2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件：7.3 简单的线性规划+(共110张)
新高考数学一轮复习教师用书：第7章 3 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组) 表示区域Ax＋By＋C>0(<0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y 线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是________,________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(－1,－1),B(2,－1),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,画直线l 0：y ＝－2x,平移l 0过点B 时,z max ＝4,平移l 0过点A 时,z min ＝－2.答案：4 －22．(必修5P91练习T2改编)投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米；投资生产B 产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x,y 分别表示生产A,B 产品的吨数,x 和y 的单位是百吨)解析：用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出,x ≥0,y ≥0,200x ＋300y≤1 400,200x ＋100y≤900. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y≤1 400，200x ＋100y≤900，x ≥0，y ≥0[易错纠偏](1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方,则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示,所以由点(－2,t)在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0,解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 2．已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x －y ＝0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z ＝x －y 取得最大值,最大值为1.答案：13．已知x,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示,问题转化为区域上哪一点与点M(－3,1)连线斜率最大,观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52,使k MA 最大,z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3. 答案：34．已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x,y)有无数个,则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时,z 取得最大值的点(x,y)有无数个,所以－a ＝k AB ＝1,所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0，x ＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________．【解析】 (1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A(1,1),易得B(0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC|＝4－43＝83.故S △ABC ＝12×83×1＝43.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，2x ＋y≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a≤1或a≥43.【答案】 (1)C (2)(0,1]∪[43,＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时,边界应画为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点,属必考内容,题型多为选择题和填空题,难度适中,属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)； (3)求非线性目标函数的最值(范围)． 角度一 求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考浙江卷)若实数x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示,数形结合可知,当直线z ＝3x ＋2y 过点(2,2)时,z 取得最大值,z max ＝6＋4＝10.故选C.【答案】 C角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0y －1≥0x －y ＋1≥0,若ax ＋y 的最大值为10,则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 画出满足条件的平面区域,如图所示(阴影部分)：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋1＝0, 解得A(3,4),令z ＝ax ＋y,因为z 的最大值为10,所以直线在y 轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10), 所以z ＝ax ＋y 与可行域有交点, 当a ＞0时,直线经过A 时z 取得最大值．即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,当a≤0时,直线经过A 时z 取得最大值,即ax ＋y ＝10,将A(3,4)代入得,3a ＋4＝10,解得a ＝2,与a≤0矛盾,综上a ＝2.【答案】 C角度三 求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5【解析】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥02x －y －3≤0x －2y ＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,2)、B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为－1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB|＝2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.【答案】 B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z ＝ax ＋by ；(ⅱ)距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；(ⅲ)斜率型：形如z ＝y －bx －a. (2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中,求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解．[提醒] 求目标函数的最值时,易弄错目标函数的几何意义而求错．如x 2＋y 2是距离的平方,易忽视平方而求错．1．(2020·温州七校联考)实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0|x ＋y|≤1,使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示,因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个,所以－a ＝1,a ＝－1,所以当x ＝1,y ＝0或x ＝0,y ＝－1时,z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1,所以ax ＋y ＋1的最小值是0,故选A.2．(2020·温州市高考模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,则y 的最大值为________,y ＋1x ＋2的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＋1≥0x ＋y －2≤0x ，y ≥0,对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A 的纵坐标取得最大值2.设z ＝y ＋1x ＋2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D(－2,－1)的斜率,由图象知BD 的斜率最小,AD 的斜率最大,则z 的最大为2＋10＋2＝32,最小为0＋11＋2＝13,即13≤z ≤32,则z ＝y ＋1x ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.答案：2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，323．(2020·绍兴一中高三期中)设x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0,若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0,b ＞0)的最大值为35,则a ＋b 的最小值为________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y≥2x－1x≥0，y ≥0的区域是一个四边形,如图所示四个顶点分别是(0,0),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,(2,3),由图易得目标函数在(2,3)取最大值35,即35＝2ab＋3,所以ab ＝16,所以a ＋b≥2ab ＝8,当a ＝b ＝4时等号成立, 所以a ＋b 的最小值为8. 答案：8线性规划的实际应用某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．【解析】 由题意,设产品A 生产x 件,产品B 生产y 件,利润z ＝2 100x ＋900y,线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N ,y ∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100), 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多,为了了解题目中量与量之间的关系,可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数； (3)作图：准确作图,平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果,检验反馈．某旅行社租用A,B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C.设旅行社租用A 型客车x 辆,B 型客车y 辆,租金为z,则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y －x≤7，36x ＋60y≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分),可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值z min ＝36 800(元)．[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤12，2x ＋3y≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分,四边形ABCD 是平行四边形,由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z,作出直线y ＝－x,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在B(0,3)处取得,故z max ＝0＋3＝3,选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x≥1,则2x －y( )A ．