高中数学必修2限时训练3
高中数学限时训练9(必修2)
第9练 班级 姓名 1.等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则30a = .
2.等比数列{}n a 中，1030S =，2050S =，则30S = .
3.无论m 取何实数时，直线(m -1)x -(m +3)y -(m -11)=0恒过定点，则定点的坐标为 .
5.圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为 .
6.不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
0625y x y x y x 的点中，目标函数y x k 86+=的最大值为 .
7.两圆相交于两点)3,1(和)1,(-m ，且两圆的圆心都在直线0=+-c y x 上，则c m +的值为
.
8.已知圆22
2410220(,)x y x y ax by a b R ++-+=-+=∈关于直线 ,ab 对称则的取值范围 .
9.已知圆()()16122
2=++-y x 的一条直径通过直线032=--y x 被圆所截弦的中点，求该直径所在的直线的方程
10.过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程。
高三一轮限时规范训练 必修2 2-3 基因的表达
高三一轮限时规范训练必修二遗传与进化第3讲基因的表达(时间：45分钟)A级基础演练1．如图所示为真核细胞蛋白质合成过程中必需的两种物质(甲、乙)，下列有关叙述中正确的是( )。
A．遗传信息位于甲上B．乙由三个碱基组成C．甲的合成需要RNA聚合酶的参与D．乙可以转运多种氨基酸解析由图可知，甲为mRNA，乙为tRNA。
遗传信息位于DNA上；tRNA是由一条单链RNA通过折叠形成的，由多个碱基组成；一种tRNA只能转运一种氨基酸；mRNA是在RNA聚合酶催化作用下以DNA分子的一条链为模板转录形成的。
答案 C2．(2012·东北四校一模，3)关于复制、转录和翻译的叙述，正确的是( )。
A．转录时以脱氧核糖核苷酸为原料B．真核细胞染色体DNA的复制发生在有丝分裂前期C．转录时RNA聚合酶能识别DNA中特定碱基序列D．细胞中有多种tRNA，一种tRNA能转运多种氨基酸解析转录时以核糖核苷酸为原料，合成RNA，A错误；真核细胞染色体DNA的复制发生在有丝分裂间期，B错误；一种tRNA能转运一种氨基酸，D错误。
答案 C3．(2012·浙江五校联考)下列有关遗传信息传递过程的叙述，错误的是( )。
A．DNA复制、转录及翻译过程都遵循碱基互补配对原则B．核基因转录形成的mRNA穿过核孔进入细胞质中参与翻译过程C．DNA复制、转录和翻译的原料依次是脱氧核苷酸、核糖核苷酸和氨基酸D．DNA复制和转录都是以DNA的一条链为模板，翻译则以mRNA为模板解析DNA复制是以DNA的两条链为模板，而转录是以DNA的一条链为模板，翻译则以mRNA为模板。
答案 D4．(2012·浙大附中模拟)有关下图的叙述，正确的是( )。
①…－A －T －G －C －C －C－…②…－ U－ A－ C－ G－ G－ G－…(1)①―→②表示DNA转录(2)共有5种碱基(3)①②中的A表示同一种核苷酸(4)共有4个密码子(5)①―→②过程主要在细胞核中进行A．(1)(2)(4) B．(1)(2)(5) C．(2)(3)(5) D．(1)(3)(5)解析①中的A为腺嘌呤脱氧核苷酸，②中的A为腺嘌呤核糖核苷酸；图中共有2个密码子。
人教版2020-2021学年高二第一学期数学必修2限时训练
2020-2021学年度高二第一学期数学限时训练6完成时间：60分钟 使用时间：2020.10.14一、选择题（单选每题5分，多选题每题5分，少选得三分，错选不得分，共60分）1．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π2.已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）A ．B ．πC ．D ．（）π 3．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ）A 、平行B 、垂直C 、在平面α内D 、无法确定4．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题① 若////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② 若//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③ 若,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ 若//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离为（ ）A 、1B 、33C 、23D 、216．在三棱锥A ﹣BCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．8π B ．9π C ．10π D ．12π7．如图所示，在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）A ．在直线DB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线CB 上D ．都不对8．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．8πD ．9．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的为（ ） A ．若，，，则 B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则 m n αβαβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥αβ∥m α⊂n β⊂m n ∥αβ⊥m αβ=m n ⊥n β⊥αβ∥m α⊥n β∥m n ⊥10．矩形中，，，，分别是边，的中点，将正方形沿位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．11.（多选题）如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论错误的是（ ）A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为12．（多选题）如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论正确．．的是（ ）（A ）BD ∥平面CB 1D 1;(B)AC 1⊥BD ;(C)AC 1⊥平面CB 1D 1;(D)异面直线AD 与CB 1所成的角为60°二、填空题（每题5分，共20分）13．如图，△A 'O 'B '为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O 'A '＝2，O 'B '＝3，则△AOB 的周长为 ．14．在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为 ．15．已知一条与平面α相交的线段，长度为10cm ，两端点到平面α的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成角是 .16．