八年级数学下册四边形平行四边形三角形的中位线课件 沪科版
八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知
三角形中位线定理制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【学习目的】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE.CF是中线，∴E.F分别是AC.AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF ∥BC 且EF=21BC ，∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC 且MN=21BC ，∴EF ∥MN 且EF=MN ，∴四边形MNEF 是平行四边形．2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔 〕A ．2B ．3 C.52 D ．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．【答案解析】解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点∴DE ∥AB∴∠EDC ＝∠ABC∵BF 平分∠ABC∴∠EDC ＝2∠FBD在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD∴∠DBF ＝∠DFB∴FD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．【思路点拨】〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求出OE=25．【答案与解析】〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．∵E.F 分别是BC.AD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，∵∠BME=∠CNE ，∴HE=HF ，∴AB=CD ；〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，∵AB=CD ，∴HO=HE ，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH 是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=25．【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，∵E 是AC 中点，∴AE=CE ，∴△DCE ≌△HAE ，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．制卷人：打自企；成别使；而都那。
沪科版八年级下册数学三角形的中位线定理》
B
C
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
A
D
E
F
B
C
练习1
已知: 三角形各边长分别8cm,10cm和12cm.求 以各边中点为顶点的三角形的周长.
A
F
E
B
D
C
练习2
求证: 三角形的一条中位线与第Fra bibliotek边上的 中线互相平分.
A
F
E
B
D
C
练习3
已知:在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 边AB,CD,AC,BD的中点.
三角形的中位线定理
回顾与思考
平行四边形的性质与判定
性质
判定
边 角 对角线 推论
平行四边形的两组 ①两组对边分别平行的四边形 对边①分别平行 ②两组对边分别相等的四边形 ②分别相等 ③一组对边平行且相等的四边形
平行四边形的①对 角相等②邻角互补 两组对角分别相等的四边形
平行四边形的 对角线互相平分
对角线互相平分四边形
求证: 四边形EGFH是平行四边形.
D
F
C
G
H
A
E
B
练习4
如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E、F、 H、M，得到的四边形EFHM是平行四边形吗？ 为什么？
任意四边形ABCD各边中点
A E
的连线都是平行四边形. M
B
F
证明:连接AC.
D
H
C
夹在两条平行线间的平行线段相等
定义：连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线.
操作: 画出一个任意三角形，画
出它的一条中位线，试探究这 条中位线和第三边之间的关系。
八年级下册6.4 三角形的中位线定理
6.4 三角形的中位线教学目标【知识与能力】（1）理解三角形中位线的概念。
（2）会证明三角形的中位线定理。
（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题。
【过程与方法】进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。
体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。
【情感态度价值观】通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。
教学重难点【教学重点】理解并应用三角形中位线定理。
【教学难点】三角形中位线定理的证明和运用。
课前准备无教学过程本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课 概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理 巩固练习，强化新知 小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课为了测量广场上的小假山外围圆形的宽(不能直接测量) 在平地上选一点A ，再分别找出线段AB 、AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就可以求出宽BC 。
你知道这是为什么吗？设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。
这里创设了一个现实情景，在这里教师不急于让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。
为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。
（二） 概念学习（引导探究，获得新知） BAC DE1、动手实践探索请您做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：1、找出三边的中点2、连接6点中的任意两点3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。
最终给出三角形中位线的定义。
也引出了本节课的课题：三角形的中位线。
这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线2、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图，DE 、EF 、DF 是三角形的3条中位线。
八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定第1课时课件 华东师大版
2.(2013·郴州中考)如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
【证明】因为BE∥DF，所以∠AFD=∠CEB， 又因为∠ADF=∠CBE，AF=CE， 所以△ADF≌△CBE，所以DF=BE. 又BE∥DF， 所以四边形DEBF是平行四边形.
3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF， BE=CF.
求证：(1)△ABC≌△DEF. (2)四边形ABED是平行四边形.
【证明】(1)∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF. 又∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴△ABC≌△DEF. (2)∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE. ∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形.
