高一数学上学期期中试题82
四川省2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
高2023级高一上期期中考试数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是（）A.0x ∀≤，210x x ++>B.0x ∃>，210x x ++≤C.0x ∃≤，210x x ++>D.0x ∀>，210x x ++≤【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是“0x ∃>，210x x ++≤”．故选：B ．2.已知集合{}1,2,3A =，{},B a b a A b A =-∈∈，则集合B 中元素个数为（）A.5B.6C.8D.9【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件分析a ，b 取值即可判断作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{},B a b a A b A =-∈∈，则当a b =时，有0a b -=，当a b >时，1a b -=或2a b -=，当a b <时，1a b -=-或2a b -=-，所以{2,1,0,1,2}B =--，集合B 有中5个元素.故选：A3.已知集合{{},2,1,0,1,2A xy B ===--∣，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1-- C.{}1,2 D.{}2,1,0--【答案】B【解析】【分析】求出集合A ，计算与集合B 的交集即可.【详解】由题意可得{}{}101A xx x x =-≥=≤∣∣，则{}2,1,0,1A B ⋂=--.故选：B.4.已知集合{}{}|21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ==+∈==-∈，则（）A.A B ⊆ B.B A⊆ C.A B= D.AB【答案】C 【解析】【分析】由{}{}|21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ==+∈==-∈，知集合A 与集合B 都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合{}|21,Z A x x k k ==+∈，集合{}|21,Z B x x k k ==-∈，所以集合A 与集合B 都是奇数集，所以A B =，故选：C.5.13x -<<成立的必要不充分条件可以是（）A.24-<<xB.12x -<< C.02x << D.04x <<【答案】A 【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义判断求解.【详解】因为{}|13x x -<<是{}|24x x -<<的真子集，所以24-<<x 是13x -<<成立的一个必要不充分条件，A 正确；因为{}|12x x -<<是{}|13x x -<<的真子集，所以12x -<<是13x -<<成立的一个充分不必要条件，B 错误；因为{}|02x x <<是{}|13x x -<<的真子集，所以02x <<是13x -<<成立的一个充分不必要条件，C 错误；因为{}|04x x <<与{}|13x x -<<不存在包含关系，所以04x <<是13x -<<成立的既不充分也不必要条件，D 错误；故选：A.6.已知01x <<，则1441x x+-的最小值为（）A.252B.254C.9D.12【答案】B 【解析】【分析】将代数式1441x x +-与()1x x +-相乘，展开后利用基本不等式可求出1441x x+-的最小值.【详解】因为01x <<，则011x <-<，所以，()1117141414144144x x x x x x x x x x -⎛⎫+=+-+=++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭172544≥+，当且仅当144101xx x x x -⎧=⎪-⎨⎪<<⎩时，即当15x =时，等号成立，故1441x x +-的最小值为254.故选：B.7.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集是（）A.()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意知12,2--是20ax bx c ++=的两根，得到5,2b a c a ==，代入到20cx bx a -+>中解不等式即可.【详解】解：由不等式20ax bx c ++<的解是<2x -或12x >-，12,2--是20ax bx c ++=的两根，则a<0，且()112,2122b c a a ⎛⎫-=--=-⨯-= ⎪⎝⎭，即5,2b ac a ==，∴不等式20cx bx a -+>可化为：2502ax ax a -+>，即25102x x -+<，化简得()()2120x x --<，解得122x <<，故选：C.【点睛】考查一元二次不等式的解集与相应方程的根之间的关系以及解法，基础题.8.已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()20f =，则满足()0xf x ≥的x 取值范围是（）A.(][),22,-∞-+∞U B.[]22-,C.[)(]2,00,2-U D.[][)2,02,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性直接求解.【详解】∵定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()20f =，(2)0f ∴-=，且在[0,)+∞上单调递增，()0xf x ∴≥，可得0()0x f x >⎧⎨≥⎩或0()0x f x <⎧⎨≤⎩或0x =，即2x ≥或20x -≤<或0x =，即[][)2,02,x ∈-⋃+∞.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数中是同一个函数的是（）A.()f x =与()g x = B.()f x x =与()g x =C.()2f x x =与()g x = D.()221f x x x =--与()221g t t t =--【答案】CD【解析】【分析】利用函数相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，对于函数()f x =，则320x -≥，可得0x ≤，对于函数()g x =20x -≥，可得0x ≤，所以，函数()f x 、()g x 的定义域均为(]0-∞，，()f x ==-A 选项中的两个函数不相等；对于B 选项，函数()f x x =与()g x =R ，但(),0,0x x g x x x x ≥⎧===⎨-<⎩，两个函数的对应关系不相同，所以，B 选项中的两个函数不相等；对于C 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，()()2g x x f x ===，C 选项中的两个函数相等；对于D 选项，函数()221f x x x =--与()221g t t t =--的定义域均为R ，且这两个函数的对应关系也相同，D 选项中的两个函数相等.故选：CD.10.关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是（）A.()f x 的定义域为[)(]1,00,1-B.()f x 的值域为()1,1-C.()f x 在定义域上是增函数D.()f x 的图象关于原点对称【答案】ABD 【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得()f x 的定义域，可判断A ；化简()f x ，讨论01x <≤，10x -≤<，分别求得()f x 的范围，求并集可得()f x 的值域，可判断B ；由()()110f f -==，可判断C ；由奇偶性的定义可判断()f x 为奇函数，可判断D ；【详解】对于A ，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得11x -≤≤且0x ≠，可得函数()11f x x =--的定义域为[)(]1,00,1- ，故A 正确；对于B ，由A 可得()f x x =-，即()f x =当01x <≤可得()(]1,0f x =-，当10x -≤<可得()[)0,1f x =，可得函数的值域为()1,1-，故B 正确；对于C ，由()()110f f -==，则()f x 在定义域上不是增函数，故C 错误；对于D ，由()f x =的定义域为[)(]1,00,1- ，关于原点对称，()()f x f x -==-，则()f x 为奇函数，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.11.已知二次函数2y ax bx c =++，且不等式2y x >-的解集为()1,3，则（）A.a<0B.方程20ax bx c ++=的两个根是1，3C.42b a =-- D.若方程60y a +=有两个相等的根，则实数15a =-【答案】ACD 【解析】【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系得1，3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，进而得a<0，42b a =--，3c a =，再根据于x 的方程60y a +=有两相等的根即可得15a =-.，进而得答案.【详解】解：由于不等式2y x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则a<0．由题意可知，1，3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由根与系数的关系得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，所以42b a =--，3c a =，所以()2423y ax a x a =-++．由题意知，关于x 的方程60y a +=有两相等的根，即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()224236aa ∆=-+-⎡⎤⎣⎦()()102220a a =+-=，因为a<0，解得15a =-．故选：ACD ．【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查运算能力，是中档题12.设正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，则（）A.xy 的最大值是14B.21x y+的最小值为9C.4x 2＋y 2最小值为12D.+最大值为2【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式求xy 的最大值可判断A ；将()21212x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开，再利用基本不等式求最值可判断B ；由()222424x y x y xy +=+-结合xy 的最大值可判断C；由22x y +=++结合xy的最大值可求出2的最大值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A，21x y +=≥Q ，18xy ∴≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩即14x =，12y =时等号成立，故A 错误；对于B ，()2121222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当2221y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即13x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，由A 可得18xy ≤，又21x y +=，()222424x y x y xy +=+-11141482xy =-≥-⨯=，当且仅当14x =，12y =时等号成立，故C 正确；对于D ，2212x y +=++≤+=，当且仅当14x =，12y =时等号成立，故D 错误；故选：BC.第II 卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合{}2450A x x x =--=，集合{}210B x x =-=，则A B ⋃=________.【答案】{}1,1,5-【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用并集的定义可求出集合A B ⋃.【详解】因为{}{}24501,5A x x x =--==-，{}{}2101,1B x x =-==-，因此，{}1,1,5A B =- .故答案为：{}1,1,5-.14.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．【答案】172【解析】【分析】画出韦恩图求解即可.【详解】687561(17129)6++-+++204386=-+，172=（人)．故答案为：17215.函数()2224x f x x =+的值域为__________.【答案】[)0,2【解析】【分析】令2224x y x =+，可得出242y x y =--，由20x ≥可得出关于y 的不等式，解出y 的取值范围，即可得出函数()f x 的值域.【详解】令2224x y x =+，可得2242yx y x +=，可得()224x y y -=-，即242y x y =--，由2402y x y =-≥-，可得02yy ≤-，解得02y ≤<，所以，函数()2224x f x x =+的值域为[)0,2.故答案为：[)0,2.16.已知()()()223f x x xxax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =_____.【答案】36-【解析】【分析】分析可得()()2050f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，可得出函数()f x 的解析式，代值计算可得出()3f 的值.【详解】由230x x +=，可得3x =-或0x =，则()()300f f -==，对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以，()()200f f ==，()()530f f =-=，所以，()()()()2104205402550f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩，解得710a b =-⎧⎨=⎩，所以，()()()()()()223710325f x x xxx x x x x =+-+=+--，则()()()()()()()()()22232225253f x x x x x x x x x f x -=--+----=--+=，合乎题意，因此，()()3312636f =⨯⨯-⨯=-.故答案为：36-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-,（1）若4m =，求A B ⋃；（2）若B A B =I ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|27A B x x ⋃=-≤≤;（2）(],3-∞.【解析】【分析】（1）根据并集的定义运算即得；（2）由题可得B A ⊆，分类讨论进而可得不等式即得.【小问1详解】当4m =时，{}|57B x x =≤≤，{}{}|25,|27A x x A B x x =-≤≤∴=-≤≤ ；【小问2详解】,B A B B A =∴⊆ ，当B =∅时，满足题意，此时121m m +-＞，解得2m ＜；当B ≠∅时，21215121m m m m -≤+⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤≤，∴实数m 的取值范围为(],3-∞.18.（1）对任意R x ∈，关于x 的不等式23x ax a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）存在1x <，关于x 的不等式23x ax a ++≤有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}62a a -≤≤（2）{}2a a ≥【解析】【分析】(1)根据给定条件借助0∆≤即可求得实数a 的取值范围.(2)根据给定条件分离参数，再利用均值不等式计算即得.【小问1详解】因对任意R x ∈，不等式23x ax a ++≥恒成立，则230x ax a ++-≥对任意R x ∈恒成立，于是得：()2430a a ∆=--≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}62a a -≤≤.【小问2详解】当1x <时，222(1)2(1)443(1)3(1)211x x x ax a a x x a x x x ---+++≤⇔-≥+⇔≥=-+---，因存在1x <，不等式23x ax a ++≤有实数解，则存在1x <，不等式4(1)21a x x ≥-+--成立，当1x <时，10x ->，则4(1)2221x x -+-≥=-，当且仅当411x x -=-，即=1x -时取“=”，于是得2a ≥，所以实数a 的取值范围是{}2a a ≥.19.已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值．【答案】（1）4；（2）92【解析】【分析】(1)由x＋4y－2xy＝0，得412x y+=又x＞0，y＞0，再利用基本不等式求xy 的最小值.(2)由题得x＋y＝12（41x y+）·(x＋y)，再利用基本不等式求x＋y 的最小值．【详解】(1)由x＋4y－2xy＝0，得412x y +=又x＞0，y＞0，则2＝41x y +≥2xy≥4，当且仅当x＝4，y＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为4.(2)由(1)知412x y+=则x＋y＝12（41x y+）·(x＋y)＝1452x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥19522⎛+≥ ⎝当且仅当x＝4且y＝1时等号成立，∴x＋y 的最小值为92.【点睛】（1）本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是常量代换，即把x y +化成x＋y＝12（41x y+）·(x＋y)，再利用基本不等式求函数的最小值.利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20.已知函数()24ax b f x x +=+是定义在()2,2-上的奇函数，且12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在区间()2,2-上单调递增；（3）若()()1120f a f a ++->，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()24xf x x =+（2）证明见解析（3）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()()f x f x -=-求得b ，再由12217f ⎛⎫=⎪⎝⎭求得a ，由此可得()f x 的解析式；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到()()121f a f a +>-，再利用（2）中结论去掉f 即可求解；特别强调，去掉f 时要注意定义域的范围.【小问1详解】由题意可知()()f x f x -=-，2244ax b ax b x x -++∴=-++，即ax b ax b -+=--，0b ∴=，()24ax f x x ∴=+，又12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即212217142a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1a ∴=，()24x f x x ∴=+.【小问2详解】()12,2,2x x ∀∈-，且12x x <，有()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，1222x x -<<<Q ，21120,40x x x x ∴->-<，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递增.【小问3详解】因为()f x 为奇函数，所以由()()1120f a f a ++->，得()()()11221f a f a f a +>--=-，又因为函数()f x 在区间()2,2-上单调递增，所以2122212121a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩，解得3113222a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩，故112a -<<，所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭21.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分.其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.求：（1）每套丛书的售价定为100元时，书商所获得的总利润．（2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大.【答案】（1）340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答.（2）求出售价x 的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答.【小问1详解】每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(-⨯=万套)，于是得每套丛书的供货价格为103032(5+=元)，所以书商所获得的总利润为()510032340(⨯-=万元)．【小问2详解】每套丛书售价定为x 元，由150.100x x ->⎧⎨>⎩得0150x <<，设单套丛书的利润为P 元，则10100100(30)30[(150)]120150.1150150P x x x x x x=-+=--=--++---，120100≤-=，当且仅当100150150x x -=-，即140x =时等号成立，即当140x =时，max 100P =，所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．22.已知函数.(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设F(x)的最大值的表达式g(m)．【答案】，2]；（2）g(m)＝12,211,22222m mm mmm⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪≤-.【解析】【分析】(1)由1010xx+≥⎧⎨-≥⎩解不等式可得函数的定义域，先求得()22f x=+⎡⎤⎣⎦，结合01≤≤，可得()224f x≤≤⎡⎤⎣⎦，结合()0f x≥即可得到函数()f x的值域；(2)令()f x t=，可得()21,22F x mt t m t⎤=+-∈⎦，根据二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想即可得到结论.【详解】(1)要使函数f(x)有意义，需满足1010xx+≥⎧⎨-≥⎩得－1≤x≤1.故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．∵[f(x)]2，且∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，即函数，2]．(2)令f(x)＝t，则t2t2－1，故F(x)＝m(12t2－1)＋t＝12mt2，2]，令h(t)＝12mt2＋t－m，则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－1m.①当m>0时，－1m<0，函数，2]上递增，∴g(m)＝h(2)＝m＋2.②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；③当m<0时，－1m>0，若0<－1m，即m≤－2时，函数，1m≤2，即－2<m≤－时，g(m)＝h(－1m)＝－m－12m；若－1m>2，即－12<m<0时，函数，2]上递增，∴g(m)＝h(2)＝m＋2.综上，g(m)＝12,211,2222m mm mmm⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪⎪≤-⎪⎩【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211(t t t =+)-2⋅3m ⋅(t +211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.若，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3.命题：“”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是单调递减的是( )A. B. C. D.5.已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致形状是( )A. B.C. D.7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙墙长，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口不需材料，共用该种环保材料12m，则可围成该活动区的最大面积为( )A. B. C. D.8.若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则( )A. B. 若，则或C. 函数在上单调递减D. 函数在上的值域为10.下列叙述中正确的是( )A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B. “”是“关于x的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件C. 命题“”的否定是：“”D. 函数的定义域A为R的子集，值域，则满足条件的有3个11.关于函数的相关性质，下列正确的是( )A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上单调递减D. 函数的最小值为0，无最大值12.已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是( )A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件B. 若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数D. 若函数且在区间上为有界函数，且一个上界为2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上学期高一年级数学期中考试题
