2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题2 不等式与线性规划 第5练
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法
第12练 导数几何意义的必会题型[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x 0，y 0)的切线还是在点(x 0，y 0)处的切线.体验高考1.(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )A.(0，1)B.(0，2)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1，∴f ′(x )＝⎩⎨⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1.若k 1·k 2＝－1，则两个切点一个在x ∈(0，1)的图象上为P 1，一个在x ∈(1，＋∞)的图象上为P 2.设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则k 1＝－1x 1，k 2＝1x 2.∵k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1. 令x 1＝x 0(0<x 0<1)，则x 2＝1x 0.∴P 1(x 0，－ln x 0)，P 2⎝⎛⎭⎫1x 0，－ln x 0.∴l 1：y ＋ln x 0＝－1x 0(x －x 0)⇒y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，∴A (0，1－ln x 0).l 2：y ＋ln x 0＝x 0(x －1x 0)⇒y ＝x 0x －1－ln x 0，∴B (0，－1－ln x 0)，∴|AB |＝1－ln x 0－(－1－ln x 0)＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，y ＝x 0x －1－ln x 0，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，x 20－1x 20＋1－ln x 0.∴S △P AB ＝12·2|x 0|x 20＋1·|AB |＝12·2x 0x 20＋1·2＝2x 0x 20＋1＝2x 0＋1x 0.∵x 0∈(0，1)，∴0＜2x 0＋1x 0＜1，故S △P AB ∈(0，1).2.(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________. 答案 y ＝2x解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，所以f ′(1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .3.(2016·课标全国甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln 2解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)，∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得⎩⎨⎧x 1＝12，x 2＝－12，，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.4.(2015·天津)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋431.(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1)， 单调递减区间为(1，＋∞). (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)， 则x 0＝431，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)·(x －x 0)， 即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0). 令函数F (x )＝f (x )－g (x )， 即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0).由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减. 又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增， 在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x ). (3)证明 由(2)知g (x )＝－12⎝⎛⎭⎫x －431.设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a12＋431.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x ). 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增， 且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1， 由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a3＋431.5.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时， x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2].高考必会题型题型一 直接求切线或切线斜率问题例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝______. (2)曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1 答案 (1)1 (2)C解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1. (2)∵y ＝x ex －1＝x e x e， ∴y ′＝1e (e x ＋x ·e x )＝1e·e x·(x ＋1)，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 点评 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.变式训练1 (2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 题型二 导数几何意义的综合应用例2 (2015·山东)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行. (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值. 解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2， 又f ′(x )＝ln x ＋ax ＋1，即f ′(1)＝a ＋1＝2，所以a ＝1.(2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根.设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )， x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0).当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减； 可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2).综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.点评 已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.变式训练2 (2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立.∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. (2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ， ∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点， 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点. (3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝ex (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e .f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增， 令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e ≥(m ＋1)3.∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤ 3a －2e－1.高考题型精练1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 B解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1 B.－3 C.－4 D.－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m <0)， 于是解得m ＝－2.故选D.3.已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 函数的定义域为(0，＋∞).由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P (x ，y )处的切线的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x ＞0，故2x ＋2x≥22x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时取等号)，所以f ′(x )＝2x －3＋2x ≥4－3＝1，即直线l 的斜率的最小值为1，此时直线的倾斜角取得最小值π4.故选B.4.设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( ) A.y ＝3x B.y ＝－2x C.y ＝－3x D.y ＝2x答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(x )是偶函数，∴a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－3. ∴k ＝f ′(0)＝－3，∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x ， 故选C. 5.曲线y ＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D.1 答案 A解析 因为y ′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ⎝⎛⎭⎫23，23，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.6.若曲线f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上不存在斜率为0的切线，则f ′(1)b －1的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.[1，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ， 所以f ′(1)b －1＝a ＋b ＋c b －1＝a ＋cb .函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 24，所以a ＋c b ≥2ac b >2b 24b＝1，即f ′(1)b －1＝a ＋c b的取值范围是(1，＋∞).7.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________. 答案 (1，1)解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1).8.已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是________.答案 －1解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1，令x ＝23，可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×23－1，解得f ′(23)＝－1，所以f (x )的图象在点(23，f (23))处的切线斜率是－1.9.已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________. 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ). 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ).②将点(1，0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.10.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________.答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.11.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min {}f (x )，g (x )(x >0)，讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0， 解得⎩⎨⎧ x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线. (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)内无零点.当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0， h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54， 则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点.当x ∈(0，1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0，1)上的零点个数.(ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0，1)内无零点，故f (x )在(0，1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0，1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0，1)内没有零点.(ⅱ)若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0， －a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ －a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝2a 3 －a 3＋14.①若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0，1)内无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0，1)内有唯一零点； ③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0，1)内有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0，1)内有一个零点. 综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点. 12.(2016·北京)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间.解 (1)f (x )的定义域为R .∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b . 依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ， 由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知， f ′(x )与1－x ＋e x －1同号. 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增.故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞).综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科考前抢分必
回扣8计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理).2.分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理).3.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5.二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C k n(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中的C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝C k n an －k b k. 6.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k <n ＋12时，二项式系数是递增的；当k >n ＋12时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大.当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112-+n T 和112++n T 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1.关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.(2)混合问题一般是先分类再分步. (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 3.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. 4.对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系. (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b .1.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A.36个 B.18个 C.9个 D.6个 答案 B解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为( ) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 答案 B解析 设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男，女生人数为3，5，故选B.3.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( ) A.150种 B.180种 C.240种 D.540种答案 A解析 先将5个人分成三组，(3，1，1)或(1，2，2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种).4.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种 答案 B解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出的3位教师是1男2女则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.5.若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( )A.2B.54 C.1 D.24答案 C解析 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x )7－k (a x )k ＝C k 727－k a k x 7－2k，令7－2k ＝－3，得k ＝5.故展开式中1x 3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6.(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于( ) A.－1 B.1 C.(2x －1)4 D.(1－2x )5 答案 B解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30种B.600种C.720种D.840种 答案 C解析 A 47－A 45＝720(种).8.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A.180B.240C.360D.420 答案 D解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池栽同一种颜色的花，或3，5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种).9.(x ＋1ax )5的各项系数和是1 024，则由曲线y ＝x 2和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为______.答案512解析 设x ＝1，则各项系数和为(1＋1a )5＝1 024＝45，所以a ＝13，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 31可得交点坐标分别为(0，0)，(1，1)，所以曲线y ＝x 2和y ＝x 31围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 31－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 34－13x 3⎪⎪⎪10＝34－13＝512.10.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为______. 答案 120解析 圆上任意三点都不共线， 因此有三角形C 310＝120(个).11.一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种. 答案 36解析 可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产生把6个空位分为1，1，2，2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(种).12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种. 答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种).13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有______种. 答案 24解析依题意，当A在第一步时，共有A22A33＝12(种)；当A在最后一步时，共有A22A33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.14.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.答案288解析从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A23＝6(种)，先排3个奇数，有A33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A24＝12(种).根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种).若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288(种).。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题2 不等式与线性规划 第3练 Word版含答案
