学案导学备课精选2015年高中数学1.4计数应用题(一)同步练习(含解析)苏教版选修2_3
学案导学备课精选高中数学1.4计数应用题(二)同步练习(含解析)苏教版选修23
§1.4 计数应用题(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：A m n＝________________；组合数公式：C mn ＝A m n A m m＝________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、填空题1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则有______种取法；从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则有________种取法．2．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．3．用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成________个没有重复数字的四位数，可以组成________个没有重复数字的四位奇数．4．假设200件产品中有3件次品，现从中任取5件，则其中至少有2件次品的抽法有__________种．(用式子表示)5．有A ，B ，C ，D ，E 共5人并排站在一起，如果A ，B 必须相邻，并在B 在A 的右边，那么不同的排法有______种．6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．二、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m 的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．1．4 计数应用题(二)答案知识梳理1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！作业设计1．21 35解析从7个白球中取2个，再取1个黑球有C27×1＝21(种)方法；从7个白球中取3个，有C37＝35(种)方法．2．240解析 先选从事翻译工作的有C 14种方法，再从剩余5人中选3人分别从事其他工作，有A 35种方法．∴共有方案C 14×A 35＝4×5×4×3＝240种． 3．120 724．C 23C 3197＋C 33C 2197 5．24解析 将B 放A 的右边且作为一个元素与C 、D 、E 全排即可，共有A 44＝24(种)排法．6．A 88A 29解析 采用插空法，先排8名学生，共有A 88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A 29种排法，∴共有排法：A 88×A 29种． 7．126解析 分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析 方法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．9．解 分两类：若乙跑第一棒，共有A 35＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C 14种，此时跑第四棒的选择有C 14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A 24种，所以有C 14C 14A 24＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解 (1)先排唱歌节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22·A 66＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A 27种插入方法，所以共有A 66·A 27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法，由分步计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．11．解 方法一 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99A 77＝A 29＝72(种)排法．方法二 共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．。
高二数学 教案 1.4 计数应用题学案苏教版_选修2-3
编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：⑴特殊元素(位置)优先安排；⑵合理分类和准确分步；⑶先选后排原则；⑷相邻问题捆绑处理；⑸不相邻问题插空自理⑹固定顺序问题排除法处理；⑺分排问题直排处理；⑻构造模型；⑼正难则反；⑽等价转化.二、典型例题例1.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是多少？例2.袋中装有10只大小相同的球，其中6只白球，4只红球，逐只抽取，直至抽出所有的红球为止，若经过5次抽取出所有红球，则这样的抽取方法共有多少种？例3.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空座位，共有几种不同的坐法？三、巩固练习1.某外商计划在4上候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种.2.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲，乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种(以数字作答).3.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为(1,2,3,,6)i a i ，若1351,3,5,a a a ， 135a a a 则不同的排列方法有 种(以数字作答).4.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同的买法的种数是 (以数字作答).四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒中，恰有1个空盒的放法种数为 .A B C，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐2.已知集合5,1,2,1,3,4标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 .3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法(用数字作答).4.某天有政治、语文、数学、物理、美术、体育六门课.如果体育不排在上午一、二、三节，美术不排在上午一、二节，则共有种不同的排法.5.从1，3，5，7，9这五个数字中取两个数字，从0，2，4，6这四个数字中取两个数字.⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵能组成多少个没有重复数字的四位偶数？6.4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球. ⑴若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？⑵取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？7.一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？8.某城市有7条南北走向的街，5条东西走向的街，如果从城市的一端A走向另一端B(如图)，最短走法有多少种？订正栏：。
高中数学1.4计数应用题导学案苏教版选修2-3
1.4 计数应用题1 •简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则： 先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则•分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则.提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素” “特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置. 2. 简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除.捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列.插空:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有 限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：易V 除主要用在有限制条件的计数问题上， 或问题的正面情况较多， 而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上.一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有 10个点，在其中取 4个不共面的点，不同取法有___________ 种.思路分析：在这10 个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10 个点中取出4个点的组合数C：0减去4个点共面的个数即为所求.答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有do种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C4种；第二类：4 个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有 6 种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C o - （4C6+ 6 + 3）= 141种.从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C1= 12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C- C8 = 12种不同的选法.