上学期高一年级数学期中考试题多做题才更有可能快速的提高成绩哦，小编今天就给大家来分享一下高一数学，欢迎大家一起来学习看看吧高一年级数学期中上册试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，则等于( )A. B. C. D.2.函数的值域为( )A. B. C. D.3.已知点在幂函数的图象上，则 ( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.在下列个区间中，存在着函数的零点的区间是( )A. B. C. D.5.设函数，，则的值为( )A. B.3 C. D.46.下列各式中，不成立的是( )A. B. C. D.7.函数的图象关于( )A. 轴对称B.坐标原点对称C.直线对称D.直线对称8.已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知，则的解析式为( )A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且10.已知函数，且在区间上单调递减，则的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(共60分)二、填空题(每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)11.计算 .12.已知，若，则 .13.若关于的方程的两个实数根分别为，且满足，则实数的取值范围是 .14.函数的单调递增区间是 .15.若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是 .三、解答题(本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.已知函数 .(1)求函数的定义域;(2)求及的值.17.已知函数 .(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论;(2)求函数在区间上的最大值与最小值.18.设 .(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间.19.已知函数 .(1)若是定义在上的偶函数，求实数的值;(2)在(1)的条件下，若，求函数的零点.20.已知函数 .(1)若，求函数的解析式;(2)若在区间上是减函数，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围;(3)若在区间上有零点，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BDACA 6-10：DBBCD二、填空题11. 12.3 13. 14. 15.三、解答题16.(1)解：依题意，，且，故，且，即函数的定义域为 . (2) ，.17.(1)解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，.∵ ，∴ ，即 .∴函数在区间上是增函数.(2)由(1)知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为 .18、解：对于函数，其定义域为∵对定义域内的每一个，都有，∴函数为奇函数.(2)设是区间上的任意两个实数，且，则.由得，而，于是，即 .所以函数是上的减函数.19、(1)解：∵ 是定义在上的偶函数. ∴ ，即故 .(2)依题意.则由，得，令，则解得 .即 .∴函数有两个零点，分别为和 .20、(1)解：依题意，解得或 (舍去)，∴ .(2)解：由在区间上是减函数，得，∴当时，.∵对于任意的，恒成立，∴ ，即，解得 .∴实数的取值范围是 .(3)解：∵ 在区间上有零点，∴关于的方程在上有解.由，得，令，∵ 在上是减函数，在上是增函数，∴ ，即∴求实数的取值范围是 .表达高一数学上期中联考试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设全集为U={n|n∈N*且n<9}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则等于( ).(A) (B){2，4，7，8}(C){1，3，5，6} (D){2，4，6，8}(2)函数y=lnx–6+2x的零点一定位于区间( ).(A)(1，2) (B)(2，3)(C)(3，4) (D)(5，6)(3)下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是( ).(A) (B)(C) (D)(4)下列四组函数中，表示同一函数的是( ).(A)y=x–1与y= (B)y= 与y=(C)y=4lgx与y=2lgx2 (D)y=lgx–2与y=lg(5)幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)=16，则实数m的所有可能的值为( ).(A)4或(B)±2(C)4或 (D) 或2(6)三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为( ).(A)log3π<0.993.3(C)log20.8<0.993.3(7)已知函数f(x)=|log2x|，正实数m，n满足m(A) ，2 (B) ，4(C) ， (D) ，4(8)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ).(A)[ ，1] (B)[ ，+∞)(C)[0，1] (D)[1，+∞)(9)设集合A= ，B= ，函数f(x)= 若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是( ).(A) (B)(C) (D)(10)定义在R上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上递减，且，则满足的x的取值范围是( ).(A)(0，)∪(2，+∞) (B)( ，1)∪(1，2)(C)(-∞，)∪(2，+∞) (D)( ，1)∪(2，+∞)第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡上)(11)若2a=5b=10，则 + =_______.(12)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)= 的定义域是_______.(13)已知a，b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a–b=_______.(14)已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立，则实数a的取值范围为______________.(15)已知函数其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b 有三个不同的根，则m的取值范围是________.三、解答题：(本大题共5个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(16)(本小题满分8分)计算：(Ⅰ) ;(Ⅱ) .(17)(本小题满分12分)已知全集U=R，集合A={x|–7≤2x–1≤7}，B={x|m–1≤x≤3m–2}.(Ⅰ)当m=3时，求A∩B与 ;(Ⅱ)若A∩B=B，求实数m的取值范围.(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， .(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求关于m的不等式f(1–m)+ f(1–m2)<0的解集.(19)(本小题满分14分)已知定义域为R的函数是奇函数.(Ⅰ)求a，b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2+bx+c，且，3a>2c>2b.(Ⅰ)求证：a>0且-3< < ;(Ⅱ)求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点;(Ⅲ)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1–x2|的范围.高一数学试卷参考答案一、选择题：题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)答案 B B D D C C A B D A二、填空题：(11)1; (12)( ，1); (13)2; (14)(-∞， ] (15)(3，+∞).三、解答题：(其他正确解法请比照给分)(16)解：(Ⅰ)原式= –1–+16=16. …………4分(Ⅱ)原式= +2+2= . …………8分(17)解：易得：A={x|–3≤x≤4}，…………2分(Ⅰ)当m=3时，B={x|2≤x≤7}， ={x|x<2或x>7}. …………4分故A∩B=[2，4]; …………5分A∪( )=(–∞，4]∪(7，+∞). …………6分(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，…………7分当B=∅时，m–1>3m–2，∴m< ，…………9分当B≠∅时，即m≥ 时，m–1≥–3，且3m–2≤4，∴–2≤m≤2，∴ ≤m≤2，…………11分综上所述，m≤2. …………12分(18)解：(Ⅰ)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(–x)= –f(x)，…………1分∴当x=0时，f(x)=0; …………2分当x<0时，–x>0，f(x)= –f(–x)=(–x)(1–x)=x(x–1). …………4分∴f(x)= …………5分(Ⅱ)∵函数f(x)为奇函数，∴f(1–m)+f(1–m2)<0⇔f(1–m2)<–f(1–m)=f(m–1)，…………8分易知f(x)在R单调递减，…………9分∴1–m2>m–1，解得–2(19)解：(I)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即-1+b2+a=0，解得b=1. …………3分∴f(x)=-2x+12x+1+a.又∵f(1)=-f(-1)，∴-2+14+a=--12+11+a，解得a=2. …………6分(II)由(I)知f(x)= =-12+12x+1，…………7分由上式易知f(x)在R上为减函数，…………9分又∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0⇔ f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).∵f(x)是R上的减函数，由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而Δ=4+12k<0，解得k<-13. …………14分(20)解：(Ⅰ)由得3a+2b+2c=0，…………1分又3a>2c>2b，则a>0，b<0. …………2分又2c= –3a–2b，则3a>–3a–2b>2b，得–3< <–. …………4分(Ⅱ)由于f(0)=c，f(2)=a–c，f(1)= – <0，①当c>0时，f(0)=c>0，f(1)= –<0，在区间(0，1)内至少有一个零点;…………6分②当c≤0时，f(2)=a–c>0，f(1)= –<0，在区间(1，2)内至少有一个零点，…………7分因此在区间(0，2)内至少有一个零点. …………8分(Ⅲ)由条件知x1+x2= –，x1x2= ––. …………9分所以|x1–x2|= = ，…………11分而–3< <–，则|x1–x2|∈[ ，) . …………14分关于高一数学上学期期中试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集I={x|-3则A∪∁IB等于( )A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}解析：∵x∈Z，∴I={-2，-1,0,1,2}∴∁IB={0,1}∴A∪∁IB={0,1,2}.答案：D2.函数y=1x+log2(x+3)的定义域是( )A.RB.(-3，+∞)C.(-∞，-3)D.(-3,0)∪(0，+∞)解析：函数定义域x≠0x+3>0∴-30.答案：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是( )A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|解析：偶函数的有C、D两项，当x>0时，y=lg |x|单调递增，故选C.答案：C4.设x0是方程ln x+x=4的解，则x0属于区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：设f(x)=ln x+x-4，则有f(1)=ln 1+1-4=-3<0.f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<1-2=-1<0，f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>1-1=0.∴x0∈(2,3).答案：C5.3log34-27 -lg 0.01+ln e3=( )A.14B.0C.1D.6解析：原式=4-3272-lg 0.01+3=7-3(32)3-lg 10-2=9-9=0.答案：B6.若y=log3x的反函数是y=g(x)，则g(-1)=( )A.3B.-3C.13D.-13解析：由题设可知g(x)=3x，∴g(-1)=3-1=13.答案：C7.若实数x，y满足|x|-ln1y=0，则y关于x的函数的图象大致是( )解析：由|x|=ln1y，则y=1ex，x≥0ex，x<0.答案：B8.已知f(x)=log x，g(x)=2x-1，则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.0B.1C.2D.不确定解析：在同一坐标系中作函数f(x)，g(x)的图象(图略)，从而判断两函数交点个数.答案：B9.函数f(x)=-1(x-1)3的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：函数的定义域为{x|x≠1}，当x>1时f(x)<0，当x<1时f(x)>0，所以函数没有零点，故选A.答案：A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100解析：代入验证即可.答案：B11.若f(x)=ax3+ax+2(a≠0)在[-6,6]上满足f(-6)>1，f(6)<1，则方程f(x)=1在[-6,6]内的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：设g(x)=f(x)-1，则由f(-6)>1，f(6)<1得[f(-6)-1][f(6)-1]<0，即g(-6)g(6)<0.因此g(x)=f(x)-1在(-6,6)有一个零点.由于g(x)=ax3+ax+1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增;当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点.因此方程f(x)=1仅有一个根.故选A.答案：A12.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A.45.666万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15-x)辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15)∴当x=10时，S有最大值45.6万元.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)=________.解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴f(-2)=f(2)=22-3=1.答案：114.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围为________.解析：集合A有为∅和A中只有一个元素两种情况，a=0时，A={23}满足题意，a≠0时，则由Δ=9-8a≤0得a≥98.答案：a≥98或a=015.用二分法求方程ln x=1x在[1,2]上的近似解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为________.解析：令f(x)=ln x-1x，则f(1)=-1<0，f(2)=ln 2-12=ln 2-ln e12>0，f(1.5)=f(32)=ln32-23=ln32-ln e23e23=3e2>32，∴ln e23>ln32，即f(1.5)<0.∴下一个有根区间为(1.5,2).答案：(1.5,2)16. 给出下列四个命题：①a>0且a≠1时函数y=logaax与函数y=alogax表示同一个函数.②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点.③函数y=3(x-1)2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到.④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)定义域为[0,4].其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)解析：①两函数定义域不同，y=logaax定义域为R，y=alogax 定义域(0，+∞).②如果函数在x=0处没有定义，图象就不过原点，如y=1x.③正确.④f(x)定义域[0,2]∴f(2x)定义域0≤2x≤2即0≤x≤1，∴f(2x)定义域为[0,1].答案：③三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知A={x|x2+2x-8=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2-ax+a2-19=0}.若A∩C=∅，B∩C≠∅，求a的值.解析：A={2，-4}，B={2,3}，由A∩C=∅知2∉C，-4∉C，又由B∩C≠∅知3∈C，∴32-3a+a2-19=0解得a=-2或a=5，当a=-2时，C={3，-5}，满足A∩C=∅，当a=5时，C={3,2}，A∩C={2}≠∅，(舍去)，∴a=-2.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数，a≠0，x∈R)(1)当函数f(x)的图象过点(-1,0)，且方程f(x)=0有且只有一个根，求f(x)的表达式.(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围.解析：(1)因为f(-1)=0，所以a-b+1=0因为方程f(x)=0有且只有一个根，∴Δ=b2-4a=0，∴b2-4(b-1)=0，即b=2，a=1，∴f(x)=(x+1)2.(2)∵g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=(x-k-22)2+1-(k-2)24∴当k-22≥2或k-22≤-2时即k≥6或k≤-2时，g(x)是单调函数.19.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，+∞)，都有f(xy)=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)+f1x≤2.解析：(1)∵f(x)是(0，+∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，+∞)，都有f xy=f(x)-f(y)，∴f(1)=f(11)=f(1)-f(1)=0.(2)若f(6)=1，则f(x+3)+f 1x≤2=1+1=f(6)+f(6)，∴f(x+3)-f(6)≤f (6)-f 1x，即f x+36≤f(6x)，∴0解得x≥335.∴原不等式的解集为{x|x≥335}.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求实数m，n的值;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数;(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即m(-x)+n1+(-x)2=-mx+n1+x2.∴n=0.又∵f12=12m1+122=25，∴m=1.(2)由(1)得，f(x)=x1+x2.设-1则f(x1)-f(x2)=x11+x21-x21+x22=x1(1+x22)-x2(1+x21)(1+x21)(1+x22)=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22).∵-1∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+x21>0,1+x22>0，∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x)在(-1,1)上为增函数.(3)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，由f(t-1)+f(t)<0，得f(t)<-f(t-1)=f(1-t).又∵f(x)在(-1,1)上为增函数，∴-1解得021.(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式;(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗痢疾有效.假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳?解析：(1)依题意，得y=6t，0≤t≤1，-23t+203，1(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，则-23t1+203=4.解得t1=4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即-23t2+203-23(t2-4)+203=4.解得t2=9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即-23(t3-4)+203-23(t3-9)+203=4.解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20：30.22.(本小题满分13分)已知函数f(x)定义域为[-1,1]，若对于任意的x，y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0，(1)证明： f(x)为奇函数;(2)证明：f(x)在[-1,1]上是增加的.(3)设f(1)=1，若f(x)解析：(1)令x=y=0，∴f(0)=0令y=-x，f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，令-1≤x1则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0，∴f(x)在[-1,1]上是增加的.(3)f(x)在[-1,1]上是增加的，f(x)max=f(1)=1，使f(x)1，即m-2am+1>0，令g(a)=m-2am+1=-2am+m+1，要使g(a)>0时，a∈[-1,1]恒成立，则g(-1)>0，g(1)>0，即1+3m>0，1-m>0，∴-13∴实数m的取值范围是(-13，1).。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 23．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．35．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M6．已知a =312，b =log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B ．C．D．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（）A．f（0）＝0B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a t．关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（）A．92B．98C．0D．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润．15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为．16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．（1）求f（0），f（1）；（2）若对于任意x∈[12，3]都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝2x−12x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式￢p 为（ ） A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2解：命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是特称命题； ∴￢p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”． 故选：D ．3．已知p ：|m +1|＜1，q ：幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：p ：|m +1|＜1等价于﹣2＜m ＜0，∵幂函数y ＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴m 2﹣m ﹣1＝1，且m ＜0， 解得m ＝﹣1，∴p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．4．已知幂函数f （x ）＝x 2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．3解：∵幂函数f （x ）＝x 2m ﹣1的图象经过点（2，8），∴22m ﹣1＝8，∴m ＝2， 故选：C ．5．设集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n +1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ⫋NB ．N ⫋MC ．M ∈ND ．N ∈M解：①当n ＝2m ，m ∈Z 时，x ＝4m +1，m ∈Z ， ②当n ＝2m +1，m ∈Z 时，x ＝4m +3，m ∈Z ， 综合①②得：集合N ＝{x |x ＝4m +1或x ＝4m +3，m ∈Z }， 又集合M ＝{x |x ＝4n +1，n ∈Z }， 即M ⫋N ， 故选：A ． 6．已知a =312，b=log 2√3，c ＝log 92，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a解；∵a =312∈（1，2），b=log 2√3＞log 2√2=12，∵log 2√3＜log 22=1， ∴12＜b ＜1，c ＝log 92＜log 93=12， 则a ＞b ＞c ， 故选：A ． 7．函数y =4xx 2+1的图象大致为（ ） A ．B．C．D．解：函数y=4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）=4xx2+1，则f（﹣x）=−4xx2+1=−f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．故恒成立的个数是2．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（）A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是RC．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅解：在A 项中，依题意可得a ＝0，且3b +3＝0，解得b ＝﹣1，此时不等式为﹣x +3＞0，解得x ＜3，故A 项错误；在B 项中，取a ＝1，b ＝2，可得x 2+2x +3＝（x +1）2+2＞0，解集为R ，故B 项正确； 在C 项中，依题意可得a ＜0，且{−1+3=−ba −1×3=3a ，解得{a =−1b =2，符合题意，故C 项正确．在D 选中，当x ＝0时，ax 2+bx +3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D 选错误； 故选：BC ．10．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，下列命题中正确的有（ ） A ．f （0）＝0B ．若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1C ．若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为减函数D ．若x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），当x ＝0时，有f （0）＝﹣f （0），变形可得f （0）＝0，A 正确，对于B ，若f （x ）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x ≥0时，f （x ）≥﹣1，则有﹣x ≤0，f （﹣x ）＝﹣f （x ）≤1，即f （x ）在（﹣∞，0]上有最大值1，B 正确，对于C ，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C 错误，对于D ，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2+2x ）＝﹣x 2﹣2x ，D 正确， 故选：ABD ．11．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系为y ＝a t ．关于下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过80m 2D ．若浮萍蔓延到2m 2，4m 2，8m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 2＝t 1+t 3 解：图象可知，函数过点（1，3）， ∴a ＝3，∴函数解析式为y ＝3t ， ∴浮萍每月的增长率为：3t+1−3t3t=2×3t 3t=2，故选项A 正确，∵函数y ＝3t 是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B 错误， 当t ＝4时，y ＝34＝81＞80，故选项C 错误，对于D 选项，∵3t 1=2，3t 2=4，3t 3=8，∴t 1＝log 32，t 2＝log 34，t 3＝log 38， 又∵2log 34＝log 316＝log 32+log 38，∴2t 2＝t 1+t 3，故选项D 正确， 故选：AD ．12．若集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1解：∵A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0}中只有一个元素，∴若a ＝0，方程等价为﹣3x +2＝0，解得x =23，满足条件． 若a ≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a ＝0，解得a =98．故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数f （3﹣2x ）的定义域为 [12，52] ． 解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]， ∴由﹣2≤3﹣2x ≤2，解得12≤x ≤52．∴函数f （3﹣2x ）的定义域为[12，52]．故答案为：[12，52]．14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为 11.5 元/桶时能获得最大利润． 解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为（6+x ）元，公司日利润为y 元，则y ＝（6+x ﹣5）（480﹣40x ）﹣200＝﹣40x 2+440x +280＝﹣40(x −112)2+1490， 所以当x ＝5.5时，y 取得最大值，所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大． 故答案为：11.5．15．不等式0.1x ﹣ln （x ﹣1）＞0.01的解集为 （1，2） ． 解：设函数f （x ）＝0.1x ﹣ln （x ﹣1）， ∵y ＝0.1x 和y ＝﹣ln （x ﹣1）均为减函数， ∴函数f （x ）为减函数，∵f （2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞）， ∴原不等式等价于f （x ）＞f （2）， ∴1＜x ＜2，∴不等式的解集为（1，2）． 故答案为：（1，2）．16．对于函数f （x ），若在定义域存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f （x ）＝4x ﹣m •2x ﹣3是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有解； 即4﹣x ﹣m •2﹣x ﹣3＝﹣（4x ﹣m •2x ﹣3）有解；变形可得4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）﹣6＝0，即（2x +2﹣x ）2﹣m （2x +2﹣x ）﹣8＝0有解即可；设2x +2﹣x ＝t （t ≥2），则方程等价为t 2﹣mt ﹣8＝0在t ≥2时有解；设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣8＝0，必有g （2）＝4﹣2m ﹣8＝﹣2m ﹣4≤0， 解可得：m ≥﹣2，即m 的取值范围为[﹣2，+∞）； 故答案为：[﹣2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）（1）已知a ≤2，化简：√(a−2)2+√(a +3)33+(14)−12；（2）求值：3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927． 