宁夏银川一中高三数学第四次模拟考试试题文
宁夏银川高三第四次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
绝密★启用前宁夏银川高三第四次模拟考试数学文 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |-1≤y≤1}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1} 2．复数1＋i4＋3i的虚部是A ．125iB ．125C ．－125D ．－125i3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 文科数学试卷 第1页(共6页)4．命题“α＝π6”是命题“cos 2α＝12”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若实数x，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11yyxxy且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m －n等于A．5 B．6 C．7 D．86．函数y＝x sin x在[－π，π]上的图象是7．如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形，侧(左)视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A．π B.π3 C. 3π D.3π38．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A．20 B．18 C．3 D．09．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是A．k≤6? B．k≤7? C．k≤8? D．k≤9?10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数11．已知P点是以F1，F2为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上的一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝2，则此双曲线的离心率等于1A1D1C 1BDBCAA. 5 B ．5 C ．2 5 D ．312．定义在R 上的函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，且]1,0[∈x 时，)2,1(,4)(∈=x x f x 时，xf x f )1()(=，令]2,6[,4)(2)(-∈--=x x x f x f ,则函数)(x g 的零点个数为 A ．6 B ．7 C ． 8 D ． 9第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若b a ϖρ//，则t ＝ 14．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________． 15．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 . 16. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论中，正确的序号是_____________①两函数的图像均关于点（4π-，0）成中心对称； ②两函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称； ③两函数在区间（4,4ππ-）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同； ⑤两函数的最大值相同三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是42,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若nn n a a b 1log 2+=，求}{n b 的前n 项和为n S18．(本小题满分12分)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：文科数学试卷 第3页(共6页)（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y 的线性回归方程19．(本小题满分12分)已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，DC=2,ΔABC是边长为2的正三角形，F是AD中点.(1)当BE等于多少时，EF∥平面ABC；(2)当EF∥平面ABC时，求证CF⊥EF.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A，B 两点，且｜AB｜＝2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ，N 两点．是否存在点P，使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。
宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(文)试卷 PDF版含答案
文科数学
注意事项：
１答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
２选择题的作答：每小题选出答案后，用 ２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿
纸和答题卡的非答题区域均无效。
Ｂ．２
Ｃ．槡５
Ｄ．槡１０
２设函数 ｙ＝ １ 的定义域为 Ａ，函数 ｙ＝２ｘ－１的值域为 Ｂ，则 Ａ∩ Ｂ ＝
槡１－ｘ２
Ａ．（０，１）
Ｂ．（０，１］
Ｃ．（－１，１）
Ｄ．［－１，１］
３如图所示的折线图为某小区小型超市去年一月
份到五月份的营业额和支出数据（利润 ＝营业
额 －支出），根据折线图，下列说法中错误的是
５已知圆锥的轴截面是边长为 ４的正三角形，则该圆锥的表面积为
Ｄ．２槡３
Ａ．８π
Ｂ．１２π
Ｃ．１６π
Ｄ．２０π
文数·第 １页（共 ４页）
６若 ｆ（ｘ） ＝ｅｘ ＋ａ·ｅ－ｘ为奇函数，ｘ∈ Ｒ，则 ｆ（ｘ）在（０，ｆ（０））处的切线方程为
Ａ．ｙ＝０
Ｂ．ｙ＝ｘ
Ｃ．ｙ＝２ｘ
Ｄ．ｙ＝２ｅｘ
７在 △ＡＢＣ中，Ｄ在边 ＢＣ上，且 ＢＤ ＝２ＤＣ，Ｅ为 ＡＤ的中点，则Ｂ→Ｅ ＝
Ａ．１ ３ Ａ→Ｃ－
１ ６
Ａ→Ｂ
Ｂ．－
１ ３ Ａ→Ｃ＋
５ ６
Ａ→Ｂ
Ｃ．－ １ ３ Ａ→Ｃ＋ １ ６ Ａ→Ｂ
Ｄ．１ ３ Ａ→Ｃ－ ５ ６ Ａ→Ｂ
８已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｓｉｎ（２ｘ－π４）－ｃｏｓ（２ｘ－π４），则 Ａ．ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值为槡２，且在（０，π２）上单调递增 Ｂ．ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值为槡２，且在（０，π２）上单调递减
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3,4}则A∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{2}C ．{3}D ．{1,2,3,4}【答案】C【解析】试题分析：根据集合交集的运算可知，，故选C ．【考点】集合的交集运算．2．已知1i +是关于x 的方程 220ax bx ++=（,a b ∈R ）的一个根，则a b += A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以1i ±为方程两根，211,(1)(1)1,2,1b i i i i a b a b a a++-=-+-=∴==-+=- ，选A.3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A【解析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】A【解析】由于函数sin cos 2y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为326πππ-=，所以只需将函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移6π，可得函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故选A.5．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据程序框图，模拟计算即可求解. 【详解】第一次执行程序，1,2,5?A S S ==≤, 第二次执行程序，3,3,5?A S S ==≤， 第三次执行程序，5,4,5?A S S ==≤， 由以上可知，第3个输出的数为5， 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题.6．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）60 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 92 66 22 15 86 96 63 75 41 99 58 42 36 72 24 A ．23 B ．21C ．35D ．32【答案】B【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】解：随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下：46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，其中落在编号01，02，...，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，.所以，一次不重复的第5个编号为21. 故选：B. 【点睛】本题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.7．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8π B ．16π C ．18π-D ．116π-【答案】C【解析】首先求正方形和中间白色大圆的面积，然后由相切关系可知中间黑色大圆和4个小圆的半径，求黑色部分的面积，最后求概率. 【详解】正方形的面积为2864=，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯=，所以黑色区域的面积为648π-，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率6481648P ππ-==- . 故选：C 【点睛】本题考查面积比值类型的几何概型，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，注意用规则图形的面积表示不规则图形的面积.8．抛物线24y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716-B ．1516-C ．716D ．1516【答案】B【解析】化简抛物线的标准方程，求得准线方程，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的方程24y x =-，可得标准方程为214x y =-， 则焦点坐标为1(0,)16F -，准线方程为116y =， 设00(,)M x y ，则由抛物线的定义可得01116y -+=，解得01516y =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与计算能力.9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，【答案】D【解析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调增区间. 【详解】由2560x x -+>解得2x <或3x >，由于12log y x =为()0,∞+上的增函数，而256y x x =-+开口向上，故256y x x =-+在2x <时递减，根据复合函数单调性同增异减可知()212log 56y x x =-+在区间(),2-∞上递增.故选D. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 10．在正六棱锥P ABCDEF -中，底面边长和侧棱分别是2和4，M ，N 分别是AB 和DE 的中点，给出下面三个判断：（1）PD 和AB 所成的角的余弦值为14；（2）PC 和底面所成的角是3π；（3）平面PAB ⊥平面PMN ；其中判断正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】（1）把PD 和AB 所成的角转化成PD 和DE 所成的角，然后在三角形PDE 中用余弦定理求解即可；（2）根据线面角的定义得出PCO ∠为所求的角，然后在三角形PCO 中进行求解即可； （3）通过题意得出OM AB ⊥和PO AB ⊥，进而得出AB ⊥平面PMN ，最后得出结论. 【详解】解：根据题意，画出图形如下：由题得：2AB BC CD DE EF FA ======，4PA PB PC PD PE PF ======，对于（1）因为P ABCDEF -为正六棱锥，所以底面ABCDEF 为正六边形，所以//AB DE .所以PD 和DE 所成的角就是PD 和AB 所成的角，即PDE ∠为PD 和AB 所成的角.在PDE △中，2222224241cos 22424PD DE PE PDE PD DE +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，所以PD 和AB 所成的角余弦值为14.故（1）正确. 对于（2），连接BE 和CF 交于O ，连接PO .则PO ⊥底面ABCDEF .PC 和底面所成的角为PCO ∠.因为PO ⊥底面ABCDEF ，CO ⊂平面ABCDEF ，所以PO CO ⊥. 所以21cos 42CO PCO PC ∠===. 又因为0,2PCO π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3PCO π∠=.所以，PC 和底面所成的角为3π.故（2）正确. 对于（3），连接OA ，则OAB 为等边三角形，因为M 为AB 中点，所以OM AB ⊥.因为PO ⊥底面ABCDEF ，AB ⊆平面ABCDEF ，所以PO AB ⊥. 又因为PO OM ⊆、平面PMN ，所以AB ⊥平面PMN .又因为AB ⊆平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PMN .故（3）正确. 综上：（1）（2）（3）都正确，所以正确的个数为3个. 故选：D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直，属于中档题.11．如图，已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作以1F 为圆心，1|OF |为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 2C 3D 5【答案】A 【解析】【详解】∵F 1，F 2是双曲线的左，右焦点，过F 2点作以F 1为圆心， |OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，∴F 2（c ，0），|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝c ， ∴PF 1⊥PF 2， ∴∠PF 1F 2＝60°，过点P 做P A ⊥x 轴，垂足为A ， ∴P A ＝c •sin60°3=c ， AC ＝c ﹣c •cos60°12=c ， ∴P （12-c ，3c ）， ∵切线段PF 2被一条渐近线平分，其渐近线方程为y ba=x ， ∴PF 2的中点坐标为（14c ，3c ） ∴3c b a =•14c ，∴3ba=， ∴22b a=3， ∴e 22113ba=+=+=2， 故选：A ．