2013年中考数学专题复习第二十五讲：与圆有关的计算(含详细参考答案)
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
2013圆中考题(含答案)
14．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝ 30，则∠ABD ＝ （） （A ） 30 （B ） 40 （C ） 50 （D ） 6014图 16图 18图15．弧长为6π的弧所对的圆心角为 60，则弧所在的圆的半径为 （） （A ）6 （B ）62 （C ）12 （D ）1816．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为 （）（A ）1 （B ）2 （C ）1+4π （D ）2－4π 17．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （） （A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π18．如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有 （）（A ）2条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）5条19．（南京市）如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （）（A ）261a π （B ）231a π （C ）232a π （D ）234a π 20．（杭州市）过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM 的长为 （）（A ）3厘米 （B ）5厘米 （C ）2厘米 （D ）5厘米21．（安徽省）已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（） （A ）12π （B ）15π （C ）30π （D ）24π22．（安微省）已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交P ．PC ＝5，则⊙O 的半径为（） （A ）335 （B ）635 （C ）10 （D ）5 22 2323．（福州市）如图：PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的一条割线，有PA ＝32，PB ＝BC ，那么BC 的长是（）（A ）3 （B ）32 （C ）3 （D ）3224．（河南省）如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（） （A ）π （B ）1.5π （C ）2π （D ）2.5π 25．（四川省）正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为（）（A ）6厘米 （B ）12厘米 （C ）24厘米 （D ）122厘米26．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数可以是（） （A ） 60 （B ） 90 （C ） 120 （D ） 15027．（成都市）在Rt △ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝8，∠A ＝ 90．如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于（）（A ）2∶3 （B ）3∶4 （C ）4∶9 （D ）5∶12 29图28．（苏州市）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝ 160，则∠BCD ＝（） （A ） 160 （B ） 100 （C ） 80 （D ） 2029．（镇江市）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ．若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（）（A ）23 （B ）22（C ）556 （D ）554 1 如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =213-，求证△DCE ≌△OCB ． 如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，AD 的长为22π，求弦AD 、AC 的长． 4 如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD，． （1）求证：直线AB 是O 的切线；第1题图 A BD EO FC（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长． 5 ⊙O 的半径OD 经过弦AB (不是直径)的中点C ，过AB 的延长线上一点P 作⊙O 的切线PE ，E 为切点，PE ∥OD ；延长直径AG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ，交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ；（3）若EF ＝2，FO ＝1，求KE 的长．6 如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．（1）求B C ，两点的坐标；（2）求直线CD 的函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？7 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >， 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的 横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式；（3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 如图，在ABC △中90ACB ∠，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME =， :2:5MD CO =．（）求证：GEF A ∠=∠． （）求O 的直径CD 的长．（3）若cos 0.6B ∠=，以C 为坐标原点，CA CB ，所在的直线分别为X 轴和Y 轴，建立平面直角坐标系，求直线AB 的函数表达式．9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线F A ⊥x 轴于点A ，点D 在F A 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C .（1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 10 如图，ABC △内接于O ，60BAC ∠=，点D 是BC 的中点．BC AB ，边上的高AE CF，相交于点H ．试证明： （1）FAH CAO ∠=∠； (第5题)PEDKHGCA BFO（第6题） y x图（18） NB AC OD Ml 'O F A HE D GBFCO M 第25题图（2）四边形AHDO 是菱形．1 解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°，∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .3.⑴略；⑵85； 4 解：（1）证明：如图3，连接OC ．OA OB =，CA CB =，OC AB ∴⊥．AB ∴是O 的切线．（2）2BC BD BE =．ED 是直径，90ECD ∴∠=．90E EDC ∴∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠，BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠，BCD BEC ∴△∽△．BC BDBE BC∴=．2BC BD BE ∴=． （3）1tan 2CED ∠=，12CD EC ∴=．BCD BEC △∽△，12BD CD BC EC ∴==．设BD x =，则2BC x =．又2BC BD BE =，2(2)(6)x x x ∴=+． 解之，得10x =，22x =．0BD x =>，2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 解：(1)∵AC ＝BC ，AB 不是直径，∴OD ⊥AB ，∠PCO ＝90°(1分)∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°，∵PE 是切线，∴∠PEO ＝90°，(2分)∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)(3)∵EF ＝2，OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ，∴∠KEO ＝∠DOE ，∠K ＝∠ODG . ∴△OFD ∽△EFK ，(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 （1）(20)A ，，2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ，OAB △为正三角形，1OG ∴=，3BG =．