勾股定理的应用PPT课件

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勾股定理证明及应用-PPT课件

1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=___2_5______ BC=____2_0_____
AC=____1_5_____
1
1
美丽的勾股树
商高是公元前11世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是
小结
①本节课学到了什么数学知识？ ②你了解了勾股定理的发现方法了吗？ ③你还有什么困惑？
作业
教材第77页习题18.1第1、2、3题
图1-2
勾股定理（1）
看一看
现关朋什系友么，家相？同用传
学砖们铺，成年我的前们地，也面一来反次观映毕察直达下角哥面三拉的角斯图形去案三朋，边友看的家看某作你种客能数，发量发
现
2500
C A
B 图2-1
C A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
B
图3-2
分割成若干个直角边为整数的三角形
S正方形c
A
C
1 （72 1） 2
25（面积单位）
B
C
图3-1
A
B
图3-2
思考：面积A，B ，C还有上述关系吗？
把C“补”成边长为7的正方形面积加1单位面积的一半
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
（1）观察图2-1 正方形A中含有 9 个

勾股定理数学优秀ppt课件

实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通过勾股定理可以推导出正弦、余弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示为两个向量的点积等于它们模长的平方和，这进一步揭示了勾股定理与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的应用，如求解直角三角形、矩形、菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一，也是几何学中的基础概念，对于理解三角形、圆等几何形状的性质具有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用，如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领域的计算。

《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)

第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5

3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4

勾股定理应用课件

地球重力场测量
利用勾股定理测量地球的重力场，有助于研究地球的形状、地球自转、地球内部结构等。
地球磁场
勾股定理在地球磁场测量中用于确定磁力线的方向和强度，有助于研究地球的磁场变化和地磁场的起源。
天文学中的应用
天体定位
通过勾股定理，天文学家可以计算天体的位置和运动轨迹，进行精确的天体定位和测量。
03
勾股定理在日常生活中的应用
建筑行业中的应用
建筑设计
勾股定理在建筑设计中被广泛应用。设计师利用勾股定理来计算建筑物的垂直角度和确定建筑物的稳定性。
施工测量
在建筑施工过程中，勾股定理用于测量和定位。例如，确定建筑物的垂直线、水平线以及确定建筑物的相对位置。
航海中的应用
船舶导航
勾股定理在航海中被用于确定船只的位置和航向。通过测量太阳或星星与海平面的角度，结合时间差，可以计算出船只与目标之间的距离和方向。
海洋工程
在海洋工程中，勾股定理用于计算海底深度和定位海底地形。通过声纳技术测量声波从船只到海底再返回的时间差，结合声波速度，可以计算出海底深度。
物理学中的应用
力学
在物理学中，勾股定理用于描述力和运动之间的关系。例如，在自由落体运动中，物体下落的时间与重力加速度和初始高度有关，这可以通过勾股定理进行计算。
电磁学
在电磁学中，勾股定理用于计算电场和磁场中的矢量关系。例如，在计算电磁波的传播方向和强度时，需要用到勾股定理来计算矢量的合成和分解。
04
勾股定理在现代科技中的应用
计算机图形学中的应用
01
02
03
3D渲染
勾股定理在3D渲染中用于确定物体的位置和方向，以及计算光线在物体表面反射的角度。

勾股定理的应用-课件

02
在实际应用中，可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形，从而确定角度和边长之间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的一组边长满足勾股定理，则这个三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判断一个三角形的角度和边长是否满足直角三角形的条件，从而确定其是否为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是否为直角三角形，只需验证三边关系是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三角形的稳定性，因为只有直角三角形满足勾股定理，所以只有直角三角形是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于计算气象气球上升的高度和速度，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确到达目的地。

勾股定理的应用课件(共26张PPT)

OB ________2_.7__5___1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD2 _C__D_2___O_C__2___3_2 __2_2___5___,
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
(2)、(3)两题结果精确到0.1
ac
b
C
a2 b2 c2
A
小试身手：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。（假设1米为2步）
小试身手：☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。（假设1米为2步）
勾股定理的应用
知识回忆：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角
边a、b的平方和等于斜
B
边c的平方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
知识回忆：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
C
:BC
:AB=
1:1:√2 . 若AB=8则AC= 4 2 .
又若CD⊥AB于D,则CD= 4√2 .
B
D