解：（1）∵a ≤2， ∴√(a −2)2+√(a +3)33+(14)−12， ＝2﹣a +a +3+2＝7；（2）3−log 32+log 610⋅(lg2+lg3)+log 927， =12+log 610⋅lg6+32， =12+1+32=3．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：（1）∵集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |2＜x ＜8}∴A ∪B ＝{x |1≤x ＜8}，（∁U A ）＝{x |x ＜1或x ≥5}，（∁U A ）∩B ＝{x |5≤x ＜8}（2）∵“x ∈C ”为“x ∈A ”的充分不必要条件，C ＝{x |a ＜x ≤a +3}∴C ⫋A ，∴{a +3＜5a ≥1，解得1≤a ＜2，故a的取值范围是[1，2）．19．（12分）已知函数f(x)=x2−2x+ax．（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．解：（1）当a＝4时，f（x）=x−2x+4x=x+4x−2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x−2≥2√x×4x−2＝2，当且仅当x=4x即x＝2时等号成立，所以f（x）的最小值为2．（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，所以a＞1．（3）f（x）＝x+ax−2，设0＜x1＜x2＜√a，f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ax1−a x2=（x1﹣x2）（1−ax1x2）=(x1−x2)(x1x2−a)x1x2，∵0＜x1＜x2＜√a，∴x1x2＜a，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，√a）单调递减，同理可证f（x）在（√a，+∞）单调递增，当0＜a≤4时，0＜√a≤2，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（2）=a 2，当a＞4时，√a＞2，函数f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a−2．所以f（x）min={a2(0＜a＜4)2√a−2(a＞4)．20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%． 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（Ⅱ）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种． ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元； ②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x ．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？ 解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x 2+3200x+40，x ∈[70，100]，而x2+3200x +40≥2√x 2⋅3200x+40=2×40+40＝120，当且仅当x2=3200x，即x ＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．因为80＜100，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y 1，y 1=100x −(12x 2+40x +3200)+2300=−12x 2+60x −900=−12(x −60)2+900， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝70吨时，企业获得最大利润，为850元． 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y 2，y 2=130x −(12x 2+40x +3200)=−12x 2+90x −3200=−12(x −90)2+850， 因为x ∈[70，100]，所以当x ＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润， 由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．21．（12分）定义在R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）（x ，y ∈R ）． （1）求f （0），f （1）；（2）若对于任意x ∈[12，3]都有f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为R 上的奇函数f （x ）是单调函数，满足f （3）＝6，且f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）．令x ＝y ＝0可得f （0）＝2f （0）， 所以f （0）＝0，令x ＝1，y ＝1，可得f （2）＝2f （1），令x ＝2，y ＝1可得f （3）＝f （1）+f （2）＝3f （1）＝6， 所以f （1）＝2；（2）∵f （x ）是奇函数，且f （kx 2）+f （2x ﹣1）＜0在x ∈[12，3]上恒成立， ∴f （kx 2）＜f （1﹣2x ）在x ∈[12，3]上恒成立，且f （0）＝0＜f （1）＝2； ∴f （x ）在R 上是增函数，∴kx 2＜1﹣2x 在x ∈[12，3]上恒成立， ∴k ＜(1x )2−2(1x )在x ∈[12，3]上恒成立， 令g(x)=(1x )2−2(1x )=(1x −1)2−1． 由于12≤x ≤3，∴13≤1x≤2．∴g （x ）min ＝g （1）＝﹣1，∴k ＜﹣1，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2x −12x ，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；解：（1）f（x）＞0⇔2x−12x＞0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x−12x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[32，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，依题意可得A∩B≠∅，∴b+4≥32，即b≥−32．∴实数b的取值范围为[−32，+∞）．。
2013-2014学年高一数学上学期期中考试试题及答案(新人教A版 第82套)
惠州市江南学校2013-2014学年第一学期期中考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-21题，共100分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卷上。
2、 选择题和填空题都在答题卷上作答，不能答在试题卷上。
3、 要求书写工整，字迹清楚。
第Ⅰ卷（本卷共50分） 一．选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分，请将正确答案填涂在答题卡上） 1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A∩(C U B)等于（ ） A ．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3} 2. 函数 ()lg(31)f x x =- 的定义域为（ ）A ．RB ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3+∞ 3．下列函数是偶函数的是： （ ）A ．x y =B ．21x y = C ．322-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y4．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则： （ ）A ．a b c <<B .c b a <<C ．c a b <<D .b a c <<5．若奇函数．．．()x f 在[]3,1上为增函数．．．，且有最小值7，则它在[]1,3--上: （ ） A . 是减函数，有最小值-7 B . 是增函数，有最小值-7 C . 是减函数，有最大值-7 D . 是增函数，有最大值-76. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f7.已知集合A= {}1,2,3，B= {}2,4. 定义集合A ，B 之间的运算A*B= {}x x A x B ∈∉，且，则集合A*B 等于（ ） A.{}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}28．函数||2x y =的大致图象是 （ ）9(01)b a a =>≠且，则 （ ）A ．2log 1a b =B ．1log 2ab = C ．12log a b = D ．12log b a = 10.下列说法中，正确的是 （ ）A ．对任意x ∈R ，都有3x ＞2x； B ．y =(3)－x是R 上的增函数；C ．若x ∈R 且0x ≠，则222log 2log x x =；D ．在同一坐标系中，y =2x与2log y x =的图象关于直线y x =对称.第Ⅱ卷（本卷共100分）二、填空题（共5道小题，每道题5分，共25分。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
湖北省四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .{}0,2,3,5,7∅{}02210xx -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x=3y x =2y x =3y x=-22acbc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m+<+a b >11a b<a b >x y >ax by>22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥(,3-∞(],6-∞(,3-∞+(],7-∞8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A .B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析)
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题（本大题共8个小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知集合，则A ： B. C. D.2.命题“”的否定为A. B.C. D.3.若幂函数的大致图象如图所示，则A.B.C.2D.14.下列各组函数表示同一函数的是A. B.C. D.5.已知函数，且，则A.2B.7C.25D.446.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为，那么原不等式的解集为A. B.C. D.7.已知，则的取值范围为{22},{1}A x x B x x =-<=-∣∣……A B ⋂={2}xx -∣…{12}x x -<<∣{12}x x -<∣…{22}xx -<∣ (2),210x x x ∀∈++>R 2,210x x x ∃∈++R (2),210x x x ∀∉++R …2,210x x x ∃∉++>R 2,210x x x ∀∈++R …()2342m y m m x =-+m =1312()2025,()f x x g x ==()()f x g x ==22()(1),()21f s sg t t t =+=++216()4,()4x f x x g x x -=+=-(31)64f x x +=-()8f m =m =x 20x bx c ++<b {16}x x <<∣c {14}x x <<∣{16}xx -<<∣{61}xx -<<∣{32}xx -<<-∣{23}xx <<∣31,24a b a b --+…………42a b -A. B. C. D.8.函数的值域为A. B. C. D.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下表是某市公共汽车的票价（单位：元）与里程（单位：km ）之间的函数关系，如果某条线路的总里程为20km ，那么下列说法正确的是2345A. B.若，则C.函数的定义域是 D.函数的值域是10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是A.的单调递增区间为B.C.若，则D.若，则11.若，且，则下列说法正确的是A.的最大值是 B.ab 的最小值是8C.的最小值是 D.的最小值是32三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.函数的定义域为______．13.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围为______.14.已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[7,3]-[7,7]-[4,6]-[4,9]-9,()100,9x x f x x x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩…37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[10,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦37,[10,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[20,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦y x x 05x <<510x < (1015)x < (1520)x ……()y f x =(6)3f =()3f x =6x =()f x (0,20]()f x {2,3,4,5}R ()f x ,()x f x ∀∈-=R ()f x 12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦(2)0f -=()f x (,0]-∞(1)(3)f f <-(1)(1)f x f ->(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃0,0a b >>121a b+=a b +3+(1)a b -3+224a b +0()(1)f x x =+-2(3)2(3)40k x k x -+--<x ∈R k [,21]a a -a15.（13分）已知1，b 为方程的两根．（1）求a ，b 的值；（2）求不等式的解集（最终结果用集合的形式表示）.16.（15分）已知集合.（1）当m =1时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）2024年10月29日，小米SU7 Ultra 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为100台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.（1）当产能不超过40台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？18.（17分）已知函数.（1）判断是否有奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明；（3）若方程在上有解，求的取值范围.19.（17分）对于一个集合，如果，且，记为去掉x ，y 后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合．回答下列问题：（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数．2320ax x -+=321axbx +>+(){}2222210,11x A x m x m m B xx -⎧⎫=-+++<=<⎨⎬+⎩⎭()A B ⋂R ðx A ∈x B ∈m x ()S x 22140200,040()36001700,40100x x x S x x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+<⎪⎩ (2)22(),()271x f x g x x mx m x ==-+-+()f x ()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞m A ,x y A ∀∈x y ≠B A x y B +∈||x y B -∈A {2,3}n k 4n …{1,}A tkt n t =∈Z ∣……A A A2024年秋季高一期中联考数学参考答案题号1234567891011答案CAACBDBAACDADBCD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.C 【解析】结合数轴易知正确答案是C.2.A 【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.3.A 【解析】根据幂函数定义可知，，解得或，结合函数图象可知.4.C 【解析】A 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，且对应的函数解析式也不同，故A 错误；B 选项，，故定义域为：，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B 错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C 正确；D 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D 错误；故选：C.5.B 【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为-6，所以，解得.6.D 【解析】甲的常数正确，由韦达定理可知，故，乙的常数正确，故，故．所以原不等式为，即，解集为．7.B 【解析】设，所以解得所以，又，所以，故，故选B.8.A 【解析】根据题意当时，，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得当时，最大值，此时；当时，23421m m -+=13m =1m =13m =()2025f x x =,()||g x x =R [0,)+∞3030x x +⎧⎨-⎩……()f x [3,)+∞290x -…()g x (,3][3,)-∞-⋃+∞R ()f x ,()g x R (,4)(4,)-∞⋃+∞(31)64f x x +=-(31)2(31)6f x x +=+-()f x ()2f x x =()268f m m =-=7m =c 16c ⨯=6c =b 14b +=-5b =-2560x x -+<(2)(3)0x x --<{23}xx <<∣42()()()()a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩42a b -3()()a b a b =-++31,24a b a b --+…………93()3a b --……7427a b --……9x …()f x x =+t =[0,)t ∈+∞29x t =-22137()924f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭12t =()f x x =+374()f x x =+37,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9x >，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此的值域为[20，；综上可得，函数的值域为，故选A.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 【解析】，选项A 正确；若，则，选项B 错误；函数的定义域为（0，20]，选项C 正确；函数的值域是，选项D 正确．10.AD 【解析】由条件①可知该函数为偶函数，由条件②可知该函数在）上单调递减，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A 正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B 错误；由，有，即，选项C 错误；，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D 正确.11.BCD 【解析】选项时取等号，即的最小值是，选项A 错误；选项B，由，可得，当时等号成立，，即的最小值是8，B 选项正确；选项C ，法，由A 知的最小值是，法仅当C 正确；选项D ，法，当时取等号成立，而，也是当时取等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32，法2：，选项D 正确.100()20f x x x =+= (100)x x=x 10=100(),9f x x x x =+>100(),9f x x x x=+>)+∞()f x 37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦(6)3f =()3f x =510x <…{2,3,4,5}[0,+∞(,0]-∞(3)(3)f f -=()f x [0,)+∞(3)(1)f f <(1)(3)f f >-(1)(1)f x f ->|1|1x -<02x <<(2)(2)0f f =-=0x >[0,)+∞()0f x >02x <<()0xf x >0x <(,0]-∞()0f x <2x <-()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃122A,()33a b a b a b a b b a ⎛⎫+=+⋅+=+++⎪⎝⎭…12a b =+=+a b +3+121a b+=2ab a b =+…2a b =0,0,0,ab a b ->> …8,ab ab …1:(1)2a b ab a a b a a b -=-=+-=+a b +3+12:a2(1)21,,0,0,20,(1)(2)33222b b b a a b b a b b b b b b -+=∴=>>∴->∴-==-+++--- …2b =221:422a b a b +⨯⨯…2a b =8ab …2a b =224432a b ab +……2a b =224a b +222224(2)4()4(2)432a b a b ab ab ab ab +=+-=-=--…三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.【解析】且.13.（【解析】当时，成立；当时，，解得，综上可得.14.【解析】由题意可得，且区间中有4个整数，易知任意区间的区间长度为，当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意；当时，的区间长度大于3，若的区间长度，即，若是整数，则区间中含有4个整数，根据可知，则，此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意；若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数，则必须有且，解得；若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意；若时，的区间长度，此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即，结合，得；综上所述，或或，故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由题意得1，b 为方程的两根，且，……………………1分由韦达定理可得，……………………………………………………………………3分(,1)(1,2)-∞⋃20x ->10,(,1)(1,2)x x -≠∴∈-∞⋃1,3]-3k =40-<3k <24(3)16(3)0k k ∆=-+-<(1,3)k ∈-(1,3]k ∈-911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭1a >[,21]a a -[]a b ，b a -14a <<[,21]a a -2113a a a --=-<[,21]a a -4a =[,21][4,7]a a -=4a >[,21]a a -[,21]a a -1(3,4)a -∈45a <<21a -[,21]a a -21(7,9)a -∈218a -=92a =9[,21],82a a ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦21a -[,21]a a -45a <<8219a <-<952a <<5a =[,21][5,9]a a -=5a >[,21]a a -14a ->[,21]a a -2110a -<112a <5a >1152a <<4a =952a <…1152a <<911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭2320ax x -+=0a >321,b b a a+==解得；……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得，则，………………9分等价于，解得，…………………………………………………11分故不等式的解集为.………………………………………………………………13分16.【解析】（1）当时，…………………………2分，………………………………………………………………………………5分或………………………………………………………………………………6分或.……………………………………………………………7分（2），…………………9分，…………………………………………………………………………10分是的充分不必要条件，，………………………………………………12分显然，则由解得．………………………………………15分17.【解析】（1）由题意可得当时，，……………………1分设每台的平均利润为，……………5分当且仅当时取等号……………………………………………………………………………6分故当生产10台时，每台的平均利润最大．…………………………………………………………7分（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；……………………………………………………………………………………………………9分当时，，…………………………………………12分当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为……14分故当生产该设备为35（台）时所获利润最大，最大利润为2250（万元）．…………………………15分18.【解析】（1）：由题意可得的定义域为，不关于原点对称，故无奇偶1,2a b ==1,2a b ==33132200212121x x xx x x ++->⇒->⇒>+++(13)(21)0x x -+>1123x -<<1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1m ={}2320{12}A x x x x x =-+<=<<∣∣{13}B x x =-<< ∣{1A x x =R ∣…ð2}x …(){11A B x x ∴⋂=-<R ∣…ð23}x <…{}22(21)0{[(1)]()0}A x x m x m m x x m x m =-+++<=-+-< ∣∣{1}A x m x m ∴=<<+∣x A ∈ x B ∈A B ∴ÞA ≠∅113m A B m-⎧⇒⎨+⎩，，...Þ...12m -......040x < (2)()2140200S x x x =-+-()100()1402140100S x f x x x x ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭...10x =040x < (2)()2140200S x x x =-+-35x =()S x (35)2250S =40100x <…36003600()1700170017001580S x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭…23600x =60x =()1580S x …22501580>()f x (,1)(1,)-∞-⋃-+∞()f x性，为非奇非偶函数．………………………………………………………………………………………2分（2）在上单调递增，证明如下：任取，且……………………3分则，…………………………………………………5分故……8分所以，，故在上单调递增.………………………………………………9分（3）由方程在上有解，可转化为，在上有解．……………………………………………………………………………………………11分令，则转化为方程在上有解，设，则其图象开口向上，对称轴为，………………………………13分①若，即，所以，所以；…………………………………………………………………………………………15分②若，即，所以，所以；综上所述：的取值范围为．…………………………………………………………………17分19.【解析】（1）1或5（写出一个即给4分），给集合增加一个元素1或5得到集合或，由题意可得或均为梦想集合．…………………………………………………5分（2）不是，……………………………………………………………………………………………………6分证明如下：设，取…………………………………………………7分由于为偶数，则．……………………………………………………………………………8分记为集合去掉元素x ，y 后构成的集合，而，易得，且，…………………………………………………………………………………………10分故不是梦想集合．…………………………………………………………………………………………11分（3）利用反证法：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，则设，且，……………………………………………………12分因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能考虑()f x [0,)+∞12,[0,)x x ∈+∞21,x x >211212120,10,10,0x x x x x x x x ->+>+>++>()()()()()()()()()()222221122112122121212121110.111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==>++++++()()21f x f x >()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞()222112270x m x m x x ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭[1,)+∞1[2,)t x x=+∈+∞()222280t mt m -+-=[2,)t ∈+∞22()2216h t t mt m =-+-t m =22,(2)442160m h m m =-+- (2)260m m --…11m -+…12m …()222,(2)42160m m m >∆=-- (2)16m …44m -……24m <…m [14]-{2,3}{1,2,3}{2,3,5}{1,2,3}{2,3,5}{,2,3,,}A k k k nk = ,2nx nk y k ==n 2ny k A =∈B A 32x y nk A +=∉32x y nk B +=∉||2nx y k B -=∉A A A A A {}12,,,n a a a = 120n a a a <<<< (1,2,,)n k t a a a t n +>= B A ,n k a a n k a a B -∈这个数均属于，且各不相同，均小于，所以……………………………………………………………………………………13分再考虑与，因为，所以，即，所以只能；………………………………………………………………………………14分又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故……………………………………………………………………………16分即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合．……………………………………………………………………………17分【评分细则】第（3）小问若用其他方法证明只要逻辑正确均酌情给分．121,,,n n n n a a a a a a ---- 1n -A n a 112,n n n a a a a a --=-211,,n n n a a a a --=-= 1n a -12n a -5n >215122n aa a -->=11212n n n n a a a a a ---+>+>112n n a a---=12n a A -∈111212,,,n n n n a a a a a a ------- 2n -A 1n a -A {}122,,,n a a a -⋯11n k n k a a a ----=11122n n n a aa ----=A 11,2n n a a --B 112n n a a B ---∉A。
