最新人教A版必修五高中数学同步习题1.1正弦定理和余弦定理第1和答案
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
必修5余弦定理同步测试带答案新人教A版
适用精选文件资料分享必修5 余弦定理同步测试（带答案新人教 A 版）必修 5 余弦定理同步测试（带答案新人教 A 版）课时目标 1 ．娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2 ．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1 ．正弦定理及其变形 (1)asin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R. (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C. (3)sin A＝a2R ，sin B＝b2R，sin C ＝c2R. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a∶b∶c. 2 ．余弦定理及其推论 (1)a2 ＝b2＋c2－2bccos_A. (2)cos A ＝b2＋c2－a22bc. (3)在△ABC中，c2 ＝a2＋b2? C为直角；c2>a2＋b2? C为钝角；c2<a2 ＋b2? C为锐角． 3 ．在△ ABC中，边 a、b、c 所对的角分别为A、B、C，则有： (1)A ＋B＋C＝π，A＋B2＝π2－C2. (2)sin(A ＋B)＝sin_C ，cos(A ＋B)＝－ cos_C ，tan(A ＋B)＝－ tan_C. (3)sin A＋B2＝cos C2，cos A ＋B2＝sin C2. 一、选择题1．已知 a、b、c 为△ ABC的三边长，若满足 (a ＋b－c)(a ＋b＋c) ＝ab，则∠C的大小为 () A．60° B．90° C．120° D．150°答案C 分析∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即 a2＋b2－c22ab＝－ 12，∴cos C ＝－ 12，∴∠ C＝120 °. 2 ．在△ABC中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ ABC的形状必定是 () A．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形答案C 分析∵2cos Bsin A ＝ sin C ＝sin(A ＋B)，∴sin Acos B －cos Asin B ＝ 0 ，即 sin(A －B)＝0，∴ A＝ B. 3. 在△ ABC中，已知 sin A∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A．30°B．60° C．90° D．120°答案 B 分析∵a∶b∶c＝ sin A∶ sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，没关系设 a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则 cos C＝32＋52－722×3×5＝－ 12. ∴C＝120°. ∴最小外角为60°. 4 ．△ ABC的三边分别为 a，b，c 且满足 b2＝ac,2b ＝a＋c，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D 分析∵2b＝a＋c，∴4b2＝ (a＋c)2 ，即 (a －c)2 ＝0. ∴a＝c. ∴2b＝ a＋c＝2a. ∴b＝ a，即 a＝b＝c. 5 ．在△ ABC中，角 A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若 C＝120°， c ＝2a，则 ( ) A ．a>b B．a<b C．a＝b D．a 与 b 的大小关系不可以确立答案 A 分析在△ ABC中，由余弦定理得， c2 ＝a2＋b2－2abcos 120 °＝ a2＋b2＋ab. ∵c＝ 2a，∴ 2a2＝a2＋b2＋ab. ∴a2－ b2＝ab>0，∴ a2>b2，∴ a>b. 6 ．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度确立答案A 分析设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2＋b2＝c2，则(a ＋x)2 ＋(b ＋x)2－(c ＋x)2 ＝a2＋b2＋2x2＋2(a ＋b)x －c2－2cx－x2＝2(a ＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x 所对的最大角变成锐角．二、填空题 7 ．在△ ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－5x＋ 2＝0 的两个根， C＝60°，则边 c＝________. 答案 19 分析由题意： a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－ab＝(a ＋b)2 －3ab＝52－3×2＝ 19，∴c＝ 19. 8 ．设 2a＋ 1，a,2a － 1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是 ________．答案 2<a<8 分析∵2a－ 1>0，∴a>12，最大边为 2a＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴ a2＋ (2a －1)2<(2a ＋1)2 ，化简得： 0<a<8.又∵ a＋ 2a－1>2a＋1，∴a>2，∴2<a<8. 9 ．已知△ ABC的面积为 23，BC＝5，A＝60°，则△ ABC的周长是 ________．答案 12 分析 S△ABC＝12AB?AC?sin A ＝12AB?AC?sin60°＝ 23，∴AB?AC＝ 8，BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cos A＝AB2＋AC2－AB?AC＝( AB ＋AC)2－3AB?AC，∴(AB＋ AC)2＝BC2＋3AB? AC＝49，∴AB＋ AC＝7，∴△ ABC的周长为 12. 10．在△ ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则△ ABC外接圆的面积是 ________．答案 13π3 分析 S△ABC＝ 12bcsin A ＝34c＝3，∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝ 13，∴a＝13.∴2R＝asin A ＝1332＝2393，∴R＝393. ∴S外接圆＝πR2＝13π3.三、解答题11．在△ ABC中，求证：a2－b2c2＝－C. 证明右侧＝sin Acos B－cos Asin Bsin C＝sin Asin C?cos B－s in Bsi n C?cos A ＝ac?a2＋ c2－b22ac－bc?b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝a2－b2c2＝左侧．因此 a2－b2c2＝－在△ ABC中， a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边的长，cosB = ，且 ? ＝－ 21. (1) 求△ ABC的面积； (2) 若 a＝7，求角 C. 解（1）∵ ?? ? ＝－ 21，∴ ?? ? =21. ??∴ ? = | |?||?cosB = accosB = 21. ??∴ac=35，∵ cosB =，∴??sinB = . ??∴S△ABC = acsinB =×35× = 14.??(2)ac ＝35， a＝7，∴ c＝5. 由余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝42. 由正弦定理：csin C ＝bsin B. ∴sin C ＝cbsin B ＝542×45＝22. ∵c<b 且 B 为锐角，∴C必定是锐角．∴C＝45°. 能力提高 13 ．已知△ ABC中，AB＝1，BC＝2，则角 C的取值范围是 ( ) A．0<C≤π6 B．0<C<π2C.π6<C<π2D. π6<C≤π3 答案 A 分析方法一 ( 应用正弦定理)∵ABsin C ＝ BCsin A ，∴ 1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝ 12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12. ∵AB<BC，∴ C<A，∴C 为锐角，∴0<C≤ π6. 方法二 ( 应用数形联合 ) 以下列图，以 B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC上的点外，都可作为 A 点．