厚积薄发-高考数学四十一讲---第三十七讲：导数的概念及其运算共9页文档
高三数学导数知识点归纳总结
高三数学导数知识点归纳总结导数作为高中数学的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。
在高三数学学习的过程中，导数的应用几乎贯穿了整个学期的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的知识，以下是对高三数学导数知识点的归纳总结。
一、导数的概念和定义导数是刻画函数局部变化率的工具，用来描述函数的瞬时变化速度。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以用极限表示：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。
二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都有相应的计算公式。
2. 基本运算法则：和差法则、积法则、商法则等，使我们能够对两个或多个函数进行加、减、乘、除的运算，并得到相应的导数。
3. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求得，即若y=f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
三、导数的几何意义导数表征了函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，导数大的正值表示函数在该点处增长快，导数小的正值表示函数在该点处增长慢，而导数为0表示函数在该点处取极值（极大值或极小值），导数为负表示函数在该点处减小。
四、导数的应用1. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数在某个区间上的极大值和极小值，常用的方法是求出临界点，并通过一阶导数的符号进行分类讨论。
2. 函数的单调性：通过一阶导数的正负来判断函数在某个区间上的增减性，从而求出函数的单调区间。
3. 函数的图像：利用导数的几何意义，我们可以绘制函数图像的大致形态，包括切线、拐点以及凹凸性等。
4. 最值问题：通过导数判断函数在某个闭区间上的最大值和最小值，在一阶导数和二阶导数的变号处可以找到极值点。
5. 泰勒展开：利用导数的概念和定义，我们可以将一个函数在某个点附近展开成无穷项的幂级数，从而近似计算函数的值。
总结起来，高三数学导数知识点的归纳总结涉及导数的概念和定义、计算法则、几何意义以及应用。
新高考导数知识点
新高考导数知识点导数是高中数学中的重要概念，它在数学和科学中有广泛的应用。
导数的概念和方法是新高考数学中需要掌握的知识点之一。
本文将介绍导数的概念、性质以及一些常用的求导法则。
一、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像上某一点的切线斜率。
设函数y=f(x)，则函数在某点x=a的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，h为自变量x的增量。
这一定义可以解释为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、导数的性质1. 导数的存在性：如果函数在某一点处可导，则导数存在；反之，如果导数存在，则函数在该点可导。
2. 导数的代数运算：导数具有线性性质，具体表现为：(1) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(2) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
3. 导数的乘法法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则(uv)' = u'v+uv'。
4. 导数的链式法则：设函数y=f(u)和u=g(x)都在某一点x处可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且其导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。
三、常用的求导法则在求解导数时，有一些常用的求导法则是非常有用的。
下面介绍几种常见的求导法则：1. 幂函数求导法则：设常数a和自然数n，函数y = xⁿ，则有y' = nxⁿ⁻¹。
2. 指数函数求导法则：设常数a，函数y = aˣ，则有y' = aˣlna。
新高考导数知识点总结大全
新高考导数知识点总结大全随着新高考改革的实施，导数已经成为高中数学领域的重要知识点。
导数是微积分的基础，它在物理学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在新高考中，导数作为一种数学工具，被广泛应用在各个领域的问题求解中。
本文将对新高考导数知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握导数。
一、导数的定义和性质导数的定义是导数是函数在某一点的变化率。
具体来说，对于函数y = f(x)，在x点处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h导数具有许多重要的性质，包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。
熟练掌握这些性质是解题的基础。
二、基本导数公式在新高考中，一些基本的导数公式需要掌握。
比如：1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有f'(x)=0；2. 一次函数y = kx的导数为k，即f'(x) = k；3. 幂函数y = x^n的导数为nx^(n-1)，即f'(x) = nx^(n-1)；4. 指数函数y = a^x的导数为a^x * ln(a)，即f'(x) = a^x * ln(a)；5. 对数函数y = ln(x)的导数为1/x，即f'(x) = 1/x。
这些基本的导数公式是解题的基础，同学们在备考新高考时务必熟练掌握。
三、导数的应用导数在各个领域的应用广泛。
在新高考中，导数常被应用于函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性等问题的求解。
1. 极值问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点。
具体来说，对于函数y = f(x)，当f'(x) = 0时，x就是函数的极值点。
再通过二阶导数的符号确定是极大值还是极小值。
2. 单调性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的单调性。
具体来说，如果在一个区间上，函数的导数始终大于0（或始终小于0），那么函数在这个区间上是递增（或递减）的。
3. 凹凸性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的凹凸性。
高考函数导数知识点总结
高考函数导数知识点总结高考是每位学生人生中的重要阶段，而数学则是高考中最为重要的一门科目之一。
在高考数学中，函数导数是一个必备的知识点。
函数导数的掌握不仅能为学生在高考中取得更好的成绩，还能为其今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
下面对常见的函数导数知识点进行总结和归纳，希望对高考学生有所帮助。
一、导数的定义和求法1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，用极限的概念表示。