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15π的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为 ．二、解答题（每题12分，共24分）17、如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，ABCD 2AB =1AD =E F AB CD ADFE 11A D FE 1A EF B --120︒1A F CE 51034121010（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若，AE⊥EC三棱锥E﹣ACD的体积为，求BE的长．18．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：BC⊥面CDE；（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由．高二晚测6（A卷）参考答案1-5 AADDB 6-10 AACDB 11. ACD 12.ABC13. 12 14.615.030 16.39 17.【解析】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又BE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC ，由BD ∩BE ＝B ，BD ，BE 都在平面BDE 内，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）不妨设菱形的边长为x ，AC 与BD 的交点为O ，则，∵AE ⊥EC ， ∴，∴，∴，解得x ＝2， ∴．18.【解析】解：（1）∵AE ⊥CD ，∴AE ⊥CE ，AE ⊥DE ，又CE ∩DE ＝E ，∴AE ⊥平面CDE ．由已知易得AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE ；（2）存在，当R 点满足时，面BDR ⊥面BDC ．证明：如图，过点E作EF⊥CD交CD于F，易得，由（1）可知BC⊥平面CDE，则BC⊥EF，∴EF⊥平面BCD，过点F作FG∥BC交BD于G，连结GR，则，又，且BC∥AE，∴四边形EFGR是平行四边形，∴EF∥GR，∴GR⊥平面BCD，又GR⊂平面BDR，∴面BDR⊥面BDC．。
高一数学必修2限时训练(2)
高一数学必修2限时训练（2）（2016-11-30）姓名一、选择题（每题6分）1．下列命题正确的是( )A ．若直线a ⊂平面α，直线a ∥平面β，则α∥βB ．若直线a ∥直线b ，直线a ∥平面α，则直线b ∥平面αC ．若直线a ∥直线b ，直线b ⊂平面α，则直线a ∥平面αD ．若直线a 与直线b 是异面直线，直线a ⊂α，则直线b 有可能与α平行2．m ，n ，l 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题正确的是( )A ．若m ∥n ∥l ，m ⊂α，n ⊂α，则l ∥αB ．若α∩β＝m ，n ∥m ，则n ∥αC ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 一定不相交D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β3．已知直线a ⊂α，给出以下三个命题：①平面α∥平面β，则直线a ∥平面β；②直线a ∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β.其中正确的命题是( )A ．②B ．③C ．①②D ．①③4．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )(第8题图)A ．21＋3B ．18＋3C ．21D ．185．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.12＋22B ．1＋22C ．1＋2D ．2＋ 2 6．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且PQ ＝2，QR ＝5，PR ＝3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°二、填空题（每题6分） 7．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 相交于点O ，则直线OB 1与A 1C 1所成角的度数为________．9．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是________．(填序号)三、解答题（每题15分）10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.11．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.12．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)
人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值． 【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)． 由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )． 由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)． 【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳． 【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一 设正方形ABCD 的边长为1，。
高中数学限时训练33(必修2)
第33练 班级 姓名
1.在ABC ∆中，bc c b a -+=222 ，则A 等于 .
2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为 45则实数m 的值为 .
3.正四棱柱的底面边长为a ，高为)(b a b <，一蚂蚁从顶点A 出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点1C ，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为_________.
4.如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为 .
5.过点(1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ .
（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；
（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
7.若,,R b a ∈且3=+b a ，则b a 22+的最小值是 .
8.已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则
10
42931a a a a a a ++++的值是__ _.
9.若数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S n = 2a n +1.
（1）求1a ，2a ，3a ；
（2）求{}n a 的通项公式.
