大学物理上复习资料

内容提要位矢：k t z j t y i t x t r r)()()()(位移：k z j y i x t r t t r r)()(一般情况，r r速度：k z j y i x k dtdz j dtdy i dt dx dt r d t r t•••0lim加速度：k z j y i x k dtz d j dt y d i dt x d dtr d dt d t a t•••••• 222222220lim圆周运动角速度：•dtd角加速度：•• 22dtd dt d （或用 表示角加速度） 线加速度：t n a a a法向加速度：22R Ra n 指向圆心切向加速度：R dtd a t沿切线方向 线速率： R弧长： R s内容提要动量：m p 冲量：21t t dt F I动量定理： 21t t dt F p d 210t t dt F p p动量守恒定律：若0 ii F F ，则常矢量 ii p p力矩：F r M质点的角动量（动量矩）：r m p r L角动量定理：dtLd M外力角动量守恒定律：若0 外力外力M M，则常矢量 ii L L功：r d F dW•• BAAB r d F W 一般地 BAB AB Az z z y y y x x x AB dz F dy F dx F W动能：221m E k动能定理：质点， 222121AB AB m m W质点系，0k k E E W W 内力外力保守力：做功与路程无关的力。

保守内力的功：p p p E E E W )(12保守内力 功能原理：p k E E W W 非保守内力外力机械能守恒：若0 非保守内力外力W W ，则00p k p k E E E E内容提要转动惯量：离散系统，2ii r m J连续系统，dm r J 2平行轴定理：2md J J C刚体定轴转动的角动量： J L 刚体定轴转动的转动定律：dtdL J M 刚体定轴转动的角动量定理：021L L Mdt t t力矩的功：Md W力矩的功率： M dt dWP 转动动能：221 J E k刚体定轴转动的动能定理：2221210J J Md内容提要库仑定律：r e r q q F221041电场强度：0q FE带电体的场强：r ii e r dq E E204静电场的高斯定理：•iSqS d E 01静电场的环路定理： •Ll d E 0电势：•pp l d E V带电体的电势：rdq V V i 04导体静电平衡：电场，○1导体内场强处处为零；○2导体表面处场强垂直表面 电势，○1导体是等势体；○2导体表面是等势面 电介质中的高斯定理： •i Sq S d D各向同性电介质：E E D r0 电容：UQ C电容器的能量：22212121CU QU C Q W内容提要毕奥-萨伐尔定律：204r e l Id B d r磁场高斯定理： •SS d B 0安培环路定理： •i I l d B 0载流长直导线的磁场：)cos (cos 4210r IB 无限长直导线的磁场：rIB 20载流长直螺线管的磁场：)cos (cos 2210nIB无限长直螺线管的磁场：nI B 0洛仑兹力：B q F安培力：B l Id F d磁介质中的高斯定理： •SS d B 0磁介质中的环路定理：•iLIl d H各向同性磁介质：H H B r 0内容提要法拉第电磁感应定律：dtd动生电动势： • l d B)(感生电动势： • • S k S d dtBl d E自感：LI ，dtdIL L 自感磁能：221LI W m互感：12MI ，dtdI M12 磁能密度：BH H B w m 21212122题7.4：若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上。

求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为22041L r QE（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为220421L r r QE若棒为无限长（即 L ），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。

题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。

此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。

但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。

如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为d q = Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r qe E 20d 41d整个带电体在点P 的电场强度E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分。

（1） 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，Li E E d（2） 若点P 在棒的垂直平分线上，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 LLj j E E E d sin d y证：（1）延长线上一点P 的电场强度 L r qE 24d ，利用几何关系x r r 统一积分变量，则2200222-041212141)(d 41L r QL r L r L x r L x Q E L L P电场强度的方向沿x 轴。

（3） 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为L r qE 24d sin利用几何关系22,sin x r r r r 统一积分变量，则 22023222-0412)(d 41rL r Qr x L x rQ E L L当棒长 L 时，若棒单位长度所带电荷为 常量，则P 点电场强度rL r LQ r E L 022024121lim此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。

这说明只要满足122 L r ，带电长直细棒可视为无限长带电直线。

题7.5：一半径为R 的半圆细环上均匀分布电荷Q ，求环心处的电场强度题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。

现将其抽象为带电半圆弧线。

在弧线上取线元d l ，其电荷此电荷元可视为点电荷l RQq d d ，它在点O 的电场强度r 20d 41d e E r q。

因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有LE 0d x ，点O 的合电场强度j E LE y d ，统一积分变量可求得E 。

解：由上述分析，点O 的电场强度l R QR E L d sin 4120O由几何关系 d d R l ，统一积分变量后，有 20200O 2d sin 41R Q E 方向沿y 轴负方向。

题7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为02E （提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）题7.6分析：求点P 的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为y r r q d d d 2d 或 求出它们在轴线上一点P 的电场强度d E 后，再叠加积分，即可求得点P 的电场强度了。

证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P 激发的电场强度d E 的方向均相同，因而P 处的电场强度i i i E E 023220232202)(4d 2)(d 41dx r rxr x r q x电场强度E 的方向为带电平板外法线方向。

证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P 激发的电场强度d E 在Oxy 平面内且对x 轴对称，因此，电场在y 轴和z 轴方向上的分量之和，即E y 、E z 均为零，则点P 的电场强度应为i ii E 220x d 2cos d xy y x E E积分得i E 02电场强度E 的方向为带电平板外法线方向。

上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。

题7.10：设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：作半径为R 的平面S 与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理01d 0q SS E这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S 的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量。

因而S SΦS E S E d d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向， E R R E Φ22cos题7.13：设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 Rr Rr kr 00k 为一常量。

试用高斯定理求电场强度E 与r 的函数关系。

解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律V Sd 1d 0S E 得球体内)0(R r4202d 414)(r k r r kr r r E rr kr r e E 024)(球体外（r ＞R ） 4202d 414)(R k r r kr r r E Rr r kR r e E 2044)(题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为 ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔。

求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度。

题7.14分析：用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。

本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。

若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。

这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。

解：在带电平面附近n 012e En e 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场n 220212e Er x x它们的合电场强度为n 220212e E E E r x x。

在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x >>r ，则 n 0n 2202112e e Ex r上述结果表明，在x >>r 时。

带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。

题7.15：一无限长、半径为R 的圆柱体上电荷均匀分布。

圆柱体单位长度的电荷为 ，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r 处的电场强度。

题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。

取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。

在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，0d S E 对电场强度通量贡献为零。

整个高斯面的电场强度通量为rL E 2d S E由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度2R ，处于高斯面内的总电荷L rq 2由高斯定理0d q S E 可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得L r R L r rL E 2202012202R r E题7.16：一个内外半径分别R 1为R 2和的均匀带电球壳，总电荷为Q 1，球壳外同心罩一个半径为 R 3的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2。