(13)B ∴，．连AC ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，23tan 303OC OA ∴==．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，． （2）90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径，又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=，2tan 303OD OC ==．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．AB C(第22题)（第6题）（第6题）设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则203b k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得k b ⎧⎪⎨⎪⎩∴直线CD的函数解析式为y = （3）2AB OA ==，23OD =，423CD OD ==，3BC OC ==，∴四边形ABCD 的周长6+． 设AE t=，AEF△的面积为S，则3AF t =+，13sin 603243S AF AE t ⎛⎫==+- ⎪⎪⎝⎭．237343S t t t ⎛⎫⎛==-++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当96t =时，max 3128S =+． 点E F ，分别在线段AB AD ，上，0220323t t ⎧⎪∴⎨+⎪⎩≤≤≤≤，解得123t +≤≤． 96t +=满足123t +≤≤，AEF ∴△的最大面积为3128+． 7 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=， 即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A Bx x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ， 易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=，在ABC △中，易得AC BC ==图（3）'AD AE DE BC DB EC ∴=∥，，AD AEDE EC BD DE=∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD ACDB BC ∴==，553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+．解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△，求得DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==△求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△，有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△， 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=，即111CM CN DE +==． 8 （1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，DF AC ∴∥．BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． ·····························2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠．又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似OM MEME MC ∴=2ME OM MC∴=⨯4分又ME =，296OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴= ∴直径1020CD x ==．（3）Rt ABC △斜边上中线20CD =，40AB ∴=在Rt ABC △中cos 0.6BCB AB∠==，24BC ∴=，32AC ∴=设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得(320)A ，，(024)B ，024320k b k b ⨯+=⎧∴⎨⨯+=⎩ 解得3424k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的函数解析式为3244y x =-+（其他方法参照评分） ········· 9分第25题图10 （1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M .证明如下：连OM ， ∵DO ∥MB ，∴∠1=∠2，∠3=∠4 .∵OB =OM ，∴∠1=∠3 . ∴∠2=∠4 . 在△DAO 与△DMO 中，⎪⎩⎪⎨⎧DO=DO =∠∠AO=OM 42∴△DAO ≌△DMO . ∴∠OMD =∠OAD . 由于F A ⊥x 轴于点A ，∴∠OAD =90°.∴∠OMD =90°. 即OM ⊥DC . ∴DC 切⊙O 于M . （2）解：由D （－2，4）知OA =2（即⊙O 的半径），AD =4 .由（1）知DM =AD =4，由△OMC ∽△DAC ，知MC AC = OM AD = 24 = 12 . ∴AC =2MC .在Rt △ACD 中，CD =MC ＋4. 由勾股定理，有(2MC )2＋42=(MC ＋4)2，解得MC = 83 或MC =0（不合，舍去）.∴MC 的长为83 . ∴点C （103，0）.设直线DC 的解析式为y = kx ＋b . 则有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.b k b k 243100 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.b k 2543 ∴直线DC 的解析式为 y =－34 x ＋52.10。
中考数学专题复习 第二十五讲与圆有关的计算(含详细参考答案)
与圆有关的计算【基础知识回顾】一、 正多边形和圆：1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r 表示3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、 弧长与扇形面积计算：Qo 的半径为R ，弧长为l ，圆心角为n 2，扇形的面积为s 扇，则有如下公式： L= S 扇= =【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带学位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S 圆柱侧=⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r 高位h ，则有： ⑴S 圆柱侧= 、 ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条2、圆锥的高h ，母线长l ，底高半径R 满足关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l 是圆锥的 扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l ，底面半径为R ，侧面展开图扇形的圆心角度数为n 若l=2r ，则n= c=3r,则n= c=4r 则n= 】【典型例题解析】 考点一：正多边形和圆例1 （2012•咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB 23πC ．2πD ．23π考点：正多边形和圆．分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．对应训练1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．考点二：圆周长与弧长例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）A．10π B． C D．π点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．