利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏.二、捆绑问题（相邻问题）从单词"equation ”中选取5个不同的字母排成一列，含有"qu” （其中"qu”相连且顺序不变）的不同排列共有__________________________ 种.思路分析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列. 答案：4803解析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C3种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A4种方法，由于“ qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C34= 480种不同排列.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99=362 880种不同的停车方法.对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题( 不相邻问题)7 人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是_____________________ ．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A!种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A6种方法，故共有A T A6= 3 600种不同的排法.晚会上有8 个唱歌节目和3 个舞蹈节目，若3 个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A8种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A9种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A820 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．解析：若丙排在10月1日，共有A5• kA= 240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A •kA = 240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A J A2= 48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A6= 1 440种不同的排法，•••符合题意的排法的种数为1 440 —240- 240+ 48 = 1 008.4•有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有c5d种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有5C4 + C2C5G)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(c；W+ C5C U cEC；)种.由分类计数原理知，可开出名单共有C5C4+ dc5C!+ CW+ C5C4+ dEcU 185种.5. 7位同学站成一排合影留念，(1) 其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2) 甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3) 甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A；种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A：,但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A；种.•甲不站排头，乙不站排尾的排法有A；—2A1+ A5= 3 720种.(2) 用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A5种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A l种，•••甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A5720种.(3) 用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A4种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A3种排法.•••甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A4•A!= 1 440种.1 ．记者要为5 名志愿者和他们帮助过的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不在两端的排法有_________________________ 种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A5种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A TC・A2= 960种不同的排法.2．由1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与5相邻的六位偶数有_____________________ 个．答案：1083解析：插空法，先排2,4,6共有A3种方法；若1,3,5都不相邻，则有A1种方法，若1,3相邻，则有AA!种方法；•••共有A3(A1 * 3+ ALA3) = 108种不同的排法.3. _____ 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有种.答案：1 008。
学案导学 备课精选高中数学 1.4计数应用题(一)同步练
§1.4 计数应用题(一)课时目标1.利用计数原理，解决一些简单的实际问题.2.理解解计数应用题的常用思想方法．解计数应用题，要按照元素的性质进行________，按事情发生的过程进行________；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路．一、填空题1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第1号瓶内，那么不同的放法共有__________种．(用式子表示) 2．某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内一共有________种不同的安排方法．(用式子表示)3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．4．三个人坐在八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法总数为________种．5．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．6．现从8名学生干部中选2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男同学有______人，女同学有______人．7．从5名男生和3名女生中任选3男2女分别参加不同的学科兴趣小组，则有________种不同的安排．8．从数集{－1,0,1,2,3}中任取3个数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________条与x轴正、负半轴都有交点的不同的抛物线．二、解答题9．A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，问：一共有多少种不同的排法？10．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，问：一共有多少种不同排法？能力提升11．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？(用数字作答)12．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的．现打算用编号①，②，③，④的仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同的放法有多少种？1．解计数应用题，要针对特殊的元素或位置进行分类或分步．2．几类特殊问题：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．1．4 计数应用题(一)答案知识梳理分类分步作业设计1．C18A59解析第一步：从去掉甲、乙的8种种子选1种放入第1号瓶子内；第二步：再从剩下的9种种子中选5种放入剩余的5个瓶子中，∴共有放法C18×A59种．2．C118A717解析先安排人数较多的学校，共有C118种方法；在剩余的17天中任选七天安排其余学校，A717种，∴共有C118A717种不同的安排方法．3．1 260解析C29C37C44＝1 260(种)．4．24解析可使用插空法，余下的五个座位形成6个空，从中间的四个空中任选3个排3个人即可，有A34＝24(种)坐法．5．1206．3 5解析设男同学n名，则C2n C18－n A33＝90.∴n＝3.7．3 600解析C35×C23×A55＝3 600.8．189．解A，B两种商品捆绑在一起，看成一个商品，与E形成三个空档，将C，D插入，有A23种，C，D内部排列有A22种，A，B排列有A22种，所以共有A23A22A22＝24.10．解从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有C23A22＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24(种)排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法．由分类计数原理，知共有24＋12＋12＝48(种)．11．解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C23A33C14＋A33C13＝90(种)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C23A33C14＋C13C23A33C13＝234(种)，所以共有90＋234＝324(个)．12.解如图所示，PA只能与BC或CD所代表的化工产品放在一起，若PA与BC放在一起，则一定有PD与AB，PC与AD，PB与CD分别放在4个仓库里，则有A44＝24(种)不同的放法．同理PA与CD时，也有24种不同的放法，由分类计数原理知共有24＋24＝48(种)不同的放法．。
