《曲线的参数方程》教学案1
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
《参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数方程与普通方程的区别。
通过实际例子展示参数方程的形式。
1.2 参数方程的应用探讨参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程等领域。
分析参数方程的优势和局限性。
第二章：曲线的参数方程2.1 曲线参数方程的定义解释曲线参数方程的概念，强调参数方程与曲线方程的关系。
通过实际例子展示曲线参数方程的形式。
2.2 曲线参数方程的应用探讨曲线参数方程在几何、物理、工程等领域中的应用。
分析曲线参数方程的优势和局限性。
第三章：参数方程的图像3.1 参数方程图像的绘制介绍如何绘制参数方程的图像，强调参数方程与图像之间的关系。
通过实际例子展示参数方程图像的绘制方法。
3.2 参数方程图像的特点分析参数方程图像的特点，如曲线的形状、斜率等。
探讨参数方程图像在解决问题中的应用。
第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的变换公式介绍参数方程的变换公式，强调变换公式的应用和意义。
通过实际例子展示参数方程的变换过程。
4.2 参数方程的变换应用探讨参数方程的变换在几何、物理、工程等领域中的应用。
分析参数方程的变换的优势和局限性。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析参数方程在实际问题中的应用，如物体运动、曲线变形等。
探讨参数方程在解决问题中的优势和局限性。
5.2 参数方程在数学研究中的应用介绍参数方程在数学研究中的应用，如代数方程的求解、几何问题的研究等。
强调参数方程在数学研究中的重要性。
第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本性质。
强调极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。
6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程。
通过实际例子展示参数方程与极坐标方程之间的转换过程。
第七章：参数方程在几何中的应用7.1 参数方程与几何图形的性质探讨参数方程在描述几何图形方面的优势。
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
高中数学 曲线的参数方程说课稿教案教学设计
曲线的参数方程教材上海教育出版社高中三年级（理科）第十七章第一节教学目标1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点曲线参数方程的概念。
教学难点曲线参数方程的探求。
教学过程（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。
如图所示，某游客现在P点（其中0P点和转轴O的连线与水平面平行）。
问：经过t秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t tr y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数②（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
《2.1.2 曲线的参数方程》教学案1
《2.1.2 曲线的参数方程》教学案1一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程.二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义. 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程(一)．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？2．分析探究理解： (1)、斜抛运动：为参数）(sin cos t gtt v y t v x ⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021αα (2)、抽象概括：参数方程的概念.(见课本第27页) 说明：(1)一般来说，参数的变化范围是有限制的.(2)参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义. (3)平抛运动：【课本P 27页例题】为参数）(t gty tx ⎪⎩⎪⎨⎧-==221500100 (4)思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用. (二)、应用举例：例1、(课本第28页例1)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数)(1)判断点1M(0，1)，2M (5，4)与曲线C 的位置关系；(2)已知点3M (6，a )在曲线C 上，求a 的值.分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x ，y 的方程问题易于解决.学生练习. 反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x ，y 的方程问题求解. 例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速(角速度)运动，角速度为60πrad /s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t =0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知2cos 602sin {x y tθθθ=π==又，得参数方程为60602cos 2sin (0){x t y t t ππ==≥.反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤. (三)、课堂练习：课本P 28页中练习题1、2(四)、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法.学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解.(五)、作业：课本P 28页中1、3 补充：设飞机以匀速v =150m /s 作水平飞行，若在飞行高度h =588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.。
参数方程的概念曲线的参数方程》教案(新人教选修
“参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(新人教选修”一、教学目标1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。
2. 让学生掌握曲线的参数方程的求解方法，能够根据实际问题建立参数方程。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 参数方程的概念2. 曲线的参数方程的求解方法3. 参数方程的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：参数方程的概念，曲线的参数方程的求解方法。
2. 教学难点：参数方程的应用，曲线的参数方程的求解过程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现参数方程的建立过程。
2. 通过实例讲解，让学生掌握曲线的参数方程的求解方法。
3. 利用数形结合的思想，帮助学生理解参数方程与曲线的关系。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用参数方程来表示曲线。
2. 讲解：讲解参数方程的概念，解释参数方程与普通方程的区别和联系。