【总结提升】从边的角度判定平行四边形的三点注意 (1)判定一个四边形是平行四边形需要两个条件. (2)对于已知两组对边的情况：可以通过判定这两组对边分别 平行，也可以判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四 边形. (3)对于已知一组对边的情况：需要证明这一组对边平行且相 等.
题组一：从两组对边的角度判定平行四边形 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC 于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( )
于点O，图中共有
个平行四边形.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD.
所以是平行四边形的有：□AEOG，□EOHB，□OFCH， □GDFO；□ADFE，□EFCB，□AGHB，□GDCH；□ABCD；
共9个. 答案：9
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
沪科版八年级数学下册《三角形的中位线定理》说课稿
沪科版八年级数学下册《三角形的中位线定理》说课稿一、引入大家好！今天我给大家介绍的是沪科版八年级数学下册中的《三角形的中位线定理》这一知识点。
中位线是我们在学习三角形时经常会接触到的一个概念，通过本节课的学习，我们将会了解到中位线的定义、性质和应用。
下面，让我们一起来探索吧！二、知识点概述2.1 中位线的定义在一个三角形中，连接任意两边中点的线段称为该三角形的中位线。
对于任意三角形ABC，连接AB的中点D和AC的中点E，就可以得到DE为三角形ABC的中位线。
2.2 中位线的性质1.三角形的三条中位线交于一点，且该点是各中位线中点连接线段的中点。
这个点被称为三角形的重心。
2.三角形的每条中位线上的长度都等于另外两条中位线长度之和的一半。
2.3 中位线的应用中位线定理是解决三角形相关问题的有力工具。
对于一些几何问题，我们可以通过中位线的性质来简化问题的求解过程。
同时，中位线的概念也和其他几何知识相互联系，可以为我们理解和解决其他相关问题提供帮助。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.掌握中位线的定义和性质。
2.理解中位线定理，并能够运用中位线定理解决问题。
3.2 教学难点1.将中位线的性质与实际问题联系起来，灵活运用中位线定理解决问题。
2.培养学生的几何思维能力和推理能力。
四、教学过程4.1 导入问题请同学们思考一个问题：在三角形ABC中，连接AB的中点D和AC的中点E，我们可以得到中位线DE。
此时，我们有哪些有趣的发现和猜想？如果你想测量三角形的面积，你会如何计算？引导学生思考和讨论，激发学生的兴趣和好奇心，为接下来的学习做好铺垫。
4.2 中位线的定义和性质讲解通过示意图，简单介绍和讲解中位线的定义和性质，并结合具体例子进行说明。
鼓励学生积极参与，提出问题和发表自己的观点。
4.3 中位线定理的证明由于时间和难度的限制，我们暂时不进行中位线定理的严格证明，而是希望通过学生对性质的理解和观察，对定理的正确性进行讨论和推理。
初中数学精品课件：三角形的中位线
G D
N
H
M
C F
B A
E
例3：一组对边相等的四边形ABCD中，AD=BC，E， G，N，分别为AB，CD，AC的中点.
