陕西2012年高考数学(文)试题及答案
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
2012年高考数学理科陕西卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项：1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =-C .1y x =D .||y x x = 3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与 直线1AB 夹角的余弦值为( )A .5 B .5 C .25D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎 叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲, m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( ) A .10 种 B .15 种 C .20 种 D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最 小值为 ( ) A .3B .2 C .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------第二部分（共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）. 11.观察下列不等式213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律,第五个．．．不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽 米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .（几何证明选做题）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB =g .C .（坐标系与参数方程选做题）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.16.（本小题满分12分）函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）,c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不 需证明）.19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分）设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .（Ⅰ）设2,=1,=1n b c -≥,证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；（Ⅱ）设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设n x 是()n f x 在（12,1）内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.办理业务所需的时间（分）12345频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1理科数学答案解析又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=g ，5DF BD ∴=g．a c ∴⊥；ac ∴⊥；。
【题库大全】2005-2012年高考数学(文)试题分项 专题13 统计
专题13 统计2012年高考试题一、选择题(2012高考四川文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A 、101B 、808C 、1212D 、2012 【答案】B【解析】根据分层抽样的概念知N432521129612+++=，解得808=N ，故选B (2012高考陕西文3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 【答案】A.【解析】根据茎叶图可知样本中共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的是45，最大数与最小数的差为68-12=56.故选A.(2012高考新课标文3)在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1【答案】D【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D.(2012高考山东文4) (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差(2012高考江西文6)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为则样本数据落在区间[10,40]的频率为A 0.35B 0.45C 0.55D 0.65【答案】B【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B.(2012高考湖南文5)设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2012年高考数学试题分类汇编第十部分解析几何初步
第十部分 解析几何初步(2012年安徽文) （9）若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（A ） [-3 ，-1 ] （B ）[ -1 ， 3 ]（C ） [ -3 ，1 ] （D ）（- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ） 【解析】选C圆22()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d则 1231d r a a ≤=⇔≤⇔+≤⇔-≤≤（2012年山东卷文）(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离（2012年湖北文）5.过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0（2012年浙江卷理）3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A（2012年浙江卷文）4设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 （2012辽宁卷文）（7）将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0 （2012年陕西卷文）6. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A 。
高考数学(文)专题提分训练：等差数列(含答案解析)[ 高考]
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等差数列高考试题考点一 等差数列的概念与性质1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列;p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )(A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为1,32,2,…,则11a =1, 22a =322=34,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35解析:∵a3+a4+a5=12,∴a4=4,a1+a2+…+a7=12×7×(a1+a7)=7a4=28.故选C.答案:C4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.答案:D5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( )(A)-2 (B)-12(C)12(D)2解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.故选B.答案:B7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=74.故c-a=2d=72.答案:728.(2012年北京卷,文10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 解析:设等差数列{a n }的公差为d, ∵S 2=a 3,∴2a 1+d=a 1+2d,∴a 1=d. 又∵a 1=12,∴d=12, ∴a 2=a 1+d=1,S n =na 1+()12n n d -=14n 2+14n. 答案:114n 2+14n 9.(2011年天津卷,文11)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列首项为a 1,公差为d,由题意可得11216,120201920,2a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩ 解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩∴S 10=10a 1+12×10×9d =10×20+12×10×9×(-2) =110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .解析:由S 2=S 6得a 3+a 4+a 5+a 6=0, 由等差数列性质a 3+a 6=a 4+a 5, ∴2(a 4+a 5)=0, ∴1+a 5=0, ∴a 5=-1. 答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .解析:设等差数列公差为d,则 S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1,① S 6=6a 1+652⨯d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8,②联立①②两式得a 1=-1,d=2, 故a 9=a 1+8d=-1+8×2=15. 答案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .解析:设等差数列的公差为d,首项为a 1,则31522,3,a a d a a d =+⎧⎨-=⎩解得12,3,d a =⎧⎨=⎩ 所以a 6=a 1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d,由题意得()()1111333,28,a d a a d a d +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3,a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5, 或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n-7|=37,1,2,37, 3.n n n n -+=⎧⎨-≥⎩记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时,S 1=|a 1|=4;当n=2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+()()22372n n -+-⎡⎤⎣⎦=32n 2-112n+10. 