10．已知直线l经过点(5,4)
P--，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．。
高三一轮限时规范训练 必修2 3-2 人类遗传病
高三一轮限时规范训练必修二遗传与进化第2讲人类遗传病(时间：45分钟)A级基础演练1．(2012·南平检测)下列关于“调查人群中的遗传病”的叙述，正确的是( )。
A．调查时最好选取多基因遗传病B．为保证调查的有效性，调查的患者应足够多C．某种遗传病的发病率＝(某种遗传病的患病人数/某种遗传病的被调查人数)×100%D．若所调查的遗传病发病率较高，则可判定该遗传病为显性遗传病解析调查人群中遗传病最好选择发病率较高的单基因遗传病，A错误；为保证调查的有效性，调查时应随机取样，并且调查人群足够大，B错误；发病率较高的遗传病不一定是显性遗传病，D错误。
答案 C2．(2012·银川质检)下列人类遗传病依次属于单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病的是( )。
①原发性高血压②先天性愚型③囊性纤维病④青少年型糖尿病⑤性腺发育不全⑥镰刀型细胞贫血症⑦哮喘⑧猫叫综合征⑨先天性聋哑A．③⑥⑨ ②⑤⑧ ①④⑦B．③⑥⑨ ①④⑦ ②⑤⑧C．①④⑦ ②⑤⑧ ③⑥⑨D．②⑤⑧ ③⑥⑨ ①④⑦解析单基因遗传病有③⑥⑨，多基因遗传病有①④⑦，染色体异常遗传病有②⑤⑧。
答案 B3．人类的染色体组和人类的基因组的研究对象各包括哪些染色体( )。
①46条染色体 ②22条常染色体＋X 染色体或22条常染色体＋Y 染色体 ③22条常染色体＋X 、Y 染色体 ④44条常染色体＋X 、Y 染色体 A ．①② B．②③ C．①③ D．③④解析 人类的染色体组可从配子中分析出组合方式：22＋X 或22＋Y ，但人类基因组研究时，X 和Y 两条性染色体存在非同源区段，所以为22＋X 、Y 。
答案 B4．(2012·安庆模考)某相对封闭的山区，有一种发病率极高的遗传病，该病受一对等位基因A —a 控制。
调查时发现：双亲均为患者的多个家庭中，后代的男女比例约为1∶1，其中女性均为患者，男性中患者约占34。
高三一轮限时规范训练 必修2 3-3 从杂交育种到基因工程
高三一轮限时规范训练必修二遗传与进化第3讲从杂交育种到基因工程(时间：45分钟)A级基础演练1．(2013·南京一模)科学家将豌豆染色体片段导入玉米细胞，培育出具有豌豆优良性状而染色体数目不变的玉米新品种。
下列有关叙述正确的是( )。
A．新品种玉米的培育原理是染色体结构变异B．新品种玉米表现出的豌豆性状一定是单基因控制的性状C．新品种玉米自交后代仍然都具有豌豆的优良性状D．新品种玉米能表现出玉米和豌豆的所有性状解析由题意知新品种玉米的某染色体上加入了豌豆的染色体片段，发生了染色体结构的变异；导入的染色体片段上有多个基因，所以新品种玉米表现出的豌豆性状也可能是多基因控制的性状，且该玉米自交后代可能会发生性状分离，不一定都具有豌豆的优良性状，该玉米不能表现出玉米和豌豆的所有性状。
答案 A2．(2013·银川、吴忠联考)育种专家在稻田中发现一株十分罕见的“一秆双穗”植株，经鉴定该变异性状是由基因突变引起的。
下列叙述正确的是( )。
A．这种现象是由显性基因突变成隐性基因引起的B．该变异株自交可产生这种变异性状的纯合个体C．观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置D．将该株水稻的花粉离体培养后即可获得稳定遗传的高产品系解析由题意可知，该突变也可能是显性突变，A错；基因突变在光学显微镜下是不可见的，C错；花药离体培养得到的是单倍体，需要用秋水仙素处理单倍体幼苗，才能获得能稳定遗传的纯合子，D错。
答案 B3．(2013·泉州质检)下列有关育种方法的叙述中，正确的是( )。
A．多倍体育种需在获得单倍体植株的基础上进行B．单倍体育种需在亲本植株染色体数加倍的基础上进行C．杂交育种的亲本双方可以是具有相对性状的杂合子D．诱变育种可以获得目的基因发生定向变异的新类型解析人工诱导多倍体的方法很多，如低温处理，目前最常用而且最有效的方法是用秋水仙素处理萌发的种子或幼苗，而非在单倍体植株的基础上进行；单倍体育种是先采用花药(花粉)离体培养的方法得到单倍体，然后经过人工诱导使染色体加倍，使其重新恢复到正常植株的染色体数目；杂交育种利用的原理是基因重组，双亲既可以是杂合子，也可以是纯合子；诱变育种的原理是基因突变，基因突变是不定向的，所以育种过程中需要筛选出变异的新类型。
人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案
高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （ 数 学 2 必 修 ） 第 一 章 空 间 几 何 体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 应 是 一 个 ()A . 棱 台B . 棱 锥C . 棱 柱 D. 都 不 对主 视 图左 视 图俯 视 图2 ． 棱 长 都 是 1 的 三 棱 锥 的 表 面 积 为 （）A .B .2 C .3 D.43 ． 长 方 体 的 一 个 顶 点 上 三 条 棱 长 分 别 是 3,4 ,5 ， 且 它 的 8 个 顶 点 都 在同 一 球 面 上 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ． 都 不 对4 ． 正 方 体 的 内 切 球 和 外 接 球 的 半 径 之 比 为 （）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ． 在 △ A B C 中 ， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若 使 绕 直 线 B C 旋 转 一 周 ，则 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 是 （ ）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ． 底 面 是 菱 形 的 棱 柱 其 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 侧 棱 长 为 5 ， 它 的 对 角 线 的 长分 别 是 9 和 1 5 ， 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 是 （ ） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ． 一 个 棱 柱 至 少 有 _____ 个 面 ， 面 数 最 少 的 一 个 棱 锥 有 ________个 顶 点 ，顶 点 最 少 的 一 个 棱 台 有________条 侧 棱 。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程限时规范训练新人教A必修2
3.2.2 直线的两点式方程【基础练习】1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．2．直线xa＋yb＝1过第一、二、三象限，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0【答案】C【解析】因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b 且经过第一、二、三象限，所以a<0，b>0.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．y ＝3x －8 B ．y ＝－3x －4 C ．y ＝3x ＋6 D ．y ＝－3x －2【答案】B【解析】k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为y ＝－3x －4.4．已知△ABC 三顶点坐标A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．y ＝－2x ＋8B ．y ＝2x ＋8C ．y ＝－2x ＋12D ．y ＝2x －12 【答案】A【解析】由中点坐标公式可得M (2,4)，N (3,2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即y ＝－2x ＋8.5．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．【答案】12【解析】AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.6．