①若M是GE的中点.求证：NM⊥GE
②延长AD,EG,BC分别交于点F和点H. 求证： ∠AFE=∠EHB
H F
C DG
N M
A
E
B
小结
思考题
在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD 于点D，
（4分）
在ΔABC中，D，E分别是AB、CD边 上的中点。M、N分别是DB、BE边上
的中点。AC=6，则MN=-------2分
初试身手
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
C （1）若∠ADE=60°，
则∠B=
6度0，为什么？
D。
。E
（2）若BC=8cm，
B
A 则DE=
4cm，为什么？
B
图1
2.如图2：在△ABC中，D、E、F
D
E
F
DF/ /BC
DE/
/
1 2
BC
B
C
获取新知 三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
A 几何语言：
D
E
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE)
∴DE∥BC,且DE=
1 BC
2
B
C
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
问题解决 如何测出水塘的宽AB之间的距离？
A
D
E
F
B
C
操作探究 定义 ：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
沪科版八年级数学下册19.2三角形的中位线优秀教学案例
3.教师关注各小组的学习情况，及时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到锻炼和提知识进行反思，巩固记忆，提高理解。
2.学生通过自我评价、同伴评价等方式，了解自己的学习情况，发现不足，明确改进方向。
沪科版八年级数学下册19.2三角形的中位线优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为沪科版八年级数学下册19.2节“三角形的中位线”，是学生在学习了三角形的基本概念、性质和特殊三角形的基础上，进一步探究三角形中位线性质和应用的重要内容。通过本节的学习，学生能够掌握三角形中位线的定义、性质和作法，会用中位线解决一些简单的几何问题。
3.教师对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续努力，提高他们的自信心。
（五）作业小结
1.教师布置具有针对性的作业，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
2.学生认真完成作业，及时巩固所学知识，培养良好的学习习惯。
3.教师批改作业，了解学生的学习情况，为下一节课的教学做好准备。
作为一名特级教师，我将以教学内容与过程为线索，关注学生的学习需求，充分调动学生的积极性和主动性，努力提高教学效果，为学生的全面发展奠定坚实的基础。同时，注重教学评价，及时调整教学策略，使教学活动更加符合学生的实际需求，提高教学质量。
在教学评价上，我注重过程性评价与终结性评价相结合，全面了解学生的学习情况。通过观察学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率，及时发现并解决问题，为学生的持续进步提供指导。同时，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和沟通能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线的性质，了解三角形中位线在几何中的应用。
19.2《三角形的中位线》教学设计20232024学年沪科版数学八年级下册19.2
1.教学方法：本节课采用讲授法、讨论法和实践活动法相结合的方式进行教学。讲授法用于向学生传授三角形中位线的定义和性质；讨论法用于引导学生探究中位线与第三边的关系；实践活动法用于让学生通过实际操作加深对中位线性质的理解。
2.教学活动：首先，通过引导学生复习三角形的基本概念和性质，为新知识的学习做好铺垫。接着，讲解三角形中位线的定义和性质，并利用多媒体展示中位线的作图过程。然后，组织学生进行小组讨论，探讨中位线与第三边的关系，并让学生举例说明。最后，安排实践活动，让学生亲自绘制三角形的中位线，并解决相关问题。
19.2《三角形的中位线》教学设计20232024学年沪科版数学八年级下册19.2
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教学内容
本节课的教学内容来自于沪科版数学八年级下册第19.2节《三角形的中位线》。本节主要内容包括：
1.三角形中位线的定义：三角形的中位线是连接一个三角形两个中点的线段。
课堂小结：
1.三角形的中位线是连接一个三角形两个中点的线段，长度等于它所对的边的一半。
2.三角形的中位线与第三边平行，并且等于第三边的一半。
3.三角形的中位线可以用来求解三角形的边长和角度，解决实际问题。
当堂检测：
1.判断题：
（1）三角形的中位线与第三边相等。（）
（2）三角形的中位线与第三边平行。（）
2.过程与方法：学生通过观察、分析和实践，培养了对几何图形的直观想象能力和逻辑推理能力。学生能够运用三角形中位线的性质进行几何图形的分析和计算，并能够将理论知识应用于实际问题中。
3.情感态度与价值观：学生通过学习三角形的中位线，培养了对几何学科的兴趣和好奇心，提高了对数学知识的运用能力和解决问题的能力，培养了解决实际问题的责任感和自信心。
沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义
三角形、梯形的中位线知识精要一、三角形的中位线1）、三角形的中位线定义：在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。
3）、三角形的中位线定理：4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_结论：中点三角形的周长等于原三角形的 .7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ；3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。
5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ；矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。
三、梯形中位线1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
2、梯形中位线定理： 热身练习1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。
2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ．5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2．6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )A. (a+b+c)B. (a+b+c)C. (a+b+c)D. (a+b+c)7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ）A. B. a C. D. 都不对9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：410. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？（10题图） （11题图）11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．精解名题例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。