对应训练3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（结果用含有π的式子表示）考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作EF．若△AEF的边长为2，则阴影部分的A ．0.64B ．1.64C ．1.68D ．0.36点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S △ECF -S 弓形EGF 是解题的关键．A ．4πB ．2πC ．πD ． 3π点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 （2012•永州）如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 ．对应训练【聚焦山东中考】1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′，则 BB '的长为（ ） A ．π B ． 2π C ．7π D ．6π2.（2012•临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B．2C． D．3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于．4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．【备考真题过关】一、选择题1.（2012•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．D．6cm2.（2012•漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2012•鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（）A．43πB．53πC．2π D．3π5．（2012•黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A ．4-πB ．4-2πC ．8+πD ．8-2π 6．（2012•黄石）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ． 43π-B ．43π-C ．43π-D ．43π 7. （2012•娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．（2012•连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．πcmD ．2πcm9．（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300° 10． （2012•宁波）如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（ ）A ．B ．b=12 aC ．D ． a11．（2012•宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ） A ．24.0 B ．62.8 C ．74.2 D ．113.012．（2012•龙岩）如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）A ．10πB ．4πC ．2πD ．2二、填空题径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22. （2012•贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC26．（2012•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm2．27．（2012•孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 cm3（结果不作近似计算）．三、解答题，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB 28.（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，AD AC交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．。
人教版九年级下册数学综合复习：第25讲《与圆有关的计算》
直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为（ B ）
A. 1 π
3
B.2 π
3
C. 7 π D. 4 π
6
3
【点评】 本题考查了弧长公式知识的应用，求出∠DOE的
度数是解决问题的关键．
考点 二 扇形面积公式的运用
【例2】(济宁)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=1,
考点 三 圆锥的侧面展开图
【例4】(东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则
该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( C )
A．60° B．90° C．120° D．180° 【例5】(自贡)圆锥的底面周长为6π cm，高为4 cm，则该
圆锥的全面积是_2__4_π__；侧面展开扇形的圆心角是__2_1__6_°_．
则DE的长为（ B ）
A. π 4
B.
π 2
C.π
D.2π
命题点3：扇形面积的计算
3.(山西)如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直
径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四
边形ABCD.若AC＝10cm,∠BAC＝36°,
则图中阴影部分的面积为( B )
A.5πcm2
B.10πcm2
C.15πcm2 D.20πcm2
【点评】 解决有关扇形和圆锥的相关计算问题时，要紧紧抓住两者之间的两个
对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周 长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出扇形面积是解 题的关键．
易错专练
混淆了圆锥底面圆的半径和侧面展开图扇形的半径 扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆
(沪科版)中考数学总复习课件【第25讲】与圆有关的计算
2π －3 ． 3 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________
图25 －9
第25讲┃与圆有关的计算
第24讲┃与圆有关的位置关系
核心练习
6．[ 2014·岳阳] 的弧长为( D ) π A. 2 已知扇形的圆心角为60°，半径为 1，则扇形
B ．π
π C. 6
π D. 3 圆心角为120°，弧长为12π 的扇形半径为
7．[ 2014·衡阳] ( C )
A．6 B．9 C．18 D．36
第25讲┃与圆有关的计算
第25讲┃与圆有关的计算
图25 －1
A．(60°，4) B．(45°，4) C．(60°，2 2) D．(50°，2 2)
第25讲┃与圆有关的计算
[解析 ] 取正六边形中心为 M，连接 MA，MB. ∵多边形是正六边形， 360 ° ∴∠OMA＝∠AMB＝∠BMC＝ ＝60°， 6 MO＝ MA＝MB＝MC ， ∴△MOA，△MAB ，△MBC 都是等边三角形， ∴∠COA＝60°， MO＝MC＝OA ＝2， ∴CO ＝4， 即 θ ＝ 60°，m＝4 ， ∴顶点 C 的极坐标应记为(60°，4)．
第25讲┃与圆有关的计算
经典示例
例1 [2014·常德] 阅读理解：如图25－1①，在平面内
选一定点O，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那 么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ 与OM的长度 m确定， 有序数对(θ ，m)称为点M的“极坐标”，这样建立的坐标系称 为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2 ，有 一边OA在射线Ox上，那么正六边形的顶点C的极坐标应记为 ( A )
第25讲┃与圆有关的计算
2013年中考数学专题复习(圆)含答案
2013年中考数学专题复习（圆）含答案一、选择题1、（2007山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B（A ）9π（B ）18π （C ）27π（D ）39π2、（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中A O B ∠为120 ，O C 长为8cm ，C A 长为12cm ，则阴影部分的面积为（ ） A ．264πcm B ．2112πcmC ．2144πcmD ．2152πcm解：S ＝212020360π⨯－21208360π⨯＝2112πcm 选（B ）。