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________．【答案】x 2＋y6＝1【解析】设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1.7．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1且过点(6，－2)，求直线l 的方程．【解析】方法一：设直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)． 令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6.于是⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1， 解得k ＝－23或k ＝－12.故直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)，即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 方法二：设直线l 的截距式方程为xb ＋1＋y b＝1，∵直线l 过点(6，－2)，∴6b ＋1＋－2b ＝1，解得b 1＝1，b 2＝2.∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.8．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)，直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的14.求直线l 的方程．【解析】由已知，直线AB 的斜率k ＝1＋13＋1＝12.因为EF ∥AB ，所以直线EF 的斜率为12.因为△CEF 的面积是△CAB 面积的14且△CEF ∽△CAB ，所以△CEF 与△CAB 的相似比是12，即CE CA ＝12，所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52. 所以直线l 的方程是y ＝12x ＋52.【能力提升】9．(年江西南昌校级模拟)已知点M (1，－2)，N (m ，2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1【答案】C【解析】由中点坐标公式得线段MN的中点是⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0，k MN ＝4m －1，所以1＋m 4＋0＝1且4m －1＝2，解得m ＝3.故选C ． 10．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】由题意可设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a <0，b >0)，于是⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12－a ·b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.故满足条件的直线l 一共有1条．11．由一条直线2x －y ＋2＝0与两坐标轴围成一直角三角形，则该三角形外接圆半径为________．【答案】52【解析】因为所围成的直角三角形的斜边长为该三角形的外接圆的直径，该直线在两坐标轴上的截距分别为－1和2，所以该直角三角形的斜边长为12＋22＝5，所以外接圆的半径r ＝52.12．如图所示，已知直线l 过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程．【解析】设A (a,0)，B (0，b )，显然a >3，b >2，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵P (3,2)在直线l 上，∴3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3.∴S △ABC ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △ABC ·a ＋3S △ABC ＝0(*)．∵此方程有解，∴Δ＝S 2△ABC －12S △ABC ≥0. 又S △ABC >0，∴S △ABC ≥12，S △ABC 最小值＝12. 将S △ABC ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.。
高三一轮限时规范训练 必修2 1-3 减数分裂和受精作用
高三一轮限时规范训练必修二遗传与进化第3讲减数分裂和受精作用(时间：45分钟)A级基础演练1．(2013·豫南四校调研)细胞分裂的方式中，有丝分裂和减数分裂过程中共有的特点是( )。
①DNA复制②纺锤体出现③联会④着丝点分裂⑤基因重组A．①③⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④解析联会、基因重组是减数分裂过程中特有的。
答案 D2．(2013·衡阳联考一)某同学总结了减数分裂过程中染色体、DNA和着丝点的数量关系，其中正确的是( )。
A．次级精母细胞中核DNA分子数和正常体细胞中核DNA分子数不相同B．减数第一次分裂后期，细胞核中DNA分子数等于正常体细胞中的染色体数C．初级精母细胞中染色体数和核内DNA分子数相同D．细胞中染色体数目和着丝点数目总是相同的解析次级精母细胞中核DNA分子数和正常体细胞中核DNA分子数相同；减数第一次分裂后期细胞核中DNA分子数是体细胞中染色体数的2倍；初级精母细胞中染色体数是核内DNA分子数的一半。
答案 D3．在果蝇卵巢中不能观察到的细胞分裂图像是( )。
解析果蝇含4对同源染色体，卵巢中既可以进行有丝分裂，也能进行减数分裂。
A图可表示卵原细胞减数第一次分裂后期的图像；B图可表示第一极体减数第二次分裂后期的图像；C图可表示卵原细胞有丝分裂中期的图像；D图因为不是8条染色体，不是有丝分裂的细胞，又因为含同源染色体且不含姐妹染色单体，所以也不是减数第二次分裂末期的细胞。
答案 D4．一个基因型为AaX b Y的精原细胞，在减数分裂过程中，由于染色体分配紊乱，产生了一个AAaX b的精子，则另外三个精子的基因型分别是( ) A．aX b，Y，Y B．X b，aY，YC．AX b，aY，Y D．AAaX b，Y，Y解析由于产生的这个精子中只有X，没有Y，说明减数第一次分裂时XY发生了分离；由于产生的这个精子中有A和a，说明减数第一次分裂时A、a没有分离而进入到一个次级精母细胞，含AAaaX b X b的次级精母细胞在减数第二次分裂后期，着丝点分裂，两个A基因移向同一极形成了基因型分别是AAaX b 和aX b的精子；含YY的次级精母细胞，则形成两个基因型为Y的精子。
高中数学必修2限时训练3.doc
C . 若 mil a,nil a贝 \\m// C 、平行或相D 、AC 在此平面高二数学限时训练（3）姓名： __________ 班级： _____________ 考号：__________ 分数：一、选择题（每小题6分）1. 下列说法正确的是（） A.平面a 和平面0只有一个公共点； B.两两互相平行的三条直线必共面； C. 不共面的四点中，任意三点都不共线；D .若直线a 和共面，b 和c 共面，则a 和c 必共面。
2. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面 积为84疋，则圆台较小底面的半径为（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 33. 设m, n 为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（） A 若加且 zn//0,〃//0 , 则 all PB. 若 mlln.mlla ,则 n H aD. 若加,"是两条异面直线，且"〃/"，"//"，加〃0，"//0，则创卩4. 设AB, BC, CD 是不在同一平面內的三条线段，则经过他们的中点的平面和直线AC 的位置关系是（） A 、平行B 、相交 5.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是（） A.平行 B.相交且垂直 C.异面 D.相交成60° 6. 已知四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是的中点，则异面直线4E 与PD 所 成角的余弦值为（ ） C1 V2 73 2A. 3B. 3 c. 3 D. 3二、填空题(每小题6分)7.已知两条相交直线a, b , a 〃平面a,则b与a的位置关系是 ________________ •8.正方体ABCD-ABCD中，平面ABD和平面BGD的位置关系为____________9.ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直,则DF与AC所成角的大小为_____________ •10.己知过球面上4,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB = BC = CA = 2 ,则球的表面积为______________三、解答题11.如图是一个以冻嘶的三棱柱被一个平面所截得到的几何体，截面为ABC。