八年级数学下册第十八章平行四边形平行四边形平行四边形的判定三三角形的中位线教案新人教
18.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线一、教学目的：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE ∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵ AH=HD，CG=GD，∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴ HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC 的周长是 cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列各式：2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1m （x+y ）中，是分式的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】3x x +，a b a b +-，()1x y m +分母中含有字母，因此是分式； 2a b-，5yπ+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选C ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式． 2．已知 21x y =⎧⎨=⎩是方程组 1,{ 5.ax by x by -=+=的解，则a 、b 的值分别为（ ）A ．2 , 7B ．－1 , 3C ．2 , 3D ．－1 , 7【答案】C 【解析】把 2{1x y ==代入方程组 1,{5.ax by x by -=+=，得 21,{2 5.a b b -=+=，解得2{3a b ==. 故选C.3 ） A ．﹣3 B ．3或﹣3C ．9D ．3【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，(0)(0)a a a a ⎧=⎨-<⎩．|3|3=-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式2a 化简规律：当a ≥0时，2a ＝a ；当a ≤0时，2a ＝﹣a ． 4．如图，在44⨯的正方形网格中，123∠∠∠，，的大小关系是（ ）A ．123∠>∠>∠B ．123∠=∠>∠C ．123∠<∠=∠D ．123∠=∠=∠【答案】B【分析】利用“边角边”证明△ABG 和△CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ABG=∠DCH ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CBG=∠BCH ，从而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM ，结合图形判断出∠BCH>∠EDM ，从而得到∠2>∠3，即可得解．【详解】解：如图，∵BG=CH ，AG=DH ，∠AGB=∠CHD=90°， ∴△ABG ≌△CDH ， ∴∠ABG=∠DCH ， ∵BG//CH ， ∴∠CBG=∠BCH ， ∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM ， 但∠BCH>∠EDM ， ∴∠2>∠3， ∴∠1=∠2>∠3， 故选B ． 【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定和性质；把∠1、∠2、∠3拆成两个角，能利用全等三角形和平行线得出相关角相等，是解题关键．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A．352294x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．354494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：①（2a + b）(m + n)；②2a(m + n)+b(m + n)；③m(2a+ b)+n(2a + b)；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【答案】D【分析】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．【详解】①（2a+b）（m+n），本选项正确；②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；④2am+2an+bm+bn，本选项正确，则正确的有①②③④．故选D ． 【点睛】此题考查了整式乘法，灵活计算面积是解本题的关键． 7．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（ ） A ．m+2＞n+2 B ．2m ＞2nC ．＞D ．m 2＞n 2【答案】D【解析】试题分析：A 、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B 正确； C 、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C 正确；D 、当0＞m ＞n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D 错误； 故选D ．【考点】不等式的性质．8．用反证法证明命题：“在△ABC 中，∠A 、∠B 对边分别是a 、b ，若∠A>∠B ，则a>b”时第一步应假设（ ）． A ．a < b B ．a = bC ．a ≥ bD ．a ≤ b【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在ABC 中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则.a b >” 第一步应假设a b ≤， 故选：D. 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9．将100个数据分成①-⑧组，如下表所示： 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数4812241873那么第④组的频率为（ ） A ．0.24 B ．0.26 C ．24 D ．26【答案】A【分析】先根据数据总数和表格中的数据，可以计算得到第④组的频数；再根据频率＝频数÷总数进行计算．【详解】解：根据表格中的数据，得第④组的频数为100−（4＋8＋12＋1＋18＋7＋3）＝1，所以其频率为1÷100＝0.1． 故选：A ． 【点睛】本题考查频数、频率的计算方法．用到的知识点：各组的频数之和等于数据总数；频率＝频数÷总数． 10．若方程322133x mxx x-++=---无解，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．-1或53- C ．3 D ．-1或3【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程后，分析无解的情况，求得m 值．【详解】方程两边乘最简公分母3x -后，合并同类项，整理方程得()12m x +=-，若原分式方程无解，则10m +=或3x =， 解得1m =-或53-． 