将“什么”贯穿于高中数学解题的始终
高中数学数形结合思想及其实践探究
高中数学数形结合思想及其实践探究数学思想方法是数学知识的精髓,也是引导和促进学生将知识转化为能力的桥梁. 作为数学最基本的思想方法之一,;“;数形结合;”;思想始终贯穿于中小学数学教学的始终. 《高中数学新课程标准》指出:教学中教师;“;要注重数与形的联系,在学习数学和应用数学中不断体会数形结合的思想方法.;”; 然而在数学教学实践中,教师对数形结合思想的重要性认识不足,或因受教材编写所限,在具体教学时对数形结合思想的贯彻和落实就带有一定的盲目性和随意性. 因此在高中数学教学中,教师要根据高中数学知识的特点,注重数与形的联系,强化数形结合思想方法的渗透与训练,恰到好处地向学生充分展示知识的形成过程,使学生在学会和掌握重要数学知识的同时,不断地体会数形结合的思想方法,学会用数学思想指导知识应用,获得必要的数学应用技能,形成优良思维品质,发展数学能力.现代数学视角下的数形结合思想方法的内涵意义所谓;“;数形结合;”;,就是把数学中两个非常重要的元素;-;;-;数量关系和空间形式紧密结合起来,使代数问题与图形问题在抽象思维和形象思维的相互作用中彼此转化,代数问题几何化,几何问题代数化.由此可见,;“;数形结合;”;不仅是一种数学思想,而且也是一种数学解题工具,一种解决问题的策略意识.可以说;“;数形结合;”;的思想方法无时无刻不活跃在学生的数学学习活动之中. 在高中数学教学始终围绕;“;形;”;;“;数;”;两个角度来引导学生进行数学学习,有利于使数学中的复杂问题简单化,抽象问题具体化,有利于学生形成完整的数学概念和深层次的把握数学概念的本质,加深对数学知识的理解和记忆,构建和优化数学认知结构. 同时能使学生在积极参与教学活动的过程中,不断积累数学活动经验,提高数学思维,从而获得终身受益的数学思想方法和解决问题能力.高中数学教学中渗透数形结合思想方法的必要性1. 渗透数形结合思想方法是落实课标精神的需求《普通高中数学课程标准》指出:基本数学思想是学生的数学学习目标之一,要求学生在掌握数学基础知识的同时要掌握基本的数学技能和基本的数学思想. 因此在数学教学中应以数学知识为载体,注重数与形的联系,将数和形完美地统一起来,促进学生数形转化能力和创造性思维能力的培养.2. 渗透数形结合思想方法是发展学生思维的需求在数学教学中有效渗透数形结合思想方法,通过或是化抽象为直观,或是化技巧为程序操作,不仅能使学生数学的思考具有条理性,能多层次和多角度地来思考问题,而且可以帮助学生树立良好的现代数学思维意识,拓展学生寻找解决问题的途径和发散解题思维,促进学生在将来的学习中能自觉进行数学的思考.3. 渗透数形结合思想方法是处理好教与学的需求在数学教学实践中,不少教师对数形结合思想的重要性认识不足,对数形结合思想的贯彻和落实带有一定的盲目性和随意性,在数学知识的教学过程中不能合理布点、由浅入深,从数到形的转换过程过于简单,致使高中生对;“;数;”;和;“;形;”;的理解比较狭隘,运用数形结合法解题时出现构图不当、转换失真、数与形不等价、条件理解不深刻等问题,未能有效提高学生的解题能力.基于以上三方面的分析,可以看出,渗透数形结合思想方法既是落实课标精神的要求,也是学生发展的要求,更是彻底改善目前高中数学教与学现状的需要. 在高中数学教学中只有效渗透数形结合思想方法,才能让学生在主动参与的学习过程中不断体会数形结合的意义所在,获得终身受益的数学思想方法和解决问题的能力,促进学生数学的发展.高中数学教学中渗透数形结合思想方法的策略1. 恰当运用多媒体技术手段动态展现数形结合思想方法信息技术具有动态可视化的效果,因此教学中可以利用多媒体技术来展现数形结合方法,动态变化的演示过程不仅能将抽象的数学知识直观形象、变化有序地展示在学生面前,验证发现数学规律,培养学生的动态感,而且为学生进行建构性学习提供了有利的平台,使学生学会利用动态的眼光去看待问题.高中解析几何不仅是数和形的紧密结合,具有利用方程的性质来研究相应的几何图形的特点,而且它是把曲线,也包括直线看作按一定的几何条件运动的集合.因此教学中用多媒体把;“;数;”;和;“;形;”;的潜在关系动态地显示出来,并有针对性地加以讲解或组织学生讨论. 通过观察、验证、对比等一系列探究性活动寻找到一般规律和特殊属性,从而充分揭示教学内容中内在的辩证关系,加深学生对几何图形的感知和理解,从而培养学生用运动、变化的观点分析和解决问题的习惯,最终理解和掌握所学知识的实质.2. 在探寻知识意义的实践活动中渗透数形结合思想方法数学学习的过程不只是数学知识的习得,而应是引导学生在;“;经历;”;;“;体验;”;知识的产生、发展和形成过程中发展能力. 因此在高中数学教学中教师要创设开展数学活动的良好情境,给予学生充分的从事数学活动的时间和空间,在亲历中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,发展数学思维.如,在教学;“;函数的单调性;”;时,笔者安排了三个层次的教学活动:(1)以实际生活中的气温变化表、股市走势等让学生利用已有的知识经验进行思考;(2)出示函数图象,引导学生将图象中上升或下降的趋势用自己的语言描述出来;(3)用几何画板动态演示,让学生观察随着x值的变化,函数值f(x)是如何变化的,然后再用数学语言对图形中的上升或下降趋势加以描述. 将图象语言、符号语言、文字语言相结合,在探究、经历;“;函数单调性;”;的数学活动过程中使学生对;“;函数单调性;”;本质内涵进行理解,体验数形结合的数学思想方法. 3. 在解题过程中合理引导学生使用数形结合思想方法数学学习的目的,不仅是引导学生学会和掌握数学知识,更重要的是学会用数学思想指导知识的应用. 作为解决数学问题时;“;由数思形;”;或;“;由形思数;”;的一种数学思想,它可以有效地将数字和图形相互转化,利用形象解决抽象,实现化难为易的效果. 因此教师在平时的教学中应有意识地引导学生把数形结合的思想运用于解答数学问题中去,提高学生的分析及解决问题的能力.(1)由数思形,以形得数如:已知f(x)=x2+4x+3,求f(x)在闭区间[-3,1]上的最大值、最小值.分析:f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1图象的开口向上,对称轴x=-2,作此二次函数的大致草图(如图1),对称轴在区间内,并在区间中点的左侧,故f(x)max=f(1)=8,f(x)min=f(-2)=-(2)由形思数,以数论形如:如图2,AB为半圆O的直径,且AB=2,P是延长线上一点,且OP=2,Q为半圆上任一点,以PQ为一边向△OPQ的外部作等边三角形PQR,求四边形OPRQ的面积的最大值,并求当四边形OPRQ面积最大值时∠QOP的值.分析:要确定四边形面积的最大值,必须由题目条件结合图形,把面积的表达式写出来.设∠QOP=θ,则在△OPQ中,由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ,故.四边形OPRQ面积的最大值为,此时θ-=,所以θ=.在引导学生对知识的反思的过程中提炼数形结合思想高中数学很多知识点屮都蕴含数形结合思想,可以说贯穿于高中数学学习的始终. 然而在数学问题解决的过程中,很多教师往往就题论题,告知学生此题可利用数形结合思想来解,这样不利于学生达到真正意义上的理解和接受. 因此教师要彻底改变重视;“;教;”;而忽略;“;学;”;的现状,不仅要在整体上做好分类,有目的、有计划地选取典型例题进行分析和讲解,而且还应积极引导学生进行反思与归纳,在对知识的反思的过程中提炼数形结合思想,从而构建完整的数形结合解决问题的策略体系.总之,在高中数学教学中教师要从着眼于学生数学能力的提高的视角,在数学教学中体现对数形结合思想方法的关注和重视,注重学生数学思想方法的激活,让学生从解决问题的方法和过程中感悟与体会数学思想方法,在亲历自主探究解决问题的过程中实现知识的完整建构,促进学生数形转化、迁移思维与分析问题及、解决问题能力的提升,发展数学素养。
高考数学热点不等式
不等式不等式是中学数学的主要内容,是求解数学问题的主要工具,它贯穿于整个高中数学的始终,融合于集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题,解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容,这些知识块无一不与不等式有着紧密的联系,所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的。