四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
成都2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.x ∃∈R ，5lg 4x x +=B.x ∀∈R ，5lg 4x x +=C.x ∃∈R ，5lg 4x x +≠D.x ∀∉R ，5lg 4x x +≠【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是“x ∃∈R ，5lg 4x x +=”.故选：A .2.下列命题为真命题的是（）A.若33a bc c<，则a b < B.若a b <，则33<ac bc C.若a b <，c d <，则a c b d -<- D.若a c b d -<-，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】举反例可判断选项A 、B 、C ，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ，当1c =-时，若33a bc c<，则a b >，与a b <矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，当0c =时，若a b <，则330ac bc ==，与33<ac bc 矛盾，故选项B 错误；对于选项C ，当56a b ==，，10c d =-=，，满足a b <，c d <，但a c b d -=-，这与a c b d -<-矛盾，故选项C 错误；对于选项D ，因为a c b d -<-，c d <，所以由不等式性质可得：()()a c c b d d -+<-+，即a b <.因为a b <，c d <，由不等式性质可得：a c b d +<+，故选项D 正确.故选：D.3.设函数()ln 26f x x x x =+-，用二分法求方程ln 260x x x +-=在()2,3x ∈内的近似解的过程中，计算得(2)0,(2.5)0,(2.25)0f f f <>>，则下列必有方程的根的区间为（）A.()2.5,3 B.()2.25,2.5 C.()2,2.25 D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数()ln 26f x x x x =+-在[]2,3x ∈上是连续不断的曲线，由于(2)0,(2.25)0f f <>，所以()()2· 2.250f f <，由零点存在性定理可得：()ln 26f x x x x =+-的零点所在区间为()2,2.25，所以方程ln 260x x x +-=在区间()2,2.25内一定有根.故选：C.4.函数2||3()33x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由33011xx x -≠⇒≠⇒≠±，所以该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，显然关于原点对称，因为()()()22||||333333x x x x f x f x ---===--，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC ，当1x >时，()33=3300xxf x --<⇒<，排除选项B ，故选：D5.若0a >，0b >，则“221a b +≤”是“a b +≤”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当0a >，0b >，且221a b +≤时，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以a b +≤，充分性成立；1a =，14b =，满足0a >，0b >且a b +≤，此时221a b +>，必要性不成立.则“221a b +≤”是“a b +≤”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 与死亡年数x 的关系为573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的34．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B 【解析】【分析】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即057301324x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01222234ln 3 1.1log log log 4log 322573043ln 20.7x ===-=-≈-，所以0115730224557x ⎛⎫≈⨯-= ⎪⎝⎭，即该遗址距离今天大约2455年.故选：B .7.已知函数2295,1()1,1a x ax x f x xx -⎧-+≤=⎨+>⎩，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[]2,4 D.(]9,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a aa a -⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥+⎪⎩，解得24a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C8.设358log 2,log 3,log 5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用中间值比较大小得到23<a ，2334b <<，34c >，从而得到答案.【详解】333log 22log 20o 33938l g a --=-=<，故23<a ，555log 27log 2522log 30333b --=-=>，555log 81log 12533log 30444b --=-=<，故2334b <<，888log 5log 33log 5054246124c --=-=>，34c >，故a b c <<故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{},,,a b c d 共有16个子集C.集合{}{}42,Z 42,Zx x n n x x n n =+∈==-∈D.集合{}{}22|1,|22,x x a a x x a a a ++=+∈==-+∈N N 【答案】BC 【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A ：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B ：集合{},,,a b c d 中有四个元素，所以它的子集个数为42=16，所以本选项说法正确；C ：因为{}(){}42,Z 412,Z x x n n x x n n =-∈==-+∈，所以{}42,Z x x n n =+∈与{}42,Z x x n n =-∈均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{}{}42,Z 42,Z x x n n x x n n =+∈==-∈，因此本选项说法正确；D ：对于{}2|22,x x a a a +=-+∈N ，当1a =时，2221x a a =-+=，即{}21|22,x x a a a +∈=-+∈N ，但{}21|1,x x a a +∉=+∈N ，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则下列不等式成立的有（）A.22x y +≥ B.14≤xy C.124x x y+≥ D.1174xy xy +≥【答案】ABD【解析】【分析】选项A 用基本不等式性质判断即可；选项B 用基本不等式的推论即可；选项C 将1x y +=带入，再用基本不等式判断；D 利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A ：因为x ，y为正实数22x y +≥==，当且仅当12x y ==时取等号，所以A 正确；对B ：因为2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，所以B 正确；对C：因为1222111x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=+2y x x y =时取等号，所以C 错误；对D ：由B 选项可知14≤xy ，令xy t =，则104t <≤，11xy t xy t +=+()1104f t t t t ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭因为对勾函数在104t <≤上是减函数，所以()11744f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：ABD 11.已知()1121xa f x +=+-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在()(),00,x ∈-∞⋃+∞上单调递减C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞ D.()()3log 2f x f >的解集为()0,9x ∈【答案】AC 【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A 项，利用指数函数的性质可判定B 项，进而可求值域判定C 项，可结合对数函数的性质解不等式判定D 项.【详解】因为函数()1121xa f x +=+-是奇函数，易知2100x x -≠⇒≠，则有()()()()()11211112210212121x x x xa a a f x f x a -+-++-+=+++=+=-+=---，解之得1a =，故A 正确；则()2121xf x =+-，易知当0210x x y >⇒=->且有21xy =-单调递增，故此时()2121x f x =+-单调递减，又由奇函数的性质可知0x <时()f x 也是单调递减，故()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故B 错误；由上可知0x >时，222100112121xx x ->⇒>⇒+>--，即此时()1f x >，由奇函数的性质可知0x <时，()1f x <-，则函数()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；由上可知()()()33log 20log 21,9f x f x x >⇒<<⇒∈，故D 错误.故选：AC12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 在区间()0,6上满足()()6f x f x -=，当(]0,3x ∈时，()13log f x x =；当[)6,x ∈+∞时，()21448f x x x =-+-．若直线y m =与函数()f x 的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为()1,2,3,4,5,6i x i =，且123456x x x x x x <<<<<，则下列结论正确的是（）A.122x x +>B.()5648,49x x ∈C.()()34661x x --> D.()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ 【答案】ABD 【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线y m =与函数()f x 的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.【详解】如图，依题意可得13132log ,03()log (6),361448,6x x f x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎪⎩，作出函数()y f x =在(0,)+∞上的图象，设直线1y =与()y f x =的图象分别交于,,,A B C D 四点，显然有1(,1),(3,1),(7,1)3A B D ，由()()6f x f x -=知函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故可得：17(,1)3C .对于A 选项，由12()()f x f x =可得121133x x <<<<，111233log log x x =-，化简得121=x x ，由基本不等式得：122x x +>=，故A 项正确；对于B 选项，当[)6,x ∈+∞时，由()21448f x x x =-+-可知其对称轴为直线7x =，故562714,x x +=⨯=又因56678x x <<<<，故()25655551414x x x x x x =-=-+25(7)+49x =--在区间()6,7上为增函数，则有564849x x <<，故B 项正确；对于C 选项，由34()()f x f x =可得34356x x <<<<，131433log (6)log (6)x x -=--，化简得1343log [(6)(6)]0x x --=，故有()()34661x x --=，即C 项错误；对于D 选项，依题意，1236()()()(),f x f x f x f x m ===== 且01m <<，故()()()112266126()x f x x f x x f x x x x m +++=+++ ，又因函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故1423236,x x x x +=+=⨯=又由B 项分析知5614,x x +=于是126661426,x x x +++=++= 故得：()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ ，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线y m =的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在[]4,4-上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间为______．【答案】[]2,4和[]4,2--【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，0x >时函数在[]2,4上单调递增，函数为奇函数，故函数在[]4,2--上也单调递增.故答案为：[]2,4和[]4,2--.14.若()()2log ,0215,0xx x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(1)(7)f f --=______．【答案】32【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】()()2log ,0215,0x x x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则()()2221113(1)(7)147log 14log 7log 22222f f f f --=+-=+-=+=.故答案为：32.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x 元）在1025x <≤时，本次活动售出的件数()42105P x =-，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润()f x 的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润4210(10)()(5)x f x x -=-，1025x <≤，不妨令10(0,15]t x =-∈，则利润44421010()50025(5)10t f x y t t t ===≤+++，当且仅当25t t=时，即5t =时，即15x =时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．那么，函数()323f x x x x =--图象的对称中心是______．【答案】()1,3-【解析】【分析】计算出()()b f x a b f x a +-++--()232662622a x a a a b =-+---，得到3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，求出13a b =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【详解】()()bf x a b f x a +-++--()()()()()()3232332x a x a x a x a x a x a b =+-+-++-+--+--+-32232232233336333x ax a x a x ax a x a x ax a x a =+++------+-+223632x ax a x a b-+-+--()232662622a x a a a b =-+---，要想函数()y f x a b =+-为奇函数，只需()2326626220a x a a a b -+---=恒成立，即3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故()323f x x x x =--图象的对称中心为()1,3-故答案为：()1,3-四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算2173ln 383log 210e 22lg 527log 10-⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭；（2）已知11224x x-+=，求3322x x -+的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）21723ln 3833log 2101727e22lg 52()(lg 5lg 2)27log 10864-⎛⎫-⨯--=--+ ⎪⎝⎭1791088--==；（2）由11224x x-+=，则112122()216x x x x --+=++=，则114x x -+=，则3322x x-+()11122141352x x x x --⎛⎫=+-+=⨯= ⎪⎝⎭.18.已知全集R U =，集合5|1,{|16}2A x B x x x ⎧⎫=>=<≤⎨⎬-⎩⎭，{1C x x a =≤-∣或21}x a ≥+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}xx -<≤∣（2）(],2[7,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合A ，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分R C =和R C ≠讨论即可.【小问1详解】{}5310(3)(2)0{32}22x A x x x x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=>=+->=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣∣{16}B x x =<≤∣，{1U B x x ∴=≤∣ð或6}x >，(){31}U A B x x ∴=-<≤ ∣ð.【小问2详解】{36}A B x x =-<≤ ∣，且()A B C ⊆ ，①R C =，1212a a a -≥+⇒≤-，此时满足()A B C ⊆ ，②R C ≠，2a >-，此时213a +>-，则167-≥⇒≥a a ，此时满足()A B C ⊆ ，综上所述，实数a 的取值范围为(],2[7,)-∞-+∞ .19.在“①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-，且______．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()0,e 上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．【答案】（1）选择①时，()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②时，()ln(e )ln(e )f x x x =+--（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数k ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是偶函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=++-，则1k =所以()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是奇函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=-，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=-+--，则1k =-所以()ln(e )ln(e )f x x x =+--；【小问2详解】选择①：函数22()ln(e )ln(e )ln(e )f x x x x =++-=-在()0,e 上单调递减．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，有，有22222221121212(e )(e )()()x x x x x x x x ---=-=+-，由120e x x <<<，得120x x +>，120x x -<，所以1212()()0x x x x +-<，于是222212e e 0x x ->->，所以222221e 01e x x -<<-，所以22222222121221e ()()ln(e )ln(e )ln ln10e xf x f x x x x --=---=<=-，即12()()f x f x >，所以函数22()ln(e )f x x =-在()0,e 上单调递减．选择②：函数e ()ln(e )ln(e )ln e xf x x x x+=+--=-在()0,e 上单调递增．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，则21211221212121e e (e )(e )(e )(e )2()e e (e )(e )(e )(e )x x x x x x x x x x x x x x +++--+---==------由120e x x <<<，得210x x ->，2e 0x ->，1e 0x ->，所以21212()0(e )(e )x x x x ->--，即2121e e 0e e x x x x ++>>--，于是2211e e 1e e x x x x +->+-，所以2212211211e e e e ()()lnln ln ln10e e e e x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即12()()f x f x <，所以函数e ()lne xf x x+=-在()0,e 上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：()20.43()49.18,02256.26e14.73,2x a x x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）当02x ≤<时，确定()f x 的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：ln527 6.27,ln56268.63,ln14737.29===）【答案】（1）23()12()49.182f x x =--+（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程(1)46.18f =，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当02x ≤<时，23()()49.182f x a x =-+，所以23(1)(149.1846.182f a =-+=，解得12a =-，所以当02x ≤<，23()12()49.182f x x =--+.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20mg /百毫升时可以驾车，当02x ≤<时，()20f x >，此时2x ≥，由0.456.26e 14.7320x -⋅+<，得0.4 5.27527e56.265626x-<=，两边取自然对数可得，0.4ln 527ln 5626 6.278.36 2.09x -<-=-=-，所以 2.095.2250.4x >=，又5.225小时=313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点A ，且点A 在函数()()ln 1f x x m =+-，(R)m ∈的图象上．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若定义在[]1,2上的函数()()ln 2y f x k x =+-恰有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()ln 1f x x =-（2）e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）把定点A 代入函数()f x 的解析式求出m 的值即可；（2）问题等价于()22e g x x kx =-+在[]1,2上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点()1,1A -，函数()()ln 1f x x m =+-(R)m ∈的图象过点()1,1A -，即()ln 111m +-=-，解得0m =，函数()f x 的解析式为()ln 1f x x =-.【小问2详解】函数()()()ln 2ln 1ln 2y f x k x x k x +--==+-定义在[]1,2上，20k x ->在[]1,2上恒成立，可得4k >，令()()2ln 1ln 2ln 210y x k x kx x =-+--=-=，得22e 0xkx -+=，设()22e g x x kx =-+，函数()()ln 2y f x k x =+-在[]1,2上恰有一个零点，等价于()g x 在[]1,2上恰有一个零点，函数()22e g x x kx =-+图像抛物线开口向上，对称轴14kx =>，若()()12e 0282e 0g k g k ⎧=-+=⎪⎨=-+<⎪⎩，无解，不成立；若()()()()122e 82e 0g g k k ⋅=-+-+<，解得e2e 42k +<<+，满足题意；若()24282e 0k g k ⎧≥⎪⎨⎪=-+=⎩，无解，不成立；若()()12e 0124282e 0g k kg k ⎧=-+<⎪⎪<<⎨⎪=-+=⎪⎩，解得e 42k =+，满足题意.