从点C向圆B作切线，设切点为 A1和 A2，当 A 与 A1、A2 重合时，角 C最大，易知此时： BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴ C＝π6，∴0<C≤ π6. 14．△ ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，已知 b2＝ac 且cos B ＝34. (1) 求 1tan A ＋1tan C 的值；（2）设 ? = ，求 a+c 的值. ?? 解 (1) 由 cos B ＝34，得 sin B ＝1－342＝74. 由 b2＝ac及正弦定理得 sin2 B＝sin Asin C. 于是 1tan A＋1tan C＝cos AsinA＋cos Csin C＝sin Ccos A＋cos Csin Asin Asin C＝＋＝s in Bsin2 B ＝1sin B ＝477. (2) 由 ? = 得 ca?cosB = 由cos B ＝34，可得 ca＝2，即 b2＝2. 由余弦定理： b2＝a2＋c2－2ac?cos B ，得 a2＋c2＝b2＋2ac?cos B ＝ 5，∴(a ＋ c)2 ＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴ a＋c＝3. 1 ．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个 ( 最少有一边 ) 才能求解，常有种类及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角 ( 如 a，B，C) 正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c. 在有解时只有一解．两边和夹角( 如a，b，C) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边 (a ，b，c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解时只有一解 . 两边和此中一边的对角如 (a ，b，A) 余弦定理正弦定理由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解、一解或无解 . 2. 依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1) 化边为角； (2) 化角为边，并常用正弦 ( 余弦 ) 定理实行边、角变换．。
2017-2018学年高中数学(人教版必修五)教师用书 第一章§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1(一)含答案
1.1.1 正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理的推导思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A 、b sin B 、csin C 各自等于什么？答案 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C 还成立吗？课本是如何说明的？ 答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A ＝a sin B 来证明． 梳理 任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二 正弦定理的呈现形式1.a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)；2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．类型一 定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴a sin A ＝bsin B . 同理，b sin B ＝c sin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝b sin B，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A ＝2R .证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R， ∴sin A ＝a 2R ，即a sin A＝2R . 类型二 用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9cm ，解三角形．解 根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)； 根据正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)． 反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．解 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin60°sin45°＝9 6. 类型三 边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0. 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得：左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B )＝0＝右边， 所以等式成立．命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9. 反思与感悟 利用a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2， ∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1. 设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则 a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A。
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第1课时正弦定理(含答案)
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：由2B ＝A ＋C ⇒3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：利用正弦定理：a sin A ＝bsin B ，1532＝10sin B ，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B＝63. 答案：D4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确． 答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ＝2R ，由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ， 所以sin B ＝1，所以B ＝π2.答案：B 二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4.答案：π47．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C＝________．解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)， 由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k －3k 5k ＝1.答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ，所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32，所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为2A 、2B ∈(0，2π)， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，所以cos A cos B ＝sin B sin A.则sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B .又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ， 即A ＋B ＝π2.所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.B 级 能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a .因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以sin B sin A ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72.答案：D2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析：因为 sin B ＝12，所以B ＝π6或B ＝5π6.当 B ＝π6时，a ＝3，C ＝π6，所以 A ＝2π3，由正弦定理得， 3sin 2π3＝b 12，则b ＝1.当B ＝5π6时，C ＝π6，与三角形的内角和为π矛盾．答案：13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又因为sin A ＝cos C ，所以sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin (C ＋45°)＝2sin B ，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