因此,不等式将是永不衰退的历届高考热点,所以必须加强对不等式的复习与研究。
按《考试说明》的规定,不等式这一章包括五个知识点,五条考试要求,概括起来有四个方面:不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及不等式的应用.我们先来分析一下不等式高考的命题趋势:(1)题型稳定:近几年来高考平面向量试题一直稳定在1-2个小题和其他与高中各知识块相联系的大题上,分值约为30分左右,占总分值的20%左右。
(2)由于近年高考命题强调能力立意, 考查基础知识不再是考查对知识的复制,而是考查对基础知识的深刻理解,考查各个基础知识点的联系和交汇.从近三年高考数学试题看,不等式这一章内容的考查不再是单一型了,它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型试题,不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等基本数学思想,其主要题型大致分为:解不等式、证明不等式和不等式的应用.①解不等式:不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习高等数学的重要工具,所以不等式是高考数学命题的重点,解不等式的应用非常广泛,如求函数的定义域、值域,求参数的取值范围等,高考试题中对于解不等式要求较高,往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系,应重视;从历年高考题目看,关于解不等式的内容年年都有,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式.②证明不等式:复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),掌握较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题.③不等式的应用:应用题中有一类是以不等式为数学模型的,当不等式模型建立后即可转化为解不等式来解决问题,这是高考中常见题型,希望同学们多加关注。
将“什么”贯穿于高中数学解题的始终
分析2函 yl2 + ) ÷ l : 数 =g ( o { 1 +
\ 4 I
的 定 义域 为R, 价 为 不等 式黜 2( 1 + 等 + )
1
绝 不 能 留 有 空 白 。 其 是 填 空 题 ; 更 尤 但
多 的 是 . 知 道 为 什 么 . 时 也 看 不 清 不 当 什 么 思 路 . 谈 不 上 什 么 层 次 感 . 尽 更 就 管 写 着 . 最 终 的 结 果 也 不 抱 有 很 大 的 对 希望 !
平 呢 ?从 个 人 多 年 的 教 育 教 学 中 提 炼 出
以 下 几 点 . 考 查 什 么 知 识 . 用 什 么 即 常
年 地 这 样 研 究 着 .谁 知 这 样 的研 究 便
、
是 偏 、 、 , 自己 研 究 的 成 果 也 拿 到 难 怪 把 课 堂 上 来 . 谓 讲 得 得 心 应 手 . 师 有 可 教
类 题 的 解 法.
看清题 设 , 弄清 考 查什 么知 识
平 时 的 教 学 过 程 中 时 刻 会 发 现 这 样 的现 象 : 生 明 明 知 道 这 是 错 误 的 做 学 法 . 还 是 坚 持 做 到 最 后 . 究 竟 是 为 但 这 什 么.经 了 解 . 些 学 生 说 . 师 讲 过 有 教
/ 1 、
的 精 神 才 能 把 学 生 培 养 成 人 才 .但 在 我 们 教 师 讲 授 的 过 程 中 . 没 有 感 到 一 双 有 双 茫 然 的 眼 睛 盯 着 你 . 求 将 难 度 降 下 恳
来 . 语 速 减 下 来 等 等. 将
般
点 即 所 渭 的 题 眼 : 能 从 整 体 上 把 握事 实 上 但 最 后 还 是 讲 了 . 且 讲 得 很 投 入 甚 至 还 而 有 教 师 在 此 基础 上 进 行 了 补 充 .可 以说
剖析函数中定义域的易错点
剖析函数中定义域的易错点作者:赵清华来源:《理科考试研究·高中》2016年第06期函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学学习的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一,是函数的灵魂.函数的定义域看似非常简单,然而在解决问题中若不加以注意,常常会误入歧途,导致失误.下面就学生在解题时所出现的几个易错点加以探讨.易错点1求函数解析式时不能忽视定义域.在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域否则所求函数解析式可能是错误的.例1某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为50米,求矩形的面积S关于矩形长x的函数解析式.解析设矩形的长为x米,则宽为(25-x)米.由题意得S=x(25-x),故函数解析式S=x(25-x).如果解题到此为止,则本题的函数解析式还欠完整,缺少自变量x的范围,也就是说解题思路不够严密.因为从实际出发,矩形的长和宽均为正值,所以还应补上自变量x的范围:0评析这个例子说明,在求解函数的解析式时(尤其是在实际问题中),必须要注意到函数定义域的取值范围.易错点2求反函数时错解定义域.在求解一个函数的反函数时,忽略了求反函数的定义域就是求原函数的值域这一知识点,而是根据反函数解析式的本身求出其定义域导致出现错误.例2f(x)=a·2x+11+2x是R上的奇函数:(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x).解析(1)利用f(x)+f(-x)=0 (或f(0)=0),求得a=1.(2)由a=1即f(x)=2x-12x+1.设y=f(x),则2x(1-y)=1+y,由于y≠1,故2x=1+y1-y,x=log21+y1-y,而f(x)=2x-12x+1=1-22x+1∈(-1,1),所以f-1(x)=log21+x1-x (-1评析在求解一个函数的反函数时,一定要通过确定原函数的值域来求解,而不能根据反函数解析式本身求解,最后要在反函数的解析式后标明(若反函数的定义域为R可省略).易错点3判断奇偶性时易忽略定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以,在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域.例3判断函数f(x)=(x-1)x+1x-1的奇偶性.解析因为x+1x-1≥0 (x+1)(x-1)≥0,x-1≠0,x≤-1或x>1.所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞).由于函数f(x)的定义域在数轴上不关于原点对称,所以函数f(x)是非奇非偶函数.评析判断函数的奇偶性,应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称,再用奇偶性定义加以判断.如果定义域区间不关于坐标原点成中心对称,则函数就无奇偶性可谈.易错点4判断单调性或求单调区间时忘记定义域.在判断函数的单调性或求函数的单调区间时必须是在定义域范围内,即必须保证函数有意义.例4求函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间.解析先求定义域,因为x2+2x>0,所以x>0或x令u=x2+2x,当x∈(-∞,-2)时,u为减函数,当x∈(0,+∞)时,u为增函数;又f(x)=log2u在(0,+∞)是增函数,所以函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).评析如果在做此题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就会导致失误,得到错误的结论.易错点5求函数的值域时易忽视定义域.在求函数值域的相关问题中易忽视解析式本身对变量的约束关系,造成定义域范围的扩大,从而导致求解结果不准确.例5已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范围.解析由于(x+2)2+y24=1,得(x+2)2=1-y24≤1,所以-3≤x≤-1,从而x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+83)2+283.因此当x=-1时x2+y2有最小值1,当x=-83时,x2+y2有最大值283.故x2+y2的取值范围是[1,283].评析在解决函数范围问题时,要注意几个参数之间的相互制约,要挖掘题目中内在的隐含条件,否则易出错.。
