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《高考真题》专题06 函数的奇偶性的应用-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题06 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当0x <时，0x ->，则()e x f x --=-1()f x =-，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=，因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =______________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=．【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式；（2）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想．【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”．【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路（1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．②性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程． 2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法（1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．（2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性．【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点（1）偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称；（2）奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．2．判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果(()0)f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 3．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x xxa a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 4．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 5．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．6．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 7．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 8．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 9．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 10．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 12．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 13．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中，故不是奇函数，B 选项中，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果．【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质求出，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则，，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果．【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++，因此()()1f x f x -+=；又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得：．故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B 【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -=C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出的值．【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，则，即，所以，则奇函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=，故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到，进而根据奇函数可得，根据可得，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数，是奇函数，∴设，则，即，∵ 是奇函数，∴ ，即，，则，，∴ ，故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【答案】A【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<，又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称，则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-，即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===，又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===．故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数，当时，，当时，，则 A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由当时，，可得，根据奇偶性求出即可．【解析】定义域为R 的奇函数，当时，，则，则．．．，又当时，， — ，故．故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则 ______________．【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________．【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ．【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________．【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -．【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-，又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】3-【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()23f === ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________．【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数为偶函数，则，即恒成立，．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________．【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1xf x a =--是奇函数，则常数等于______________．【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，利用当0＜x＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④ ，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系． 29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则 ______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，，，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________．【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果．【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-，又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=，所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数是定义域为的偶函数，且在，上单调递增，则不等式的解集为______________．【答案】，，【分析】利用偶函数关于轴对称，在，上单调递增，将不等式转化为，即可解得的解集．【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在，上单调递增，，两边平方解得，，，故的解集为，，．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+，设2t x =+，则(2)()f t f t +=-，变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，则(1)(3)0f f +=且(2)0f =，则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f=，则20191(1)(2)(019) )(2if i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f=+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3；当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)，依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

《高考真题》专题14 函数的奇偶性的应用-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题14 函数的奇偶性的应用【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-．若(l n2)8f =，则a =______________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1),(3)(1)(1),4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，因此[](1)(2)(3)(50)12(1)()(2)(3)4(1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1),(4)(2)f f f f =-=-，所以(1)(2)0())(34f f f f +++=，因为(2)(0)0f f ==，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==．故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果．函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【命题意图】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查分析问题、解决问题的能力和抽象转化的数学思想．【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或中等上，热点是奇偶性、对称性、周期性之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”．【答题模板】1．判断函数奇偶性的常用方法及思路（1）定义法（2）图象法（3）性质法利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．2．与函数奇偶性有关的问题及解决方法（1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．（2）已知函数的奇偶性求解析式已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式．利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性．【方法总结】1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则(0)0f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()(||)f x f x f x -==．（5）定义在(,)-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）一些重要类型的奇偶函数 ①函数()xxf x a a-=+为偶函数，函数()x xf x a a-=-为奇函数．②函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数1()log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()log (a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数． 3．若()()f a x f a x +=-，则函数()f x 的图象关于x a =对称． 4．若()()f a x f a x +=--，则函数()f x 的图象关于(,0)a 对称．5．若函数()f x 关于直线x a =和()x b b a =>对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 6．若函数()f x 关于直线x a =和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为4()b a -． 7．若函数()f x 关于点(,0)a 和点(,0)()b b a >对称，则函数()f x 的周期为2()b a -． 8．若函数()f x 是奇函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 9．若函数()f x 是偶函数，且关于x a =(0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 10．若函数()f x 是奇函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为2a ． 11．若函数()f x 是偶函数，且关于(,0)a (0)a >对称，则函数()f x 的周期为4a ． 12．若函数()()f x x R ∈满足()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=-，1()()f a x f x +=均可以推出函数()f x 的周期为2a ．1．【重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试】下列函数为奇函数的是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可．【解析】A 选项中，故不是奇函数，B 选项中，故不是奇函数，C 选项中，故不是奇函数，D 选项中，是奇函数，故选D ．2．【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】若函数2()22x a xx f x -=-是奇函数，则(1)f a -= A ．1- B ．23- C ．23D ．1【答案】B【分析】首先根据奇函数的定义，求得参数0a =，从而得到2(1)(1)3f a f -=-=-，求得结果．【解析】由()()f x f x -=-可得22(2)22a x x x x--+=+，∴0a =，∴2(1)(1)3f a f -=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力． 3．【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时3()x m f x =+(m 为常数)，则3(log 5)f -的值为A ．4B ．4-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据奇函数的性质求出，再根据奇函数的定义求出3(log 5)f -．【解析】当时3()x m f x =+(m 为常数)，则03(0)0m f =+=，则，，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴335log 35((log 5)()log )314f f -=-=--=-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有．4．【甘青宁2019届高三3月联考】若函数3()1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】A【分析】3()1f x x =+，可得()()2f x f x -+=，结合1lglg22=-，从而求得结果．【解析】∵3()1f x x =+，∴()()2f x f x -+=，∵1lglg22=-，∴1(lg 2)(lg )22f f +=，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有奇函数的性质，属于简单题目，注意整体思维的运用．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知函数2()e e 21xxxxf x -=-++，若(lg )3f m =，则1(lg )f m = A ．4- B ．3- C ．2-D ．1-【答案】C【分析】先由2()e e 21xxxx f x -=-++得到()()1f x f x -+=，进而可求出结果．【解析】因为2()e e 21x xxx f x -=-++，所以21()e e e e 2121x x xx x x xf x -----=-+=-+++，因此()()1f x f x -+=；又(lg )3f m =，所以(lg )1(lg 1(lg )132)f mf m f m =-=-=-=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型． 6．【山东省济宁市2019届高三二模】已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则 A ． B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意可得：．故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x =C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】B【解析】易知1ln||y x =，||2x y =，cos y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上，1ln ||y x =单调递减，||2x y =单调递增，cos y x =有增有减．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】C【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，且0x <时，2()log ()f x x m =-+， ∴211()log 2144f m m -=+=-+=-， ∴1m =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型．9．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知()f x 是定义在R 上奇函数，当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则3()f -= A ．2- B ．1- C ．2D ．1【答案】A【分析】利用函数()f x 是奇函数，得到(3)(3)f f -=-，再根据对数的运算性质，即可求解．【解析】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+，则22(3)(3)log (31)log 42f f -=-=-+=-=-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．10．【甘肃省甘谷县第一中学2019届高三上学期第一次检测】已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 A ． B ． C ．0D ．【答案】A【分析】根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出的值．【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，则，即，所以，则奇函数是以4为周期的周期函数，又当时，，所以，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性的定义，正确转化题的条件是解题的关键．11．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则(2017)f +(2019)f =A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】根据题意，对33())22(f x f x +=-变形可得()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，据此可得(2017)(1)f f =，(2019)(0)f f =，结合函数的解析式以及奇偶性求出(0)f 与(1)f 的值，相加即可得答案．【解析】根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有33())22(f x f x +=-，则()(3)f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数，所以(2017)(16723)(1)f f f =+⨯=，(2019)(6733)(0)f f f =⨯=，又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，当3(,0)2x ∈-时，()f x =12log (1)x -，则12(1)log [1(1)]1f -=--=-，则(1)(1)1f f =--=，故(2017)(2019)(0)(1)1f f f f +=+=，故选A ．12．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三9月月考】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为 A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的特征，首先得到，进而根据奇函数可得，根据可得，即可得到结论．【解析】∵ 为偶函数，是奇函数，∴设，则，即，∵ 是奇函数，∴ ，即，，则，，∴ ，故选A ．【名师点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴以及周期性是解决本题的关键，属于中档题．13．【陕西省彬州市2019届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<的解集是A ．(,1)(2,3)-∞-B ．(1,0)(2,3)-C ．(2,3)D ．(,3)(0,1)-∞-【分析】根题设条件，分别求得，当0x >和0x <时，()0f x <的解集，由此可求解不等式(1)0f x -<的解集，得到答案．【解析】由题意，当0x >时，令()0f x >，即2log (1)0x -<，解得12x <<，又由函数()y f x =是奇函数，函数()f x 的图象关于原点对称，则当0x <时，令()0f x >，可得2x <-，又由不等式(1)0f x -<，可得112x <-<或12x -<-，解得23x <<或1x <-，即不等式(1)0f x -<的解集为(,1)(2,3)-∞-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．【陕西省榆林市2019届高三第四次普通高等学校招生模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =A ．3B ．3-C ．2D ．2-【答案】C【分析】根据(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，即()f x 的周期为8，再根据[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+及()f x 为R 上的偶函数即可求出(766)(2)2f f ==．【解析】由(5)(3)f x f x +=-，可得(8)()f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，所以(96(7682)6)(2)2f f f ⨯-===，又()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2(2)(2)log 42f f -===．故选C ．15．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试】已知定义域为R 的奇函数，当时，，当时，，则 A ．B ．C ．D ．【分析】由当时，，可得，根据奇偶性求出即可．【解析】定义域为R 的奇函数，当时，，则，则．．．，又当时，， — ，故．故选B ．16．【重庆市2018-2019学年3月联考】定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为 A ．(2,7]B ．(2,0)(2,7]-C ．(2,0)(2,)-+∞D ．[7,2)(2,7]--【答案】B【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(2,7]，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．【解析】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤<时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-．故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．17．【宁夏平罗中学2019届高三上学期期中考试】已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则 ______________．【答案】18-【分析】先求(4)f ，再利用函数的奇偶性求4()f -．【解析】由题得22(4)log 4418f =+=，所以(4)(4)18f f -=-=-．18．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测】已知偶函数()f x 的图象关于直线2x =对称，(3)f =则(1)f =______________．【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【解析】由题()()(4)f x f x f x =-=-，则函数的周期4T =，则()1f =(1)(1)(3)f f f =-==19．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是奇函数，且当0x <时1()()2xf x =，则(3)f 的值是______________．【答案】8-【分析】先求(3)f -，再根据奇函数性质得(3)f ．【解析】因为31(3)()82f --==，函数()f x 是奇函数，所以(3)(3)8f f =--=-．20．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，若当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，则( 2.5)f -=______________．【答案】0.25-【分析】根据函数的奇偶性和周期性，求出( 2.5)(0.5)f f -=-，求出函数值即可．【解析】已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且周期为2，∴( 2.5)( 2.52)(0.5)(0.5)f f f f -=-+=-=-，∵当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，∴(0.5)0.5(10.5)0.25f =⨯-=，∴( 2.5)0.25f -=-． 21．【陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三】已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，且(3)3f =，则(1)f -=______________．【答案】3【分析】先由函数关于(2，0)对称，求出(1)f ，然后由奇函数可求出(1)f -．【解析】函数()f x 的图像关于点(2，0)对称，所以(1)(3)3f f =-=-，又函数()f x 为奇函数，所以(1)(1)3f f =-=-．22．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模】若函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=______________．【答案】【分析】利用解析式求出1()2f ，根据奇函数定义可求得结果．【解析】由题意知1212()233f ===， ()f x为奇函数，11()()22f f ∴-=-=．23．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，则1(())100f f 的值为______________．【答案】2lg - 【分析】先求出1()100f 的值，设为a ，判断a 是否大于零，如果大于零，直接求出()f a 的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质()()f a f a =--，进行求解．【解析】10,100>∴1()100f =21lg()lg102100-==-， 20-<∵，函数()f x 是奇函数，(2)(2)lg 2f f ∴-=-=-，所以1(())100f f 的值为lg2-．24．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】若函数为偶函数，则______________．【答案】2-【解析】函数为偶函数，则，即恒成立，．则．【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．25．【甘肃省张掖市2019届高三上学期第一次联考】已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，2()()22xf xg x x x b -=+++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-=______________．【答案】4-【分析】根据函数的奇偶性，先求b 的值，再代入1x =，求得(1)(1)4f g -=，进而求解(1)(1)f g -+-的值．【解析】由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，因为(0)0g =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，解得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1[(1)(1)](4)1)f g f g f g =-+=---+=--．【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间．26．【陕西省安康市安康中学2019届高三第三次月考】若函数2()e 1x f x a =--是奇函数，则常数等于______________．【答案】【分析】由奇函数满足，代入函数求值即可．【解析】对一切且恒成立．恒成立，恒成立．，．27．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末考试】已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则______________．【答案】【分析】根据是周期为4的奇函数即可得到＝f (﹣8 )＝f ( )＝﹣f ()，利用当0＜x ＜2时，＝4x，求出，再求出，即可求得答案．【解析】∵ 是定义在R 上周期为4的奇函数，∴＝f(﹣8)＝f()＝﹣f()，∵当x∈（0，2）时，，∴＝﹣2，∵是定义在R上周期为4的奇函数，∴＝＝，同时＝﹣，∴＝0，∴﹣2．【名师点睛】考查周期函数的定义，奇函数的定义，关键是将自变量的值转化到函数解析式所在区间上，属于中档题．28．【新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第二次月考】下列函数：①；②，，；③；④．其中是偶函数的有______________．（填序号）【答案】①【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称可知②，，为非奇非偶函数；再利用偶函数的定义，分别检验①③④是否符合，从而得到结果．【解析】①，为偶函数；②定义域，关于原点不对称，为非奇非偶函数；③，为奇函数；④，为非奇非偶函数；故答案为①．【名师点睛】该题考查的是有关偶函数的选择问题，涉及到的知识点有函数奇偶性的定义，注意判断函数奇偶性的步骤，首先确定函数的定义域是否关于原点对称，再者就是判断与的关系．29．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知，．若偶函数满足（其中，为常数），且最小值为1，则______________．【答案】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论．【解析】由题意，，，为偶函数，，，，，，，．30．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0,1]x ∈时，3()1f x x =-，则29()2f =______________．【答案】78-【分析】先由题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，利用函数的奇偶性推出()f x 的周期4T =，可得291()()22f f =-，然后带入求得结果．【解析】因为(1)f x -为奇函数，所以(1)(1),(2)()f x f x f x f x --=--∴--=-，又()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，所以()()f x f x -=，即(2)(),(2)()f x f x f x f x --=--∴-=-，所以()f x 的周期4T =，因为295551()(12)()(2)()22222f f f f f =+==--=-，2117()1()228f =-=，所以297()28f =-．31．【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟】已知函数是定义域为的偶函数，且在，上单调递增，则不等式的解集为______________．【答案】，，【分析】利用偶函数关于轴对称，在，上单调递增，将不等式转化为，即可解得的解集．【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在，上单调递增，，两边平方解得，，，故的解集为，，．32．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试】已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数，则20191()i f i ==∑______________．【答案】0【分析】根据函数(1)f x +为偶函数，函数(2)f x +为奇函数可得()(2)f x f x -=+和()(4)f x f x --=+，可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的对称性可得(1)(3)0f f +=且(2)(0)(4)0f f f ===，从而可得结果．【解析】根据题意，(1)f x +为偶函数，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则有()(2)f x f x -=+，若函数(2)f x +为奇函数，则函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，则有()(4)f x f x --=+，则有(4)(2)f x f x +=-+，设2t x =+，则(2)()f t f t +=-，变形可得(4)(2)()f t f t f t +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，又由函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，则(1)(3)0f f +=且(2)0f =，则有(2)(0)0f f =-=，可得(4)0f =，则20191(1)(2)(019))(2i f i f f f ==+++∑[12(3)4][(2013)(2014()()(2015)(2016]))()f f f f f f f f =+++++++++[(2017)(2018)(201()9)]12((0)3)f f f f f f ++=++=，故答案为0．33．【内蒙古呼和浩特市2019届高三上学期期中调研】已知函数与都是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______________．【答案】2【分析】根据题意，由是定义在R 上的奇函数可得，结合函数为奇函数，分析可得，则函数是周期为2的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性与周期性可得的值，相加即可得答案．【解析】根据题意是定义在R 上的奇函数，则的图象关于点（﹣1，0）对称，则有，又由是R 上的奇函数，则，且，则有，即，则函数是周期为2的周期函数，则，又由＝log2＝﹣2，则＝2，，故＝2+0＝2．。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