3. 实例分析：分析一组曲线的参数方程，引导学生掌握求解方法。
4. 练习：让学生尝试求解一些曲线的参数方程，巩固所学知识。
5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用参数方程解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和求解方法。
7. 作业布置：布置一些有关参数方程的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对参数方程的概念和曲线的参数方程求解方法的掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、练习解答、作业完成情况。
3. 评价内容：参数方程的概念理解、曲线的参数方程求解方法、实际问题分析与解决能力。
七、教学反思1. 在教学过程中，观察学生对参数方程概念的理解程度，是否能够正确区分参数方程与普通方程。
2. 分析学生在求解曲线参数方程时的困难点，是否能够熟练运用求解方法。
3. 反思教学方法的有效性，是否能够激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
曲线的参数方程(教案
教案：曲线的参数方程第一章：引言1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程的应用举例说明参数方程在现实生活中的应用引导学生思考参数方程在其他领域的应用潜力第二章：基本概念2.1 曲线的方程回顾曲线的一般方程引入参数方程与一般方程的关系2.2 参数的选取解释参数的选取对曲线形状的影响引导学生探讨如何选择合适的参数第三章：直线参数方程3.1 直线参数方程的基本形式给出直线参数方程的标准形式解释参数t在直线参数方程中的作用3.2 直线参数方程的应用通过实例展示直线参数方程在几何中的应用引导学生思考直线参数方程在实际问题中的应用第四章：圆锥曲线参数方程4.1 椭圆参数方程推导椭圆的参数方程解释参数在椭圆参数方程中的含义4.2 双曲线参数方程推导双曲线的参数方程强调双曲线参数方程的特点4.3 抛物线参数方程推导抛物线的参数方程探讨抛物线参数方程在几何中的应用第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程与图形变换介绍参数方程在图形变换中的应用举例说明参数方程在几何中的变换作用5.2 参数方程与优化问题引导学生思考参数方程在优化问题中的应用通过实例解决实际问题第六章：参数方程与极坐标6.1 极坐标系统回顾极坐标系统的定义和基本概念解释极坐标与直角坐标之间的关系6.2 参数方程与极坐标转换展示如何将参数方程转换为极坐标方程探讨参数方程在极坐标系统中的应用第七章：参数方程在物理学中的应用7.1 物理学中的参数方程介绍物理学中常见的参数方程强调参数方程在描述物理现象中的重要性7.2 参数方程在力学中的应用举例说明参数方程在力学问题中的应用引导学生思考参数方程在其他物理学领域中的应用第八章：参数方程在工程中的应用8.1 工程中的参数方程探讨参数方程在工程领域的应用强调参数方程在设计和分析中的作用8.2 参数方程在电子技术中的应用举例说明参数方程在电子技术中的应用引导学生思考参数方程在其他工程领域中的应用第九章：参数方程在数学分析中的应用9.1 参数方程与微积分介绍参数方程在微积分中的应用强调参数方程在解决极限和导数问题中的重要性9.2 参数方程与优化问题探讨参数方程在优化问题中的应用引导学生思考参数方程在其他数学分析领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 参数方程的总结回顾参数方程的重要概念和应用强调参数方程在解决问题中的优势10.2 参数方程的拓展介绍参数方程在其他数学领域的研究进展引导学生思考参数方程在未来发展的潜力重点和难点解析六章：参数方程与极坐标重点：极坐标系统的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的关系。
高中高三数学《曲线的参数方程》教案、教学设计
2.联系实际：介绍曲线参数方程在现实生活中的应用，如机器人运动、航空航天等领域。激发学生的兴趣，使他们认识到学习曲线参数方程的重要性。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，强调重点，纠正错误，引导学生深入理解曲线参数方程。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的教学内容，让学生独立完成。
2.针对不同层次的学生，设计难易程度不同的题目，使每个学生都能得到锻炼和提高。
3.教师巡回指导，解答学生的疑问，及时发现问题，进行个别辅导。
-利用数学软件进行曲线绘制和计算，提高学生运用现代技术解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个实际问题，如圆的滚动，引出曲线参数方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察曲线图形，探索参数方程的规律，理解参数的几何意义。
（3）巩固知识：通过例题讲解和练习，使学生掌握参数方程的常见形式及其应用。
-例如，一辆汽车沿着一个半径为500米的圆形道路行驶，求汽车行驶半圈（π弧度）时的位移和路程。
3.提高拓展题：
-探讨曲线参数方程在物理学、工程学等领域的应用，举例说明，并简要阐述其原理。
-研究参数方程与极坐标方程之间的联系与区别，给出具体的例子进行说明。
4.创新思维题：
-假设你是一名科学家，请运用曲线参数方程解决一个尚未解决的物理或几何问题，并描述你的思考过程。
-理解参数方程中参数的几何意义，如极径、角度等。
-将曲线参数方程应用于实际问题，培养学生学以致用的能力。
（二）教学设想
曲线的参数方程教案-人教课标版(精汇教案)
曲线的参数方程教学目标 、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点曲线参数方程的概念。
教学难点、曲线参数方程的探求。
教学过程（一）曲线的参数方程概念的引入引例：年月日，中国第一座身高米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为米，逆时针匀速旋转一周需时分钟。
如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。
问：经过t 秒，该游客的位置在何处,￥引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；、通过引例明确学习参数方程的现实意义；、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程、圆的参数方程的推导（）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t tr y t r x ωωt 为参数 ① （）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式'结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程为什么由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
参数方程教案
参数方程教案第一节 曲线的参数方程【教学重点与难点】重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】一． 复习：1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线．2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2+y 2=r 2；⊙O 的参数方程是： ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式． 二．新课：1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。