第3练 “三个二次”的转化与应用[题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.体验高考1.(2015·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.－1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0， ① B 正确等价于b ＝－2a ， ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3，③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④下面分情况验证，若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数.综上，故选A.2.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 答案 D解析 方法一 当x >2时， g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2；当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根. 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ，有无数个解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0，无解.所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74， 所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.3.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析 要使原函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0.解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].4.(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ， 在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ， 使方程f (x )＝b 有三个不同的根， 则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(2015·浙江)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值.(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值.(1)证明 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24， 得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得|－a2|≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}. 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3， 且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.高考必会题型题型一 函数与方程的转化例1 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0，3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点.由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0，3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.点评 二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合的方法解决.变式训练1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________. 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点.题型二 函数与不等式的转化例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称.若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0恒成立，则当x ＞3时，x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 (13，49)解析 由函数f (x －1)的图象关于点(1，0)对称可知，函数f (x )为奇函数.所以不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )＜0，可化为f (x 2－6x ＋21)＜－f (y 2－8y )＝f (－y 2＋8y ). 又因为函数f (x )在R 上为增函数， 故必有x 2－6x ＋21＜－y 2＋8y ， 即x 2－6x ＋21＋y 2－8y ＜0， 配方，得(x －3)2＋(y －4)2＜4.因为x ＞3，故不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＜4，x ＞3，它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x 2＋y 2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x 2＋y 2的最小值在点A 处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x 2＋y 2＞32＋22＝13，而最大值为圆心(3，4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x 2＋y 2＜(5＋2)2＝49，故13＜x 2＋y 2＜49.点评 不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.解 设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立. ∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a ) ＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立. 又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3，1]. 题型三 方程与不等式的转化例3 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有一解， ∵f (0)＝1＞0，则应有f (2)＜0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ＜－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋(m －1)×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1].方法二 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0＜x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1].点评 “三个二次”是一个整体，不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.变式训练3 若关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2，4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(－3，＋∞)B.[－3，0]C.(0，＋∞)D.[0，3] 答案 B解析 如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，可知两根必定一正一负，因此在[2，4]上有且只有一个实数根，设f (x )＝x 2＋ax －4，则必有f (2)f (4)≤0，所以2a (12＋4a )≤0，即a ∈[－3，0].故选B.高考题型精练1.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.2.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A.f (x 1)＜f (x 2) B.f (x 1)＝f (x 2)C.f (x 1)＞f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定答案 A解析 f (x )的对称轴为直线x ＝－1，又∵x 1＋x 2＝1－a ，∴x 1＋x 22＝1－a2，0＜a ＜3.∴1－a2＞－1.∵x 1＜x 2，∴x 1离对称轴的距离小于x 2离对称轴的距离. 又∵a ＞0，∴f (x 1)＜f (x 2).3.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ＞0)，－1x(x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5，4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5，4]上图象交点的个数，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，由图可知两图象在[－5，4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.4.若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－34，0B.⎝⎛⎦⎤－34，0C.⎝⎛⎭⎫0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 B解析 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1， ∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1， x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，∴－34＜k ≤0.5.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点， 所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下， 所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确.6.已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A.(3，4)B.(2，＋∞)C.(2，5)D.(3，22) 答案 B解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象，如图所示，直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线，当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m ＞0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须有直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1(x ＞0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1，在x ＞0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2＞0， 且m ＞0，解得m ＞ 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞).7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是______. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇒－32＜x ＜1. ∴解集为{x |－32＜x ＜1}. 8.已知奇函数f (x )在定义域[－2，2]上单调递减，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围是________.答案 [－1，1)解析 由f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，得f (1－m )＜－f (1－m 2).又f (x )为奇函数，∴f (1－m )＜f (m 2－1).又∵f (x )在[－2，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ＜1.1－m ＞m 2－1.∴实数m 的取值范围为[－1，1).9.已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为________.答案 10解析 在同一直角坐标系中，分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图，结合图象知，共有10个交点.10.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是____.答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1＜0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a ＞0，且有4－a ＞0，故0＜a ＜4， 不等式的解集为12＋a ＜x ＜12－a，14＜12＋a ＜12， 则一定有{1，2，3}为所求的整数解集，所以3＜12－a≤4， 解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916.11.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0，即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2，1).12.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0).(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根.∴b 2－4a (b －1)＞0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a ＞0恒成立，∴有(－4a )2－4(4a )＜0⇒a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1.因此实数a的取值范围是(0，1).。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题2不等式与线性规划第4练含答案
第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误.体验高考1.(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A.16 B.18 C.25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减，∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2.据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6. 当m ＜2时，抛物线开口向下， 据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18，∵2n ·m ≤2n ＋m2≤9，∴mn ≤812，由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8). ∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16， 综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2.(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )21＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.3.(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值. 答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b ) ≤⎝⎛⎭⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝⎛⎭⎫log 2ab ＋122＝⎝⎛⎭⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立， 此时a ＝4，b ＝2.4.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得： tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.5.(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ， ∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错. 2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有： (1)x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a＋a (x >a ).(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数).例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b ＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________.答案509解析 由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ，∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2， 又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b≥22ab， ∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值.解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)， ∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号，∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得. 变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20， (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值.解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 10－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 答案 B解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备.变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________. 答案 92解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1，2)， ∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ， ∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92.(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元).当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 ①当0＜x ＜80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250＝1 200－(x ＋10 000x). ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元). 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大.高考题型精练1.已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A.有最大值eB.有最大值 eC.有最小值eD.有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22， ∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x)＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ， 即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝⎛⎭⎫y －15≥135＋2 3625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A.1B.6C.9D.16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝aa －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9(a －1)＝6， 当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6.