数学思想在高考解题中的应用(一)
数学思想在高考解题中的应用(一)一、函数与方程思想(1)函数思想就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,并通过函数形式建立函数关系,然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解决.函数思想贯穿于高中数学教学的始终,不仅在函数各章的学习,而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分重要的作用.(2)方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.在实际问题的解决过程中,函数、方程、不等式等常常互相转化.因此,函数与方程的思想是高考考查的重点知识.二、数形结合思想(1)数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学规律性与灵活性的有机结合.(2)数形结合的思想方法应用广泛,如解方程、不等式问题,求函数的值域、最值问题、三角函数问题,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.常考查:利用构造函数的方法解决方程根的分布、数列的最值和证明不等式的成立等问题.【例1】► 证明:x 3-x 2+x +1>sin x (x >0,x ∈R ).[审题视点] 可构造函数,利用函数的单调性进行证明根据所证不等式的结构特征构造相应的函数,研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键,本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中,而是具体问题具体分析,使问题得解,体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想.【突破训练1】 设f (x )=ln x +x -1,证明:(1)当x >1时,f (x )<32(x -1);(2)当1<x <3时,f (x )<9(x -1)x +5.常考查:以方程的角度来观察、分析问题,运用数学语言将问题中的条件转化为方程模型加以解决,如有关直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例2】► (2012·湖南)在直角坐标系xOy 中,已知中心在原点,离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C :x 2+y 2-4x +2=0的圆心.(1)求椭圆E 的方程;(2)设P 是椭圆E 上一点,过P 作两条斜率之积为12的直线l 1,l 2.当直线l 1,l 2都与圆C 相切时,求P 的坐标.[审题视点] (1)将圆的一般方程化为标准方程,然后根据条件列出关于a ,b ,c ,e 的方程,解方程(组)即可;(2)设出点P 的坐标及直线方程,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,构造一元二次方程,利用根与系数的关系及P 在椭圆上列出方程组,求解得P 点的坐标.答案 (1) x 216+y 212=1. (2) (-2,3)或(-2,-3)或⎝⎛⎭⎫185,575或⎝⎛⎭⎫185,-575.直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想,在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想.【突破训练2】 (2012·安徽)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为40 3,求a ,b 的值.答案 (1) 12.(2) a =10,b =5 3.常考查:方程解的个数可构造两个函数,使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题,但用图象法讨论方程的解,一定要注意图象的精确性、全面性.【例3】► 方程⎝⎛⎭⎫12x -sin x =0在区间[0,2π]上的实根个数为( ).A .1B .2C .3D .4 [审题视点] 转化为两函数y =⎝⎛⎭⎫12x 与y =sin x 图象的交点个数.答案 B用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.【突破训练3】设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0.若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为( ).A .1B .2C .3D .4答案 C常考查:在解含有参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要讨论,导致演算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.【例4】► (2012·潍坊模拟)不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( ).A .(-∞,-1]∪[4,+∞)B .(-∞,-2]∪[5,+∞)C .[1,2]D .(-∞,1]∪[2,+∞)[审题视点] 去掉绝对值化为分段函数,画出函数图象找到这个函数的最大值再求解.答案 A本题的知识背景涉及函数、不等式、绝对值“题目中的某些部分都可以使用图形”表示,在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来,借助于图形的直观获得了解决问题的方法,这就是以形助数,是数形结合中的一个主要方面.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,做出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,并综合图象的特征得出结论.【突破训练4】 (2012·山东)设函数f (x )=1x,g (x )=ax 2+bx (a ,b ∈R ,a ≠0).若y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则下列判断正确的是( ).A .当a <0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0B .当a <0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C .当a >0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0D .当a >0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0答案 B随堂训练 (时间:45分钟 满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2012·北京东城模拟)已知向量a =(3,2),b =(-6,1),而(λa +b )⊥(a -λb ),则实数λ等于 A .1或2 B .2或-12C .2D .0 2.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于A .18B .24C .60D .903.(2012·临沂模拟)函数y =cos 4x 2x 的图象大致是4.