2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。
我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？（1）建系：建立适当的直角坐标系；以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。
（2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)．(3)列式：即找出x 与y 之间的关系。
怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。
贾立敏《曲线的参数方程》教案
曲线的参数方程教学目标：1．通过度析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会实行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选择恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程通过平抛运动的引入，自然的体现出参数方程。
一．参数方程的概念1．探究：平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==2．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数{)1()()(t f x t g y ==且对于t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点（x ，y ）都在这条曲线上，则方程（1）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称变数。
相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明：（1）参数方程中参数能够是有物理意义，几何意义，也能够是没有明显意义。
（2）同一曲线选择参数不同，曲线的参数方程形式也不一样。
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。
例1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
练习：已知曲线C 的参数方程 且点M （5,4）在该曲线上.（1）求常数a, (2)求曲线C 的参数方程.二．圆的参数方程与普通方程的互化通过实际意义引入)(sin cos 为参数t t r y tr x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x总结出圆的参数方程与普通方程的互化)(sin cos )()(sin cos 222222为参数）（为参数θθθθθθ⎩⎨⎧+=+=⇔=-+-⎩⎨⎧==⇔=+r b y r a x r b y a x r y r x r y x说明：（1）随着选择的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
曲线的参数方程教案_高三数学教案
曲线的参数方程教案_高三数学教案曲线的参数方程教案教学设计说明一、教材分析本节课所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年级(理科)数学课本,内容为第十七章第一节,第一课时。
“参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在“圆锥曲线”这一章的基础上进一步展开研究曲线的方程。
学习曲线的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥曲线的性质,也是进一步学习数学、运动学的基础,它在生产实践中有很多实际的应用。
本章主要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法,因此在教学中要求应适当,难度要控制,基本应以课本例题与习题为主。
通过本章节的教学应使学生感悟到现实世界的问题是多种多样的,仅用一种坐标系,一种方程来研究各种不同的问题是不适合的,有时难以获得满意的效果。
参数方程有其自身的优越性,学习参数方程有其必要性。
通过学习参数方程的有关概念,以及方程之间、坐标之间的互化,使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要,主观能动的加以选择的。
“曲线的参数方程”为本章节的第一部分。
主要让学生了解参数方程的有关概念,通过探索圆锥曲线的参数方程初步掌握求曲线的参数方程的方法,并且在此基础上进行参数方程与普通方程的互化及其简单应用。
二、教学目标设计根据以上分析,本节课设置的教学目标为:1、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程。
2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义。
3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,培养数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。
三、教学过程设计我校是上海市示范型高中,我校的学生数学基础良好,思维活跃,具备一定的分析问题和自主探究能力。
因此在教学设计中强调学生的自主探究,强调数学思想方法的渗透与运用,希望加深学生对知识本质的理解。
本课设置如下教学环节以体现重点,突破难点,实现教学目标。
1、作为曲线的参数方程的概念课,一味的灌输是不可取的。
高三曲线的参数方程(教案).docx
直线的参数方程及应用目标点击：1.掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的儿何意义；2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题;基础知识点击：问题1：（盲线由点和方向确定）求经过点PO（X（）^O），倾斜角为&的直线/的参数方程.设点P（x ,尹）是宜线/上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过Po作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.1）当乔与直线/同方向或Po和P重合时，P0P =|PoP| 则PoQ = PoPcosa QP =P0Psina2）当乔与直线/反方向时，PoP、PoQ、QP同时改变符号PoP = — I PoP I PoQ = PoPcos a QP=P0Psin a 设P0P=t, t为参数，又• PoQ = X —X Q y X —X Q— tcos ccQP=y — Po ・•・y — po=tsinaX = x o+ “OSQ是所求的直线I的参数方程y = y0 +t sin a•・・PoP=t, t为参数,t的几何意义是:有向直线/上从已知点PoGoJo ）到点P （兀，尹）的有向线段的数量,5jPoP| = |t|①当t>0时，点P在点Po的上方；②当t = 0时，点P与点Po重合；③当t<0时，点P在点Po的下方；特:别地，若直线/的倾斜角a =0时，④当t>0时，点P在点Po的右侧；⑤当t = 0时，点P与点Po重合；⑥当t〈0时，点P在点Po的左侧；问题2：宜线/上的点与对应的参数t是不是一°对应关系？我们把直线/看作是实数轴，以直线/向上的方向为正方向，以定点Po 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.1、直线参数方程的标准式（1）过点Po（x。