1.4 计数应用题(苏教版选修2-3)
第一章计数原理 1.4 计数应用题编写人：编号：009学习目标利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数问题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力。
学习过程：一、预习：回顾：简要复习前面所学内容。
解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
思考：在前面的学习中我们已经学习过几种常用的解题技巧？练习：1、高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？2、2名女生、4名男生排成一排，（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）有不同排法共有多少种？3、从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？二、课堂训练：解题方法总结：（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
例如：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24B.30C.40D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。
按0排在末尾和不排在末尾分为两类；（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意即不能多减又不能少减，例如在第一种方法中，也可以用此方法解答。
五个数组成三位数的全排列有3A个，排好后发现0不能排在首位，而且3，1不能排在末尾，这两种不合条件的排法要除5去，故有30个偶数。
（三）合理分类和准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
1.4 计数应用题 学案(苏教版高中数学选修2-3)
1.4 计数应用题学案（苏教版高中数学选修2-3）1.4计数应用题计数应用题学习目标1.了解计数应用题中的常见问题类型.2.理解排列.组合的概念及公式应用.3.掌握解决排列组合综合应用题的方法1两个基本计数原理1分类计数原理2分步计数原理2排列.组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题16本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有30种不同的分法27名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案28800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算1幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有3029xx400种结果；2幸运之星在乙箱中抽，同理有xx3011400种结果因此共有174001140028800种不同结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可跟踪训练1一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为nn3，nN等份，种植红.黄.蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花1如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法2如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法解1如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步计数原理得3216种2如题图2，当a1，a3不同色时，有32116种种植方法，当a1，a3同色时，有322112种种植方法，由分类计数原理，共有61218种种植方法命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上.下午参加“身高与体重”.“立定跳远”.“肺活量”.“握力”.“台阶”五个项目的测试，每位同学上.下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上.下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种用数字作答考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案264解析上午总测试方法有432124种我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上.下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有2411264种反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mii1,2,3,4,5表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1m2m3m4m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案21解析根据题意，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，对于开关1,2，共有224种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413种情况，对于开关3,4,5，共有2228种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817种情况，则电路接通的情况有3721种类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排1如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法2如果女生必须全分开，有多少种不同的排法3如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法4如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法5如果甲必须排在乙的右面可以不相邻，有多少种不同的排法考点题点解1捆绑法因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66A334320种不同的排法2插空法要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55A3614400种不同的排法3方法一特殊位置优先法因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有A25A6614400种不同的排法方法二间接法3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A13A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A23A66种不同的排法，所以共有A882A13A77A23A6614400种不同的排法方法三特殊元素优先法从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36A5514400种不同的排法4方法一因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法因此共有A15A77A13A15A6636000种不同的排法方法二3个女生和5个男生排成一排有A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23A66种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有A88A23A6636000种不同的排法5顺序固定问题因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A88A2220210种不同的排法反思与感悟1排列问题的限制条件一般表现为某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏去尽2对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中跟踪训练3为迎接中共九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲.乙.丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为________考点排列的应用题点有限制条件的排列问题答案768解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47840种情况，其中甲.乙.丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A4424种，则甲.乙.丙这3名学生中至少有1人参加的情况有84024816种；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A3348种，则满足题意的朗诵顺序有81648768种类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用解分三类第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12C12C12C12A44种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22C22A44种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22C22A44种故满足题意的所有不同的排法种数为C12C12C12C12A442C22C22A44432.反思与感悟1解排列.组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列2解排列.