备战18年高考数学一轮复习(热点难点)专题75熟记概念方可巧解复数问题
高三数学高考第一轮复习计划(10篇)
高三数学高考第一轮复习计划（10篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!高三数学高考第一轮复习计划（10篇）2023高三数学高考第一轮复习计划（10篇）如何规划好数学第一轮的高考复习计划呢?制定详细的复习计划，学生需要好好把握做好复习计划，复习并不是某种意义上的“炒冷饭”，而是“温故而知新”。
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高考数学复数知识点总结及解题思路方法
r1 (cos1 r2 (cos 2
i sin 2 ) i sin 2 )
r1 r2
[cos(1
2 )
i sin(1
2 )]
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n r n (cos n i sin n )
3 1, 2 , 1 ,1 2 0, n n1 n2 0(n Z)
22
则
.
5. ⑴复数 z 是实数及纯虚数的充要条件：
①zR z z.
②若 z 0 ， z 是纯虚数 z z 0 .
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，
而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为
2
2
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
a bi r(cos i sin ) ， r a 2 b 2 ， cos a , sin b .
r
r
⑶几类三角式的标准形式：
r(cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
r(cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
§15. 复 数 知识要点 1. ⑴复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 i2 1. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如 a + bi 的数（其中 a，bR ）； ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； ③ 虚数—当 b 0 时的复数 a + bi； ④ 纯虚数—当 a = 0 且 b 0 时的复数 a + bi，即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意
r( cos i sin ) r[cos( ) i sin( )]
高考数学一轮复习专题训练—复数
复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
2018年高考数学热门考点与解题技巧考点5复数及其运算
考点5 复数及其运算 热门题型 题型1 复数的概念及运算 题型2 复数的几何意义题型1 复数的概念及运算例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________； `(4)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z ∈R，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p解析1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i -解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.2C.3D.2解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i 2x y +=+=.故选B.【解题技巧】若复数i z x y =+，则22=z x y +. 变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π24,234)4543(∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故)cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 4. 2数系的扩充与复数的引入
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：4.2数系的扩充与复数的引入一、复数的有关概念及复数的几何意义※相关链接※1、复数的分类2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部<若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。
b5E2RGbCAP方法提示：1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式>组即可.p1EanqFDPw2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模长公式求解.3．复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解读几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.DXDiTa9E3d※例题解读※〖例1〗当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2>+(m2+3m+2>i(1> 纯虚数；<2）为实数；<3）对应的点在复平面内的第二象限内。
思路解读：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。
解答：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。
<1）若z为纯虚数，则解得m=3<2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2<3）若z的对应点在第二象限，则解得-1<m<1-或1+<m<3.即<1）m=3时，z为纯虚数；<2）m=-1或m=-2时，z为实数；<3）-1<m<1-或1+<m<3时，z的对应点在第二象限内。
〖例2〗复数在复平面上对应的点位于( >(>第一象限 (B>第二象限(C>第三象限 (D>第四象限思路解读:化简z为代数形式，确定其实部、虚部.解答:选.因为所以所以z对应的点位于第一象限.二、复数相等※相关链接※1、a+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。
复数和虚数高考知识点
复数和虚数高考知识点复数和虚数是高中数学中的重要知识点，也是高考中常常出现的题目类型。
它们在数学理论中有着广泛的应用，同时也构成了许多其他数学概念的基础。
本文将从定义、性质和应用等方面，对复数和虚数进行详细的介绍和解析。
一、复数的定义与性质复数是由实数和虚数单位i（虚数单位被定义为i^2=-1）组成的数。
它可以用一对有序实数(a, b)表示，其中a为实部，b为虚部。
复数的一般形式如下所示：z = a + bi。
首先，我们来看一下复数的加减法和乘法运算。
复数的加减法与实数的运算类似，实部和虚部分别相加减。
而复数的乘法运算则需要利用i的性质进行计算，即i^2=-1。
例如，要计算两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的乘积，可以按照下述步骤进行：首先将z1和z2展开，得到(a1 + b1i)(a2 + b2i)，然后利用i的性质进行运算，并进行实部和虚部分别相加，最后将结果重新表示成复数的形式。
其次，我们来看一下复数的除法运算。
复数的除法运算实际上就是要求出一个复数z3，使得z3乘以除数后等于被除数。
这个过程可以通过有理化分母的方式实现。
首先，将除数的分母中的虚部用实数表示，然后将被除数和除数的虚部同时乘以一个系数，使得除数的虚部变为0。
然后，按照乘法公式进行计算，得到的结果再进行化简，就可以得到所需的复数。
最后，我们来看一下复数的共轭和模的概念。
复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作。
例如，对于一个复数z = a + bi，它的共轭是z* = a - bi。
复数的模是指复数到原点的距离，也可以用勾股定理来表示。
例如，对于一个复数z = a + bi，它的模是|z| = √(a^2 + b^2)。
复数的共轭和模可以用来进行复数的除法和求解方程等运算。
二、虚数的定义与性质虚数是指实部为0的复数。
虚数单位i是虚数的一个特例，它的定义为i = √(-1)。
虚数在解决一些无解的实数问题时发挥了重要的作用，例如在求解负数的平方根时。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。
掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。
在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。
本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。
1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。
其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。