新人教A版高中数学【必修5】 第一章 1.1.1正弦定理(二)课时作业练习含答案解析
1.1.1 正弦定理(二) 课时目标1．熟记正弦定理的有关变形公式；2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .2．三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B.一、选择题1．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 D2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C.∴0<c≤403.4．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案 A解析 由a ＝2bcos C 得，sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B －C)＝0，∴B ＝C.5．在△ABC 中，已知(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于() A ．6∶5∶4 B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎨⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72kb ＝52kc ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2C.12 D ．4答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR2＝π，得R ＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.二、填空题7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12absin C ＝43，∴b ＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.答案 12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c ＝6.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a －ccos Bb －ccos A ＝sin B sin A .证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边．所以等式成立，即a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A .12．在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 设三角形外接圆半径为R ，则a2tan B ＝b2tan A⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A⇔sin Acos A ＝sin Bcos B⇔sin 2A ＝sin 2B⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为() A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°答案 C解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12，∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.解 cos B ＝2cos2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.1．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．。
数学：新人教A版必修五 1.1正弦定理和余弦定理(同步练习)
1. 1.1正弦定理作业 1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A. 226-B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （ ）A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。
7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。
参考答案： 1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。
2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。
2019学年人教版高中数学 必修五同步练习及答案1.1.1 正弦定理
（人教版）精品数学教学资料1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =o ，45C =o ，则c =( )A ．103+B ．10(31)-C ．10(31)+D ．103 2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是 （ ）A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =o ，13a =，则sin sin sin a b c A B C++=++ （ ） A ．833 B ．2393 C ．2633D ．23 4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB =u u u u r ，1AC =u u u u r ，3ABC S ∆=，则AB AC u u u r u u u r g 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=， tan tan 33tan tan B C B C ++=g ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．34B ．33C ．334D ．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，3c =，C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =o ，解此三角形；（2）已知45B =o ，75C =o ，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，25cos 25B =， 求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理 一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C二、填空题7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin 30sin 14c B C b ===o由c b >知30150C <<o o ，得90C =o 从而60A =o ，2243a c b =-=（2）由180+=A B C +o 得60A =o ∵sin sin a b A B= ∴sin 2sin 606sin sin 45b A a B ===o o 同理sin 2sin 7531sin sin 45b Cc B ===+oo 10. 解：由2cos 2cos 12B B =-知43cos 2155B =⨯-= 又0B π<<，得24sin 1cos 5B B =-= sin sin[()]sin()A BC B C π∴=-+=+ 72sin cos cos sin 10B C B C =+=在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.。