组合综合问题时要注意以下几点元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列.组合综合问题的一般方法跟踪训练4有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定担任语文科代表；3某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；4某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解1先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23C45C13种，后排有A55种，所以共有不同选法C35C23C45C13A555400种2除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C47A44840种3先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C47C14A443360种4先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C36种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C13种，其余3人全排列有A33种，所以共有不同选法C36C13A33360种.1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式考点排列组合的综合应用题点分组.分配问题答案14解析由题意可得，李芳不同的选择方式为43214.2包括甲.乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧可以不相邻，有________种站法考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案2520解析因为甲.乙定序了，所以有A7722520种3从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是________________________________________________________考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案48解析第一类从2,4中任取一个数，有C12种取法，同时从1,3,5中取两个数字，有C23种取法，再把三个数全排列，有A33种排法故有C12C23A3336种取法第二类从0,2,4中取出0，有C11种取法，从1,3,5三个数字中取出两个数字，有C23种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A12种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法，共有C11C23A12A2212种方法共有361248种排法4某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种考点排列组合的综合应用题点排列与组合的综合应用答案36解析先安排后2个，再安排前3个，由分步计数原理知，共有C12C13A3336种不同的播放方式5已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为________考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案90解析根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，xi中有2个1和4个0，或3个1.1个1和2个0，或4个1和2个1，共有C26C36C23C4690个，满足x1x2x3x4x5x62的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为90.1解排列.组合综合题一般是先选元素.后排元素，或充分利用元素的性质进行分类.分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.。
2015年高中数学1.4计数应用题导学案苏教版选修2_3
1.4 计数应用题1．简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．2．简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．二、捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题(不相邻问题)7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A88·A39＝20 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．答案：1 008解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．(3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A44种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A35种排法．∴甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A44·A35＝1 440种．。
数学1.4《计数应用题1》教案(苏教版选修2-3)
计数应用题教学目标（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；（2）提高合理选用知识解决问题的能力．教学重点，难点排列、组合综合问题．教学过程一．数学运用1．例题：例1．2名女生，4名男生排成一排．（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有55A种排法，又因为2名相邻女生有22A种排法，因此不同的排法种数是52 52240A A=．（2）方法一：（插空法）分两步完成：第一步，将4名男生排成一排，有44A种排法；第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有25A种排法．根据分步计数原理，不同的排法种数是4245480A A=种．方法二：（间接法）因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有652652480A A A-=种．（3）方法一：（特殊元素优先考虑）分2步完成：第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即26 C；第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有44A种方法．根据分步计数原理，不同的排法种数是2464360C A=．方法二：（除法）如果将6名学生全排列，共有66A种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有22A 种，因为女生的顺序已定，所以在这22A 中排法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法数为6622360A A =种．例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？解：完成这件事分三步进行：第一步，从30名男生中选3名男生，有330C 种方法；第二步，从20名男生中选2名男生，有220C 种方法；第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有55A 种方法．根据分步计数原理，共有2253020592568000C C A =种选法． 答：共有92568000种不同的选法．思考：如果上述问题解答分两步：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任不同职务，则结果为323020A A ，这样做对吗？为什么？（从30名男生中选3名担任3种不同职务的方法数应为33305C A ）说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．例3．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校必选，且B 在C 前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？解：先填第一档次的三个志愿栏：因A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有26A 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、C 两校有23C 种填法，剩余的一个志愿栏有13A 种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有26A 23C 13270A =（种）．例4．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：本题的实质是，前五次测试中有1只正品，4只次品，且第五次测试的是次品．思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有1164C C种方法；再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有44A种排法．故不同的情形共有114644576C C A 种．五．回顾小结：（1）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；（2）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．六．课外作业：。
学案导学备课精选高中数学第一章计数原理章末检测(B)(含解析)苏教版选修23