甘肃省天水市甘谷第一中学2019～2020学年度高2021届高2018级高二第一学期第二次月考数学理科数参考答案解析

甘谷一中2019--2020学年度第一学期高中二年级年第二次月考理科数学试题(测试时间:120分钟满分150分)一、选择题(每小题5分,共12小题,满分60分)1.已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使,其中正确的是( )A. p x R ⌝∃∈：，使tan 1x ≠B. p x R ⌝∃∉：，使tan 1x ≠C. p x R ⌝∀∉：，使tan 1x ≠D. p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠【试题参考答案】D由特称命题的否定为全称命题即可得解【试题解答】命题tan 1p x R x ∃∈=：，使,为特称命题,其否定为全称命题, 所以p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠. 故选D.本题主要考查了含有量词的命题的否定,由全称命题的否定为特称命题,特称命题的否定为全称命题即可得解.2.若抛物线的准线方程为1x =,焦点坐标为(1,0)-,则抛物线的方程是( ) A. 22y x =B. 22y x =-C. 24y x =D.24y x =-【试题参考答案】D根据题意,可设抛物线的方程为22(0)y px p =->, 因为其准线方程为1x =,焦点坐标为(1,0)-, 解得2p =,所以抛物线的方程为24y x =-,故选D.3.“a>1”是“<1”的 ( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4. 已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2),B(4,－3,7),C(0,5,1),则BC 边上的中线长为 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 5【试题参考答案】B由已知中△ABC 的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),利用中点公式,求出BC 边上中点D 的坐标,代入空间两点间距公式,即可得到答案.解:∵B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)则AD 即为△ABC 中BC 边上的中线222(32)(31)(42)3AD =-+-+-=Q 故选B. 空间中两点之间的距离点评:本题考查的知识点是空间中两点之间的距离,其中根据已知条件求出BC 边上中点的坐标,是解答本题的关键.5.有以下命题:①如果向量,a b r r 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,a b rr 的关系是不共线;②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r不构成空间的一个基底,那么点,,,O A B C 一定共面;③已知向量,,a b c r r r 是空间的一个基底,则向量,,a b a b c +-r r r r r,也是空间的一个基底.其中正确的命题是( ) A. ①② B. ①③C. ②③D.①②③【试题参考答案】C【根据空间向量的基底判断②③的正误,找出反例判断①命题的正误,即可得到正确选项. 【试题解答】解:①如果向量a b rr，与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么a b rr，的关系是不共线;所以不正确.反例:如果有一个向量a b rr，为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以不正确.②O ,A ,B ,C 为空间四点,且向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，不构成空间的一个基底,那么点O ,A ,B ,C 一定共面;这是正确的.③已知向量a b c rrr ，，是空间的一个基底,则向量a b a b c +-rrrrr，，,也是空间的一个基底;因为三个向量非零不共线,正确. 故选C .本题考查共线向量与共面向量,考查学生分析问题,解决问题的能力,是基础题. 6.如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ,1AA c =u u u r r ,则下列向量中与BM u u u u r相等的向量是( )A. 1122-++r r ra b cB. 1122++r r ra b cC. 1122--+r r r a b cD. 1122-+r r r a b c【试题参考答案】A运用向量的加法、减法的几何意义,可以把BM u u u u r用已知的一组基底表示.【试题解答】1111()2BM BB B M AA AD AB =+=+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 111()222c b a a b c =+-=-++r r r r r r.本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.7.已知△ABC 的周长为20,且顶点B (0,﹣4),C (0,4),则顶点A 的轨迹方程是( )A. 2213620x y +=(x≠0)B. 2212036x y +=(x≠0)C. 221620x y +=(x≠0)D. 221206x y +=(x≠0)【试题参考答案】B根据三角形的周长和定点,得到点A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点A 的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 【试题解答】解:∵△ABC 的周长为20,顶点B (0,﹣4),C (0,4), ∴BC ＝8,AB ＋AC ＝20﹣8＝12, ∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点A 的轨迹是椭圆, ∵a ＝6,c ＝4 ∴b 2＝20,∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B .本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点.8.过抛物线2y 4x =的焦点作直线交抛物线于()()1122A x ,y B x ,y 两点,如果12x x 6+=,那么AB (= ) A. 6B. 8C. 9D. 10【试题参考答案】B根据抛物线的性质直接求解,即焦点弦长为12AB x x p =++.【试题解答】抛物线24y x =中,2p =,∴12628AB x x p =++=+=, 故选B. AB 是抛物线的焦点弦,1122(,),(,)A x y B x y ,0p >,抛物线22y px =的焦点弦长为12AB x x p =++,抛物线22y px =-的焦点弦长为12()AB x x p =-++,抛物线22x py =的焦点弦长为12AB y y p =++,抛物线22x py =-的焦点弦长为12()AB y y p =-++.9.若直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是()A. ⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【试题参考答案】D由直线与双曲线联立得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0,由2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，结合韦达定理可得解.【试题解答】解析:把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6,得x 2－(kx ＋2)2＝6,化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0,由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()2222 16401041101kkkkk⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得15-＜k＜－1.答案:D.本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,属于中档题.10.试在抛物线2y4x=-上求一点P,使其到焦点F的距离与到()A2,1-的距离之和最小,则该点坐标为()A.1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,22-- D.()2,22-【试题参考答案】A由题意得抛物线的焦点为(1,0)F-,准线方程为:1l x=.过点P作PM l⊥于点M,由定义可得PM PF=,所以PA PF PA PM+=+,由图形可得,当,,P A M三点共线时,||||PA PM+最小,此时PA l⊥.故点P的纵坐标为1,所以横坐标14x=-.即点P的坐标为1(,1)4-.选A.点睛:与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决.11.在长方体1111ABCD A B C D -中,如果AB BC 1==,1AA 2=,那么A 到直线1A C 的距离为( )A.26B.36C.23D.6 【试题参考答案】C由题意可得:连接1A C ,AC ,过A 作1AE A C ⊥,根据长方体得性质可得:1A C ⊥平面ABCD ,即可得到AC 2=,1A C 6=,再根据等面积可得答案.【试题解答】由题意可得:连接1A C ,AC ,过A 作1AE A C ⊥,如图所示: 根据长方体得性质可得:1A A ⊥平面ABCD . 因为AB BC 1==,1AA 2=, 所以AC 2=1A C 6=根据等面积可得:11A A AC 23AE A C 3⋅==.故选C .本题主要考查了点、线、面间的距离计算,以及空间几何体的概念、空间想象力,属于基础题..12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点,若△2ABF 为正三角形,则该椭圆的离心率e 为( ) A.12B.C.13D.【试题参考答案】D由椭圆的对称性得到2130AF F ︒∠=,结合21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩化简即可求解.【试题解答】由椭圆对称性质,可知12F F 平分角2AF B ,则2130AF F ︒∠=,由于122F F c =且122AF AF a +=代入到21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩,可求得12AF AF c e a ===⎧⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩.故本题正确答案为D .本题主要考查了椭圆离心率的求法,属于中档题.二、填空题(每小题5分,共4小题,满分20分)13. 已知A(1,－2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则xy=___________. 【试题参考答案】2. 由三点共线得向量ABu u u r与ACu u u r 共线,即AB u u u r k AC=u u u r ,(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+,124348x y -+==-,解得12x =-,4y =-,∴2xy =.空间三点共线.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=,则该双曲线的离心率为___________. 【试题参考答案】54因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=所以34b a =,∴54c a == 故答案为54点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c 的方程或不等式,再根据a,b,c 的关系消掉b 得到a,c 的关系式,建立关于a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.如果椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是________【试题参考答案】 y=-0.5x ＋4【试题解答】设弦为AB ,且()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=,两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+,即弦的斜率为12-,由点斜式得()1242y x -=--,化简得0.54y x =-+. 16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②在ABC ∆中,“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”充要条件.③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件;④命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是“若－3≤x ≤2,则x 2＋x －6≤0” 以上说法中,判断错误的有___________. 【试题参考答案】③由四种命题的关系及充分必要条件,利用原命题与其逆否命题同真同假,命题的逆否命题的形式等知识逐一检验即可.【试题解答】解:对于①,因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题,所以一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;即①正确,对于②,因为在ABC ∆中,“60B ∠=︒”的充要条件为“120A C ∠+∠=︒”,即“2B A C ∠=∠+∠”,即“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”,故②正确;对于③,由32x y xy +>⎧⎨>⎩,不妨取31x y =⎧⎨=⎩,不能推出12x y >⎧⎨>⎩,即12x y >⎧⎨>⎩不是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件,即③错误;对于④,由命题的逆否命题的形式可得,先将条件与结论互换,再同时否定即可,即命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是“若－3≤x ≤2,则x 2＋x －6≤0”,即④正确, 综上:以上说法中,判断错误的有③, 故答案为:③.