故选B.4.已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A.4B.16C.9D.3 答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3ab＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0＜a ＜23，0＜b ＜1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D. 6.已知m ＞0，a 1＞a 2＞0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1，2)恒成立的x 的取值范围是( )A.[0，2a 1]B.[0，2a 2]C.[0，4a 1]D.[0，4a 2]答案 C解析 因为m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1，2)恒成立， 即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4， 因为a 1＞a 2＞0，所以⎩⎨⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a2，即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1].7.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y ·3(y ＋1)－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8.已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c 的最小值为________.答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋cb ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52.9.已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________. 答案 [4，12] 解析∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)， 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)， 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10.当x ∈(0，1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________.答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x (1－x )＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0，1).令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1，4)，则函数f (x )可转化为 g (t )＝t－⎝⎛⎭⎫t －132＋t －13＝t－19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－(t ＋4t )＋5，因为t ∈(1，4)，所以5＞t ＋4t ≥4，0＜－(t ＋4t)＋5≤1，9－(t ＋4t)＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，因为x ∈(0，1)，则1－x ∈(0，1)，设y ＝1－x ∈(0，1)，显然x ＋y ＝1. 故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4(x ＋y )y ＝5＋(y x ＋4xy)≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立.所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9.11.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13x 18， 即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法
第16练 定积分问题[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2015·湖南)⎠⎛02(x －1)d x ＝________.答案 0解析 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪20＝12×22－2＝0. 2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案 1.2解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为S 1＝2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)， 而原梯形下底为10－2tan 45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16(m 2)，S 2S 1＝16403＝1.2.3.(2015·天津)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案 16解析 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)， 面积S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝12x 2⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝12－13＝16.4.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积 S ＝⎠⎛12(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)⎪⎪⎪21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.高考必会题型题型一 定积分的计算例1 (1)⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值为( )A.0B.π4C.2D.4(2)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，2，1＜x ≤2.则⎠⎛－12 f (x )d x 等于( )A.0B.1C.2D.3 答案 (1)C(2)C解析 (1)原式＝(－cos x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2－π2＝1－(－1)＝2，故选C.(2)⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛122d x＝(14x 4－cos x )⎪⎪⎪1－1＋(2x )⎪⎪⎪21＝0＋2＝2. 点评 (1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1 (1)已知复数z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则⎠⎛0a ()4－x 2＋x d x的值为( )A.2＋πB.2＋π2 C.4＋2π D.4＋4π(2)⎠⎛03|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为z ＝a ＋(a －2)i(a ∈R )为实数，所以a ＝2，⎠⎛0a (4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x＋12x 2⎪⎪⎪20，由定积分的几何意义知，⎠⎛02 4－x 2d x 的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，即是π，所以⎠⎛024－x 2d x ＋12x 2⎪⎪⎪2的值为2＋π，故选A.(2)画出函数图象如图所示，可知⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝8－83＋(9－12－83＋8)＝233.题型二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)由曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积为( )A.13B.23C.1D.16 (2)y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B.4e 2 C.2e 2 D.e 2 (3)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )A.1B.π4C.223 D.22－2答案 (1)A (2)D (3)D解析 (1)由题意可知，曲线y ＝x 2与y ＝x 的边界所围成区域的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)⎪⎪⎪10＝23－13＝13.(2)因为y ′＝1212e x ，所以y ′|x ＝4＝12e 2，所以在点(4，e 2)处的切线方程是y －e 2＝12e 2(x －4)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝2， 所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是 S ＝12×|－e 2|×2＝e 2，故选D. (3)方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.故选D.方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0)＝22－2.点评 求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.变式训练2 如图所示，由函数f (x )＝sin x 与函数g (x )＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π2上的图象所围成的封闭图形的面积为( )A.32－1B.42－2C. 2D.2 2 答案 B解析 f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的交点坐标为⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22， 两函数图象所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cos x )d x ＋⎠⎜⎜⎛5π43π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪5π4π4＋(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪3π25π4＝42－2.故选B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203 B.gt 20 C.gt 202 D.gt 206 答案 C解析 由题意，可知所走路程为⎠⎛0t 0v d t ＝⎠⎛0t 0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.2.定积分⎠⎛01(e x ＋2x )d x 的值为( )A.1B.e －1C.eD.e ＋1 答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛012x d x＝e x ⎪⎪⎪10＋x 2⎪⎪⎪1＝e ，故选C. 3.若⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A.－1B.1C.－ 3D. 3 答案 A解析 ⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A.15B.20C.25D.30 答案 A解析 由已知得S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝12，根据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列，故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15. 5.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.4 B.6 C.103 D.163答案 D解析 因为⎩⎨⎧y ＝xy ＝x －2⇒x ＝4，根据定积分的几何意义可得，⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x )⎪⎪⎪40＝163，故选D.6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76 答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋1＝43.7.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成.向矩形OABC 内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6 答案 B解析 由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB ，面积为a ×6a ＝6.记“向矩形OACB 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ， 则构成事件A 的区域即为阴影部分， 面积为⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪a＝1－cos a ，由几何概型的计算公式可得P (A )＝14＝1－cos a 6，cos a ＝－12，又∵a ∈(0，π)，∴a ＝2π3，故选B.8.已知⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝16，则k 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )⎪⎪⎪20＝8＋2k ＝16，所以k ＝4.故选D.9.定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________.答案 π4＋2解析 ⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011＋x 2d x＝2x ⎪⎪⎪10＋⎠⎛011＋x 2d x ＝2＋⎠⎛011＋x 2d x ， 令y ＝1＋x 2，得x 2＋y 2＝1(y ≥0)， 点(x ，y )的轨迹表示半圆.⎠⎛011＋x 2d x 表示以原点为圆心， 以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛011＋x 2d x ＝14×π×12＝π4，∴⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝π4＋2.10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________.答案 －1解析 由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝0＝b ， 此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，据定积分知，阴影部分面积为－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112，解得a ＝－1. 11.已知a ＞0，(ax －x )6的展开式的常数项为15，则⎠⎛－aa (x 2＋x ＋4－x 2)d x ＝______. 答案2＋2π3＋ 3 解析 根据二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(－1)k a6－k1(6)2k k x－－＝C k 6(－1)k a 6－k332k x－，∴令k ＝2，∴C 26(－1)2a 4＝15⇒a ＝1(a ＞0)，∴⎠⎛－a a (x 2＋x ＋4－x 2)d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x .作出⎠⎛－114－x 2d x 表示的图象如图，根据定积分的几何意义及定义， 从而可知⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ＋⎠⎛－114－x 2d x＝23＋0＋12·1·3·2＋16π·4＝2＋2π3＋ 3. 12.计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积 S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科考前抢分必做 考前回扣 回扣5 含答案 精品
回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A.3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1). 9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________.答案 8解析 由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8. 当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析 因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1解析 由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1. 13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案 －2解析 令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 答案 [－1，92]解析 作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法篇 专题3 函数与导数 第10练 含答案 精品
第10练 重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望] 函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.体验高考1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 由已知得，当点P 沿着边BC 运动， 即0≤x ≤π4时，P A ＋PB ＝4＋tan 2x ＋tan x ；当点P 在CD 边上运动时， 即π4≤x ≤3π4时， P A ＋PB ＝(1－1tan x)2＋1＋ (1＋1tan x)2＋1，当x ＝π2时，P A ＋PB ＝22；当点P 在AD 边上运动时，即3π4≤x ≤π时，P A ＋PB ＝tan 2x ＋4－tan x .从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x ＝π2对称，且f (π4)＞f (π2)，且轨迹非线型，故选B.2.(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝18×192＝24. 3.(2015·上海)如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5千米，AC ＝3千米，BC ＝4千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设t ＝t 1时乙到达C 地.(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1，1]上的最大值是否超过3？说明理由. 解 (1)t 1＝38.记乙到C 时甲所在地为D ，则AD ＝158千米.在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A ，所以f (t 1)＝CD ＝3841(千米).(2)甲到达B 用时1小时；乙到达C 用时38小时，从A 到B 总用时78小时.当t 1＝38≤t ≤78时，f (t )＝(7－8t )2＋(5－5t )2－2(7－8t )(5－5t )·45＝25t 2－42t ＋18；当78≤t ≤1时，f (t )＝5－5t ，所以f (t )＝⎩⎨⎧25t 2－42t ＋18，38≤t ≤78，5－5t ，78＜t ≤1.因为f (t )在⎣⎡⎦⎤38，78上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫38＝3418， f (t )在⎣⎡⎦⎤78，1上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫78＝58， 所以f (t )在⎣⎡⎦⎤38，1上的最大值是3418，不超过3. 4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎨⎧a25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 分别交x ，y 轴于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数. 从而当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答 当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米.高考必会题型题型一 基本函数模型的应用例1 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比.又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比， ∴设y ＝k x －0.4(k ≠0).把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去.∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.点评 解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下： 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.变式训练1 (1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a 扣去20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________. 