,儿），倾斜角为Q的直线/的参数方程是x = x0 +tcosa y = y Q +tsina（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段人尸的数量，P（x』）X = x0 +/直线/的参数方程为P（x,y）仍成立QaPoP=t I PoP I =t 直线参数方程的一般式过点Po （兀0,儿），斜率为k =-的直线的参数方程是a 为直线上任意一点.x = x 0 + at y = y Q +bt 1、（t 为参数）参数方程与普通方程的互化 例1：化直线厶的普通方程兀+后-1= 0为参数方程，并说明参数的儿何意 义，说明丨t 丨的几何意义.解：令y=0,得x = 1, /.直线厶过定点（1,0）. k= — -L=—^- V3 36 2 2 （t 为参数）设倾斜角为Q, —晅 I d X = 1 - /2 I v = —/ ・ 2厶的参数方程为t 是直线厶上定点Mo （1, 0）至Ot 对应的点M （x 丿）的有向线段M （）M 的数量.X-1 = -------2 y =⑵I t | = J （X_1）2 +J? 线段的长. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角，注意参数的几何意义. x = ~3^ （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 尹=1 + J3 t （1） ⑴、（2）两式平方相加，得（x-l ）2+y 2=t 2 I t |是定点Mo （1, 0）至肛对应的点M （x ,y ）的有向例2：化直线厶的参数方程 说明丨t 丨的几何意义. 解：原方程组变形为x + 3 = t —1 = 5/3 t得 y- \ = V3(x + 3)(点斜式)可见 k=V3, tgtz=V3,倾斜角 a=~r•〉 普通方程为V3x-y + 3V3 + l = 0 /⑴代入⑵消去参数t,（1）、（2）两式平方相加，得（x + 3）2 +3-1）2= 4（2 ・・・ I t I 二厶 + 3）*-1）： 2 It|是定点Mo （3, 1）至Ut 对应的点M （x 』）的有向线段的长的一半. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线人的参数方程 为 x = l-—/ 即 2 1y = —t 2"1 + /C0S 为是直线方程的标准形式，（-逅）斗（丄）2=1, t 的几何意 .5 2 2 V = /sin —兀6鷹爲是非标准的形式' I 2+（爺）2=4工1,此时t 的几何意义是有向线段历而的数量的一半.义是有向线段的数量•直线厶的参数方程为你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线/过点Mo （1, 3）,倾斜角为兰，判断方程卜十却（t 为参数）3Y — 1 /和方程J 一 （t 为参数）是否为直线/的参数方程？如果是直线/的参数方 y = 3 +丁3 t程，指出方程屮的参数t 是否具有标准形式中参数t 的儿何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线/的的普通方程 岳-p-巧+ 3 = 0,所以，以上两个方程都是直线/的参数方程，其中COSQ =丄，sina=匣，是标准形式，参数t 是有向线段的数量•，而方程 x = 1+"是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义. y = 3 + 丁3 t 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利 用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：宜线的参数方程］能否化为标准形式？归+ / L （亦+如/） _______ ; 打+（V3）2 令匕二+苗几x = \ + —t2 匕的几何意义是有向线段得到直线/参数方程的标准形式的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为&、过点M （）（x°,儿）直线/参数方程的一般式为，.［X = x ^+at（t 为参数），斜率为 k = tga = -沪儿+加a（1） 当a 2+b 2 = 1时，贝肛的几何意义是有向线段和7的数量. （2） 当a 2+b 2^ 1时，贝肛不具有上述的几何意义.x = x 0 + =t ____则可得到标准式 J/ +， 亡的几何意义是有向线段的数量.［尹=3 + V31是可以的，只需作参数t 的代换.（构造勾股数，实现标准化）x = x n + at - r Z | M 0口 J 化为J y = y 0 +btx = X 。
平面曲线的参数方程教案(1)
平面曲线的参数方程教案(1)一、引言在平面几何中，我们通常使用直角坐标系来描述和分析平面上的图形和曲线。
但是，对于一些特殊的曲线，直角坐标系的描述方式可能会非常复杂或者不够直观。
为了更方便地描述这些曲线，我们可以使用参数方程的方法。
二、参数方程的概念参数方程是一种曲线的坐标表示方式，其中曲线上的每个点都可由参数的取值确定。
我们可以通过给定参数的取值范围，将参数方程对应的曲线表示出来。
三、参数方程的表示形式一般来说，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，`x`和`y`分别表示平面上的坐标，`t`表示参数的取值。
四、参数方程的图像通过给定参数的取值范围，我们可以求出参数方程对应的曲线上的一系列点。
将这些点连线，就可以得到参数方程对应的图像。
在绘制图像时，可以选择适当的参数取值范围，使得曲线上的点足够密集，以得到更加准确的图像。
五、常见的参数方程曲线1. 抛物线：参数方程为`x = t`，`y = t^2`，其中`t`为参数的取值范围。
2. 圆：参数方程为`x = r * cos(t)`，`y = r * sin(t)`，其中`r`为圆的半径，`t`为参数的取值范围。
3. 椭圆：参数方程为`x = a * cos(t)`，`y = b * sin(t)`，其中`a`和`b`分别为椭圆的长半轴和短半轴，`t`为参数的取值范围。
六、课堂练1. 绘制参数方程`x = cos(t)`，`y = sin(t)`对应的图像，并分析该曲线的特点。
2. 设计一个参数方程，绘制一个你喜欢的图形，并解释该图形的特点。
七、总结参数方程是一种描述平面曲线的有力工具，通过给定参数的取值，我们可以方便地表示出曲线上的各个点，并绘制出对应的图像。
在使用参数方程时，我们需要注意选择适当的参数取值范围，以得到准确的图像。
以上为本节课的教学内容，请同学们认真学习和完成课堂练习。
曲线的参数方程 学案
一 曲线的参数方程1 参数方程的概念2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎨⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎨⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程.(2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上. (1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上.规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎨⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在. 跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？ 解 (1)将t ＝10代入⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎨⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系. 水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值. 2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎨⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎨⎧x ＝my ＝m 是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3) B.