复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。
复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。
复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。
2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。
复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。
复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。
四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。
3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。
根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。
复数的模具有非负性、三角不等式等性质。
通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。
4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。
对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。
在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。
5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。
复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。
复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。
复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。
【配套K12】备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题75 熟记概念方可巧解复数问题
专题75 熟记概念方可巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 基础知识回顾: 一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2. 二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (2)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (c ＋di ≠0)． 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 应用举例: 类型一 复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i -【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a bi =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1OP t OA tOB =-+，虚部为()1OP t OA tOB =-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。
2024届高考数学第一轮专项复习——复数的概念与运算 教学PPT课件
； ＝
＝
＝
2
＋i
（＋i)(−i）
−
1
1 2
1 2
＋ 2
i（ c ＋ d i≠0），即 ＝
＝
.
2
2
2
2
＋
＋
｜2｜
2
2 2
返回目录
（2） 复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z 1， z 2， z 3∈C，有 z 1＋ z 2
（ m ∈R，i是虚数单位）.
（1） 若 z 为纯虚数，求实数 m 的值.
− − = ，
解：（1） 若 z 为纯虚数，则
解得 m ＝－1.所以实
− ≠ ，
数 m 的值为－1.
返回目录
（2） 当 m ＝2时，复数 （1＋i）是关于 x 的方程2 x 2＋ px ＋ q ＝0的一
4. 复数是纯虚数的充要条件：① z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ a ＝0且 b ≠0
（ a ， b ∈R）；② z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ z ＋ ＝0（ z ≠0）；③ z ＝ a
＋ b i是纯虚数⇔ z 2＜0.
5. 实系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个复数根互为共轭
= ，
− ＋ = ，
以
解得
= .
− = ，
返回目录
总结提炼
与复数概念有关的问题主要考查以下几点
（1） 复数的实部与虚部；（2） 复数的分类；（3） 复数的共轭
复数.
返回目录
[对点训练]
若 z 1， z 2为复数，则“ z 1－ z 2是纯虚数”是“ z 1， z 2互为共轭复数”的
高考数学压轴专题最新备战高考《复数》知识点总复习附解析
《复数》考试知识点一、选择题1．设3443i z i-=+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i + 【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．【详解】 解：3443i z i-=+Q ()()()()344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q()()()21f z i i i ∴=---+=故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.3．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A ．10BC ．5D 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【答案】A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．5．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.6．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2C ．5D ．3【答案】D【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.8．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．9．复数1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310- 【答案】A【解析】【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】 由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122i i ++的虚部为110. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.11．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】， 的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.13．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．14．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.17．欧拉公式cos sinixe x i x=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i ie e ππ表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算4i ie e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444iie cos isincos isineππππππ+===+，所以对应点（，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.18．已知复数1223,z i z a bi=+=+（,R,0a b b且∈≠），其中i为虚数单位，若12z z为实数，则ab的值为（）A．32-B．23-C．23D．32【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为()1223(z z i a bi=++)()23(32a b a b=-++)i，所以320a b+=，因为0b≠，所以23ab=-，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi19．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.20．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.。