本题考查了四种命题的关系及充分必要条件,重点考查了简易逻辑,属基础题.三、解答题(共6小题,满分70分)17.已知命题2:10p x mx ++=有两个不相等的负根,命题2:44(2)10q x m x +-+= 无实根,若p p ∧为假,p q ∨为真,求实数m 的取值范围. 【试题参考答案】(1,2]根据命题p 和q 的真假性,逐个判断.【试题解答】因为p p ∧假,并且p q ∨为真,故p 假,而q 真即210x mx ++=不存在两个不等的负根,且244(2)10x m x +-+=无实根. 所以216(2)160m ∆=--<,即13m <<,当12m <≤时,210x mx ++=不存在两个不等的负根, 当23m <<时,210x mx ++=存在两个不等的负根. 所以m 的取值范围是(1,2]此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质,属于基础题. 【此处有视频,请去附件查看】 18.已知椭圆C 的两焦点分别为()()12F F -、,长轴长为6.⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.【试题参考答案】(1)22191x y +=;(2)5(1)由焦点坐标可求c 值,a 值,然后可求出b 的值.进而求出椭圆C 的标准方程. (2)先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度.【试题解答】解:⑴由()()12F F -、,长轴长为6得:3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=所以12121827,510x x x x +=-= 又222182763(11)(4)5105AB =+-⨯= 本题考查椭圆的方程和性质,考查韦达定理及弦长公式的应用,考查运算能力,属于中档题. 19.如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且OA 1=,OB OC 2==,E 是OC 的中点.()1求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值; ()2求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值.【试题参考答案】(1)2530.()1以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值;()2求出平面ABC 的法向量和BE u u u r,利用向量法能求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值详解】解:(1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系. 则有A (0,0,1)、B (2,0,0)、C (0,2,0)、E (0,1,0)∴()210EB =-u u u r ，，,()021AC =-u u u r，， ∴COS 2555EB AC ==-⋅u u u r u u u r＜＜，＞＞所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25(2)设平面ABC 的法向量为()1n x y z =u r，，则1n AB ⊥u r u u u r 知120n AB x z ⋅=-=u r u u u r1n AC ⊥u r u u u r 知120n AC y z ⋅=-=u r u u u r取()1112n =u r ，，, 则13030sin EB n =u u u r u r ＜，＞故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为303020.在平面直角坐标系x O y 中,直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点.(1)求证:命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OA OB ⋅u u u r u u u r＝3”是真命题;(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 【试题参考答案】(1)见解析; (2)见解析.(1)直线方程与抛物线方程联立,消去x 后利用韦达定理判断2121212121()4OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+u u u r u u u r 的值是否为3,从而确定此命题是否为真命题;(2)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题,然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.【试题解答】(1)证明:设过点(,)30T 的直线l 交抛物线22y x =于点1122(,),(,)A x y B x y ,当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3x =, 此时,直线l 与抛物线相交于(3,6),(3,6)A B -, 所以963OA OB ⋅=-=u u u r u u u r,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-,其中0k ≠,22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2260ky y k --=, 则126y y =-,又因为22112211,22x y x y ==, 所以212121212136()6344OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=u u u r u u u r , 综上所述,命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OA OB ⋅u u u r u u u r＝3”是真命题;(2)逆命题是:“设直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点,如果OA OB ⋅u u u r u u u r＝3,那么该直线过点2(1)3y x =+”,该命题是假命题, 例如:取抛物线上的点1(2,2),(,1)2A B ,此时OA OB ⋅u u u r u u u r ＝3,直线AB 的方程为2(1)3y x =+,而T (3,0)不在直线AB 上.该题考查的是有关判断命题真假的问题,涉及到的知识点有四种命题之间的关系,直线与抛物线的位置关系,向量的数量积,属于简单题目.21.如图,棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形,P A ⊥平面ABCD ,P A =AD =2,BD =22.(1)求证:BD ⊥平面P AC ;(2)求二面角P —CD —B 余弦值的大小;【试题参考答案】(1)证明见解析(1)建立空间直角坐标系,再利用向量的数量积运算,证明线线垂直,从而证明线面垂直; (2)建立空间直角坐标系,求平面的法向量,再利用数量积求向量的夹角即可得解. 【试题解答】解:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则A (0,0,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2). 在Rt △BAD 中,AD =2,BD=∴AB =2.∴B (2,0,0)、C (2,2,0),∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-u u u r u u u r u u u r∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅u u u u r u u u r u u u ru u r ,即BD ⊥AP ,BD ⊥AC , 又AP ∩AC =A , 故BD ⊥平面P AC .(2)由(1)得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-u u u r u u u r.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =u r ,则110,0n PD C n D ==⋅⋅u u r u u u r u u u ru u r , 即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩,∴0x y z =⎧⎨=⎩,故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵P A ⊥平面ABCD ,∴(0,01)AP =u u u r为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ,依题意可得11cos n AP n APθ⋅===⋅u u r u u u ru u r u u u r , 故二面角P —CD —B余弦值的大小为2.本题考查了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角的余弦值,重点考查了运算能力,属中档题.22.如图所示,1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,,A B 为两个顶点,已知椭圆C 上的点3(1,)2到1F 、2F 两点的距离之和为4.(Ⅰ)求椭圆C 的方程和焦点坐标;(Ⅱ)过椭圆C 的焦点2F 作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点,求1F PQ V 的面积.【试题参考答案】(Ⅰ)22143x y +=,12(1,0),(1,0)F F -;(Ⅱ21.(Ⅰ)由椭圆C 上的点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的距离之和为4,得2a = ,椭圆方程为22214x y b+=,点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得,23b =，从而可得椭圆的方程,进而可得焦点坐标;(Ⅱ)根据题意得到PQ 3230x y -+=,与椭圆方程联立,利用韦达定理及三角形面积公式可得求出PQ ,11212 F PQ F F Q F F P P Q S S S y y V V V =+=-=. 试题解析:(Ⅰ)由椭圆C 上的点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的距离之和为4,得24,2a a == ,椭圆方程为22214x y b +=,点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得,23b =，从而可得椭圆的方程为22143x y +=,从而可得焦点坐标为()()121,0,1,0F F -. (Ⅱ)1121212121122F PQ F F Q F F P P Q P Q P Q S S S F F y F F y y y y y V V V =+=⋅+⋅=+=-PQ AB k k Q ==20PQ l y ∴-=将PQ l 与C 联立,消去x ,得2890y +-=12F PQ P Q S y y V =-==.。

陕西省西安中学2024届高三上学期第二次月考试题物理 Word版含答案

西安中学高2024 届高三第二次月考物理学科（满分：110分时间：90分钟）命题人：张莉一、选择题（共13 小题，1-8题为单选，9-13 题为多选，每题4分，共52分）1.在足球运动中，足球入网如图所示，则A．踢香蕉球（可绕过人墙改变方向，路径似香蕉）时足球可视为质点B．足球在飞行和触网时惯性不变C．足球在飞行时受到脚的作用力和重力D．触网时足球对网的力大于网对足球的力2. 某项链展示台可近似看成与水平方向成θ角的斜面，如图所示。

项链由链条和挂坠组成，其中a、b项链完全相同，链条穿过挂坠悬挂于斜面上，不计一切摩擦。

则下列说法正确的是A．链条受到挂坠的作用力是由链条的形变产生的B．a项链链条的拉力大于b项链链条的拉力C．a、b两项链的链条对挂坠的作用力相同D．减小斜面的倾角θ，a、b项链链条受到的拉力都增大3.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0时速率为1m/s。

从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图甲、乙所示，则（两图取同一正方向，重力加速度g=10m/s2）A．滑块的质量为0.5kgB．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5C．第1s内摩擦力对滑块做功为-1JD．第2s内力F的平均功率为1.5W4.如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点）从大环的最高处由静止滑下，重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为A．Mg+5mg B．Mg+mgC．Mg-5mg D．Mg+10mg5. 超声波测速是一种常用的测速手段。

如图所示，安装有超声波发射和接收装置的测速仪B固定在道路某处，A为测速仪B正前方的一辆小汽车，两者相距为338m。

某时刻B发出超声波，同时A由静止开始做匀加速直线运动。

当B接收到反射回来的超声波信号时，A、B相距为346m，已知声速为340m/s，则下列说法正确的是A．A车加速度的大小为2m/s2B．超声波追上A车时，A车前进了4mC．经过2s，测速仪B接收到返回的超声波D．测速仪B接收到返回的超声波时，A车的速度为16m/s6.如图所示，是质量为3kg的滑块在大小为6N的水平恒力作用下，在光滑的水平面上运动的一段轨迹，滑块通过P、Q两点时的速度大小均为6m/s，在P点的速度方向与PQ连线的夹角α=30°，则滑块从P运动到Q的过程中A ．水平恒力F 与PQ 连线的夹角为60°B ．滑块从P 到Q 的时间为4sC ．滑块的最小速度为3m/sD ．滑块到直线PQ 的最大距离为2.25m7. 如图所示，水平圆盘上有两个相同的小木块a 和b ，a 和b 用轻绳相连，轻绳恰好伸直且无拉力。

(人教版)最新2020届高三化学上学期第二次月考试题(含解析)

2019届高三上学期第二次月考化学试题1. 下列说法正确的是A. H2、D2、T2互为同素异形体B. 液氨、氨水、王水都是混合物C. H2O、苯酚、Fe(SCN)3都是弱电解质D. 硫酸、纯碱、醋酸钠和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物【答案】C【解析】试题分析：A．H2、D2、T2的结构相同，不属于同素异形体，错误；B．液氨属于纯净物，错误；C．H2O、苯酚、Fe(SCN)3都是弱电解质，正确；D．纯碱是碳酸钠，属于盐，错误；故选C。