3 勾股定理的应用 PPT课件

答：沿AB走最近，最近距离为25 ．
小试牛刀
练习1 练习2
3．有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆
练习3 柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，
从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外
的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
你能画出示意图吗?
小试牛刀
练习1 练习2
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最
练习3
A B 2 1 2 2 (3 3 )2 A B 1 5
A
O
B
’
A’ 9
B
12
12
侧面展开图
A
A
做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？
做一做
（2）李叔叔量得AD长是30 cm， AB长是40 cm，BD长是50 cm，AD 边垂直于AB边吗？为什么？
中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 !
举一反三
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
第一章勾股定理
3. 勾股定理的应用
从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
石室联中平面图
一教楼
二教楼
综合
操场
楼
两点之间,线段最短．
问题情境

勾股定理的应用PPT课件

1 82 026
最短路程 18即为 3 2cm
小结：
立体图形转化平面图形实际问题转化数学问题求线段或图形中边的长度，可构建直角三角形,利用勾股定理来解决。
作业:
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
勾股定理的应用PPT课件
本课件仅供大家学习学习学习完毕请自觉删除
谢谢本课件仅供大家学习学习
学习完毕请自觉删除谢谢
知识回味
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
ac
a2 b2 c2
b
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
问题1
在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处。你能告诉小明这棵树折断之前有多高
2、侧面积展开得到长____方_形。
3、在长方形上确定A、B的位置。长方形的长= 18cm 长方形的宽= 12cm 4、根据平面上两点之间，_线____段__最短。蚂蚁所走的最短路程为 ___A__的B长度。
5、利用勾股定理，AB=
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
吗？ A
6 米
C
8米
6 米
8米
你能根据实物图形 B画出数学模型吗？
问题二
帮卡车司机排忧解难。
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由

勾股定理应用_课件PPT课件

又∵ S △ABC= ∴AC ×BE=72
A1 C× 2
∴BE= 72 13
例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
BD 1 BC 3 2
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
AD2 AB2 BD2
以上(2),(3)各有什么规律?
答：(2)前两数的平方和等于第三个数的平方，如果分别是直角三角形的两直角边，则第三个数是这个直角三角形的斜边.
(3)前两数的平方和等于第三个数.
下列哪实数你能在数轴上用点来表示?
1, 2, 3, 1 , 5,3, 13, 17...... 解:如图所 2
示：
13
13
1 BC AD 1 AC BH
2
2
E
B 10 D C
解:过A点作BC的垂线AD,过B 点作AC的垂线BE,垂足分别是 D点,E点.
在△ABC中 ∵AB=AC,AD是BC的高 ∴BD=CD=5 ∵∠ABC=90° ∴AD=12
S △ABC= 1×BC×AD 2
= 1 ×12×6 2
=36
1
Ａ
2

2

13
-1
0
1
2
3
4
5
扩展
利用勾股定理作出长为的线段.
法一：
2, 3, 5
2
5
0

1
32
3
法二：利用直角三角形与勾股定
理旋转作图
1 12
3 45
4、在等腰△ABC中，AB＝AC＝ 13cm ，BC=10cm,求△ABC的面

勾股定理的应用PPT课件

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9
例2 你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
•B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A•3 C 4
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15
证明“HL”
问题在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
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16
证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′B′C′ 中， ∠C=′∠C =90°，′A′B=A B ，′A′C=A C ．求证：△ABC≌△A B ′C′′．
长为 3 ；
类似地可以作出长为 n （n为大于1的整数）的线段。
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8
例2 你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
分析：可以把 13 看做是直角三角形的斜边，为了有利于画图，让直角三角形的两条直角边长为整数，13是4和9两个完全平方数的和，所以斜边是 13 的直角三角形的另外两边是2和3。
求证：△ABC≌△A′B′′C ．
证明：
A
∵ AB=A′B′，
AC=A′C′，
∴ BC=B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′
（SSS）． C
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A′ B C′
中，
B′
18
应用提高
例如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 +DB2 =DE2．