2. 导数的求法：- 基本求导公式：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以幂函数的底数的幂次减1。
- 乘法法则：若u(x)、v(x)为可导函数，则(uv)(x)的导数为u(x)·v'(x) + v(x)·u'(x)。
- 除法法则：若u(x)、v(x)为可导函数，并且v(x)不等于0，则(u/v)'(x)的导数为[u'(x)·v(x) - v'(x)·u(x)] / [v(x)]的平方。
- 复合函数求导法则：若y=f(u)，u=g(x)为可导函数，则y=f(g(x))的导数为f'(u)·g'(x)。
二、常见函数的导数1. 幂函数及其特殊情况：- f(x) = ax^n的导数为f'(x) = a·n·x^(n-1)。
- f(x) = x^n的导数为f'(x) = n·x^(n-1)。
2. 三角函数及其反函数：- f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
- f(x) = cos(x)的导数为f'(x) = -sin(x)。
- f(x) = tan(x)的导数为f'(x) = sec^2(x)。
- f(x) = arcsin(x)的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- f(x) = arccos(x)的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的概念及运算讲课文档
【思维升华】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应 用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值： k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
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(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
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5 ． 曲 线 y ＝ － 5ex ＋ 3 在 点 (0 ， － 2) 处 的 切 线 方 程 是 ________．
【解析】 因为y′|x＝0＝－5e0＝－5， 所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 【答案】 5x＋y＋2＝0
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5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为yx′＝_y_u_′__·__u_x_′_，即y对x的导数等于_y_对__u_ 的导数与_u__对__x的导数的乘积.
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【知识拓展】 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函 数的导数还是周期函数． 2.f（1x）′＝－f[′f（（x）x）]2(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢， |f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__f_′_(x_0_)_．
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
高数导数的概念
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲程度等方面有重要 应用。
导数的物理应用
定义
导数是微积分的基本概念之一， 它描述了函数值随自变量变化的 速率。在物理学中，导数可以用 来描述物理量随时间或空间的变 化率。
计算方法
通过物理定律和公式，可以推导 出各种物理量的导数，从而得到 它们的变化率。
应用
应用
导数在经济学中有广泛的应用，如边际分析、最优化问题、需求弹性等都需要用到导数。
THANKS
感谢观看
导数可以用来求函数的极值，通过求导并 令导数为0，可以找到函数的极值点。
VS
详细描述
首先求出函数的导数，然后令导数等于0， 解出对应的自变量值，这些点就是函数的 极值点。在极值点处，函数可能会取得极 大值或极小值。
利用导数求曲线的切线方程
总结词
详细描述
利用导数可以求出曲线上某一点的切线方程， 通过求导可以找到切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在某一点的切 线。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该 点的导数值。导数大于零表示切线斜率为正，函数在该点处 单调递增；导数小于零表示切线斜率为负，函数在该点处单 调递减。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率。
通过解这个导数方程，可以得到该变 量的导数。
03
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
导数可以用来判断函数的单调性，通过导数的正负来判断函数在某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间内单调递 减。
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
新高考导数知识点汇总
新高考导数知识点汇总导数是高中数学中的一项重要内容，作为数学分析的基础，它在新高考中也占据着重要的位置。
在新高考改革背景下，导数的考查变得更加全面和细致，要求学生不仅要理解概念，还要掌握运用。
本文将汇总新高考导数知识点，以帮助学生全面理解和掌握导数的相关内容。
一、导数的定义和基本概念在学习导数的过程中，首先要了解导数的定义和基本概念。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
具体来说，若函数f(x)在点x处的导数存在，则将其记作f'(x)，其定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量。
导数的基本概念还包括导函数、导数的几何意义、导数的符号判定等。
二、求导法则求导法则是导数计算的基础。
常见的求导法则包括：1. 常数求导法则：常数的导数为0。
2. 幂函数求导法则：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数求导法则：对于函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，其导数为f'(x) = a^x·lna。
4. 对数函数求导法则：对于函数f(x) = logₐx，其中a为常数且a>0且a≠1，其导数为f'(x) = 1/(x·lna)。
5. 三角函数求导法则：对于函数f(x) = sinx，f'(x) = cosx；对于函数f(x) = cosx，f'(x) = -sinx；对于函数f(x) = tanx，f'(x) = sec²x。
6. 反三角函数求导法则：对于函数f(x) = arcsinx，f'(x) = 1/√(1-x²)；对于函数f(x) = arccosx，f'(x) = -1/√(1-x²)；对于函数f(x) = arctanx，f'(x) = 1/(1+x²)。
最新厚积薄发-高考数学四十一讲---第三十七讲：导数的概念及其运算