所以实数k 的取值范围为e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m=成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22111f x x x =+++是否为区间[]0,4上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()32πx f x -=区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）1b =（3）314a ≤≤【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取12x =，判断2()1f x =在[]0,4是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用1x 表示2x 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据()g x 的单调性求解其在区间[0,2]上的值域，进而将问题转化为()f x 在区间[0，2]上的值域是[]4,1--的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数()22111f x x x =+++是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，则对任意的[]10,4x ∈，总存在唯一的[]20,4x ∈，使()()122f x f x =成立，取10x =，1()2f x =，由12()()2f x f x =，得2()1f x =，则()222221111f x x x =++=+，则()()222221110x x +-++=，进而可得()222131024x ⎡⎤+-+=⎢⎣⎦显然此方程无实数解，所以函数()22111f x x x =+++不是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数()32πx f x -=为区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，则对任意11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()1f x f x =，即123232ππ1x x --=，进而1243x x +=，得2143x x =-，显然函数2143x x =-在11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，且当113x =时，21x =，当1x b =时，243x b =-，因此对1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的每一个1x ，在4[,1]3b -内有唯一2x 值与之对应，而21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以41[,1][,]33b b -⊆，所以14133b b ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得11b b ≥⎧⎨≤⎩，即1b =，所以b 的值是1．【小问3详解】由于41log 67,t x y t =-=分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数()4log (167)g x x =--在[0,2]上单调递增，且()()102,22g g =-=-得函数()g x 的值域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，由函数()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”可知，对任意的1[0x ∈,2]，总存在唯一的2[0x ∈,2]时，使得12()()2f x g x =成立，于是[]122()4,1()f xg x =∈--，则()2214f x x ax a =-+-在区间上[0,2]的值域是区间[]4,1--的子集，而函数()2214f x x ax a =-+-图象开口向上，对称轴为x a =，显然(0)14f a =-，()258f a =-，()241f a a a =--+，当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，则min max ()(0)4()(2)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即0144581a a a ≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，则min max ()(2)4()(0)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即2584141a a a ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当02a <<时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[a ,2]上单调递增，则()()4(2)101f a f f ≥-⎧⎪≤-⎨⎪≤-⎩，即202581141144a a a a a <<⎧⎪-≤-⎪⎨-≤-⎪⎪-+-≥-⎩，解得314a ≤≤；综上，a 的取值范围是314a ≤≤．。
上学期高一数学期中试题
上学期高一数学期中试题如果我们碰到不会做的题就可以来看看一些相似的题是怎么解的，小编今天就给大家来分享一下高一数学，喜欢的一起来学习阅读一下哦高一数学上学期期中试题阅读第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为A. B.C. D.2.下列有关集合的写法正确的是A. B. C. D.3.下列四组函数中，表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与4. 已知，则的大小关系是( )A. B. C. D.5.函数的定义域为A.(1，2)B.(1，2]C.(1,+∞)D.[2,+ ∞)6.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是7.设，，那么是A. 奇函数且在(0，+∞)上是增函数B. 偶函数且在(0，+∞)上是增函数C. 奇函数且在(0，+∞)上是减函数D. 偶函数且在(0，+∞)上是减函数8.已知函数，若，则的取值范围是A.(8，+∞)B.(-∞，0)∪(8，+∞)C.(0,8)D.(-∞，0)∪(0,8)9.已知函数，则函数的值域为A. B. C. D.10.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为A. B. C. D.11.已知是定义在上的偶函数，在上为增函数，且，则不等式的解集为A. B. C. D.12.已知偶函数在上单调递增，则与的大小关系是A. B.C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知幂函数的图像过点，则的值为_________.14.计算：÷ _____ ___.15.已知函数在区间[0,1]上存在零点，则实数的取值范围是________.16.设函数，若，则 _________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知全集，集合， .(1)当时，求集合 ;(2)若，求实数的取值范围.18.(12分)已知函数，利用定义证明：(1) 为奇函数;(2) 在，+ )上单调递增.19.(12分)设定义域为的函数 .(1)在平面直角坐标系内直接画出函数的图像，并指出的单调区间(不需证明);(2)若定义域为的函数是奇函数，且当时，，求的解析式.20.(12分)国际间普遍认为：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使浓度增加.据测，2011年、2012年、2013年大气中的浓度分别比2010年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位。
2023-2024学年福建省泉州高一上学期期中考试质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州高一上册期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21xA x =≤，{}220B x x x =+-<，则A B = （）A ．(]0,2B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．(]1,2【正确答案】B【分析】根据指数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】02120x x ≤=⇒≤，()()22021021x x x x x +-<⇒+-<⇒-<<，因此A B = (]2,0-，故选：B2．已知函数()122e ,23,2x x g x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()()2f f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】首先计算()222312f =-=<，再求()()2f f 的值.【详解】()222312f =-=<，所以()()()110212e 2e 2f f f -====.故选:C.3．已知函数23x y a -=+(0 a >且 1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据指数型函数过定点求得P 点坐标，设出幂函数()f x 的解析式，代入点P 的坐标求得()f x 的解析式，由此求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】对于函数23x y a -=+，当20x -=，即2x =时，4y =，所以()2,4P .由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，代入P 点的坐标得24,2αα==.所以()2f x x =，2111339f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23331log log 31log 329f -=⎛⎫= ⎪⎝=-⎭.故选：A本小题主要考查指数型函数过定点问题，考查幂函数解析式的求法，考查对数运算，属于基础题.4．下列函数中，既是偶函数又是区间()0,∞+上的增函数的是（）A ．3y x=B ．y x =C ．21y x =-+D ．332x xy --=【正确答案】B【分析】根据奇偶性的定义及基本不等式函数的单调性判断即可.【详解】对于A ：函数3y x =为奇函数且在定义域R 上单调递增，故A 错误；对于B ：(),0,0x x y f x x x x ≥⎧===⎨-<⎩，函数在()0,∞+上单调递增，且()()f x x x f x -=-==，即y x =为偶函数，故B 正确；对于C ：21y x =-+为偶函数，在()0,∞+上单调递减，故C 错误；对于D ：()332x xy g x --==，则()()333322x x x x g x g x -----==-=-，即332x xy --=为奇函数，故D 错误；故选：B5．若a ，R b ∈，且满足1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a aa ab <<D ．b a aa b a <<【正确答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断即可.【详解】由1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得1011112222b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以01a b <<<.因为函数x y a =在R 上单调递减，所以b a a a <.因为函数x a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以01,a a a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上，b a a a a b <<.故选：C6．素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（）A ．710B ．810C ．910D ．1010【正确答案】C【分析】根据,P Q 两数远远大于1,Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=.故选C本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.7．已知函数()221f x x x =-++，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =-，[]1,1x ∈-，对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．()3,+∞C ．(][),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【正确答案】C【分析】分别求得函数()f x 和函数()g x 的值域，再根据对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，由A B ⊆求解.【详解】解：函数()()222112f x x x x =-++=--+，因为[]0,2x ∈，所以()[]1,2f x ∈，设函数()f x 的值域为A ；因为[]1,1x ∈-，当0a >时，()[]1,1g x a a ∈---，当0a =时，(){}1g x Î-，当a<0时，()[]1,1g x a a ∈---，设函数()g x 的值域为B ，因为对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，所以A B ⊆，当0a >时，1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥；当0a =时，不成立；当a<0时，1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-；综上：实数a 的取值范围是(][),33,∞∞--⋃+，故选：C8．已知函数()202120211x xf x -=-+，则不等式()()2122f x f x -+>的解集为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】依题意可得()()2f x f x -+=，则问题转化为()()212f x f x ->-，再判断函数的单调性，即可将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为()202120211x xf x -=-+，所以()202120211x x f x --=-+，则()()2f x f x -+=，∴()()2122f x f x -+>可化为()()()()21222f x f x f x f x -+>-+，则()()212f x f x ->-，又2021x y =在定义域R 上单调递增，2021x y -=在定义域R 上单调递减，所以函数()f x 在R 上单调递增，∴212x x ->-，∴14x >，∴原不等式的解集为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D 二、多选题9．设正实数a ，b 满足+=1a b ，则（）A ．11a b+有最小值4B 有最小值12CD ．22+a b 有最小值12【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A ：1111()()224a b a b b a b a a b +=++=++≥+=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；选项B 122a b +≤=，当且仅当12a b ==有最大值12，故B 错误；选项C ：212a b +=++=+≤≤，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；选项D ：由1=22a b +≤2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD.10．当[]2,2x ∈-时，有2x a <，（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围可以是（）A ．(B ．0,2⎛ ⎪⎝⎭C ．,12⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解析：[]2,2x ∈-时，2x a <（0a >，且1a ≠）.若1a >，x y a =是增函数，则有22a <，可得a <1a <<；若01a <<，x y a =是减函数，则有22a -<，可得2a >，故有12a <<，综上所述，实数a 的取值范围是(2⎛⋃⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：AC.11．已知函数()f x ，x ∀∈R ,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥D ．若()(2),f m f <则42m -<<【正确答案】AB【分析】由函数()f x ，x ∀∈R ,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 的图像关于直线=1x -对称，在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，再逐一判断各选项即可得解.【详解】解：由函数()f x 满足(2)()f x f x --=，则函数()f x 的图像关于直线=1x -对称，又[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 在[)1,-+∞为减函数，对于选项A ，因为3(1)0(1)--->--，所以()0(3)f f >-，即A 正确；对于选项B ，由已知有()f x 在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，即max ()(1)f x f =-，即B 正确；对于选项C ，221331(244a a a -+=-+≥，又()f x 在[)1,-+∞为减函数，所以23(1)(4f a a f -+≤，即C 错误；对于选项D ，当()(2),f m f <则(1)2(1)m -->--，则4m <-或m>2，即D 错误，即结论正确的是AB ，故选AB.本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12．设定义域为R 的函数1, 11()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x <<，下列说法正确的是（）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-【正确答案】ABD画出()f x 的图像，由图像结合条件可得()1f x =，然后可得1232,1,0x x x =-=-=，即可选出答案.【详解】1, 11()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩的图像如下：若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解123,,x x x ，则()1f x =所以10a b ++=，由()1f x =可解得：1232,1,0x x x =-=-=所以2221235x x x ++=，132x x +=-故选：ABD关键点睛：解答本题的关键是准确的画出()f x 的图像，结合图像得到()1f x =.三、填空题13．命题p ：“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是______.【正确答案】x ∀∈R ，2220x x -+>【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p ：“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是x ∀∈R ，2220x x -+>.故x ∀∈R ，2220x x -+>.14．函数()26812x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【正确答案】(),3-∞【分析】令()268g x x x =-+，求出()g x 的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可.【详解】令()268g x x x =-+，则()g x 在(),3-∞上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域R 上单调递减，所以()26812x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间(),3-∞.故(),3-∞15．已知函数f (x )＝2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是__．【正确答案】8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将不等式()3f x ≥分离常数a 得到83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求得83x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】对任意x ∈N *，()3f x ≥，即21131x ax x ++≥+恒成立，即83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭.设()()*8N g x x x x=+∈，则()8g x x x =+≥=当且仅当x =又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴81783333x x ⎛⎫-++≤-+=- ⎪⎝⎭，∴83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭本小题主要考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，属于中档题.16．对于函数()f f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”.若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】(,2-∞-【分析】依题意()f x 的图象上存在点关于原点对称，设函数()g x 的图象与函数()22f x x x =+()0x <的图象关于原点对称，求出()g x 的解析式，则问题转化为方程222mx x x +=-+()0x >有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得.【详解】解：依题意()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在点关于原点对称，设函数()g x 的图象与函数()22f x x x =+()0x <的图象关于原点对称，设0x >，则0x -<，()()()2222f x x x x x -=-+-=-，∴()22g x x x =-+，()0x >，故原题意等价于方程222mx x x +=-+()0x >有解，解得22m x x =--+，由于222222x x x x ⎛⎫--+=-++≤-+=- ⎪⎝⎭，当且仅当x2m ≤-m的取值范围是(,2-∞-.故(,2-∞-四、解答题17．（1）计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅．【正确答案】（1）1615；（2）1.（1）利用指数幂化简求值即可；（2）利用对数的运算求解即可.【详解】（1）原式1122191121161144100431015-⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()()26666666666log 2log 2log 18log 2log 2log 18log 2log 1812log 22log 22+⋅⋅++====．18．已知集合{}2450A x x x =--≤，集合{}22B x a x a =<<+.(1)若1a =-，求A B ⋂和A B ⋃；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){}25A B x x ⋃=-<≤，{}11A B x x ⋂=-≤<(2)12a ≥-【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集和并集运算求解；（2）由A B B = ，得到B A ⊆，分B φ=和B φ≠求解.【详解】（1）解：{}15A x x =-≤≤，{}21B x x =-<<，∴{}11A B x x ⋂=-≤<，{}25A B x x ⋃=-<≤；（2）∵A B B = ，∴B A ⊆，若B φ=，则22a a ≥+，∴2a ≥，若B φ≠，则222125a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，∴122a -≤<，综上12a ≥-.19．已知函数()212x xa f x b⋅+=+aR b ∈是奇函数，且函数图像经过点()1,3(1)求a ，b 的值；(2)若函数()()()2212,02,0x f x x g x x x x ⎧⋅--≤⎪=⎨-+>⎪⎩，讨论方程()g x m =（R m ∈）解的情况【正确答案】(1)1a =，1b =-(2)答案见解析【分析】（1）运用奇函数的性质()()f x f x -=-及(1)3f =列方程求解即可.（2）将问题转化为()y g x =与y m =交点个数，画出()y g x =的图象，看图可得结果.【详解】（1）因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()2212112221022x x x x x x a a ab a b ab b b--⋅+⋅+=-⇒+⋅++⋅++=++，所以10101ab a a b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或11a b =-⎧⎨=⎩又因为()13235f a b =⇒-=，所以1a =，1b =-.（2）由（1）知，()2121x x f x +=-，所以()()()()2221,0212,011,02,0x x x f x x g x x x x x x ⎧⎧-≤⋅--≤⎪⎪==⎨⎨--+>-+>⎪⎪⎩⎩，则()g x图象如图所示，①当1m >，方程无解；②当1m =或0m <时，方程有1个解；③当0m =时，方程有2个解；④当01m <<时，方程有3个解.20．已知函数()4f x x x =+.(1)证明：函数()4f x x x=+在区间()0,2单调递减，并求函数()f x 在区间[]1,8的值域；(2)当a R ∈时，解关于x 的不等式.()()()2121xf x a x a x>-++【正确答案】(1)证明见解析，174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)答案见解析【分析】（1）利用函数的单调性定义证明，再根据函数的单调性求值域；（2）将不等式转化为()()220ax x -->，再分0a <，0a =，01a <<，1a =，1a >时，讨论求解.【详解】（1）证明：1x ∀，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()()121212121212121244444x x x x f x f x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1202x x <<<，得120x x -<，1240x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间()0,2上单调递减；同理可知()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以()f x 在[)1,2单调递减，在[]28,单调递增，所以()()min 24f x f ==，又()15f =，()1782f =，所以()f x 值域为174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原不等式化为：()()()22140220ax a x ax x -++>⇒-->，①0a <时，202a<<，解得22x a <<，②0a =时，不等式化为240x -+>，解得2x >.③当22a >，即01a <<时，得2x <或2x a >.④当22a =，即1a =时，得到()220x ->，所以2x ≠；⑤当22a <，即1a >时，得2x a<或2x >.综上所述，当0a <时，不等式解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0a =时，不等式解集为()2,+∞；当01a <<时，不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为()(),22,-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ .21．第五届中国国际进口博览会是由商务部和上海市人民政府主办、中国国际进口博览局和国家会展中心（上海）承办的大型博览会.2022年11月4日晚，以视频方式出席在上海举行的第五届中国国际进口博览会开幕式并发表题为《共创开放繁荣的美好未来》的致辞.11月5日至10日，博览会在国家会展中心（上海）举行，共有145个国家、地区和国际组织参展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，且每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）的函数关系式近似满足()21802,020,2000900070,20.x x G x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（年利润＝年销售收入－总成本）(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.【正确答案】(1)()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.【分析】（1）利用所给的公式进行列解析式即可；（2）当020x <≤时，利用二次函数的性质求得最值，当20x >时，利用基本不等式求得最值，然后两个值进行比较即可【详解】（1）由题意可得()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当020x <≤时，()()222100502251200W x x x x =-+-=--+，在(]0,20上单调递增，∴当20x =时，()W x 取最大值，该值为()()max 2022512001150W x W =-+==⨯（万元）；当20x >时，()900090019501019501019501021350W x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⨯ ⎪⎝⎭.