【学案导学 备课精选】2015年高中数学 第一章 计数原理章末检测（B ）（含解析）苏教版选修2-3(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．2．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为________．3．某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数理化单科竞赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛方法，那么男、女生人数分别是____、____.4. 如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．5．掷4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有________种． 6．(x ＋a x)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a ＝________.7．在(2＋35)100的展开式中，有理项的个数是______．8．设f (x )＝(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1，则f (x )＝________.9．若a ∈{1,2,3,5}，b ∈{1,2,3,5}，则方程y ＝b ax 表示的不同直线条数为________． 10．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝________.11．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有__________种．12．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)13．7777－7被19除所得的余数是________．14．若(x 3＋1x2)n 的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)教育局派5名调研员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的派遣方法？16．(14分)已知∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，用这些点和O点为顶点，能构成多少个不同的三角形？17．(14分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.18．(16分)(1)7个相同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(2)7个相同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(3)7个不同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(4)7个不同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法一共有多少种？19．(16分)某地现有耕地10 000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩？(精确到1亩)20．(16分)规定C mx ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n 、m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，C 3x(C x )取得最小值？(3)组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．第1章 计数原理(B)答案1．32解析 两个数的和等于11的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有C 12·C 12·C 12·C 12·C 12＝32(个)．2．2解析 设有女生x 人，则男生有(6－x )人，则有C 36－C 36－x ＝16，即(6－x )(5－x )(4－x )＝24，解得x ＝2.3．3 5 4．264 5．11解析 至少有2枚正面朝上有三种情况：两枚正面朝上C 24，三枚正面朝上C 34，四枚正面朝上C 44，所以共C 24＋C 34＋C 44＝11(种)．6．2解析 由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x5－r·(a x)r ＝C r 5·x5－2r·a r，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10， ∴a ＝2. 7．178．32x 5解析 f (x )＝C 05(2x ＋1)5·(－1)0＋C 15(2x ＋1)4·(－1)1＋C 25(2x ＋1)3·(－1)2＋C 35(2x ＋1)2(－1)3＋C 45(2x ＋1)1·(－1)4＋C 55(2x ＋1)0·(－1)5＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.9．13 10．17解析 a n ＝C 2n ·3n －2＝12n (n －1)·3n －2，则3n a n ＝18n (n －1)＝18(1n －1－1n)， 所以原式＝18×(1－12＋12－13＋…＋117－118)＝18×(1－118)＝17.11．362 880解析 8辆车共有A 88种停法，将所有空位看作一个整体，插入8辆车形成的9个空中的一个即可，共有A 88×9＝362 880(种)方法．12．336解析 当每个台阶上各站1人时有A 33C 37种站法，当两个人站在同一台阶上时有C 23C 17C 16种站法，因此不同的站法有A 33C 37＋C 23C 17C 16＝210＋126＝336(种)．13．13 14．210解析 由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n ＝10.∴通项为T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·(1x)r ＝C r 10·x 30－5r.令30－5r ＝0，得r ＝6.∴常数项为T 7＝C 610＝210.15．解 5人去3所学校每校至少去1人的派遣方法有两类：(1)某一学校去1人，另外两校分别去2人，有C 25·C 23·C 11＝30(种)；(2)某一学校去3人，另外两校分别去1人，有C 35·C 12·C 11＝20(种)． 故共有30＋20＝50(种)派遣方法．16．解 以O 为三角形顶点，其余两顶点分别在OA 和OB 上取，能构成C 15·C 16＝30(个)三角形；O 不为顶点，又可分为两类：即在OA 上取两点，OB 上取一点；或在OA 上取一点，OB 上取两点，则能构成C 25·C 16＋C 15·C 26＝10×6＋5×15＝135(个)三角形．故能构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)．17．解 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝67.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝27－67＝－279 808. ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝－139 904.18．解 (1)可以把7个球分成四份，有1、1、3、2或1、1、1、4或1、2、2、2三种不同的放法，即不同放法共有3种．(2)当把7个球分成1、1、3、2四份时，有C 14·C 13＝12(种)不同放法；当把7个球分成1、1、1、4四份时，有C 14＝4(种)不同放法；当把7个球分成1、2、2、2四份时，有C 14＝4(种)不同放法；故不同放法共有C 14·C 13＋C 14＋C 14＝20(种)．(3)当把7个不同球分成1、1、3、2四份时，有C 17·C 16·C 35A 2＝210(种)不同放法； 当把7个不同球分成1、1、1、4四份时，有C 17·C 16·C 15A 33＝35(种)不同放法； 当把7个不同球分成1、2、2、2四份时，有C 27·C 25·C 23A 33＝105(种)不同放法． 故有不同放法210＋35＋105＝350(种)．(4)由(3)可知不同放法共有350·A 44＝350×24＝8 400(种)．19．解 设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，依题意m ×(1＋22%)×(104－10x )p ×(1＋1%)10≥m ×104p(1＋10%)，化简：x ≤103×[1－1.1×(1＋0.01)101.22]＝103[1－1.11.22(1＋C 110×0.01＋C 210×0.012＋…)]≈103[1－1.11.22×1.104 5]≈4.1，∴x ≤4(亩)答 耕地平均每年至多只能减少4亩．20．解 (1)C 3－15＝(－15)(－16)(－17)3！＝－680.(2)C 3x (C 1x )2＝x (x －1)(x －2)6x 2＝16(x ＋2x －3)． ∵x >0，∴x ＋2x≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立．∴当x ＝2时，C 3x(C 1x )2取得最小值．(3)性质①不能推广，例如当x ＝2时，1无意义； 性质②能推广，它的推广形式是C mx ＋C m －1x ＝C x ＋1，x ∈R ，m 是正整数．事实上，当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1.当m ≥2，C m x ＋C m －1x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！·[x －m ＋1m ＋1]＝x (x －1)…(x －m ＋2)(x ＋1)m ！＝C mx ＋1.。
学案导学备课精选高中数学第一章计数原理章末检测(A)(含解析)苏教版选修23