【点睛】本题考查分式方程无解的两种情况，即：1.解为增根．2.整式方程无解 二、填空题11．在实数范围内，使得3x +有意义的x 的取值范围为______． 【答案】3x ≥-【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内，使得3x +有意义， 则1+x≥0， 解得：x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于【答案】6【解析】试题分析：由全等可知：AH ＝DE ，AE ＝AH ＋HE ，由直角三角形可得：222AE DE AB +=，代入可得.考点：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等 13．若2·8n ·16n ＝222，求n 的值等于_______． 【答案】1【分析】将8和16分别看成342,2 代入，然后再根据同底数幂的运算法则运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：34222(2)(2)2nn ，即：1342222n n，∴172222n ，∴1722n，解得：3n =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =且//AD BC ，8AB =，5AD =，AE 平分DAB ∠交BC 的延长线于F 点，则CF =_________．【答案】3 ；【分析】由//AD BC ，AE 平分DAB ∠，得到∠EAB=∠F ，则AB=BF=8，然后即可求出CF 的长度. 【详解】解：∵//AD BC ， ∴∠DAE=∠F ， ∵AE 平分DAB ∠， ∴∠DAE=∠EAB ， ∴∠EAB=∠F ， ∴AB=BF=8，∵5AD BC ==，∴853CF CF BC =-=-=； 故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握所学的性质，得到AB=BF.15．一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 是常数）的图像如图所示．则关于x 的方程4kx b +=的解是_______．【答案】x=1【分析】根据一次函数y=kx+b 与y=4轴的交点横坐标即为对应方程的解． 【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=4的交点坐标是（1，4）， ∴关于x 的方程kx+b=4的解是：x=1 故答案为x=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解两条直线交点的横坐标即为对应方程的解是解答本题的关键．16．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．【答案】（323【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P （3232）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．【答案】1或83．【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得x值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出x值【详解】当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝1．当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝41.5＝83故答案为1或83．【点睛】本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算三、解答题18．解方程组（1）212x y y x -=⎧-=⎨⎩（2）()12513xy x y⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩【答案】（1）{35x y ==；（2）2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】（1）先用①+②算出x,再带入求y 即可；（2）先用②×2-①算出x,再带入求y 即可.【详解】（1）212x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①+②，得x=3，把x=3代入②得：y-3=2，解得：y=5，所以原方程组的解为：{35x y ==；（2）整理得：2252x y x y ①②+=⎧⎨+=-⎩②×2-①得：9x=-6，解得：x=23-，把x=23-代入①得：-23+2y=2，解得：y=4 3所以方程组的解为：2343xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.19．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．【答案】证明见解析．【分析】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠1=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．【详解】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠1．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠1=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，21D CAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形和全等三角形，是解题的关键．20．老陶手机店销售A 型和B 型两种型号的手机，销售一台A 型手机可获利1200元，销售一台B 型手机可获利1400元．手机店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍设购进A 型手机x 台，这100台手机的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式．（2）该手机店购进A 型、B 型手机各多少台，才能使销售利润最大．【答案】（1）200140000y x =-+，（2）25台A 型手机，75台B 型手机．【分析】（1）由总利润等于销售A ，B 型手机获得的利润之和，从而可得答案；（2）由B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍列不等式求解x 的范围，再利用函数的性质求解最大的销售利润即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：()12001400100200140000y x x x =+-=-+．（2）根据题意得：1003x x -≤，解得25x ≥，200140000y x =-+，2000-<，y ∴随x 的增大而减小， x 为正整数，∴当25x =时，y 取最大值，则10075x -=，即商店购进25台A 型手机，75台B 型手机才能使销售利润最大．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．21．如图，已知正比例函数12y x =和一个反比例函数的图像交于点(2A ，)m ．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若点B 在x 轴上，且△AOB 是直角三角形，求点B 的坐标．