最新苏教版江苏省新课标数学限时训练3(必修2)
第3练 班级 姓名 1. 直线3x+y+1=0的倾斜角为
2．已知圆的方程为22
6250x y x y +--+=，则该圆的圆心坐标为 ，半径为
3．若方程220x y Dx Ey F ++++=(2240D E F +->)所表示的曲线关于y x =对称，则必有 (,,D E F 的关系)
4. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是
5. 经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是________
6.已知点(2,2)和圆的方程22(1)(3)16x y ++-=，则该点和圆的位置关系是 .
[来源:Z#xx#]
7. 已知{a n }为等差数列，111a =-，其前n 项和为n S ，若1020S =-，则n S 的最小值
为 .，此时相应的n 值为 .
8.已知点A 是圆的方程22(5)(3)9x y ++-=上的动点，则该点到直线34220x y +-=距离的最
大值为 .
9.求圆22(1)(3)9x y ++-=关于直线3x y -=的对称圆方程。
10.已知直线l 过点P(1，1)， 并与直线l 1:x －y+3=0和l 2:2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若
线段AB 被点P 平分，求:[来源:]
(Ⅰ)直线l 的方程；
(Ⅱ)以O 为圆心且被l 截得的弦长为5
58的圆的方程．。
北师大版高中数学必修二双基限时练3
双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案 B2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析 由直观图的画法，可知原四边形ABCD 为直角 梯形． 答案 B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，如图若O ′B ′＝1，那么原△ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2D ．2 2解析 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2O ′A ′＝22，∴S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案 C4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为( )A．2 B. 2C.22D．2 2解析△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝12×2×1×sin45°＝22.答案 C5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.答案 D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为( )A.32B.34C.64D.62解析如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝32×22＝64，S△A′B′C′＝12×64×2＝64.答案 C二、填空题7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．解析由图可知AB＝DC＋2AD cos45°＝4，EO＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝24，∴S A ′B ′C ′D ′＝(2＋4)×242＝324.答案 3248．一个水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析 由斜二测画法，知△ABC 为直角三角形，AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋16＝5，∴AB 边上的中线为52.答案 529．如图所示，ABCD为边长为2的正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．解析在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝22.答案2 2三、解答题10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P ′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．解由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.故PQ ∥Ox ，PS ∥Oy ，RS ∥Ox ，且PS ＝2P ′S ′，PQ ＝P ′Q ′，RS ＝R ′S ′.故真实图形如图所示．由上知PQ ＝P ′Q ′＝4，SR ＝S ′R ′＝2，SP ＝2S ′P ′＝4，且四边形PQRS 是直角梯形，其面积S ＝12(SR ＋PQ )·SP ＝12 (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．解 由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中，作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解(1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A ′B′C′的直观图．思维探究13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为6a2，求△ABC的周长．4解 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形，设△ABC 的边长为x ，由斜二测画法，知A ′B ′＝AB ＝x ，O ′C ′＝12OC ＝34x ，作C ′D ′⊥A′B ′，垂足为D ′，∵∠C ′O ′D ′＝45°，∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x ，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x 2＝64a 2，∴x ＝2a ， ∴△ABC 周长为3×2a ＝6a .。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第三章3.2.3