当n=2时,满足此式.综上,S n =24,1,31110, 1.22n n n n =⎧⎪⎨-+>⎪⎩14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =211n a - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由于a 3=7,a 5+a 7=26,所以a 1+2d=7,2a 1+10d=26, 解得a 1=3,d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n+1,S n =na 1+()12n n -d=n 2+2n.(2)因为a n =2n+1,所以2n a -1=(a n -1)(a n +1)=4n(n+1),因此b n =()141n n +=14(1n -11n +).故T n =b 1+b 2+…+b n=14[(1-12)+(12-13)+…+(1n -11n +)] =14(1-11n +)=()41nn +. 所以数列{b n }的前n 项和T n =()41nn +. 考点二 等差数列的通项和前n 项和公式1.(2013年安徽卷,文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:由S 8=4a 3得()1882a a +=4a 3,即a 1+a 8=a 2+a 7=a 3,所以公差d=a 3-a 2=a 7=-2,a 9=a 7+2d=-2+(-4)=-6.故选A. 答案:A2.(2013年陕西卷,文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (1)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式;(2)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =11nq q--.判断{a n }是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)设{a n }的公差为d, 则S n =a 1+a 2+…+a n=a 1+(a 1+d)+…+[a 1+(n-1)d],又S n =a n +(a n -d)+…+[a n -(n-1)d], ∴2S n =n(a 1+a n ),∴S n =()12n n a a +. (2)当n=1时,S 1=1.当n=2时,S 2=211q q--=1+q,a 1+a 2=1+q,a 2=q.当n=3时,S 3=311q q--=1+q+q 2,a 1+a 2+a 3=1+q+q 2,a 3=q 2;初步断定数列{a n }为等比数列. 证明如下:∵S n =11nq q--,∴a n+1=S n+1-S n =111n q q +---11nq q--=()11n q q q--=q n. ∵a 1=1,q ≠0,∴当n ≥1时,有1n na a +=1nn q q -=q,因此,{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得1125,99,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 可解得19,2,a d =⎧⎨=-⎩所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(n ∈N *).(2)法一 由(1)知,S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2. 因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值. 法二 由(1)知S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2, a n =11-2n 令a n =0得n=5.5, a 5=1,a 6=-1,所以数列{a n }前5项都为正数,从第6项起都是负数, 因此S n 的最大值是S 5,S 5=()1552a a +=()5912⨯+=25. 故当n=5时,S n 取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解:(1)由题意知S 6=515S -=-3, a 6=S 6-S 5=-8,所以115105,58,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得a 1=7,d=-3.所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 即221a +9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d)2=d 2-8, 所以d 2≥8,故d 的取值范围为d ≤或d ≥考点三 等差数列的综合应用1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21解析:∵{a n }是公差不为0的等差数列, 且f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14, ∴[(a 1-3)3+a 1-1]+[(a 2-3)3+a 2-1]+…+[(a 7-3)3+a 7-1]=14, ∴(a 1+a 2+a 3+…+a 7)-7=14, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=21.故选D. 答案:D2.(2011年湖北卷,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) (A)1升 (B)6766升 (C)4744升 (D)3733升 解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,则由已知得()()()()()()1111111233,6784,a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴第5节容积为a 1+4d=6766(升).故选B. 答案:B3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )(A)①和 (B)⑨和⑩(C)⑨和 (D)⑩和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=20[1+2+3+…+(n-1)]+20[1+2+3+…+(20-n)]=20[()12n n-+()()20212n n--]=20×224220212n n-+⨯=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又n∈N*,∴n=10或11.故选D.答案:D模拟试题考点一等差数列的概念与基本运算1.(2013山师大附中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于( )(A)52(B)5 (C)-52(D)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根, 所以a2+a4=1.又S5=()1552a a+=()2452a a+=52.故选A.答案:A2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9等于( )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析:在等差数列中,a 5=a 1+4d=8, S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=6, 即a 1+d=2,解得a 1=0,d=2. 所以a 9=a 1+8d=8×2=16.故选C. 答案:C3.(2013北京市东城区期末)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53(C)2 (D)3 解析:因为a 3=6,S 3=12, 所以S 3=12=()1332a a +=()1362a +, 解得a 1=2,所以a 3=6=a 1+2d=2+2d,解得d=2.答案:C4.(2013云南师大附中检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= . 解析:由S n+1+S n-1=2(S n +S 1) 得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2, 即a n+1-a n =2(n ≥2),数列{a n }从第二项起构成公差为2的等差数列, S 15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:2115.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则89S a 等于 . 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+432⨯d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0. 所以S 8=8a 1+872⨯d=8a 1+28d=36d,所以89S a =1368d a d +=369d d=4. 答案:46.(2012莱芜检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=12,S n =n 2a n -n(n-1),n=1,2,… (1)求证数列1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求S n ; (2)设b n =323n S n n +,求证b 1+b 2+…+b n<512. 解:(1)由S n =n 2a n -n(n-1)知 当n ≥2时,S n =n 2(S n -S n-1)-n(n-1), 即(n 2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),∴1n n +S n -1n n -S n-1=1,对n ≥2成立.又111+S 1=1,∴1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. 1n n+S n =1+(n-1)·1, ∴S n =21n n +.(2)b n =323n S n n +=()()113n n ++=12(11n +-13n +), b 1+b 2+…+b n =12(12-14+13-15+…+1n -12n ++11n +-13n +)=12(56-12n +-13n +)<512.考点二 等差数列的最值问题1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为( )(A)66S a (B)77S a (C)99S a (D)88S a 解析:由S 15=()115152a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=()116152a a +=()98152a a +<0,得a 9+a 8<0,所以a 9<0,且d<0.