勾股定理的应用ppt课件

B
C
A
D
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35
●在一个外长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱的外底部 A处有一只昆虫,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B处,试探究昆虫爬行的最短路程.
B
C
A
D
ppt精选版
36
◆在上面的木箱中，如果在箱外的A处
有一只昆虫.
⑴它要在箱壁上爬行到箱内的D处，至
少要爬多远？
B
⑵它要在箱壁上
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
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15
有一个圆柱,它的
B
高等于12厘米,底
面半径等于3厘米,
我怎么走
在圆柱下底面上的
会最近呢?
A点有一只蚂蚁,它
想从点A爬到点B ,
蚂蚁沿着圆柱侧面
A
爬行的最短路程是
多少? (π的值取3)
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16
B
9cm B
高 12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
B
C
A
ppt精选版
D
28
◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆
虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要
爬多远？
.B
.A
C
ppt精选版
D
29
. B
.
C
C
B
A
D
40
A 30 D 50
ppt精选版
图①
30
. B B
50
.C
C
C
A
D
40
A 30 D
ppt精选版
图②
31
◆如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且

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解设AC的长为 X 米，
则AB=(x+1)米
A
x米
(X+1)米
C
5米
B
试一试：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
B
3
2
2
A
A 1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
B
B
2 1
A
3
C
A
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
3 3
2
2
＝
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
B
B 1 C
A
A
3
2
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
5 1
2
2
＝
26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
知识回味勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c a
a b c
2 2
2
b
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
课前热身
请同学们完成下面的练习

1、在直角三角形 ABC中，两条直角边a，b分别等于6和8，则斜边c 等于（ 10 ）。 2、直角三角形一直角边为9cm，斜边为15cm,则这个直角三角形的面积为（ 54 ）cm2 。 3、一个等腰三角形的腰长为20cm，底边长为24cm，则底边上的高为（）cm，面积为（） 16 cm2 。 192
B
A
B
B
10
A
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？ B
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
B
A
2 1
A
3
C B 1 C
C
A O 2.3米 ┏ B
D
1.6米 E 2米
H
M
实际问题
实物图形
数学问题几何图形源自由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度与CH值的大小比较。当车的高度﹥CH时，则车不能通过
探究
当车的高度﹤CH时，则车能通过
CH的值是多少，如何计算呢？由图可知:CH =DH+CD OD=0.8米，OC= 1米 ,CD⊥AB, 于是车能否通过这个问题就转化到直角△ODC中CD这条边上；根据勾股定理得：CD= OC 2 OD 2 E = 12 0.8 2 =0.6（米）
B
1m
C
超越自我
•
1. 如图，公园内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设3步为1米），却踩伤了花草．
3m
路
4m
过关斩将
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2.3米 2.3+0.6=2.9﹥2.5 ∴卡车能通过。
C
A
O ┏ B
D
1.6米 2米
H
M
挑战“试一试”:
一位工人叔叔要装修家，需要一块长3m、宽2.1m的薄木板，已知他家门框的尺寸如图所示，那么这块薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
实际问题
1m
思考
门框的尺寸，薄木板的尺寸如图所示，薄木板能否从门框内通过?（ 5 ≈2.236）
B
B
0.2 0.3
2
A
(0.2×3＋0.3×3)m
A
2m
C
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
B E F 6
A
3
C
5 D
问题1
在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处。你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ A
6 米
6 米 8米
C
8米
B
问题二
帮卡车司机
排忧解难。
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由
A
D
3米
2m
2.1米
B
1m
C
解答 A D
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.1m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
解：联结AC，在Rt△ABC中AB=2m, BC=1m ∠B=90°,根据勾股定理：
AB2 BC 2 AC 2
2m
AC AB 2 BC 2 12 2 2 2.236m ＞2.1m ∴薄木板能从门框内通过。
B
B 2
A
A 1
3
C
AB＝ AC 2 BC 2 ＝
4 2
2
2
＝
20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
D C
B
A
例如图所示，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对的 B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)
B
A
B
C
B
A
A
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？