点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用.12．在ABC ∆中，39AB AC ==，2AC AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，PA BC ⋅=（ ） A ．24B ．62C ．92D ．24-【答案】A【解析】首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点P 的坐标即可求解数量积. 【详解】由2AC AB AC ⋅=可得：2cos AC AB A AC =， 则cos 3AB A AC ==，即,2BC AC C π⊥∠=，以C 点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则()3,0A ，()0,62B ，设(),P x y ，则：()()222222222362PA PB PC x y x y x y ++=-+++-++2236312281x x y y =-+-+()()22312281x y ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，当1,22x y ==，即()1,22P 时222PA PB PC ++取得最小值， 此时()()2,220,6224PA BC ⋅=-⋅-=.本题选择A 选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 【答案】1【解析】因为函数y ＝f （x ）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以 f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=114．已知实数，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值_______．【答案】2 【解析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入2z x y =+，即可判断函数的最大值． 【详解】作出不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图求得区域的顶点分别为()0,0O ，()10B ,，11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，分别将三点代入目标函数得：1000z =+=，2101z =+=，31132222z =+⨯=，所以2z x y =+的最大值为32【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 4B =，4b =，sin 2sin A C =，则ABC 的面积为____．15【解析】sin 2sin ,C A =，由正弦定理可得2c a = ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，222142a c ac ∴=+-，与2c a =，联立解得2,4a c ==，()1cos ,0,4B B π=∈，sin 4B ∴==则ABC ∆的面积11sin 2422S ac B ==⨯⨯=16．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122020202020202020a a a ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______.【答案】2019【解析】把2122n n n a a a ++-+=化为()()2112n n n n a a a a +++---=，利用等差数列的通项公式得122n n a a n +-=+，再利用累加法求得(1)n a n n =+，再利用裂项求和法即可得出答案. 【详解】解：由2122n n n a a a ++-+=得：()()2112n n n n a a a a +++---=, 记1n n n b a a +=-，则12nnb b ，所以{}n b 是首项121624b a a =-=-=，公差为2的等差数列， 所以4(1)222n b n n =+-⨯=+， 所以122n n a a n +-=+， 所以，21212a a -=⨯+，32222a a -=⨯+， 43232a a -=⨯+，……()1212n n a a n --=⨯-+，将上述等式相加得：()()()12123121(2)1n a a n n n n -=⨯++++-+-=+-，所以()21(2)1(1)n a n n a n n n n =+-+=+=+，所以1111(1)1n a n n n n ==-++，则122020202020202020111112020(1)22320202021a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1202020201202020212021⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以1220202020202020202020202020192021a a a ⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 故答案为：2019. 【点睛】本题主要考查数列的递推与通项公式，以及数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题.三、解答题17．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？【答案】（1）①优等品3件，合格品2件；②35；（2）选择乙生产方式. 【解析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元2T 元，比较即可得到结论． 【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，抽取方式有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种， 设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M ，则事件M 发生的情况有6种， 所以()63105P M ==. （2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品. 设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元， 乙种生产方式每生产100件所获得的利润为2T 元， 可得()()16055154025152800T =-+-=（元），()()28055202025202900T =-+-=（元），由于12T T <，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）83．【解析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 【详解】（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4290CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF 面⊂，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，2． S 矩形CDEF=DE•EF=2 ∴棱锥A-CDEF 的体积为118422333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯=矩形．【点睛】本题【考点】1．简单空间图形的三视图；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面平行的判定，属于基础题型.19．如图，考虑点1,0A ，()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()cos ,sin P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （2）利用（1）的结果证明：()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，并计算sin37.5cos37.5︒⋅︒的值.【答案】（1）推导见解析；（262+【解析】（1）由三角函数的定义，求得12,,P P P 的坐标，根据2212AP PP =，即可得到结论； （2）由（1）可得()cos αβ+和()cos αβ-，求得()()1cos cos cos cos 2βααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，代入即可求解. 【详解】（1）由三角函数的定义，可得()()()()()12cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin P P P ααββαβαβ-++，根据图象，可得2212AP PP =，即2212AP PP =， 即()()()()()2222cos 1sin cos cos sin sin αβαββαβα+-++=-++. 即()cos cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得()cos cos cos sin sin αββαβα+=-， ①()cos cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：()()2cos cos cos cos βααβαβ=++- 所以()()1cos cos cos cos 2βααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦， 所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒=︒=︒=︒-︒=【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的证明及其应用，其中解答中合理利用向量的模相等，建立方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()1212,x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）152ln 28-. 【解析】试题分析：（I ）切线与直线20x y +=垂直，所以切线斜率为2，利用导数等于2，求得1a =；（II ）对()g x 求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的关系12121,1x x b x x +=-=．化简()()12g x g x -的表达式为1122211ln2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令()1201x t t x =<<，换元后利用导数求得()()12g x g x -的最小值为152ln 28-． 试题解析： （Ⅰ）()ln f x x a x =+，()1af x x∴'=+与直线20x y +=垂直，1|12x k y a =∴==+=，1a ．（Ⅱ）()()()21111x b x g x x b x x--+'=+--=，所以令()0g x '=， 121x x b ∴+=-，121=x x ．()()()()221211122211ln 1ln 122g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2211121212222111ln1ln 22x x x x x x b x x x x x x ⎛⎫=+----=-- ⎪⎝⎭． 120x x <<，所以设()1201x t t x =<<，()()11ln 012h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭， ()()22211111022t h t t t t-⎛⎫∴'=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在0,1单调递减， 又72b ≥，()22514b ∴-≥， 即()2221212121524x x x x t x x t ⎛⎫++==++≥ ⎪⎝⎭．01t <<，241740t t ∴-+≥，104t ∴<≤，()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故所求的最小值是152ln 28-． 【考点】函数导数与不等式．【方法点晴】本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识．解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是E 、F ，离心率4e =，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，ABE ∆的周长为16． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆D ：222(3)(0)x y r r -+=>与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：OG OH ⋅为定值．【答案】(1) 221169x y += (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据ABE ∆的周长为16，可得4a =，再根据离心率e =得出c =C 的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得M ，N 两点关于x 轴对称，设()11,M x y ，()00,P x y ，则()11,N x y -，从而得出直线PM 的方程，即可得到点G 的横坐标，同理可得H 点的横坐标，从而列出OG OH ⋅的表达式，化简求值即可得到定值.试题解析：（1）由题意得416a =，则4a =，由4c a =，解得c = 则2229b a c =-=，所以椭圆C 的方程为221169x y +=．（2）证明：由条件可知，M ，N 两点关于x 轴对称，设()11,M x y ，()00,P x y ，则()11,N x y -，由题可知，22111169x y +=，22001169x y +=∴()22111699x y =-，()22001699x y =-． 又直线PM 的方程为()100010y y y y x x x x --=--，令0y =得点G 的横坐标100101G x y x y x y y -=-，同理可得H 点的横坐标100101H x y x y x y y +=+.∴()0,e 16=，即OG OH ⋅为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.【答案】（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1.【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立.【答案】（1）12x x ⎧<⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）见解析 【解析】（1）利用|1||2|x x -+-的几何意义，表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，分析即得解.（2）把||||||()a b a b a f x ++-≥，转化为()||||||a b a b f x a ++-≤，利用绝对值的性质求得||||||a b a b a ++-得最小值即得解.【详解】（1）由()2f x >，即|1||2|2x x -+->.而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为12和52， 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15{|}22x x <>或. （2）证明：要证||||||()a b a b a f x ++-≥，只需证()||||||a b a b f x a ++-≤，∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号，∴||||2||a b a b a ++-≥由（1），当R x C M ∈时，()2f x ≤∴||||()||a b a b f x a ++-≤∴原命题成立.. 【点睛】本题考查了绝对值不等式得解集及不等式证明，考查了学生综合分析，转化与划归，逻辑推理得能力，属于中档题.。