所以数列{a n }为递减的数列.所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11Sa >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8, 所以88S a >11S a >0, 所以最大的项为88S a . 答案:D2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=61n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7.答案:A3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一 等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数.∵S 3=S 11,3112+=7, ∴n=7时,S n 最大.又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二 由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大,可知10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩∴132≤n ≤152, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+762⨯×d=49,故S n 的最大值是49. 考点三 等差数列与其他知识的综合应用1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)201解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线, ∴a 1+a 200=1. ∴S 200=()12002002a a +=100.答案:A3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )(A)12(B)-12(C)2(D)-2解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0.则公差d=3ππ223-=π3.所以m=cos(π2+π3)=-2.答案:D4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n(n∈N*),a1=3,S3=39.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求1nd⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和T n.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a1=3,S3=39,∴q≠1,∴()3311q q--=39,∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0, ∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n.(2)∵a n =3n ,则a n+1=3n+1,由题意知a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231nn ⋅+.则1n d =123nn +⋅, 所以T n =11d +21d +…+1n d =223⨯+2323⨯+…+123n n +⨯① 13T n =2323⨯+3323⨯+…+1123n n ++⨯② ①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1123n n ++⨯ =13+12×111193113n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--1123n n ++⨯ =512-12243n n ++⨯, 所以T n =58-5283nn+⨯.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:∵S 13=13a 7=39, ∴a 7=3,又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,所以数列{a n }成等差数列.若数列{a n }成等差数列,设公差为d,则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12.所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件.答案:A3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在解析:由已知得()120202a a +=100,∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=1202a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=102⎛⎫ ⎪⎝⎭2=25. 答案:A4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3, 31a =33, ∴a 1=3,故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n. 答案:a n =3n5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得()()11198918,21240,2530,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ 即 ()11142, 1240,2530,a d n a d n a n d +=⎧⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③③-①得(n-9)d=28, 由③-②得()92n d -=30-240n,则n=15.答案:156.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴1n b =()12n n +=12(1n -12n +), ∴T n =12(1-13+12-14+…+1n -12n +) =12(32-11n +-12n +)=()()235412n n n n +++.。
2012年陕西高考数学文科试卷带详解
2012陕西高考数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =…，则M N = （ ） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ． [1,2] 【测量目标】集合的基本运算．【考查方式】解不等式，用描述法表示集合，求两集合的交集． 【参考答案】C【试题解析】{}{}{}1,22,12, C.M x x N x xM N x x =>=-∴=< 故选剟?2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 【测量目标】函数单调性和奇偶性的判断．【考查方式】一一列举各种函数，直接考查函数的奇偶性和单调性． 【参考答案】D【试题解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D ．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）第3题图A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 【测量目标】茎叶图．【考查方式】给出茎叶图直接计算平均数，众数，极差． 【参考答案】A【试题解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56．所以选A ．4．设,a b ∈R ，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】复数的基本概念，充分必要条件的逻辑关系． 【考查方式】用复数的代数式直接考查充分必要条件． 【参考答案】B【试题解析】当0ab =时，0a =或0b =，i b a +不一定是纯虚数，反之当iba +是纯虚数时，因此B 正确．5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ． q =NM B ． q =MNC ． q =NM N +D ． q =MM N+【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】用算法计算及格和不及格的人数，补充算法中所需的条件． 【参考答案】D【试题解析】因为执行判断框“是”计算的及格的总分数M ，“否”统计的是不及格的成绩，所以及格率.Mq M N=+选D ．6．已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 （ ） A ．l 与C 相交 B ． l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ． 以上三个选项均有可能【测量目标】点，直线与圆的位置关系．【考查方式】给出圆的一般方程和过直线点的坐标，直接判断直线和圆的位置． 【参考答案】A【试题解析】因为点P （3,0）在圆的内部，所以过点P 的直线必与圆相交．选A ． 7．设向量a =（1,cos θ）与b =（1-，2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ） A．2B ．12C ．0D ．1-【测量目标】平面向量的数量积运算，二倍角公式．【考查方式】给出向量坐标，根据向量垂直的关系式，利用2倍角公式转化，求值． 【参考答案】C【试题解析】220,12cos 0cos22cos 10θθθ⊥∴=∴-+=∴=-= a b a b 正确的是C ． 8．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）图1 图2第8题图AB C D【测量目标】平面图形的直观图和三视图.【考查方式】通过观察想象图形的三视图，得出答案． 【参考答案】B【试题解析】因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形，其中1D A 的正投影是 正方形的对角线（实线），1B C 的正投影被遮住是虚线，所以B 正确．9．设函数2()ln f x x x=+ 则 （ ） A ．x =12为f (x )的极大值点 B ．x =12为f (x)的极小值点C ．x =2为 f (x )的极大值点D ．x =2为 f(x )的极小值点 【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】对所给函数求导，判断导函数的单调性，求出极值点． 【参考答案】C【试题解析】22212()x f x x x x-'=-+= ，当2x >时，()0f x '>；当2x <时()0f x '<，2x ∴=时极小值点．选C ．10．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a < b ），其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a <vB ．