初中数学思维探究(6)一元一次方程

6．一元一次方程解读课标方程是刻画现实世界的有效数学模型．一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础．其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤．在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程．代解是处理方程的解的基本方法．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为ax b =的形式．方程的解由a 、b 的取值范围确定，具体情形如下：1．当0a ≠时，原方程有唯一解bx a=； 2．当0a =且0b =时，原方程有无数个解； 3．当0a =且0b ≠时，原方程无解． 问题解决例1 若以x 为未知数的方程320x a -=与23130x a +-=的解相同，则a =_______． 试一试 由“解相同”建立关于a 的方程．例2 若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ）． A ．4个 B ．8个 C ．12个 D ．16个试一试 把x 用含k 的式子表示，结合整除的知识确定k 值的个数． 例3 解下列方程．（1）31333447167x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）0.30.80.020.30.80.410.50.33x x x ++---=； （3）1111333302222x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．试一试 解方程的目的是通过变形把方程化为x a =的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程．仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程． 例4 （1）解下列关于x 的方程：①48x b ax +=-；()4a ≠②1mx nx -=③()()11234m x n x m -=+（2）a 为何值时，方程()112326x x a x +=--有无数多个解？无解？试一试 对于（1），把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2），化简原方程，利用方程ax b 各种解的情形所应满足的条件建立a 的关系式．例5 （1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_____________．（2）现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图）．①图中框出的这16个数的和是___________；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．试一试 对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解． 丢番图的墓志铭例6 丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元3世纪，被誉为“代数学的鼻祖”．他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的： 过路的人！ 这儿埋葬着丢番图． 请计算下列数目，便可知他一生度过了多少个寒暑， 他一生的六分之一是幸福的童年，2928272625242322212019181716151413121110987654321六五四三二一日200420032002200120001999199819971996424140393837353634333231123456789101112131416171819202122232425262728293015十二分之一是无忧无虑的少年， 再过七分之一的生命旅程， 他建立了幸福的家庭， 五年后儿子出生，不幸儿子竞先于父亲四年而终， 年龄不过父亲享年的一半， 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年，请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？ 解法一 代数解法设丢番图活了x 岁，由题意得 11115461272x x x x x +++++=， 解得84x =． 解法二 算术解法从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄x 是6和12的倍数，也是7和2的倍数（因为年龄总是整数）．故他的年龄是6、12、7、2的公倍数，而6、12、7、2的公倍数，即是12与7的公倍数．我们可以先求12与7的最小公倍数．因为12与7互质，所以它们的最小公倍数应为12784⨯=，其他大于84的公倍数是不合乎常理的，如842168⨯=，而168的16是28，28岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为84岁． 数学冲浪 1．算筹方程“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名“方程”．在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排．如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项，如：表示方程423x y +=，表示方程3219x y +=，表示方程______________，表示方程_____________．2．（1）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，规定了一种运算a b ad bc c d=-，如()11202222=⨯--⨯=--，那么当242535x-=-时，x =_______________（2）当a ______，b ________时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a _______，b ______时，方程1ax x b +=-无解；当a ________，b _______时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． 3．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k =_________． 4．已知关于x 的方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同，则方程的解为_________．5．已知关于x 的方程()32mx x m +=-的解满足230x --=，则m 的值为（ ） A ．5- B ．1 C ．5或1- D ．5-或1 6．若关于x 的一元一次方程23132x k x k---=的解是1x =-，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．