有最小值,无最大值B ．有最大值,无最小值C ．有最小值,也有最大值D ．无最小值,也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z,则y ＝2x －z,z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z,可得当直线过点A 时z 取得最小值,z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2,则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( )A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分),由区域面积为2,可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1,y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1,－1)连线的斜率,所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13,所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43. 5．(2020·金华十校联考)设变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤a，x ＋y≥8，x ≥6且不等式x ＋2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义．由图可知x＋2y 在点(6,a －6)处取得最大值2a －6,由2a －6≤14得,a ≤10,故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则yx －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.14解析：选A.易知a≠0,那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1a z.要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个,则－1a ＝k AC ＝1,则a ＝－1,故y x －a ＝yx ＋1,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(－1,0)的连线的斜率,可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25,故选A. 7．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A(1,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,C(0,4)．经过点A 时,目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A(3,3),O 为坐标原点,点P(x,y)满足⎩⎨⎧3x －y≤0x －3y ＋2≥0y≥0,则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________,OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图,P 所在区域即为阴影部分,由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C(－2,0),B(1,3),所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y,所以y ＝－3x ＋2z,过点B 时z 最大,所以,OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z,(x 0,y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D,如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点 A(0,1)处取得最小值,在线段BC 处取得最大值,而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标,在取最大值时线段BC 上共有5个整点,分别为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12,则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ,令u ＝x －y,则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值,此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0x≤1x －2y≥0作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,0≤x ≤1. (2)当x≥0,y ≥0时,z ＝|x|＋|y|＝x ＋y 过(1,12)时有最大值为32,过O(0,0)时有最小值0； 当x≥0,y ≤0时,z ＝|x|＋|y|＝x －y 过(1,－1)时有最大值为2, 过O(0,0)时有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范围是[0,2]． 12．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A(3,4)时z 取最小值－2,过C(1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1,最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1<－a2<2,解得－4<a<2.故a 的取值范围是(－4,2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4,若不等式2x －y＋m 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围为( )A ．[－6,6]B ．(－∞,－6]∪[6,＋∞)C ．[－7,7]D ．(－∞,－7]∪[7,＋∞)解析：选 D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y≥－2x －y≤0x≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分),令z ＝－2x ＋y,当直线经过点A(－4,－1)时,z 取得最大值,即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7,即实数m 的取值范围为(－∞,－7]∪[7,＋∞),故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M.若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a(a>0)至少有两个公共点,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1,5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1,5]解析：选C.如图所示(阴影部分),若使以(4,1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点,结合图形,当圆与直线x －y －2＝0相切时,恰有一个公共点,此时a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12,当圆的半径增大到恰好过点C(2,2)时,圆与平面区域M 至少有两个公共点,此时a ＝5,故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥1，x －y≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a,b,且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b,a)上有两个不同的实数解,则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域,如图所示(阴影部分),则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1,在点(－1,1)处取得最小值－3,所以a ＝1,b ＝－3,从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同的实数解．令f(x)＝x 2－kx ＋1,则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0,集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a≥0,B ＝{(x,y)|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P(x,y )∈A”是“点P(x,y)∈B ”的必要不充分条件,则a 的取值范围是____________．解析：由题意知B A,从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离,即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a≤3，|1＋1－4|2≥a，|1－1＋2a|2≥a，解得0＜a≤ 2.答案：0＜a≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异．甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具体收费如下表所示,求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件,二等奖奖品y 件,x,y ∈N, 则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件,二等奖奖品(6－y)件．则x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤4，3－x≥0，6－y≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元,则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x －200y ＋6000,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A(3,1),故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a,b,c 满足：5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c,求ba 的取值范围．解：条件5c －3a≤b≤4c－a,cln b ≥a ＋cln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c.设a c ＝x,bc＝y,则题目转化为：已知x,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≥5，x ＋y≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x 的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),过原点作y ＝e x的切线,切线方程为y ＝ex,切点P(1,e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P(1,e)时,z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时,z max ＝7,故b a ∈[e,7]．。
高考数学一轮复习第七章不等式简单的线性规划课件
第七章 不等式
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第3讲 简单的线性规划
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC 的面积为 S＝21×(2－1)×2＝1.
