高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3导数的应用导学案新人教A版选修1

3.3.3导数的应用
[学习目标]
1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．
3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．
【情境引入】
当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就
是求函数的最大值、最小值问题．
那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？
【新知探究】
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和，并且函数的最值必在或取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是
【例题讲解】
例1 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【思路启迪】先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．
【解】由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1) 当a >0时，列表如下：
＝3，即b ＝3.
又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.
(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取极小值，也就是函数在(－1,2]上的最小值，
∴f (0)＝－29，即b ＝－29.
又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，∴a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.
点评:(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．(2)含参数问题
要注意分类讨论，
本题在求解时，依据条件需要对a 进行分类讨论，以便确定函数f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．
例2 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，若xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．
【思路启迪】 求出导函数f ′(x )，转化为函数的最值问题． 【解】 f ′(x )＝
x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1
x
，xf ′(x )＝x ln x ＋1， 故xf ′(x )≤x 2
＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .
令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1
x
－1，令g ′(x )＝0，得x ＝1.
当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，故x ＝1是g (x )的极大值点，且是最大值点，则g (x )≤g (1)＝－1.
综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．
点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m ≥f (x )或m ≤f (x )的形式，然后利用导数知识求出函数f (x )的最值，则由结论m ≥
f (x )max 或m ≤f (x )min 即可求出参数m 的取值范围．
例3 已知函数f (x )＝x 3
－12x 2＋bx ＋c .
(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；
(2)当f (x )在x ＝1处取得极值时，证明对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤7
2
.
解：(1)∵f (x )＝x 3
－12x 2＋bx ＋c ，
∴f ′(x )＝3x 2
－x ＋b ，要使f (x )有极值， 则3x 2
－x ＋b ＝0有实数解， 从而Δ＝1－12b ≥0，
∴b ≤112.而当b ＝1
12时，函数在R 上单调递增，不符合题意．
∴b <112
.
(2)证明：∵f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝3－1＋b ＝2＋b ＝0. ∴b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2
－x －2. 令f ′(x )＝0， 解得x ＝1或x ＝－2
3
.
由上可知，当x ＝1时，f (x )有极小值－3
2＋c ；
当x ＝－23时，f (x )有极大值22
27＋c .
又f (2)＝2＋c >2227＋c ，f (－1)＝12＋c >－3
2
＋c .
∴x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为－3
2＋c ，最大值为2＋c .
∴|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝7
2.
故结论成立． 【课堂小结】
1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值． 2．设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求
f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；
(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值． [当堂检测]
1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点
解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确，只有选项C 正确．
2．函数f (x )＝13x 3－2x 2
在区间[－1,5]上( )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0，有最小值－323
C ．有最小
值－32
3
，无最大值
D ．既无最大值也无最小值 解析：f ′(x )＝x 2
－4x ＝x (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4， ∴f (0)＝0，f (4
)＝－32
3
，f (－
1)＝－73，f (5)＝－253
，
∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－32
3.
答案：B
3．函数f (x )＝x ＋2sin x 在区间[－π，0]上的最小值是( )
A ．－π
2 B ．2
C.π6＋ 3 D ．－2π
3
－ 3 解析：f ′(x )＝1＋2cos x ，令f ′(x )＝0得x ＝－2π
3
，又
f (－π)＝－π，f (－
2π3)＝－2π3－3，f (0)＝0，故最小值为－2π
3
－ 3. 答案：D
4．函数f (x )＝x 3
－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________． 解析：f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，
令f′(x)＝0，
则x＝－1或x＝1(舍去)，
f(－1)＝3，f(0)＝1，f(－3)＝－17，∴f(x)max＝f(－1)＝3，
f(x)mi n＝f(－3)＝－17.。