宁夏银川一中2021届高三下学期第四次模拟考试数学文试题 含答案
21．(12 分)
已知函数 f (x) =
2a
ln
x
+
1 x2
(a
∈
R)
（1）当 a = 1时，求证：函数 f (x) 没有零点；
（2）若存在两个不相等正实数 x1 ， x2 ，满足 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，且 x1x2 = 1 ，求实数 a
的取值范围．
数学(文科)试卷 第 5 页(共 6 页)
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的
第一题记分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，圆
C
的参数方程为
x y
= =
1
3 +
+ 2 cos 2 sin α
α
（α
为参数），以坐标原点为
0.06
，∴
x
=
60
，
3000
∴持“无所谓”态度的人数共有 3000 − 2100 − 500 −120 − 60 = 220 ，
∴应在“无所谓”态度抽取 220 × 300 = 22 人， 3000
(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人，
∴在所抽取的 6 人中，在校学生为 120 × 6 =4 人，分别记为 1，2，3，4， 180
12．已知 f ( x) 为定义在 (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的偶函数， f ′( x) 是 f ( x) 的导函数，若当
x > 0 时， f ′( x) ln x + f ( x) < 0 ，则不等式 ( x −1) f ( x) < 0 的解集是
宁夏银川一中高考数学四模试卷(文科)
高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若集合A={x∈Z|-2＜x＜2}，B={x|y=log2x2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {-1，0，1}C. {1}D. {0，1}2.复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A. 1-iB. 1C. -iD. -i3.设平面α，直线a，b，a⊂α．命题“b∥a”是命题“b∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S19=38，则2a11-a12=（）A. 2B. 4C. 6D. 85.某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90，100]内的人数分别为（）A. 20，2B. 24，4C. 25，2D. 25，46.已知向量，若，则λ=（）A. -4B. -3C. -2D. -17.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知P是△ABC所在平面内-点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.10.我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里11.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,则下列判断错误的是( )A. 函数在区间上单调递增B.图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递减D.图象关于点对称12.菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD⊥平面ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值（）A. B. C. 1 D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知实数x，y满足约束条件，则z=2y-x的最小值是______．14.已知α∈（，π），tan（α+）=，则sinα+cosα=______．15.函数f（x）=x2ln x在点（1，0）处的切线方程为______．16.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B .(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=，点E为线段AB上异于A，B的点，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PBC；（Ⅱ）若三棱锥F-PDC的体积为，求PE的长．19.某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．20.已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB 的斜率为时，AF2与x轴垂直．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．21.f（x）=|x-a|-ln x（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；（3）试比较++…+与的大小．（n∈N*且n≥2），并证明你的结论．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为．直线l与曲线C分别交于M、N．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值．23.（1）若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，求实数m的取值范围．（2）已知a，b是正数，且a+b=1，求证：（ax+by）（bx+ay）≥xy．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={x∈Z|-2＜x＜2}={-1，0，1}，B={x|y=log2x2}={x|x2＞0}={x|x＜0或x＞0}，∴A∩B={-1，1}．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基本知识的考查．通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z===-i．故选：C．3.【答案】D【解析】解：平面α，直线a，b，a⊂α．①命题“b∥a”时，则直线b⊄α时，根据直线与平面的判断定理有“b∥α”．若直线b⊂α，a⊂α时，“b∥a”推不出“b∥α”．②命题“b∥α”，a⊂α．则直线a，b可能异面，可能平行，故推不出命题“b∥a”；由充要条件的定义可知：命题“b∥a”是命题“b∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据充分条件和必要条件的定义和线面平行的判断和性质分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行的判断和性质，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S19=38，∴d=19（a1+9d）=38，∴a1+9d=2，∴2a11-a12=2a1+20d-a1-11d=a1+9d=2．故选：A．由等差数列{a n}的前n项和为S n，S19=38，利用等差数列的前n项和求出a1+9d=2，由此利用等差数列的通项公式能求出2a11-a12的值．本题考查等差数列的通项公式、前n项的求法及应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了茎叶图和频率分布直方图，茎叶图中，茎在高位，叶在低位，频率分布直方图中要注意纵轴的单位，同时掌握频率和等于1，此题是基础题．先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数求得本次考试的总人数，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样．【解答】解：由频率分布直方图可知，组距为10，[50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图可知[50，60）的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以N==25，根据频率分布直方图可知[90，100]内的人数与[50，60）的人数一样，都是2，故选C．6.【答案】B【解析】解：，∴（2λ+3）×（-1）-3=0，∴λ=-3．故选：B．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为2的圆锥的组合体，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为2的圆锥的组合体，∴该几何体的体积为：V=+=16π+．故选：C．8.【答案】B【解析】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9.【答案】C【解析】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==．故选：C．推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．本题考查概率的求法，考查几何概率型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．10.【答案】B【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴a4+a5=+192×=24+12=36．此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：B．记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1，利用通项公式可得a4+a5．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键，属于中档题．根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【解答】解：由题意，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），对于A中，当x∈[]，则2x-∈[-，]，则函数g（x）在区间[]上单调递增是正确的；对于B中，令x=，则g（）=sin（2×-）=sin=1，为最大值，∴函数g（x）图象关于直线x=对称是正确的；对于C中，x∈[-]，则2x-∈[-π，0]，则函数g（x）在区间[-]上先减后增，∴不正确；对于D中，令x=，则g（）=sin（2×-）=0，∴g（x）图象关于点（）对称是正确的，故选C．12.【答案】A【解析】解：设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π），∴DO=AD cos=2cos，×2×2sinα=2sinα，又DO⊥平面ABC，∴V D-ABC==sinαc os=sin=sin（1-）（0＜＜），设t=sin，则，且0＜t＜1，∴，∴当0＜t＜时，V'PABC＞0，当＜t＜1时，V'PABC＜0，∴当t=时，V D-ABC取得最大值，∴四面体DABC体积的最大值为．故选：A．设∠ABC=∠ADC=α，α∈（0，π），求出体积的表达式，利用函数的导数求解四面体DABC 体积的最大值．本题考查几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养，是中档题．13.【答案】-1【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，属于中档题．由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z=2y-x的最优解，代入坐标求得z=2y-x的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，可行域中点A的坐标是使目标函数z=2y-x取得最小值的最优解．在4x+3y=4中，令y=0，得x=1，∴点A的坐标为（1，0），则z=2y-x的最小值是2×0-1=-1．故答案为：-1．14.【答案】【解析】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=-∴sinα+cosα==-．故答案为：-．通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可．本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．15.【答案】x-y-1=0【解析】解：（1）由f（x）=x2ln x，得f′（x）=2x lnx+x，则f′（1）=1，∴曲线f（x）在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0；故答案为：x-y-1=0；求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，是中档题．16.【答案】a＞3或-6＜a＜-2【解析】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a+6＞0，∴a＞3或-6＜a＜-2．故答案为：a＞3或-6＜a＜-2．利用可得x平方的分母大于y平方的分母，且两个分母均为正数，由此建立不等式关系，化简整理即得本题的答案．本题给出曲线方程表示焦点在x轴的椭圆，求实数a的取值范围，着重考查了对椭圆的标准方程的认识，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵，由正弦定理可得，∵0<A<, sin A>0，∴化简得，∵B是△ABC的内角，∴；（2）∵sin C=2sin A，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得：，解得，∴.【解析】本题考查三角形中角的大小、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，是中档题．（1）由，利用正弦定理得，由此能求出角B．（2）由sin C=2sin A，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，由此能求出a，c．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，又四边形ABCD是矩形，∴BC⊥BA．∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥面PBC；解：（Ⅱ）V F-PDC=V P-FDC==3FD=，∴FD=，∴，∵，∴AE=2，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAE中，PE2=PA2+AE2=9+4，得PE=．故PE的长为．【解析】（Ⅰ）先证PA⊥BC，得到BC⊥平面PAB，得证；（Ⅱ）转化为以P为顶点，利用体积公式求得FD，进而易求PE．此题考查了线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，转换顶点求三棱锥体积等，难度适中．19.【答案】解：（Ⅰ）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．（Ⅱ）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而，，所以．（Ⅲ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．则，，，因此，X的分布列如下：∴（人）．