高三数学一轮复习复数知识点总结
2019届高三数学一轮复习复数学问点总结复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi，以下是复数学问点总结，希望对考生有帮助。
复数是中学代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，常常与三角、解析几何、方程、不等式等学问综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域探讨，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何学问，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题实力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必需具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.在本章学习结束时，应当明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的学问还有待于进一步的探讨.1.学问网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生驾驭得不好，对向量的运算的几何意义的敏捷驾驭有肯定的困难.对此应仔细体会复数向量运算的几何意义，对其敏捷地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其敏捷地运用有肯定的困难，特殊是开方运算，应对此仔细地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义敏捷地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有肯定难度，应仔细加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)娴熟驾驭复数三种表示法，以及它们间的互化，并能精确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特殊是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决详细问题时常常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，驾驭复数各种形式的运算，特殊是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.复数学问点总结共享到这里，更多内容请关注高考数学学问点栏目。
高考数学一轮复习33，复数，常见类型及解题策略
⾼考数学⼀轮复习33，复数，常见类型及解题策略【考试要求】1.通过⽅程的解，认识复数；2.理解复数的代数表⽰及其⼏何意义，理解两个复数相等的含义；3.掌握复数代数表⽰式的四则运算，了解复数加、减运算的⼏何意义.【知识梳理】2.复数的⼏何意义复数集C和复平⾯内所有的点组成的集合是⼀⼀对应的，复数集C与复平⾯内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是⼀⼀对应的，即【考点聚焦】考点⼀ 复数的相关概念【规律⽅法】1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满⾜的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满⾜的⽅程(不等式)组即可.2.解题时⼀定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.考点⼆ 复数的⼏何意义【规律⽅法】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建⽴了⼀⼀对应的关系，因此可把复数、向量与解析⼏何联系在⼀起，解题时可运⽤数形结合的⽅法，使问题的解决更加直观.考点三 复数的运算【规律⽅法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作⼀类同类项，不含i的看作另⼀类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分⼦分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利⽤复数的运算法则化简，⼀般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数⼏何意义的综合题.先利⽤复数的运算法则化简，⼀般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的⼏何意义解答.【反思与感悟】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次⽅根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯⼀确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要⽅法.对于⼀个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的⾓度去认识它，把复数看成⼀个整体；⼜要从实部、虚部的⾓度分解成两部分去认识.【易错防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是⼀个实数.。
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第4章第4节复数
解析：因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12 ＝ 2，选B.
2．(2016· 高考全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象 限，则实数m的取值范围是( A ) A．(－3,1) C．(1，＋∞) B．(－1,3) D．(－∞，－3)
复数、向量与解析几何联系在一 起，解题时可运用数形结合的方 法，使问题的解决更加直观．
考点二
2．(1)(2017· 河北三市联考)若复数z＝ a＋3i i ＋a在复平面上对应的点在第二象
若z＝
a＋3i i ＋a＝(3＋a)－ai在复
平面上对应的点在第二象限， 则a＜－3，选A.
即时应用
限，则实数a可以是( A ) A．－4 C．1 B．－3 D．2
4a＝0， 解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a －4)i＝－4i，所以 2 a －4＝－4，
2
解得a＝0.故选B.
[知识梳理] 1．复数的有关概念 内容
意义 备注 若b＝0，则a＋bi为实数； 若a＝0且b≠0，则a＋bi为 纯虚数
复数的 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫 概念 复数，其中实部为 a ，虚部为 b
复数相 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d 等 (a，b，c，d∈R)
共轭 a＋bi与c＋di共轭⇔ 复数 a＝c且b＝－d (a，b，c，d∈R) 复平 面 建立平面直角坐标系来表示复数 的平面叫作复平面， x轴 叫实 轴，y轴叫虚轴 → 设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则
含i的看作另一类同类项，分别合 并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分 子分母同乘以分母的共轭复数， 解题中要注意把i的幂写成最简形 式．
高三数学一轮复习复数
202X
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼， 请尽量言简意赅的阐述观点。
演讲人姓名
数系的扩充——复数
高考热点
复数是高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式考查复数的概念与代数运算，也有可能是与三角函数、二项式定理等知识交汇的题目.
虚数单位 i2＝－1 实部 虚部 C b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 它们的实、虚部分别相等
题型四
简单的复数方程
思维提示
利用复数相等的定义
[规律总结] 对于复系数一元二次方程，不可用判别式Δ来判断此方程有无实根，而应该运用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.
PART ONE
备考例题4 试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？并解方程．
PART ONE
概念理解错误 例1 两个互为共轭复数之差是 ( ) A．实数 B．纯虚数 C．0 D．零或纯虚数 [答案] D
备考例题1 题设条件不变，如果复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
PART ONE
[分析] 利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解．
第一章节
[规律总结] (1)复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误． 在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度.