厚积薄发-高考数学四十一讲---第三十七讲：导数的概念及其运算第三十七讲 导数的概念及其运算一、引言1.导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材．导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一．2.考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．3.考情分析：预测2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，重点考查导数的几何意义和切线问题．二、考点梳理1．导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='．即00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '．相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-．3．导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C '=；1()m m x mx -'=；(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=；()'x x e e =；()'ln x x a a a =．(2)导数的运算法则：设)()(x v v x u u ==、均可导，则()u v u v '''±=±；()u v u v uv '''⋅=+；u C Cu '=')(（C 为常数）；)0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u (3)复合函数的导数：设)()(x u u f y ϕ==、均可导，则复合函数)]([x f y ϕ=可导，且).()(x u f u y y x u x ϕ'⋅'='⋅'='三、典型例题选讲例1（2008北京卷）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口．解：由图形可知，()((0))42f f f ==，()0(1)(1)40lim '1202x f x f f x ∆→+∆--===-∆-． 归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力．(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化．利用导数的概念公式，0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，并结合其几何意义0()f x '为曲线在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．（3）本题常见的变形结构：0(1)(1)lim x f x f x ∆→-∆-∆、0(12)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等代数式的值．解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式． 如：()000(1)(1)(1)(1)lim lim 'x x f x f f x f f x x x∆→-∆→-∆--∆-=-=-∆-∆； ()0020(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2'2x x f x f f x f f x x x ∆→∆→+∆-+∆-==∆∆.例2 求函数的导数：21(1) (1)cos xy x x -=+； ()()()(2)123y x x x =+++；()3(3)sin y a x b ω=+；(4)y =．分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数．解：（1）22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1)cos x x x x x x y x x ''-+--+'=+2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x ''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+；（2）()()2323236116y x x x x x x =+++=+++.∴2'31211y x x =++；（3）令3y au =，sin u v =，v x b ω=+，∴()()3222''3'3sin '3cos 'y au au u au v au v v ==⋅=⋅=⋅⋅()()23sin cos a x b x b ωωω=+⋅+；（4）∵)]1ln([ln 2122+-=x x e e y ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++-'=')1(11)(1212222x x x x e e e e y 222221221.211x x x x x e e ee e ⎡⎤⋅⋅=-=⎢⎥++⎣⎦ 归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力．（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导．（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．例3 某日中午12时整，甲船自A 处以16/km h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km 处以24/km h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_______________/km h ．分析：由题意知S ∆=12t ∆=，且()s t 相对时间t 的导数就是变化率的极限是瞬时速度．因此只需求函数()s t 在12t =时的导数值． 解：设t 小时后两船距离为s ，则有s ==.()()()1221'83286432483228642s t t t t -=-+⋅⋅-. 1' 1.62s ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴答案为 1.6/km h -.归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义解决物理问题，能正确了解导数的某些实际背景，熟练运用复合函数的求导法则，而且考查了数学转化和建模思想，及用导数知识处理实际问题的能力．（2）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移()s t 相对时间t 的导数是表示时刻t 处的瞬时速度，即()'v s t =；而速度相对时间t 的导数就是时刻t 处的加速度，即'()a v t =．例4（2009江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .分析：利用点P 处的切线的斜率()0'k f x =，且00x <即可解出0x ，从而解出点P 的坐标．解：∵2'3102y x =-=，∴24x =.∵点P 在第二象限内，∴2x =-.∴点P 的坐标为()2,15-.归纳小结：（1）本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则，对函数解析式的分析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求．