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．不等式组xx－－y3＋y＋2<6≥0 0， 表示的平面区域是(
)
解析 x－3y＋6≥0 表示直线 x－3y＋6＝0 以及该直线下方的区域，x－y＋2<0 表示直线 x－y＋2＝0 上方的区域，故选 B.
含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 的不等式称为二元一次不等式．
满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对构成的集合称为二 元一次不等式(组)的解集． 二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合．
2 二元一次不等式表示的平面区域
菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4 吨
1.2 万元 0.55 万元
韭菜 6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：
亩)分别为( )
A．50,0
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划
§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划考纲解读考点 内容解读 要求高考示例常考题型 预测热度1.平面区域 问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解2016浙江,3;2016山东,4; 2015课标Ⅰ,15;2014课标Ⅰ,9 选择题 填空题★★★2.线性规划 问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解2017课标全国Ⅱ,5; 2017课标全国Ⅰ,14; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,13选择题 填空题★★★分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点一 平面区域问题1.(2016山东,4,5分)若变量x,y 满足{x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12 答案 C2.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域{x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ) A.2√2 B.4 C.3√2 D.6答案 C3.(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组{x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D.有下面四个命题:p 1:∀(x,y)∈D,x+2y ≥-2, p 2:∃(x,y)∈D,x+2y ≥2, p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3, p 4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1.其中的真命题是( )A.p 2,p 3B.p 1,p 2C.p 1,p 4D.p 1,p 3 答案 B4.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y 满足约束条件{x -1≥0,x -y ≤0,x +y -4≤0,则yx的最大值为 .答案 3教师用书专用(5—6)5.(2013山东,6,5分)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x -y -2≥0,x +2y -1≥0,3x +y -8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.-13D.-12答案 C6.(2013安徽,9,5分)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A,B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点集{P|OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A.2√2 B.2√3 C.4√2 D.4√3 答案 D考点二 线性规划问题1.(2017浙江,4,5分)若x,y 满足约束条件{x ≥0,x +y -3≥0,x -2y ≤0,则z=x+2y 的取值范围是( )A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞) 答案 D2.(2017山东,4,5分)已知x,y 满足约束条件{x -y +3≤0,3x +y +5≤0,x +3≥0,则z=x+2y 的最大值是( )A.0B.2C.5D.6 答案 C3.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元 答案 D4.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x -y ≤0,则z=3x-2y 的最小值为 .答案 -55.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z=3x-4y 的最小值为 .答案 -16.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案32教师用书专用(7—26)7.(2017北京,4,5分)若x,y 满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x,则x+2y 的最大值为( )A.1B.3C.5D.9 答案 D8.(2017天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{2x +y ≥0,x +2y -2≥0,x ≤0,y ≤3,则目标函数z=x+y 的最大值为( )A.23B.1C.32D.3答案 D9.(2016天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{x -y +2≥0,2x +3y -6≥0,3x +2y -9≤0,则目标函数z=2x+5y 的最小值为( )A.-4B.6C.10D.17答案 B10.(2016北京,2,5分)若x,y 满足{2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则2x+y 的最大值为 ( )A.0B.3C.4D.5 答案 C11.(2015天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{x +2≥0,x -y +3≥0,2x +y -3≤0,则目标函数z=x+6y 的最大值为( )A.3B.4C.18D.40答案 C12.(2015山东,6,5分)已知x,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +y ≤2,y ≥0.若z=ax+y 的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-3 答案 B13.(2015北京,2,5分)若x,y 满足{x -y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2答案 D14.(2015福建,5,5分)若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0,x -y ≤0,x -2y +2≥0,则z=2x-y 的最小值等于( )A.-52B.-2C.-32D.2答案 A15.(2015广东,6,5分)若变量x,y 满足约束条件{4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6D.315答案 B16.