答案 (1)B (2)y ＝a3x (x ∈N *)解析 (1)由表知，汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b ，则售价b (1－25%)，让利b ×25%，由于原价为a ，则进价为a (1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b ×(1－25%)×20%＝b ×(1－25%)－a (1－20%)，化简得b ＝43a .∴y ＝b ×25%·x ＝43a ×25%×x ＝a3x (x ∈N *)，即y ＝a3x (x ∈N *).题型二 分段函数模型的应用例2 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W 有最大值5 760.因为6 104＞5 760， 所以当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元. 点评 函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.高考题型精练1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 B解析 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损.2.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－2.954 3)( )A.2015年B.2011年C.2016年D.2008年 答案 B解析 设1995年生产总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x ＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆， 则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32 ＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.5.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米 答案 D解析 s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.6.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm 、60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2. 答案 600解析 设直角边为40 cm 和60 cm 上的矩形边长分别为x cm 、y cm ，则40－x 40＝y60，解得y＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝－32(x －20)2＋600，当x ＝20时矩形的面积最大，此时S ＝600.7.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元. 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元.8.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车.(精确到1小时) 答案 5解析 设至少经过x 小时才能开车， 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3＝lg 0.3lg 0.75≈4.2， ∴至少经过5个小时才能开车.9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析 依题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 10.某公司生产的商品A 每件售价为5元时，年销售10万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用.试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 解 (1)设商品的销售价格提高a 元， 则(10－a )(5＋a )≥50，即0≤a ≤5， 所以商品的价格最多可以提高5元.(2)由题意知改革后的销售收入为mx 万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入总和，只需要满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x ＞5)，即m ＝12x ＋34＋50x≥212x ·50x ＋34＝434， 当且仅当x ＝10时等号成立.故销售量至少应达到434万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.11.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ， 则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， 所以θ＝10＋2x10＋x(0＜x ＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211. 综上，当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.12.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－200P 2＋7 800P －75 600(14≤P ≤20)，－150P 2＋61 00P －61 600(20＜P ≤26). (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元.(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科考前抢分必
回扣7 解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋yb ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. 3.三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0).(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0).提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥07.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.8.范围、最值问题的常用解法(1)几何法①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P 的直径垂直的弦.④圆锥曲线上本身存在最值问题，如(ⅰ)椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；(ⅱ)双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；(ⅲ)椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；(ⅳ)在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近.(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解.9.定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.10.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解. 11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、 弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.1.直线2mx －(m 2＋1)y －m ＝0倾斜角的取值范围为( ) A.[0，π) B.[0，π4]∪[3π4，π)C.[0，π4] D.[0，π4]∪(π2，π)答案 C解析 由已知可得m ≥0.直线的斜率k ＝2m m 2＋1.当m ＝0时，k ＝0，当m >0时，k ＝2m m 2＋1＝2m ＋1m ≤22m ·1m＝1，又因为m >0，所以0<k ≤1.综上可得直线的斜率0≤k ≤1.设直线的倾斜角为θ，则0≤tan θ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4.2.若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 等于( ) A.2或－1 B.2C.－1 D.以上都不对 答案 C解析 由题意a (a －1)＝2，得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2方程为x ＋y ＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a ＝－1时，直线l 1，l 2的方程分别为－x ＋2y ＋6＝0，x －2y ＝0，符合题意.所以a ＝－1.故选C.3.直线x ＋y ＝3a 与圆x 2＋y 2＝a 2＋(a －1)2相交于点A ，B ，点O 是坐标原点，若△AOB 是正三角形，则实数a 等于( ) A.1 B.－1C.12 D.－12答案 C解析 由题意得，圆的圆心坐标为O (0，0)，设圆心到直线的距离为d ， 所以弦长为2r 2－d 2＝r ，得4d 2＝3r 2. 所以6a 2＝3a 2＋3(a －1)2， 解得a ＝12，故选C.4.直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.4 3 B.33C.2 3 D. 3答案 C解析 由于圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0，0)，半径r ＝2，而圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.5.与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A.4 B.3C.2 D.1 答案 B解析 圆O 1(－2，2)，r 1＝1，圆O 2(2，5)，r 2＝4， ∴|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴圆O 1和圆O 2相外切， ∴与圆O 1和圆O 2相切的直线有3条.故选B.6.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，l 与圆相交 B.m ⊥l ，l 与圆相切 C.m ∥l ，l 与圆相离 D.m ⊥l ，l 与圆相离答案 C解析 以点P 为中点的弦所在的直线的斜率是－ab ，直线m ∥l ，点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，所以a 2＋b 2<r 2，圆心到ax ＋by ＝r 2，距离是r 2a 2＋b 2>r ，故相离.7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( )A.7－4 3B.2－3C.3－1D.4－2 3 答案 B解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)由∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：椭圆中4c 2＝4a 2－(2＋3)|PF 1||PF 2|， 双曲线中：4c 2＝4a 21＋(2－3)|PF 1||PF 2|，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)式，c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0， 得e 2＝7－43，即e ＝2－3，故选B.8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为( ) A.255 B.41717 C.35 D.45答案 A解析 ∵c ＋b2c －b 2＝53，a 2－b 2＝c 2，c ＝2b ，∴5c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝25＝255.9.如图，已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，|F 1F 2|＝4，点A 在双曲线的右支上，线段AF 1与双曲线左支相交于点B ，△F 2AB 的内切圆与BF 2相切于点E ，若|AF 2|＝2|BF 1|，|BE |＝22，则双曲线C 的离心率为________.答案2解析 设|AF 2|＝2|BF 1|＝2m ，由题意得|AF 1|＝2m ＋2a ，|BF 2|＝m ＋2a ，因此|AB |＝m ＋2a ，2|BE |＝|AB |＋|BF 2|－|AF 2|＝4a ， 即a ＝2，又|F 1F 2|＝4⇒c ＝2，所以离心率为ca＝ 2.10.已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________. 答案 16解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1知，2a ＝8，由双曲线的定义得，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－(|QF 1|＋|PF 1|)＝16， ∴|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16.11.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.答案32解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d ＝|3|3＋1＝32. 12.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 答案 56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝2，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |，∴|AF |＝56，|BF |＝54.13.已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝r 2与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝(4－r )2 (0<r <4)的公共点的轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M .若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求曲线E 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标； (3)求△ABM 的面积的最大值. 解 (1)设圆F 1，圆F 2的公共点为Q ， 由已知得，|F 1F 2|＝2，|QF 1|＝r ，|QF 2|＝4－r ， 故|QF 1|＋|QF 2|＝4>|F 1F 2|，因此曲线E 是长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆，且b 2＝a 2－c 2＝3，所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2， 由k AM ·k BM ＝14，得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2(3＋4k 2)＝0， 化简得m 2－33m ＋6＝0，故m ＝3或m ＝23， 结合x 1x 2≠0知m ＝23，即直线AB 恒过定点N (0，23). (3)由Δ>0且m ＝23得k <－32或k >32，又S △ABM ＝|S △ANM －S △BNM |＝12|MN |·|x 2－x 1|＝32(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝32(－8km 3＋4k 2)2－4·4(m 2－3)3＋4k 2＝64k 2－93＋4k 2＝64k 2－9＋124k 2－9≤32， 当且仅当4k 2－9＝12，即k ＝±212时，△ABM 的面积最大，最大值为32.。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科考前抢分必
高考大题纵横练高考大题纵横练(一)1.已知函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在[0，π2]上的最大值为2，当把f (x )的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<π2)个单位后，得到图象对应函数g (x )的图象关于直线x ＝7π6对称.(1)求函数g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知g (x )在y 轴右侧的第一个零点为C ，若c ＝4，求△ABC 的面积S 的最大值. 解 (1)由题意知，函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，∴2sin ωπ2＝2， ∴ωπ2＝2k π＋π4，k ∈Z ， 得ω＝4k ＋12，k ∈Z .经验证当k ＝0时满足题意，故求得ω＝12，∴g (x )＝2sin(12x －φ2)，故12×7π6－12φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝－2k π＋π6，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π6.故g (x )＝2sin(x 2－π12).(2)根据题意，得x 2－π12＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴C ＝π6.又c ＝4，得16＝a 2＋b 2－2ab cos π6，∴a 2＋b 2＝16＋3ab ≥2ab ， ∴ab ≤32＋163，∴S ＝12ab sin C ＝14ab ≤8＋43，∴S的最大值为8＋4 3.2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，SB＝SC＝3.(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；(2)求证：SA⊥BC；(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.(1)证明∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，∴l∥AB.(2)证明连接AC.∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，由余弦定理得AC＝2，∴AC＝AB.取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC.∵SB＝SC，∴SG⊥BC，∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG，∴BC⊥SA.(3)解如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，S (0，0，1)，D (2，－22，0). ∴SD →＝(2，－22，0)－(0，0，1)＝(2，－22，－1)， SA →＝(2，0，0)－(0，0，1)＝(2，0，－1)， BA →＝(2，0，0)－(0，2，0)＝(2，－2，0). 设平面SAB 法向量为n ＝(x ，y ，z )， 有⎩⎪⎨⎪⎧n ·SA →＝2x －z ＝0，n ·BA →＝2x －2y ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，n ＝(1，1，2)， cos 〈n ，SD →〉＝n ·SD →|n |·|SD →| ＝2－22－22·11＝－2211.∴直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值为2211. 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n (n ∈N *)，数列{a n }满足a n ＝4log 2b n ＋3(n ∈N *). (1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 又a 1＝3也适合上式. 所以a n ＝4n －1，n ∈N *，由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)2n －1，n ∈N *.所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)2n －1，所以2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)2n －1＋(4n －1)2n ，所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *.4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因. 解 (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×(12)1×(1－12)2＝38， P (X ＝20)＝C 23×(12)2×(1－12)1＝38， P (X ＝100)＝C 33×(12)3×(1－12)0＝18， P (X ＝－200)＝C 03×(12)0×(1－12)3＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－(18)3＝1－1512＝511512.(3)X 的均值为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上不同的三点，A (32，322)，B (－3，－3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(1)求椭圆的标准方程； (2)求点C 的坐标；(3)设动点P 在椭圆上(异于点A ，B ，C )且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →·ON →为定值并求出该定值.解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋92b2＝1，9a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝27，b 2＝272.∴椭圆的标准方程为x 227＋y 2272＝1.(2)设点C (m ，n )(m <0，n <0)，则BC 中点为(m －32，n －32).由已知，求得直线OA 的方程为x －2y ＝0， 从而m ＝2n －3.① 又∵点C 在椭圆上，∴m 2＋2n 2＝27.②由①②，解得n ＝3(舍)，n ＝－1，从而m ＝－5. ∴点C 的坐标为(－5，－1).(3)设P (x 0，y 0)，M (2y 1，y 1)，N (2y 2，y 2). ∵P ，B ，M 三点共线，∴y 1＋32y 1＋3＝y 0＋3x 0＋3，整理得y 1＝3(y 0－x 0)x 0－2y 0－3.∵P ，C ，N 三点共线，∴y 2＋12y 2＋5＝y 0＋1x 0＋5，整理得y 2＝5y 0－x 0x 0－2y 0＋3.∵点P 在椭圆上，∴x 20＋2y 20＝27，x 20＝27－2y 20.从而y 1y 2＝3(x 20＋5y 20－6x 0y 0)x 20＋4y 20－4x 0y 0－9＝3(3y 20－6x 0y 0＋27)2y 20－4x 0y 0＋18＝3×32＝92. ∴OM →·ON →＝5y 1y 2＝452，∴OM →·ON →为定值，定值为452.6.已知函数f (x )＝x ＋a ln x 在x ＝1处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，函数g (x )＝f (x )＋12x 2－bx .(1)求实数a 的值；(2)若函数g (x )存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；(3)设x 1，x 2 (x 1<x 2)是函数g (x )的两个极值点，若b ≥72，求g (x 1)－g (x 2)的最小值.解 (1)∵f (x )＝x ＋a ln x ，∴f ′(x )＝1＋ax ，∵切线与直线x ＋2y ＝0垂直，∴f ′(1)＝1＋a ＝2，∴a ＝1. (2)∵g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x (x >0)，g ′(x )＝1x ＋x －(b －1)＝x 2－(b －1)x ＋1x .设μ(x )＝x 2－(b －1)x ＋1，则μ(0)＝1>0只需 ⎩⎪⎨⎪⎧b －12>0，Δ＝(b －1)2－4>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >1，b >3或b <－1⇒b >3. ∴b 的取值范围为(3，＋∞).(3)令g ′(x )＝0，则x 2－(b －1)x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝b －1，x 1x 2＝1. g (x 1)－g (x 2)＝ln x 1x 2＋12(x 21－x 22)－(b －1)(x 1－x 2) ＝lnx 1x 2＋12(x 21－x 22)－(x 1＋x 2)(x 1－x 2) ＝ln x 1x 2－12x 21－x 22x 1x 2＝ln x 1x 2－12(x 1x 2－x 2x 1)，设t ＝x 1x 2，∵0<x 1<x 2， ∴0<t <1，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b －1，x 1x 2＝1⇒(x 1＋x 2)2x 1x 2＝(b －1)2，得t ＋1t ＋2≥(72－1)2＝254，∴4t 2－17t ＋4≥0， ∴0<t ≤14.令h (t )＝ln t －12(t －1t )(0<t ≤14)，h ′(t )＝1t －12(1＋1t 2)＝－(t －1)22t 2<0，∴h (t )在(0，14]上单调递减，h (t )≥h (14)＝158－2ln 2.故g (x 1)－g (x 2)的最小值为158－2ln 2.。