【学案导学 备课精选】2015年高中数学 第一章 计数原理章末检测（A ）（含解析）苏教版选修2-3(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有________种．2．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有________种． 3．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．4．从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为________．5．从1,2,3，…，100中任取2个数相乘，其积能被3整除的有________组．6．编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为________．7．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则第六项的系数是________．8．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中，常数项是________．9．若(3x －13x2)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含1x3项的系数是________．10．若(x ＋1)n＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，则n 的值为________．11．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有________个．12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________对．13．在(x ＋1x)9的展开式中，x 3的系数是________．14．对于二项式(1－x )1 999，有下列四个命题：①展开式中T 1 000＝－C 9991 999x 999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1 000项和第1 001项；④当x ＝2 000时，(1－x )1 999除以2 000的余数是1.其中正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)有A ，B ，C 三个城市，上午从A 城去B 城有5班汽车，2班火车，都能在12∶00前到达B 城，下午从B 城去C 城有3班汽车，2班轮船．某人上午从A 城出发去B 城，要求12∶00前到达，然后他下午去C 城，问有多少种不同的走法？16.(14分)用0,1,2,3,4,5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？17．(14分)求(x ＋1x－1)5展开式中的常数项．18．(16分)有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．19．(16分)已知S n ＝2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n －1n 21＋1(n ∈N *)，求证：当n 为偶数时，S n －4n －1能被64整除．20．(16分)已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．第1章计数原理(A)答案1．90解析分三步进行：先从六个班中选两个班给第一名老师，有C26种方法；再从剩余的四个班中选两个班给第二名老师，有C24种方法；最后两个班给第三名老师，共C26×C24×C22＝90(种)方法．2．1 440解析用捆绑法，将甲、乙作为一个元素，N＝A66·A22＝1 440(种)．3．1924．110解析方法一(直接法)分为三类：一女二男，二女一男，三女．所以共有C15·C25＋C25·C15＋C35＝110(种)组队方案．方法二(间接法)无限制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有C310－C35＝120－10＝110(种)组队方案．5．2 739解析乘法满足交换律，因此是组合问题．把1,2,3，…，99,100分成2组：{3,6,9，…，99}，共计33个元素；{1,2,4,5，…，100}，共计67个元素，故积能被3整除的有C233＋C133·C167＝2 739(组)．6．109解析问题的正面有3种情况：有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这3种情况都难以求解．从反面入手，只有2种情况：全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C35种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法．因此，反面情况共有1＋C35·1＝11(种)不同坐法.5人无约束条件入座5个座位，有A55＝120(种)不同坐法．所以满足要求的坐法种数为120－11＝109.7．462解析 由题意知，2n －1＝1 024＝210，所以n ＝11.所以第六项的系数为C 511＝462. 8．7 9．21解析 赋值法：令x ＝1，得n ＝7，由通项公式得T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·(－13x2)r＝(－1)r ·37－r·C r7·x 21－5r 3，令21－5r3＝－3，得r ＝6， ∴1x3的系数为(－1)6·37－6·C 67＝21.10．11 11．240 12．36解析 15条直线中任选两条，有C 215＝105(对)直线；其中平行直线有C 23＋3＝6(对)；相交直线有6×C 25(同一顶点处)＋3(每个侧面的对角线)＝63(对)．所以异面直线共有105－6－63＝36(对)．13．84解析 T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·x －r ＝C r 9·x 9－2r，令9－2r ＝3，∴r ＝3.∴x 3的系数是C 39＝84. 14．①④解析 展开式中T 1 000＝C 9991 999(－x )999＝－C 9991 999x 999，所以①正确；展开式中各项系数和为0，而常数项为1，所以非常数项的系数和为－1，②错；展开式中系数最大的项是第1 001项，③错；将二项式展开，即可判断④对．15．解 根据分类计数原理，上午从A 城到B 城，并在12∶00前到达，共有5＋2＝7(种)不同的走法．下午从B 城去C 城，共有3＋2＝5(种)不同的走法．根据分步计数原理，上午从A 城去B 城，然后下午从B 城去C 城，共有7×5＝35(种)不同的走法．16.解 分三步：①确定末位数字，从1,3,5中任取一个有C 13种方法；②确定首位数字，从另外的4个非零数字中任取一个有C 14种方法；③将剩余的4个数字排中间有A 44种排法，故共有C 13C 14A 44＝288(个)六位奇数．17．解 (x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，通项为T k ＋1＝C k 5(x ＋1x)5－k (－1)k(0≤k ≤5)．当k ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1，当0≤k <5时，(x ＋1x)5－k的通项为T r ＋1＝C r 5－k ·x5－k －r ·(1x)r ＝C r 5－k x 5－k －2r(0≤r ≤5－k )． ∵0≤k <5，且k ∈Z,5－k －2r ＝0，∴k 只能取1或3，相应r 的值分别为2或1，∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51. 18．解 (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C 22种方法，∴共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260(种)． (2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法，∴共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560(种)．19．证明 S n ＝(2＋1)n ＝3n，∵n 为偶数，设n ＝2k (k ∈N *)，∴S n －4n －1＝9k －8k －1＝(8＋1)k －8k －1＝(C 0k 8k －2＋C 1k 8k －3＋…＋C k －2k )·82，(*)当k ＝1时，9k－8k －1＝0，显然S n －4n －1能被64整除； 当k ≥2时，(*)式能被64整除．∴n 为偶数时，S n －4n －1能被64整除．20．解 令x ＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n ＝4n，又展开式二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，由题意知4n －2n ＝992，即(2n )2－2n－992＝0， (2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n＝32，n ＝5.所以展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2·(3x 2)3＝270x 223， 设展开式中第k ＋1项的系数最大．又T k ＋1＝C k 5(3x 2)5－k (3x 2)k ＝C k 5·3k·x 10＋4k 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C k5·3k≥C k －15·3k －1，C k 5·3k ≥C k ＋15·3k ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，解得72≤k ≤92，又∵k ∈N ，∴k ＝4.所以展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45·34·x263＝405x 263.。
高中数学 第1章 计数原理 1.4 计数应用题教学案 苏教版选修23