3.2.3 直线的一般式方程一、基础过关1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则 ( ) A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 5．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________． 6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．二、能力提升9．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是 ( )10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足() A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________．12．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．三、探究与拓展13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．答案1．D 2.D 3.A 4.A5．－4156．0或－17．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)， 即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 8．解 设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C 3. 由三角形面积为6，得|C 2AB|＝12， ∴A ＝±C 4，∴方程为±C 4x －C 3y ＋C ＝0， 所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．C 10．D11．x －y ＋1＝012．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0. 显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ， ∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第三章3.3.3-3.3.4
3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋 转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程． 三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学必修2课后限时训练36 直线与方程章末检测卷
高中数学必修2课后限时训练36 直线与方程章末检测卷时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案：C解析：直线AB 的斜率为33－3－1－1＝－3，则直线AB 的倾斜角是120°.2．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0，得－A B >0，－CB>0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．3．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1 答案：C 解析：由已知条件可知线段AB 的中点(1＋m2，0)在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.4．已知直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为( )A ．2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．－2或12答案：A解析：由题意，知直线过点(1,0)，代入直线方程整理得2m 2－5m ＋2＝0，解得m ＝2或m ＝12.5．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 答案：C解析：解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝02x －y ＋5＝0得⎩⎨⎧x ＝－197y ＝37，即直线l 1，l 2的交点是(－197，37)，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.6．已知直线l 1：(k －3)x ＋(5－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．1或4 D ．1或2 答案：C解析：由题意得2(k －3)2－2(5－k )＝0，整理得k 2－5k ＋4＝0，解得k ＝1或k ＝4.故选C. 7．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(17，27)C ．(27，17)D ．(17，114)答案：C解析：直线方程变形为k (3x ＋y －1)＋(2y －x )＝0，则直线通过定点(27，17)．8．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －83答案：C解析：直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k ＝－2，直线方程y ＝3x ＋4中，令y ＝0，则x ＝－43，即所求直线与x 轴交点坐标为(－43，0)．故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)，即y ＝－2x －83.9．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 答案：D解析：将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3,2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1,2)必在所求直线上，只有选项D 满足．10．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案：B解析：因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b ＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.11．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如右图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c 答案：C解析：由图象知－1a >－1c >0，－b a <0，－dc>0，所以c <a <0，b <0，d >0.12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2) 答案：A解析：设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k Ac ·k BC ＝－1|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1(x －3)2＋(y －3)2＝(0－3)2＋(4－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，所以B (2,0)或B (4,6)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a ＝________. 答案：－8解析：根据题意可知k AC ＝k AB ，即12－28－3＝a －2－2－3，解得a ＝－8.14．与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________． 答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0 解析：设所求直线为7x ＋24y ＋m ＝0.把直线7x ＋24y ＝5整理为一般式得7x ＋24y －5＝0. 由两平行直线间的距离公式得：|m ＋5|72＋242＝3，解得m ＝70或－80，故所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0.15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案：32解析：依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.16．(2009·高考全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)答案：①⑤解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解析：(1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0.(2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d ＝|3×(－2)＋4×5＋n |32＋42＝3，解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程． 解析：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，则有x ＋52＝0，3＋y2＝0，∴x ＝－5，y ＝－3，故C 的坐标为(－5，－3)．