17年高考数学复习点拔：不等式_考前复习
17年高考数学复习点拔：不等式_考前复习专题18 不等式选讲常见易错题、典型陷阱题精讲1.已知函数f（x）＝＋，M为不等式f（x）2的解集。
（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.（1）解f（x）＝当x≤－时，由f（x）2得－2x2，2.已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a0.（1）当a＝1时，求不等式f（x）1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。
解（1）当a＝1时，f（x）1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－10，解得0，解得1≤x2.所以f（x）1的解集为。
（2）由题设可得，f（x）＝所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），∈ABC的面积为（a＋1）2.由题设得（a＋1）26，故a2.所以a的取值范围为（2，＋∞）。
.解不等式|x＋3|－|2x－1|＋1.解①当x－3时，原不等式转化为－（x＋3）－（1－2x）＋1，解得x10，∈x－3.②当－3≤x时，原不等式转化为（x＋3）－（1－2x）＋1，解得x－，∈－3≤x－。
③当x≥时，原不等式转化为（x＋3）－（2x－1）＋1，解得x2，∈x2.综上可知，原不等式的解集为{x|x－或x2}..设a，b，c均为正实数，试证明不等式＋＋≥＋＋，并说明等号成立的条件。
.若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋。
求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.所以a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1已知函数f（x）＝|x－a|，其中a＞1.（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值。
2017版考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识 方法
第11练 研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望] 在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在选择题、填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患.体验高考1.(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A.sgn[g (x )]＝sgn xB.sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]C.sgn[g (x )]＝－sgn xD.sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]答案 C解析 因为f (x )是R 上的增函数，令f (x )＝x ，所以g (x )＝(1－a )x ，因为a ＞1，所以g (x )是在R 上的减函数.由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0知，sgn[g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0.所以sgn[g (x )]＝－sgn x .2.(2016·山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e x D.y ＝x 3答案 A解析 对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3求导，得y ′＝2x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 3.(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设 m＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2)). 对于①，从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故①正确； 对于②，直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故②不正确； 对于③，由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ， 则h ′(x )＝2x ·ln 2－2x －a .由h ′(x )＝0，得2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故③不正确；对于④，由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)， 令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ， 则F ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .由F ′(x )＝0，得2x ln 2＝－2x －a ， 结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2，使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故④正确.故①④正确.4.(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 5x 6x 7＝0，x 2x 3x 6x 7＝0，x 1x 3x 5x 7＝0，其中运算定义为00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________. 答案 5 解析 (1)x 4x 5x 6x 7＝111＝1，(2)x 2x 3x 6x 7＝11＝0；(3)x 1x 3x 5x 7＝111＝1.由(1)(3)知x 5，x 7有一个错误，(2)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.5.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 答案 ②③解析 ①设A 的坐标为(x ，y )， 则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′的“伴随点”横坐标为－x x 2＋y 2⎝⎛⎭⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故A ″(－x ，－y )，①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则P 的“伴随点”的坐标为P ′(sin θ，－cos θ)，则有sin 2θ＋(－cos θ)2＝1，所以P ′也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，②正确；③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴的对称点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，所以点A 的“伴随点”A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”A 1′⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与A 1′关于y 轴对称，③正确；④反例：例如y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yx 2＋y 2，y 0＝－xx 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y0x 2＋y 20，y ＝xx 20＋y 20.代入直线方程可知，A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0， 化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)是一个常数，点P ′的轨迹是一条直线； 当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，点P ′的轨迹不是一条直线.所以，一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错误. 综上，真命题是②③.高考必会题型题型一 与新定义有关的创新题型例1 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ).对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________. 答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2. h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210， 故答案为(210，＋∞).点评 解答这类题目关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1 若函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点.例如y ＝|x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点.若函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，2)解析 因为函数f (x )＝x 2－mx －1是[－1，1]上的“平均值函数”，所以关于x 的方程x 2－mx －1＝f (1)－f (－1)2在区间(－1，1)内有实数根，即x 2－mx －1＝－m 在区间(－1，1)内有实数根，即x 2－mx ＋m －1＝0，解得x ＝m －1或x ＝1.又1不属于(－1，1)，所以x ＝m －1必为均值点，即－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0，2). 题型二 综合型函数创新题例2 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ].例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)答案 ①③④解析 因为f (x )∈A ，所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以①正确；令f (x )＝1x，x ∈(1，2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1，1]， 但是f (x )没有最大值，所以②错误；因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x 0∉[a ，b ]，使得f (x 0)的值接近无穷，所以f (x )＋g (x )∉B ，所以③正确；因为当x >－2时，函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ，所以函数f (x )若有最大值，则a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1.因为对∀x ∈R ，x 2＋1≥2|x |，所以－12≤x x 2＋1≤12.即－12≤f (x )≤12，故f (x )∈B ，所以④正确.点评 此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等.变式训练2 如果y ＝f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x ＋a )＝f (－x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”.给出下列命题： ①函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”；②若奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”，且f (1)＝1，则f (2 015)＝1；③若函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(－1，0)上单调递减，则y ＝f (x )在(－2，－1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；④若不恒为零的函数y ＝f (x )同时具有“P (0)性质”和“P (3)性质”，则函数y ＝f (x )是周期函数.其中正确的是________(写出所有正确命题的编号). 答案 ①③④解析 ①因为sin (x ＋π)＝－sin x ＝sin (－x )， 所以函数y ＝sin x 具有“P (a )性质”， 所以①正确；②因为奇函数y ＝f (x )具有“P (2)性质”， 所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝f (x )，周期为4， 因为f (1)＝1，所以f (2 015)＝f (3)＝－f (1)＝－1. 所以②不正确；③因为函数y ＝f (x )具有“P (4)性质”， 所以f (x ＋4)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 即f (2－x )＝f (2＋x )，因为图象关于点(1，0)成中心对称， 所以f (2－x )＝－f (x )，即f (2＋x )＝－f (－x )， 所以得出f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数， 因为图象关于点(1，0)成中心对称， 且在(－1，0)上单调递减，所以图象也关于点(－1，0)成中心对称， 且在(－2，－1)上单调递减；根据偶函数的对称性得出在(1，2)上单调递增，故③正确； ④因为具有“P (0)性质”和“P (3)性质”， 所以f (x )＝f (－x )，f (x ＋3)＝f (－x )＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，且周期为3，故④正确.高考题型精练1.对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A.f (x )＝cos(x ＋1) B.f (x )＝x C.f (x )＝tan x D.f (x )＝x 3答案 A解析 由题意知，若f (x )是准偶函数，则函数的对称轴是直线x ＝a ，a ≠0，选项B ，C ，D 中，函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1)，有对称轴，且x ＝0不是对称轴，选项A 正确.故选A.2.设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称f (x )为“倍缩函数”.若函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，则t 的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ B.(0，1) C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，14 答案 D解析 因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为“倍缩函数”，所以存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，因为函数f (x )＝ln(e x ＋t )为增函数，所以⎩⎨⎧ln (e a ＋t )＝a2，ln (e b ＋t )＝b2，即⎩⎨⎧e a ＋t ＝e 2a ，e b＋t ＝e2b ，即方程e x－e 2x＋t ＝0有两个不等的正根，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－4t ＞0，t ＞0，解得t 的范围是⎝⎛⎭⎫0，14. 3.设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1＋x 2＝2a ，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心.研究并利用函数f (x )＝x 3－3x 2－sin πx 的对称中心，可得f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016)等于( )A.－16 124B.16 124C.－8 062D.8 062 答案 C解析 如果x 1＋x 2＝2，则f (x 1)＋f (x 2)＝x 31－3x 21－sin πx 1＋x 32－3x 22－sin πx 2＝x 31－3x 21－sin πx 1＋(2－x 1)3－3(2－x 1)2－sin π(2－x 1)＝－4. 令S ＝f (12 016)＋f (22 016)＋…＋f (4 0302 016)＋f (4 0312 016)，又S ＝f (4 0312 016)＋f (4 0302 016)＋…＋f (12 016)，两式相加得2S ＝－4×4 031，所以S ＝－8 062.故选C.4.函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1，3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1，3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1，3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)].其中真命题的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.③④ 答案 D解析 令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1，3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1，3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1，3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1， 3 ]上不具有性质P ， 因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确； 对于③，假设存在x 0∈[1，3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1，3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1，3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，与上式矛盾. 即对∀x ∈[1，3]，有f (x )＝1，故③正确. 对于④，对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422 ≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，故④正确. 5.已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ∈[0，1].定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f [f 1(x )]，…，f n (x )＝f [f n －1(x )]，n ＝2，3，4，…，满足f n (x )＝x 的点x ∈[0，1]称为f (x )的n 阶不动点.则f (x )的n 阶不动点的个数是( )A.nB.2n 2C.2(2n －1)D.2n 答案 D解析 函数f (x )＝1－|2x －1|＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤12，2－2x ，12＜x ≤1，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f 1(x )＝2x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x )＝2－2x ＝x ⇒x ＝23， ∴f 1(x )的1阶不动点的个数为2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝4x ＝x ⇒x ＝0， 当x ∈⎝⎛⎦⎤14，12时，f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2－4x ＝x ⇒x ＝25， 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，34时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4x －2＝x ⇒x ＝23， 当x ∈⎝⎛⎦⎤34，1时，f 1(x )＝2－2x ，f 2(x )＝4－4x ＝x ⇒x ＝45. ∴f 2(x )的2阶不动点的个数为22，以此类推，f (x )的n 阶不动点的个数是2n .6.