1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质

可少
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
y
y = f (x)
y
y = f (x)
开区间
o
π 2
1
o
不连续
1 2
x
x
性质2（有界性定理） 性质 （有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界． 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界． 证 设函数 f ( x )在[a , b]上连续 , ∀x ∈ [a , b],
§1.7 初等函数的连续性及闭区间 上连续函数的性质
一、初等函数的连续性 二、闭区间上连续函数的性质
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
一、初等函数的连续性
1. 基本初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的； 连续的；
指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) (a > 0, a ≠ 1)
内无零点. 但 f ( x ) 在( 0,1) 内无零点
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在( −∞ ,+∞ )内单调且连续 ;
对数函数 y = log a x
在(0,+∞ )内单调且连续 ;
幂函数在其定义域内是连续的. 幂函数在其定义域内是连续的
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
定理1 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理 基本初等函数在定义域内是连续的 定理2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
y = sgnx,在( −∞ ,+∞ )上, M = 1, m = −1;
在(0,+∞ )上, M = m = 1.
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
性质1 最大最小值定理） 性质 （最大最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得 最大值和最小值． 最大值和最小值． y
也无界． 也无界．
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
性质3 性质 零点存在定理设函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 上连续， 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ),
那么在开区间(a, b )内至少有函数f ( x ) 的一个零 ξ 点,即至少有一点 ( a < ξ < b ) ，使 f ( ξ ) = 0 .
注
初等函数仅在其定义区间内连续, 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续. 在其定义域内不一定连续
如, y = cos x − 1, D : x = 0, ± 2π , ± 4π ,⋯ 这些孤立点的邻域内没有定义. 这些孤立点的邻域内没有定义
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
若 f ( x ) ∈ C [a , b],
则 ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 ∀x ∈ [a , b],
有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ),
M
y = f (x)
m
O a
ξ2
ξ1 b x
f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
注 性质 中的条件“闭区间”和“连续性”必不 性质1中的条件 闭区间” 中的条件“ 连续性”
f (b ) > b. 证明 ∃ξ ∈ (a , b ), 使得 f (ξ ) = ξ .
证
令 F ( x ) = f ( x ) − x , 则F ( x )在[a , b]上连续 ,
而 F ( a ) = f ( a ) − a < 0, F ( b ) = f ( b ) − b > 0,
由零点存在定理, 由零点存在定理
(a , b ) 内必有零点 内必有零点.
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
思考练习
解答 不正确. 不正确
y
2, 例如函数 f ( x ) = −2,
0< x≤1 x=0
2 x -2
内连续, f ( x ) 在(0,1)内连续 f (0) ⋅ (1) = −4 < 0.
f (2) = 43 > 0, 由零点存在定理 由零点存在定理,
∃ ξ ∈ (1,2), 使
f (ξ ) = 0,
所以方程 x 5 + x 4 − 2 x = 1 在区间 (1, +∞ ) 内 至少有一根. 至少有一根.
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
例4 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上连续 , 且f (a ) < a ,
∴ ϕ (a ) ⋅ ϕ (b ) < 0, 由零点存在定理, ∃ ξ ∈ (a , b ), 使 由零点存在定理 ϕ (ξ ) = 0, 即 ϕ (ξ ) = f (ξ ) − C = 0, ∴ f (ξ ) = C .
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
性质 4′ 在闭区间上连续的函数必可取得介于 最大值与最小值之间的任何值. 最大值与最小值之间的任何值 上的连续曲线 几何解释： 几何解释：闭区间 [a , b] 上的连续 曲线 y = f ( x ) 至少相交一次. 与直线 y = C ( m ≤ C ≤ M ) 至少相交一次 y来自x上页 下页 返回
§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
证明方程 x 5 + x 4 − 2 x = 1 在区间 (1, +∞ )内 例3 至少有一根. 至少有一根. 证 令 f ( x ) = x 5 + x 4 − 2 x − 1, 则f ( x )在[1,2]上连续 ,
又 f (1) = −1 < 0,
初等函数求极限的简便方法 ——代入法 ——代入法
x→x0
lim f ( x) = f (x0 ) (x0 ∈定 区 ) 义 间
1+ x −1 . 例1 求 lim x →0 x ( 1 + x − 1)( 1 + x + 1) 解 原式 = lim x→0 x ( 1 + x + 1) 1 = lim x →0 1+ x +1
(a , b )内至少有一点 ξ，使得 f (ξ ) = C (a < ξ < b ).
证 设ϕ ( x ) = f ( x ) − C , 则ϕ ( x )在[a , b]上连续 ,
且ϕ (a ) = f (a ) − C = A − C , ϕ ( b ) = f ( b ) − C= B − C ,
1 = . 2
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
二、闭区间上连续函数的性质
定义1 定义1 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ), 如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值. 通常把最大值记作M，把最小值记作 通常把最大值记作 ，把最小值记作m. 例如
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
则有 f ( x ) ≤ K . ∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
注 性质 中的条件“闭区间”和“连续性”必不 性质2中的条件 闭区间” 中的条件“ 连续性”
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1 例 2 函数 y = 在区间 (0,1]上可取得最 x 1 = 1，但却没有最大值，这是 但却没有最大值， 小值 m = x x =1 1 因为 lim+ = +∞ ． 同时该函数在区间 (0,1]上 x →0 x
y
ξ是方程 f ( x ) = 0的根, 因此，也可把这个性质 因此，
称作根的存在定理． 称作根的存在定理． 根的存在定理 几何意义： 几何意义：如右图 连续曲线弧的端点在x轴两侧 连续曲线弧的端点在 轴两侧 则一定会经过x轴至少一次 轴至少一次. 则一定会经过 轴至少一次
a
O
y = f (x)
ξ
b
∃ ξ ∈ (a , b ), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0,
即 f (ξ ) = ξ .
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
介值定理) 性质 4( 介值定理
设函数 f ( x )在闭区间 [a , b]
上连续， 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a ) = A 及 f (b ) = B , 那么， 之间的任意一个数C， 那么，对于A 与 B 之间的任意一个数 ，在开区间
这两点不满足上述定理不一定成立． 这两点不满足上述定理不一定成立．
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§1.7 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
思考练习
下述命题是否正确？ 下述命题是否正确？
上有定义， 如果 f ( x ) 在[a , b]上有定义，在 ( a , b ) 内连续， 内连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 ，那么 f ( x ) 在
M C
a
B A ξ1
ξ2 b x
m
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§1.6 函数的连续性与连续函数的运算
内容小结
1. 初等函数的连续性 求极限的另一种方法 2. 闭区间上连续函数的性质 最大最小值定理;有界性定理 最大最小值定理 有界性定理; 有界性定理 零点存在定理（根的存在性定理）；介值定理 零点存在定理（根的存在性定理）；介值定理. ）；介值定理 注意条件 1．闭区间； 2．连续函数． ．闭区间； ．连续函数．