（2）导数的几何意义是：曲线在点()00,x y 处的切线斜率为()0'k f x =，这是考查的重点内容之一．例5（2007年海南、宁夏）曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24e C ．22e D ．2e 分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积．解：∵曲线在切点()24,e 的切线的斜率为()21'42k f e ==， ∴切线方程为()22142y e e x -=-. 当0x =时，切线与y 轴交于点()20,e -；当0y =时，切线与x 轴交于点()2,0． 所以切线与坐标轴所围三角形面积为2212=2S e e =⨯⨯． 归纳小结：（1）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想．（2）求曲线的切线方程的步骤是：①求导数()'f x ；②求斜率()0'k f x =；③写出切线方程))((000x x x f y y -'=-．例6 过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+= 分析：若切点()00,x y ，则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率()0'k f x =，因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口．解：设切点坐标为()2000,1x x x ++，则切线的斜率为021k x =+，所以切线方程为()()()20000121y x x x x x -++=+-，因为点()1,0-在切线上，所以()()()200001211x x x x -++=+--，化简得2002x x =-，可解得00x =或02x =-．当00x =时，1k =，切线方程为10x y -+=；当02x =-时，3k =-，切线方程为330x y ++=．故选D ．归纳小结：（1）本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键．（2）要注意的是，当函数()f x 在0x x =处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率k 是应是在切点处的导数，而点()1,0-不在曲线上，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程．例7 已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线．若1C 和2C 有且仅有一条公切线，求a 的值，并写出此公切线的方程．分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线1C 和2C 的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题．解：设抛物线1C 上的切点为()2111,2P x x x +，则在点P 处切线的斜率为()11'22k f x x ==+，所以抛物线1C 在点P 处的切线方程是：()()()21111222y x x x x x -+=+-.即()21122y x x x =+-…………………①同理，设曲线2C 上的切点为()222,Q x x a -+，则曲线在点Q 处的切线方程是2222y x x x a =-++………………②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，则1222121x x x x a+=-⎧⎨-=+⎩ 消去2x 得方程2112210x x a +++=.若判别式()44210a ∆=-⨯+=时，即12a =-时，得112x =-，此时点P 和Q 重合． 即当12a =-时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-． 归纳小结：（1）本题主要考查导数、切线等知识，同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力．（2）本题的特点是主要是新定义了概念，在新定义的概念背景下解决问题．其解决方法是对新概念“曲线1C 和2C 的公切线”进行充分的分析，从中找出关键信息进行再加工，从而合理地进行问题的转化.例8 已知函数()432f x ax bx cx dx e =++++为偶函数，它的图象过点()0,1A -，且在1x =处的切线方程为220x y +-=，求函数()f x 的解析式．解：∵函数图象过点()0,1A -，∴1e =-.∵函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=.∴43243211ax bx cx dx ax bx cx dx +++-=-+--，即0b d ==.∴()421f x ax cx =+-，∴()3'42f x ax cx =+.当1x =，()'1422f a c =+=-，对于直线220x y +-=可得0y =，即切点为()1,0.∴点()1,0也在函数图象上，即10a c +-=.由1422a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得2,3a c =-=. ∴()42231f x x x =-+-.归纳小结：（1）本题考查了函数几何意义的逆向运用，以及奇偶函数的概念和切点坐标的使用，对数学逆向运用能力和迁移能力也进行了考查．（2）一般地说，奇（偶）函数是多项式时，奇函数的偶次项系数为0，偶函数的奇次项系数为0.要注意切点的位置，既在切线上又在曲线上，所以其坐标满足直线和曲线方程，也是本题建立关于参数的方程组，求出参数的值的突破口．例9（2007全国Ⅱ）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．分析：第（1）利用导数的几何意义可以解出．第（2）问过点可作曲线的三条切线，则有三个切点，即第（1）问的切线方程有三个根，因此问题转化为对切线方程根的个数的讨论．解：（1）求函数()f x 的导数：2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-.当t变化时，()()g t g t'，变化情况如下表：由()g t的单调性，当极大值0a b+<或极小值()0b f a->时，方程()0g t=最多有一个实数根；当0a b+=时，解方程()0g t=得32at t==，，即方程()0g t=只有两个相异的实数根；当()0b f a-=时，解方程()0g t=得2at t a=-=，，即方程()0g t=只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b，可作曲线()y f x=三条切线，即()0g t=有三个相异的实数根，则()0.a bb f a+>⎧⎨-<⎩，即()a b f a-<<．归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义，方程的根的的个数讨论，极值等知识，考查了分类讨论和数形结合思想，分析解决综合问题的能力．（2）利用图形考查方程根的个数问题是一种常见的考题形式，只要转化为函数的极值与x轴的相对位置即可．四、本专题小结1．导数0000()()()lim limx xf x x f xyf xx x∆→∆→+∆-∆'==∆∆是函数()y f x=在点x处的瞬时变化率，它反映的是函数()y f x=在点x处的变化的快慢速度，它的几何意义是曲线()y f x=上点()()00,x f x处的切线的斜率．因此，如果()y f x=在精品好文档，推荐学习交流仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 点0x 处可导，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()()000'y f x f x x x -=-；2．熟记导数的四则运算法则、基本函数的导数公式、复合函数的求导法则；3．在对函数求导时应尽可能先化简，再求导．对复合函数进行求导时，关键是分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，正确地求出导数；4．导数在实际问题中有着广泛的应用，要熟练运用导数的几何意义解决具有实际意义的物理问题．。