【考点定位】考查物质的分类【名师点晴】本题考查了化学基本概念的理解应用，主要考查混合物、化合物、非电解质、同素异形体，结合物质的组成分析判断。

判断物质是否属纯净物时，不要只看表面字眼“纯”或“混”，而要看实质.例如：“冰和水的混合物”其实不是混合物而是纯净物，因为冰和水都是由水分子组成的。

弱电解质与强电解质最大的区别就是弱电解质存在电离平衡，而强电解质不存在电离平衡。

因此只要证明有电离平衡存在，就证明了弱电解质。

另外为了提高答题效率要记住常见的强电解质，即强酸、强碱以及大部分盐类和金属氧化物等均是强电解质，弱酸、弱碱和少数盐类以及水是弱电解质。

2. 下列关于古籍中的记载说法不正确的是A. 《天工开物》中“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是分解反应B. 《吕氏春秋·别类编》中“金（即铜）柔锡柔，合两柔则刚”体现了合金硬度方面的特性C. 《本草纲目》中“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”，“以烧酒复烧二次……价值数倍也”用到的实验方法是蒸馏D. 《肘后备急方》中“青蒿—握，以水二升渍，绞取汁，尽服之”该提取过程属于化学变化【答案】D【解析】A. 《天工开物》中“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是碳酸钙的分解反应，A正确；B. 《吕氏春秋·别类编》中“金（即铜）柔锡柔，合两柔则刚”体现了合金硬度方面的特性，即合金的硬度比其成分金属高，B正确；C. 《本草纲目》中“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”，“以烧酒复烧二次……价值数倍也”用到的实验方法是蒸馏，即根据混合物的沸点不同将混合物分离的方法，C正确；D. 《肘后备急方》中“青蒿—握，以水二升渍，绞取汁，尽服之”该提取过程没有新物质生成，属于物理变化，D不正确。

南开大学附中高三数学上学期第二次月考试题含解析

8. 设函数，若函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（）
A。（0，2）B. （0，2]C. （2，+∞）D. [2，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，是函数的一个零点，故问题转化为当时，与图象必有一个交点,再根据导数研究性质，数形结合求解即可得答案。
【详解】解:根据题意,函数恰有两个零点
三､解答题
16. 已知函数
(1)求f(x）的最小正周期;
(2）若将f（x)的图象向左平移个单位，得到函数g（x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1） (2)
【解析】
【分析】
（1）利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期；
(2）由三角函数的图象平移得到函数的解析式，结合的范围求得函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；
（2）由正弦定理求得 ,并根据边的大小关系判定为锐角,然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.
【详解】解：(1）∵ ,
由正弦定理得, .
化简得， .
由余弦定理得, 。
又，
∴ .Байду номын сангаас
（2）由（1)知，，
又，，
【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
13。已知a>0,b>0且a+b=1，则的最小值是___________。
【答案】9
【解析】
【分析】
先利用平方差公式和得出，再去括号、通分得出，根据和基本不等式可求出的最大值,即的最小值．

部编版2020届高三化学上学期月考试题(二)(含解析)

2019高三化学上学期月考试题（二）（含解析）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量90分钟，满分100分。

可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Si－28 S－32 Cl －35.5Cr－52 Fe－56 Sr－88第Ⅰ卷选择题(共42分)一、选择题(本题共14小题，每小题3分，共42分。

每小题只有一个符合题意的选项)1．化学与人类生活、生产和社会可持续发展密切相关。

下列说法正确的是(C)A．铝及其合金是使用广泛的金属材料，通常用电解氯化铝的方法制备铝B．为测定熔融氢氧化钠的导电性，常将氢氧化钠固体放在石英坩埚中加热熔化C．采取“静电除尘”“燃煤固硫”“汽车尾气催化净化”等方法，可提高空气质量D．氰化物泄漏时，可直接将其冲入下水道，让其自然消解2．下列应用不涉及．．．氧化还原反应的是(D)A．铝热法冶炼难熔金属B．FeCl3溶液可用于铜质印刷线路板制作C．Na2O2用作呼吸面具的供氧剂D．实验室用NH4Cl和Ca(OH)2制备NH33．设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是(D)A．2.8 g晶体硅中含有的Si—Si键数目为0.1N AB．常温下，4.6 g NO2气体中含有的分子数为0.1N AC．0.1 mol氯气与足量热的氢氧化钠溶液反应转移的电子数为0.1N AD．0.1 mol NH4NO3溶于稀氨水中，若溶液呈中性，则溶液中含有的NH＋4数为0.1N A4．下列反应的离子方程式书写正确的是(B)A．向碘化钾溶液中加入用硫酸酸化的过氧化氢溶液：2I－＋H2O2===I2＋2OH－B．向碳酸氢铵溶液中加入过量的稀氢氧化钠溶液：NH＋4＋HCO－3＋2OH－===NH3·H2O＋CO2－3＋H2OC．向FeBr2溶液中通入过量的Cl2：2Fe2＋＋2Br－＋2Cl2===2Fe3＋＋Br2＋4Cl－D．Fe2O3溶于过量的氢碘酸中：Fe2O3＋6H＋===2Fe3＋＋2H2O5．下述实验不能达到预期实验目的的是(D)A．pH＝1的溶液中：CH3CH2OH、Cr2O2－7、K＋、SO2－4B．c(Ca2＋)＝0.1 mol·L－1的溶液中：NH＋4、SiO2－3、C2O2－4、Br－C．加入铝粉放出大量H2的溶液中：Fe2＋、Na＋、Cl－、NO－3D．NaHCO3溶液中： C6H5O－、CO2－3、Br－、K＋7．Na3N是离子化合物，它和水作用可产生NH3。