已知集合A ={(x ,y )|x 、y 为实数,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y 为实数,且x +y =1},则A ∩B 的元素个数为A .0B .1C .2D .35.若关于x 的方程x 2+2k x -1=0的两根x 1、x 2满足-1≤x 1<0<x 2<2,则k 的取值范围是A.⎝⎛⎭⎫-34,0B.⎝⎛⎦⎤-34,0C.⎝⎛⎭⎫0,34D.⎣⎡⎭⎫0,34 二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2012·合肥模拟)AB 是过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的中心弦,F (c,0)为它的右焦点,则△F AB 面积的最大值是________.7.长度都为2的向量OA →,OB →的夹角为π3,点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上,OC →=mOA →+nOB →, 则m +n 的最大值是________.8.(2012·厦门模拟)已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,定点A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 三、解答题(本题共3小题,共35分)9.(11分)(2012·天津)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点P ⎝⎛⎭⎫55a ,22a 在椭圆上. (1)求椭圆的离心率;(2)设A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点Q 在椭圆上且满足|AQ |=|AO |,求直线OQ 的斜率的值.10.(12分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx .(1)若函数y =f (x )在x =2处有极值-6,求y =f (x )的单调递减区间;(2)若y =f (x )的导数f ′(x )对x ∈[-1,1]都有f ′(x )≤2,求b a -1的范围.11.(12分)已知函数f (x )=2x 3+px +r ,g (x )=15x 2+q ln x (p ,q ,r ∈R ).(1)当r =-35时,f (x )和g (x )在x =1处有共同的切线,求p ,q 的值;(2)已知函数h (x )=f (x )-g (x )在x =1处取得极大值-13,在x =x 1和x =x 2(x 1≠x 2)处取得极小值,求x 1+x 2x 1x 2的取值范围.。
新高一数学初升高数学衔接——学法指导
〔一〕高中数学教材分析
高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模 块〔5本书〕构成;选修课程有4个系列,其中系 列1、系列2由假设干模块构成〔系列1两本书、系 列2三本书〕,系列3、系列4由假设干专题组成。 内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、 平面解析几何、立体几何等等。进入高中,我们 首先学习的是?必修1?模块,我们应先对这一模块 有一个大体的了解。
〔3〕记忆数学规律和数学小结论。
〔4〕与同学建立好关系,争做“小老师〞,形成数学学习“互助 组〞.〔5〕反复稳固,消灭前学后忘。
〔6〕学会总结归类。可:①从数学思想分类②从解题方法归类③ 从知识应用上分类。
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Thank You !
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谢谢大家!
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〔二〕初高中数学特点的变化
1、数学语言在抽象程度上的突变。 初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行 表达。而高中数学一开始即在初中学习的“函数 〞的根底上触及抽象的“集合语言〞。 比方,函数的定义
y=1是函数吗?
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〔二〕初高中数学特点的变化
2、思维方法向理性层次跃迁。
高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中 数学的思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段, 很多老师将各种题建立了统一的思维模式,如解 分式方程分几步,因式分解先看什么,再看什么, 即使是解答思维非常灵活的平面几何问题,也对 线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套 路。因此,同学们在初中学习中习惯于这种机械 的、便于操作的定势方式,而高中数学在思维形6
〔三〕学好高中数学的应对策略和学习方法
6、建立良好的数学学习习惯
建立良好的数学学习习惯,会使自己学习感到有序而 轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好 动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中, 要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永 久记忆在自己的脑海中。
高中数学函数论文
高中数学函数论文函数是高中数学第一个比较抽象,难理解的概念之一。
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高中数学函数论文篇一【摘要】随着教学内容的推进,许多更为复杂的数学知识渗透到课堂教学中.对于高中阶段的数学教学,函数是引进的一种重要的数学模型.这一模型在其他学科或是我们的日常生活中都有深远的影响,尤为重要的一点,函数的思想贯穿于整个高中数学的始终,是学生学习高中数学的重点之一.因此,本文重点阐述了在进行函数教学时应注意的几个方面,以及如何利用函数的图像去解决问题.【关键词】高中数学;函数;函数图像;解题应用初中阶段是学生接触到函数这一数学思想的时期,此时的函数思想是较为简单,是比较容易理解的.当学生进入高中以后,新的函数概念逐渐增加,内容较为复杂,主要以映射的观点来阐明函数.这就要求学生对自己的知识理解提出更高的要求,深入理解函数的内涵,熟悉并应用之解决问题.还需明确的一点是,函数的思想来源并不抽象,它来源于我们的现实生活.人类社会一直都是运动变化着的,主要是以量的变化为主要的呈现方式,为了解决社会中各个变量间关系的问题,函数的思想应运而生,被人类运用于解决现实生活中的问题.一、进行函数教学时应注意的几个问题函数思想贯穿于整个中学阶段包括初中与高中,并且在整个数学教学过程中具有主线作用.教师的教学应着重这一点.1.初始阶段:兴趣为先,使学生产生学习动机教师应在学习的每个学习阶段把握好侧重点.在学生刚开始接触到函数思想的时候,就应该以学生的学习兴趣为先导.通过日常生活的一些例子和提问的导入方式,调动学生的学习积极性,使学生产生学习动机.与此同时,教师应注意让学生正确把握函数的定义式,抽象概括函数的数学定义.函数关系是两个变量的对应关系,如何阐释得更为具体一些,函数的图像则是函数的直观展示.尤其在直角坐标系中,函数图像就能形象生动地把变量x和y展示出来.2.深入学习阶段:建立模型,使知识具体化随着函数学习的深入,学生不可能长期处于抽象的讨论中,必须佐以重要的实习模型.这些实习模型可以帮助学生理解函数和其他数学知识之间的关系.关于指数函数的单调性这一性质,指数的底数相同,那么值的大小就可通过函数的单调性来判断.但是必须注意的一点是有一些函数的单调性是有区间的,不能一概而论.教师还需多指导学生认识一些具体的函数模型,比如幂函数、对数函数和三角函数等.三角函数在日常生活中运用的范围相当广泛.3.应用阶段:联系生活实际,解决问题由于上文所述,我们了解到,函数并不是凭空捏造,而是随着现实社会生活中的需要而产生的,因此,必然是来源于生活、应用于生活了.