1.4 计数应用题[例1] 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？[思路点拨] 本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法．[精解详析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320种不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14 400种不同的排法．(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有A25·A66＝14 400种不同的排法．法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400种不同的排法．法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400种不同的排法．(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000种不同的排法．法二：3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000种不同的排法．(5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160种不同的排法． [一点通](1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．1．(四川高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 44种．故不同的排法共有A 55＋C 14A 44＝9×24＝216种．答案：2162．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：符合题意的五位数有A22C13A33＝2×3×3×2＝36.答案：363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？解：法一：(位置分析法)依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A44种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有A14A44种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有A14A44种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有A24A44种排法．由分类加法计数原理，所求的不同排法共有A44＋2A14A44＋A24A44＝504(种)．法二：(排除法)不考虑受限条件下的排法有A66种，其中包括数学课在第六节的排法有A55种，体育课在第一节的排法有A55种，但上面两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情形有A44种．故所求的不同排法有A66－2A55＋A44＝504(种).[例2] 某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷，现要选派划左舷的3人，划右舷的3人，共6人参加比赛，则不同的选派方法有多少种？[思路点拨] 既会划左舷又会划右舷是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．[精解详析] 选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C33C36种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C12C23C35种选派方法；选派的3名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C13C34种选派方法．故共有C33C36＋C12C23C35＋C13C34＝20＋60＋12＝92种选派方法．[一点通](1)解决简单的分配问题的一般思路是先选取，后分配．(2)如果涉及的元素有限制条件，则一般以特殊元素，特殊位置为分类标准．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．答案：365．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．答案：126．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分3步完成：第1步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法；第2步，从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法；第3步，把剩下的书给丙有C 22种方法．所以，共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260种．(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法．所以，共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560种.[例3] 从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[思路点拨] 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等的处理方法．[精解详析] (1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760(个)．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，共有C 34C 45A 44A 35＝28 800(个)．[一点通] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．7．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种．解析：标号1，2的卡片放入同一封信有C 13种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有C 24A 22·A 22种方法，共有C 13·C 24A 22·A 22＝18种． 答案：188．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为________．解析：若甲乙同时参加，则可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综合可得不同的发言顺序有C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：6009．某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止．若次品恰好在第6次检测时被全部选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品. 可分三步，先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法，再从5件正品中取2件，有C25种方法，再把另3件次品和取出的2件正品排在前5位有A55种方法，所以检测方案种数为4×C25·A55＝4 800.解决排列组合问题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个条件的同时，也要兼顾其他条件．考虑两个条件之间是否有影响．(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往是考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素．(3)间接法：也叫排异法．直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏”．(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成空的个数．此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法比较适合“必须在一起”的问题．课下能力提升(七)一、填空题1．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．答案：3452．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步计数原理得共有2C13A22C13＝36(种)分配方案．答案：363．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种．解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内；故不同的放法种数为C18A59＝120 960(种)．答案：120 9604．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种．答案：1205．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________种．解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类计数原理，得共有C23A27＋A37＝336种不同的站法．答案：336二、解答题6．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．7．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有1个空盒，有几种放法？(3)若恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝84种．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特征分析得知，若a>0，开口向上，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c<0，若a<0，开口向下，坐标原点在抛物线内部⇔f(0)＝c>0；所以对于抛物线y＝ax2＋bx＋c 来讲，坐标原在其内部⇔af(0)＝ac<0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有C13C14A22C16＝144条．。
高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题素材 苏教版
1 1.4 计数应用题
课前导引
情景导入
在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A 、B 两种作物,每种作物一垄.为有利于作物生长,要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有多少种?(用数字作答) 思路分析:先考虑A 种植在B 的左边的情况,有三类:A 种植在最左边一垄上时,B 有3种不同的种植方法;A 种植在左边第二垄上时,B 有2种不同的种植方法;A 种植在左边第三垄上时,B 只有1种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 相同,故共有2×(3+2+1)=12种不同的选垄方法.
答案:12.
知识预览
1.排列数与组合数的公式及性质.
m n A =__________;m n C =_______________.
答案:n (n -1)…(n -m +1)!
)1)...(1(m m n n n +-- 2.解排列组合题的“十六字方针,十二个技巧”:
(1)“十六字方针”是解排列组合题的基本规律,即_________、_________、_________、_________.