(2014天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{x +y -2≥0,x -y -2≤0,y ≥1,则目标函数z=x+2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案 B17.(2014北京,6,5分)若x,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( )A.2B.-2C.12D.-12答案 D18.(2014安徽,5,5分)x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一···,则实数a 的值为( )A.12或-1 B.2或12C.2或1 D .2或-1 答案 D19.(2014广东,3,5分)若变量x,y 满足约束条件{y ≤x,x +y ≤1y ≥−1,,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n=( )A.5B.6C.7D.8 答案 B20.(2013天津,2,5分)设变量x,y 满足约束条件{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,则目标函数z=y-2x 的最小值为( )A.-7B.-4C.1D.2答案 A21.(2013北京,8,5分)设关于x,y 的不等式组{2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2.求得m 的取值范围是( )A.(-∞,43) B.(-∞,13) C.(-∞,-23) D.(-∞,-53)答案 C22.(2013湖南,4,5分)若变量x,y 满足约束条件{y ≤2x,x +y ≤1,y ≥−1,则x+2y 的最大值是( )A.-52B.0C.53D.52答案 C23.(2015浙江,14,4分)若实数x,y 满足x 2+y 2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 . 答案 324.(2013广东,13,5分)给定区域D:{x +4y ≥4,x +y ≤4,x ≥0,令点集T={(x 0,y 0)∈D|x 0,y 0∈Z,(x 0,y 0)是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定 条不同的直线. 答案 625.(2013浙江,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y 满足{x +y -2≥0,x -2y +4≥0,2x -y -4≤0.若z 的最大值为12,则实数k= .答案 226.(2013江苏,9,5分)抛物线y=x 2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D 内的任意一点,则x+2y 的取值范围是 . 答案 [-2,12]三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点一 平面区域问题1.(2018四川凉山州模拟,8)已知点M 的坐标(x,y)满足不等式组{2x +y -4≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,N 为直线y=-2x+2上任一点,则|MN|的最小值是( )A.√55B.2√55C.1D.√172答案 B2.(2017河北衡水中学摸底联考,7)若A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2表示的平面区域,则当z 从-2连续变化到1时,动直线y=-x+z 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.1B.1.5C.0.75D.1.75 答案 D3.(2016广东广州模拟,6)在平面直角坐标系中,不等式组{x ≤2,|y -2|≤x 表示的平面区域的面积是( )A.8√2B.8C.4√2D.4答案 D考点二 线性规划问题4.(2018辽宁鞍山铁东二模,5)设x,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为( )A.-3B.4C.2D.5答案 B5.(人教A 必5,三,3-3-2,1,变式)已知实数x,y 满足{y ≤x,x +y ≤1,y ≥−1,则目标函数z=2x-y-1的最大值为( )A.5B.4C.12D.-3答案 B6.(2018湖北荆州一模,8)已知实数x 、y 满足{x -2y +1≥0,x ≤2,x +y -1≥0,则z=2x-2y-1的最小值是 .答案 -537.(2017广东惠州调研,14)已知x 、y 满足不等式组 {x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1,则z=2x+y 的最大值是 .答案 6B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分 时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018广东茂名二模,7)实数x,y 满足条件{x +y -4≤0,x -2y +2≥0,x ≥0,y ≥0,则(12)x -y的最大值为( )A.116B.12C.1D.2答案 D2.(2017河北石家庄二模,10)在平面直角坐标系中,不等式组{x +y ≤0,x -y ≤0,x 2+y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若x 、y 满足上述约束条件,则z=x+y+1x+3的最小值为( )A.-1B.-5√2+17C.13D.-75答案 D3.(2016山东三校4月联考,5)已知变量x,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a 的取值范围为( ) A.(0,2) B.(0,12) C.(0,13) D.(13,12)答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017湖南永州模拟,15)若x,y 满足约束条件{3x +y -6≤0,x +y ≥2,y ≤2,则x 2+y 2的最小值为 .答案 25.(2017河北衡水中学3月模考,15)已知点P(x,y)的坐标满足{x ≤0,y >x,y <2x +1,则x+yx +y 的取值范围为 .答案 (-√2,1]三、解答题(共15分)6.(2018云南玉溪模拟,18)某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工原料多少箱?解析 设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱,获利为z 元. 根据题意,得约束条件{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,y ≥0,x 、y ∈N.可行域为图中阴影部分(含边界)内的整点,目标函数z=(7×40)x+(4×50)y=280x+200y, 即y=-75x+z200,作直线y=-75x 并平移,当直线经过点A(15,55)时,z 取最大值.所以当x=15,y=55时,z 取最大值.即当甲车间加工原料15箱、乙车间加工原料55箱时获利最大.C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示平面区域问题的解法1.(2018云南玉溪模拟,6)已知不等式组{y ≤−x +2,y ≤kx -1,y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为( )A.-1B.-12C.12D.1答案 D2.(2017河北武邑调研,9)设不等式组{x +y ≤4,y -x ≥0,x -1≥0表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+(y+1)2=r 2(r>0)经过区域D 内的点,则r 的取值范围是( )A.