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理习题(1)
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆A B C 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c.A B323π1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B-=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C++=o 得60B =o ，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60AB <=o，所以30A =o ，180C A B =--o90=o ，所以sin sin 90 1.C ==o4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
人教A版高中数学必修五同步练测：1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1 正弦定理和余弦定理建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则 cos B=（ ）A. B. C. D.2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的长是（ ） A. B.C.2D.23.已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a,b,c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是（ ） （1）b ＋c ＝2a ； （2）b ＋c 2a ；（3）b ＋c ≤2a ； （4）b ＋c ≥2a.A.（1）B.（2）C.(3)D.(4)4.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ， ∠ADB＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝（ ）A.30°B.60°C.45°D.90°5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B.C. D.6.在△ABC 中，下列各式中符合余弦定理的是（ ）（1）c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ；（2）c 2＝a 2－b 2－2bccos A ；（3）b 2＝a 2－c 2－2bccos A ；（4）cos C ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 7.一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 .8.如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．9.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，则△ABC 的形状是 ．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)10.在△ABC 中，下列关系式： ①asin B ＝bsin A ； ②a ＝bcos C ＋ccos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2abcos C ； ④b ＝csin A ＋asin C ，一定成立的个数是 .三、解答题（共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（14分）已知在△ABC 中，10c =，45A =，30C =，解三角形.12.（14分）在△ABC 中，b ＝asin C ，c ＝ acos B ，试判断△ABC 的形状．13. （16分）在△ABC 中，sin cos A A +=22，AC=2，AB=3，求Atan的值和△ABC的面积. 14.（16分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南θ（2arccos10θ=）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？1.1 正弦定理和余弦定理答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7． 8． 9． 10．三、解答题11.12.13.14.1.1 正弦定理和余弦定理参考答案1.A 解析：依题意得0°B 60°，由正弦定理得sin sin a b A B得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝ ＝63，故选A.2.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219.故选D.3.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a +＝sin sin 2sin B CA+＝2sincos 223B C B C+-＝cos 2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.4.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ∙sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.5.C 解析：设底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222a a a a a ∙∙＋－＝78.故选C.6.A 解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题．7.1726 海里/时 解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°， ∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM︒︒=， ∴ MN ＝68×3222＝346（海里）.又由M 到N 所用的时间为 14－10＝4(小时)，∴ 船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)． 8.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得ABsin∠AOB ＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2.9.正三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B. ∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ (2a c +)2＝a 2＋c 2－2accos 60°， 整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形． 解析二：根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C.又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin (120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．10.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．11.分析：先将已知条件表示在示意图上（如图所示），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解：sin sin a cA C=， ∴ sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∵180()105B A C =-+=，sin sin b cB C=， ∴ sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+．12.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac ＋－，代入c ＝acos B ，得c ＝2222a c b a ac∙＋－，∴ c 2＋b 2＝a 2，∴ △ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又∵ b ＝asin C ，∴ b ＝a •ca，∴ b ＝c ， ∴ △ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 13.