【答案】（1）2y x =；（2）点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先由点A 在正比例函数图象上求出点A 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）由题意可设点B 坐标为（x ，0），然后分∠ABO=90°与∠OAB=90°两种情况，分别利用平行于y 轴的点的坐标特点和勾股定理建立方程解答即可．【详解】解：（1）∵正比例函数12y x =的图像过点（2，m ）， ∴m=1，点A （2，1），设反比例函数解析式为k y x=， ∵反比例函数图象都过点A （2，1），∴12k =，解得：k=2， ∴反比例函数解析式为2y x=； （2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 坐标为（x ，0），若∠ABO=90°，则B （2，0）；若∠OAB=90°，如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则222OA AB OB +=，∴()2222121x x ++-+=，解得：52x =，∴B 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上，点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握正比例函数与反比例函数的基本知识是解题的关键． 22．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 是BC 边上的中点，怎样求AD 的取值范围呢？我们可以延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，然后连接BE （如图①），这样，在△ADC 和△EDB 中，由于AD DE ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB ，∴AC＝EB ，接下来，在△ABE 中通过AE 的长可求出AD 的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE -<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD ∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BDCDN BDE DN ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN ⊥=EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN =在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF -<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE ∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC ∴GAE CBE ∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBEAE BE AEG BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC ∴==,BC CF DF AD==CF DF BC AD AG AD∴+=+=+，即CD GD=GE CE=CE ED∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．23．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE= 12 AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE ，∴△ADF ≌△CEF(AAS)，∴DF=EF ；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，得到△AEC ，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC ．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CE 12=AC ． ∵点G 是AC 的中点，∴CE=AG=EG=AD ，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG ，∴AD ∥GE ，∴四边形ADEG 是菱形．【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．先化简（22444a a a -+-﹣2a a +）÷12a a -+，再从a≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值． 【答案】21a --，1 【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解． 【详解】解：原式＝2(2)2(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+-⋅⎢⎥-++-⎣⎦， 22()221a a a a a a -+=-⋅++-， 2221a a a +=-⋅+-， 21a =--. ∵a≤1的非负整数解有0，1，1，又∵a≠1，1，∴当a ＝0时，原式＝1．【点睛】此题考察分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.25．已知一次函数y=2x+b.(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b 的值;(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b 的值.【答案】（1）±4；（2）5【解析】（1）分别求出一次函数y=2x+b 与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b 的值；（2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b 求出b 的值．【详解】解：（1）令x=0代入y=2x+b ，∴y=b ，令y=0代入y=2x+b ，∴x=-2b ， ∵y=2x+b 的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴12×|b|×|-2b |=4， ∴b 2=16，∴b=±4；（2）联立214y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得：13x y =-⎧⎨=⎩， 把（-1，3）代入y=2x+b ，∴3=-2+b ，∴b=5，【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b 的值，本题属于基础题型．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，P 是AD 上任意一点，连接BP 、CP 并延长分别交AC 、AB 于点E 、F ，则图中的全等三角形共有（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判断及性质可知有以下7对三角形全等：△ABD ≌△ACD 、△ABP ≌△ACP 、△ABE ≌△ACF 、△APF ≌△APE 、△PBD ≌△PCD 、△BPF ≌△CPE 、△BCF ≌△CBE ．