[2√2,2√5]B.[2√2,3√2]C.[3√2,2√5]D.(0,2√2)∪(2√5,+∞) 答案 A3.(2017山西五校3月联考,15)不等式组{y -1≥0,x -y +2≥0,x +4y -8≤0表示的平面区域为Ω,直线x=a(a>1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分,则目标函数z=ax+y 的最大值为 . 答案 9方法2 与平面区域有关的范围、距离问题的求法4.(2017广东六校联盟联考,7)如果点P 在不等式组{2x -y +2≥0,x +y -2≥0,x -3≤0表示的平面区域内,点Q 在曲线x 2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.4√5-1 B.2√2-1C.2D.√10-1答案 B5.(2018四川德阳模拟,15)若平面区域{x +y -3≥0,2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离是3√55,那么这两条平行直线的斜率是 . 答案 2或12方法3 线性规划问题的求解策略及其实际应用6.(2018广东东莞模拟,7)已知{x -y ≥0,3x -y -6≤0,x +y -2≥0,则z=22x+y 的最小值是 ( )A.1B.16C.8D.4答案 C7.(2017河北唐山调研,18)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品质量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如下表:每件A 产品 每件B 产品研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30产品质量(千克) 10 5 预计收益(万元) 80 60已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载质量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.解析 设搭载A 产品x 件,B 产品y 件,预计收益为z 万元,则z=80x+60y,由题意知,{20x +30y ≤300,10x +5y ≤110,x ∈N,y ∈N,作出可行域,如图阴影部分(包含边界)内的整点.作出直线:80x+60y=0并平移,由图可知,当直线经过点M 时,z 取到最大值.由{20x +30y =300,10x +5y =110解得{x =9,y =4,即M(9,4).所以z max =80×9+60×4=960.所以搭载9件A 产品,4件B 产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.。
高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划课件 文
区域表示二元一次不等
2.与线性
另一种是已知目标 为主，考查目标函数、
式组.
规划有关
函数的最值，求约 约束条件中的参变量
3.会从实际情境中抽象
的交汇性
束条件或目标函数 的取值范围，同时注
出一些简单的二元线性
问题.
中的参变量的取值 意线性规划在实际问
规划问题，并能加以解
范围.
题中的应用.
决.
知识点一 二元一次不等式（组）表示平面区域 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域
第三节 简单的线性规划
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
1.会从实际情境中抽象
高考试题的考 预测高考对本部
出二元一次不等式组.
1.简单的
查角度有两种：一 分内容的考查仍将以
2.了解二元一次不等式
线性规划
种是求目标函数的 求区域面积和目标函
的几何意义，能用平面
问题.
最值或取值范围； 数的最值(或取值念 名称
意义
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组， 线性约束条件
是对x，y的约束条件
目标函数
关于x、y的解析式
线性目标函数
关于x、y的一次解析式
可行解
满足_线__性__约__束__条__件__的解(x，y)
可行域
所有_可__行__解__组成的集合
最优解
(1)由 z＝4x－3y，得 y＝34x－3z.求 z＝4x－3y 的最大值，相当于 求直线 y＝43x－3z的纵截距－3z的最小值. 平移直线 y＝43x 知，当直线 y＝34x－3z过点 B 时，－3z最小，z 最大.∴zmax＝4×5－3×2＝14. (2)∵z＝yx＝yx－－00.∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜 率.观察图形可知 zmin＝kOB＝52.
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划.pdf
5.(2013 山东 ,6,5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 { ??+ 2??-1≥0,所表示的区域上一动点 , 则直线 OM斜率的最小值为 (
)
3??+ ??-8≤0
A.2
B.1
1
C.-
D.- 1
3
2
答案 C 6.(2013 安徽 ,9,5 分) 在平面直角坐标系中 ,O 是坐标原点 , 两定点 A,B 满足 | ???|?=?| ???|?=????·?????=?2?, 则点集
)
??-2??≤ 0,
A.[0,6]
B.[0,4]
C.[6,+ ∞）
D.[4,+ ∞）
答案 D
??-??+ 3 ≤ 0,
2.(2017 山东 ,4,5 分) 已知 x,y 满足约束条件 {3??+ ??+ 5 ≤ 0,则 z=x+2y 的最大值是 (
)
??+ 3 ≥ 0,
A.0
B.2
C.5
D.6
答案 C
§7.3 二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划 考纲解读
考点
1. 平面区域 问题
内容解读 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等 式组 ; ② 了解二元一次不等式的几何意义 , 能用 平面区域表示二元一次不等式组
要求 理解
2. 线性规划 问题
会从实际情境中抽象出一些简单的二元 线性规划问题 , 并能加以解决
{P| ???=?λ????+?μ????,?| ?λ|+| μ｜≤1, λ, μ∈R} 所表示的区域的面积是 (
)
A.2 √2 B.2 √3 C.4 √2 D.4 √3
2019-2020年高三数学第一轮复习讲义(47)简单的线性规划
yO1x-122019-2020年高三数学第一轮复习讲义（47）简单的线性规划一．复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力．二．知识要点：已知直线，坐标平面内的点．1．①若，，则点在直线的 方； ②若，，则点在直线的 方． 2．①若，表示直线 方的区域； ②若，表示直线 方的区域．三．课前预习：1．不等式表示的平面区域在直线的（ ）左上方 右上方 左下方 右下方 2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2201002x y x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩ 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩2201002x yx y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（ ）4．原点和点在直线的两侧，则的取值范围是 ． 5.由及表示平面区域的面积是 . 四．例题分析：例1．某人上午时乘船出发，以匀速海里/时（）从港到相距海里的港去，然后乘汽车以千米/时（）自港到相距千米的市去，计划在当天下午至时到达市.