比如,我们日常生活中所接触到的很多场景都有函数规律或是函数应用的存在,如机场、酒店等.一个酒店的采购部采购物品包括食物的数量都是有严格规定的,他们是如何界定的呢?他们会根据客流量的多少来确定应采购物品的种类及数量,那么这些变量之间的关系就是一个函数关系.二、利用函数图像解决问题函数的图像犹如砍柴的柴刀一样,是一项非常重要的解决数学问题的工具.数学是一门较为抽象的学科,因此,以图像作为教学辅助,帮助学生们深入了解数学思想是相当科学的.利用函数的图像解答填空、选择题,所用时间较为简短,学生在考试中可尽量使用这种方法.2.利用函数图像解答应用题举例说明有一座抛物线形拱桥(如图),正常水位时桥下河面宽20 m,河面距拱顶4 m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求出抛物线解析式;(2)为了保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18 m.求水面在正常水位基础上涨多少米时,就会影响过往船只.分析根据抛物线在坐标系的特殊位置,本题可以设抛物线的顶点式、交点式或者一般式,求出抛物线解析式,再运用解析式解决实际问题.解首先要画出抛物线的图像(有了直观图像就能够明了解题思路).三、结束语综上所述,数学思想中的函数思想是较为重要的,因此,教师与学生都应当高度重视.教师在仔细梳理教学重点之后,注意结合学生的学习阶段,采用不一样的教学策略,帮助学生更快更好地掌握函数的思想,并且让学生学会利用函数图像去解答不仅是考试中还有生活中的问题,学以致用.高中数学函数论文篇二数学是作为衡量一个人能力的一门重要学科,高中数学是初中数学的提高和深化,初中数学在教材表达上采用形象通俗的语言,研究对象多是常量,侧重于定量、计算和形象思维,而高中数学语言表达抽象,逻辑严密,思维严谨,知识连贯性和系统性强。
数形结合的重要性
数形结合的重要性数形结合的思想方法是贯穿于整个高中数学的知识体系当中,它是贯穿高中数学课程的一条主线,它不仅是我们解题的一种思想方法,更重要的是它是我们进一步学习、探索和研究数学的有力武器。
数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
我认为数形结合思想是贯穿高中课程的主线,也是数学最本质的思想方法之一,它的实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
它渗透到各个章节的角角落落里,直观的感受让我们形成了对事物的感性认识,为我们加深理解定义概念和性质打下了基础,很多探索性的研究都是从图形开始的,数形结合的数学思想方法是研究数学问题的一个非常重要的思想方法。
数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论。
数形结合,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种的思维方法,因此它在数学中占有重要的地位。
数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性,并跨越各科的知识界限,有较强的综合性。
在复习中加强这方面的训练,对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的。
数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题。
从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径,这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助。
“形”中觅“数”:很多数学问题,需要根据图形寻求数量关系,将几何问题代数化,以数助形,使问题获解。
高中数学应用题教学若干问题探讨
跑
高 中数 学 应 用 题 教 学 若 干 问题 探 讨
彭 胜
( 湖南 省龙 山县高 级 中学 湖 南龙 山
4 8 0 1 0 ) 6
摘 要 : 学应 用题渗 透到社会 各个 方 面, 数 其素材 非常 广泛 , 够真实反 映社会 生活 中的 某些 问题 。 学最 终要 用于解 决实际 问题 , 学 能 数 数 的 目的和意 义就在 于现 实世界 中的 问题 解决 。 如何把 应 用题 的教 学贯穿 于整个 高中数 学教 学的始终 , 已经成 为中 学数 学教 学中的一个 突
情 况 的 原 因 在 于 教 师 未 能 给 学 生 足 够 的 学 展 的 终 身学 习 而 成 为 一个 好 教 师 ;9 课 程 的 轨 道 等 。 5 概 率 统 计 问题 ; 列 、 合 问 () () 排 组 教 概 字典 的字 词 首 字 习 和训 练思 维 策 略 的机 会 。 因此 , 生 碰 到 观 : 师是 课 程 与 教 学 的 忠 实执 行 者 一 利 题 ; 率 统 计 中 有 奖 促 销 、 学 稍 微 复 杂 的 题 目, 节 稍 有 变 化 的 题 目就 用 教 材 作 为 知 识 载 体 形 成 帅 生课 程 文 化 的 母 的 分 布 、 库 的 鱼 量 、自选 市 场 问题 、 情 水 掷 币 问 题 , 手 大 奖 赛 的成 绩 处 理 。6 立体 几 歌 () 茫 然 不 知 所 措 。 养 数 学 应 用 意 识 必 须 从 共 建 者 。 培 教 师抓 起 。 建 构 主 义观 点 下 , 师 是 教 学 在 教 活 动 的 组 织 者 、 导 者 , 义 建 构 的 帮 助 指 意
它 虽 与学 习 、 握 纯 粹 数 学 的 能 力 有 密 切 掌 关 系 , 并不 等价 。 用 的意 识 、 巧 、 但 应 技 方
教师资格证-(高中)数学-章节练习题-第三章-教学知识-第三节-数学学习及中学数学学习方式
教师资格证-(高中)数学-章节练习题-第三章教学知识-第三节数学学习及中学数学学习方式[单选题]1.()是在数(江南博哥)学教学实施过程中为了查明学生在某一阶段的数学学习活动达到学习目标的程度,包括所取得的进步和存在的问题而使用的一种评价。
A.诊断性评价B.形成性评价C.终结性评价D.相对评价参考答案:B参考解析:题干所述为形成性评价的定义。
诊断性评价一般在学习某一部分新知识之前进行,形成性评价是一种过程性评价,终结性评价是一种结果性评价。
[单选题]2.在学习数学和应用数学的过程中逐步形成和发展的数学学科核心素养包括:()、直观想象、数学运算、数据分析等。
A.分类讨论B.数学建模C.数形结合D.分离变量参考答案:B参考解析:《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中明确指出,数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
[问答题]1.在高中的教学中,教师应帮助学生打好基础、发展能力,请简述具体的做法。
参考答案:无参考解析:教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能,发展能力。
具体来说:(1)强调对基本概念和基本思想的理解和掌握教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。
由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。
在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.在初步运用中逐步理解概念的本质。
(2)重视基本技能的训练熟练掌握一些基本技能,对学好数学是非常重要的。
在高中数学课程中,要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。
但应注意避免过于繁杂和技巧性过强的训练。
(3)与时俱进地审视基础知识与基本技能随着时代和数学的发展,高中数学的基础知识和基本技能也在发生变化,教学中要与时俱进地审视基础知识和基本技能。
高三数学复习计划
高三数学复习计划高三数学复习计划1、全面复习夯实基础打好基础,首先必须重视数学基本概念、基本定理(公式、法则)的复习,在理解上下功夫,整体把握数学知识。
这部分内容的复习要做到,不打开课本,能选择适当途径将它们一一回忆出来,它们之间的脉络框图,能在自己大脑中勾画出来。