3、（2007山东临沂）如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。
AA 、552 B 、554 C 、352 D 、3544、（2007浙江温州）如图，已知A C B ∠是O 的圆周角，50A C B ∠=︒，则圆心角A O B ∠是（ ）DA ．40︒ B. 50︒ C. 80︒ D. 100︒ 5、（2007重庆市）已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）C（A ）相交 （B ）内含 （C ）内切 （D ）外切 6、（2007山东青岛）⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）．CA ．相离B ．相切C ．相交D ．内含7、（2007浙江金华）如图，点A B C ，，都在O 上，若34C =∠，则AOB∠的度数为（ ）D A ．34B ．56C ．60D ．688、（2007山东济宁）已知圆锥的底面半径为1cm ，母线长为3cm ，则其全面积为（ ）。
CA 、πB 、3πC 、4πD 、7π 9、（2007山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。
2013年中考数学专题辅导：圆的切线(2012中考原题、含解答题答案)
辅导：圆的切线（一）学习要求：【学习目标】1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．3．会过圆上点画圆的切线．【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．（二）知识要点：1．直线是圆的切线．2．直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA位置关系如何？圆的切线经过的半径.（三）例题展现：问题1：（2012•衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．问题2：(2012•丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．（四）自我体会：1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA 、PB 是⊙o 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙o 的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.2、(2012•扬州)如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 两点，点C 在⊙O 上，如果ACB ＝70°，那么∠P 的度数是 ．3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB 上的⊙O 半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与直线PA 相切时，圆心O 移动的距离为 cm.4、（2012•黄石）如图（4）所示，直线CD 与线段AB 为直径的圆相切于点D ，并交BA 的延长线于点C ，且2AB =，1AD =，P 点在切线CD 上移动.当APB ∠的度数最大时，则ABP ∠的度数为（ ）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°5、（2012山西，9，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C ．D 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（ ）A ． 40°B ． 50°C ．60°D ．70°6、（2012•嘉兴第4题）如图，AB 是⊙0的弦，BC 与⊙0相切于点B ，连接OA 、OB ．若∠ABC=70°，则∠A 等于（ ）A ．15°B ．20°C ．30°D ．70°7、(2012•扬州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ．(1)求证：AC 平分BAD ；(2)若AC ＝2，CD ＝2，求⊙O 的直径．第6题 第4题 第5题 第1题 第2题第3题8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B 作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．10、(2012•扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．(1)①直接写出点E的坐标：．②求证：AG＝CH．(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P 的半径．问题1：考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质。
中考专题复习圆形(含答案)
中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。
以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。
答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。
2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。
答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。
3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。
答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。
4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。
答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。
5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。
答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。
6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。
答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。
2013年全国数学中考真题分类汇编—圆(带答案)
2013年全国数学中考真题分类汇编—圆1．如果圆柱的母线长为5 cm ，底面半径为2 cm ，那么这个圆柱的侧面积是 ( ) A ．10 cm 2B ．10π cm 2C ．20 cm 2D ．20π cm 2解析 根据圆柱的侧面积计算公式可得π×2×2×5＝20π cm 2，故选D. 答案 D2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．2D.23π 解析 设扇形的半径为r ，根据扇形面积公式得S ＝12lr ＝12r 2＝2.故选C.答案 C3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ( )A.258π B.254π C.2516πD.2532π 解析 ∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝82＋62＝10，∴S 阴影部分＝90π×52360＝254π.答案 B4．将直径为30 cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，那么每个圆锥容器的底面半径为( )A ．5 cmB ．15 cmC ．20 cmD ．150 cm解析 根据将直径为30 cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗)，∴直径为30 cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角是120°，半径为15的扇形， 假设每个圆锥容器的底面半径为r ，∴120×π×15180＝2πr ，解得：r ＝5，故选A.答案 A5．小刚用一张半径为24 cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．120π cm 2B ．240π cm 2C ．260π cm 2D ．480π cm 2解析 根据圆的周长公式，得圆的底面周长＝2π ×10＝20π，即扇形的弧长是20π，所以扇形的面积＝12lr ＝12×20π×24＝240π，故选B.答案 B6．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．3πB ．6πC ．5πD ．