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---,.46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=∙=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. sin cos A A +=22， ①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又 23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62 . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264. 从而sin 264tan 23cos 426A A A +==⨯=---. 以下解法同解法一.14.解：连接OQ ，设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|O P|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为r (t )=10t +60， 由102cos =θ，可知1027cos 1sin 2=-=θθ， cos ∠OP Q=cos(θ- 45︒)= cos θ cos 45︒+ sin θsin 45︒=227224.1021025⨯+⨯= 在 △OP Q 中，由余弦定理，得 OPQ PQ OP PQ OP OQ∠⋅-+=cos 2222=54203002)20(30022⨯⨯⨯-+t t =9000096004002+-t t .若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ |≤r (t )，即22)6010(900009600400+≤+-t t t ，整理，得0288362≤+-t t ，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.。
新编人教a版必修5学案：1.1正弦定理和余弦定理(含答案)
新编人教版精品教学资料第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理材拓展1．几何法证正弦定理设BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，则BD ＝2R ，下面按∠A 为直角、锐角、钝角三种情况加以证明．(1)若∠A 为直角，如图①，则BC 经过圆心O ，∴BC 为圆O 的直径，BC ＝2R ，asin A＝BCsin 90°＝BC ＝2R . (2)若∠A 为锐角，如图②，连结CD ，则∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BCsin ∠BAC，∵BC sin ∠BDC ＝BD ＝2R ，∴BC sin ∠BAC ＝2R . 即a sin A＝2R . (3)若∠A 为钝角，如图③，连结CD ，则∠BAC ＋∠CDB ＝π，所以sin ∠BAC ＝sin ∠CDB ，在Rt △BCD 中，BCsin ∠CDB＝BD ＝2R ，又∵BC sin ∠CDB ＝BCsin ∠BAC ，∴BC sin ∠BAC＝2R ，即a sin A ＝2R .可证得：a sin A ＝2R .同理可证：b sin B ＝2R ，csin C＝2R .所以，不论△ABC 是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有：a sin A ＝bsin B ＝csin C＝2R (其中R 为△ABC 的外接圆的半径)． 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径．2．坐标法证余弦定理如图所示，以△ABC 的顶点A 为原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B 可作角A 终边的一个点，它到原点的距离r ＝c .设点B 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义可得：x ＝c cos A ，y ＝c sin A ，即点B 为(c cos A ，c sin A )，又点C 的坐标是(b,0)．由两点间的距离公式，可得：a ＝BC ＝(b －c cos A )2＋(－c sin A )2.两边平方得：a 2＝(b －c cos A )2＋(－c sin A )2 ＝b 2＋c 2－2bc cos A .以△ABC 的顶点B 或顶点C 为原点，建立直角坐标系，同样可证 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的2倍.余弦定理的第二种形式是：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.易知：A 为锐角⇔b 2＋c 2－a 2>0； A 为直角⇔b 2＋c 2－a 2＝0； A 为钝角⇔b 2＋c 2－a 2<0. 由此可见：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．法突破一、解三角形的常见类型及解法方法链接：在三角形的边、角六个元素中，只要知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：大角”来检验．例1如图所示，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°.求BC 的长．解 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD ，∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.二、三角形解的个数判断方法链接：已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，也可用余弦定理解三角形．如已知a ，b ，A ，可先由余弦定理求出边c ，即列关于c 的方程a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解出c 后要注意验证c 值是否与a ，b 能构成三角形．符合题意的c 值有几个，对应的三角形就有几解．若采用正弦定理解三角形，可以结合下表先判断解的情况，再解三角形.解 方法一 利用余弦定理求解． 先将b ＝3，c ＝33，B ＝30° 代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 有32＝a 2＋(33)2－2a ·33·cos 30°. 整理，得a 2－9a ＋18＝0.所以a ＝6或a ＝3，经检验6和3均符合题意． 所以a 的值为6或3.方法二 利用正弦定理求解．∵c sin B ＝323，∴c >b >c sin B ．∴△ABC 有两解．∵c sin C ＝b sin B ＝6，∴sin C ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝180°－B －C ＝90°. 由a sin A ＝b sin B＝6，解得：a ＝6. 当C ＝120°时，A ＝180°－B －C ＝30°.由a sin A ＝b sin B＝6，解得a ＝3.所以a 的值为6或3. 三、三角形的面积公式及应用方法链接：三角形面积的常用计算公式(1)S ＝12ah a (h a 表示a 边上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c ) (r 为三角形内切圆半径)；(4)S ＝abc4R (可由正弦定理推得)；(5)S ＝2R 2sin A ·sin B ·sin C (R 是三角形外接圆半径)； (6)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c ) (p 是三角形的半周长)．例3 在△ABC 中，已知∠B ＝60°，面积为103，外接圆半径为R ＝733，求三边a ，b ，c .解 b ＝2R sin B ＝2×733×32＝7，∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴103＝12ac ×32，∴ac ＝40，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2＝89.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝89ac ＝40 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝13a －c ＝±3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5c ＝8. 