1) 1 2
取 s {n, m,1} ，为某定直线的方向向量，由于 s n {n, m,1} { f 2 M 0 , f1M 0 , mf1M 0 nf 2 M 0 } 0
表明 s n ，从而曲面 f ( y mz , x nz ) 0 上任意一点处的切平面均平行于定向量 s ，当然平 行于以 s 作为方向向量的定直线。
是曲面 上过 M 0 点的任意一条曲线， 上述结论表明： 曲面 上过 M 0 点的任意一条曲线在 M 0
点的切线都与一确定的向量 n 垂直，从而所有这样的切线均位于过 M 0 点的同一平面上，称此
平面为曲面上 M 0 点的切平面。
由切平面的定义，其法向量为 n {Fx, Fy, Fz}M 0 ，从而切平面的方程为： Fx M ( x x0 ) Fy
其 中 (t ) 、 (t ) 、 (t ) 均 可 导 ， 且 在 t t0 时 导 数 不 全 为 零 ； t t0 对 应 曲 线 上 的 点 为 。 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ， 设曲线上的点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 、 M 1 ( x0 x, y0 y, z0 z ) ，且 t t0 t 对应点 M 1 ，则经 过 M 0 、 M 1 两点的割线的方向向量为：
坐标应成比例，即 方程为：
x 2 y 1 z 2 1 2 1
或
x 2 y 1 z 2 1 2 1
例 4．写出曲面 f ( y mz , x nz ) 0 上任意一点处的切平面方程，并说明所有的切平面均平行 于一定直线。
解： 记 F ( x, y, z ) f ( y mz , x nz ) ， 则曲面 F ( x, y, z ) 0 的切平面的法向量为：n {Fx , Fy , Fz } ； Fx f 2 ， Fy f1 ， Fz mf1 nf 2 。
设空间曲面 的方程： F ( x, y, z ) 0 ， M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 在曲面 上，函数 F 的一阶偏导数连 续且不同时为零。
x (t ) 设曲线 ： y (t ) 是曲面 上过 M 0 点的任意一条曲线， (t0 ) 、 (t0 ) ， (t0 ) 不同时 z (t )
0
M0
( y y0 ) Fz M ( z z0 ) 0
0
过 M 0 点与切平面垂直的直线称为法线，其方程为：
x x0 y y0 z z0 。 Fx M Fz M F y 0 0
M0
特 别， 如果曲面方程为 z f ( x, y ) ，或 f ( x, y ) z 0 ；函数 f 一阶偏导数连续， 记 F ( x, y, z ) f ( x, y ) z ，则 Fx f x ， Fy f y ， Fz 1 ，从而 s { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1} ，此时 切平面方程： 法线方程：
因为切线的方向向量 s { (t0 ), (t0 ), (t0 )} ， 就是法平面的法向量， 因此法平面方程为：
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0 ；
xx y y ( x) 如果空间的曲线是两个柱面的交线形式， 如 ， 则视 x 为参数， 即交线为 y y ( x) ， z z ( x) z z ( x) 则切线方向向量： s {1, y( x), z ( x)} {1, y, z } ；
设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的任意一点，则此点处切平面的法向量为：
n {Fx , Fy , Fz }M 0 { f 2 M 0 , f1M 0 , mf1M 0 nf 2 M 0 }
切平面方程为： f 2 M 0 ( x x0 ) f1M 0 ( y y0 ) ( mf1M 0 nf 2 M 0 ) ( z z0 ) 0 ；
dF dt
0 ，即
t0
(
或
F dx F dy F dz )t 0 x dt y dt z dt 0
Fx( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
x x0 y y0 z z0 m ； 1 21 y0 z0
法平面方程则为：
( x x0 )
m 1 m 1 1 ( y y0 ) ( z z0 ) 0 ，或 x y z x0 m 0 。 y0 2 z0 y0 2 z0 2
二．空间曲面的切平面与法线方程
则 M 0 的 切 平 面 的 法 向 量 为 ： n0 { y, x, 1}M 0 { y0 , x0 , 1} ； 由 于 法 线 垂 直 于 平 面
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x 2 y z 9 0 ，则法向量 n0 { y0 , x0 , 1} 平行于已知平面的法向量： n {1, 2,1} ，则对应的 y0 x0 1 ，由此解得： x0 2 ， y0 1 ，并求得 z0 x0 y0 2 ，故法向 1 2 1 量 n0 {1, 2, 1} 或也可以取 n0 {1, 2,1} ，所求曲面上的点为 M 0 (2, 1, 2) ，经过此点的法线
M
x y z s {x, y, z} ，或 s { , , } t t t
割线的方程为：
M0
x x0 y y0 z z0 x y z
或
x x0
x t

y y0
y t

z z0
z t
当 M 1 沿曲线趋近于 M 0 时， t 0 ，且
三．空间曲线
F ( x, y , z ) 0 的切线与法平面方程 G ( x , y , z ) 0 j Fy Gy k Fz Gz
或 s n1 n2
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第数为 t t0 ，由于曲线 在曲面 上，故 F ( (t ), (t ), (t )) 0 ；又因为复 合函数 F ( (t ), (t ), (t )) 在 t t0 时可导，则其全导数为零，即
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第九章
多元函数微分法及其应用
§6、微分法的几何应用
一．空间曲线的切线与法平面
1．空间曲线切线的定义：曲线的割线的极限位置； 2．空间曲线的法平面的定义：过切点且与该切点的切线垂直的平面；