当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立.∴此时，()max 1350W x =（万元）.综上所述，当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22．已知函数()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)直接写出()f x 在[)0,∞+上的单调性，并解关于t 的不等式()()21f t f t ≥+；(2)若函数()()()223h x f x mf x =-+，[]1,2x ∈-是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为0？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)函数在[)0,∞+上单调递增；113t t t ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或(2)存在，54m =【分析】（1）根据指数型复合函数的单调性判断()f x 的单调性，再判断()f x 的奇偶性，根据奇偶性与单调性，将函数不等式化为自变量的不等式，解得即可；（2）首先求出()()223y f x mf x =-+的解析式，令122xx k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设()()222211g k k mk k m m =-+=-+-，172,4k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，分2m ≤、1724m <<、174m ≥三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.【详解】（1）解：令2x t =，因为[)0,x ∈+∞，则1t ≥，令1()h t t t=+，[)1212,1,,t t t t ∀∈+∞<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为121t t <<，则121210,10t t t t -<->，因此12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <，所以1()h t t t=+在[)1,+∞上单调递增，又2x y =在[)0,∞+上单调递增，所以()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[)0,∞+上单调递增，又()()112222x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭即()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，又()()()()212121f t f t f t f t t t ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210t t --≥，解得1t ≥或13t ≤-，所以不等式的解集为113t t t ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或.（2）解：函数()()2211223222322x x xx y f x mf x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，对于（1）中的1()h t t t=+，()1212,0,1,t t t t ∀∈<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<<，则121210,10t t t t -<-<，因此12()()0h t h t ->，即12()()h t h t >，所以1()h t t t=+在()0,1上单调递减，令122xx k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由[]1,2x ∈-可知，172,4k ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以由2221111222322212222x x x x x x x x y m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设()()222211g k k mk k m m =-+=-+-，172,4k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①当2m ≤时，()g k 在172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()min 2540g k g m ==-=，解得54m =，符合题意，②当1724m <<时，()g k 在()2,m 单调递减，在17,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()2min 10g k g m m ==-=，解得1m =±，不符合题意，舍去，③当174m ≥时，()g k 在172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()2min 171717210444g k g m ⎛⎫⎛⎫==-⋅+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得305136m =，不符合题意，舍去，综上可知，54m =。
辽宁省大连市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，，B.{}1,23，C .{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤<B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A. B. C.4 D.58.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M N f x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =12.已知函数221()1x x f x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.14.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.15.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.19.已知函数()22x x m f x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，， B.{}1,23，C.{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，【答案】C【解析】【分析】确定{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}N |40,1,2,3B x x =∈<=，{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，故{}0,1,2,3A B = .故选：C.2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤ B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∀>，2320x x +->”为全称量词命题，其否定为：0x ∃>，2320x x +-≤.故选：B3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A .3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】由(32)f x +的定义域求出32x +，再令2215x <-<，解得即可.【详解】函数(32)f x +的定义域为()0,1，即01x <<，所以2325x <+<，令2215x <-<，解得332x <<，所以函数()21f x -的定义域为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤< B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】因为对x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<.因为[)0,4[]0,4，所以“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件可以是04a ≤≤.故选：B5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x x x ----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x x x x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.【详解】取()21(0)f x x x =->，则()3g x x x =-在()0,∞+不单调；取()1(0)g x x x =+>单调递增，但()11,(0)f x x x=+>单调递减，故“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A.B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由题得到13x x λ<+恒成立，求出min 13x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>，即13x x λ<+恒成立，13x x +≥=13x x =，即33x =时等号成立，故λ<对比选项知A 满足.故选：A8.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-【答案】C【解析】【分析】首先得到()g x 的解析式，再根据()g x 为奇函数求出参数a 的值，即可得到()f x 的解析式，最后代入计算可得.【详解】因为()(0)2a x f x a a x-=≠+，所以()()()()20231202322202123x g x a f a x x -=-+=--++432023204624046202322a x a x a a a x x ++-=+-=+-+-，因为()()120232g x f x =-+是奇函数，所以()()g x g x -=-，即63432240624042a a ax a x =--+-+-，又0a ≠，所以280920a -=，解得4046a =，所以4046()40462x f x x -=+，所以()40462023120234046220234f -==+⨯.故选：C二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==【答案】ACD【解析】【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于B ，因为1x ≥-时，()1f x x =+；1x <-时，()1f x x =--；所以(),()f x g x 表示同一函数；对于C ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于D ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}0x x ≥，所以不是同一函数；故选：ACD.10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质确定a<0且32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故a<0且122122b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即32b a c a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，对选项A ：a<0，正确；对选项B ：302b a =->，错误；对选项C ：0c a =->，正确；对选项D ：3522022a b c a a a a ++=--=->，错误；故选：AC11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N =+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =【答案】AB 【解析】【分析】取M N λ<<，构造函数()()g x f x λ=-，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在()01,2x ∈使得()0f x λ=，再依次判断每个选项得到答案.【详解】函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，故0M N <<，对任意值λ，M N λ<<，考虑()()g x f x λ=-，函数单调递增，则()()110g f M λλ=-=-<，()()220g f N λλ=-=->，故存在()01,2x ∈使得()()000g x f x λ=-=，即()0f x λ=，对选项A ：2M N M N +<<，存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=，正确；对选项B：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =对选项C ：211M NM N <<+，存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+，错误；对选项D：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =故选：AB.12.已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立【答案】AC 【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x+==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1()()f f x x=，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,[,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111()()111()1x x x x f f x x x x x x++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1(()f f x x=，进而得到211x x =为关键.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.【答案】0或15【解析】【分析】依题意可得B A ⊆，分B =∅和{}5B =两种情况讨论.【详解】因为{}{}505A x x =-==，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时{}10B x ax =-==∅，符合题意；当{}5B =，则510a -=，解得15a =，综上可得0a =或15a =.故答案为：0或1514.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(]0,3【解析】【分析】确定函数单调递增，得到0a >且131a +≥+，解得答案.【详解】()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，3y x =+，1x ≥为单调递增函数，故1y ax =+，1x <单调递增，0a >，且131a +≥+，即3a ≤，故03a <≤.故答案为：(]0,315.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】令23t x y =+，则0t >且23t x y -=，即可得到22294t x x=+，再利用基本不等式求出2t 的最小值，即可求出t 的最小值.【详解】因为0x >，0y >，令23t x y =+，则0t >且23t xy -=，因为2(43)3x y x y +=，所以22243333t x t x x x --⎛⎫⋅+⨯= ⎪⎝⎭，所以()()2922t x t x x -+=，即22294t x x -=，所以22294t x x =+，又2229412t x x =+≥=，当且仅当2294x x =，即2x =时取等号，所以t ≥或t ≤-，所以23x y +的最小值为2x =、3y =时取等号.故答案为：16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.【答案】()()3,22,1--⋃--【解析】【分析】构造函数()()2f xg x x=，由题意可以推出函数()()2f xg x x=的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】不妨设120x x <<，则120x x -<，由()()222121210x f x x f x x x -<-，得()()2221120x f x x f x ->，则()()122212f x f x xx>，构造函数()()2f xg x x=，则120x x <<，()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以函数()g x 为偶函数，且函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()2242(2)f x f x x --<+，得()()()()22224224f x f x x x--<--，即()()224g x g x -<-，所以22242040x x x x ⎧->-⎪⎪-≠⎨⎪-≠⎪⎩，解得31x -<<-且2x ≠-，所以不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为()()3,22,1--⋃--.故答案为：()()3,22,1--⋃--.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()2f xg x x=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）14[,0][1,]83- 【解析】【分析】（1）依题意可得{}22320A x x x =--≤，再解一元二次不等式即可；（2）依题意可得220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，即可得到Δ01221()02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，解得即可.【小问1详解】由{}2R 2320A x x x =-->ð，得{}22320A x x x =--≤，由22320x x --≤，得()1202x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得122x -≤≤，故122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，则Δ01221(02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，即2440122104440a a a a a a a ⎧-≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪++≥⎪⎪-+≥⎩，解得108a -≤≤或413a ≤≤，当18a =-时不等式220x ax a -+≤的解集为11,24C ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，符合题意；当43a =时不等式220x ax a -+≤的解集为2,23C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，符合题意；综上，实数a 的取值范围为14[,0][1,83- ．18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.【答案】（1）13a ≥-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式()210ax a x a +++≥有实数解，分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，当a<0时需0∆≥，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，再分1a =、01a <<、1a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，()0f x ≥有实数解，即不等式()210ax a x a +++≥有实数解，当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =符合题意.当0a >时，取0x =，则()210ax a x a a +++=>成立，符合题意.当a<0时，二次函数()21y ax a x a =+-+的图像开口向下，要0y ≥有解，当且仅当()22114013a a a ∆=+-≥⇔-≤≤，所以103a -≤<.综上，实数a 的取值范围是13a ≥-.【小问2详解】不等式()()21110f x a ax a x <-⇔+++<，因为0a >，所以不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，当11a -=-，即1a =时，不等式()()110x x ++<无解；当11-<-a ，即01a <<时，11x a-<<-；当11a ->-，即1a >时，11x a-<<-；综上，当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)a--，当1a =时，原不等式的解集为∅，当1a >时，原不等式的解集为1(1,)a--．19.已知函数()22x x mf x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；（2）设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），依题意只需min ()2h x m >，再分0m ≤、m 1≥、1016m <≤、1116m <<四种情况讨论，求出()h x 的最小值，从而求出m 的取值范围.【小问1详解】()g x 为奇函数，证明如下：因为()22x x m f x x -+=，所以()()2222x x m mx x xg x f x -+=+=+=+，则()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()mg x x g x x-=--=-，所以()g x 为奇函数.【小问2详解】1[,1]4x ∈ 时，不等式()22f x m >-恒成立，2mx m x ∴+>对1[,1]4x ∈恒成立.设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），则只需min ()2h x m >即可.当0m ≤时，则()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以108m -<≤；当0m >时，因为()h x 在单调递减，)+∞单调递增.1≥，即m 1≥时，()h x 在1[,1]4单调递减，所以min ()(1)12h x h m m ==+>，解得1m <，舍去；14≤，即1016m <≤时，()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以此时1016m <≤；③当114<<，即1116m <<时，min ()2h x h m ==，解得01m <<，所以此时1116m <<；综上，实数m 的取值范围为1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入数据得到2240x mx m -+-<，根据不等式与方程的关系确定3m =，代入计算得到答案.（2）题目转化为min max ()()f x g x >，根据单调性计算()min f x m =，根据二次函数性质考虑322m ≤和322m >两种情况，计算最值得到答案.【小问1详解】()212m g x <+，即()22223122m m g x x mx m =-++-<+，整理得到2240x mx m -+-<，不等式2240x mx m -+-<的解集为()1,a ，故1x =为方程2240x mx m -+-=的根，即1240m m -+-=，解得3m =，故2320x x -+<，解得12x <<，则2a =.【小问2详解】对[]10,1x ∀∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x >恒成立，只需min max ()()f x g x >.()f x x m =+在[]0,1上单调递增，因此()()min 0f x f m ==；()22232m g x x mx m =-++-的对称轴为02m x =.当322m ≤，即3m ≤时，2max ()(2)12m g x g ==+，故212m m >+，即2220m m -+<，无解，舍；当322m >，即3m >时，2max ()(1)22m g x g m ==+-，故222m m m >+-，解得22m -<<，舍.综上所述：不存在实数m 符合题意.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.【答案】（1）3b =（2）①()g x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；②10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据偶函数确定2a =且230b b b -+--=，解得答案.（2）任取12,x x 满足1211x x -<<<，计算()()12g x g x <得到函数单调递增，变换()()21g t g t <-，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.【小问1详解】()2(2)4f x x a x =--+在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，故2a =，230b b b -+--=，即()()310b b -+=，解得3b =或1b =-，由区间定义可知23b b b -<--，即23b >，1b =-不满足，所以3b =.【小问2详解】①函数()g x 在()1,1-上单调递增；证明如下：()222x g x x =+，()1,1x ∈-，任取12,x x 满足1211x x -<<<，()()()()()()122112122222121212222211x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++，由于1211x x -<<<，故121x x <，210x x ->，于是()()()()()()122112*********x x x x g x g x x x ---=<++，则()()12g x g x <，则()g x 在()1,1-上单调递增.②函数()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，()()222x g x g x x --==-+，则()g x 为奇函数，由(1)(2)0g t g t -+<，即()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则12111121t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<，所以实数t 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.【答案】（1）是，证明见解析（2）[]1,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数3y x =-，进行判定，即可求解；（2）若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆，由()22f x x x =-+，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间[],I a b =，记{()|}S f x x I =∈，根据单调性得到()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，转化为()f a a <或()f b b >，得出()f x 一定存在“美好区间”，记()()g x f x x =-，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，即可求解.【小问1详解】函数3y x =-，当[1,2]x ∈时，可得[]1,2y ∈，所以区间[]1,2是函数3y x =-的一个“美好区间”.【小问2详解】记[]0,I m =，{()|}S f x x I =∈，可得()[]000,f m =∈，故若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆；由()()22211f x x x x =-+=--+，当01m <<时，()f x 在[]0,m 上单调递增，且()()2210f m m m m m m m -=-+-=-->，即()f m m >，所以()0,S f m =⎡⎤⎣⎦不包含于[]0,I m =，不合题意；当12m ≤≤时，()()[][]0,10,10,S f f m I ==⊆=⎡⎤⎣⎦，符合题意；当m>2时，()()()220f m f f <==，所以()f m I ∉，不合题意；综上可知，12m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,2.【小问3详解】对于任意区间[](),I a b a b =<，记{()|}S f x x I =∈，由已知得()f x 在I 上单调递减，故()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，因为()()f a f b b a ->-，即S 的长度大于I 的长度，故不满足性质①，所以若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，这只需S I =∅ ，即只需()f a a <或()f b b >，由()f x x =显然不恒成立，所以存在常数c 使得()f c c ≠.如()f c c <，取a c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；如()f c c >，取b c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；综上，函数()f x 一定存在“美好区间”；记()()g x f x x =-，则()g x 图象连续不断，下证明()g x 有零点：因为()f x 在R 上是减函数，所以()g x 在R 上是减函数，记()0f t =；若0=t ，则00x =是()g x 的零点，若0t >，则()()0f t f t <=，即()00g >，()0g t <，由零点存在性定理，可知存在()00,x t ∈，使得()00g x =，若0t <，则()()0f t f t >=，即()0g t >，()00g <，由零点存在性定理，可知存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，综上，()g x 有零点0x ，即()00f x x =，因为()f x 的所有“美好区间”I 都满足性质②，故0x I ∉.（否则()00f x x I =∈，与性质②不符），即0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”，证毕.【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.。