vC ．v <2a b + D ．v =2a b+ 【测量目标】基本不等式与应用．【考查方式】通过一个实际问题列出不等式，并用均值不等式求出题中代数的关系式． 【参考答案】A【试题解析】设从甲地到乙地所走的路程为S ，则22221122,, A.2S ab v S S a b a ba bab a a b v a a v a b a==<=+++<∴=>=∴<<+ =二．填空题11．设函数发0()1,02x x f x x ⎧⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩…，则f （f （4-））=______【测量目标】分段函数值的求解．【考查方式】给出分段函数的解析式，直接求出函数值． 【参考答案】4【试题解析】41(4)()16,((4))(16)42f f f f --==∴-== ．12．观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111512343+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 ____________________________ 【测量目标】合情推理．【考查方式】从给出的几个不等式的特征猜出一般的规律，得到答案． 【参考答案】2222211111111++.234566+++< 【试题解析】观察这几个不等式可以发现左边分母从1、2、3、4、5的平方依次增加1后的 平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和， 于是有：2222211111111++.234566+++<13. 在三角形ABC 中，角A ,B ,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a =2 ，B =π6，c b =_______【测量目标】解三角形．【考查方式】给出两边和一角，利用余弦定理直接求出三角形一边长． 【参考答案】2【试题解析】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理得b =2．14．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米【测量目标】抛物线的简单几何性质．【考查方式】用实际问题给出有关抛物线的数据，并计算出抛物线的标准方程，继而求出 水面的宽度．【参考答案】【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点A （2，2-）则抛物线方程为2222,2=2(2),2=2,2,x py p p x y =---∴=-代入得当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B （a ,3-)则代入抛物线方程得：a 因此水面宽15.A （不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-…成立，则实数a 的取值范围是____【测量目标】绝对值不等式．【考查方式】直接根据绝对值不等式的性质求出a 的取值． 【参考答案】24a -剟【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得)(1)3,13,2 4.x a x a a ---∴--（剟剟15 B （几何证明选做题）在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB = 【测量目标】相似三角形的性质，相交弦定理．【考查方式】从圆中相似三角形得到相似比，再根据圆中相交弦定理得出结果． 【参考答案】5【试题解析】22Rt Rt ,,=,=15 5. 5.DF DEDEF DEB DE DF BD DE BDDE AE EB DF BD ∴==⨯=∴= △△即又由相交弦定理得 15 C （坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 【测量目标】极坐标方程．【考查方式】将给出极坐标化成普通方程，再由勾股定理求弦长．【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线 三．解答题：16.已知等比数列{}n a 的公比为q =12-． （1）若3a =14，求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ，k a ，2k a +，1k a +成等差数列【测量目标】等比数列的前n 项和及等差数列的性质．【考查方式】给出公比和数列一项求出首项，再求出等比数列前n 项和；并根据等比数列的概念和通项公式进行证明． 【试题解析】解：（1）由通项公式可得2311111()1,(1)241111()2()22.131()2n n n a a a S -=-==⎡⎤⨯--+-⎢⎥⎣⎦==--得步骤再由等比数列求和公式得：（步骤2）（2）证明：112111112121121,2()2()11(21)(2()()1)0,222()0,k k k k k k k k k k k k a a a a q a q a q a q q q a q a a a +-++--++∈∴-+=-+=--=----=∴-+=∴+N 成等差数列.（步骤3）17． （本小题满分12分）函数π()sin()16f x A x ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【测量目标】三角函数的图象和性质、由函数图象求解析式．【考查方式】根据图象的性质求出函数的各项系数，得到三角函数解析式；利用解析式和三角函数的关系判断出所给角度的大小． 【试题解析】1)132π2π,π.222π()2sin(2) 1.6A A T T Tf x x ω+=∴=∴==∴==∴=-+ 解：（，，又函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期，，（步骤1）（步骤2）ππ12()2sin()12,sin(),2662ππππ0,,2663πππ,.663f ααααααα=-+=∴-=<<∴-<-<∴-=∴= （）（步骤3）（步骤4）（步骤5）18．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C - 中，1AB AA =，π2CAB ∠=． （1）证明11CB BA ⊥；（2）已知2AB =，BC =，求三棱锥11C ABA -的体积． 【测量目标】垂直关系的证明，直三棱柱体积的计算．【考查方式】由线面垂直到线线垂直之间的不断转化.体积公式求解三棱柱体积．【试题解析】（1）如图，连结1AB , ∵111ABC A B C -是直三棱柱，π2CAB ∠=．， ∴AC ⊥平面11ABB A ，∵1BA ⊂平面11ABB A ∴1AC BA ⊥．（步骤1）又∵1AB AA =，∴四边形11ABB A 是正方形，∴11BA AB ⊥，又1CA AB A = ， ∴1BA ⊥平面1CAB ，∵1CB ⊂平面1CAB ，∴11CB BA ⊥．（步骤2）（2）∵12AB AA ==，BC =，∴111AC AC ==．（步骤3） 由（1）知，11AC ⊥平面1ABA ， ∴1111111221333C ABA ABA V S AC -==⨯⨯= △．（步骤4） 19．（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：甲品牌 乙品牌（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【测量目标】频率分布直方图． 【考查方式】通过频率直方图直接计算概率，据总体计算出甲达到要求的数量计算所求概率．【试题解析】5+2011200=10041200.4解：（）根据题意知：甲品牌产品寿命小于小时的频率为，因为用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于小时的概率为 2+=751515=.1452929（）有抽样结果，寿命＞200小时的产品有7570145个，其中甲品牌产品75个，因而在样本中寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，由此估计概率为 20．（本小题满分13分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点,A B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线的方程，直线与椭圆的位置关系．【考查方式】给出一个椭圆的标准方程求另一个与之有相同离心率的椭圆方程，根据点在直线上，点在椭圆上的坐标关系求出过两点的直线标准方程．【试题解析】（1）由已知可设椭圆2C 的方程为2221(2)4y x a a +=>，（步骤1）∵椭圆1C 和椭圆2C的离心率为2，=4a =． ∴椭圆2C 的方程为221164y x +=．（步骤2） （2）设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由2OB OA =及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，∴可设直线AB 的方程的方程为y kx =．（步骤3）∴椭圆2C 的方程为221164y x +=，由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得212414x k =+，由221164y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222164x k =+，（步骤4） 由2OB OA = ，得22214x x =，即221616414k k =++， 解得1k =±，∴直线AB 的方程为y x =或y x =-．（步骤5） 21．（本小题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c =++∈∈*N R ．（1）设2,1,1n b c ==-…，证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点； （2）设n 为偶数，(1)1,(1)1f f -剟，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，求b 的取值范围． 【测量目标】函数零点的求解和判断，求函数的最大最小值，函数性质的综合应用． 【考查方式】通过问题条件解出函数解析式，根据原函数单调性确定零点；计算具体函数值的代数形式，依靠不等式判断代数和的大小；以及利用分析推理论证，运算等方式解决更深层次的函数导数问题．【试题解析】(1)当2,1,1n b c ==-…时，()1n n f x x x =+-， ∵111()(1)(())10222nn n f f ⋅=-⨯<，（步骤1） ∴()n f x 在区间1(,1)2内存在零点．又∵1(,1)2x ∈，1()10n n f x nx -'=+>，（步骤2）∴()n f x 在区间1(,1)2上是单调的，∴()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点．（步骤3）（2）由题意，知(1)1(1)1f b cf b c -=-+⎧⎨=++⎩，∴(1)(1)2f f b --=，(1)(1)12f f c +-=-，（步骤4）∴32(1)(1)3b c f f +=+--，∵1(1)1,1(1)1f f ---剟剟，∴630b c -+剟，∴3b c +的最小值为6-，最大值为0．（步骤5）（3）当2n =时，22()f x x bx c =++．对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122()()4f x f x -…，（步骤6）等价于2()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值之差4M …,据此分类讨论如下： （ⅰ）当12b >，即2b >时，22(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾；（步骤7） （ⅱ）当102b -<-<，即02b <…时，（步骤8） 222(1)()(1)422b b M f f =--=+…恒成立； （ⅲ）当012b -剟，即20b -剟时， 222(1)()(1)422b b M f f =---=-…恒成立； 综上可知，22b-剟．（步骤9）。