1311- D ．0 7．已知关于x 的方程()3870m n x ++=无解，则mn 是（ ） A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．关于x 的方程341ax x +=+的解为正整数，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2 D ．2或3 9．解下列关于x 的方程（1）421323324x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （2）20.10.130.20.05x x ---= （3）1ax bx -= （4）448x b x +=- 10．已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时（1）方程无解； （2）方程有无穷多解． 11．已知关于x 的方程323a x bx --=的解是2x =，其中0a ≠且0b ≠，求代数式a bb a-的值．思维方法天地 12．如果()11112003261212004n n ++++=+ ，那么n =______________． 13．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为_______________．14．已知1x =-，53232210ax bx cx -+-=，其中::2:3:6a b c =，那么32a cb=_________．15．若()22120a ab -+-=，则方程()()()()()()2002112220012001x x x x ab a b a b a b ++++=++++++ 的解是（ ） A ．2001 B ．2002 C ．2003 D ．200416．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm 的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2.5cm ．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为cm x ，则x 为（ ）A ．2B ．2.15C ．2.33D ．2.36 17．若方程()()22615m m x x m ++=++无解，则m =（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．318．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k （k 是不等于1的正整数）倍还多6人．问乙队原有多少人？19．将自然数1至2010按图中的方式排列：2.5cm29cmx xx x x x x如图，用一个长方形框出9个数（3行3列），已知这9个数的和为17991，求这9个数中最小的数． 应用探究乐园 20．解方程（1）226200620072008x x x -+++=； （2）13567x+++．21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．201020092008200720062005200420031520022726252423222120191817161413121110987654321第4个第3个第2个第1个6．一元一次方程问题解决 例1 3 例2 D 20011x k =+为整数，又2001132329=⨯⨯⨯，1k +可取1±，3±,23,29±,()323±⨯,()329±⨯,()2329±⨯，2001±共16个值，相应的k 值也有16个．例3 （1）视37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为整体，先去括号得0x =；（2）运用分数性质将小数化为整数，得1x =； （3）先去括号得90x =． 例4 （1）①84b x a +=-； ②当m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-；当m n =时，原方程无解； ③原方程化为()4346m x mn m -=+，当34m ≠时，原方程有唯一解4643mn m x m +=-；当34m =，32n =-时，原方程有无数个解；当34m =，32n ≠-时，原方程无解．（2）原方程化为0612x a =-①当6120a -=，即2a =时，原方程有无数个解； ②当6120a -≠，即2a ≠时，原方程无解． 例5 （1）7a -，a ，7a +．（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44，如31与13，11与33，17与27都是成中心对称的，于是易算出这16个数之和为448352⨯=．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如下图所示．因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于224a +，所以这16个数之和为()822416192a a ⨯+=+．当161922000a +=时，113a =． 当161922004a +=时，113.25a =． a 为自然数，113.25a ∴=不合题意．即框出的16个数之和不可能等于2004．由长方形阵列的排法可知，a 只可能在1，2，3，4列，即a 被7除的余数只可能是1，2，3，4．因为1131671=⨯+，所以，这16个数之和等于2000是可能的，这时，方框中最小的数是113，最大的数是11324137+=．1．232x y +=；4337x y += 2．（1）34- （2）略3．10、26、8、8-179x k=-，917k -，91k -=±或17± 4．0 5．D 6．B 7．B 8．D 9．（1）127x =-； （2）113x =； （3）当a b ≠时，方程有唯一解1x a b=-；当a b =时，方程无解； （4）当4a ≠时，方程有唯一解84b x a +=-；当4a =且8b =-时，方程有无数个解；当4a =且8b ≠-时，方程无解．10．原方程化为()()121a x a -=- （1）当1a =-时，方程无解； （2）当1a =时，方程有无数个解． 11．71212．200313．3 可推得1a =-，3c =，2b =，填入整数后的排列是3，1-，2，3，1-，2… 14．643设2a k =，3b k =，6c k =．得2k = 15．C 16．A 17．C18．设乙队原有x 人，则()80166k x =++，得7416kx k-=，因x 必须为正整数，且1k ≠，所以7416k -也是正整数，k 只能取2，3，4，只有当2k =时，21x =． 19．1991 20．（1）原方程化为222220200620072008x x x -+-+-+-=，即4014401440140200620072008x x x ---++=，得4014x =．（2）1113735676=+++，故6x =．21．（1）18第670个图形有2013颗黑色棋子。