高考数学一轮复习知识点大全-复数
3. 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排；分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n 特殊位置、特殊元素优先法：以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（相邻问题）；插空法（不相邻问题）；至多至少问题：先分组后排列；部分有序；4. 二项式定理：①()00112220n n n n r n r r n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=++++++特别地：n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(②通项为第1+r 项：r r n r n r b a C T -+=1作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题.③主要性质和主要结论：最大的二项式系数在中间．（注意n 为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）；0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=；02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=5. 注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用．6. 二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式．如：当2n ≥,()()012121112n n n n n n n C C C n -=+=+++≥++ 第十三部分 复数1、复数的基本概念（1）虚数单位：虚数单位为i ，它的平方等于－1，即12-=i .（2）复数及其相关概念：设b a ,为实数，形如bi a + (i 为虚数单位)的数叫复数，通常用小写字母z 表示，a 叫做实部，b 叫做虚部．[注]①当0=b 时，复数bi a z +=为实数，即a ；②当0≠b 时，复数bi a z +=为虚数；③当0=a 且0≠b 时，复数bi a z +=为纯虚数，即bi .④全体复数所构成的集合叫做复数集，也称复数系，通常用字母C 表示.⑤复数的分类：复数⎩⎨⎧≠=+=）（虚数）（实数00b b bi a z （3）两个复数相等：a bi c di a c b d a b c d R +=+⇔==∈且（其中，，，，）. 00a bi a b +=⇔==特别地,.[注]两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小，只能说相等或不相等.2、复数的几何意义（1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中的x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，原点（0，0）对应复数0.（2）复数bi a z +=←-→一一对应有序实数对),(b a ←-→一一对应点),(b a Z（3）实轴上的点都表示实数，实轴以外的点都表示虚数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．（4）复数的模：设OZ a bi =+),(R b a ∈，则向量OZ 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作a bi +，且a bi +=复数的绝对值是实数绝对值的推广．（5）共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．任一实数的共轭复数是它本身．复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称．3、复数的代数运算设12,z a bi z c di =+=+),,,(R d c b a ∈．（1）复数的加减运算：12()()z z a c b d i ±=±+±．[注]①如果两个复数的和为0，则称这两个复数互为相反数．②复数的加减运算满足交换律和结合律．③复数加减运算的几何意义：类似向量加减法的平行四边形法则．（2）复数的乘法运算：12()()z z ac bd bc ad i ⋅=-++．[注]①复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律．②两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．③对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,，有n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+． 要注意的是，上述结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如12-=i ，14=i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论. 再如，在实数集成立的22x x =. 当x 为虚数时，22x x ≠， 所以复数集内解方程不能采用两边平方法．（3）复数的除法运算：122222()()()()z a bi c di ac bd bc ad i z c d c d+-++-==++． [注]①复数的除法，通常将分子、分母同乘以分母的共轭复数．②如果两个复数的乘积为1，则称这两个复数互为倒数．（4）复数的乘方运算：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn特别地，i 的方幂结论：12-=i ，i i n =+14，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i ．0321=++++++n n n n i i i i （Z n ∈），i i 2)1(2±=±，i ii =-+11，i i i -=+-11．。
2018版高考数学一轮复习课件：第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入
上一页
返回首页
下一页
第二页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习 2．复数的几何意义
上一页
返回首页
下一页
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝ (a±c)＋(b±d)i . z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(bc＋ad)i . zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0)．
D.5
上一页
返回首页
下一页
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
(2)设 z＝1＋1 i＋i，则|z|＝( 1
A.2 3
C. 2
) 2
B. 2 D.2
上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
(1)D (2)B [(1)复数 z＝2＋i i＝2＋i2i－2i－ i＝1＋5 2i＝15＋25i，则其虚部为25，故 选 D.