(2)“十二个技巧”是速解排列组合题的捷径,即①相邻问题_________;②不相邻问题_________;③多排问题_________;④定序问题_________;⑤定位问题_________;⑥有序分配问题_________;⑦多元问题_________;⑧交叉问题_________;⑨至少(或至多)问题_________;⑩选排问题_________;○
11_________;○12复杂问题转化法. 答案: (1)分类相加 分步相乘 有序排列 无序组合
(2)捆绑法 插空法 单排法 倍缩法 优先法 分步法 分类法 集合法 间接法 先取后排法 局部与整体问题排除法。
苏教版数学高二课时作业 1.4 计数应用题
1.4 计数应用题一、填空题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有________种．2．将4名教师分配到3所任教，每所至少1名教师，则不同的分配方案共有________种．3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共________个.6．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．7．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．8．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．二、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？11．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？参考答案1.【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26＝300种．【答案】3002.【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所，共有C24A33＝36种分配方案．【答案】363.【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C23A24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A34＝24种．故共有60种获奖情况．【答案】604.【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A35种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C23·A15·A14种方案．由分类计数原理得共有A35＋C23A15A14＝120(种)方案．【答案】120种5.【解析】分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻，有A33·A33＝36(个)．故共有72＋36＝108个．【答案】1086.【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.【答案】3367.【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A22A14A44＝192种；(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A22A14A44＝192种；(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A22A14A33＝192种；②若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×A22A13A13A33＝432种，所有共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】 1 0088.【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在．(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2；c＝1此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．【答案】 69.解:(1)先将3名男同志安排到车上有A34种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C13种方法，还有2个女同志有A23种安排方法，故共有A34C13A23＝432种安排方法．(2)男同志分2组有C23种方法，女同志分2组有C23种方法，将4组安排到4辆车上有A44种方法，故共有C23C23A44＝216种安排方法．10.解:设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C39种选法．因是分步问题，所以有C33·C39种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C23种选法，在C中选1人，有C15种选法，划右舷的人在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C38种选法．因是分步问题，所以有C23·C15·C38种选法．类似地，第③类有C13·C25·C37种选法，第④类有C03·C35·C36种选法．故有C33·C39＋C23·C15·C38＋C13·C25·C37＋C03·C35·C36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174种不同的选法11.解:(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C46个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C36C16个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C26C26个四边形．故满足条件的四边形共有N＝C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．其中含点C1的有C25＋C15C14＋C24＝36(个)．。
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§1.4 计数应用题(一)
课时目标1.利用计数原理，解决一些简单的实际问题.2.理解解计数应用题的常用思想方法．
解计数应用题，要按照元素的性质进行________，按事情发生的过程进行________；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路．
一、填空题
1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第1号瓶内，那么不同的放法共有__________种．(用式子表示) 2．某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内一共有________种不同的安排方法．(用式子表示)
3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．
4．三个人坐在八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法总数为________种．
5．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．
6．现从8名学生干部中选2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男同学有______人，女同学有______人．
7．从5名男生和3名女生中任选3男2女分别参加不同的学科兴趣小组，则有________种不同的安排．
8．从数集{－1,0,1,2,3}中任取3个数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________条与x轴正、负半轴都有交点的不同的抛物线．
二、解答题
9．A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，问：一共有多少种不同的排法？
10．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，问：一共有多少种不同排法？
能力提升
11．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？(用数字作答)
12．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的．现打算用编号①，②，③，④的仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同的放法有多少种？
1．解计数应用题，要针对特殊的元素或位置进行分类或分步．
2．几类特殊问题：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．
1．4 计数应用题(一)
答案
知识梳理
分类分步
作业设计
1．C18A59
解析第一步：从去掉甲、乙的8种种子选1种放入第1号瓶子内；第二步：再从剩下的9种种子中选5种放入剩余的5个瓶子中，∴共有放法C18×A59种．
2．C118A717
解析先安排人数较多的学校，共有C118种方法；在剩余的17天中任选七天安排其余学校，A717种，
∴共有C118A717种不同的安排方法．
3．1 260
解析C29C37C44＝1 260(种)．
4．24
解析可使用插空法，余下的五个座位形成6个空，从中间的四个空中任选3个排3个人即可，有A34＝24(种)坐法．
5．120
6．3 5
解析设男同学n名，则C2n C18－n A33＝90.
∴n＝3.
7．3 600
解析C35×C23×A55＝3 600.
8．18
9．解A，B两种商品捆绑在一起，看成一个商品，与E形成三个空档，将C，D插入，有A23种，C，D内部排列有A22种，A，B排列有A22种，所以共有A23A22A22＝24.
10．解从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有C23A22＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24(种)排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法．
由分类计数原理，知共有24＋12＋12＝48(种)．
11．解个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有C23A33C14＋A33C13＝90(种)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C23A33C14＋C13C23A33C13＝234(种)，所以共有90＋234＝324(个)．
12.
解如图所示，PA只能与BC或CD所代表的化工产品放在一起，若PA与BC放在一起，则一定有PD与AB，PC与AD，PB与CD分别放在4个仓库里，则有A44＝24(种)不同的放法．同理PA与CD时，也有24种不同的放法，由分类计数原理知共有24＋24＝48(种)不同的放法．。