若集合A ＝{1，2，3，k }，B ＝{4，7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝________. 答案 7解析 由对应法则知1→4，2→7，3→10，k →3k ＋1，又a ∈N *，∴a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，解得a ＝2(舍去a ＝－5)，所以a 4＝16，于是3k ＋1＝16，∴k ＝5.∴a ＋k ＝7.7.如果定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x ＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________. 答案 ②③解析 由已知x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上是增函数.对于①，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，其不是“H 函数”；对于②，y ＝e x ＋1在R 上为增函数，所以其为“H 函数”；对于③，由于y ′＝2－cos x ＞0恒成立，所以y ＝2x －sin x 是增函数，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”.综上知，是“H 函数”的序号为②③.8.已知二次函数f (x )的两个零点分别为b 1－a ，b1＋a(0<b <a ＋1)，f (0)＝b 2.定义card(A )：集合A中的元素个数.若“⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card (A ∩Z )＝4”是“f (x )>0”的充要条件，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (1，2)解析 由条件可得f (x )＝(1－a 2)(x －b 1－a )(x －b1＋a )，结合⎩⎪⎨⎪⎧x ∈A ，card (A ∩Z )＝4知a >1，所以f (x )开口向下，所以f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫b 1－a ，b 1＋a ，且0<b 1＋a <1.结合数轴分析，知－4≤b 1－a<－3，即3a －3<b ≤4a －4，又0<b <a ＋1，所以3a －3<b <a ＋1，得1<a <2.9.设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )＞0，对任意a ＞0，b ＞0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b ).例如，当f (x )＝1(x ＞0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数. (1)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x ＞0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1)x (2)x解析 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则三点共线.(1)依题意，c ＝ab ，则求得f (a )a ＝f (b )b， 故可以选择f (x )＝x (x ＞0).(2)依题意，c ＝2ab a ＋b，求得f (a )a ＝f (b )b ， 故可以选择f (x )＝x (x ＞0).10.对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x . 其中存在“稳定区间”的函数是________.(填出所有满足条件的函数序号)答案 ①②③解析 据已知定义，所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等.问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”.数形结合依次判断，①②③均符合条件，而④不符合条件.综上可知，①②③均为存在“稳定区间”的函数.11.若函数f (x )在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )＝f (x )x在I 上是减函数，则称y ＝f (x )在I 上是“非完美增函数”.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝2x ＋2x＋a ln x (a ∈R ). (1)判断f (x )在(0，1]上是否为“非完美增函数”；(2)若g (x )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，求实数a 的取值范围.解 (1)易知f ′(x )＝1x ＞0在(0，1]上恒成立，所以f (x )＝ln x 在(0，1]上是增函数.F (x )＝f (x )x＝ln x x ，求导得F ′(x )＝1－ln x x 2，因为x ∈(0，1]，所以ln x ≤0，即F ′(x )＞0在(0，1]上恒成立，所以F (x )＝ln x x在(0，1]上是增函数.由题意知，f (x )在(0，1]上不是“非完美增函数”. (2)若g (x )＝2x ＋2x ＋a ln x (a ∈R )在[1，＋∞)上是“非完美增函数”，则g (x )＝2x ＋2x＋a ln x 在[1，＋∞)上单调递增，G (x )＝g (x )x ＝2＋2x 2＋a ln x x在[1，＋∞)上单调递减. ①若g (x )在[1，＋∞)上单调递增，则g ′(x )＝2－2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x－2x 在[1，＋∞)上恒成立.令h (x )＝2x －2x ，x ∈[1，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 2－2＜0恒成立，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (1)＝0，所以a ≥0.②若G (x )在[1，＋∞)上单调递减，则G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立.令t (x )＝－4＋ax －ax ln x ，x ∈[1，＋∞)，因为t ′(x )＝－a ln x ，由①知a ≥0，所以t ′(x )≤0恒成立，所以t (x )＝－4＋ax －ax ln x 在[1，＋∞)上单调递减，则t (x )max ＝t (1)＝a －4.要使t (x )＝－4＋ax －ax ln x ≤0在[1，＋∞)上恒成立，则a－4≤0，即a ≤4，此时G ′(x )＝－4x 3＋a (1－ln x )x 2≤0在[1，＋∞)上恒成立. 综合①②知，实数a 的取值范围为[0，4].12.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )＜x －m x有解，求实数m 的取值范围； (3)定义：对于函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的任意实数x 0，称|f (x 0)－g (x 0)|的值为两函数在x 0处的差值.证明：当a ＝0时，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在其公共定义域内的所有差值都大于2.(1)解 f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x ＞0). ①当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a， 则当x ∈(0，－1a)时，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增， 当x ∈(－1a，＋∞)时，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减. 综上，当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减. (2)解 由题意：e x ＜x －m x有解，即e x x ＜x －m 有解，因此只需m ＜x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可.设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x 2x ＝1－e x (x ＋12x ). ∵x ＋12x ≥212＝2＞1， 且x ∈(0，＋∞)时e x ＞1， ∴1－e x (x ＋12x)＜0，即h ′(x )＜0， 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减.∴h (x )＜h (0)＝0，故m ＜0.(3)证明 当a ＝0时，f (x )＝ln x ，f (x )与g (x )的公共定义域为(0，＋∞)，|f (x )－g (x )|＝|ln x －e x |＝e x －ln x ＝e x －x －(ln x －x ).设m (x )＝e x －x ＞0，则m ′(x )＝e x －1＞0，x ∈(0，＋∞)，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m (x )＞m (0)＝1.又设n (x )＝ln x －x ，x ∈(0，＋∞)，n ′(x )＝1x－1， 当x ∈(0，1)时，n ′(x )＞0，n (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，n ′(x )＜0，n (x )单调递减，所以x ＝1为n (x )的极大值点，即n (x )≤n (1)＝－1，故|f (x )－g (x )|＝m (x )－n (x )＞1－(－1)＝2.即公共定义域内任一点差值都大于2.。
2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第22练 Word版含答案
第22练 基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.体验高考1.(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.3.(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝______. 答案 6解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.4.(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________. 答案 2n －1解析 由等比数列的性质知a 2a 3＝a 1a 4， 又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5.(2016·课标全国乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________. 答案 64解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)211749(7)()22241122⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n n n 当n ＝3或4时，12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －722－494取到最小值－6，此时21749()22412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭n 取到最大值26，∴a 1a 2…a n 的最大值为64.高考必会题型题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝11，S 3＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (n ＋6)a n ＋1－5，求数列{b n }中的最小的项.解 (1)∵a 3＝a 1＋2d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝11，3a 1＋3d ＝24⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2. (2)b n ＝a n (n ＋6)a n ＋1－5＝3n 2＋20n ＋123n＝n ＋4n ＋203≥2n ·4n ＋203＝323. 当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时，b n 取得最小值323，∴数列{b n }中的最小的项为323. 点评 等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本的元素. (2)解题思路：①设基本量a 1和公差d (公比q )；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.变式训练1 (1)等比数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 (1)13(2)B解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q ＝1时， S 1＝a 1，2S 2＝4a 1，3S 3＝9a 1，S 1，2S 2，3S 3不成等差数列； 当q ≠1时，∵S 1，2S 2，3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4×a 1(1－q 2)1－q ＝a 1＋3×a 1(1－q 3)1－q ，即3q 2－4q ＋1＝0，∴q ＝1(舍)或q ＝13.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 题型二 等差数列、等比数列的性质及应用例2 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝______. (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________.答案 (1)10 (2)28解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ， 所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5， 所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.点评 等差(比)数列的性质盘点变式训练2 (1){a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( ) A.11 B.17 C.19 D.21(2)在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.9 答案 (1)C (2)D解析 (1)∵S n 有最大值，∴d <0， 又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10， ∴a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0， S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值. (2)设数列{a n }的公比为q (q >0)， 依题意，a 3＝3a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，整理得：q 2－2q －3＝0， 解得q ＝3或q ＝－1(舍)，∴a 2 016－a 2 017a 2 014－a 2 015＝a 2 014·q 2－a 2 015·q 2a 2 014－a 2 015＝q 2＝9. 题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n .解 (1)∵3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0，∴3(a n q 2＋a n )－10a n q ＝0，即3q 2－10q ＋3＝0， ∵公比q >1，∴q ＝3.又∵首项a 1＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n . (2)∵{b n ＋13a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n ＋13a n ＝1＋2(n －1)，即数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1.前n 项和S n ＝－(1＋3＋32＋…＋3n －1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n －1)＋n 2.点评 (1)对数列{a n }，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定a n 、S n .(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法. 变式训练3 (2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b 6与数列{a n }的第63项相等.高考题型精练1.设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A.2 B.－2 C.12 D.－12答案 D解析 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6).解得a 1＝－12.2.已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6<S 7，且S 7>S 8，则( ) A.在数列{a n }中a 7最大 B.在数列{a n }中，a 3或a 4最大C.前三项之和S 3必与前10项之和S 10相等D.当n ≥8时，a n <0 答案 D解析 由于S 6<S 7，S 7>S 8， 所以S 7－S 6＝a 7>0，S 8－S 7＝a 8<0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1， 所以A ，B 均错，D 正确.S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7>0， 故C 错误.3.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A.－110 B.－90 C.90 D.110 答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12， a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16， 又∵a 7是a 3与a 9的等比中项， ∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d <0；②S 11>0；③使S n >0的最大n 值为12；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|，其中正确命题的个数是( )A.5B.4C.3D.1 答案 B解析 ∵S 6>S 7>S 5，∴a 7<0，a 6>0，a 6＋a 7>0， 因此|a 6|>|a 7|；d ＝a 7－a 6<0； S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，而S 13＝13a 7<0，因此满足S n >0的最大n 值为12；由于a 7<0，a 6>0，数列{S n }中的最大项为S 6， ∴④错，①②③⑤正确，故选B.5.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128 答案 C解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，且a 1＝1，由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3， 即2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2. 因为q >0，所以q 2－q －2＝0. 解得q ＝－1(舍)或q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1·(1－27)1－2＝127.6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析 由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1 (n ∈N *)， 故当n ＝1，2，3，5，11时，a nb n 为整数.即正整数n 的个数是5.7.(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 答案 20解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.8.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________. 答案 20解析 等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝39，d ＝－2. ∴S n ＝39n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，当n ＝20时，S n 取得最大值.9.公差不为0的等差数列{a n }的部分项123,,,k k k a a a …构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________. 答案 22解析 根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒4k a ＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22， 即k 4＝22.10.若数列{a n }对任意的正整数n 和m 等式a 2n ＋m ＝a n ×a n ＋2m 都成立，则称数列{a n }为m 阶梯等比数列.若{a n }是3阶梯等比数列有a 1＝1，a 4＝2，则a 10＝________. 答案 8解析 由题意有，当{a n }是3阶梯等比数列，a 2n ＋3＝a n a n ＋6，a 24＝a 1a 7，所以a 7＝4，由a 27＝a 4a 10，有a 10＝a 27a 4＝8.11.(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2 ＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×(1－3n )1－3＝2×(n ＋1)n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n －12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.12.在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， ∴d ＝－3.∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)，故当q ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当q ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－q n1－q .。