C.2－i
D.2＋i
(2)(2016·天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的
值为________．
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
(1)C (2)2 [(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋i 1＝1－i，∴z＝2－i，故选 C. (2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又 a，b∈R，∴1＋b＝a 且 1－b＝0， 得 a＝2，b＝1，∴ab＝2.]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题75 熟记概念方可巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 基础知识回顾: 一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2. 二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (2)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋bc －dc ＋d c －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (c ＋di ≠0)． 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 应用举例: 类型一 复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i -【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a bi =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1OP t OA tOB =-+，虚部为()1OP t OA tOB =-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。
例2．【辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考】若i 为虚数单位，则复数132iz i--=-的虚部为（ ）A .76 B . 76- C . 75 D . 75- 【答案】D 【解析】复数131322i iz i i --+==-- ()()()()13217225i i i i i ++-+==-+-,虚部为75-,故选D .例3．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z ⋅+=，则z =________ 【答案】12【解析】∵()11z ⋅=∴14z ====∴12z == 故答案为： 12类型二 复数的几何意义例4．【皖江名校2018届高三12月份大联考】著名数学家欧拉发规了复数的三角形式： cos sin ixe x i x =+（其中i 为虚数单位， 21i =-），根据这个公式可知， 3i e 表示的复数在复平面中所对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限【答案】B【解析】3cos3sin3i e i =+，3弧度的角终边在第二象限。
故选B .例5．【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三12月月考】复数()201651i z i =-的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限【答案】B 【解析】故选：B点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．例6．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】已知复数z 满足()13i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限【答案】B【解析】()13i z i -=-+ ()()()()3134221112i i i iz i i i i -++-+--⇒====----+,则2z i =-+.故选B .类型三 复数的运算例7．【广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考】设i 是虚数单位，若复数1i z i=+，则z =（ ）A .1122i - B . 112i + C . 112i - D . 1122i + 【答案】A 【解析】因为()()()1111=111222i i i i z i i i i -+===+++-，所以1122z i =-，故选A .例8．【福建省莆田市第二十四中学2018届高三上学期第二次月考】若12z i =+，则41izz =-（ ） A . 1 B . 1- C . i D . i -【答案】C【解析】 由题意得12z i =+，则()()44411212151i i ii zz i i ===-+---，故选C . 方法、规律归纳:在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i )2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ； (2)－b ＋ai ＝i (a ＋bi )；(3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ， i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.实战演练:1．【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考】已知()3z ⋅=- (i 是虚数单位),那么z 的共轭复数对应的点位于复平面内的( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限【答案】B【解析】()33i z +⋅=-，3z -∴===，∴ z 的共轭复数对应的点的坐标是12⎛- ⎝⎭，∴ z 对应的点在第二象限，故选B .2．【2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试】已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z =； ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A . 1B . 2C . 3D . 4【答案】C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C . 3．【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】()2121ii +=-（ ）A . 112i -+B . 112i --C . 112i +D . 112i - 【答案】A4．【广州市2018届高三第一学期第一次调研测试】若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =A .52 B . 32 C D . 【答案】C【解析】由()1i 12z i -=+，得()()()()121i 1213i 131i 1i 1i 222i i z i +++-+====-+--+∴z ==故选：C5．【河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考】若()12m i i ni +=+⋅（,,m n R i ∈是虚数单位），则n m -等于（ ）A . 3B . 2C . 0D . -1【答案】A【解析】()122i ni n ni m i +=-+=+，因,m n R ∈，故1,22n m n ==-=-，所以3n m -=，选A .6．【上海市静安区2017届高三第二学期期中教学质量检测】已知复数z 满足11izz +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）．A . iB . －1C . 1D . －i【答案】C故选：C ．7．【河南省2018届高三12月联考】已知i 是虚数单位，若复数1b iz ai+=-为纯虚数（a ， b R ∈），则z =（ ） A . 3i B . 2i C . i D . i -【答案】C 【解析】因为()221+1111+11b i b i ai b a ab z i ai ai ai a a++⋅-+===+--++（）（）（）为纯虚数，所以201b aa -=+，所以ab =，所以2221111ab a z i i i a a++===++ 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),a bi c di ac bd ad bc i ++=-++， (),,,a b c d R ∈，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为，对应点为(),a b ，共轭复数为(),a bi a b R -∈.8．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试】在复平面内，复数511+i i-的模为（ ）A B .2C D . 2【答案】D本题选择D 选项.9．【广东省百校联盟2018届高三第二次联考】复数z 满足()()11z i i +-=，则z = （ ）A B C D . 1【答案】A【解析】由题意可得： 1112i z i i ++==-，则： 11,22z i z =-∴=本题选择A 选项.10．【广西贵港市2018届高三上学期12月联考】若复数z 满足2i 43i z +=+，则z =（ ）A . 52i --B . 52i +C . 52i -+D . 52i -【答案】D【解析】由复数模的定义有： 435i +==， 则： 25,52z i z i +=∴=-. 本题选择D 选项.。