设乘船和汽车的时间分别为和小时，如果已知所要的经费（单位：元）1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么，分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？小结：例2．某运输公司有辆载重量为吨的型卡车与载重量为吨的型卡车，有名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天的成本费型车元，B 型车元.问每天派出型车与型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？ 小结：小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名1．三个点、、中，在由方程确定的曲线所围成区域中的个数有 （ ）个 个 个 个2．已知集合，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，，则的面积是 ．3．已知整点在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则为 ．4．某人有楼房一幢，室内面积共180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？5．已知三种食物、、的维生素含量与成本如下表所示.食物 食物 食物 维生素（单位/） 400 600 400 维生素（单位/） 800 200 400 成本（元/）654现在将的食物和的食物及的食物混合，制成100的混合物.如果这100的混合物中至少含维生素44000单位与维生素48000单位，那么为何值时，混合物的成本最小？6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又，，求的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时的值．2019-2020年高三数学第一轮复习讲义（48）曲线方程义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。
推荐2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课件第7章 第3节 简单的线性规划
• [悟技法] • 1．求目标函数的最值3步骤 • (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目 标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； • (2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点 的位置； • (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)， 代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的 3 类目标函数 (1)截距型：形如 z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－abx＋bz， 通过求直线的截距bz的最值间接求出 z 的最值． (2)距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如 z＝yx－ －ba.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)设 x，y 满足约束条件x2＋x＋2yy≤≥1－，1， x－y≤0，
则 z＝3x－2y 的最小值
为________．
答案：－5
解析：作出可行域如图阴影部分所示． 由 z＝3x－2y，得 y＝32x－2z. 作出直线 l0：y＝32x，并平移 l0， 知当直线 y＝32x－2z过点 A 时，z 取得最小值． 由2x＋x＋2yy＋－11＝＝00，， 得 A(－1,1)， ∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.
8
• B．16万元
• C．17万元
• D．18万元
解析：根据题意，设每天生产甲 x 吨，乙 y 吨，则
x≥0， y≥0， 3x＋2y≤12， x＋2y≤8，
目标函数为 z＝3x＋4y，作出不等式
组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线
3x＋4y＝0 并平移，易知当直线经过点 A(2,3)时，z 取得最大值且 zmax＝3×2＋4×3 ＝18，故该企业每天可获得最大利润为 18 万元，选 D．
高考数学总复习 7.3简单的线性规划课件 文 新人教B版
• 因为，7× ＋8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点(zhěnɡ diǎn)(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是 7x＋8y＝10，在可行域内满足该方程的整数解只有x＝10，y＝0， 所以B(10,0)是最优解，即当l通过B点时，z＝350×10＋400×0＝ 3500元为最小．
第四页，共43页。
• 一、二元一次不等式表示平面区域 • 1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标(zhí
jiǎo zuò biāo)系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的 平面区域，由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域， 是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
• 注意：Ax＋By＋C>0不含边界线(用虚线表示)， • Ax＋By＋C≥0包含边界线(用实线表示)．
第六页，共43页。
• 二、线性规划 • 1．基本概念 • (1)线性约束条件：由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，
是对x，y的约束条件． • (2)目标函数：关于x，y的解析式，如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2. • 线性目标函数：关于x、y的一次解析式． • (3)可行解：满足(mǎnzú)线性约束条件的解(x，y)． • (4)可行域：所有可行解组成的集合． • (5)最优解：使目标函数达到最值的可行解． • (6)线性规划问题：求线性目标函数在约72]．
第二十九页，共43页。
• 方法规律小结 • (1)把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在坐标平面中准
确地画出来，然后求其交集，就是该不等式组所表示的平面区 域，但要注意是否包括边界． • (2)求目标函数(hánshù)的最大值或最小值，必须先求出准确的可 行域，作出目标函数(hánshù)的等值线，根据题意，确定取得最 优解的点，从而求出最值．
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：7.3简单的线性规划
x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则 |AB|=(
)
A.2
B.4 C.3
D.6
答案 C
中的点在直线
3.(2016 山东 ,4,5 分)若变量 x,y 满足 A.4 B.9 C.10 D.12 答案 C
4.(2014 山东 ,9,5 分 )已知 x,y 满足约束条件
的最小值为 ( ) A.5 B.4 C. D.2 答案 B
§7.3 简单的线性规划
考纲解读
考点
1. 区域问 题
2. 简单的 线性规划
考纲内容
1. 会从实际情境中抽象出二元 一次不等式组 . 2. 了解二元一次不等式的几何 意义 , 能用平面区域表示二元 一次不等式组 . 会从实际情境中抽象出一些简 单的二元线性规划问题 , 并能 加以解决 .