所以△ABC 的三边长为a ＝8，b ＝7，c ＝5或a ＝5，b ＝7，c ＝8. 四、利用正、余弦定理求三角形外接圆半径方法链接：利用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，(其中R 是△ABC 的外接圆半径)可以推得以下结论：(1)R ＝a 2sin A ＝b 2sin B ＝c2sin C；(2)R ＝a ＋b ＋c2(sin A ＋sin B ＋sin C )；(3)R ＝abc4S(其中S 为△ABC 的面积)；(4)R ＝abc 4p (p －a )(p －b )(p －c ) (其中p 为12(a ＋b ＋c )，即△ABC 的半周长)．有了这些结论，我们可以容易解决涉及三角形外接圆的问题． 例4如图所示，已知∠POQ ＝60°，M 是∠POQ 内的一点，它到两边的距离分别为MA ＝2，MB ＝11，求OM 的长．解 如图所示，连接AB ，由已知O ，A ，M ，B 四点都在以OM 为直径的圆上．这个圆就是△ABM 的外接圆． ∵∠POQ ＝60°，∴∠AMB ＝120°.在△ABM 中，AB 2＝MA 2＋MB 2－2MA ·MB cos 120°.∴AB 2＝22＋112－2×2×11×⎝⎛⎭⎫－12＝147∴AB ＝7 3. 由正弦定理得OM ＝AB sin ∠AMB ＝AB sin 120°＝73sin 60°＝14.五、利用正、余弦定理判断三角形形状方法链接：(1)判断三角形的形状，主要有以下两种途径：①利用正、余弦定理，把已知条件转化为边边关系，然后通过因式分解，配方等方法，得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②利用正、余弦定理，把已知条件转化为角角关系，然后通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．(2)判断三角形的形状时，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，以免漏解． (3)常见的三角形有：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．例5 在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 方法一 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k >0， ∴a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入已知条件得 k sin A cos A ＋k sin B cos B ＝k sin C cos C ， 即sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin C cos C . 根据二倍角公式得sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ， 即sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )] ＝2sin C cos C ，∴2sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin C cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ≠0， ∴cos(A －B )＝cos C ， 又∵cos(A ＋B )＝－cos C ， ∴cos(A －B )＋cos (A ＋B )＝0，∴2cos A cos B ＝0，∴cos A ＝0或cos B ＝0， 即A ＝90°或B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形． 方法二 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．六、利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式方法链接：证明三角恒等式有三种方向：一种是从等式某一侧证到另一侧；一种是将式子的两侧同时整理化简得到相同的结果；最后一种是将要证的恒等式进行适当的等价变形，证明等价变形后的式子成立即可．不论哪种方向都应遵循“从繁化简”的原则．例6 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2cos A ＋cos B ＋b 2－c 2cos B ＋cos C ＋c 2－a 2cos C ＋cos A＝0.分析 利用正弦定理把边角统一为角的代数式，再结合三角公式求证．证明 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，C ＝2R sin C . ∴a 2－b 2cos A ＋cos B ＝4R 2(sin 2A －sin 2B )cos A ＋cos B ＝4R 2[(1－cos 2A )－(1－cos 2B )]cos A ＋cos B＝4R 2(cos 2B －cos 2A )cos A ＋cos B＝4R 2(cos B －cos A )；同理b 2－c 2cos B ＋cos C ＝4R 2(cos C －cos B )；c 2－a 2cos C ＋cos A＝4R 2(cos A －cos C )．∴左边＝a 2－b 2cos A ＋cos B ＋b 2－c 2cos B ＋cos C ＋c 2－a 2cos C ＋cos A＝4R 2(cos B －cos A )＋4R 2(cos C －cos B )＋4R 2(cos A －cos C ) ＝4R 2(cos B －cos A ＋cos C －cos B ＋cos A －cos C )＝0. ∴左边＝右边． 即a 2－b 2cos A ＋cos B ＋b 2－c 2cos B ＋cos C ＋c 2－a 2cos C ＋cos A ＝0成立．区突破1．忽视构成三角形的条件而致错例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． [错解] ∵c >b >a 且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝k 2＋(k ＋2)2－(k ＋4)22k (k ＋2)＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6. 又∵k 为三角形的边长，∴k >0. 综上所述，0<k <6.[点拨] 忽略了隐含条件：k ，k ＋2，k ＋4构成一个三角形，k ＋(k ＋2)>k ＋4.即k >2而不是k >0.[正解] ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，综上所述，k 的取值范围为2<k <6.2．忽视边角之间的关系而致错例2 在△ABC 中，已知A ＝60°，a ＝6，b ＝2，则∠B ＝____. [错解] 在△ABC 中，由正弦定理， 可得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°6＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.[点拨] 上述错解中的错误十分明显，若B ＝135°，则A ＋B ＝195°>180°，故B ＝135°不适合题意，是个增解．这个增解产生的根源是忽视了a >b 这一条件，根据三角形的边角关系，角B 应小于角A ，故B ＝135°应舍去．[正解] 在△ABC 中，由正弦定理可得 sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°6＝22，因为a >b ，所以A >B ，所以B ＝45°.3．忽视角之间的关系而致错例3 在△ABC 中，tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．[错解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2Asin 2B ，⇔cos B cos A ＝sin A sin B ， ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ， ⇔sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形．[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A ＝sin 2B 的另一个角之间的关系：2A ＋2B ＝180°.[正解] tan A tan B ＝a 2b 2⇔sin A cos B cos A sin B ＝sin 2Asin 2B，⇔cos B cos A ＝sin Asin B⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．题多解例 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3分析 数学中的许多问题可以从不同角度去考虑．例如本题可以从正弦定理、余弦定理、构造图形等角度去考虑．解析 方法一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ， ∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.答案 A题赏析1．(2009·上海)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.赏析 在正、余弦定理与平面向量的交汇点上命题是近几年高考的热点题型之一，题目难度一般不大，以中、低档题为主．2．(2011·大纲卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sinC ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.。