2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P 点，可得出直线l与圆C相交．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．解答：解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．点评：本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．解答：解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a 的值．解答：解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．解答：解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．解答：解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．解答：（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）考点：向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：证明题．分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n 对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于α），c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．考点：数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据fn（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）＜0可得f n+1（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结论．解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n （x n+1）．由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，故f n+1（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．。
2012年高考数学理科陕西卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项：1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =( ) A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =- C .1y x = D .||y x x =3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( ) A .l 与C 相交 B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与 直线1AB 夹角的余弦值为( )ABCD .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎 叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( )A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人 输赢局次的不同视为不同情形）共有( ) A .10 种B .15 种C .20 种D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最 小值为 ( )ABC .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP = B .41000NP =C .1000MP = D .41000MP =第二部分（共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）. 11.观察下列不等式213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律,第五个．．．不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽 米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .（几何证明选做题）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则D F D B = .C .（坐标系与参数方程选做题）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.16.（本小题满分12分）函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线, b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）,c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不 需证明）.19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. （Ⅰ）求椭圆2C 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =,求直线AB 的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分）设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .（Ⅰ）设2,=1,=1n b c -≥,证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；（Ⅱ）设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设n x 是()n f x 在（12,1）内的零点,判断数列23,,,n x x x的增减性.数学试卷 第8页（共24页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析【解析】{|M x ={|1M N x =【提示】根据集合的表示法（描述法）即可求出集合的交集． (2,2,1)AB ∴=-，(0,2,BC =1220cos ,AB BC -⨯+=5 / 12【解析】()(1f x '=1,)-+∞递增，12)20C =．数学试卷 第11页（共24页）数学试卷 第12页（共24页）【解析】15r r T C +=【提示】根据二项式定理及其性质求出【解析】1()f x x'=其中最优解是(0,7 / 12【解析】Rt DEF △DF BD ， 又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=，5DF BD ∴=．F D B ，然后根据相交弦定理求出结果．【考点】直线和圆的位置关系相交弦定理 【答案】3 （Ⅰ）13A +=又函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，（Ⅱ）2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭数学试卷 第15页（共24页）数学试卷 第16页（共24页）π02α<<π6α∴-<（Ⅰ）5a ，3a ，（等差中项法）k +∈N ，1(k S S ++-（公式法）22k a S =21)k q a +-+0(2)q =-，9 / 12向向量分别为a ，b ，c ，n，则b ，c ，n 共面，使c b n λμ=+，0a c a b n a b a n λμλμ∴=+=+=（）（）（）， πa ⊂，πn ⊥， 0a n ∴=，0a c ∴=， a c ∴⊥；（利用垂直关系证明）如图，c b A =，a b ⊥，PO b P =，a ∴⊥平面c ⊂平面a c ∴⊥；数学试卷 第19页（共24页）数学试卷 第20页（共24页）32e =，241a ∴-2OB OA =，O ∴，A ，B 三点共线且不在∴14k +2OB OA =，21224x x ∴=，11 / 121(1)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴在又当数学试卷 第23页（共24页） 数学试卷 第24页（共24页） 数列2x ，3x ，…，n x ，…是递增数列．【提示】先把解析式中未知数代入，结合零点存在定理证明；根据解析式最大值判断b 范围；根据零点判断增减性．【考点】函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合运用。
2012年高考真题——数学理(陕西卷)试题及答案word版