(1，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0).答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎨⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎨⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎨⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥2 B.a ＞3 C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a )2＋y 2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆. ∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π) B.⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π) C.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π). 答案 D4.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z6.已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎨⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎨⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1). 答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围. 解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎨⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎨⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎨⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2). 令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3，∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3.答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹.解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎨⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′＋12. ∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12. 12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ，故实数a 的取值范围是[1，＋∞).三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)， 消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a 2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a 2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a22＝3a (定值).。
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1.10《曲线的参数方程(1)(2)》教学案
教学目的：
知识目标：弄清曲线参数方程的概念；
能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程.
教学重点：
曲线参数方程的定义及方法.
教学难点：
求简单曲线的参数方程.
授课类型：
新授课
教学模式：
启发、诱导发现教学.
教 具：
多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m /s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机？
二、讲解新课：
1、参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()
(t g y t f x
反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()
(t g y t f x
所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==)
()(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量
t 是参变数，简称参数.
2、关于参数几点说明：
(1) 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义.
(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样.
(3) 在实际问题中要确定参数的取值范围.
3、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标.
4、参数方程求法
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；
(2)选取适当的参数；
(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；
(4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
5、关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.
与运动有关的问题选取时间t 做参数
与旋转的有关问题选取角θ做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等.
二．典型例题：
例1．设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，
(1)求子弹弹道典线的参数方程(不计空气阻力)；
(2)若s m V o /100=，6πα=
，当炮弹发出2秒时.
①求炮弹高度 ；
②求出炮弹的射程.
例2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1
232t y t x (t 为参数) (1) 判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系；
(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.
例3．把圆0622=-+x y x 化为参数方程
(1)用圆上任一点过原点的弦和x 轴正半轴夹角θ为参数
(2)用圆中过原点的弦长t 为参数
三、巩固与练习
1.已知椭圆⎩
⎨⎧==θθsin cos 23y x (θ为参数) 求 (1)6π
θ=时对应的点P 的坐标
(2)直线OP 的倾斜角
2.A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A =90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围.
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．参数方程的定义；
2．参数方程求法.
五、课后作业：。