第五章 弯曲内力

A
（四）、支座的简化：
1、固定端——有三个约束反力。 FXA A MA FAY
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2、固定铰支座 ——有二个约束反力。
FAY
FAX
3、可动铰支座
——有一个约束反力。
FAY
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（五）、梁的三种基本形式：
q(x) — 分布力
1、悬臂梁：
L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力
FAY 2(kN );
AC :
2、写出内力方程 Fs ( x1 ) FAY 2(kN), (0 x1 1) M ( x1 ) FAY x1 2 x1 (kN.m),
CD : Fs ( x2 ) FAY 2 2 2 0, (0 x2 2) M ( x2 ) FAY x2 2( x2 1) 2(kN.m),
Y 0, F F F 0. m 0, F (l x) F (a x) M 0.
s BY
C
BY
Fs
F (l a ) , l
M
F (l a) x l
14
1. 弯矩：M
构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的内力偶矩 FAX A FAY m F B FBY
A a 1.3a
Fa
RB
FS 1
M1M 2
B a 1
C a 2
D
Y 0, R R F 0 M B 0, F 2a RC a Fa 0
B C
RC 3F , RB 2F 0.5a （2）求内力, 1--1截面取左侧考虑：
F
C
D
FS 2
FS1 RB 2F
上海工程技术大学基础教学学院工程力学部
刘立厚
1
第五章 弯曲内力与应力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图
§5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
§5—5 按叠加原理作弯矩图
§5—6 平面刚架和曲杆的内力图
作业
2
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
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§5—2 梁的约束与类型 一、梁、荷载及支座的简化 （一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化： 1、集中力 2、分布力 3、集中力偶
x3 1 M ( x 3 ) 2 1、弯矩与分布荷载间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系 q RA x L RB 1、支反力： FAY FBY 2、内力方程
ql 2
A
M
RA
FS
1 FS ( x) ql qx 2 1 1 2 M ( x) qlx qx 2 2 3、讨论：
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 M(+)
M(+)
M(–) M(–)
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三、注意的问题
1、在截开面上设正的内力方向。
2、在截开前不能将外力平移或简化。
四、简易法求内力：
FS Fi（一侧）， M Mi （一侧）。
左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
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x1
Fs 2
x2
Fs 2 q( x2 a L)
1 2 M2 q( x2 a) qLx2 2
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0.8kN
A RA
2
1
1.5m 1.5m 3m
1.2kN/m [例]：梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
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六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。 七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。 1、建立直角坐标系， 2、取比例尺， 3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。 Fs x M x
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八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。 2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。 3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。 4、确定最大的剪力值、弯矩值。
M1 RB 0.3a Fa
(2F ) 0.3a Fa 0.4 Fa
2--2截面取右侧考虑：
FS 2 F
M 2 F 0.5a 0.5Fa
20
q
A
五、剪力方程、弯矩方程：
剪力、弯矩表达为截面位置x的函数式。 B Fs = Fs (x）— 剪力方程,
A
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
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五、弯曲的分类：
1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分—— 有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
M
F
x
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A x1 FAY Fs(x)
a l
F C
[例] 画出梁的内力图。
b B FBY 解：1、求约束力
mA 0 , FBY
x2
b F L a F L
Fa l Fb Y 0 , FAY l
x
2、写出内力方程 b AC段： Fs ( x1 ) FAY F (0 x1 a)
工厂厂房的天车大梁：
火车的轮轴：
F F F F F F
3
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
4
5
二、弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 P 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 RA 四、平面弯曲的概念：
q
M
NB
6
F1
q
F2
M
纵向对称面
研究对象：m - m 截面的左段：
Y 0, m
C
FAY Fs 0.
Fs FAY F (l a ) l
m x Fs C Fs M
0, M FAY x 0.
M FAY x
F (l a) x l ∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力， M －弯矩。
F
或，研究对象：m - m 截面的右段：
M1 RA 2 0.8 0.5 2.6 (kN m)
q
RB
2--2截面右段左侧截面：
FS 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
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M2
FS 2
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。 Fa RB 1 RC 2 F 解：（1）确定支座反力
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MA
FAY
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
Fs(x) M ( x) F x
②写出内力方程
Fs ( x) F
M ( x) - F ( L x)
(0 x l )
(0 x l )
③根据方程画内力图
–FL
Fs
FS
M
x
FS
L
M
M = M(x) —弯矩方程
FS ( x) qx, (0 x l )
1 2 M ( x ) qx , (0 x l ) 2
x
(- ) (- )
ql
x
0.5ql2
注意： 不能用一个函数表达的要 分段，分段点为集中力作 用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
L ( 0 x2 ) 2
x m/2
3、根据方程画内力图
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FAY A
2kN D 1m
1kN/m
FBY B
x1 C x2 1m
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力 Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
x3
2m
M
B
0, 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
L b M ( x1 ) Fx1 (o x1 a) L
M ( x)
ab F L
BC段： a Fs ( x2 ) FBY F , (0 x2 b) L x
M ( x2 ) FBY x2 a Fx 2 , L
(0 x2 b)
3、根据方程画内力图
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A
qL
1 2
q
[例]：求1--1、2--2截面处的内力。
解 1--1
1a
qL
2
b
F 0, F qL 0. M 0, M qLx 0 .
y
s1
C
1
1
Fs1 qL, M1 qlx1
Fs1
qL
M1
q

M2
2--2 Fy 0, qL q( x2 a) Fs 2 0 1 M q ( x2 a) 2 qLx2 0 MC 0 , 2 2
(0 x l )
(0 x l )
dFS ( x) dM ( x) 1 q q ( x) ql qx FS ( x), dx dx 2
30
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：