(完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。
若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。
注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。
如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。
函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。
如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。
2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
新高考数学复习考点知识讲义课件17---导数的概念及运算
微思考
1.根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何 变化？ 提示 |f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭. 2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？ 提示 在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点.
思维升华
(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后 求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度减少差错. (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导. ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
题型二 导数的几何意义
师生(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝ f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是
√
解析 由y＝f′(x)的图象是先
上 升 后 下 降 可 知 ， 函 数 y ＝ f(x)
图象的切线的斜率先增大后减
小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处 的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ 0 .
思维升华
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关 系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切 线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切 线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.
3.已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝－1e .
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax， ∴f′(e)＝2ae＋2＝0， ∴a＝－1e.
导数的概念及运算课件
Δx
.
如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)
在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f ′(x)构成一个新的函
数，这个函数称为函数 f(x)的导数．
第三章 第一节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
4．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的_切__线__的__斜__率__． 导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体在 t0 时刻的__瞬__时__速__度____．
答案：A
第三章 第一节
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点评：求曲线在某点处的切线方程，应先求该点处的导数 值，得到切线斜率．再写出切线方程．
第三章 第一节
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导数公式及运算法则 [例 3] 设 f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…， fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则 f2013(x)等于( ) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
A．2
B．－1
C．1
D．－2
第三章 第一节
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解析：lim x→0
f1－2fx1－2x＝lxi→m0
f1－－2x2－x f1＝－1，
即y′|x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
答案：B
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09.11.17高三文科数学《第37讲 导数的概念及运算》名师课件
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课前演练
4. 函数y x2 x1 2x ln x tan x的导数
是
y
2x
1 x2
2x
ln 2
1 x
1 cos2
x
.
5.曲线y x在点x 1 处的切线方程是 4
4x 4y 1 0 .
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典例精讲
x sin x （3）y x5 x7 x9 ；
x （4）y e x ln x.
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典例精讲
例3.已知直线l1为曲线y x2 x 2在点(1，0) 处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且 l1 l2 . （1）求直线l2的方程； （2）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的 面积.