上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题含答案解析

上海市建平中学2019届高三12月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知直线n在平面α内，直线m不在平面α内，则“m//n”是“m‖α”的()A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m//n”则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的充分条件，直线n在平面α内，直线m不在平面α内，若“m‖α”则“m//n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即“m//n”是“m‖α”的充分非必要条件，故选：B．由线面平行的性质定理可得“m//n”是“m‖α”的充分条件，由线线，线面关系，可得“m//n”是“m‖α”的不必要条件，即可得解本题考查了线面平行的性质定理、线线，线面关系，属简单题．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=()A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选：C．推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.下面的四个命题中，真命题的个数是()①向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗；②向量a⃗，b⃗ ，c⃗，若a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，则a⃗=c⃗；③复数z1，z2，若|z1−z2|=2，则(z1−z2)2=4；④公比为q等比数列{a n}，令b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4n，…，则数列{b n}(n∈N∗)是公比为q4的等比数列．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：当a⃗=0⃗时，由a⃗‖b⃗ 且b⃗ //c⃗，不一定有a⃗//c⃗，故①为假命题；当a⃗与b⃗ ，b⃗ 与c⃗夹角相等且|a⃗|=|c⃗|时，有a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，故②为假命题；z1=0，z2=2i，满足|z1−z2|=2，但(z1−z2)2=−4，故③为假命题；公比为q等比数列{a n}，令b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n=a4n−3+a4n−2+a4n−1+ a4n，…，则b nb n−1=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4na4n−7+a4n−6+a4n−5+a4n−4=a1q4n−4+a1q4n−3+a1q4n−2+a1q4n−1a1q4n−8+a1q4n−7+a1q4n−6+a1q4n−5=q4，数列{b n}(n∈N∗)是公比为q4的等比数列，故④为真命题．∴真命题的个数是1个．故选：B．举例说明①②③错误；由等比数列的定义说明④正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查向量共线及向量数量积的概念，考查复数与等比数列的基础知识，是中档题．4.已知向量a⃗，b⃗ ，满足同|a⃗|=1，|b⃗ |=2，若对任意模为2的向量c⃗，均有|a⃗⋅c⃗|+|b⃗ ⋅c⃗|≤2√7，则向量a⃗，b⃗ 的夹角的取值范围是()A. [0,π3] B. [π3,π] C. [π6,π3] D. [0,2π3]【答案】B【解析】解：∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|c⃗|=2，|(a⃗+b⃗ )⋅c⃗|≤|a⃗+b⃗ |⋅|c⃗|≤|a⃗⋅c⃗|+|b⃗ ⋅c⃗|≤2√7，即|a⃗+b⃗ |⋅2≤2√7，即|a⃗+b⃗ |≤√7，平方得|a⃗|2+|b⃗ |2+2a⃗⋅b⃗ ≤7，即1+4+2a⃗⋅b⃗ ≤7，则a⃗⋅b⃗ ≤1，即|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >≤1，则cos<a⃗，b⃗ >≤12，即π3≤<a⃗，b⃗ >≤π，即向量a⃗，b⃗ 的夹角的取值范围是[π3,π]，故选：B．根据向量三角不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键，综台性较强，难度较大．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.双曲线x23−y2=1的焦距为______．【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线x23−y2=1，其中a2=3，b2=1，则c=√a2+b2=2，则其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．6.已知集合M={x|−2≤x−1≤2}，N={x|x=2k−1,k∈N∗}，则M∩N=______．【答案】{1,3}【解析】解：M={x|−1≤x≤3}，N是正奇数的集合；∴M∩N={1,3}．故答案为：{1,3}．可看出集合N表示正奇数的集合，从而解出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的概念及运算．7.设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为______．【答案】a n=6n−3【解析】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴{a1+d+a1+4d=36a1=3，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+(n−1)d=3+(n−1)×6=6n−3．∴{a n}的通项公式为a n=6n−3．故答案为：a n=6n−3．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{a n}的通项公式．本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.若复数z满足∣∣∣i1+2i1z∣∣∣=0，其中i是虚数单位，则z的虚部为______．【答案】−1【解析】解：由∣∣∣i 1+2i 1z ∣∣∣=0，得zi −1−2i =0， ∴z =1+2i i=(1−2i)(−i)−i 2=−2−i ，∴z 的虚部为−1．故答案为：−1．由已知可得zi −1−2i =0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9. 函数f(x)=√log 12(x −1)−1的定义域为______．【答案】(1,32]【解析】解：函数f(x)=√log 12(x −1)−1有意义，可得：log 12(x −1)−1≥0，可得0≤x −1≤12，解得1<x ≤32．函数的定义域为：(1,32]. 故答案为：(1,32].利用开偶次方被开方数非负列出不等式，然后求解即可．本题考查函数的定义域的求法，对数不等式的解法，考查计算能力．10. (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为______ 【答案】40【解析】解：根据题意得，T r+1=∁5r (x 2)5−r (2x )r =∁5r 2r x10−3r 令10−3r =4，得r =2∴(x 2+2x)5的展开式中x 4的系数为∁5222=40；故答案为40．运用二项展开式的通项可得结果．本题考查二项式定理的简单应用．11. 已知α，β为锐角，如tanα=43，cos(α+β)=√55，则tanβ=______．【答案】211【解析】解：∵α，β为锐角，∵0<α+β<π，又cos(α+β)=√55，∴sin(α+β)=2√55，则tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=2．∵tanα=43，∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=2−431+2×43=211．故答案为：211．由已知求得sin(α+β)，进一步求得tan(α+β)，再由tanβ=tan[(α+β)−α]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．12. 在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为______(结果用分数表示) 【答案】128【解析】解：在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，…，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个，分别为：(1,4，7)，(2,5，8)，∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p =256=128．故答案为：128．先求出基本事件总数n =C 83=56，选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个，由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．本题考查概率的求法，考查等差数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为______．【答案】3【解析】解：设A(a,2a)，a >0， ∵B(5,0)，∴C(a+52,a)，则圆C 的方程为(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0．联立{(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0y=2x，解得D(1,2)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a)⋅(−a−32,2−a)=a 2−2a−152+2a 2−4a =0．解得：a =3或a =−1．又a >0，∴a =3．即A 的横坐标为3．故答案为：3．设A(a,2a)，a >0，求出C 的坐标，得到圆C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a值得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．14.设函数f(x)=(x−2)2sin(x−2)+3在区间[−1,5]的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=______．【答案】6【解析】解：设x−2=t，则t∈[−3,3]，故f(x)=g(t)=t2sint+3，t∈[−3,3]，函数y=g(t)−3是奇函数，最大值和最小值的和是0，故M−3+m−3=0，故M+m=6，故答案为：6．通过换元以及函数的奇偶性求出M+m的值即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数最值以及转化思想，换元思想，是一道常规题．15.若实数a是实数1+2b与1−2b的等比中项，则8ab|a|+2|b|的最大值为______．【答案】√2【解析】解：a是1+2b与1−2b的等比中项，则a2=1−4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴|ab|≤14．∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2−4|ab|=1．∴8ab|a|+2|b|=√1+4|ab|≤√1+4|ab|=4√4(ab)21+4|ab|=4√44|ab|+(1ab)2=4√4(1|ab|+2)2−4∵|ab|≤14，∴1|ab|≥4，∴8ab|a|+2|b|≤4√4(1|ab|+2)2−4≤4√432=√2，故答案为：√2．由a是1+2b与1−2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得．本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知函数f(x)={x2−2mx+2m,x>m|x|,x≤m(m>0)，若存在实数b，使得函数g(x)=f(x)−b有3个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同的根，即为函数y =f(x)的图象和直线y =b 有3个不同的交点，即有x >0时，f(x)不单调，可得|m|>m 2−2m 2+2m ，(m >0)，即有m 2>m ，解得m >1．故答案为：(1,+∞)．由题意可得函数y =f(x)的图象和直线y =b 有3个不同的交点，通过x ≤m 的图象，可得x >0时，f(x)不单调，可得|m|>m 2−2m 2+2m ，(m >0)，解不等式即可得到m 的范围．本题考查函数方程的转化思想，根的个数转化为交点个数，画出函数f(x)的图象是解题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f(x)=(sinωx +cosωx)2+2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y =g(x)的单调增区间．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=(sinωx +cosωx)2+2cos 2ωx =sin 2ωx +cos 2ωx +sin2ωx +1+2cos2ωx=sin2ωx +cos2ωx +2=√2sin(2ωx +π4)+2依题意得2π2ω=2π3，故ω的值为32． (Ⅱ)依题意得：g(x)=√2sin[3(x −π2)+π4]+2=√2sin(3x −5π4)+2由2kπ−π2≤3x −5π4≤2kπ+π2(k ∈Z)解得23kπ+π4≤x ≤23kπ+7π12(k ∈Z)故y =g(x)的单调增区间为：[23kπ+π4,23kπ+7π12](k ∈Z)．【解析】(1)先将函数化简为f(x)=√2sin(2ωx +π4)，再由2π2ω=2π3，可得答案．(2)根据g(x)=f(x −π2)先求出解析式，再求单调区间．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法.做这种题首先要将原函数化简为y =Asin(ωx +φ)的形式再做题．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PB =PC =AC =4，O为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线PM 与平面PAC 所成角的大小(结果用反三角表示)【答案】证明：(1)∵在三棱锥P −ABC 中，AB =BC =2√2， PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点．∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AC 2=AB 2+BC 2，PO =√16−4=2√3， ∴AB ⊥BC ，∴AO =BO =CO =2， ∴BO 2+PO 2=PB 2，∴PO ⊥BO ， ∵AC ∩BO =O ，∴PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，点M 在棱BC 上，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P(0,0，2√3)，M(43,23,0)，A(0,−2,0)， C(0,2，0)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,23,−2√3)，平面PAC 的法向量n ⃗ =(1,0，0)，设直线PM 与平面PAC 所成角为θ，则sinθ=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43√1289=√24．∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24．【解析】(1)推导出PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，AB ⊥BC ，PO ⊥BO ，由此能证明PO ⊥平面ABC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 如图，已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μNQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值．【答案】解：(1)抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,2)，∴4=2p ，解得p =2，设过点(0,1)的直线方程为y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)；联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x，消y 可得k 2x 2+(2k −4)x +1=0，∴△=(2k −4)2−4k 2>0，且k ≠0解得k <1，故直线l 的斜率的取值范围(−∞,0)∪(0,1)； (2)证明：设点M(0,y M )，N(0,y N )，则MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1−y M )，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)；因为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以1=λ(1−y M )，故λ=11−y M ，同理μ=11−y N，直线PA 的方程为y −2=2−y 11−x 1(x −1)=2−y 11−y 124(x −1)=42−y 1(x −1)，令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为λ+μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y22−y 2=8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x1+x 2)+k2x 1x 2=8−2[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=2，即有λ+μ为定值．【解析】(1)将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入抛物线方程，由△>0，即可求得k 的取值范围；(2)根据向量的共线定理即可求得λ=1−y M ，μ=1−y N ，求得直线PA 的方程，令x =0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得λ+μ为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．20. 已知两个城市A ，B 相距100km ，现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂，垃圾处理厂计划在以AB为直径的半圆弧AB⏜上选择一点C 建造(不能选在点A ，B 上)，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x(单位是km)，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调査表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为100；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB⏜上距离A城20公里处时，对城A和城B的总影响度为35128．(1)将y表示成x的函数；(2)求当垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大时的总影响度y的值；(3)求垃圾处理厂对城A和城B的总影响度的最小值，并求出此时x的值.(结算结果均用精确值表示)【答案】解：(1)由圆的性质可知BC2=AB2−AC2=10000−x2，∴y=100x2+k10000−x2，把(20,35128)代入上式得：14+k9600=35128．解得k=225．∴y=100x2+22510000−x2(0<x<100)．(2)设∠BAC=α，则AC=100cosα，BC=100sinα，∴垃圾处理厂到A，B两城市距离之和为100(sinα+cosα)=100√2sin(α+π4)，∴当α=π4时，垃圾处理厂到A，B两城市距离之和最大，此时x=AC=50√2，∴y=1005000+2255000=0.065．(3)y′=−200x3+450x(104−x2)2=−200(104−x2)2+450x4x3(104−x2)2，令y′=0得：3x2=2(104−x2)，解得x=20√10．∴当0<x<20√10时，y′<0，当20√10<x<100时，y′>0，∴当x=20√10，y取得最小值，最小值为1004000+2256000=0.0625．【解析】(1)先求出k的值，再得出解析式；(2)根据三角函数求出距离和的最大值对应的x的值，再计算影响度；(3)利用导数判断函数的单调性，从而得出y的最小值及对应的x的值．本题主要考查函数模型的建立和应用，考查函数最值的计算，属于中档题．21.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N∗，点(n,S n)均在函数y=b x+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b=2时，记b n=n+14a n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n；(3)数列{c n}满足，c1=1，c n+1−c n=2(a n+1−a n)(n∈N∗)，若12<c nc m<2对m，n∈N∗恒成立，求实数b的取值范围．【答案】解：(1)等比数列{a n}的公比设为q，对任意的n∈N∗，点(n,S n)均在函数y=b x+r的图象上，即S n=b n+r，可得a1=S1=b+r，a2=S2−S1=b2+r−b−r=b2−b，a3=S3−S2=b3+r−b2−r=b3−b2，则公比为b，即有b(b+r)=b2−b，解得r=−1；(2)当b=2时，可得公比为2，首项为2−1=1，即a n=2n−1，b n=n+14a n=(n+1)⋅(12)n+1，前n项和T n=2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(n+1)⋅(12)n+1，可得12T n=2⋅(12)3+3⋅(12)4+⋯+(n+1)⋅(12)n+2，相减可得12T n=12+(12)3+(12)4+⋯+(12)n+1−(n+1)⋅(12)n+2=12+18(1−12n−1)1−12−(n+1)⋅(12)n+2，化简可得T n=32−(n+3)⋅(12)n+1；(3)数列{c n}满足，c1=1，c n+1−c n=2(a n+1−a n)，可得c n=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+⋯+(c n−c n−1)=1+2(a2−a1+a3−a2+⋯+a n−a n−1)=1+2(a n−a1)=1+2(b−1)(b n−1−1)，由于b>0且b≠1，若b>1可得c n递增，且无界，12<c nc m<2对m，n∈N∗恒成立，可得0<b<1，考虑n很大，m=1可得12<1−2(b−1)<2，解得12<b<1．【解析】(1)由等比数列的定义和数列的递推式，解方程可得r的值；(2)a n=2n−1，b n=n+14a n=(n+1)⋅(12)n+1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；(3)运用数列恒等式可得c n=c1+(c2−c1)+(c3−c2)+⋯+(c n−c n−1)，结合数列不等式恒成立，讨论公比b与1的关系，解不等式可得所求b的范围．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列恒等式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．。

高三物理第二次月考试题(附解析)

2019-2019届高三物理其次次月考试题（附解析）高三年级各地区月考接连结束，为此查字典物理网整理的高三物理其次次月考试题，请考生仔细练习。

一、单项选择题(每小题只有一个正确选项，本题共8小题，每小题4分，共计32分)1.物体在运动过程中加速度不为零，则下列说法正确的是( )A.物体速度的大小肯定随时间改变B.物体速度的方向肯定随时间改变C.物体速度肯定随时间改变D.物体速度不肯定随时间改变2如图所示，穿在一根光滑的固定杆上的个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面成角，不计全部摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为，OB绳沿竖直方向，则正确的说法是( )A.A可能受到2个力的作用B.B可能受到3个力的作用C.绳子对A 的拉力大于对B的拉力D.A、B的质量之比为1∶tan3.如图所示，某段滑雪雪道倾角为300，总质量为m的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止起先匀加速下滑，加速度为。

运动员从上向下滑究竟端的过程中( )A.合外力做功为B. 增加的动能为C.克服摩擦力做功为D. 削减的机械能为4.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a;假设月球绕地球作匀速圆周运动，轨道半径为r1，向心加速度为a1。

已知万有引力常量为G，地球半径为R。

下列说法中正确的是( )A.地球质量B.地球质量C.地球赤道表面处的重力加速度g =aD.加速度之比5.如图，在光滑、绝缘的水平桌面上固定放置一光滑、绝缘的挡板ABCD，AB段为直线挡板，BCD段是半径为R的圆弧挡板，挡板处于场强为E的匀强电场中，电场方向与圆直径MN平行。

现有一带电量为q、质量为m的小球由静止从挡板内侧上的A点释放，并且小球能沿挡板内侧运动到D点抛出，则( )A.小球运动到N点时，挡板对小球的弹力可能为零B.小球运动到N点时，挡板对小球的弹力可能为EqC.小球运动到M点时，挡板对小球的弹力可能EqD.小球运动到C点时，挡板对小球的弹力肯定大于mg6.如图所示，为A.B两电阻的伏安特性曲线，关于两电阻的描述正确的是( )A. 电阻A的电阻随电流的增大而减小，电阻B阻值不变B.在两图线交点处，电阻A的阻值等于电阻BC.在两图线交点处，电阻A的阻值大于电阻BD.在两图线交点处，电阻A的阻值小于电阻B7.一平行板电容器充电后与电源断开，正极板接地.两板间有一个负摸索电荷固定在P点，如图所示，以C表示电容器的电容、E表示两板间的场强、表示P点的电势，Ep表示正电荷在P点的电势能，若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离x0的过程中，各物理量与负极板移动距离x的关系图象中正确的是( )8.一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a、c是竖直直径的两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动。