南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。
高一上学期期中数学试题(含参考答案)
高一上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题）1. 已知集合{}2Z160U x x =∈-≤∣，集合{}2Z 340A x x x =∈--<∣，则UA =（ ）A ．{14xx ≤≤∣或4}x =- B ．{41xx -≤≤-∣或4}x = C ．{}4,3,2,1,4---- D ．{}4,3,2,1----2. 24x =是2x =-的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 4. 设函数()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，若()3f a =，则实数=a （ ）A ．2B ．2-或2C ．4-或2D ．4-5. 幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ）A ．27B ．9C ．19D ．1276. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ） A ．4y x = B ．1y x=C ．y =D ．3y x =7. 若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭8. 已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且满足()()()1,12f xy f x f y f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()()232f x f x +-≥-的解集为（ ） A ．[]1,2 B ．][(),12,-∞⋃+∞C ．()()0,12,3D ．][()0,12,3⋃二、多选题（本大题共4小题）9. 已知{}21|A y y x ==+，(){}21|,B x y y x ==+ ，下列关系正确的是（ ）A ．=AB B ．()1,2A ∈C ．1B ∉D ．2A ∈10. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，则下列说法正确的有（ ） A ．0a >B ．0a b c ++<C ．24c a b ++的最小值为6D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或11. 下列说法正确的是（ ）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则1a =B ．若函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则f x y =的定义域是(]3,5-C ．奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为1-，则()()24215f f -+-=-D ．若集合{}2|420A x ax x =-++=中至多有一个元素，则2a ≤-12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图像是连续不断的，且满足以下条件：①()()R,x f x f x ∀∈-=；② ()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()f x 在(),0∞-上单调递减，B ．()()53f f -<C ．若()()12f m f -<，则3m <D ．若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞三、填空题（本大题共3小题）13. 已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时()()1f x x x =+，则()3f -= ． 14. 已知1x >，则1411y x x =++-的最小值是 ． 15. 已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，且满足()()()2,01f x f x f +=-=，则()()()()()12320212022f f f f f +++++= .四、双空题（本大题共1小题）16. 已知函数()22,31,3x x x c f x c x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若0c ，则()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是[]1,3-，则实数c 的取值范围是 .五、解答题（本大题共6小题）17. （1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，. (1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.19. 已知函数()f x A ，集合={1<<1+}B x a x a -.(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.20. 已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图象关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图象； (3)直接写出函数()g x 的单调区间．21. 已知函数()223,R f x x bx b =-+∈. (1)求不等式()24f x b <-的解集；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.22. 设函数()()22,52(0)1x f x g x ax a a x ==+->+，(1)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x ≥，求实数a 的取值范围； (2)若对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.参考答案1. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合U 和A ，根据补集的概念即可求得答案.【详解】解不等式2340x x --<得14,{Z 14}{0123}x A x x -<<∴=∈-<<=∣，，，, 由2160x -≤,可得44x -≤≤，{}Z 44{432101234}U x x ∴=∈-≤≤=----∣，，，，，，，，， {}4,3,2,1,4U A ∴=----故选：C. 2. 【答案】B【分析】先解方程24x =，进而判断出.24x =是2x =-的必要不充分条件. 【详解】①当24x =时，则2x =±，∴充分性不成立，②当2x =-时，则24x =，∴必要性成立，∴24x =是2x =-的必要不充分条件. 故选：B. 3. 【答案】D【分析】通过反例1a =，1b ，0c 可排除ABC ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b，则1111a b=>=-，221a b ==，则A 、B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥，21011c ∴<≤+，又a b >，2211a bc c ∴>++，则D 正确.故选：D. 4. 【答案】B【分析】根据()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，分0a ≤和 0a >讨论求解. 【详解】解：()21,01,0x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩，当0a ≤时，13a -+=，则2a =-， 当0a >时，令24a =，则2a =， 故实数2a =-或2， 故选：B. 5. 【答案】A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数m 的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A. 6. 【答案】D【分析】根据幂函数的单调性与奇偶性分析判断.【详解】对于A ：∵()44x x -=，则4y x =是偶函数，故A 错误； 对于B ：∵11=--x x ，则1y x=为奇函数，在()(),0,0,-∞+∞单调递减，但在定义域上不单调，故B 错误；对于C :y =[)0,∞+，在定义域上单调递增，但定义域不关于原点对称，即y =C 错误；对于3D :y x =在定义域R 上单调递增，且33()x x -=-，即3y x =为奇函数，故D 正确； 故选：D. 7. 【答案】B【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可. 【详解】不等式234y x m m +<-有解，2min 3,0,04y x m m x y <⎛⎫∴+->> ⎪⎝⎭，且141x y +=，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时取“="，min 44y x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，故234m m ->，即()()1340m m +->，解得1m <-或4,3m >∴实数m 的取值范围是()4,1,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭. 故选：B. 8. 【答案】D【分析】由赋值法得()42f =-，由函数的单调性转化后求解，【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==得()()121f f =，即()10f =，则()()11122022f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()21f =-， 即有()()4222f f ==-，由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在()0,∞+上递减， 不等式()()232f x f x +-≥-即为()()234f x x f ⎡⎤-≥⎣⎦.则20302(3)4x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01x <≤或23x ≤<，即解集为][()0,12,3⋃. 故选：D9. 【答案】CD【分析】根据集合A 、B 的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵{}2|1{|1}A y y x y y ==+=是数集；{}2(,)|1B x y y x ==+为点集，∴2A ∈，2B ∉，1B ∉，故A 错误，C 、D 正确；由21y x =+知，=1x 时=2y ，∴(1,2)B ∈,(1,2)A ∉，故B 错误． 故选：CD ． 10. 【答案】BC【分析】由不等式与方程的关系得出02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，从而得到：5b a =-，6c a =，且a<0，再依次对四个选项判断即可得出答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23<<x x ，02323a b a c a ⎧⎪<⎪⎪∴+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得：5b a =-，6c a =，且a<0，故选项A 错误；5620a b c a a a a ++=-+=<，故选项B 正确；()2243641964c a a a b a a ++⎛⎫==-+-≥ ⎪+-⎝⎭， 当且仅当13a =-时等号成立，故选项C 正确；20cx bx a -+<可化为：2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，则解集为1123x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，故选项D 错误；综上所述选项B 、C 正确， 故选：BC. 11. 【答案】BC【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，可判断A 项错误；根据抽象函数定义域的求解法则，以及使得分式根式有意义，可列出不等式组，可判断B 项正确；根据条件可得()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可求得()2f -与()4f -的值，代入即可得出C 项正确；由题意可知，方程2420ax x -++=至多有一个解，对a 是否为0讨论，可得D 项错误.【详解】由偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，可得210a a -+=，解得13a =，A 错；因为函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，即5215x -≤-≤.所以函数()f x 的定义域为[]5,5-.要使f x y =5530x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得35x -<≤，即y =(]3,5-，B 对；因为，奇函数()f x 在[]2,4上单调递增，且最大值为8，最小值为-1， 则()21f =-，()48f =，根据奇函数的性质可得，()()221f f -=-=，()()448f f -=-=-， 则()()()24228115f f -+-=⨯-+=-，则C 项正确；因为集合{}2420A x ax x =-++=∣中至多有一个元素， 所以方程2420ax x -++=至多有一个解，当0a =时，方程420x +=只有一个解12x =-，符合题意；当0a ≠时，由方程2420ax x -++=至多有一个解，可得Δ1680a =+≤，解得2a ≤-. 所以，0a =或2a ≤-，则D 项错误. 故选：BC. 12. 【答案】AD【分析】由①可得，()f x 为偶函数.由②可得，()f x 在()0,∞+上单调递增.后分析选项可得答案.【详解】由()()()21121221,0,,,0f x f x x x x x x x ∞-∀∈+≠>-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数.对于A 选项，因()f x 在()0,∞+上单调递增，且()f x 为偶函数，则()f x 在(),0∞-上单调递减，故A 正确.对于B ，C 选项，因()f x 为偶函数，则()()f x f x =.又()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()()553,f f f -=>故B 错误；()()()()1212f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图像是连续不断的，则有12m -<，解得13,m -<<故C 错误；对于D 选项，由()0f x >及()10f -=得：()()11f x f x >⇔>，解得1x <-或1x >，由()0f x <得：()()11f x f x <⇔<，解得11x -<< 则()0f x x>可化为：()00f x x ⎧>⎨>⎩或()00f x x ⎧<⎨<⎩，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故D 正确.故选：AD13. 【答案】－12【分析】利用奇函数的性质()()f x f x -=-即可得到答案. 【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-， 故()()()3331312f f -=-=-⨯+=-． 故答案为：－12. 14. 【答案】9【分析】将目标式变形，利用基本不等式即可得出其最值． 【详解】1x >，10x ->，()(11414152415911x x x x x ∴++=-++-=--， 当且仅当()1411x x -=-即3=2x 时取等号， 32x ∴=时， 1411y x x =++-取最小值9． 故答案为：9． 15. 【答案】1-【分析】由()()2f x f x +=-知函数是周期为4的周期函数，再结合偶函数可求()()()()1234f f f f ，，，的值，从而可求()()()()()12320212022f f f f f +++++的值.【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，即函数是周期为4的周期函数；根据题意，()f x 是定义域为(),-∞+∞的偶函数，则有()()11f f -=，又由()f x 满足()()2f x f x +=-，则()()()111f f f -=-=，所以()()110f f =-=，由()()2f x f x +=-，可得()()()()201,310f f f f =-=-=-=， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()12320212022f f f f f +++++()()()()()()5051234121f f f f f f ⎡⎤=+++++=-⎣⎦. 故答案为：1-.16. 【答案】 [1,)-+∞ 1[,1]3.【分析】作出函数()f x 的图象，根据二次函数与反比例函数的图象与性质，结合图象，即可求解.【详解】由0c 时，函数()22,301,03x x x f x x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，当[3,0]x ∈-时，函数()22f x x x =+，可得函数()f x 在[3,1]--上单调递减，在[1,0]-上单调递增， 且()()(3)3,11,00f f f -=-=-=，所以函数的值为[1,3]-； 当(0,3]x ∈时，函数()1f x x =为单调递减函数，其值域为1[,)3+∞， 综上可得，函数()f x 的值域为[1,)-+∞； 作出函数()f x 的图象，如图所示， 若函数()f x 的值域为[1,3]-，当1y =-时，即221x x +=-，解得=1x -， 当3y =时，即223x x +=，解得3x =-或1x =， 当13x=时，可得13x =，结合图象，可得实数c 的取值范围是1[,1]3.故答案为：[1,)-+∞；1[,1]3.17. 【答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；（2）利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，2302000x x ∴-+<解集为{1020}x x <<∣， 又15,1520x x ≥∴≤<，故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有()()()211212121212121212121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->. 又由12x x <，得120x x -<.于是()12121210x x x x x x --<，即12y y <. 所以，函数1y x x=+在区间()1,+∞上单调递增. 18. 【答案】(1)(1,)+∞ (2)(0,1]【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可； （2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤， p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤， 命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤， 所以q ⌝为真命题时，0a >，所以1>0a a ≤⎧⎨⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]． 19. 【答案】(1){3<1x x -≤-或}34x ≤≤(2){3}aa ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A xx =<≤｜，进而计算出RB 及()R A B ⋂；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围. 【详解】（1）要使函数()f x 40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤， 所以集合{-34}A x x =<≤｜. 2a =，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --， ∴{=1RB x x ≤-或}3x ≥，∴{=3<1RA B x x ⋂-≤-或}34x ≤≤；（2）B A ⊆，①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得：03a <≤，综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.20. 【答案】(1)1()f x x -=(2)作图见解析(3)递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞【分析】(1)利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图象性质即可得解.(2)由(1)求出函数()g x ，再借助反比例函数、对称性作出()g x 的图象.(3)根据(2)中图象特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因幂函数()22()55m f x m m x -=-+，则2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-∞+∞，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，则1m =，当4m =时，函数2()f x x =是R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，关于原点不对称，所以幂函数()f x 的解析式是1()f x x -=（2）因函数()|()|g x f x =，由(1)知，1()||g x x =，显然()g x 是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，1()g x x =在(0,)+∞上单调递减，其图象是反比例函数1y x =在第一象限的图象，作出函数()g x 第一象限的图象，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图象，如图，（3）观察(2)中图象得，函数()g x 的递增区间是(,0)-∞，递减区间是(0,)+∞. 21. 【答案】(1){|11}x b x b -<<+(2)答案见解析【分析】（1）根据题意解一元二次不等式即可；（2）分类讨论函数单调区间，找到最小值点，由最小值为1，求出系数b ，再求函数在区间内的最大值.【详解】（1）若()24f x b <-，即22234x bx b -+<-，则()()110x b x b ⎡⎤⎡⎤---+<⎣⎦⎣⎦，∵11b b -<+，所以11b x b -<<+，故不等式()0f x <的解集为{|11}x b x b -<<+.（2）因为()223f x x bx =-+是开口向上，对称轴为x b =的二次函数，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()1421f b -=+=，解得32b =-， 故函数()y f x =的最大值为()27413f b =-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴函数()y f x =的最小值为()2741f b =-=，解得32b =（舍去）； ③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上是单调递增，∴函数()y f x =的最小值为()231f b b =-=，解得b =b =（舍去），故函数()y f x =的最大值为()1424f b -=+=+综上所述： 当32b =-时，()f x 的最大值为13；当b =()f x 最大值为4+22. 【答案】(1)5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据题意，分别求出两个函数的最小值，将问题等价转化为min min ()()g x f x ≤，解不等式即可求解；(2)根据题意，分别求出两个函数的值域，然后将问题等价转化为()f x 在[0,1]上值域是()g x 在[0,1]上值域的子集，结合集合的包含关系即可求解.【详解】（1）因为()()()2221221214111x x f x x x x x -+⎡⎤===++-⎢⎥+++⎣⎦，利用1y x x =+函数图像性质可知()f x 在[]0,1上单调递增，于是()f x 在0x =处取得最小值，即()min ()00f x f ==，因为()52g x x a α=+-，注意到0a >，则()g x 在[]0,1上单调递增，于是()g x 在0x =处取得最小值，即()min ()052g x g a ==-，由题意可得：520a -≤，即得5,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由(1)可知：()f x 在1x =处取得最大值，即()max ()11f x f ==于是当[]0,1x ∈时，()f x 的值域[]0,1A = ()g x 在1x =处取得最大值，即()max ()15g x g a ==- 于是当[]0,1x ∈时，()g x 的值域[]52,5B a a =-- 要使得对任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈使得()()12f x g x = 根据()f x 与()g x 的连续性可知A B ⊆成立 则52051a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数a 的取值范围为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高一上学期期中考试数学试题(解析版)
故选：D.
7.荀子曰：“故不积跬步无以至千里；不积小流无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.
【小问1详解】
解：设 的长为 米（ ）
是矩形
由 得
解得 或
即 的取值范围为
【小问2详解】
令 （ ）则
当且仅当 即 时等号成立此时 最小面积为48平方米
22.已知函数 为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断 的单调性并用定义法证明你的判断：
（3）设 若对任意的 总存在 使得 成立求实数k的取值范围.
则 即 解得：
所以实数 的取值范围 ．
【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题易错点是要注意： 是任何集合的子集所以要分集合 和集合 两种情况讨论考查学生的逻辑推理能力属于中档题.
18.已知关于x的不等式 ．
（1）若不等式的解集是 求 的值；
（2）若 求此不等式的解集．
【答案】（1） ；（2）分类讨论答案见解析．
【详解】由已知设“积跬步”为命题 “至千里”为命题
“故不积跬步无以至千里”即“若 则 ”
其逆否命题为“若 则 ”反之不成立
所以命题 是命题 的必要不充分条件
故选：B.
8.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”即假设在平面内有一个三角形边长分别为abc三角形的面积 可由公式 求得其中 为三角形周长的一半这个公式也被称为海伦——秦九韶公式现有一个三角形的边长满足 则此三角形面积的最大值为（）
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析
21.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f (x)＝x2－2x. (1)求 f (x) 的解析式，并画出 f (x)的图象； (2)设 g(x)＝f (x)－k，利用图象讨论：当实数 k 为何值时， 函数 g(x)有一个零点？二个零点？三个零点？
22.已知定义域为 R
的是第 2 个字符为 1，第 4 个字符为 1，其余均为 0 的 6 位字符串 010100，并规定空集表 示的字符串为 000000．
（1）若
，则 CU M 表示 6 位字符串为_____________．
（2）若
,集合 表示的字符串为 101001，则满足条件的集合 的个数为____个．
三、解答题。
（1）分别求 A B ,C R B A ; （2）已知集合 C x 1 x a ,若 C A ,求实数 a 的取值范围.
19.设 0 x 2 求函数
x 1
y4 2
3 2 x
5 的值域.
20.截至 2017 年底，已知某市人口数为 80 万，若今后能将人口年平均增长率控制在 1%，经 过 x 年后，此市人口数为 y (万). (1) 求 y 与 x 的函数关系 y＝f (x)； (2) 求函数 y＝f (x) 的定义域； (3) 判断函数 f (x) 是增函数还是减函数？
一、单选题。
1.【答案】B
【解析】由为区间的形式即：(0,1].本题选择 B 选项.