或是，因为X服从超几何分布，所以（人）．【解析】本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．（Ⅰ）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．（Ⅱ）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．（Ⅲ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．20.【答案】解：（I）由椭圆的定义可知△ABF2的周长4a=8，则a=2，由直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直，则tan∠AF1F2===，则b2=3c，由b2=a2-c2=4-c2，则b=，c=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，由直线l的斜率显然存在，设直线l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=1，∴x1+x2=-，x1•x2=，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1+1）（x2-m）+k（x2+1）（x1-m）=0，∴2x1•x2-（m-1）（x1+x2）-2m=0，∴8k2-24+8k2m-8k2-6m-8mk2=0，解得：m=-4．故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB．方法二：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，由（I）可知：F1（-1，0），设直线AB为x=ty-1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，（3t2+4）y2-6ty-9=0，则y1+y2=，y1y2=-，假设存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，∴+=0，即y1（x1-m）+y2（x1-m）=0，即y1（ty2-1）+y2（ty1-1）-m（y1+y2）=0，∴2ty1y2-（1+m）（y1+y2）=0，2t×（-）-（1-m）（）=0，则1+m=-3，解得：m=-4，故存在点M（-4，0），使MF1平分∠AMB．【解析】（I）由题意可知：4a=8，则a=2，由题意可知：tan∠AF1F2===，即可求得b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，设直线l方程y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知：k MA+k MB=0，即可求得m的值；方法二：设直线AB为x=ty-1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式可知：k MA+k MB=0，即可求得m的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-ln x当x≥1时，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-=≥0∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．x＜1时，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-＜0∴f（x）在区间（0，1）减的．故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）min=f（1）=0 （2）当a≥1，x＞a，f（x）=x-a-ln x，f′（x）=1-，f（x）在[a，+∞）上是递增的，0＜x＜a，f（x）=-x+a-ln x，f′（x）=-1-＜0∴f（x）在（0，a）递减函数，0＜a＜1，x≥a，f（x）=x-a-ln x，f′（x）=1-，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数，0＜x＜a时f（x）=a-x-ln x，f′（x）=-1-＜0，∴f（x）在（0，a）递减函数．当a≥1时f（x）在[a，+∞）增函数，在（0，a）递减函数；当0＜a＜1 时f（x）在[1，+∞），（a，1）增函数．在（0，a）递减函数．（3）当a=1 x＞1 时x -1-ln x＞0∴=n-1-（++…+）＜n-1-（++…+）=n-1-（-+-+…+-）=n-1-（-）=【解析】（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可；（2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g （x）的最小值，只要最小值大于0即可．本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减．考查分类讨论的数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：因为交于两点，所以△＞0，即a＞0或a＜-4．由于a＞0，所以：a的范围为：a＞0（Ⅱ）设交点M，N对应的参数分别为．则若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则解得a=1或a=-4（舍）所以满足条件的a=1．【解析】（Ⅰ）首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用一元二次方程判别式求出参数a的取值范围．（Ⅱ）直接利用参数方程中的关系式求出a的值．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程判别式的应用，等比中项的应用．23.【答案】解：（1）由|x-m|＜1得-1＜x-m＜1，即m-1＜x＜m+1，若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，则（，）⊊（m-1，m+1），即，得，即≤m≤，即实数m的取值范围是≤m≤．（2）证明：∵a，b是正数，且a+b=1，∴（ax+by）（bx+ay）=abx2+（a2+b2）xy+aby2=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥ab⋅2xy+（a2+b2）xy=（a+b）2xy=xy，∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．（2）展开（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性质即可得出．本题主要考查不等式的应用和证明，利用绝对值的性质结合不等式的证明方法是解决本题的关键．。
《精编》宁夏银川市高三数学第四次月考试题 文 新人教A版.doc
银川一中2021届高三年级第四次月考数 学 试 卷〔文〕第一卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1． 300cos 的值是( ) A ．21B ．21-C ．23 D ．23-2．集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 且≠B φ，假设A B A =⋃那么( ) A ．43≤≤-m B ．43<<-mC ．42<<mD ．42≤<m3．3(,),sin ,25παπα∈=那么tan()4πα+等于( )A ．17 B. 7 C. 17- D. 7- 4. 等差数列{}241071510S n a a a ==中，，，则前项和＝( )A.420B.3805. a>0,b>0，那么ab ba 211++的最小值为( ) A ．2 B. 22 C. 4 D.25 6. f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=,)31(x 那么)21(f 的值是( )A ．33 B ．－33 C ．3 D ．－37. 设0,0>>b a ，那么以下不等式中不恒成立的是〔 〕 A ．4)11)((≥++ba b a B ．b a b a 22222+≥++C ．3223b ab b a a +≥+ D ．b a b a -≥-8．凸多边形各内角依次成等差数列，其中最小角为120°，公差为5°，那么边数n 等于〔 〕A ．16B ．9C ．16或9D ．129．函数a x x x f ++=2sin 3cos 2)(2〔a 为常数〕的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，)(x f 的最大值为6，那么a 等于〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．610. 向量)4,(),2,1(x b a == ，假设向量a∥b ，那么x=( )A. 21-B.21D. -2 D. 211．对于R 上可导的任意函数()f x ，假设满足(1)()0x f x '-≥，那么必有〔 〕A ．(0)(2)2(1)f f f +≥B. (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +<12. 0,1||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在AOC ∠30o=的边AC 上，设),(+∈+=R n m OB n OA m OC ，那么mn等于( ) A.13B. 3第二卷本卷包括必考题和选考题两局部．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．〕 13．00>>b a ，，且满足3=+b a ，那么ba 41+的最小值为 ．2=2=，a 与b 的夹角为 45，要使λ-b a 与a 垂直，那么λ=15. O 是坐标原点，点()1,1A -.假设点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，那么OA OM ⋅的取值范围是__________. 16． 函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，假设函数()()g x f x m =-有三个零点，那么实数m 的取值范围是 。
宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(文)参考答案
数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：因为c a =，2a =， 所以c =1b =，选C ． 5.解析：圆锥的表面积222412S πππ=⋅+⋅=，选B ．6.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C7.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.8.解析：因为()sin(2)cos(2))442f x x x x x πππ=----=，所以()y f x =，在(0,)2π上单调递增，选A ．9.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．10.解析：因为2222146AB BC CC R ++==，由已知1AB BC ==，所以12CC =，1D AD ∠为异面直线1AD 与BC 所成角，11125sin 5DD D AD AD ∠===，选D ． 11.解析：()()sin 2cos tan=sinA 2cos sin 2sin sin sin 21cos B BA A AB AC B-⇒-=⇒=++, 所以242b a c b =+==，，所以周长+=6a c b +，所以选C.12.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以2132324,222b b b -≤-≥≤-，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以选B.二、填空题13.解析：当1a >时，由22log (1)3a -=，得3a =，当1a ≤时，由233a -+=，得0a =.所以0a =或3a =.14.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 15.解析：直线0x ay +=过定点(0,0)A ，直线220ax y a --+=过定点(2,2)B ，且两条直线相互垂直，故点M 在以AB 为直径的圆上运动，所以222||||||||422AB MA MB MA MB +⋅≤==，当且仅当||||2MA MB ==时取“=”，所以||||MA MB ⋅的最大值为4．16.解析：由题意可知，()+=sin ++cos(+)=(sin +cos )cos (cos sin )sin f x a x x a x a x ϕϕϕϕϕϕϕ+-()为偶函数，所以cos sin =0a ϕϕ-，即tan =(0)a a ϕ>，所以22sin cos 2tan sin 2=2sin cos =11+tan ϕϕϕϕϕϕϕ=>，所以112sin 2+=2sin 2+tan tan a a ϕϕϕϕ++22sin 24sin 2ϕϕ=+≥，当且仅当sin 21ϕ=取得最值.即+4k πϕπ=时取得最小值.三、解答题： （一）必考题：17.解析：（1）由111(1)11n n n n a a n a n n n ++=+++=++，得111n n a a n n+=++所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为3，公差为1.（2）由（1）得3(1)12n a n n n=+-⨯=+，所以22n a n n =+ 2111111()2(2)22n n b a n n n n n n ====-+++12111111111()()()21322422n n S b b b n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+、11111323()2121242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++ 18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ， 故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥， 又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ， 因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解； 因为DC ∥HG ，所以点D 到平面AHG 的距离与点C 到平面ABHG 的距离相等，由（1）知AC CG ⊥，AC CB ⊥，CB CG⊥，故三棱锥C ABG -的体积1132V CG ACCB ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭因为5BG ==，AG ==，所以2222cos 25AB BGAG ABG AB BG +-∠==⋅，所以sin ABG ∠=ABG 的面积1sin 2S AB BG ABG =⋅∠=所以点C 到平面ABG 的距离3V h S =，所以点D 到平面AHG 的距离为. ………12分 19. 解析：（1）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得125010.40.260.1=---，所以语文成绩为一等奖的考生()5010.3820.164⨯-⨯-=人．（2）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人．设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是12,B B ，只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,A A A A A B A B A C A A A B A B Ω=23132312,,,,,A C A B A B A C B B 12,}B C B C ，共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件{}1121323,,A A A A A A Ω=共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P ==． 