2012年陕西省高考理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）、1、 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ C ）（A ） (1,2) （B ） [1,2) （C ） (1,2] （D ） [1,2] 2、 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ）（A ） 1y x =+ （B ） 3y x =- （C ） 1y x= （D ） ||y x x = 3、 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 4、 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ A ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能5、 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ A ）（A ）（B （C ）（D ） 356、 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ B ）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙（B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙 （C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙 （D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙7、 设函数()x f x xe =，则（ D ）（A ） 1x =为()f x 的极大值点 （B ）1x =为()f x 的极小值点 （C ） 1x =-为()f x 的极大值点 （D ）1x =-为()f x 的极小值点8、 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ）（A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种9、 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）（A ）（B ） 2（C ） 12 （D ） 12-10、 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）（A ） 1000NP = （B ） 41000NP =（C ） 1000MP =（D ） 41000MP =二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、 观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111712344+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 2222211111111++234566+++<、 12、 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 1 。
2012年陕西高考数学试题(理数)
（2）证明：对任意 k ∈ N + ， S k +2 ,
S k , S k +1 成等差数列．
【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0,0） ， 设 l 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（-2，-2） ，B（2，-2） 设抛物线的解析式为 y = ax 2 ，则有 − 2 = a × (− 2) ，∴ a = − ∴抛物线的解析式为 y = −
2a1 (1 − q k ) 1− q =
，
证法二：对任意 k ∈ N + ， 2S k =
Sk + 2 + Sk +1 =
a1 (1 − q k + 2 )
1− q
+
a1 (1 − q k +1 )
1− q
a1 ( 2 − q k + 2 − q k +1 )
1− q
，
2S k − ( S k + 2 + S k +1 ) =
【解析】观察不等式的左边发现，第 n 个不等式的左边= 1 +
右边=
2(n + 1) − 1 1 1 1 1 1 11 ，所以第五个不等式为 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < . n +1 2 3 4 5 6 6
．
12. ( a + x) 5 展开式中 x 2 的系数为 10， 则实数 a 的值为 【答案】1
2012年陕西省高考数学试卷文科答案与解析
2012年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）2）M∩N=（陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x≤4}，则20121．（5分）（?2] [1，（1，2] D．1，2）B．[1，2）C．（A．对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．考点：计算题．专题：N．M∩先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出分析：2解答：，x≤2}N={x|x ≤4}={x|﹣2≤，解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1} ，x≤2}∴M∩N={x|1＜．故选C属于基础题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，点评：本题．）分）（2012?陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（2．（52=x|x| yy=x+1 D．C ．．A．B ﹣xy=考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012?陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图）（，则该样本的中位数、众数、极差分别是（如图所示）．A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差专算题分析接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可解答：由题意可知茎叶图共3个数值，所以中位数为11个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．4．（5分）（2012?陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件充分必要条件C．D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；，所以ab=0，0=a复数﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．5．（5分）（2012?陕西）如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q ）的程序框图，则图中空白框内应填入（．A．B．C．D．q=q=q= q=考点：循环结构．专题：计算题．分析：通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解答：解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入．故选D．本题考查循环框图的应用，考查计算能力．点评：22）3，0）的直线，则（：Cx+y﹣4x=0，l为过点P（（6．5分）（2012?陕西）已知圆相切与．lC A．l与C相交 B 上三个选项均有可能D．以l与C相离C．线与圆的位置关系．：直考点计：算题．专题，利用两点间的距离公式求出C坐标和半径r 分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心Pl过，可得出P在圆C内，再由直线间的长，记作P与圆心Cd，判断得到d小于r 相交．与圆点，可得出直线lC22解答：=4）+y，解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2 r=2，0（2，），半径C∴圆心又P（3，0）与圆心的距离d= ，2=r＜=1 点，l过P内，又直线在圆∴点PC 与圆则直线lC相交．．A故选．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式以及点与圆的位置关系直线与圆的位置关系的关系来确定时线与圆相交；d=时，直线与圆相切；时，直线与圆相离表示圆心到线的距离为圆的半径7．（5分）（2012?陕西）设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）0 C．D．．﹣1．AB考倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系专算题分析两向量的坐标，以及两向量垂直根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积，得2co的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，22cosθ﹣1的值代入即可求出值．解答：解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，2 =0，，即﹣1+2cosθ?∴=02．θ﹣1=0则cos2θ=2cosC 故选熟练掌握公式此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，点评：及法则是解本题的关键．所示的几何体，截去两个三棱锥，得到图2?陕西）将正方体（如图1所示）（8．5分）（2012 ）则该几何体的左视图为（A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．解答：解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD在右侧的射影是正方形的对角线，1BC在右侧的射影也是对角线是虚线．1如图B．．B故选．点评题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力9．（5分）（2012?陕西）设函数f（x）=+lnx，则（）A．B．x=为f（x）的极小值点x=为f（x）的极大值点D．x=2为=2为f（x）的极大值点C．f（x）的极小值点x考用导数研究函数的极值专算题；压轴题分析求出其导函数，并找到导函数大和小对应的区间，即可求出结论解答：解：∵f（x）=+lnx；∴f′（x）=﹣+=；x＞2?f′（x）＞0；0＜x＜2?f′（x）＜0．∴x=2为f（x）的极小值点．故选：D．点评：本题主要考察利用导数研究函数的极值．解决这类问题的关键在于先求出其导函数，并求出其导函数大于0和小于0对应的区间．10．（5分）（2012?陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．B．C．D．a＜v＜v= ＜v＜v=考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题．分析：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小解答：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S则v==∵0＜a＜b＞a+b∴．∴=∵v﹣a==a＞∴v综上可得，A 故选比较法中的比差法在比较大小中的点评：本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，应用．分，二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5 共25分）．4=，则f（f（﹣4））=?11．（5分）（2012陕西）设函数发f（x）数的值．函考点：计算题．专题：））的值．（﹣4 4），然后再求ff（利分析：用分段函数先求f（﹣解答：解：因为函数，所以f（﹣4）==16，所以f（f（﹣4））=f（16）==4．故答案为：4．点评：本题考查函数的值的求法，注意分段函数的定义域的应用，考查计算能力．12．（5分）（2012?陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数由分析：和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号的关系2n+，分母是不等式的序n+，得出个不等式，即可得到通式，再n=，即可得出第五个不等解答：由已知中的不等1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性13．（5分）（2012?陕西）在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=2．余弦定理．考点：计算题．专题：即可．分析：由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b解答：2222×=4．2×2 ×2accosB=2b解：由余弦定理可知=a+c﹣+﹣2因为b是三角形的边长，所以b=2．故答案为：2．点评：本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2012?陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．物线的应用．抛：考点．算题；压轴题．计专题，得到抛物线方程，再y建立直角坐标系，点代入抛物线方程求分析进而得到答案代入抛物线方程求解答=m：如图建立直角坐标系，设抛物线方程=m，）代2m2=，，﹣3）得xx=﹣2y，代入B（x∴00m．故水面宽为2故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15．（5分）（2012?陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF?DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE?EB=CE?ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射2影定理得：DE=DF?DB=5，即得答案；22，从而可得=11）+y﹣C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x 相交弦长．3成立，﹣a|+|x﹣1|≤|xA解答：解：．∵存在实数x使的距离加上它到1的距离，xa|+|x而|x﹣﹣1|表示数轴上的到a ，3≤1|﹣a|+|x﹣|x之间时满足AB的点位于a，由图可得：当表示3又最大值等于故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE?CE=AE?EB=1×5=5，即DE=．2在Rt△EDB中，由射影定理得：DE=DF?DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；222 x+y=2x，θ的普通方程由ρ=2ρcosθ得：又圆ρ=2cos22）+y=1，∴（x﹣1x=的距离为，，∴圆心（10）到直线∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2012?陕西）已知等比数列{a}的公比为q=﹣．n（Ⅰ）若a=，求数列{a}的前n项和；n3（Ⅱ）证明：对任意k∈N，a，a，a成等差数列．k+1+kk+2考点：等比数列的前n项和；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：2（Ⅰ）由a==aq，以及q=﹣可得a=1，代入等比数列的前n项和公式，运算131求得结果．2代q=﹣1），把（a+a）为2q﹣q﹣（化简∈（Ⅱ）对任意kN，2a﹣k+1+k+2k入可得2a﹣（a+a）=0，故a，a，a成等差数列．k+1kk k+1k+2k+2解答：2解：（Ⅰ）由a==aq，以及q=﹣可得a=1．131∴数列{a 项和n的前}nn k+1﹣﹣=+a）=2aq∈N，2a﹣（a（Ⅱ）证明：对任意k1k +k+2k+12．（2q﹣q﹣1）2成等差a，a，+a）=0，故a2a把q=﹣代入可得2q﹣q﹣1=0，故﹣（a k+1k+1kk k+2k+2数列．项和公式的应n本题主要考查等差关系的确定，等比数列的通项公式，等比数列的前点评：用，属于中档题．）的最大值＞0＞0，ω（A17．（12分）（2012?陕西）函数，3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为为）求函数f（x）的解析式；1（，则，求α的值．（2）设考y=Asix）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值专角函数的图像与性质分析）通过函数的最大值求，通过对称轴求出周期，求，得到函数的解析式（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．﹣故函数的解析式为y=2sin（2x．+1），所以（2）∵，∴，∵∴，∴，∴．）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简φx+ω（y=Asin题考查由本点评：求值，考查计算能力．分）（2012?陕西）直三棱柱ABC﹣ABC中，AB=AA18．（12，∠CAB=．1111⊥BA；（Ⅰ）证明：CB11﹣ABA的体积．（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C11考线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积专算题；证明题分析）连A，根AB是直三棱柱，得到平AB⊥平AB，AA，可A⊥平AB，从而AB，再在正方AB中AB最后根据线面垂直的判定定理得B⊥平AC所CB1（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣ABC中，AC=AC=1且AC⊥平面ABBA，得到AC是三棱锥C﹣ABA11111111111的高，且它的长度为1．再根据正方形ABBA面积得到△ABA的面积，最后根据111锥体体积公式，得到三棱锥C﹣ABA的体积为．11解答：解：（I）连接AB，1∵ABC﹣ABC是直三棱柱，111∴平面ABC⊥平面ABBA，11又∵平面ABC∩平面ABBA=AB，AC⊥AB，11∴AC⊥平面ABBA，11?平面ABBA，∴AC⊥BA，∵BA 1111∵矩形ABBA中，AB=AA，111∴四边形ABBA是正方形，11∴AB⊥BA，11又∵AB、CA是平面ACB 内的相交直线，11∴BA⊥平面ACB，11?平面ACB，∴CB⊥∵CBBA；1111（II）∵AB=2，BC=，∴Rt△ABC中，AC==1∴直三棱柱ABC﹣ABC中，AC=AC=1 11111又∵AC∥AC，AC⊥平面ABBA，1111∴AC是三棱锥C﹣ABA的高．1111∵△ABA的面积等于正方形ABBA 面积的一半111．2=2=AB∴三棱锥C﹣ABA的体积为V=C×A=．×1111点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题．19．（12分）（2012?陕西）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）先从频数分布图中得到甲品牌产品寿命小于200小时的个数，与总数相比求出频率，即可得到概率；（Ⅱ）先求出已使用了200小时的产品总数，再找到是甲品牌的个数，二者相比即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为：=，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为：．（Ⅱ）根据抽样结果寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，．小时的产品是甲品牌的频率是200所以在样本中，寿命大于用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为：．点评题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力是对基础知识的考察，解题的关键在于能读懂频数分布直方图．2C的长轴为短轴，且与C，椭圆以C+y（13分）2012?陕西）已知椭圆C：=120．（1211有相同的离心率．的方程；）求椭圆C（12=2，求直线2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C和C上，AB的方程．（21线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质考专合题；压轴题．分析：的长轴为短轴，C离心率，根据椭圆C以1（）求出椭圆的长轴长，12且与C有相同的离心率，即可确定椭圆C的方程；21（2）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），根据，可设AB的方程BABA，即可求得A，B的横坐标，利用和为y=kx，分别与椭圆CC联立，求出21的方程．直线AB解答：的长轴长为4，离心率为（解：1）椭圆∵椭圆C以C的长轴为短轴，且与C有相同的离心率121∴椭圆C的焦点在y轴上，2b=4，为2a=4 ，∴b=2；C的方程为∴椭圆2（2）设A，B的坐标分别为（x，y），（x，y），BABA∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx22 x=4，∴1+4k将y=kx代入，消元可得（）22 =16，∴x4+k代入将y=kx，消元可得（），=4，∴∵．∴，解得k=±1，A的方程yx点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．n R），c∈（n∈N，b（14分）（2012?陕西）设函数f（x）=x+bx+c21．+n）内存在唯一的零点；）在区间（，1﹣1，证明：f（x）设（1n≥2，b=1，c=n的最小值和最大值；1，求b+3c（1）|≤，）设n为偶数，|f（﹣1）|≤1|f（2|f，有，1]∈[﹣1 的取值范围．，求bx）|≤4（x，若对任意（3）设n=2x，x）﹣f（222211数恒成立问题；函数零点的判定定理；简单线性规划的应用考算题；证明题；综合题；压轴题专：分析：n，再用导数）＜0）f（1）x=x+x﹣1，易求f（1（）当b=1，c=﹣1，n≥2时，f（nnn判断f（x）的单调性即可使结论得证；（2）解法一，由题意知，即，作出图，用线性规划的知识即可使问题解决；解法二，由﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0①，﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0②，由①②可求得：﹣6≤b+3c≤0，问题即可解决；解法三由题意知，解得b=，c=，b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，由﹣6≤b+3c≤0，可得答案；2∈[﹣1，1]，有|f（x）﹣f（x）|，f（3）当n=2时，（x）=x+bx+c，对任意xx≤4，222121等价于在[﹣1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论解决即可．