要求
2013
浙江省五年高考统计
教师用书专用 (6—7)
6.(2013 安徽 ,9,5 分)在平面直角坐标系中 ,O 是坐标原点 ,两定点 A,B 满足 | |=|
|= · =2,则点集
{P| = λ + μ ,| λ |+| μ | ≤ 1,λ,μ ∈R} 所表示的区域的面积是 ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.2
B.2
C.4
D.4
答案 D
7.(2015 课标 Ⅰ,15,5 分)若 x,y 满足约束条件 答案 3
连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示
:
连续剧播放时长 (分钟 ) 广告播放时长 (分钟 )
甲
70
5
收视人次 (万) 60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、 乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟 ,广告的总播放时间不少于 30 分钟 ,且甲连续剧播放的次数
高考数学第1轮总复习 7.3简单的线性规划(第1课时)课件 理(广西专版)
，求yx的最大值．
解：不等式组确定的平面区域如图阴影部分．
设yx＝t，则 y＝tx，求yx的最大值，即求 y＝tx 的斜率的最大值． 显然 y＝tx 过 A 点时，t 最大． 由x2＋y－2y3－＝40＝0 ，解得 A(1，32)． 代入 y＝tx，得 t＝32.所以yx的最大值为23.
• (1)由 x - 2y 7 0 解得点A的坐标为(9，8).
4x
-
3y
-12
, 0
•由
x 2y -3 0 4x - 3y -12
解, 得点C的坐标为(3，0).
0
•由
x x
- 2y 2y-
7 3
0解, 得点B的坐标为(-2，
0
5).
2
• 求u=4x-3y的最值,相当于求直线 y 4 x - u中纵
• 因为原点O到直线BC的距离为
• 所以
zmin
(2
y2 )min
9. 5
|00-3| 3 ,
5
5
• 点评：求目标函数的最值，其一般步骤是：
先画出平面区域，找到相应的关键点，一
般是边界线的交点，再结合目标函数的几
何意义，通过图形计算得出答案.这是数形
结合思想在解题中的具体应用.
x－y－2≤0 设实数x、y满足x＋2y－4≥0
• 特别地，当表示线性目标函数的直线与可 行域的某条边平行时(k=ki)，其最优解可 能有无数个.
• 到底哪个顶点为最优解，有两种确定方法： 一是将目标函数的直线平行移动，最先通 过或最后通过的顶点便是；另一种方法可 利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围 成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率满足 k斜1＜率k为2＜k，…则＜当knk，i＜而k且＜目ki+标1时函，数直的线直li与线l的i+1 相交的顶点一般是最优解.
2019版高考数学文科一轮复习：7.2 简单的线性规划
评析 本题考查线性规划问题,与常规的线性规划的不同之处在于本题的可行域为一条线段.
3.(2018北京,13,5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是
.
答案 3
2019/9/13
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康， 学业有成，金榜题名！
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.
由
x x
3y 2y
2 4
0, 0
得
x y
8, 2.
∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2).
直线x+2y-4=0与x轴的交点D的坐标为(4,0).
因此S△ABC=S△ABD+S△BCD= 1 ×2×2+ 1 ×2×2=4.
x
0,
则z=x-y的取值范围是 (
)
y 0,
A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]
答案 B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0). 由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2, 故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.
当AD(BC)经过l1、l2上各一个整点时,▱ABCD中整点个数为3+3=6(如图▱ABC3D3).故N(t)的所
有可能取值为6,7,8.