重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题理

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题理考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 2.已知复数z 满足i z i 3)31(=+，则=z （）A ．i 2323+ B ．i 2323- C ．i 4343+ D ．i 4343- 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（）A ．2000,ln x R x x ∃∈> B ．2,ln x R x x ∀∈≤ C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知平面向量与 00 相互垂直， =（﹣1，1）||=1，则|+2|=（）A ．B ．C ．2D ．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（） A ．37 B ．273 C ．73 D ．7737.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.18.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知数列{}n a 满足:)2112,11n a a +==+, 则12a =（）A ．101B ．122C ．145D ．17011.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞12.已知函数()21,g x m x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省深圳市2019届高三第二次(4月)调研考试数学理试题(WORD版)

深圳市2019年高三年级第二次调研考试数学理 2019.4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( A ).A. (,2](0,)-∞-+∞UB. (,2][2,)-∞-+∞UC. [3,)+∞D. (0,)+∞2.在复平面内，复数i(1i)12iz +=-所对应的点位于（ C ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ D ）.A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差4.已知等比数列{}n a 满足11,2a =且2434(1),a a a =-则5a =（ A ）. A. 8 B.16 C.32 D.64 5.已知函数22()(1)f x ax a x x =+-+是奇函数，则曲线()y f x =在1x =处的切线得倾斜角为（ B ）. A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3 6.在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r则FB =uur （ D ）. A.3142a b -+r r B.1324a b +r r C.1324a b -r r D.3142a b -r r 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( A ). A.(842)π+ B. (942)π+ C.(882)π+ D. (982)π+8.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗用“随机半径”、 “随机端点”、 “随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B,连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率.记该概率为p ，则p =（ C ）. A.15 B.14 C.13 D.129.已知函数()ln 1a f x x x=+-有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( A ). A. (,0]{1}-∞U B. [0,1] C. (,0]{2}-∞U D. [0,2]10.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ C ）. A.312- B.313- C.512- D.22 11.已知函数()3sin cos (0)f x x x =+>ωωω在区间ππ[,]43-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ B ）. A.8[,7)3 B. C. 20[4,)3 D. 20(,7)312.如图，在四面体ABCD 中，2,3,5,,AB CD AC BD AD BC E F ======分别是 ,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ B ）. A.6 B.62 C. 52 D. 54第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.13.设实数,x y 满足23,12,4,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则1y x -的最大值为_______.14.已知双曲线2222:1,x y C a b-=且圆22:(2)1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.15.精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作.若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有_____种.16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13,a =当2n ≥时，有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使得122019m S S S ≥L 成立的正整数m 的最小值为__________.三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知△ABC 中，AB ＝2BC ，AC ＝25，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，∠ABD ＝2∠CBD 。

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何

湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为 A ．83(1)3π+ B ．43(2)π+ C ．43(2)3π+ D ．83(1)π+2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 313148π3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为 A. 4 B. 8 C.43 D. 834、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.485、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知三棱锥P ABCA B C在球O的同一个-底面的3个顶点,,大圆上，且ABC-体积的最大值为23，则球△为正三角形，P为该球面上的点，若三棱锥P ABCO的表面积为( )A.12πB.16πC.32πD.64π6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）已知E，F分别是三棱锥P ABC-的棱AP，EF=，则异面直线AB与PC所成的角为（）PC=，33BC的中点，6AB=，6A.120︒B.45︒C.30︒D.60︒7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）如图，—个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧28，则x =视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为A.3B. 4C.5D.69、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面平面；②直线平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.A. ① ②B. ①②④C. ③④D. ①④10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何10，则h为体的体积为3A. 23B.3 C. 33 D. 3511、（长郡中学2019届高三第六次月考）在三棱锥 P —ABC 中，PA 丄平面 ABC ，∠BAC =32π，AP=3，AB =32, Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A.π45B.π57C. π63D. π8412、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD 1＝1，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为CC 1的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（）A ．32+25B ． 4+42C ． 22+25D ．6214、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3215、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是A ．B ．C ．D ． 6416、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．参考答案：1、C2、C3、D4、B5、B6、D7、A8、B9、B 10、B 11、12、C 13、A 14、【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.15、A 16、【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.二、解答题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21111==C A B A ，321=CC ， ︒=∠120BAC ，O 为线段11C B 的中点，P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），Q 为线段BC 上一动点，且OP QP ⊥；（Ⅰ）求证：平面1A PQ ^平面1A OP ；（Ⅱ）若PQ BO //，求直线OP 与平面PQ A 1所成角的正弦值.2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面A BCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB //CD ，AB=2AD=2CD=4，PC=4. (1)证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC (2)求锐二而角A- PB-C 的余弦值.4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE ＝PC 31. （1）证明：平面DEF 丄平面ABCD; （2）求二面角B-AE-D 的余弦值.5、（邵阳市2019届高三10月大联考）如图，菱形ABCD 的边长为4，60DAB =∠°，矩形BDFE 的面积为8，且平面BDFE ⊥平面ABCD .(1)证明：AC BE ⊥；(2)求二面角E AF D --的正弦值.6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，222AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4，求PA 的长度.7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）五面体ABCDEF 中，ADEF 是等腰梯形,AD = 2,AB=2,AF=FE = ED=BC = 1，∠SAD=900，平面 BAF 丄平面 ADEF 。