【详解】①∵AB AC =，D 是BC 的中点，由等腰三角形三线合一可知：BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥，∴()ABD ACD AAS ≌②由AB AC =，BAD CAD ∠=∠,AP AP =，∴(ABP ACP SSS ≌）③由②可知，ABE ACF ∠=∠，∵ABE ACF ∠=∠，AB AC =，BAE CAF ∠=∠，∴()ABE ACF ASA ≌④由③可知，AFP AEP ∠=∠，∵AFP AEP ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，AP AP =∴()APF APE AAS ≌⑤由①可知，ADB ADC ∠=∠，BD CD =，又∵PD PD =，∴()PBD PCD SAS ≌⑥由③⑤可知，AFP AEP ∠=∠，BP CP =，∴BFP CEP ∠=∠ ，又∵BPF CPE ∠=∠ ，()BPF CPE AAS ≌⑦由⑤可知BCF CBE ∠=∠，由⑥可知BFP CEP ∠=∠，又∵BC CB =∴()BCF CBE AAS ≌∴共7对全等三角形，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS SAS AAS ASA HL 、、、、）是解题的关键．2．周长38cm 的三角形纸片ABC （如图甲），AB AC =,将纸片按图中方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE （如图乙），若DBC ∆的周长为25cm ，则BC 的长为（ ）A ．10 cmB ．12cmC ．15cmD ．13cm【答案】B 【分析】由折叠的性质可得AD=BD ，由△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，可列出两个等式，可求解．【详解】∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，∴AD=BD ，∵△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，∴AB+AC+BC=38cm ，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm ，∴AB=13cm=AC∴BC=25-13=12cm故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．32，26，210，…，10，按下列方式进行排列：，2，；4，，…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，1 ）A ．（5，4）B ．（4，4）C ．（4，5）D ．（3，5）【答案】B…∵19×2＝38，4行，第4个数字．故选：B ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．4．下列算式中，正确的是（ ）A ．a 4•a 4＝2a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2【答案】D【分析】根据同底数相乘（或相除），底数不变指数相加（或相减）；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．【详解】解：A 、原式＝a 8，故A 错误．B 、原式＝a 3，故B 错误．C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，故C 错误．D 、原式＝9a 4b 2，故D 正确故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式．5．如图，在OAB 和OCD 中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明()AOC BOD SAS ≌，即可证明AC BD =;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ,再证明()OCG ODH AAS ≌即可证明MO 平分BMC ∠.【详解】解：∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD 中，OA OBAOC BOD OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOC BOD SAS ≌，∴,OCA ODB AC BD ∠=∠=，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：,AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG 和ODH 中，OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OCG ODH AAS ≌，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确；正确的个数有3个；故选B ．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 6．用科学记数法表示0.0000018=（ ）A ．61.810-⨯B ．61.810⨯C ．51.810-⨯D ．71810-⨯【答案】A【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000018=61.810-⨯．故选A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．如图，在ABC 中，点D 是BC 延长线上一点，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B 等于（ ）．A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【答案】D 【分析】利用外角的性质解答即可．【详解】∵ ∠ACD ＝∠B ＋∠A ，∴∠B ＝∠ACD －∠A ＝120°－70°＝50°，故选：D ．【点睛】本题考查外角的性质，属于基础题型．8．如图，为了弘扬中华民族的传统文化，我校开展了全体师生学习“弟子规”活动．对此学生会就本校“弟子规学习的重要性”对1000名学生进行了调查，将得到的数据经统计后绘制成如图所示的扇形统计图，可知认为“很重要”的人数是（ ）。
八年级数学下册18、1平行四边形的性质第1课时平行四边形及其边角性质授课课件新版华东师大版
知3－讲
ABCD中，∠A =40°，求其他各内角
解：在 ABCD中， ∠A = ∠C，∠B = ∠D(平行四边形的对角相等). ∵∠A=40°，∴∠C=40°. 又∵AD//BC， ∴∠A + ∠B = 180°, ∴∠B = 180° - ∠A=180°- 40° = 140°， ∴∠D = ∠B = 140°.
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB//CD(平行四边形的对边平行)，
∴∠CDE =∠AED. 又∵DE是∠ADC的平分线， ∴∠ADE =∠CDE, ∴∠ADE =∠AED， ∴AD = AE. 又∵AD=BC (平行四边形的对边相等) ∴AE=BC. ∴BE+BC=BE+AE=AB=CD.
第18章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形及 其边角性质
1 课堂讲解 平行四边形的定义
平行四边形的性质——对边相等
平行四边形的性质——对角相等
2 课时流程 平行线之间的距离
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 平行四边形的定义
知1－导
平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗?