如函数可以利用框图的形式由粗到细进行回忆。
概念要抓住关键及注意点,公式及法则要理解它们的来源,要理解公式法则中每一个字母的含义,即它们分别表示什么,这样才能正确使用公式。
在平时的学习时,不要满足这个问题我们会解出答案就行了,而其他的方法却不去研究了,尤其课堂上,老师通过一个典型的例题介绍处理这种问题有哪些方法,可以从哪些不同的角度来思考问题。
事实上,从宏观上讲,方法没有好坏之分,只是在解决具体的问题时才有优劣之分,更重要的是要关注通性、通法的掌握,而不能仅关注此问题特殊的、简单的方法。
因此课堂上,每一种方法我们都应积极思考,认真研究并掌握,这样在解决具体问题时才能游刃有余。
2.突出重点在考试说明的要求中,对知识的考查要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用几个层次。
一般地说,要求理解的内容,要求掌握的方法,是考试的重点。
在历年考试中,这方面考题出现的概率较大;在同一份试卷中,这方面试题所占有的分数也较多。
突出重点,不仅要在主要内容和方法上多下功夫,更重要的是要去寻找重点内容与次要内容间的联系,以主带次。
主要内容理解透了,其他的内容和方法就迎刃而解。
3.不断"内化"提高分析和解决问题的能力多做练习,但不能仅满足于得到问题的答案,要对做过的类似问题放在一起及时进行比较总结,将问题解决方法进行总结,解决的步骤程序化,以更好指导自己以后的解题,再在应用的过程中不断调整,这样可以"事半功倍",从而提高自己分析、解决问题的能力,这是获得优异成绩的关键所在。
4、强化数学思想方法数学不仅仅是一种重要的工具,更重要的是一种思维模式,一种思想。
学数学的几个建议
学数学的几个建议1、记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师为备战高考而加的课外知识。
2、建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。
争取做到:找错、析错、改错、防错。
达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
3、记忆数学规律和数学小结论。
4、与同学建立好关系,争做“小老师”,形成数学学习“互助组”。
5、争做数学课外题,加大自学力度。
6、反复巩固,消灭前学后忘。
7、学会总结归类。
可:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类如何学好高一数学关键是找到适合自己的学习方法数学是必考科目之一,故从高一开始就要认真地学习数学。
那么,怎样才能学好数学呢?现介绍一下方法以供参考:一、课内重视听讲,课后及时复习。
新知识的接受,数学能力的培养主要在课堂上进行,所以要特点重视课内的学习效率,寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路,积极展开思维预测下面的步骤,比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习,课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍,正确掌握各类公式的推理过程,庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业,勤于思考,从某种意义上讲,应不造成不懂即问的学习作风,对于有些题目由于自己的思路不清,一时难以解出,应让自己冷静下来认真分析题目,尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结,把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络,纳入自己的知识体系。
二、适当多做题,养成良好的解题习惯。
要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,再找一些课外的习题,以帮助开拓思路,提高自己的分析、解决能力,掌握一般的解题规律。
对于一些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在,以便及时更正。
算法思想在高中数学中的有效渗透
算法思想在高中数学中的有效渗透作为“程序化思想”的典型代表,算法思想与其他诸如函数思想,方程思想之间相互渗透,因此我们可以从算法角度去理解函数思想,进而将算法贯穿于整个高中数学的学习中,本文通过分析算法思想与函数的密切关联,提出了教师要引导学生从不同角度把握算法思想、结合数学史加深算法的渗透,将算法思想渗透到日常生活学习中等建议,对高中教师的教学有指导意义。
标签:算法思想教学算法渗透函数思想引言本次高中数学课程改革将“算法初步”列为高中必修课程内容的一部分。
王尚志教授在新教材课程培训中说:“我们有一个更重要的想法,就是把算法的思想贯穿于教材的自始至终,凡是能够用算法表示出来的东西,我们尽量用算法表示出来.” 本文以探讨算法思想与函数思想的相互渗透为例,以冀对一线教师有所启发,可以在后续的教学中,把算法的思想贯穿于教材的自始至终。
一、对算法思想的理解算法的基本思想是程序化思想.要理解算法的基本思想,一定要把握算法的主要特征:①有穷性:一个算法的步骤序列是有限的,它应在有限步操作之后停止,而不能是无限的.②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果.③顺序性:算法从初始步骤开始分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,只有执行完前一步才能进行下一步.④不唯一性:求解某一个问题的解决不一定是唯一的,可以有不同的算法.⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都是经过事先设计好的步骤加以解决.二、算法思想的的教学现状1.由于教师整体上掌握的算法知识还是不够深入系统,对于具体数学问题背后普遍的算法思想无法很好的把握,所以教师很难从算法思想的高度去理解并很好地渗透到其他知识(比如函数,方程、数列等)的教学之中,使得算法教学孤立于高中知识系统之外。
2.中国古代数学以算法为主要特点,即“从问题出发,建立算法的机械化”,教师对中国数学史知识的缺乏造成对算法思想来源的无知,影响教师将算法思想融入到教学实践中去。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用在高中数学教学中,函数是一个非常重要的概念。
函数的思想贯穿于数学的各个领域,不仅在数学理论中有着重要的地位,而且在解题中也有着广泛的应用。
函数思想在高中数学解题中的应用,可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识,提高解题的效率和准确性。
本文将从函数的定义和特点、函数在高中数学解题中的应用以及相关解题技巧等方面展开探讨,希望能帮助学生更好地理解和应用函数思想。
一、函数的定义和特点在高中数学中,函数是一个非常基础的概念。
函数通常可以用一个数学表达式来表示,它包括自变量和因变量两部分。
自变量是函数中的输入值,而因变量是函数中的输出值。
函数的定义通常是这样的:如果对于每一个属于定义域的自变量x,函数f(x)都有唯一的对应值y,则称函数f是定义在定义域上的。
函数有着许多特点,其中包括单调性、奇偶性、周期性等。
这些特点在解题中都有着非常重要的应用。
通过函数的单调性可以确定函数的增减性,从而帮助我们分析函数的变化趋势;通过函数的奇偶性可以简化函数的运算,减少解题的复杂度;通过函数的周期性可以确定函数的周期,从而帮助我们分析函数的周期性变化规律。
函数思想在高中数学解题中有着广泛的应用,涉及到数学的各个分支,比如代数、几何、概率等。
下面我们就来具体看一下函数在高中数学解题中的应用。
1. 代数方程的解法函数思想在代数方程的解题中有着非常重要的应用。
通过定义函数并建立函数关系,可以将一个复杂的代数方程转化为一个简单的函数关系,从而简化问题的求解过程。
这种方法在解决线性方程组、二次方程、高次方程等代数方程时都有着广泛的应用。
对于一个二次方程ax²+bx+c=0,我们可以定义一个函数f(x)=ax²+bx+c,然后通过函数的性质和特点来确定方程的解的存在性、唯一性和具体的解法。