4π解析 设AB ′与半圆周交于C ，半圆圆心为O ，连接OC .∵∠B ′AB ＝60°，OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∠AOC ＝60°， ∠BOC ＝120°，S 扇形ABB ′＝60360π×62＝6π，∴S 阴影＝S 半圆AB ′＋S 扇形AB ′B －S 半圆AB ＝S 扇形AB ′B ＝6π. 答案 B7．如图所示，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论正确的是( )①弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 ②弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 ③⌒AC ＝⌒CB④∠BAC ＝30°A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③解析 ∵在⊙O 中，OC ⊥AB ，∴⌒AC ＝⌒BC，故③正确；∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ，∵OA ＝OB ，OA ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB ， ∴∠AOB ＝60°，∴弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确； ∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝30°，∴弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确； ∴∠BAC ＝12∠BOC ＝15°，故④错误．∴结论正确的有①②③.故选D. 答案 D8．圆锥的底面半径为14 cm ，母线长为21 cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为________度． 解析 由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28π cm ，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°.故答案为：240. 答案 2409．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是________．解析 根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 答案 810．如图，平面上两个正三角形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于________．解析 正五边形的一个内角为108°，正三角形的每个内角是60°，所以∠α＝360°－108°－60°－60°＝132°. 答案 132°11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A 、B 、C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是________．解析 ∵∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，∴12AC ＝2，S △ABC ＝12×4×4＝8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和S ＝180·π·22360＝2π，∴三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积＝S △ABC －S ＝8－2π. 故答案为8－2π. 答案 8－2π12．如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为________．解析 半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的部分是一个矩形，根据矩形的面积公式计算即可． 答案 613．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始，以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的________倍，第n 个半圆的面积为________(结果保留π)．解析 ∵以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆， ∴第4个半圆的面积为：π×422＝8π，第3个半圆面积为：π×222＝2π，∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的8π2π＝4倍；根据已知可得出第n 个半圆的直径为：2n －1，则第n 个半圆的半径为：2n －12＝2n －2，第n 个半圆的面积为：π×（2n －2）22＝22n －5π.答案 4 22n －5π14．如图所示，AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点，且弧AC 为半圆的13，设扇形AOC 、△COB ，弓形BMC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系式是________．解析 根据△AOC 的面积＝△BOC 的面积，得S 2＜S 1，再根据题意，知S 1占半圆面积的13，S 3大于半圆面积的13，∴S 3＞S 1.答案 S 2＜S 1＜S 315.圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC ＝23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．(4＋6π) cmB ．5 cmC ．3 5 cmD ．7 cm解析 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC ＝6 cm ，PC ＝23BC ，求出PC ＝23×6＝4 cm ，在R t △ACP中，根据勾股定理求出AP 的长． 答案 B16．如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE ＝6，EF ＝8，FC ＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为________．解析 首先连接AC ，交EF 于M 则可证得△AEM ∽△CFM ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM 与FM 的长，然后由勾股定理求得AM 与CM 的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．答案 80π－160。
2013中考全国100份试卷分类汇编 与圆有关的计算
2013中考全国100份试卷分类汇编 与圆有关的计算1、(2013年武汉)如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则⋂DE 的长度是（ ） A ．()9090R x -π B ．()9090R y -π C ．()180180R x -π D ．()180180R y -π 答案：B解析：由切线长定理，知：PE ＝PD ＝PC ，设∠PEC ＝z ° 所以，∠PED ＝∠PDE ＝（x ＋z ）°，∠PCE ＝∠PEC ＝z °，∠PDC ＝∠PCD ＝（y ＋z ）°，∠DPE ＝（180－2x －2z ）°，∠DPC ＝（180－2y －2z ）°，在△PEC 中，2z °＋（180－2x －2z ）°＋（180－2y －2z ）°＝180°，化简，得：z ＝（90－x －y ）°，在四边形PEBD 中，∠EBD ＝（180°－∠DPE ）＝180°－（180－2x －2z ）°＝（2x ＋2z ）°＝（2x ＋180－2x －2y ）＝（180－2y ）°，所以，弧DE 的长为：(1802)180y R π-＝()9090R y -π 选B 。
