第一章数学模型与数学建模

第一章 数学模型与数学建模
数学模型(Mathematical Model)：对于一个特定的
对象，为了一个特定的目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

数学建模(Mathematical Modeling)：建立数学模型
的全过程，通常包括问题分析、模型建立、模型求解、结果检验和应用。

下面就是一个数学建模的例子。

例1：新产品的销售量的变化规律
考虑某一种新产品，投入市场后，其销售量通常会经过“先增后逐渐平稳略有下降”这样的过程，这个过程称为产
品的生命周期。

请建立数学模型来描述这个过程。

1．问题分析与合理假设
传播新产品信息有两个途径：（1）广告宣传；（2）已经购买了该产品的消费者，使用后有了体会，向周围人宣传。

潜在的消费者人数（即：有可能购买该产品的总人数）记为N ，以时间t 为自变量，从0到t 时间段内已经购买了该产品的人
数记为x(t)，从t 到t t ∆+时间段内购买人数记为x ∆，则，
x ∆由两部分人组成，第一部分是受广告宣传影响，记为1x ∆，第二部分是受消费者宣传影响，记为2x ∆，即21x x x ∆+∆=∆.
为了能解决本问题，必须做下面一些合理的假设： 假设1：产品销售量大，可以认为x(t)是连续可微函数；
假设2：任何一个还没有购买该产品的潜在的消费者：他（她）受到广告宣传而购买的概率是常数，记为1k ；他（她）受到某一个消费者宣传而购买的概率也是常数，记为.2k
2．模型建立
根据假设2，得
))((11t x N k t x -⋅∆=∆，)())((22t x t x N k t x ⋅-⋅∆=∆，
))())(((21t x k k t x N t
x +-=∆∆，
令0→∆t 得下面数学模型（这是一个微分方程模型） ))())((()(21t x k k t x N t x +-='，且 0)0(=x ， (1)式 其中，21,,k k N 为待定常数，且满足.1,0,2121<+>k k k k 3．模型求解 对微分方程(1)式求解得
t N k k t
N k k e
k N k e N t x )(1
2)(212
111)(+-+-+-=，
可变形为 bt
bt ce
e
a
t x --+-=11)(，其中c b a ,,为待定参数。

(2)式
（下面的求解过程不完整）
根据实际的统计数据⎩⎨
⎧n
n x x x t x t t t t ...
)( (2)
1
21
：：，用最小二
乘法（非线性最小二乘法）计算得350,10000==b a ，
.17500
1110000)(,17500350
350
t t e e
t x c --+-== （看书：P3 图）
4．模型检验
建立的模型(1)式、得到函数(2)式能否应用于实际？能否预测今后的销售情况？ 需要做模型检验。

再从实际中，提取一些新的数据⎩⎨
⎧m
m s s s t x u u u t ...
)( (2)
1
21
：：，用(2)式计算)(i u x ，
这是理论数据，与实际数据i s 比较误差，计算
∑=-m
i i
i
s u x 1
2
)
)((
该数值与原始数据i s 比较，若比较小，则该模型通过了检验，可以它进行预测了。

例1完毕。

数学模型的分类：
按应用领域划分：人口模型、交通模型、经济类模型、企业
规划模型、生态环境模型等。

按数学方法划分：方程模型、优化模型、概率模型、网络模
型、统计模型等。

按所建立的模型结构划分：离散系统模型、连续系统模型。

数学建模方法分两类：机理分析法、测试分析法。

（具体做建模时，常常是两个方法结合使用，如上例。

）
数学建模的基本步骤：
实际问题 → 分析 假设 建立 → 数学模型 ↑验证 ↓分析求解
实际结论/预测 ← 检验 解释 ← 数学结论
最后，再看一个建模例子：计数器的读数。