湖南省湘阴县知源高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题含答案

湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷满分：150分考试时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|x <2}，则A ∪(∁R B)= ( )A. {x|x >−1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <−1}D. {x|−1<x ⩽2} 2．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．三个数50.6，0.65，log 0.65的大小顺序是( )A. 0.65<log 0.65<50.6B. 0.65<50.6<log 0.65C. log 0.65<0.65<50.6D. log 0.65<50.6<0.654．若实数x,y 满足：x,y >0,3xy −x −y −1=0，则xy 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数f (x )=2xx 2−1的图象大致为( )A. B.C. D.6．设函数f(x)={−x 2+4x −3,x ≤2log 2x,x >2，则满足不等式f (2x −1)<2的解集是（）A ．(−∞,32)B ．[2,52)C ．(32,2]D ．(−∞,52)7．当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 2+3取得最大值2，则f(3)=（） A ．2ln3+2B ．−163C ．2ln3−6D ．−48．已知函数f (x )={|log 3x |,x >03x,x ≤0，若函数g (x )=[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是（） A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1,+∞)D ．(1,+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列求导错误的是( )A. (e 3x)′=3ex B.(x 22x+1)′=xC. (2sinx −3)′=2cosxD. (xcosx)′=cosx −xsinx10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则( )A. a >0B. 不等式bx +c >0的解集是{x|x <−6}C. a +b +c >0D. 不等式cx 2−bx +a <0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：oC ），环境温度是θ1（单位：o C ），其中θ0>θ1则经过t 分钟后物体的温度θ将满足θ=f (t )=θ1+(θ0−θ1)⋅e −kt (k ∈R 且k >0）.现有一杯80∘C 的热红茶置于20∘C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln 2≈0.7) A ．若f (3)=50∘C ，则f (6)=35∘C B ．若k =110，则红茶下降到50∘C 所需时间大约为7分钟C ．若f ′(3)=−5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C 的速率下降D ．红茶温度从80∘C 下降到60∘C 所需的时间比从60∘C 下降到40∘C 所需的时间多12．函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，设g(x)=f ′(x)，ℎ(x)=f(x −4)+x ，则以下结论正确的有（） A ．函数g(x −2)的图象关于直线x =−2对称B ．若g(x)的导函数为g ′(x)，定义域为R ，则g ′(0)=0C ．ℎ(x)的图象关于点(4,4)中心对称D ．设{a n }为等差数列，若a 1+a 2+⋯+a 11=44，则ℎ(a 1)+ℎ(a 2)+⋯+ℎ(a 11)=44三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )=(2m −1)x m 是幂函数，则实数m =______.14．求值：2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg 1= ．15．已知点P 为曲线y =lnx 上的动点，则P 到直线y =x +4的最小距离为______.16．设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)，对任意的x ∈(0,+∞)，都有f [f(x)−log 3x ]=4，若x 0是方程f(x)−2f ′(x)=3的一个解，且x 0∈(a,a +1),a ∈N ∗，则实数a =_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC中，若f(A2)=1，求sin B+sin C的最大值．18．（本小题满分12分）已知在数列{a n}中，a1=3，且a n+a n+1=3n+1.(1)证明：数列{a n3n −34}是等比数列.(2)求{a n}的前n项和S n.19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM(1)求证：AD⊥BM(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为√55．20．（本小题满分12分）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格P(x)（元）与时间x（天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Q(x)（个）与时间x（天）的部分数据如下表所示：x/天10202530Q(x)/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)=ax+b，①Q(x)=a|x−25|+b，①Q(x)=a⋅b x，①Q(x)=a⋅log b x．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)（元）的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=log141−axx−1的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)+log14(x−1)<m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=log14(x+k)在[2,3]上有解，求实数k的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x−m+ln3x.(1)设x=1是函数f(x)的极值点，求m的值并讨论f(x)的单调性；(2)当m⩽2时，证明：f(x)>ln3.湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考数学科试卷（答案）一、单选题1．【答案】A【详解】已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则∁R B={x|x≥2}，因此A∪(∁R B)= {x|x>−1}.故选A．2．【答案】B【详解】当a>b时，不能推出ac2>bc2，当ac2>bc2，可推出a>b．故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．故选：B．3．【答案】C【详解】∵50.6>1，1>0.65>0，log0.65<0∴50.6>0.65>log0.65，故选C．4．【答案】A【详解】因为3xy−x−y−1=0，所以3xy−1=x+y，由基本不等式可得3xy−1=x+y≥2√xy，（舍），即xy≥1故3xy−2√xy−1≥0，解得√xy≥1或√xy≤−13当且仅当x=y=1时等号成立，故xy的最小值为1，故选：A.5．【答案】A，定义域为{x|x≠±1}，【详解】函数f(x)=2xx2−1由f(−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D；当0<x<1时，f(x)<0，排除C．故本题选A．6．【答案】D【详解】函数f(x)的图象如下图所示：由图可知：函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)=2，所以f(2x−1)<2等价于f(2x−1)<f(4)，故2x−1<4，即x<5，故选：D27．【答案】C【详解】因为f (x )=alnx +bx 2+3，所以f ′(x )=ax +2bx ，又当x =1时，函数f (x )=alnx +bx 2+3取得最大值2，所以f (1)=2，f ′(1)=0，即{b +3=2a +2b =0，解得b =−1，a =2，所以f (x )=2lnx −x 2+3，f ′(x )=2x−2x =2(1−x )(1+x )x ，所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，符合题意，所以f (3)=2ln3−6故选：C ． 8．【答案】A【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： ∵函数g (x )=[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m 恰好有5个不同的零点，∴方程[f (x )]2−(m +2)f (x )+2m =0有5个根，设t =f(x)，则方程化为t 2−(m +2)t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f(x)的图象可知，t 1∈(0,1]，t 2∈(1,+∞)，令ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：{Δ=(m +2)2−8m >0ℎ(0)>0ℎ(1)≤0 ，解得：0<m ≤1.故选：A 二、多选题 9．【答案】AB【详解】(e 3x )′=3e 3x ，故A 错误；(x 22x+1)′=2x (2x+1)−2x 2(2x+1)2≠x ，故B 错误；(2sin x −3)′=2cos x ，故C 正确；(xcos x)′=x′cosx +x (cosx )′=cos x −xsin x ，故D 正确．故答案选：AB ．10．【答案】ABD【详解】由题意可知，−2和3是方程ax 2+bx +c =0的两根，且a >0， ∴−2+3=−ba ，(−2)×3=ca ，∴b =−a ，c =−6a ，a >0，即选项A 正确；不等式bx +c >0等价于a(x +6)<0，∴x <−6，即选项B 正确； ∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)， ∴当x =1时，有a +b +c <0，即选项C 错误；不等式cx 2−bx +a <0等价于a(6x 2−x −1)>0，即a(3x +1)(2x −1)>0， ∴x <−13或x >12，即选项D 正确．故选：ABD ． 11．【答案】ABC【详解】由题知θ=f (t )=20+60e −kt ，A ：若f (3)=50∘C ，即50=20+60e −3k ，所以e −3k =12，则f (6)=20+60e −6k =20+60(e −3k )2=20+60×(12)2=35∘C ，A 正确；B ：若k =110，则20+60⋅e −110t =50，则e −110t =12，两边同时取对数得−110t =ln 12=−ln 2，所以t =10ln 2≈7，所以红茶下降到50∘C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：f ′(3)表示t =3处的函数值的变化情况，若f ′(3)=−5<0，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5∘C 的速率下降，故C 正确；D :f (t )为指数型函数，如图，可得红茶温度从80∘C 下降到60∘C 所需的时间(t 2−t 1)比从60∘C 下降到40∘C 所需的时间(t 3−t 2)少，故D 错误. 故选：ABC ．12．【答案】BCD【详解】由导数的几何意义及f (x )的对称性，f (x )在x 和−x 处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故g (x )=g (−x ),g (x )是偶函数，g (x −2)对称轴为x =2,A 错；由g (x )的对称性，g (x )在x 和−x 处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故g ′(−x )=−g ′(x ),g ′(x )为奇函数，又定义域为R,g ′(0)=0，B 对；ℎ(x )=f (x −4)+(x −4)+4，由f (x )为奇函数知u (x )=f (x )+x 为奇函数，图像关于(0,0)对称，ℎ(x )可以看作由u (x )按向量(4,4)平移而得，故C 对；由C 选项知，当x 1+x 2=8时，ℎ(x 1)+ℎ(x 2)=8，由等差数列性质a 1+a 11=8,∴ℎ(a 1)+ℎ(a 11)=8，以此类推倒序相加，D 正确. 故选：BCD 三、填空题 13．【答案】1【详解】因为f (x )=(2m −1)x m 是幂函数，所以2m −1=1，解得m =1. 故答案为：1 14．【答案】−3【详解】2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3]−23−lg100+(√2−1)0=14−94−2+1=−3．故答案为−3．15．【答案】5√22【详解】解：设y =x +m (m ≠4)与y =lnx 相切与点Q (x 0,lnx 0)，则 y ′=1x 0，令y ′=1x 0=1，得x 0=1，则切点Q (1,0)，代入y =x +m (m ≠4)，得m =−1，即直线方程为y =x −1，所以与直线y =x +4间的距离为d =|4+1|√2=5√22，即为P 到直线y =x +4的最小距离，故答案为：5√2216．【答案】2【详解】对任意的x ∈(0,+∞)，都有f [f(x)−log 3x ]=4，且f(x)是(0,+∞)上的单调函数，因此f (x )−log 3x 为定值，设t =f (x )−log 3x ，则f (x )=t +log 3x ，显然f (t )=4，即t +log 3t =4，而函数ℎ(t)=t +log 3t 在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(3)=4，于是得t =3，从而f (x )=log 3x +3，求导得f ′(x )=1xln3，方程f(x)−2f ′(x)=3⇔log 3x −2xln3=0，依题意，x 0是函数g(x)=log 3x −2xln3的零点，而函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(2)=log 32−1ln3=ln2−1ln3<0,g(3)=1−23ln3>0，即函数g(x)的零点x 0∈(2,3)，又x 0∈(a,a +1),a ∈N ∗，所以a =2. 故答案为：2 四、解答题17．【答案】(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin x cos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)，∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 18．【答案】（1）因为a n +a n+1=3n+1，所以a n+13n+1−34a n 3n −34=3n+1−a n 3n+1−34a n 3n −34=14−a n 3n+1a n 3n −34=−13．又a13−34=14，所以{an3n−34}是以a13−34=14为首项，−13为公比的等比数列. （2）由（1）可知a n3n −34=14×(−13)n−1，则a n =3n+14+34×(−1)n−1.S n =14×(32+33+⋯+3n+1)+34×[(−1)0+(−1)1+⋯+(−1)n−1] =14×32−3n+21−3+34×1−(−1)n 1−(−1)=3n+2−6+3×(−1)n+18.19．【答案】(Ⅰ)证明：∵长方形ABCD 中，AB =2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，∴AM =BM =2，可得AM 2+BM 2=AB 2， ∴BM ⊥AM ．∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM.(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，B(−1,2,0)，D(0,0,1)，M(−1,0,0) 设DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则平面AMD 的一个法向量n ⃗ =(0,1,0)， ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2λ,1−λ)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，设平面AME 的一个法向量为m⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0m ⃗⃗ ·ME⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +2λy +(1−λ)z =0, 取y =1，得x =0，z =2λλ−1，则m ⃗⃗ =(0,1,2λλ−1)，∵|cos <m →，n →>|=|m⃗⃗⃗ ·n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√55，解得λ=12，故E 为BD 的中点．20．【答案】（1）由题意得P (10)⋅Q (10)=(1+k10)×110=121，解得k =1．（2）由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而①，①，①中的函数为单调函数，故只能选①，即Q (x )=a |x −25|+b ．由题表可得Q (10)=110，Q (20)=120，即{15a +b =110,5a +b =120,解得{a =−1,b =125, 故Q (x )=125−|x −25|(1≤x ≤30,x ∈N +)．（3）由（2）知Q (x )=125−|x −25|={100+x,1≤x <25,x ∈N +,150−x,25≤x ≤30,x ∈N +,①f (x )=P (x )⋅Q (x )={x +100x+101,1≤x <25,x ∈N +,150x−x +149,25≤x ≤30,x ∈N +.当1≤x <25时，y =x +100x在区间[1,10)上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，①当x =10时，f (x )取得最小值，且f (x )min =121；当25≤x ≤30时，y =150x−x 是单调递减的，①当x =30时，f (x )取得最小值，且f (x )min =124．综上所述，当x =10时，f (x )取得最小值，且f (x )min =121．故该商品的日销售收入f (x )的最小值为121元． 21．【答案】（1）解：因为函数f (x )=log 141−ax x−1的图象关于原点对称，所以f (x )+f (−x )=0，即log 141−ax x−1+log 141+ax−x−1=0，所以log 14(1−ax x−1×1+ax −x−1)=0恒成立，所以1−ax x−1×1+ax−x−1=1恒成立，即1−a 2x 2=1−x 2恒成立，即(a 2−1)x 2=0恒成立，所以a 2−1=0，解得a =±1又a =1时，f (x )=log 141−ax x−1无意义，故a =−1．（2）因为x ∈(1,+∞)时，f (x )+log 14(x −1)<m 恒成立，所以log 141+xx−1+log 14(x −1)<m 恒成立，所以log 14(x +1)<m 在x ∈(1,+∞)上恒成立，因为y =log 14(x +1)是减函数，所以当x ∈(1,+∞)时，log 14(x +1)∈(−∞,−1)，所以m ≥−1，所以实数m 的取值范围是[−1,+∞)．（3）因为f (x )=log 141+x x−1=log 14(1+2x−1)在[2,3]上单调递增，g (x )=log 14(x +k )在[2,3]上单调递减，因为关于x 的方程f (x )=log 14(x +k )在[2,3]上有解，所以{f (2)≤g (2),f (3)≥g (3), 即{log 143≤log 14(2+k ),log 142≥log 14(3+k ),解得−1≤k ≤1，所以实数k 的取值范围是[−1,1]． 22．【答案】（1）∵f(x)=e x−m +ln 3x ，∴x >0，f ′(x)=e x−m −1x ，∵x =1是函数f(x)的极值点， ∴f ′(1)=e 1−m −1=0，解得m =1，∴f ′(x)=e x−1−1x ，设g (x )=e x−1−1x ，则g ′(x )=e x−1+1x 2>0， ∴x =1是f ′(x)=0的唯一零点，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增.（2）当m ⩽2，x ∈(0,+∞)时，e x−m ⩾e x−2，设φ(x )=e x −x −1，则φ′(x )=e x −1，所以当x ∈(0,+∞)时φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )=e x −x −1>φ(0)=0，即e x >x +1， ∴e x−m ⩾e x−2>x −1，取函数ℎ(x)=x −1+ln 3x (x >0)，则ℎ′(x)=1−1x ，当0<x <1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x >1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以函数ℎ(x)在x =1处取得唯一的极小值，即最小值为ℎ(1)=ln3， ∴f(x)=e x−m +ln 3x ⩾e x−2+ln 3x >x −1+ln 3x ⩾ln3，故f(x)>ln3.。

2019年南京市文枢中学高考数学选择题专项训练(一模)

2019年南京市文枢中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第1 题：来源：内蒙古赤峰市2017_2018学年高二数学上学期升学考试（一模）试题理试卷及答案若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ． B ． C ． D ．【答案】A ．第 2 题：来源：上海市2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案是所在平面内的一点，且满足，则的形状是（）．（A）等腰三角形（B）等腰直角三角形（C）直角三角形（D）等边三角形【答案】A第 3 题：来源： 2016-2017学年云南省云天化中学高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A.B.C. D.【答案】C第 4 题：来源：内蒙古包头市第一中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题试卷及答案设，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C第 5 题：来源：吉林省蛟河市第一中学校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知a＞b＞0，求证：－＜．”最终的索因应是A．＜1 B．＞1C．1＜ D．a－b＞0【答案】C第 6 题：来源：山东省、湖北省部分重点中学2018届高三数学上学期第一次（9月）联考试题理已知均为锐角，，则=A. B. C. D.【答案】A解析：由题意可知都为钝角，答案为A第 7 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题（普通班）理.已知函数f(x)＝ex－x2，若∀x∈[1,2]，不等式－m≤f(x)≤m2－4恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1－e] B．[1－e，e] C．[－e，e＋1] D． [e，＋∞)【答案】.D第 8 题：来源：湖北省武汉外国语学校2018_2019学年高二数学10月月考试题（含解析）若，则等于（）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．第 9 题：来源：西藏林芝市2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）A、三棱锥B、四棱锥C、三棱柱D、四棱柱【答案】 C【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：根据该几何体的三视图，得出该几何体是平放的三棱柱，如图所示；故选：C．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是什么图形．第 10 题：来源：四川省棠湖中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理已知，，复数，则A．3 B．1 C．0 D．【答案】A第 11 题：来源：四川省成都市郫都区2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题试卷及答案理当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是A．(2,3) B．C．(－2,3) D．(－2,0)【答案】C第 12 题：来源：河北省唐山一中2016_2017学年高二数学3月月考试题理四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D【答案】B第 13 题：来源：课时跟踪检测试卷两角和与差的正弦试卷及答案已知sin α＋cos α＝，则sin2＝( )A．B．C．D．【答案】B第 14 题：来源：内蒙古翁牛特旗2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是（）A. 3个都是正品B. 至少有一个是次品C. 3个都是次品D. 至少有一个是正品【答案】D第 15 题：来源：湖北省宜昌市葛洲坝中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理．用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（）A． B． C． D．【答案】D第 16 题：来源：重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题五理试卷及答案已知双曲线kx2-y2=1(k>0)的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直,则双曲线的离心率是( ) (A) (B)(C)4 (D)【答案】A.第 17 题：来源：山东省枣庄市2016_2017学年高二数学3月月考试题试卷及答案已知函数的图象如右图所示，则的解析式可以是（）A． B．C． D．【答案】A第 18 题：来源：福建省长泰县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理．“”是“函数为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B第 19 题：来源：江西省南昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（）A．10 B．20 C．2D．【答案】D第 20 题：来源：广东省广州市荔湾区2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题试卷及答案文甲、乙、丙三人中只有一人去过陈家祠，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”。