（ D）
A. f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
B.
f ( x0 )
lim [
x0
f ( x0
x)
f ( x0 )]
C.
f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 ) x
D.
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
例1. 一物体在直线上运动，其运动方程为：
2t
(0 t 2)
s(t
)
0.5t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
(2
t
. 4)
（1）求此物体从t 1到t 3所经过的路程s和
它在这段时间的平均速度v ；
（2）求此物体在t 1时的瞬时速度v1和t 3时
高三数学导数的概念及运算
y=f(x)
Q
T
P
0
o
x
黄冈中学 袁小幼
瞬时速度 ∆s
第3秒
S=
1 2
gt2
第3+∆t秒
V= ∆s ∆t
当∆t
0，V= ∆s 无限趋近某个常数
∆t
切线的斜率
y
y=f(x)
Q
∆y
P
∆y T
kPQ= ∆x
∆x
0
x
当∆x
∆y 0，kPQ= ∆x 无限趋向某个常数
函数y=f(x)在x=x0处的导数 平均变化率
f’(x0)是f’(x)在x= x0处的函数值。
思考
y=x2为偶函数，其导函数y=2x为奇函数， 那么对于一般的函数是否有类似结论？
即函数y=f(x)在区间（-a, a）(a>0)内为 偶函数且可导，试讨论y=f’(x)在（-a, a） 内 的奇偶性.
设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，
当自变量在x=x0处有增量∆x时，则函数
y极=如限f(果x值)相∆叫x应做地0函时有数，增y∆∆=量yxf(∆x有y)在极=fx(限x=0x,+我0处∆们x的)就-f导(把x数0这) ，个
记作 y’ x=x0
即f’(x0)=
lim f(x0+∆x)∆x 0 ∆x
此时对于每一个x∈(a,b) ，都对应着一个确 定的导数f’(x)，从而构成了一个新的函数f’(x)。 称简这 称个 导函 数数，f’为(x0函)=数∆lxyim=f0f((xx)0在+∆∆开xx)区- f间(x0内) 的导函数，
记作y’ 即f’(x)=y’=∆lxim0f(x+∆∆xx)- f(x)
高三数学导数的概念与运算
，只见那上面悬浮飘动着壮观的九块大巨石，这九块大巨石一边晃动、一边发出古怪声响，此时巍巍巨树顶部十分奇异的计量仪器
牛毛形天光计量仪正射出九
束紫罗兰色的奇光，把九块大巨石装点的异常神奇华丽……而这次创意表演的内容就是要把肥猫转化制做成老虎，并要求其中的十项主要指标至少要达到超级水准！随
着二声礼炮的轰响，无数漂亮的小精灵拖着二缕深黄色的彩烟直冲天空……蘑菇王子站起身高声喝道：“本人蘑菇王子！太阳系的地球村！这次要让你们知道什么是森
(sin x)' cos x ； (cos x)' sin x ；
(ln x)' 1 x
；(log a
x)'
1 x
log a
e；
(e x )' e x ； (a x )' a x ln a 。
5．导数的四则运算法则：
[u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
[u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x)
的导函数，
记作
f
/ (x)
＝
y/
＝
lim y x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
2．求导数的方法：
（1）求函数的增量⊿y；
y
（2）求平均变化率 x ；
（3）求极限 lim y 。
x0 x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处 的切线的斜率，即斜率为 f / (x0 ) 。过点P的切
14.1导数的概念与运算 高三备课组
知识提要： 1．导数的概念：
《新高考全案》高考数学 41导数的概念及运算课件 人教
• [答案] A
3．设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在
点 P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点 P 横坐标的取
值范围为( )
A．[－1，－12]
B．[－1,0]
C．[0,1]
• [答案] A
D．[12，1]
若 f′(x0)＝2，则 li m k→0
fx0－k2k－fx0＝__________.
• 2．(2010·全国Ⅱ，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b) 处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
• A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
• C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
• [解析] y′＝2x＋a，因为切线x－y＋1＝0的斜率为1， 所以2×0＋a＝1，即a＝1.又(0，b)在直线x－y＋1＝ 0上，因此0－b＋1＝0，即b＝1.故选A.