(2)由题意在，M (0，－52)，N (1,0)，∴直线MN 的方程为x ＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.19．(本小题满分12分)求经过两直线3x ＋4y －5＝0与2x －3y ＋8＝0的交点M ，且与直线l 1：2x ＋y ＋5＝0平行的直线l 2的方程，并求l 1与l 2间的距离．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －5＝02x －3y ＋8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，所以交点M (－1,2)．由直线l 2与直线l 1：2x ＋y ＋5＝0平行，得直线l 2的斜率为－2.所以直线l 2的方程为y －2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＝0. 由两平行直线间的距离公式，得l 1与l 2间的距离为|5－0|22＋12＝ 5.20．(本小题满分12分)根据下列条件求直线方程：(1)已知直线过点P (－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；(2)过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0.解析：(1)设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝112|ab |＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2故所求直线方程为x 2＋y ＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.(2)解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0. 由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0，得 －13·(－3＋λ3λ－2)＝－1. 解得λ＝310.故所求直线方程是3x －y ＋2＝0.解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即两已知直线的交点为(－1，－1)．又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)， 故－3＋1＋m ＝0，m ＝2.故所求直线方程为3x －y ＋2＝0.21．(本小题满分12分)直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．解析：设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2b＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2b＝1，④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.22．(本小题满分12分)有定点P (6,4)及定直线l ：y ＝4x ，点Q 是l 上在第一象限内的点，PQ 交x 轴的正半轴于点M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小，并求出最小值．解析：如图，由点Q 在直线y ＝4x 上，设点Q (x 0,4x 0)，且x 0＞0.需求直线PQ 与x 轴的交点M 的横坐标，因为S △OQM ＝12·|OM |·4x 0＝f (x 0)是x 0的函数，利用函数求最小值的方法求得面积的最小值及点Q 的坐标．设点Q (x 0,4x 0)(x 0＞0且x 0≠6)，∴直线PQ 的方程为y －4＝4x 0－4x 0－6(x －6)．令y ＝0得x ＝5x 0x 0－1，∴点M 的坐标为(5x 0x 0－1，0)．设△OMQ 的面积为S ，则S ＝12|OM |·4x 0＝10x 20x 0－1，即10x 20－Sx 0＋S ＝0.∵x 0∈R ，∴关于x 0的一元二次方程有实根．∴Δ＝S 2－40S ≥0，即S ≥40. 当S ＝40时，x 0＝2,4x 0＝8， ∴点Q 的坐标为(2,8)．而当x 0＝6时，点Q 的坐标为(6,24)，此时S ＝12×6×24＝72＞40，不符合要求．故当点Q 的坐标为(2,8)时，△OMQ 的面积最小，且最小值为40.。
高中数学限时训练25(必修2)
第25练 班级 姓名 1.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条.
2.空间三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则由直线,,a b c 确定的平面的个数为
.
4.若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是
.
5.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，则此圆的方程为
.
6.若直线a y x =+3与圆122=+y x 在第一象限内有两个不同的交点，则a 的取值范围
是 .
7.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若
EF=3,则AD 、BC 所成的角为 .
8.已知PA 、PB 、P C 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 ．
9.在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心,求证：P H ⊥底面ABC.
10.如图:正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求
_ A _ B _ C
_ P _ E
_ H
异面直线EF与SA所成的角
A
F
B C
E
S。
北师大版高中数学必修2双基限时练：第二章+解析几何初
双基限时练(二十)一、选择题1．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行而不重合，则a 等于( )A ．－1或2B ．－1C ．2D .23解析 ∵l 1∥l 2，∴a 1＝2a －1≠6a 2－1，得⎩⎨⎧a ＝－1，或a ＝2，a ≠1，且a ≠2，∴a ＝－1.答案 B2．已知过点A(－1，m)和B(m,5)的直线与3x －y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B .12 C ．2 D ．10 解析 由题意k AB ＝5－m m ＋1＝3，得m ＝12.答案 B3．下列说法中，正确的是( ) A ．若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2 B ．若直线l 1与l 2互相平行，则它们的斜率相等C ．直线l 1与l 2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2一定相交D ．若直线l 1与l 2的斜率都不存在，则l 1∥l 2解析 若l 1与l 2中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l 1与l 2不平行，故l 1与l 2一定相交．答案 C4．过点(－1,3)，且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析 由点斜式y －3＝12(x ＋1)，得x －2y ＋7＝0，故选A . 答案 A5．若两条直线2x －y ＋a ＝0和x －y2＋b ＝0平行， 则a ，b 的取值可能是( )A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝52，b ＝54 C ．a ＝0，b ＝0D ．a ＝7，b ＝3解析 由两条直线平行，知满足A 1B 2＝A 2B 1，且A 1C 2≠A 2C 1，可得a ≠2b ，故选D .答案 D6．若直线ax ＋by ＋c ＝0与直线y ＝tan α·x 平行，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析 由sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1，又tan α＝－ab ， 即－ab ＝－1，得a ＝b ，即a －b ＝0. 答案 D 二、填空题7．