这种方法不仅可以简化问题的求解过程,而且可以帮助学生更好地理解代数方程的本质和求解方法。
2. 函数图像的分析在高中数学中,函数图像的分析是一个非常重要的内容。
高三数学课程教学计划
高三数学课程教学计划高三数学课程教学计划高三数学课程教学计划(一)一、指导思想高三数学教学要以《全日制普通高级中学课程计划》为依据,全面贯彻教育方针,积极实施素质教育。
提高学生的学习能力仍是我们的奋斗目标。
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化,坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
高考试题不但坚持了考查全面,比例适当,布局合理的特点,也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养,这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
二、教学建议1、高度重视基础知识,基本技能和基本方法的复习。
“基础知识,基本技能和基本方法”是高考复习的重点。
我们希望在复习课中要认真落实“五十次基础练习”,并注意蕴涵在基础知识中的能力因素,注意基本问题中的能力培养。
特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析,应用。
2、高中的‘重点知识'在复习中要保持较大的比重和必要的深度。
原来的重点内容函数、不等式、数列、立体几何,平面三角及解析几何中的综合问题等。
在教学中,要避免重复及简单的操练。
新增的内容:向量、概率等内容在复习时也应引起我们的足够重视。
总之、高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心,加强运算能力为主体进行复习。
3、重视‘通性、通法'的落实。
要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上;放在体现通性、通法的例题、习题上;放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量,定出实施方法和评价方案。
4、认真学习《考试说明》,研究高考试题,提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据,复习的依据。
高考试题是《考试说明》的具体体现。
只有研究近年来的考试试题,才能加深对《考试说明》的理解,找到我们与命题专家在认识《考试说明》上的差距,并力求在复习中缩小这一差距,更好地指导我们的复习。
5、渗透数学思想方法,培养数学学科能力。
《考试说明》明确指出要考查数学思想方法,要加强学科能力的考查。
我们在复习中要加强数学思想方法的复习,如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想。
浅谈定义域优先原则
浅谈定义域优先原则函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终,函数是历年高考命题的重点。
函数的定义域是构成函数的两大要素之一,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。
在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。
它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。
一、函数关系式与定义域函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误。
如:例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得:S=x(50-x)故函数关系式为:S=x(50-x)。
如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x的范围。
也就说学生的解题思路不够严密。
因为当自变量x取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:00)在R上适用,而在指定的定义域区间[p,q]上,它的最值应分如下情况:(1)当时,y=f(x)在[p,q]上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)min=f(q);(2)当时,y=f(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q);(3)当时,y= f(x)在[p,q]上最值情况是: ,故本题还要继续做下去:∵-2≤1≤5f(5)=52-2×5-3=12∴f(-2)=(-2)2-2×(-2) -3=-3∴f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)+12∴函数y+x2-2x-3在[-2,5]上的最小值是-4,最大值是12。
这个例子说明,在函数定义域受到限制时,若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,便体现出学生思维的灵活性。
函数中易忽视的隐含条件
函数中易忽视的隐含条件
邢丽美
【期刊名称】《数理化解题研究:高中版》
【年(卷),期】2012(000)001
【摘要】函数贯穿于高中数学的始终,是高中数学考查的热点内容,因其概念性较强,解题方法灵活等特点,做题过程中如果审题不清,忽视隐含条件,很容易导致结果出错.下面就典型例题加以分析.
【总页数】2页(P7-8)
【作者】邢丽美
【作者单位】河北省邱县第一中学,057450
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.计算机基础教学中Excel易忽视函数的探讨
2.三角函数中不容忽视的隐含条件
3.函数中易忽视的隐含条件
4.隐含条件知多少——谈三角函数解题时对隐含条件的挖掘
5.例析忽视“隐含条件”易出的错误
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将“什么”贯穿于高中数学解题的始终
作者:张宏祥
来源:《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第01期
摘要:本文从四个方面探讨了如何培养学生的解题能力及提升学生的思维水平,即看清题设,弄清考查什么知识;观察结构,思考常用什么方法;寻思点面,推敲遗漏什么细节;提炼层次,领悟掌握什么题型.
关键词:高中数学;解题模型;等价转换;观察结构
高中数学教学的最终目的归结为:快速培养学生的解题能力,努力提升学生数学思维水平.这两者应该始终贯穿于数学解题的始终,我们必须把它放在十分显眼的位置.那么,怎样才能培养学生的解题能力,提升学生数学思维水平呢?从个人多年的教育教学中提炼出以下几点,即考查什么知识,常用什么方法,注意什么细节,掌握什么题型这四个“什么”.将四个“什么”贯穿于解题的始终,更有利于学生找准问题的切入点即所谓的题眼;更能从整体上把握一类题的解法.
看清题设,弄清考查什么知识
平时的教学过程中时刻会发现这样的现象:学生明明知道这是错误的做法,但还是坚持做到最后,这究竟是为什么.经了解,有些学生说,教师讲过绝不能留有空白,尤其是填空题;但更多的是,不知道为什么,当时也看不清什么思路,更谈不上什么层次感,就尽管写着,对最终的结果也不抱有很大的希望!
说到我们教师自己,也许也经常出现这样的局面,明明知道此类题讲了,没有效果或者说与考纲脱离,但事实上最后还是讲了,而且讲得很投入甚至还有教师在此基础上进行了补充.可以说我们每一位教师基本上都是解题高手,几乎没有一道题会难倒他们,除了参加备课、集体听评课、知识周整理课之外,其余的时间还能干什么呢?休闲的空间和时间都很有限,唯一感到乐趣的只剩下“研究”考题了,一日复一日,一年复一年地这样研究着.谁知这样的研究便是偏、难、怪,把自己研究的成果也拿到课堂上来,可谓讲得得心应手,教师有这样的敬业精神很是难得,也需要这样的精神才能把学生培养成人才.但在我们教师讲授的过程中,有没有感到一双双茫然的眼睛盯着你,恳求将难度降下来,将语速减下来等等.