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精品试卷2019高三第二次月考数学(理科)考试时间: 2018年9月27日 15:00—17:00注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4},()A B C A B C ===则=A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.复数()32z i i =-(i 为虚数单位)的共轭复数z =A.23i +B.23i -+C.23i -D.23i --3.右侧茎叶图记录了甲,乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则,x y 的值分别为A.3,6B.3,7C.2,6D.2,7乙组甲组95 y 840129x 27 44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=,则52SS =A.－11B.－8C.5D.115.已知“2x >”是“2xa >(aR ∈)”的充分不必要条件,则a 的取值范围是A.(－∞,4)B.(4,+∞)C.(0,4]D.(－∞,4]6.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示,则该三棱锥的侧视图可能为7.设变量,x y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y =+的最小值为A.3B.2C.1D.－1 8.已知直线6x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像的一个对称轴,其中()0,2ϕπ∈,且()2f f ππ⎛⎫<⎪⎝⎭,则()f x 的单调递增区间是A.2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) B.,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) C.,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈) D.,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(k Z ∈)9.A,B,C,D,E 是半径为5的球面上五点,A,B,C,D 四点组成边长为,则四棱锥E-ABCD 体积最大值为A.2563 B.256 C.643 D.64 10.设23a =,4log 3b =,16log 5c =,则,,a b c 的大小关系为A.b c a >>B.b a c >>C.a b c >>D.a c b >>11.若双曲线22221x yC :a b-=(00a ,b >>)的一条渐近线被圆()2224xy -+=所截得的弦长为则C 的离心率为12.已知函数()sin 4x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,99101,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,过点1,02P π-⎛⎫⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线,切点坐标为()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,则1nii x==∑A.49πB.50πC.51πD.101π二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,a b 满足||1a =,2a b ⋅=,则()2a a b ⋅+=_________________.14.82x ⎫-⎪⎭的展开式中,x 的系数为__________________.15.如图,在△ABC 中,AD=DB ,F 在线段CD 上,设AB a =,AC b =,AF xa yb =+,则14x y+的最小值为_________.16.设实数0λ>,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式ln 0xxeλλ-≥恒成立,则λ的取值范围是_________.精品试卷三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.(12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ,角A,B,C 成等差数列,b =. ⑴若3sin 4sin C A =,求c 的值; ⑵求a c +的最大值.18.(12分)某地区高考实行新方案,规定:语文,数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理,化学,生物,历史,地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理,化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理,化学和生物”为其选考方案.某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:⑵假设男生,女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生中随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;⑶从选考方案确定的8名男生中随机选出2名,设随机变量1,22,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同，名男生选考方案不同，,求ξ的分布列及数学期望.19.(12分)如图在四面体D-ABC 中,已知AD=BC=AC=5,AB=DC=6,4sin 5DAB ∠=,M 为线段AB 上的动点(不包含端点). ⑴证明:AB ⊥CD ;⑵求二面角D-MC-B 的余弦值的取值范围.A20.(12分)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴, 与C 有两个交点A,B ,线段AB的中点为M .⑴证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值;⑵若过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.21.(12分)设函数()2ln 2ax f x x x a x =-+-(a R ∈). ⑴若函数()f x 有两个不同的极值点,求实数a 的取值范围;⑵若2a =,k N ∈,()222g x x x =--,且当2x >时不等式()()()2k x g x f x -+<恒成立, 试求k 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. ⑴写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;⑵已知与直线l 平行的直线l ＇过点M (2,0),且与曲线C 交于A,B 两点,试求|MA |·|MB |.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()|||1|f x x x =+-. ⑴解不等式()3f x ≥;⑵若()()2f x f y +≤,求x y +的取值范围.精品试卷2019高三第二次月考数学理答案12.()'2cos x f x e x =,设切点为000,sin 4x x x π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则切线方程为()00000sin 2cos 4xx y x e x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,将1,02π-⎛⎫ ⎪⎝⎭代入,得000001sin 2cos 42x xx e x x ππ-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得00tan 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 由tan y x =,22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭知两个函数均关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以切点也关于2π对称且成对出现.99101,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内共有100对,所以150ni i x π==∑.二.填空题13.5 14.112 15.6+1eλ≥解析:15.2AF x AB y AC x AD y AC =+=+,由C,F,D 共线,故21x y +=,()14148266x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭16.ln 0x xe λλ-≥,得ln x e x λλ≥,得ln ln x x x e x e λλ⋅≥⋅恒成立,观察构建函数()tf t te =,()()'1tf t t e =+,当1t ≤-时,()f t 单调递减;当1t >-时,()f t 单调递增.⑴当1x e≥时, 10t x λ=>,2ln 1t x =>-,此时()f t 单调递增; 要()()ln f x f x λ≥恒成立(即()()12f t f t ≥),只须ln x x λ≥恒成立,ln x x λ≥,构建函数()ln x F x x=,求导最终可得1e λ≥.⑵当10x e<<时,10t x λ=>,2ln 0t x =<,由()0000f e =⋅=,观察图像知()()12f tf t >恒成立即()()ln f x f x λ≥对任意的λ恒成立.综上,得1eλ≥.三.解答题17.解:⑴由角A,B,C 成等差数列,得2B=A+C,又A+B+C=π,得3B π=.又由正弦定理,3sin 4sin C A =,得34c a =,即34a c =, 由余弦定理,得2222cosB b a c ac =+-,即22331132442c c c c⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,解得4c =.⑵由正弦定理得sin sinC sin a c b A B ===∴a A =,c C =,)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+=++⎡⎤⎣⎦sin sin 36A A A ππ⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦,由203A π<<,知当62A ππ+=,即3A π=时,()max a c +=.18.⑴由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人.该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有10184201401830⨯⨯=人. ⑵由数据可知,选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为2184=;选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为310,所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=. ⑶由数据可选,选考方案确定的男生中有4人选择物理,化学和生物;有2人选择物理,化学和历史,有1人选择物理化学和地理;有1人选择物理,化学和政治.由已知得ξ的取值为1,2.()224228114C C P C ξ+===;()()1111422228121324C C C C P C ξ++⨯+===. ∴13712444E ξ=⨯+⨯=.精品试卷19.⑴证明:作取AB 中点O,连DO,CO.由AC=BC,O 为中点,故OC ⊥AB. 由AD=5,AO=3,4sin 5DAB ∠=知OD=4,故OD ⊥AB, ∴AB ⊥平面DOC,CD 在平面DOC 内,∴AB ⊥CD.⑵由⑴知AB ⊥平面DOC,AB 在平面ABC 内,故平面DOC ⊥平面ABC. 以O 为原点,OB 为x 轴,OC 为y 轴,Oz 垂直平面ABC,建立空间直角坐标系O-xyz.故O(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),A(-3,0,0), 设OM m =(33m -<<),则M(m,0,0)A在△DOC 内,作DE ⊥OC,连EO,由OD=OC=4,DC=6,解得12EO =,DE =,故10,2D ⎛- ⎝⎭. 设平面DMC 的法向量为(),,n xy z =,则90,2CD ⎛=- ⎝⎭,(),4,0CM m =-, 由00n CD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得902240y z mx y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩,得4x y m z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,令y=,得()47,,3n m =. 平面MCB 的法向量为()0,0,1m=,所以|cos ,|a b ==,由33m-<< 故9|cos ,|16a b <=,设θ为二面角D-MC-B 的平面角,所以99cos 1616θ-<<.yA20.解:⑴设直线y kx b =+(0,0k b ≠≠),()11,A x y ,()22,B x y ,(),M M M x y , 将y kx b =+代入2229x y m +=, 得()2222920k x kbx b m +++-=,故12229M x x kb x k +==-+,299M M by kx b k =+=+, 于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k==-,即9OM k k ⋅=-,所是命题得证. ⑵四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭,所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠. 由⑴得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x .由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,得2222981P k m x k =+,即P x =将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入直线的方程得()33m k b -=,因此()()2339M mk k x k -=+, 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x=. ()()23239mk k k -=⨯+,解得14k =24k =.因为0,3i i k k >≠,i=1,2,所以当l 的斜率为44+,四边形OAPB 为平行四边形.精品试卷21.解：⑴由题意知,函数()f x 的定义域为(0,+∞),()'ln 11ln f x x ax x ax =+--=-, 令()'0f x =,可得ln 0x ax -=,∴ln x a x =,令()ln xh x x=, 则由题可知直线y a =与函数()h x 的图像有两个不同的交点,()21ln 'xh x x -=,令()'0h x =,得x e =, 可知()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，()()max1h x h e e==,当x 趋向于+∞时,()h x 趋向于零,故实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.⑵当2a =时,()2ln 2f x x x x x =-+-,()()()2k x g x f x -+<,即()2ln k x x x x -<+,因为2x >,所以ln 2x x x k x +<-,令()()ln 22x x xF x x x +=>-,则()()242ln '2x xF x x --=-,令()()42ln 2m x x x x =-->, 则()2'10m x x=->,所以()m x 在(2,+∞)上单调递增,()2842ln84ln 440m e =-<-=-=;()31062ln1062ln 660m e =->-=-=,故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ,即0042ln 0x x --=, 故当02x x <<时,()0m x <,即()'0F x <, 当0x x <时,()'0F x >,所以()()0000000min0041ln 2222x x x x x x F x F x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--,所以02x k <,因为()08,10x ∈,所以()04,52x∈,所以k 的最大值为4.22.解:⑴把直线l 的参数方程化为普通方程为)11y x =-+.由22cos 1cos θρθ=-,可得()221cos 2cos ρθρθ-=,∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =.⑵直线l 的倾斜角为3π,∴直线l '的倾斜角也为3π,又直线l '过点M(2,0),∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数),将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=, 设点A,B 对应的参数分别为1t ',2t '.由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-,1243t t ''+=. ∴16||||3MA MB ⋅=.123AB t t ''∴=-==.23.解:⑴当0x ≤时,原不等式化为13x x -+-≥,解得1x ≤-,结合0x ≤,得1x ≤-. 当01x <<时,原不等式化为13x x +-≥,无解.当1x ≥时,原不等式化为13x x +-≥,解得2x ≥,结合1x ≥,得2x ≥. 综上,原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞;⑵()()2f x f y +≤,即|||1||||1|2x x y y +-++-≤,又()|||1||1|1x x x x +-≥--=,()|||1||1|1y y y y +-≥--=,∴|||1||||1|2x x y y +-++-≥.∴|||1||||1|2x x y y +-++-=,且|||1||||1|1x x y y +-=+-=, ∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤.。