知2－导
知识点 2 平行四边形的性质——对边相等
你还发现平行四边形有哪些性质？
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 请你尝试证明这些结论.
知2－讲
边的性质： 平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
数学表达式： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
知3－讲
要点精析：由于组成平行四边形的元素有边、角，因 此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看． (1)从边看：平行四边形的对边平行且相等； (2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补． 3.易错警示：已知平行四边形得出什么性质，要根据
沪科版八年级下册数学教学课件 第19章 四边形 矩形、菱形、正方形 第2课时 矩形的判定
点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，D
C
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD=
1 2
BD.
又∵OA=OD，
O
∴AC=BD，
A
B
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH，
O
F
G
∴四边形EFGH是矩形.
B
C
练一练
1.如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面
条件能判定▱ABCD是矩形的是
（ ）A
A．AC=BD C．AD=BC
B．AC=BC D．AB=AD
2.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是
矩形吗？为什么？
能力提升： 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方 向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿 着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别 从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点随之停止运动．
过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉
得对吗？
不对，矩形 是特殊的平 行四边形， 所以它的对 角线相等且 相互平分.
不对，等腰 梯形的对角 线也相等.
我猜想：对 角线相等的 平行四边形 是矩形.
思考 你能证明这一猜想吗？
证一证
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
2023八年级数学下册第十八章平行四边形18
A.14
B.18
C.20
)
D.24
答案
1
2
4.B ∵点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点,∴DE,EF是△ABC的中位线,∴DE//AC,DE= AC
∴四边形ADEF为平行四边形,∴四边形ADEF的周长为2(DE+EF)=18.
1
5.[2021陕西西安期末]如图,在边长为12的等边三角形ABC中,D为边BC上一点,且BD=2CD
为
.
答案
3. 3 ∵△ABC的周长是26,BC=10,∴AB+AC=16.∵BQ垂直平分AE,∴AQ=EQ,AB=BE.同理
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=6.∵P,Q分别为AD,AE的中点,∴PQ是△ADE的中位线,∴P
4.[2020江苏扬州期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=10,D,E分别是边AC和
7.[2020山东东营垦利区期末]如图,在四边形ABDC中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的
中点,且E,F,G,H四点不共线.当AC=6,BD=8时,四边形EFGH的周长是
.
答案
7.14 ∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,FG,GH,EH分别为△ABC,△BCD,△A
E,F为边AC上一点,连接EF,DF,M,N分别为EF,DF的中点,连接MN,则MN的长为(
A. 3
B.2
)
C.2 3D.4
答案
1
2
5.A ∵BC=12,BD= CD,∴BD=4.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.∵DE⊥AB,∴∠DEB=9
沪科版八年级下册数学：三角形的中位线定理(1)
问题解决2
观察：两个直角三 角形的位置特征。
提问：你能想到其 他变式图形吗？
问题解决2
几何画板动态演示1
问题解决3
已知
综合法
结论
由因导果； 执果索因！
已知
分析法
质。进一步学习
请参考教材 P82“阅读与思考”
几何画板动态演示2
知识要点
与中点有关的结论
文字表述
线段垂直平分线 性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
等腰三角形“三 线合一”性质
等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
三角形中位线 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等
定理
于第三边的一半
直角三角形性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
知识补充
名称
技能点拨
点拨1 点拨2 点拨3 点拨4 点拨5
熟悉结论对应的基本图形，能在复杂图形中快速 辨识。 抓住“中点”特征，对号入座相关结论。
通过添加辅助线，构造条件，使用结论。
将原问题转化成“中点”有联系的新问题。
利用“中点”条件进行发散，找到结论之间的联 系脉络，综合运用结论解决问题。
问题解决1
提示：利用“中位线定 理”证明。
沪科版八年级数学下册
第19章四边形复习课
四边形中一类中点问题 解决策略
知识要点
与中点有关的定义
文字表述
线段的中点 在线段上，到线段两端距离相等的点
线段的垂直平分 线
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
三角形中线 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
三角形中位线 连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等 于第三边的一半