20.（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l ：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得 2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122()()A x y B x y ，、，， 则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，， 因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分①、③联立得22122249493434k k x x k k-+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k -+-⋅=⨯=+++，2542k k ==±，，所以直线l的方程为(1)2y x =±-.………12分21.解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立， 故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减， 故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =， 故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =， 又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()12122f x f x a x x -≤--，即证224e 02222aa a a --≤-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证222e2a a --≤-，即证22e12a a-≥-，对任意R a ∈恒成立， 构造函数()e 1x F x x =--，R x ∈，则()e 1x F x '=-在R 上单调递增， 若0x <，则()0F x '<，故()F x 在(,0)-∞内单调递减， 若0x >，则()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞内单调递增， 故()()00F x F ≥=即e 1x x ≥+对任意R x ∈恒成立，特别地，取22a x =-，则有22e 12a a-≥-，对任意R a ∈恒成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）．A．B．C．D．2. 已知直线：与函数的图象交于，两点，记△的面积为（为坐标原点），则函数是A ．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递增C ．奇函数且在上单调递减D ．偶函数且在上单调递减3. 冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1.54.下列函数中，周期为的是A．B．C．D．5. 已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（ ）A．B．C．D．6. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石7. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心9.已知函数是定义域不为的奇函数．定义函数．下列说法正确的是（ ）A．B．在定义域上单调递增C ．函数不可能有四个零点D ．若函数仅有三个零点，，，满足；且，则a的值唯一确定且10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题三、填空题四、解答题A ．若的方程为，则B ．若的方程为，且，则C ．分别延长交于点，则点在的准线上D ．抛物线在点处的切线分别与直线，所成角相等11. 已知复数均不为0，则（ ）A．B．C．D．12.已知等比数列的前n 项和为，公比为q ，则下列命题正确的是( )A ．若，，则B．若，则数列是单调递增数列C ．若，，，则数列是公差为的等差数列D ．若，，且，则的最小值为413. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为.14. 若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_____15.已知数列满足，，数列满足，则数列的前项和______．16.设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M 性质.(1)判断函数，是否具有M 性质，并说明理由；(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数，具有M 性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数，具有M 性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)17. 某校矩形高三第一次模拟考试，根据考试成绩可以把学生分为四类：优秀、优良、合格、潜力生，为了研究学生的成绩，从学生考生中随机抽取100名学生得到考生的情况：考生类别优秀优良合格潜力生学生的人数10304020（Ⅰ）将频率视为概率，从学校高三的考生中随机抽取4名，求其中恰有两名学生优秀的概率；（Ⅱ）从选取的100名考生中，考试成绩优秀的男女学生的比例为2:3，考试成绩优良的男女学生比例为7:8，根据题中信息完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为学生的成绩与性别有关．优秀优良合计男生女生合计40（Ⅲ）从抽取的100名考生中，根据考生的考试成绩利用分层抽样抽取10名考生，再从10名学生中选取3名考生进行考试座谈会，设表示抽取考试成绩优良的学生的人数，求出的分布列及期望．【参考公式】（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，其中．18. 已知正项数列满足：，其中为的前项和.（1）求数列通项公式.（2）设，求数列前项和.19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值.20. 如图所示正四棱锥，P为侧棱SD上的点，且．(1)求证：；(2)求直线SC与平面ACP所成角的正弦值；(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．21. 已知函数，(1)函数图像在处的切线与函数相切，求实数a的值；(2)函数与函数图像有两个不同交点，（i）求a的取值范围；（ii）若，证明：．。
宁夏银川市银川一中近年届高三数学四模试题(含解析)(最新整理)
【解析】
由频率分布直方图可知，组距为 的频率为 ，由茎叶图可知 的人数为 ，设参加本次考试的总人数为 ，则所以 ,根据频率分布直方图可知 内的人数与 的人数一样，都是 ,故选C。
6。已知向量 ， ，若 ，则 ( ）
A。 B。 C. D。
【答案】B
【解析】
∵ ，∴ .
∴ ,即 ，
∴ 。故选B。
A. 24里B。 36里C. 48里D. 60里
【答案】B
【解析】
【分析】
记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 的等比数列，由 ，利用等比数列求和公式解得 ，利用等比数列的通项公式可得 ．
【详解】记每天走的路程里数为 ,可知 是公比 的等比数列，
由 ，得 ，解得: ，
．
所以此人第4天和第5天共走了 里,故选B．
（2）若 ，求 的单调区间；
（3）试比较 与 的大小．（ 且 ），并证明你的结论．
【答案】(1）0；(2)见解析；（3）见证明.
【解析】
【分析】
（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1｜﹣lnx,将绝对值符号化去,分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f(x）的最小值;
（2）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；
A. B。 C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析：设三角形的一条中线为 ， ， ，即 为线段 的中点 ，则 ，由几何概型的概率公式，得该粒黄豆落在△PAC内的概率是 ；故选A．
考点：1．平面向量的线性运算；2．几何概型．
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10。我国古代数学著作(算法统宗》中有这样一个问题（意为)：“有一个人要走378里路，第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．“那么,此人第4天和第5天共走路程是( ）
宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学文试题含答案.docx
银川一中2021届高三年级第四次月考文科数学命题教师：注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.设全集U = {2,3,5}, 4 = {2,匕一5|}, C ty A = {5},则 a 的值为A. 2B. 8C. 2或8D. —2 或 82.己知命题“PS”为真，“初”为真,则下列说法正确的是A .。
真q 真B .卩假q 真 C.卩真9假D.卩假9假3.已知i 为虚数单位，复数z = —,1 + 1则 1 zA. 72B. 2c.躬D. 2迈4. 己知函数y = fl'-2+3 (a> 0且a 工1)的图像恒过定点P ,点P 在幕函数y =/W 的图像 上，则 log3/(3)= A. -2B. -1C. 1D. 25. 已知将函数/(x) = cos4x 的图象向右平移列0>0)个单位长度后所得的图象关于V 轴 对称，则卩的值可能为6. 在等差数列{a”}中，若—<-1,且它的前"项和S”有最小值，则当S”>0时，"的最小 值为A. 14B. 15C. 16D. 17A. n ~67. 函数/(x) =3cosx + l的部分图像大致是8.若Q4丄佔，| 041=1，则OA\OA+OB) =-1 D. 010.已知函数/(*)=；_；,若不等式/(a2-2a-m) + /(l-2a)<0对任意的ae[-l,4]均成立，则加的取值不可能是A. 9B. 8C. 7D. 611.如图所示，在长方体ABCD—MGU ,若AB= BC, E、F分别是妙、BC X的中点，则下列结论中不成立的是A- ------ G/ ' 、 /A.EF与垂直B.EF 丄平面BDD l B lC.EF与GD所成的角为45。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学(文)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球对应，应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于（）A．B．C．D．2. 若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（ ）A．B．C ．0D ．13. 下列命题为真命题的是（ ）A ．且B ．或C ．，D ．，4.已知全集，集合，则等于（ ）A．B．C．D．5.复数等于（ ）A．B．C．D．6.若，则（ ）A．B．C．D．7. 若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（ ）A．B．C．D．8.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）A．B．C．D．9. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形中，，它的两个锐角的顶点A 和B 分别在x 正半轴、y 正半轴上滑动，则下列结论正确的是（ ）宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（文）试题(1)宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（文）试题(1)三、填空题四、解答题A ．点C在直线 上B ．点C 在直线上C ．点C的轨迹长度等于D ．点C的轨迹长度等于10. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线B ．当时，曲线是椭圆C ．若实数的值为2，则曲线的离心率为D ．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线11. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（）．A．B．C ．向量在向量上的投影向量为D ．向量在向量上的投影向量为12.已知，若不等式在上恒成立，则a 的值可以为（ ）A．B．C ．1D．13. 已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）14. 若双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为___________.15. 若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．16.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数溶度，制定了空气质量标准：某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式：，其中．17. 冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率；(2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．18. 冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表．喜爱不喜爱男生女生(1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望．(2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：0.10.0250.0052.706 5.0247.87919. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.某5G科技公司对2020年1月份至6月份某款5G产品的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：月份123456月销售单价（百元）98.88.68.48.28月销售量（万件）687580838490（1）由散点图可知变量，具有线性相关关系，根据1至6月份的数据，求出关于的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?（注：利润=销售收入－成本）参考公式和数据：，，其中，.20. 已知函数(1)若函数在时取得极值，求的单调减区间；(2)证明：当时，函数有零点.21. 已知椭圆，，为的两个焦点，P为上一动点，射线，上取点M，N，满足．另交于点Q，已知PQ长度的取值范围为.(1)证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；(2)若直线MN另交于A，B，求的取值范围．。
宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学(文)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．非充分非必要2. 集合，从中各任意取一个数，则这两数之和为偶数的概率是（ ）A．B．C．D．3. 化简：（ ）A．B．C．D．4.已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．55.已知全集，集合，5，，则=（ ）A．，2，3，B．，1，2，C．D．，2，6. 已知某射击运动员每次击中目标的概率都是.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击次，至少击中次的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，，表示没有击中目标，，，，，，，表示击中目标.因为射击次，故以每个随机数为一组，代表射击次的结果.经随机模拟产生了以下组随机数：据此估计，该射击运动员射击次至少击中次的概率约为（ ）A．B．C．D．7. 设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则数列为等差数列B ．若，则数列为等比数列C．若数列是等差数列，则，，成等差数列D．若数列是等比数列，则，，成等比数列8. 若､､是互不相同的空间直线，､是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是A ．若，，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则9.函数在上的值域是______.10.展开式中的系数为_____________.11. 的展开式中的系数为__________ .12.不等式的解集为____________．13. 已知圆C 的方程是，且圆C 与直线l：相切于点.宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题(高频考点版)宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题(高频考点版)(1)求圆C的方程；(2)若直线m：与圆C有公共点，求k的取值范围.14. 设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．(1)求函数的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．15. 在中.内角的对边分别为，且.(1)证明：；(2)若，求的面积的最大值.16. （1）已知求的解析式；（2）已知，求.。
宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学(文)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 若集合，则（ ）A．B．C．D．2.已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3. “且”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设P 为椭圆上一点，分别是C 的左，右焦点．若，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦所对的圆心角为，则（）A．B．C．D．7. 某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（ ）A ．8808B ．9696C ．10824D ．118568. 已知棱长为6的正方体内有一个正四面体玩具，若正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，则这个正四面体玩具的棱长最大值为（ ）A．B．C．D．9. 我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以为顶点的五面体，四边形为正方形，平面，则（ ）江西省贵溪市实验中学2024届高三上学期11月第二次模拟检测数学试题(1)江西省贵溪市实验中学2024届高三上学期11月第二次模拟检测数学试题(1)三、填空题四、解答题A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．该几何体的外接球的表面积为D ．与平面所成角的正弦值为10. 已知空间中三条不同的直线a 、b 、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，则11. 已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值可以为（ ）A ．0B．C ．3D ．412. 已知圆C ：，则（ ）A ．圆C 与圆D ：相交B．直线与圆C 可能相切C ．直线与圆C 必相交D ．直线，各自被圆C 所截得的弦长恰好相等13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其表面积为，则圆台的体积为___________.14. 已知，，则的值是_____________.15. 已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______.16. 为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市或县（区、市）等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于，（）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次：二是混合检验，将份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份检验的次数共为次，若每份样本没有该病毒的概率为（），而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.（1）若，求2份样本混合的结果为阳性的概率；（2）若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”，试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.17. 已知函数为常数)．(1)求函数在上的最小值；(2)设是函数的两个零点，证明：．18. 如图所示，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱，，过点的平面与侧棱，，相交于点，，，且满足，．（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．19. 已知在中，角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若为边上一点，且，求的值.20. 已知动圆经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.21. 某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．（1）试求y关于x的函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？。
宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学(文)试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x | y lg x ， B y | y x ，则（ ）
A． A U B R
B． ðR A B
(2)求 a1 a2 L a60 的值. 18．在如图所示的几何体中， DE P AC ， AC 平面 BCD ， AC 2DE 4 ， BC 2 ， DC 1， BCD 60 .
（1）证明： BD 平面 ACDE ； （2）过点 D 作一平行于平面 ABE 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与 平面 ABE 之间的几何体的体积.
（1）讨论 f (x) 的单调性； （2）当 a<0 时，证明 f (x) 3 2 .
4a
21．抛物线 C： y2 2 px p 0 上的点 M 1, y0 到抛物线 C 的焦点 F 的距离为 2，A､ B
（不与 O 重合）是抛物线 C 上两个动点，且 OA OB .
(1)求抛物线 C 的标准方程；
8 周后，对应的累计粉丝数 y 为多少？
n
( yi yˆ)2
n
(xi x )( yi y)
附参考公式：相关指数 R2
1
i 1 n
， bˆ i1 n
， aˆ y bˆx .参考数据：
( yi y)2
(xi x )2
i 1
i 1
ln2 0.70 .
20．已知函数 f (x) ln x ax2 (2a 1)x .
ab 的取值范围.
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宁夏银川一中2021届高考数学四模试卷(文科) Word版含解析
宁夏银川一中2021届高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R．集合A={x|x＜3}，B={x|log2x＜0}，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|x≤0或1≤x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|1≤x＜3}2．（5分）若a是复数z1=的实部，b是复数z2=（1﹣i）3的虚部，则ab等于（）A．B．﹣C．D ．﹣3．（5分）下列说法错误的是（）A．x y≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．线性相关系数r的确定值越接近1，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估量平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之后加和4．（5分）执行图所示的程序，输出的结果为20，则推断框中应填入的条件为（）A．a≥5 B．a≥4 C．a≥3 D．a≥25．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D ．6．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．17．（5分）已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a 的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（）A．a2B．a2C．3a2D ．a28．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．f（x）=x•sinxC．f（x）=x•cosx D．f（x）=x（x ﹣）（x ﹣）9．（5分）以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+10=0 B．x2+y2﹣10x+15=0C．x2+y2+10x+15=0 D．x2+y2+10x+10=010．（5分）已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A．B．C．D ．﹣11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[﹣1，7]上全部实根之和是（）A．12 B．14 C．6D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．14．（5分）函数f（x）=的零点个数是．15．（5分）已知四周体P﹣ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=2，PB⊥平面PAC，则四周体P﹣ABC外接球的体积为．16．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项都不相等的等差数列{a n}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n =2+2n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．E、H分别为PA、AB的中点．（I）求证：PH⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EHD的体积．19．（12分）在某高校自主招生考试中，全部选报Ⅱ类志向的考生全部参与了“数学与规律”和“阅读与表达”两个科目的考试，成果分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成果的数据统计如图所示，其中“数学与规律”科目的成果为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成果为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与规律”科目的平均分；（Ⅲ）已知参与本考场测试的考生中，恰有两人的两科成果均为A．在至少一科成果为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成果均为A的概率．20．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，﹣2），点C 满足=α+β，其中α，β∈R，且α﹣2β=1．（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与椭圆+=1（a＞0）交于两点M，N，且以MN 为直径的圆过原点，求证：+为定值；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆长轴长的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2﹣1（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥b（x﹣1）在[，+∞）上恒成立，其中a，b为实数，求a，b所满足的关系式及a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c 都是正数，求证：≥abc．宁夏银川一中2021届高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R．集合A={x|x＜3}，B={x|log2x＜0}，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|x≤0或1≤x＜3} C．{x|x＜3} D．{x|1≤x＜3}考点：对数函数的单调性与特殊点；交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：先将集合B进行化简，然后求出其在R上的补集，再利用交集的定义结合数轴求解．解答：解：由log2x＜0得0＜x＜1，∴B={x|0＜x＜1}，∴∁U B={x|x≤0或x≥1}，结合A={x|x＜3}，∴A∩∁U B={x|}={x|x≤0或1≤x＜3}．故选：B．点评：本题以集合的运算为载体考查了对数不等式的解法，一般是先化同底，再依据对数函数的单调性求解．2．（5分）若a是复数z1=的实部，b是复数z2=（1﹣i）3的虚部，则ab等于（）A．B．﹣C．D ．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质化简复数，再依据复数的实部、虚部的定义求得a、b，可得ab的值．解答：解：∵复数z1====+i，∴a=．∵b是复数z2=（1﹣i）3=﹣2﹣2i 的虚部，∴b=﹣2，∴ab=﹣，故选：B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）下列说法错误的是（）A．x y≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．线性相关系数r的确定值越接近1，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估量平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之后加和考点：相关系数；命题的真假推断与应用．专题：概率与统计；简易规律．分析：A．利用充分必要条件即可推断出；B．由命题的否定即可得出．C．由线性相关系数r的确定值与两变量的相关性关系即可推断出．D．用频率分布直方图估量平均数，可以用每个小矩形的面积乘以底边中点横坐标之后加和．解答：解：A．xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件，正确．B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，由命题的否定可得：￢p：∃x∈R，x2+x+1=0．C．由线性相关系数r的确定值与两变量的相关性关系可知：线性相关系数r的确定值越接近1，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估量平均数，可以用每个小矩形的面积乘以底边中点横坐标之后加和．因此D错误．综上可知：只有D错误．故选：D．点评：本题考查了充分必要条件、命题的否定、线性相关系数r的确定值与两变量的相关性关系、用频率分布直方图估量平均数的方法等基础学问与基本技能方法，属于中档题4．（5分）执行图所示的程序，输出的结果为20，则推断框中应填入的条件为（）A．a≥5 B．a≥4 C．a≥3 D．a≥2考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：写出前两次循环即得到要输出的结果，此时a=3，需要输出，得到推断框中的条件为a≥4．解答：解：进入循环第一次得到结果为s=5，a=4；进入循环其次次得到结果为s=20，a=3；此时，需要输出，所以推断框中的条件为a≥4故选B．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常接受写出前几次循环的结果找规律．5．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D ．考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先对函数进行图象变换，再依据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，依据对称轴处肯定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很简洁搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有很多条对称轴，它在这些对称轴上肯定取得最大值或最小值．6．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7．（5分）已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为2a 的正三角形，俯视图是边长为a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（）A．a2B．a2C．3a2D ．a2考点：简洁空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用正视图与左视图的高相等，求得左视图的高，再利用俯视图与左视图的宽相等求得左视图三角形的底边长，代入三角形的面积公式计算．解答：解：由主视图是边长为2a 的正三角形，得正六棱锥的高为a，∴左视图的高为a，∵俯视图是边长为a的正六边形，可得左视图三角形的底边长为2×a，∴几何体的左视图的面积S=×a ×a=a2．故选：A．点评：本题考查了由几何体的正视图与俯视图求左视图的面积，依据正视图与左视图的高相等，俯视图与左视图的宽相等来求解．8．（5分）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．f（x）=x•sinxC．f（x）=x•cosx D．f（x）=x（x ﹣）（x ﹣）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排解部分选项，利用图象过（，0），排解选项，得到结果解答：解：依题意函数是奇函数，排解D，函数图象过原点，排解B ，图象过（，0）明显A不正确，C 正确；故选：C．点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查同学的视图力量，常考题型．9．（5分）以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+10=0 B．x2+y2﹣10x+15=0C．x2+y2+10x+15=0 D．x2+y2+10x+10=0考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可求右焦点即圆心坐标（5，0），利用圆的切线性质，圆心到渐近线距离即为半径长，可得圆的方程．解答：解：由已知，双曲线﹣=1中，c2=10+15=25，c=5，焦点在x轴上，故圆心（5，0），渐近线方程：y=±x，又圆与渐近线相切，∴圆心到渐近线距离即为半径长，r==，∴所求圆的方程为（x﹣5）2+y2=15，即x2+y2﹣10x+10=0故选：A．点评：本题要求把握双曲线的基本几何性质，圆的标准方程求解，属于基础题目．10．（5分）已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A．B．C．D ．﹣考点：两角和与差的余弦函数；象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和与差的余弦函数公式cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ化简原式，然后依据同角三角函数的基本关系求出sinα，代入求出值即可．解答：解：由于角α在第一象限且cosα=，利用sin2α+cos2α=1得到sinα=，则原式====2×（cosα+sinα）=2×（+）=．故选C点评：考查同学机敏运用两角和与差的正弦、余弦函数公式的力量，以及把握同角三角函数间基本关系的力量．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简洁性质．专题：压轴题．分析：设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．解答：解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[﹣1，7]上全部实根之和是（）A．12 B．14 C．6D．7考点：根的存在性及根的个数推断；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x），推出函数的周期性，然后推断方程f（x）=﹣1在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程f（x）=1在区间[﹣1，7]上全部实根之和．解答：解：由f（2﹣x）=f（x）知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，由f（x）是R上的奇函数知f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=﹣f（4﹣x）在f（2﹣x）=f（x）中，以x﹣2代x得：f（2﹣（x﹣2））=f（x﹣2）即f（4﹣x）=f（x﹣2），所以f（x）=f（2﹣x）=﹣f（4﹣x）=f（x﹣4）即f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数．考虑f（x）的一个周期，例如[﹣1，3]，由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数，f（x）在（﹣1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数．对于奇函数f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2﹣2）=f（0）=0，故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）=0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）=0，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞f（0）=0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）=0，方程f（x）=﹣1在[0，1）上有实数根，则这实数根是唯一的，由于f（x）在（0，1）上是单调函数，则由于f（2﹣x）=f（x），故方程f（x）=﹣1在（1，2）上有唯一实数．在（﹣1，0）和（2，3）上f（x）＞0，则方程f（x）=﹣1在（﹣1，0）和（2，3）上没有实数根．从而方程f（x）=﹣1在一个周期内有且仅有两个实数根．当x∈[﹣1，3]，方程f（x）=﹣1的两实数根之和为x+2﹣x=2，当x∈[﹣1，7]，方程f（x）=﹣1的全部四个实数根之和为x+2﹣x+4+x+4+2﹣x=2+8+2=12．故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性等函数的重要性质，还考查了方程根的问题，综合性较强，解题的关键是依据奇偶性和对称性得出周期性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB 等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握定理是解本题的关键．14．（5分）函数f（x）=的零点个数是2．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．解答：解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：2点评：本题主要考查函数零点个数的推断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较简单的函数，由利用数形结合进行求解．15．（5分）已知四周体P﹣ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=2，PB⊥平面PAC，则四周体P﹣ABC外接球的体积为36π．考点：直线与平面垂直的性质；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意算出PA2+PC2=AC 2，结合勾股定理的逆定理得AP⊥PC．由PB⊥平面PAC 证出PB⊥PA ，PA ⊥PC，可得PA、PB、PC两两相互垂直．因此以PA 、PB、PC为长、宽、高作长方体，该长方体的外接球就是四周体P﹣ABC的外接球，依据长方体对角线公式算出外接球的直径，从而可得所求外接球的体积．解答：解：∵PA=4，PC=2，AC=2，∴Rt△PAC中，PA2+PC2=20=AC2，可得AP⊥PC又∵PB⊥平面PAC，PA、PC⊂平面PAC∴PB ⊥PA，PA⊥PC以PA、PB、PC为长、宽、高，作长方体如图所示则该长方体的外接球就是四周体P﹣ABC的外接球∵长方体的对角线长为=6∴长方体外接球的直径2R=6，得R=3因此，四周体P﹣ABC的外接球体积为V==36π故答案为：36π点评：本题给出三棱锥P﹣ABC满足的条件，求它的外接球体积．着重考查了勾股定理、长方体的对角线公式和球的体积计算等学问，属于中档题．16．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是4．考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先依据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最终依据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是2021届高考考查的重点，要强化复习．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项都不相等的等差数列{a n}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+2n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①，（a1+d）2=a1（a1+5d），②，由①②可解得：a1，d，即可得解．（2）由（1）可知：b n=23n﹣2+2n，利用等比（等差）数列的求和公式即可得解．解答：解：（1）∵a4=10，设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①∵a1，a2，a6成等比数列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），②∴由①②可解得：a1=1，d=3，∴a n=3n﹣2…6分（2）由（1）可知：b n=23n﹣2+2n，所以，求数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n =（2+24+27+…+23n﹣2）+2（1+2+…+n）=+2=（8n﹣1）+n（n+1）…12分点评：本题主要考查了等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基本学问的考查．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=，PC=．E、H分别为PA、AB的中点．（I）求证：PH⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EHD的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）依据勾股定理得BC⊥PB，由ABCD为矩形，得BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，进而面PAB⊥面ABCD，由此能证明PH⊥平面ABCD，从而PH⊥AC．（Ⅱ）由V P﹣EHD=V D﹣PEH，利用等积法能求出三棱锥P﹣EHD的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵PAB为正三角形，AB=2，∴PB=AB=2，∵BC=，PC=，∴PC2=BC2+PB2∴依据勾股定理得BC⊥PB∵ABCD为矩形∴BC⊥AB∵PB，AB∈面PAB且交于点B∴BC⊥面PAB∵BC∈面ABCD∴面PAB⊥面ABCD∵H分别AB的中点，PAB为正三角形，∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PH⊥AC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DA⊥平面PEH，DA=BC=，S△PEH ===，∴三棱锥P﹣EHD的体积V P﹣EHD=V D﹣PEH===．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．19．（12分）在某高校自主招生考试中，全部选报Ⅱ类志向的考生全部参与了“数学与规律”和“阅读与表达”两个科目的考试，成果分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成果的数据统计如图所示，其中“数学与规律”科目的成果为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成果为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与规律”科目的平均分；（Ⅲ）已知参与本考场测试的考生中，恰有两人的两科成果均为A．在至少一科成果为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成果均为A的概率．考点：众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）依据“数学与规律”科目中成果等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成果等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与规律”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人全部可能的状况及这两人的两科成果等级均为A的状况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成果等级均为A的概率．