2017版高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣9 含解析
回扣9 概率与统计牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n )．④方差与标准差：方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (4)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(4)八组公式①离散型随机变量的概率分布的两个性质 Ⅰ.p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式V (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差V (X ). ⑤方差的性质 Ⅰ.V (aX ＋b )＝a 2V (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则V (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (r )＝C r n p r (1－p )n －r. ⑧条件概率公式P(B|A)＝P(AB) P(A).1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是________法．答案分层抽样解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法．2．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)为实数的概率是________．答案1 6解析投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，记作(m，n)，共有6×6＝36(种)结果．(m＋n i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，应满足m＝n，有6种情况，所以所求概率为636＝16.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为________．答案3 10解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P 2＝1－13＝23. 5．花园小区内有一块三边长分别是5 m ，5 m ，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是__________． 答案 1－π6解析 如图所示，分别以三角形ABC 的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC 的边交于D ，E ，M ，N ，Q ，P .由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5，底边长为6的等腰三角形． 底边AB 上的高为h ＝52－32＝4， 故△ABC 的面积S ＝12×6×4＝12.而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2 m ”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC 除去以三个顶点为圆心，2为半径的扇形部分． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以三个扇形的面积之和为12π×22＝2π.故阴影部分的面积S ′＝S －2π＝12－2π.所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m ”的概率为P 1＝S ′S ＝12－2π12＝1－π6.6．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________． 答案 1－π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0， 整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2， 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3， 故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.7．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________． 答案 18解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20(种)，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数为A 25－2＝20－2＝18. 8．甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为________．答案 0解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.9．在区间[1,5]和[2,4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．答案1532解析 当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a＝a 2－b 2a <32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示 ，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10．将某班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________． 答案 13解析 系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11．某班有学生60人，现将所有学生按1,2,3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a,28，b,52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a,28，b,52号学生在样本中，∴a＝16，b＝40，∴a＋b＝56.12．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的是________．(把你认为正确的事件的序号都填上)答案①③④解析①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件．13．某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，求X的概率分布和均值．解(1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A1、B1，设事件E表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P(E)＝P(A1·B1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A、B、C，则P(A)＝0.5×0.4＝0.2，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.5×0.4＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，则X可能取0,1,2,3.P(X＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P(X＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416，P(X＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012，P(X＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124.故X的概率分布为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。
2017版考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题3 函数与导数 第9练 Word版含答案
第9练 顾全局——函数零点与方程的根[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.体验高考1.(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数.当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去).所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.2.已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 f (x )在[0，2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0，2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0，2π]上的交点有3个.3.(2016·上海)设a ∈R ，b ∈[0，2π].若对任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 ∵对于任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则函数的周期相同，若a ＝3，此时sin(3x －π3)＝sin(3x ＋b )，则b ＝－π3＋2π＝5π3；若a ＝－3，则方程等价为sin(3x －π3)＝sin(－3x ＋b )＝－sin(3x －b )＝sin(3x －b ＋π)，则－π3＝－b ＋π，∴b ＝4π3.综上，满足条件的有序实数对(a ，b )为⎝⎛⎭⎫3，5π3，⎝⎛⎭⎫－3，4π3. 4.(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________. 答案 4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.高考必会题型题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1，3} B.{－3，－1，1，3} C.{2－7，1，3}D.{－2－7，1，3}(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)①－1 ②⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)令x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x . 当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3，令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3； 当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有3个零点，其集合为{－2－7，1，3}.(2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有1个零点时， 0<a <2. f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有1个零点， 此时a <1， 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.点评 确定函数零点的常用方法 (1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.题型二 由函数零点求参数范围问题例2 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围. 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根. 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根， 则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－2 2 ]. 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1，x ≤0，lg x ，x ＞0，若关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－1，0)∪(0，＋∞)解析 依题意，得a ≠0，令f (x )＝0，得lg x ＝0，即x ＝1.由f [f (x )]＝0，得f (x )＝1. 当x ＞0时，函数y ＝lg x 的图象与直线y ＝1有且只有一个交点，则当x ≤0时，函数y ＝ax －1的图象与直线y ＝1没有交点.若a ＞0，结论成立；若a ＜0，则函数y ＝ax －1的图象与y 轴交点的纵坐标－a ＜1，得－1＜a ＜0， 则实数a 的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞).高考题型精练1.若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x在[0，103]上的根的个数是( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，所以f (－x )＝x 2，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝f ((x ＋1)－1)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数.据此在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x 在[0，103]上有3个根，故选C.2.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x ＞0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－∞，－2]C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1； 当x ＞0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2.即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).故选D.4.定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2，3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫55，33 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝f (x )－f (1)， 所以f (1)＝f (－1)－f (1)，又因为f (x )是偶函数，所以f (1)＝0， 所以函数f (x )是以2为周期的偶函数.函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上恰有三个零点可化为函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上有三个不同的交点.作函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象如下图.结合函数图象知，⎩⎪⎨⎪⎧log a (2＋1)＞－2，log a(4＋1)＜－2，解得55＜a ＜33，故选D. 5.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e<x 1x 2<1 B.1<x 1x 2<e C.1<x 1x 2<10 D.e<x 1x 2<10答案 A解析 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象如图.结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0，1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0，1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e 1-x ＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1，1)，e2-x ＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e2-x －e1-x ＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1，0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1. 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，0)C.(－1，0)D.[－1，0)答案 D解析 当x ＞0时，f (x )＝2x －1.令f (x )＝0，解得x ＝12；当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ，此时函数f (x )＝e x ＋a 在(－∞，0]上有且仅有一个零点，等价转化为方程e x ＝－a 在(－∞，0]上有且仅有一个实根，而函数y ＝e x 在(－∞，0]上的值域为(0，1]，所以0＜－a ≤1，解得－1≤a ＜0.故选D.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0，1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图，由于函数g (x )＝f (x )－m有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1， 即m ∈(0，1).8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫34，1解析 画出函数f (x )的图象如图.要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点， 只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点， 由图易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.9.(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.答案 (0，2)解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0 得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.10.已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ，当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ，当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x－a ，….f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图象，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45.当x ＜0时，同理可得a ∈⎣⎡⎭⎫43，32. 综上，a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32. 11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈(0，1]，1－1x，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0，1)上是减函数， 而在(1，＋∞)上是增函数.由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ， 且1a －1＝1－1b ， ∴1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0＜m ＜1时， 方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 12.已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0).(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最大值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋a ， 由函数f (x )在x ＝0处取得极值， 则f ′(0)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1， 即有f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1. 当x ＜0时，有f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ＞0时，有f ′(x )＞0，f (x )单调递增.则在x ＝0处f (x )取得极小值，也为最小值，值为2. 又f (－2)＝e －2＋3，f (1)＝e ，f (－2)＞f (1)，即有最大值e －2＋3.(2)函数f (x )不存在零点， 即为e x ＋ax －a ＝0无实数解.当x ＝1时，e ＋0＝0显然不成立，即有a ∈R 且a ≠0. 若x ≠1，即有－a ＝e xx －1.令g (x )＝e xx －1，则g ′(x )＝e x (x －2)(x －1)2，当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＜1或1＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减. 即在x ＝2处g (x )取得极小值e 2，当x＜1时，g(x)＜0，则有0＜－a＜e2，解得－e2＜a＜0，则实数a的取值范围为(－e2，0).。
全国版2017版高考数学一轮复习不等式选讲2证明不等式的基本方法课件理选修4_5
,0<cd≤
所以ab+cda≤2 2b2.(a2改为: a+b+c+d=1,证明： a b
b
a
【证明】 a b
b
a
1
4
3x3, x(1,)，
≥ 41 +2+ 2+x 2+, 2+x 2+ 2=16(， 等号 当,且1 仅) 当，
【解题导引】 (1)利用作差比较法证明,注意条件a+b=2的应用. (2)利用作商比较法证明.
【规范解答】(1) 0a1,ab0,(a)a2b1. b2 b
ab
aabb ab 2 .
因为a+b=2，所以
因为a，b都是正实数ab，所以baab≤ a b.
所以
≥0,即
≥1.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd
=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上，
1 4
是|a-b|<|c-d|的充要条件.