我们决不能用自己专业的快速成长去代替学生的缓慢进步,我们要知道自己已从事多年的教育教学,整天在研究如何变换题设与结论,怎样改设题组等工作.而我们的学生是初次接
触新知识,初次涉及新的领域.我们应站在他们的角度重新认识事物,提出他们接受的观点,在此基础上纠错他们的一些片面的认识,从而成功地去构建他们新的知识体系.
例题:若函数y=log2(ax2+(a-1)x+)的定义域为R,求实数a的取值范围.
(*)
分析1:函数三要素(定义域、对应法则、值域)中,定义域显得尤为重要,尤其体现在函数图象、函数单调区间的求解过程中,只要定义域变化,函数性质随之而改变.弄清定义域的本质,即使得表达式有意义的自变量x的取值集合,有关定义域的求解最终归结为解不等式(组).
观察结构,思考常用什么方法
?摇?摇如何更有实效地解决解题过程中的核心问题,笔者认为引导学生善于观察数学式子的结构是获取解题方法的有效途径.高中数学知识比初中数学知识更具有紧密性和灵活性,它需要学者从多角度分析知识所具有的特征,寻找题眼,获得解题突破口,扩展思维空间,使问题得以解决.
分析2:函数y=log2ax2+(a-1)x+的定义域为R,等价为不等式ax2+(a-1)x+>0对任意x∈R恒成立,?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇(1)
等价为:构建的新函数h(x)=ax2+(a-1)x+(x∈R)的图象始终在x轴的上方.(2)
将原始问题等价转换为不等式的恒成立问题或者函数图象与x轴的位置关系的问题.从结构上看(2)的函数h(x)=ax2+(a-1)x+(x∈R)的图象很难作出,表现在真假二次函数的讨论及二次函数图象与x轴的三种情形:没有交点,唯一交点,两个不同交点.根据函数、不等式之间的转化关系可得如下解法.
略解:①当a=0时,即-x+>0,故不等式对任意自变量x不恒成立,所以a=0不符题意.
?摇?摇?摇②当a≠0时,函数h(x)=ax2+(a-1)x+(x∈R)为二次函数,可以从二次函数的图象与x轴的位置关系考虑,即Δ判别式.当a0时,二次函数开口方向向上,确保二次函数图象恒在x轴的上方,仅需Δ
点评提升:1.形如y=logag(x)类型的函数性质的研究,完全可以转化为两个基本函数的研究,即对外函数:对数函数y=logat,内函数:真假二次函数t=ax2+(a-1)x+的研究.
2.对此类型函数性质的研究务必紧扣内、外函数自变量的取值范围.
警示领悟:高中数学的两大思想方法:分类讨论、数形结合应该时刻贯穿于我们的解题过程中;等价转换的理念应时刻用来简化繁、难结构题;用规范解题来减少不必要失误,尤其是运算问题.?摇?摇?摇?摇
寻思点面,推敲遗漏什么细节
课堂教学要及时关注师生互动的环节,既要尽情投入课堂,又更要懂得跳出课堂,知道何时慢节奏何时快步伐.这也是笔者经常与学生所说的,学生上课听讲是很投入的,乃至于无法自拔.笔者很担心这样局面的出现,因为当学生跳不出课堂所设置的各种框架时,在面对新问题、新形势时,带来的必然是被淘汰的下场,所以我们在研究学问时,到达某一个关键点时,应该懂得及时停下来,花更少的时间检验重要的结论,合理巧妙地处理好题目中的若干个关键点,从而才能获取更完美的结局,正所谓“懂得停下来的人更懂得如何加速”.
上述解题过程中常常被遗忘的有两个细节:1.真假二次的讨论,即对参数a的讨论.此问题是学生更是教师头疼的问题,无论讲解多少遍,都很难达成教学的目标,关键问题在于学生思想观念的转变上,按照我们常规解题习惯,研究函数务必紧扣我们研究的究竟是什么类型的函数,此类型函数值得注意的点、面有哪些. 2.分不清层次,乱用Δ判别式,只要一看到结构“ax2+(a-1)x+”满脑子就呈现出Δ判别式:Δ>0,Δ=0,Δ
我们常说某个题目对学生来说是一个难题,难在哪儿呢?很大程度难在关键点、转折点上,即隐含条件的深度与广度.一般而言,隐含条件通常隐藏在数学的概念与性质中,或者隐藏在函数的定义域与值域之中,或者隐藏在图形的特殊位置上,或者隐藏在知识的相互联系之中.因此,教学的重点应放在培养学生挖掘隐含条件的思维能力上,把命题者所要考查我们的潜在信息呈现出来,弄透考查目的,进而能够达到由已知条件向最终结论推理的目的.
提炼层次,领悟掌握什么题型
本文主要研究的题型是有关定义域为R的问题,按照上面归纳的几点足以得到完美解决.若将命题改为:若函数y=log2ax2+(a-1)x+的值域为R,求实数a的取值范围.显然是两个不同的题型,如若按照上面的思维一成不变地照搬可能就要出严重的问题,那么如何巧解此题,最关键的点又在哪儿呢?我们知道对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)的值域为R取决于自变量x∈(0,+∞),那我们如何去刻画真数h(x)越来越正趋向于0,但又不等于0呢?这就是此类题的关键点.我们同样地构造新函数h(x)=ax2+(a-1)x+,目标即转化为函数h(x)=ax2+(a-1)x+的值域记作A,即(0,+∞)?哿A.
略解:(1)当a=0时,函数h(x)=-x+,满足(0,+∞)?哿A;
(2)当a>0时,Δ≥0,即Δ=(a-1)2-4a•≥0,
解得a≤或a≥,
所以0
综上所述,满足条件的a的取值范围是0≤a≤或a≥.
如何准确地求解数学问题,除了具有扎实的数学基础知识,以及明确的解题方向之外,更需要弄清条件的本质特征,以便能更好地进行逻辑整合,构建出解决问题的模型.
我们应当承认,我们的学生已经具有较为丰富的解题经验,能将数学基础知识、解题思想方法与问题条件进行有机组合,享受课堂成功解题的快乐.但是,我们却又经常听到不少学生反映,上课听教师讲课听得很“清楚”,但轮到自己独自面对时,困难重重,无从入手,面对高中数学知识的深度和广度,我们不得不时刻关注做题前的勘察,做题过程中关键点的检查,做题后的反思与归纳等环节.
如果我们能够从自己的实践中总结出内在的规律,将解题四环节“考查什么知识,常用什么方法,注意什么细节,掌握什么题型”进行具体运用,必定茅塞顿开,疑难尽释,就会感到解数学题不仅不是一种痛苦,而且还是一件乐事.。