解答：解：（Ⅰ）由于“数学与规律”科目中成果等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成果等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与规律”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）由于两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成果等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成果都是A的同学，则在至少一科成果等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本大事空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本大事．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成果等级均为A”为大事B，所以大事B中包含的基本大事有1个，则P（B）=．点评：本小题主要考查统计与概率的相关学问，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．20．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，﹣2），点C 满足=α+β，其中α，β∈R，且α﹣2β=1．（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与椭圆+=1（a＞0）交于两点M，N，且以MN 为直径的圆过原点，求证：+为定值；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆长轴长的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：平面对量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设C（x，y），由向量的坐标运算，运用代入法，即可得到C的轨迹方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直径所对的圆周角为直角，运用向量的坐标表示，化简运算即可得证；（3）由（2）的结论和离心率的范围，结合不等式的性质，即可得到所求范围．解答：解：（1）设C（x，y），由=α+β，可得（x，y）=α（1，0）+β（0，﹣2），∴即有代入α﹣2β=1，有x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y=1；（2）证明：由可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵以MN为直径的圆过原点O ，则•=0，即有x1x2+y1y2=0，x1x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=1﹣（x1+x2）+2x1x2=1﹣+2•=0，可得a2+b2﹣2a2b2=0，即有+=2为定值；（3）+=2，可得b2=，由a＞b＞0，即＜a2，即a＞1，由e ≤，则e2=≤，即1﹣≤，即2a2﹣1≤4，又a＞1，1＜a ≤，即2＜2a，故椭圆长轴的取值范围是（2，]．点评：本题考查轨迹方程的求法和椭圆的方程和性质，留意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算力量，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2﹣1（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥b（x﹣1）在[，+∞）上恒成立，其中a，b为实数，求a，b所满足的关系式及a的取值范围．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得f′（1），进一步求得f（1）=0，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）构造函数g（x）=f（x）﹣b（x﹣1），把不等式f（x）≥b（x﹣1）在[，+∞）上恒成立转化为g（x）≥0在[，+∞）上恒成立，依据g（1）=0，可得g（x）≥g（1）恒成立，得到g（x）在x=1处取得微小值，从而有g′（1）=a+2﹣b=0，得到a，b的关系，得到g′（x）=．然后对a分类争辩，进一步转化为关于a的不等式求得a的取值范围．解答：解：（1）求导f′（x）=，∴f′（1）=a+2，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（a+2）（x﹣1），即（a+2）x﹣y﹣a﹣2=0；（2）设g（x）=f（x）﹣b（x﹣1），即g（x）≥0在[，+∞）上恒成立，又g（1）=0，有g（x）≥g（1）恒成立，即g（x）在x=1处取得微小值，得g′（1）=a+2﹣b=0，∴b=a+2，从而g′（x）=．（ⅰ）当时，g（x ）在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1），即；（ⅱ）当时，g（x ）在上单调递增，在单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则只需，解得：；（ⅲ）当时，g（x ）在上单调递增，单调递减，在（1，+∞）上单调递增，由知不符合题意．综上，a 的取值范围是．点评：本题考查利用导数争辩过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，着重考查了分类争辩的数学思想方法，考查数学转化思想方法，是压轴题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲22．（10分）如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．考点：相像三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB ，可得，即可求AD•OC的值解答：（1）证明：连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC，又AB为直径，∴AD⊥DB，∴AD∥OC．（5分）（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，∴Rt△BAD∽Rt△COB，∴，∴AD•OC=AB•OB=8．（10分）点评：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相像等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理力量．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）圆C 的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到一般方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合确定值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．解答：解：（1）圆C 的参数方程为（θ为参数）所以一般方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM 的面积所以△ABM 面积的最大值为（10分）点评：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关学问，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解力量有肯定要求．选修4-5：不等式选讲24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式．分析：（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．解答：证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）∴a3+b3＞a2b+ab2 成立；（2）∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），∴≥abc．点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．。
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宁夏银川一中2016届高三数学第四次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |-1≤y≤1}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1} 2．复数1＋i 4＋3i的虚部是A ．125iB ．125C ．－125D ．－125i3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于 A ．1 B ．35C ．2-D ．3 4．命题“α＝π6”是命题“cos 2α＝12”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于文科数学试卷 第1页(共6页)A ．5B ．6C ．7D ．8 6．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是7．如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是腰长 为2的等腰三角形，侧(左)视图是半径为1的半圆， 则该几何体的体积是A ．π B. π3 C. 3π D. 3π38．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是A ．20B ．18C ．3D ．0 9．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断 框内应填入的条件是A ．k ≤6? B．k ≤7? C．k ≤8? D ．k ≤9?10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名 男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数11．已知P 点是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝2，则此双曲线的离心率等于 A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．312．定义在R 上的函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，且]1,0[∈x 时，)2,1(,4)(∈=x x f x 时，xf x f )1()(=，令]2,6[,4)(2)(-∈--=x x x f x f ,则函数)(x g 的零点个数为 A ．6 B ．7 C ． 8 D ． 9第Ⅱ卷1A1D 1C 1BDBCA本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若b a//，则t ＝14．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________． 15．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 . 16. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论中，正确的序号是_____________①两函数的图像均关于点（4π-，0）成中心对称； ②两函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称；③两函数在区间（4,4ππ-）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同； ⑤两函数的最大值相同三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是42,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若nn n a a b 1log 2+=，求}{n b 的前n 项和为n S18．(本小题满分12分)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x 、y 的线性回归方程文科数学试卷 第3页(共6页)19．(本小题满分12分)已知D 、E 分别在平面ABC 的同侧，且DC⊥平面ABC ， EB⊥平面ABC ，DC=2,ΔABC 是边长为2的正三角形，F 是 AD 中点.(1)当BE 等于多少时，EF∥平面ABC ； (2)当EF∥平面ABC 时，求证CF ⊥EF.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
21．(本小题满分12分)已知函数f (x ) ＝1xxe - （1）求曲线y =f (x )在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f (x )的零点和极值；（3）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221()()e f x f x -≥-成立，求实数a 的最小值。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，点P 是圆O 直径AB 延长线上的一点， PC 切圆O 于点C ，直线PQ 平分∠APC，分别交AC 、 BC 于点M 、N 。
求证：（1）△CMN 为等腰三角形；（2）PB·CM=PC·BN.23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程（1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()f x ＜4的解集为M 。
（1）求M ；（2）若不等式()0f x a +<有解，求a 的取值范围。
银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(文科)参考答案一、选择题13.3± 1433±. 15.54 16. ③⑤三．解答题 17．解：设公比为q由23132a a a =+得q a q a a 121132=+，∴q q 322=+，解得q=1或2 又23+a 是42,a a 的等差中项即2（23+a ）=42a a +若q=1，则2（1a +2）=21a ，方程无解，舍去； 若q=2，则2（41a +2）=21a +81a ，解得1a =2∴nn n q a a 21-1==（2）∵nn n a a b 1log 2+==n n-2∴21)(n -2-12-21+=+n S n n 21)(n -2-21+=+n n18．19．解：(1)取AC 中点G ，连接FG 、BG ，则FG∥DC∥BE当BE=1时，有FG=BE ，即BEFG 为平行四边形故当BE=1时，EF∥BG，即EF∥平面ABC ………6分(2).证明：由DC⊥平面ABC得DC⊥BGG是正三角形ABC的边AC的中点∴BG⊥AC∴BG⊥平面ACD∴BG⊥CF又 EF∥BG∴EF⊥CF20．【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）由已知，得知，，又因为离心率为，所以．因为，所以，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）假设存在．设由已知可得，所以的直线方程为，的直线方程为，令，分别可得，，所以，线段的中点，若以为直径的圆经过点，则，因为点在椭圆上，所以，代入化简得，所以，而，矛盾，所以这样的点不存在．【答案】见解析21.【知识点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义【试题解析】（Ⅰ）因为，所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）令，解得，所以的零点为．由解得，则及的情况如下：所以函数在时，取得极小值（Ⅲ）当时，．当时，．若，由（Ⅱ）可知的最小值为，的最大值为所以“对任意，有恒成立”等价于即，解得．所以的最小值为1．。