【母题变式】
1.题中条件改为: a+b=c+d=1,证明：ab+cd≤ 1 . 【证明】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=21，
所以0<ab≤
(2)证 112，11≥2，111，2. 即证 可分别a证b abbc bcca ca
2(1≥1a1)+2b2+2c，. 然a后bc相ab加bc即ca得.
1111 1 1. a b c ab bc ca
【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤ .
2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲
2017年全国卷高考数学复习专题——不等式选讲考点一不等式的性质和绝对值不等式1.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为. 答案{x|x≤-3或x≥2}2.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a= .答案-33.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案-1,124.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1a +1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由ab=1a +1b≥ab,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥23b3≥42,且当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)= x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)= x+1a +|x-a|≥ x+1a-(x-a)=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+52<a≤3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.6.(2014福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a 的值;(2)若p,q,r 是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p 2+q 2+r 2≥3. 解析 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r 是正实数, 所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2 =(p+q+r)2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.7.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;(2)当x∈M∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14. 解析 (1)f(x)=3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43; 当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1. 所以f(x)≤1的解集为M= x |0≤x ≤43 . (2)证明:由g(x)=16x 2-8x+1≤4得16 x -14 2≤4,解得-14≤x≤34.因此N= x |-14≤x ≤34 ,故M∩N= x |0≤x ≤34 . 当x∈M∩N 时, f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x·[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14- x -12 2≤14.考点二 不等式的证明8.(2014江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲 已知x>0,y>0,证明:(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥9xy. 证明 因为x>0,y>0, 所以1+x+y 2≥3 xy 23>0, 1+x 2+y≥3 x 2y 3>0,故(1+x+y 2)(1+x 2+y)≥3 xy 23·3 x 2y 3=9xy.9.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)q n-2+(an-bn)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0. 所以s<t.。
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题2不等式与线性规划第5练
第 5 练 如何让 “ 线性规划 ” 不失分
[题型分析 ·高考展望 ]题的形式
考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高
.二轮复习中，要注重常考
l ： x＋ 6y＝0，平移直线 l 可知，直
线 l 过点 A 时，目标函数 z＝ x＋ 6y 取得最大值，易得 A(0， 3)， 所以 zmax＝ 0＋ 6× 3＝ 18，选 C.
2.(2015 陕·西 )某企业生产甲、乙两种产品均需用 需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产
A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
4 万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲 乙 原料限额
A3
2
12
B1
2
8
A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 答案 D 解析 设甲，乙的产量分别为 x 吨， y 吨，
由已知可得
3x＋2y≤ 12， x＋ 2y≤ 8， x≥ 0， y≥ 0，
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分
.
体验高考
1.(2015 天·津 )设变量 x， y 满足约束条件
x＋ 2≥ 0， x－ y＋ 3≥ 0， 2x＋ y－ 3≤0，
则目标函数 z＝ x＋ 6y 的最大值为
() A.3 B.4 C.18 D.40 答案 C 解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线
专题3-2 不等式-2017年全国高考数学考前复习大串讲 含解析 精品
【知识网络】【考点聚焦】1.原题（必修5第75页习题3.1A 组第2题）变式 若0,a m n >>>.【解析】平方作差可得2.原题（必修5第80页习题3.2A 组第3题）变式 已知方程22(1)0x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围. 【解析】依题意有：(m 1)0,0,(0)022f -+∆>->>⋅，故03m <<-3m >+3.原题（必修5第81页习题3.2B 组第二题）变式1 若函数m x m mx y +--=)1(2的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． 【解析】要使m x m mx y +--=)1(2有意义，即0)1(2≥+--m x m mx 对R x ∈∀恒成立，则⎩⎨⎧≤-->04)1(022m m m ，即31≥m . 变式2 若0)1(2<+--m x m mx 恒成立，则m 的取值范围是 ．变式 3 若函数2log [(1)]a y mx m x m =--+的定义域不是R ，则m 的取值范围是 ．【解析】要使函数2l o g [(1)]a y m x m x m =--+有意义，则存在R x ∈，使得0)1(2>+--m x m mx （*）当0=m 时，（*）等价于：0-> x ，即0<x ，满足题意；当0>m 时，04)1(22≥--m m ，即310≤<m；当0<m 时，04)1(22≥--m m ，即01<≤-m ；综上，311≤≤-m ． 变式4 若函数2log [(1)]a y mx m x m =--+的值域是R ，则m 的取值范围是 ．4.原题（必修5第81页习题3.2B 组第四题）变式 如图，气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏．台风中心正从海岸M 点登陆，并以72千米/时的速度沿北偏西60°的方向移动．已知M 点位于A 城的南偏东15°方向，距A城M 点位于B 城的正东方向，距B 城和方向保持不变，请回答下列问题：（1）A 城和B 城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【解析】（1）A 城不会受到台风影响：B 城会受到台风影响；（2）56小时； 5.原题（必修5第80页习题3.2A 组第四题）变式 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,AB 求20ax x b ++<的解集.6.原题（必修5第87页例题）变式 横坐标、纵坐标都是整数的点是整点坐标．若直线2y x k =-+（为正整数），与坐标轴围成三角形内的整点坐标（含周界）的个数是100，则等于（ ）A ．9B ．18C ．11D ．22 【解析】B.7.原题（必修5第100页练习题第1题）变式 求函数2710,(1)1x x y x x ++=>-+的值域.8.原题（必修5第91页练习题第1(2)题） 【解析】目标函数为35z x y =+，可行域如图所示， 作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时， Z 取得最小值.解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-变式1(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________.【答案】 6变式2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究 1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 【解析】z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋ (y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.变式3已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.【答案】1 2【思维升华】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点 (a，b)连线的斜率．(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．9.原题（必修5第93页练习题第3题）分析：将所给信息下表表示：设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为.答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.变式(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.【答案】18【解析】 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C2.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.3.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.。
2017高考数学必考点【综合法与分析法证明不等式】整理.doc
2017高考数学必考点【综合法与分析法证明不等式】
整理
高考数学想要取得好成绩必须要掌握好数学考点，很多考生在记忆数学考点的时候不够准确，因此在考试答题的时候就会模棱两可，为此下面为大家带来2017高考数学必考点【综合法与分析法证明不等式】整理，希望大家能够认真掌握这些考点。
高考数学知识点：综合法与分析法证明不等式
综合法：
利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。
利用均值不等式的有关公式最为常见。
分析法：
(1)从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因;
(2)用分析法证明要注意格式：若A成立，则B成立的模式是：欲证B为真,高考，只需证C为真，只需证D为真最后得出A或已知的性质、公理、定理，从而得出B为真。
也可使用简化叙述。
即BCDA 或已知的性质、公理、定理。
切不可使用BCDA。
用综合法分析法证明不等式常用到的结论：
2017高考数学必考点【综合法与分析法证明不等式】整理为大家带
来过了，数学考点是我们解题的重要依据，希望大家在记忆数学考点的时候多下功夫。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5练 如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.体验高考1.(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A.3B.4C.18D.40 答案 C解析 画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)， 所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.2.(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元 答案 D解析 设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元).3.(2016·山东)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 答案 C解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.4.(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322 D. 5答案 B解析 已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0， 解得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0， 解得B (2，1).由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小， 即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.5.(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. 答案 32解析 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 高考必会题型题型一 已知约束条件，求目标函数的最值例1 (2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.点评 (1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值. 变式训练1 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是( )A.[53，15)B.[53，15]C.[53，5) D.(5，15) 答案 A解析 根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z ＝|4x －4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ，y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A (2，－1)，B (13，23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 分别取得最大值15与最小值53，故z ∈[53，15)，故选A.题型二 解决参数问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1] D.[－1，1)答案 C解析 由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1，1].点评 所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论. 变式训练2 (2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A.3B.2C.－2D.－3 答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (2，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B. 题型三 简单线性规划的综合应用例3 (1)(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |等于( )A.2 2B.4C.3 2D.6(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 答案 (1)C (2)216 000解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示.因为l 与直线x ＋y ＝0平行.所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0.解得Q (2，－2). 所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N*目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).点评 若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.变式训练3 设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是( ) A.[－32，23]B.[－6，2]C.[－1，72]D.[－4，23]答案 B解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由题意，可得(x ，y )＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1，0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3，0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.高考题型精练1.(2015·安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A.－1B.－2C.－5D.1 答案 A解析 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1，1)时，截距最大，此时z 最大为－1，故选A.2.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 解析 如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1②表示△ABC 内部区域所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A. 3.在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23 C.22D.1 答案 A解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图.因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.4.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5 B.29 C.37 D.49 答案 C解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 5.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( ) A.(0，4) B.(0，4] C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)答案 B解析 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1，1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0，4]，故选B.6.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A.(－6，－2) B.(－3，2) C.(－103，－2)D.(－103，－3)答案 C解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解. 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0，f (1)＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0，⇒－103＜k ＜－2，故选C.7.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.－12答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示.将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )， 所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2， 解得m ＝2.8.设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 答案 C解析 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.9.(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析 已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.10.4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元. 答案 22解析 设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0，4)，B (0，8)，C (103，43).当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值.所以z min ＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元. 11.给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故共可确定6条不同的直线.12.(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________. 答案3解析 满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部. f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y | ＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。