2019/9/13
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4
考点二 线性规划问题
x 3,
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破7-3 简单的线性规划(1)课件 新人教B版
为 d1、d2，则 d21＋d22＝OM2＝3.又 AC＝2 4－d21 ，BD＝
2
4－d22 ， 则 四 边 形
ABCD
的面积
S
＝
1 2
|AC|·|BD|
＝
2 (4－d21)(4－d22)≤8－(d12＋d22)＝5，等号当且仅当 d1＝d2＝
26时成立，即四边形 ABCD 的面积的最大值为 5.故填 5.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
• (2009·济宁一模)已知一动圆截直线3x－y ＝0所得弦长为8，截直线3x＋y＝0的弦长 为4，求动圆圆心的轨迹方程．
• 解：设动圆的圆心为(x，y)，半径为r，则 由几何图形得
•
消去r，得xy＝10.
• 所以动圆圆心的轨迹方程为xy＝10.
•
与圆有关的最值问题
• [例3] (2009·全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆 O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足 为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大 值为__________．
• [解法二] 设所求方程为(x－x0)2＋(y－ y0)2＝r2为(x－1)2＋
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平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax =3,故选D.
一题多解 由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0), , =3.
3 1 ,分别代入目标函数z=x+y,得到zmax 2 2
2 x 3 y 3 0, 2.(2017课标全国Ⅱ,7,5分)设x,y满足约束条件 2 x 3 y 3 0, y 3 0,
(
)
A.8
B.7
C.2
D.1
答案 B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,
1 z z 1 z z 由z=x+2y,得y=- x+ , 为直线y=- x+ 在y轴上的截距,要使z最大,则需 最大,所以当直线y=2 2 2 2 2 2
1 z x+ 经过点B(3,2)时,z最大,最大值为3+2×2=7,故选B. 2 2
由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2, 故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.
x y 1 0, 4.(2014课标Ⅱ,9,5分,0.700)设x,y满足约束条件 x y 1 0 , 则z=x+2y的最大值为 x 3 y 3 0,
材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最 大值为 元.
答案 216 000 解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y.
1 .5 x 0 .5 y 1 5 0 , x 0 .3 y 9 0 , 根据题意得 5 x 3 y 6 0 0 , x, y N ,
3 x y 300, 1 0 x 3 y 9 0 0 , 即5 x 3 y 600, x, y N ,
作出可行域(如图).
由 10 x 3 y 900,
当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.
解题关键 正确画出可行域找到最优解是求解关键.
3 x 2 y 6 0, 3.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)设x,y满足约束条件 x 0 , 则z=x-y的取值范围是 y 0,
(
)
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
答案 B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).
取得最小值,zmin=3-2×4=-5.
8.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一 件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3
kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲
a 1 a 1 , .平移直线x+ay=0,可 2 2
a 1 a 1 因此 +a× =7,化简得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,答案为a 2 2
=3,故选B.
评析 本题考查简单的线性规划问题,对含字母系数的问题,一要判断存在最小值的条件,二要2014课标Ⅰ,11,5分,0.236)设x,y满足约束条件 A.-5 C.-5或3 B.3 D.5或-3
x y a, x y 1,
且z=x+ay的最小值为7,则a= (
)
答案 B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A
知在点A
a 1 a 1 , 处,z取得最值, 2 2
则z=2x+y的最小值是 (
)
A.-15
B.-9
C.1
D.9
答案 A 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图.
作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值.
由 2 x 3 y 3 0, y 3 0
得点A的坐标为(-6,-3). ∴zmin=2×(-6)+(-3)=-15.故选A.
高考文数
(课标Ⅱ专用)
§7.3 简单的线性规划
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
x 3 y 3, 1.(2017课标全国Ⅰ,7,5分)设x,y满足约束条件 x y 1, y 0,
则z=x+y的最大值为 (
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:
x y 1 0, 7.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件 x y 3 0 , 则z=x-2y的最小值为 x 3 0,
.
答案 -5 解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z
x y 1 0, 6.(2013课标Ⅱ,3,5分,0.693)设x,y满足约束条件 x y 1 0 , 则z=2x-3y的最小值是 x 3,
(
)
A.-7
B.-6
C.-5
D.-3
答案 B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,zmin=2×3-3×4=-6.故选B.
5 x 3 y 600
得
x 60,
y 100.
2 x y 1 0, 9.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件 x 2 y 1 0 , 则z=2x+3y-5的最小值为 x 1,