若直线l ：x ＋ay ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，则直线l 在两坐标轴上的截距之和为________．解析 由x ＋ay ＋2＝0与2x －y ＋3＝0平行， 则1×(－1)＝2a ，得a ＝－12， ∴l 为x －y2＋2＝0，令x ＝0，y ＝4， 令y ＝0，x ＝－2，∴l 在两坐标轴上的截距之和为4－2＝2. 答案 28．若过A(4，a)与B(5，b)两点的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则b －a ＝________.解析 由b －a5－4＝1，得b －a ＝1.答案 19．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线方程为________． 解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.答案 3x －2y ＋18＝0 三、解答题10．求a 的值，使两直线x ＋ay ＝2a ＋2和ax ＋y ＝a ＋1平行． 解 由1a ＝a1，得a ＝±1，当a ＝1时，两直线的方程分别为x ＋y ＝4和x ＋y ＝2，两直线平行；当a ＝－1时，两直线方程为x －y ＝0和x －y ＝0重合，∴a 的值为1.11．已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与两坐标轴围成的三角形的面积是8，求直线l 1的方程．解 设l 1的方程为x －3y ＋c ＝0， 令y ＝0，得x ＝－c ，令x ＝0，得y ＝c3， 由题意，得12|－c|·|c3|＝8，得c ＝±4 3.∴直线l 1的方程为x －3y ＋43＝0，或x －3y －43＝0.12．已知▱ABCD 的三个顶点A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D 的坐标． 解 设D(m ，n)，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴D(3,4)．思 维 探 究13．已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，求a 的值．解 ∵l 1∥l 2，∴a(a －1)－2＝0，得a ＝－1或a ＝2.又当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，l 2：x －y ＋3＝0，此时l 1∥l 2，符合题意；当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋2y ＋3＝0，此时l 1∥l 2，符合题意．∴a 的值为－1或2.。
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试卷第1页，总2页
高二数学限时训练（3）
姓名：___________班级：___________考号：___________分数： 一、选择题（每小题6分） 1．下列说法正确的是( )
Ａ．平面α和平面β只有一个公共点； Ｂ．两两互相平行的三条直线必共面；
Ｃ．不共面的四点中，任意三点都不共线；
Ｄ．若直线a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 必共面。
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为π84，则圆台较小底面的半径为（ ）
.A 7 B . 6 C . 5 .D 3
3． 设m ，n 为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若是两条异面直线，且，则
4．设AB,BC,CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过他们的中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）
A 、平行
B 、相交
C 、平行或相交
D 、AC 在此平面内
5．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线
AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交且垂直
C ．
异面 D ．相交成60°
6．已知四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与P D 所成角的余弦值为（ ）
βα,αα⊂⊂n m ,β
β//,//n m βα//α
//,//m n m α//n αα//,//n m n m //n m ,β
βαα//,//,//,//n m n m βα//D
C A B
试卷第2页，总2页
A.31
B.32
C.33
D.32
二、填空题（每小题6分）
7．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 ．
8．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 9．ABCD 与CDEF 是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF 与AC 所成角的大小为 ．
10．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则球的表面积为
三、解答题
11111111111.4,2, 3..
A B C BB CC O AB B C ===如图是一个以为底面的三棱柱被一个平面所截得到的几何体，截面为ABC 。
已知，AA 设点是中点，证明：OC//平面A
12．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．
(1)求证：BD 1∥平面C
1DE ； (2)求三棱锥D －D 1BC 的体积．
参考答案
1.C 2．A 3．D 4．A 5．D
6．C
【解析】设棱长都为1，连接AC,BD交于点O，连接OE.因为所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 是菱形，所以O是BD的中点，且OE//PD，故AEO
∠为异面直线AE与PD所成的角.易知
由余
7
8．平行
【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1
，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂
平面AB1D1，AB1∩AD1=A
C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC
1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面
BC1D故答案为：平行
9
2，则
，取H，
M，N为三个线线段的中点，连接HM，MN，则有HM∥AC，MN∥DF，故∠HMN即为DF
与AC所成角可所成角且
连接HN，DN，在直角三角形DCN中可以求得
在直角三角形HDN中可以求得
在△HMN中cos∠HMN=DF与AC
10设球半径为r。
如图，
三棱锥O ABC
-
中，2
BC CA
==，OA OB OC r
==
=，O到底
面ABC的距离为
2
r
过点O作'
OO⊥面ABC，连接'
AO
因为2
AB BC CA
===，
所以'
O是ABC
∆的重心，则'
AO=
在'
Rt OAO
∆中，由,
''
2
r
AO r AO OO
===可得
222
()
2
r
r=+解得，
4
3
r=
,
则球的表面积为22
464
44()
39
r
πππ
=⋅=
12．(1)证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连结EF. ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正四棱柱， ∴四边形DCC 1D 1为矩形， ∴F 为D 1C 中点．
在△CD 1B 中，∵E 为BC 中点，∴EF ∥D 1B.
又∵D 1B ⊄面C 1DE ，EF ⊂面C 1DE ，∴BD 1∥平面C 1DE.
(2)连结BD ，VD －D 1BC ＝VD 1－DBC ，∵AC ′是正四棱柱， ∴D 1D ⊥面DBC.
∵DC ＝BC ＝2，∴S △BCD ＝1
2×2×2＝2.
VD 1－DBC ＝13·S △BCD ·D 1D ＝13×2×1＝2
3.
∴三棱锥D －D 1BC 的体积为2
3. 【解析】略。