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第一章 1.1 第1课时一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝( )A．15B．59C．53D．1[答案] B[解析] 本题考查了正弦定理，由asin A＝bsin B知313＝5sin B，即sin B＝59，选B.2．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2a sin B＝3b，则角A等于( )A．π12B．π6C．π4D．π3[答案] D[解析] 由正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝32，∴A＝π3.3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是( ) A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A [答案] D[解析] 由正弦定理，得asin A＝bsin B，∴a＝b sin Asin B，在△ABC中，0<sin B≤1，故1sin B≥1，∴a≥b sin A．4．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( ) A．一解B．两解C ．无解D ．无法确定[答案] B[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．5．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝( )A ．32B ．12C ．34D ． 3[答案] A[解析] 由已知，得32＝12×2×3×sin A ，∴sin A ＝32.6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3[答案] C[解析] 由题设条件可知 ⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________．[答案] 23cm[解析] ∵BCsin A＝2R，∴BC＝2R sin A＝4sin60°＝23(cm)．8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c＝______.[答案] 2[解析] C＝180°－105°－45°＝30°.根据正弦定理bsin B＝csin C可知22 sin45°＝csin30°，解得c＝2.三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC中，已知b＝3，B＝60°，c＝1；(2)△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2.[解析] (1)由正弦定理，得sin C＝cb·sin B＝13×32＝12.∴C＝30°或C＝150°.∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．∴A＝90°，a＝b2＋c2＝2.(2)由正弦定理，得sin C＝c·sin Aa＝6sin45°2＝32.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝c sin Bsin C＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝c sin Bsin C＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.10．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．[解析] ∵A、B、C是三角形的内角，∴A＝π－(B＋C)，∴sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C．∴sin B cos C－cos B sin C＝0，∴sin(B－C)＝0，又∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π，∴B＝C．又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形.一、选择题1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( )A．22B．24C．32D．3＋14[答案] D[解析] c＝a sin Csin A＝2，B＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴S△ABC＝12ac sin B＝3＋14.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．若a cos A＝b sin B，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B ．12C ． －1D ． 1[答案] D[解析] ∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6 [答案] A[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，∴sin B ＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π6.选A ．4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[答案] C [解析] ∵k 1＝－sin Aa，k 2＝b sin B，∴k 1·k 2＝－1，∴两直线垂直． 二、填空题5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案]π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π， ∴π4<B ＋π4<54π，∴B ＝π4， 又∵b sin B＝asin A ，∴sin A ＝12， ∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6.6．在△ABC 中，若a cosA 2＝b cosB 2＝c cosC 2，则△ABC 一定是________三角形．[答案] 等边[解析] 由正弦定理得，sin A cosA 2＝sin B cosB 2＝sin C cosC 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，∵0<A ，B ，C <π，∴0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ．故△ABC 为等边三角形． 三、解答题7．在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B＋cos A sin B＝1213×35＋(－513)×45＝16 65 .(2)根据正弦定理，AB＝BC·sin Csin A＝5×16651213＝43，∴△ABC的面积S＝12AB·BC·sin B＝12×43×5×45＝83.8．在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A．(1)求cos A的值；(2)求c的值．[解析] (1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得3sin A＝26sin2A，所以2sin A cos Asin A＝263，故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝3 3.又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝1 3 .所以sin B＝1－cos2B＝22 3，在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.。