2.【答案】C
【解析】 是偶函数且在
上为增函数；
上为减函数的是（ ）
A. y x 2
B. y 2 x
C. y x 2
D. y x 3
3.下列各组函数中，表示同一函数的是（
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
六安2023年秋学期高一年级期中考试数学试卷（答案在最后）满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A.1x ∃≤，20x x ->B.1x ∀>，20x x -≤C.1x ∃>，20x x -≤D.1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是1x ∃>，20x x -≤.故选：C.2.若12162x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A B =I ð（）A.{}14x x <≤ B.{}14x x ≤< C.{}14x x << D.{}14x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】分别解指数不等式和分式不等式求出集合A 与集合B ，再由补集和交集知识进行求解即可.【详解】由12162x ≤≤，得14222x -≤≤，∵2x y =在R 上单调递增，∴解得14x -≤≤，∴{}1216142x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，又∵501x x -≥-()()51010x x x ⎧--≥⇔⎨-≠⎩，解得1x <或5x ≥，∴501x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭{1x x =<或}5x ≥，∴{}15B x x =≤<R ð，又∵{}14A x x =-≤≤，∴(){}14A B x x ⋂=≤≤R ð.故选：D.3.已知p ：12a >，q ：指数函数()()32xf x a =-是增函数，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出命题q 中a 的范围，判断两个命题间的充分性与必要性即可.【详解】因为指数函数()()32xf x a =-是增函数，所以3211a a ->⇒>，又p ：12a >，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：C4.若0.62a =，30.6b =，0.63c =，则它们的大小关系是（）A.c a b >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数0.6y x =和0.6x y =的单调性即可比较.【详解】因为0.6y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.60.60.6123<<，即1c a >>又0.6x y =在R 上单调递减，所以300.60.6<，即1b <，综上，c a b >>.故选：A5.若,x y 满足0,0,3x y xy x y >>=+，则3x y +的最小值为（）A.10+B.10+C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为3xy x y =+，0,0x y >>，两边同除xy 得131x y+=，所以()133********y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当4x y ==时等号成立，故选：D .6.已知函数()x f x a b =+的图象如图所示，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数()x f x a b =+的图象可求得,a b 的范围，再根据二次函数的图象即可得解.【详解】函数()x f x a b =+的图象是由函数x y a =的图象向下或向上平移b 个单位得到的，由函数()x f x a b =+的图象可得函数为单调递减函数，则01a <<，令0x =得()11,0b +∈-，则()2,1b ∈--，则函数()()()g x x a x b =--的大致图象为A 选项.故选：A .7.设定义在()2,2-上的函数()2112x f x x +=-，则使得()()121f x f x +>-成立的实数x 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C.()0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】()()()211=2x f x x x f -+=---，且定义域是()2,2-，所以()f x 为偶函数，且2112,x y x y +=-=在()0,2均为增函数，所以()f x 在()0,2为增函数，且()f x 为偶函数，所以()()121f x f x +>-，即1212122212x x x x ⎧+>-⎪-<+<⎨⎪-<-<⎩，解得01x <<.故选：C8.已知函数()f x 满足()()()1f x y f x f y +=++（,R x y ∈），当0x >时，()10f x +>且()12f =，若当[]1,3x ∈时，()()221f ax x f x ++<有解，则实数a 的取值范围为（）A.9,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.8,9⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(),2-∞- D.82,9⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】证明函数单调递增，变换得到()()231f ax x f +<，根据单调性得到231ax x +<，计算函数最值得到答案.【详解】设12x x <，故()2110f x x -+>，则()()()()()2121112110f x f x f x x x f x f x x -=-+-=-+>，函数单调递增，()()221f ax x f x ++<，即()222f ax x x ++<，即()()231f ax x f +<，即231ax x +<在[]1,3x ∈有解，即221313924a x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭，2max1398249x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫--=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，故8,9a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C.不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭D.0a b c ++>【答案】AC 【解析】【分析】由题意可得3,4-是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，然后利用根与系数的关系表示出,b c ，再逐个分析判断即可.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为(][),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；且方程20ax bx c ++=的两根为－3、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩.对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，因为12b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，所以21210x x -->，解得14x <-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为{14x x <-或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确.故选：AC .10.以下从M 到N 的对应关系表示函数的是（）A.R M =，R N =，1:f x y x→=B.R M =，{}0N y y =≥，:f x y x →=C.{}0M x x =>，R N =，:f x y →=D.*{|2,N }M x x x =≥∈*{|0,N },N y y y =≥∈2:22f x y x x →=-+【答案】BD 【解析】【分析】判断从M 到N 的对应关系是否表示函数，主要是判断集合M 中的每一个元素在集合N 中是否都有唯一的元素与之对应即可.【详解】对于A 选项，因0,M ∈而0没有倒数，故A 项错误；对于B 选项，因任意实数的绝对值都是非负数，即集合M 中的每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应，故B 项正确；对于C 选项，因每个正数的平方根都有两个，即集合M 中的每个元素在集合N 中都有两个元素与之对应，故C 项错误；对于D 选项，因2222(1)1,y x x x =-+=-+当*2,N x x ≥∈时，即有*,2,N y y ∈≥且每个x 对应唯一的y 值，故必有y N ∈成立,故D 项正确.故选：BD.11.已知函数()33f x x =--，下列说法正确的是（）A.()f x 定义域为[)(]3,00,3-B.()f x 在(]0,3上单调递增C.()f x 为奇函数D.()f x 值城为()3,3-【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数的性质逐个判定即可.【详解】对于A ：函数定义域需满足290330x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得[)(]3,00,3x -∈ ，A 正确；对于B ：当(]0,3x ∈时()f x ====，在(]0,3单调递减，所以()f x 在(]0,3内单调递增，B 正确；对于C ：由A 知函数定义域为[)(]3,00,3- ，所以()f x ==，所以()()f x f x x-==-，所以()f x 为奇函数，C 正确；对于D ：由B 知()f x 在(]0,3内单调递增，所以(]0,3x ∈时()(],0f x ∈-∞，又由C 知()f x 为奇函数，所以[)3,0x ∈-时()[)0,f x ∈+∞，所以()f x 得值域为(),-∞+∞，D 错误，故选：ABC12.一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.函数()922f x x=-不存在跟随区间B.若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2a =C.二次函数()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”D.若函数()f x m =-存在跟随区间，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A 选项，由题，因为函数()922f x x=-在区间(),0∞-与()0,∞+上均为增函数，若()922f x x =-存在跟随区间[],a b 则有922922a ab b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即,a b 为922x x =-的两根．即22940x x -+=的根，故1,42a b ==，故A 错误．对于B 选项，若[]1,a 为()222f x x x =-+的跟随区间，因为()222f x x x =-+在区间[]1,a 为增函数，故其值域为21,22a a ⎡⎤-+⎣⎦，根据题意有222a a a -+=，解得1a =或2a =，因为1a >故2a =，故B 正确．对于C 选项，若()22f x x x =-+存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为[],a b ，值域为[]3,3a b ，当1a b <≤时，易得()22f x x x =-+在区间上单调递增，此时易得,a b 为方程232x x x =-+的两根，求解得=1x -或0x =.故定义域[]1,0-，则值域为[]3,0-．故C 正确．对于D 选项，若函数()f x m =-存在跟随区间[],a b ，因为()f x m =-为减函数，故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=-⎪⎩即()()11a b a b a b -=+-+=-（，因为a b <1=．易得01≤<．所以(1a m m ==--，令t =[]()0,1t ∈代入化简可得20t t m --=，同理t =也满足20t t m --=，即20t t m --=在区间[]0,1上有两不相等的实数根．故1400m m +>⎧⎨-≥⎩，解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故D 错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.)2232711644-⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果.【详解】原式2332345194134⨯⎛⎫=⨯+-=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1314.已知函数()f x 的定义域为()1,3，则函数()3g x -=的定义域为________.【答案】()5,6【解析】【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为()1,3，所以()3f x -满足13346x x <-<⇒<<，又函数()3g x -=有意义，所以505x x ->⇒>，所以函数()3g x -=的定义域为()5,6，故答案为：()5,615.已知)132fx +=++，则()f x 的解析式为________.【答案】()2354f x x x =-+，1x ≥【解析】【分析】换元法求解表达式，第一步令括号内的表达式为t ,第二步将表达式中的x 换成t 即可.【详解】)132f x +=++的定义域为[)0,∞+.令1,1t t =≥，则2(1)x t =-，所以，由)132fx +=++得()23(1)2,1f t t t =-++≥，即()2354,1f t t t t =-+≥.于是()2354,1f x x x x =-+≥.故答案为：()2354,1f x x x x =-+≥.16.已知函数()f x x x a =-，当[]0,1x ∈时()f x 的最大值为3，则实数a 的值为________.【答案】2-或4【解析】【分析】化简()f x x x a =-解析式为分段函数形式，讨论0a ≤时，结合最大值求得a 的值；0a >时，数形结合，讨论12a ≥和1122a a +<£以及112a <，确定函数在何处取得最值，求得a 的值，综合可得答案.【详解】由题意知函数的定义域为R ，()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a ≤时，由[]0,1x ∈得()()2224a a f x x x a x ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，所以当1x =时，()max 13,2f x a a =-=∴=-，当0a >时，()f x 的图象如图所示，当12a≥，即2a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增,所以()f x 函数在[0,1]上的最大值为(1)13,4f a a =-=∴=，当1122a a <£，即22a ≤<时，()f x 在[0,1]上的图象在2a x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为2(324a a f ==，不符合题意；当112a <，即02a <<-时，()f x 在[0,1]上的图象在1x =处达到最高点，所以()f x 在[0,1]上的最大值为(1)13,2f a a =-==-，不符合题意，故a 的值为2-或4，故答案为：2-或4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}21,R B x m x m m =≤≤+∈.（1）2m =，求A B ⋃；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}05A B x x ⋃=≤≤（2）()[],10,1-∞-⋃【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算求解即可.（2）根据命题间的充分不必要关系转化为集合间的包含关系，进而求出参数取值范围.【小问1详解】当2m =时，{}25B x x =≤≤，因为{}03A x x =≤≤，所以{}05A B x x ⋃=≤≤【小问2详解】由题意“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件得B AÜ①若B =∅，则21m m >+，解得1m <-；②若B ≠∅，则21m m ≤+，解得1m ≥-；B A Ü，∴0213m m ≥⎧⎨+<⎩或0213m m >⎧⎨+≤⎩，∴01m ≤≤综合①②得：m 的取值范围是()[],10,1-∞-⋃.18.已知幂函数()()233af a a x x =-+为偶函数，a ∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1g x f x x =++，求函数()g x 的解析式.【答案】（1）()2f x x=（2）()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【解析】【分析】（1）根据题意，由幂函数的定义，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由函数的奇偶性求解函数解析式，即可得到结果.【小问1详解】()f x 为幂函数，∴2331a a -+=，解得1a =或2a =，又()f x 为偶函数，∴2a =，∴()2f x x =.【小问2详解】由（1）得，当0x >时，()21g x x x =++①当0x =时，()0g x =；②当0x <时，0x ->；∴()()()2211g x x x x x -=-+-+=-+，∴()()21g x g x x x =--=-+-综上得()221,00,01,0x x x g x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩19.已知二次函数()f x 是R 上的偶函数，且()04f =，()15f =.（1）设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间[)2,+∞上单调递增；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()()()21212f x a x a x <-+++.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求的()f x ，应用定义法证明函数的单调性；（2）分类讨论两根的大小关系即可求解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，（0a ≠）()f x 为偶函数，∴0b =.()04f =，∴4c =，∴()24f x ax =+又()15f =，∴1a =，∴()24f x x =+，∴()244x g x x x x+==+.证明：[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x <，()()12121244g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<，1240x x ->，120x x >∴()()120g x g x -<，∴()()12g x g x <∴()g x 在[)2,+∞上单调递增.【小问2详解】()()2241212x a x a x +<-+++整理得：()22120ax a x -++<，因式分解得()()120ax x --<当0a >，方程()()120ax x --=的两根为1a 和2，且1122aaa--=.①当102a <<时，12a >，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭②当12a =时，12a =，原不等式的解集为∅③12a >时，12a <，原不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭综上：当102a <<时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当12a =时，不等式的解集为∅当12a >时，不等式的解集为12x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.20.天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元（0x ≥）满足关系式91ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为6万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为432a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）（1）求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】（1）3k =,361121y x x =--+，0x ≥（2）当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元【解析】【分析】（1）由题意求得k ，再利用利润公式即可求得y 关于x 的函数；（2）利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，当0x =时，96a k =-=，∴3k =，∴391a x =-+，所以43632201241121y a a x a x x a x ⎛⎫=+--=+-=-- ⎪+⎝⎭，∴361121y x x =--+，0x ≥.【小问2详解】因为3636112113111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭113101≤-=，当且仅当3611x x =++，即5x =时，等号成立.∴当促销费用为5万元时，该产品的利润最大，最大利润为101万元.21.已知函数()133x x bf x a++=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意()1,2x ∈，不等式()()222210f x x f x k +-+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3a =，1b =-.（2）4k ≤【解析】【分析】（1）利用()00f =，()()11f f -=-，求得a ，b 的值，再检验即可；（2）先证明()f x 为R 上单调递增，再结合奇偶性可得2321k x x <+-恒成立，利用二次函数的性质求得()2321g x x x =+-，()1,2x ∈的最小值，进而可解.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数得()1003b f a +==+，∴1b =-，∴()1313xx f x a+-=+，又()()11f f -=-，解得3a =，∴()()1313133331x x x x f x +--==++，则()()()()()311331331313331x xx xxxf x f x ------===-=-+++∴()f x 为R 上的奇函数，∴3a =，1b =-.【小问2详解】()()()31312121331331331x x x x x f x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()212121122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++，因为3x y =在R 上单调递增，所以当12x x <时，1233x x <，即12330x x -<，又2110,1033x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上单调递增.()1,2x ∀∈，()()22221f x x f x k +->--由()f x 为奇函数，上式可变形为()()22221f x x f k x+->-由()f x 为R 上增函数得22221x x k x +->-即2321k x x <+-恒成立，令()2321,12g x x x x =+-<<，而()2214321333g x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()g x 在()1,2单调递增，所以()()14g x g >=，∴4k ≤.22.已知定义在R 上的函数()142xx f x m m +=⋅--（m ∈R ）.（1）当1m =时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（3）若函数()y g x =的定义域内存在0x ，使得()()002g a x g a x b ++-=成立，则称()g x 为局部对称函数，其中(),a b 为函数()g x 的局部对称点，若()1,0是()f x 的局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[)2,-+∞（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，由换元法，结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分0,0,0m m m =<>讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当1m =时，()1421xx f x +=--令20x t =>，()2221122y t t t =--=--≥-，∴()f x 的值域为[)2,-+∞.【小问2详解】令22x t =>，22y mt t m=-- 2x t =在()1,+∞上单调递增，∴要使()f x 在()1,+∞上单调递增，只需22y mt t m =--在()2,+∞上单调递增①当0m =时，2y t m =--在()2,+∞上单减不符合题意；②当0m <时，22y mt t m =--开口向下不符合题意；③当0m >时，012m m>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得12m ≥，∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由()1,0是()f x 的局部对称点得x ∃∈R ，()()110f x f x ++-=代入整理得()()2442220x xxx m m --+-+-=①令222x x t -=+≥，则()22442222x x x xt --+=+-=-代入①式得22250mt t m --=，2225252tm t t t==--当2t ≥时，函数2y t =和5y t=-均为增函数∴52t t -在[)2,+∞上单调递增，∴5322t t -≥，∴240,32t t t⎛⎤∈ ⎥⎝⎦-，∴实数m 的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
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厦门六中2016—2017学年上学期高一期中考试数 学 试 卷满分：150分 考试时间：120分钟 、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列命题正确的是 （ ）A.接近0的实数可以构成集合B.{}R =实数集C.集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合D.参加2016年金砖国家峰会的所有国家可以构成一个集合．2．函数()()lg 2f x x =+的定义域为 （ ）A.()2,1-B.[]2,1-C.()2,-+∞D.(]2,1-3．已知幂函数()f x x α=的图象过点)2,2(，则1()4f = （ ）A.12- B.2 C.12 D.34．下列四个函数中，在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x x f -=3)(B ．x x x f 3)(2-=C ．11)(+-=x x f D ．x x f -=)(5．已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值 （ ）A ．0B ．31C ． 1D ．1-6．若()()12f x f x +=，则()f x 的解析式可以是 （ ）A.()2f x x =B.()2x f x =C.()2f x x =+D.()2log f x x =7．用二分法求方程x x -=3lg 的近似解，可以取的一个区间是 （ ）A ． )1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(8．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则 （ ）A.>>a b cB.>>a c bC.>>c a bD.>>c b a1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是 （ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某林场今年造林10000亩，计划以后每一年比前一年多造林10%，那么从明年算起第3年内将造林 亩.14．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，()2f a =，则a = ． 15．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则实数k 的值是__ _．16．已知函数()f x 对于一切实数,x y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立,且(1)0f =,则当,不等式()2log a f x x +<恒成立时,则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题有6小题，共70分;解答时应写出文字说明与演算步骤）17．（本小题满分10分）计算下列各题：（1）()0lg 4lg 254π+- （2）2334lg32lg 427256lg 2-++18．（本小题满分12分）已知集合{}2|log ,4A y y x x ==≥，1|(),102x B y y x ⎧⎫==-≤≤⎨⎬⎩⎭． （1）求A B ；（2）若集合{}C |21x a x a =≤≤-，且CB B =，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数， 当0x >时，2()2f x x x =-.（1）画出()f x 的简图, 并求()f x 的解析式；（2）利用图象讨论方程()f x k =的根的情况。
（只需写出结果，不要解答过程）.20．（本小题满分12分）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.（1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数;（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？21．（本小题满分12分）若二次函数()f x 满足()(1)41f x f x x +-=+，且(0)3f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1x ∈-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数41()log (41)2x f x x =+-. （1）试判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）设)342(log )(4a a x g x -⋅=，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.厦门六中2016—2017学年上学期高一期中考试数 学 试 卷参考答案1-6 DAC CBB 7-12 ACB BAB12．B 先画出函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，的图象，方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，由0x ≤时，()1f x x =+，则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-即：122x x +=-，当0x >时，由于2log y x =在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又因为34x x <，4232log log x x =，则4310x x <<<，有1l o g l o g 434232=⇒=-x x x x ，又因为方程a x f =)(有四个不同的解，所以1log 32≤-x ，则213≥x ，则3122341()x x x x x ++=3312x x +-，)121(3<≤x ，设t t t g 12)(+-=，（121<≤t ），由于012)(2<--='t t g ，则)(t g 在)1,21[上是减函数，则1)(1≤<-t g ，故应选择B 13． 13310 14．-2 15．21±-或 16.432,1-⎡⎫⎪⎢⎣⎭也正确） 16.解：取1y =，则()()()113f x fx x +-=+，将()10f =代入，得()213f x x x +=+。
由此用换元法可得()22f x x x =+-，∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log a f x x +<恒成立等价于当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2log a x x x+<恒成立。
作图可知， 当0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩17.（1（2）76 。
（每题5分，过程全对才给分，只要有一步错就不给分） 18．（1）对于函数2log y x =,∵4x ≥,∴2y ≥,其值域为集合[)2,A =+∞． …2分 对于函数1()2xy =,∵10x -≤≤,∴12y ≤≤,其值域为集合B=[1,2]． ……4分 ∴A B={2}． ……6分 （2）∵C B B =,∴C ⊆B ． ……7分 当21a a -<时,即1a <时,C=∅,满足条件； ……9分 当21a a -≥时,即1a ≥时,要使C ⊆B,则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩,解得312a ≤≤． ……11分 综上可得：3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ……12分 19． （1）画出简图（如右图）……3分()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴()0f x =； ……4分 当0x <时，0,x ->于是22()()2()2f x x x x x -=---=+ ……6分 ∴2()()2(0)f x f x x x x =--=--<∴()222(0)()002(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩ ……8分 （2）当11k k <->或，方程有1个实根；当1k =±，有2个实数根；当11k -<<，有3个实数根。
（写对1个给1分，写对2个给2分，全对给4分） ……12分20． 解析：当030x <≤时，900y = ……2分当3075x <≤时，90010(30)120010y x x =--=- ……4分即900,030,120010,3075,x x N y x x x N<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩ ……5分(2)设旅行社所获利润为S 元，则当030x <≤时，90015000S x =-；当3075x <≤，()21200101500010120015000S x x x x =--=-+-；即290015000,030,10120015000,3075,.x x x N S x x x x N -<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩……8分 因为当030x <≤时，90015000S x =-为增函数，所以30x =时，max 12000S =…9分当3075x <≤时，()2210120015000106021000S x x x =-+-=--+， 即60x =时，max 2100012000S =>. ……11分 所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润. ……12分21． （1）由(0)3f =得，3c =． ∴可设2()3f x ax bx =++． ……2分 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+，…4分 即241ax a b x ++=+，∴241a a b =⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=-⎩．∴2()23f x x x =-+． …6分 （2） ()6f x x m >+等价于2236x x x m -+>+，即2273x x m -+>在[1,1]-上恒成立， ……9分 令2()273g x x x =-+，则min ()(1)2g x g ==-，∴2m <-． ……12分22．解：（1）()f x 为R 上的偶函数，以下进行证明： ……1分 易知，()f x 的定义域为R ，关于原点对称； ……2分()1244444141log (41)log (41)log 4log ()log (22)22x x x x x x x f x x -+=+-=+-==+， ()()4log (22)x x f x f x -∴-=+=，所以()f x 为R 上的偶函数 ……6分（2）)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，只需方程4log (22)x x -+)342(log 4a a x -⋅=有且只有一个实根，即方程a a x x x 342212-⋅=+有且只有一个实根.令02>=x t ，则方程0134)1(2=---at t a 有且只有一个正根。