• 4．生活中的优化问题 • 会利用导数解决某些实际问题 • 5．定积分与微积分基本定理 • (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基
本思想，了解定积分的概念．
• (2)了解微积分基本定理的含义．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/172022/1/17
导数知识归纳(课件)
一、导数有关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0）或y ′|0x x =。
即f ′（x 0）=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
2、导函数（1）定义：如果函数f(x)在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说f(x)在区间（a ，b ）内可导，这时对于区间（a ，b ）内每一个确定的值x 0，都对应着一个导数f ′（x 0）。
这样在开区间（a ，b ）构成一个新函数，称为f(x)在（a ，b ）内导函数（简称导数）。
记f ′（x ）f ′（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆ （2）在点x 0处导数、导函数关系函数在点x 0处导数就是在该点的函数改变量y ∆与自变量改变量x ∆的比的极限，是一个数值。
是导函数f ′（x ）在x ＝x 0处的函数值3、求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： 方法一、定义法：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim 。
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第三十七讲 导数的概念及其运算一、引言1.导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材．导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一．2.考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．3.考情分析：预测2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，重点考查导数的几何意义和切线问题．二、考点梳理1．导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0xx y ='．即00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '．相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-．3．导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C '=；1()m m x mx -'=；(sin )cos x x '=；(2)导数的运算法则：设)()(x v v x u u ==、均可导，则u C Cu '=')(（C 为常数）；)0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u (3)复合函数的导数：设)()(x u u f y ϕ==、均可导，则复合函数)]([x f y ϕ=可导，且).()(x u f u y y x u x ϕ'⋅'='⋅'='三、典型例题选讲例1（2008北京卷）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答） 分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决问题的突破口．解：由图形可知，()((0))42f f f ==，归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力．(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化．利用导数的概念公式，0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，并结合其几何意义0()f x '为曲线在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．（3）本题常见的变形结构：0(1)(1)lim x f x f x ∆→-∆-∆、0(12)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等代数式的值．解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式． 如：()000(1)(1)(1)(1)lim lim 'x x f x f f x f f x x x∆→-∆→-∆--∆-=-=-∆-∆； 例2 求函数的导数：分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数．解：（1）22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+ （2）()()2323236116y x x x x x x =+++=+++.（3）令3y au =，sin u v =，v x b ω=+，（4）∵)]1ln([ln 2122+-=x x e e y ，归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力．（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导．（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．例3 某日中午12时整，甲船自A 处以16/km h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km 处以24/km h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_______________/km h ．分析：由题意知S ∆=12t ∆=，且()s t 相对时间t 的导数就是变化率的极限是瞬时速度．因此只需求函数()s t 在12t =时的导数值．解：设t 小时后两船距离为s ，则有s ==. ∴答案为 1.6/km h -.归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义解决物理问题，能正确了解导数的某些实际背景，熟练运用复合函数的求导法则，而且考查了数学转化和建模思想，及用导数知识处理实际问题的能力．（2）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移()s t 相对时间t 的导数是表示时刻t 处的瞬时速度，即()'v s t =；而速度相对时间t 的导数就是时刻t 处的加速度，即'()a v t =．例4（2009江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .分析：利用点P 处的切线的斜率()0'k f x =，且00x <即可解出0x ，从而解出点P 的坐标．解：∵2'3102y x =-=，∴24x =.∵点P 在第二象限内，∴2x =-.∴点P 的坐标为()2,15-.归纳小结：（1）本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则，对函数解析式的分析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求．（2）导数的几何意义是：曲线在点()00,x y 处的切线斜率为()0'k f x =，这是考查的重点内容之一．