n解答：解：（1）当b=1，c=﹣1，n≥2时，f（x）=x+x﹣1n∵f（）f（1）=（﹣）×1＜0，nn内存在零点，f（x）在区间∴n n1﹣又当x∈（，1）时，f′（x）=nx+1＞0，n∴f（x）在（，1）上单调递增，n∴f（x）在区间内存在唯一的零点；n）解法由题意，由图象知b+3c在点（0，﹣2）取到最小值﹣6，在点（0，0）处取到最大值0，∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；解法二由题意知﹣1≤f（1）=1+b+c≤1，即﹣2≤b+c≤0，①﹣1≤f（﹣1）=1﹣b+c≤1，即﹣2≤﹣b+c≤0，②①×2+②得：﹣6≤2（b+c）+（﹣b+c）=b+3c≤0，当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0时，b+3c=0；∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；解法三由题意知，解得b=，c=，∴b+3c=2f（1）+f（﹣1）﹣3，∵﹣1≤f（﹣1）≤1，﹣1≤f（1）≤1，∴﹣6≤b+3c≤0，当b=0，c=﹣2时，b+3c=﹣6；当b=c=0，时，b+3c=0；∴b+3c的最小值为﹣6，最大值为0；2|f]，有﹣[1，1∈，≤4（x）|对任意f（3）当n=2时，（x）=x+bx+c，x，x（x）﹣f2112222，据此分类讨论如下：4上最大值与最小值之差M≤等价于在[﹣1，1]，与题设矛盾；＞4f（﹣1）|=2|b|1，即（i）当＞1|b|＞2，M=|f（）﹣22（ii）当﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2时，M=f≤4恒成立，（1）﹣f（﹣）=22（iii）当0≤恒成立，≤4 ﹣≤1，即﹣2≤b≤0时，M=f（﹣1）﹣f（﹣）=22．2≤b≤2综上所述，﹣．点评题考查函数恒成立问题，考查函数零点存在性定理的应用，考查线性规划的应用，也考查不等式的性质，考查绝对值的应用，渗透转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想的考查，综合性极强，运算量大，难度高，属于难题．。
2012年高考数学真题汇编16 选考内容 文(解析版)
2012高考试题分类汇编：16：选考内容1.【2012高考陕西文15】（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a . 2.【2012高考陕西文15】（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，则AED ∆∽DEB ∆，BEDEDE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDEDE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 3.【2012高考陕西文15】（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-.4.【2012高考天津文科13】如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为 .【答案】34 【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽ABC ∆，AC CFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 5.【2012高考湖南文11】某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.6.【2012高考湖南文10】在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______.【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.7.【2012高考广东文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 【答案】(2,1)【解析】曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤，曲线2C 的方程为1y x =-， 由2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1). .8【2012高考广东文15】（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .【解析】由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB ADAC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =. 9.【2012高考辽宁文24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…｝。
20.三角函数的化简求值
1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4） 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文） 观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（ ）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （ ）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理 已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （ ）（A ） （B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝ ． 【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（ ）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文 已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。
陕西数学高考试题及答案
陕西数学高考试题及答案### 陕西数学高考试题及答案解析#### 一、选择题（共10题，每题5分）1. 题目：已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B。
答案：A∩B={2,3}。
2. 题目：若函数f(x)=2x-3，求f(-1)。
答案：f(-1)=2*(-1)-3=-5。
3. 题目：若sin(α)=0.6，求cos(α)的值。
答案：根据正弦与余弦的关系，cos(α)=±√(1-sin²(α))=±√(1-0.36)=±0.8。
4. 题目：若a=3，b=4，求a²+b²的值。
答案：a²+b²=3²+4²=9+16=25。
5. 题目：若圆的半径为5，求圆的面积。
答案：圆的面积S=πr²=π*5²=25π。
6. 题目：若直线y=2x+3与x轴相交，求交点坐标。
答案：当y=0时，2x+3=0，解得x=-3/2，交点坐标为(-3/2, 0)。
7. 题目：若一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
答案：第5项a_5=a_1+(n-1)d=2+(5-1)*3=14。
8. 题目：若抛物线y=x²-4x+4，求顶点坐标。
答案：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))=(-(-4)/2*1, (4-16+4))=2, 0。
9. 题目：若向量a=(2,3)，b=(-1,4)，求a·b。
答案：a·b=2*(-1)+3*4=-2+12=10。
10. 题目：若等比数列的首项为1，公比为2，求第4项的值。
答案：第4项a_4=a_1*r³=1*2³=8。
#### 二、填空题（共5题，每题3分）1. 题目：若函数f(x)=x³+2x²-3x+1，求f'(x)。
答案：f'(x)=3x²+4x-3。
2012年高考真题—(陕西卷)word详细答案解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试语文新课标详解一、现代文阅读(9分，第小题3分)阅读下面的文字，完成l～3题。
“黑箱”是控制论中的概念，意为在认识上主体对其内部情况全然不知的对象。
“科技黑箱“的含义与此有所不同，它是一种特殊的存贮知识、运行知识的设施或过程，使用者如同面对黑箱，不必打开，也不必理解和掌握其中的知识，只需按规则操作即可得到预期的结果。
例如电脑、手机、摄像机、芯片，以及药品等，可以说，几乎技术的全部中间和最终成果都是科技黑箱。
在科技黑箱的生产过程中，科学知识是基础，价值观和伦理道德则对科学知识进行选择。
除此以外，科技黑箱中还整合了大量人文的、社会的知识，并且或多或少渗透了企业文化和理念。
这样，在电脑或手机中就集成了物理学、计算机科学、管理学、经济学、美学，以及对市场的调研和政府的相关政策等知识。
科技黑箱是特殊的传播与共享知识的媒体，具有三大特点。
首先，它使得每一个使用者——不仅牛顿，都能直接“站在巨人的肩上”继续前进。
试想，如果要全世界的电脑使用者都透彻掌握电脑的工作原理，掌握芯片上的电子理论，那需要多少时间?知识正是通过科技黑箱这一途径而达到最大限度的共享。
如今，计算机天才、黑客的年龄越来越小，神童不断出现，他们未必理解计算机的制作过程就能编写软件、破译密码。
每一代新科技黑箱的出现，就为相对“无知识”的年轻一代的崛起与赶超提供了机会。
其次，处在相对低端的科技黑箱往往与语境和主体无关，而处于高端的科技黑箱则需满足特定主体在特定场合乃至心理的需要。
人们很少能对一把锤子做什么改进，而使用一个月后的电脑则已经深深地打上了个人的印记，这就说明，在认识变得简单易行之时，实践变得复杂和重要。
最后，当科技为我们打开一扇又一扇门的时候，我们能拒绝它的诱惑不进去吗?而一旦进去，我们的行为能不受制于房间和走道的形状吗?表面上是使用者在支配科技黑箱，然而科技黑箱却正在使用者“不知情”的情况下，对使用者施加潜移默化的影响，也就是说使用者被生产方对象化了。
2024年陕西高考数学(文)试题(含答案)
2024年陕西高考数学(文)试题及答案注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：A2. 设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 12C. 2- D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理..【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A.14B.13C. 12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.的在【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16C. 12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】.【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，21111233232F ABM ABM V S FO -=⋅⋅=⋅⋅=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅==△，解得d =M 到ABF 17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--为()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。