例5（2007年海南、宁夏）曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24e C ．22e D ．2e分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积．解：∵曲线在切点()24,e 的切线的斜率为()21'42k f e ==， ∴切线方程为()22142y e e x -=-.当0x =时，切线与y 轴交于点()20,e -；当0y =时，切线与x 轴交于点()2,0． 所以切线与坐标轴所围三角形面积为2212=2S e e =⨯⨯．归纳小结：（1）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想．（2）求曲线的切线方程的步骤是：①求导数()'f x ；②求斜率()0'k f x =；③写出切线方程))((000x x x f y y -'=-． 例6 过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+= 分析：若切点()00,x y ，则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率()0'k f x =，因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口．解：设切点坐标为()2000,1x x x ++，则切线的斜率为021k x =+，所以切线方程为()()()20000121y x x x x x -++=+-，因为点()1,0-在切线上，所以()()()200001211x x x x -++=+--，化简得2002x x =-，可解得00x =或02x =-．当00x =时，1k =，切线方程为10x y -+=；当02x =-时，3k =-，切线方程为330x y ++=．故选D ．归纳小结：（1）本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键．（2）要注意的是，当函数()f x 在0x x =处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率k 是应是在切点处的导数，而点()1,0-不在曲线上，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程．例7 已知抛物线1C ：22y x x =+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线．若1C 和2C 有且仅有一条公切线，求a 的值，并写出此公切线的方程．分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线1C 和2C 的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题．解：设抛物线1C 上的切点为()2111,2P x x x +，则在点P 处切线的斜率为()11'22k f x x ==+，所以抛物线1C 在点P 处的切线方程是：()()()21111222y x x x x x -+=+-. 即()21122y x x x =+-…………………①同理，设曲线2C 上的切点为()222,Q x x a -+，则曲线在点Q 处的切线方程是2222y x x x a =-++………………②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，则1222121x x x x a+=-⎧⎨-=+⎩ 消去2x 得方程2112210x x a +++=.若判别式()44210a ∆=-⨯+=时，即12a =-时，得112x =-，此时点P 和Q 重合． 即当12a =-时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-． 归纳小结：（1）本题主要考查导数、切线等知识，同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力．（2）本题的特点是主要是新定义了概念，在新定义的概念背景下解决问题．其解决方法是对新概念“曲线1C 和2C 的公切线”进行充分的分析，从中找出关键信息进行再加工，从而合理地进行问题的转化.例8 已知函数()432f x ax bx cx dx e =++++为偶函数，它的图象过点()0,1A -，且在1x =处的切线方程为220x y +-=，求函数()f x 的解析式．解：∵函数图象过点()0,1A -，∴1e =-.∵函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=.∴43243211ax bx cx dx ax bx cx dx +++-=-+--，即0b d ==.当1x =，()'1422f a c =+=-，对于直线220x y +-=可得0y =，即切点为()1,0.∴点()1,0也在函数图象上，即10a c +-=.由1422a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得2,3a c =-=.归纳小结：（1）本题考查了函数几何意义的逆向运用，以及奇偶函数的概念和切点坐标的使用，对数学逆向运用能力和迁移能力也进行了考查．（2）一般地说，奇（偶）函数是多项式时，奇函数的偶次项系数为0，偶函数的奇次项系数为0.要注意切点的位置，既在切线上又在曲线上，所以其坐标满足直线和曲线方程，也是本题建立关于参数的方程组，求出参数的值的突破口．例9（2007全国Ⅱ）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．分析：第（1）利用导数的几何意义可以解出．第（2）问过点可作曲线的三条切线，则有三个切点，即第（1）问的切线方程有三个根，因此问题转化为对切线方程根的个数的讨论．解：（1）求函数()f x 的导数：2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-， 即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-.当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； 当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩， 即()a b f a -<<．归纳小结：（1）本题考查了导数的几何意义，方程的根的的个数讨论，极值等知识，考查了分类讨论和数形结合思想，分析解决综合问题的能力．（2）利用图形考查方程根的个数问题是一种常见的考题形式，只要转化为函数的极值与x 轴的相对位置即可．四、本专题小结1．导数00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆是函数()y f x =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的是函数()y f x =在点0x 处的变化的快慢速度，它的几何意义是曲线()y f x =上点()()00,x f x 处的切线的斜率．因此，如果()y f x =在点0x 处可导，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()()000'y f x f x x x -=-；2．熟记导数的四则运算法则、基本函数的导数公式、复合函数的求导法则；3．在对函数求导时应尽可能先化简，再求导．对复合函数进行求导时，关键是分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，正确地求出导数；4．导数在实际问题中有着广泛的应用，要熟练运用导数的几何意义解决具有实际意义的物理问题．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。