2、(2013年黄石)已知直角三角形ABC 的一条直角边12AB cm =，另一条直角边5BC cm =，则以AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是A.290cm πB. 2209cm πC. 2155cm πD. 265cm π 答案：A解析：得到的是底面半径为5cm ，母线长为13cm 的圆锥，底面积为：25π，侧面积为：12513652ππ⨯⨯⨯=，所以，表面积为290cm π3、（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）A ． πB ． πC ． πD ． π考点： 扇形面积的计算；钟面角．分析： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解． 解答： 解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A ．点评： 本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．E P A B C D 第10题图4、（2013达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且O E⊥CD，垂足为F，OF=3003米，则这段弯路的长度为（）A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米答案：A解析：CF＝300，OF＝3003，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，OC＝600，因此，弧CD的长为：60600160π⨯＝200π米5、（2013•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°考点：圆锥的计算．分析：要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．解答：解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6、（2013•眉山）用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm考点：圆锥的计算．分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=2cm．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．（第8题图） A B C D 7、（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ． 90° B ． 120° C ． 150° D ． 180°考点： 圆锥的计算．分析： 设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，利用弧长的计算公式即可求解．解答： 解：设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，则=2πr ，解得：n=180．故选D ．点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8、（12-4圆的弧长与扇形面积·2013东营中考）如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）A. a πB. 2a πC. 12a π D. 3a 8.A.解析：由题意得，树叶形图案的周长为两条相等的弧长，所以其周长为290180a l a ππ==.9、（2013•嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）A ． cmB ． cmC ． cmD ．7πcm考点： 弧长的计算．分析： 根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可．解答： 解：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，R=cm，则“蘑菇罐头”字样的长==π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题关键是根据题意得出圆心角，及半径，要求熟练记忆弧长的计算公式．10、（2013山西，1，2分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ B ）A．23π－32B．23π－3C．π－32D．π－3【答案】B【解析】扇形BEF的面积为：S1=604360π⨯=23π，菱形ABCD的面积为S ABCD=1223232⨯⨯⨯=，如右图，连结BD，易证：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为：3，因为四边形BPDQ的面积为3，阴影部分的面积为：23π－311、（2013•遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm考点：圆锥的计算．分析：把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，解得：r=1cm．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12、2013泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．13、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．32考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．14、（2013•德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．12D．考点：扇形面积的计算．分析：首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．解答：解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=12，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=12．故选C．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，仔细观察图形，得出阴影部分面积的表达式．15、（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．分析：根据题意可判断⊙A与⊙B是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．16、（2013•包头）用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr=，解得：r=．故选D．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、（2013•淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π考点：弧长的计算．分析：根据弧长的公式l=进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长==4π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可．18、（2013•湖州）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π考点：圆锥的计算．分析：首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S=•2πr•l=πrl，代入侧数进行计算即可．解答：解：∵底面半径为1，高为2，∴母线长==3．底面圆的周长为：2π×1=2π．∴圆锥的侧面积为：S侧=•2πr•l=πrl=×2π×3=3π．故选B．点评：此题主要考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S=•2πr•l=πrl．侧19、（2013•荆门）若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）A．l=2r B．l=3r C．l=r D．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长有2π•r=π•l，即可得到r与l的比值．解答：解：∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2π•r=π•l，∴r：l=1：2．则l=2r．故选A．．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．20、2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC 和扇形OBC的面积，即可求出答案．解答：解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．21、（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）A．B．C．π+1 D．考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．分析：画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积．解答：解：如图所示：点A 运动的路径线与x 轴围成的面积=S 1+S 2+S 3+2a=+++2×（×1×1）=π+1． 故选C ．点评： 本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式．22、（2013•牡丹江）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ． 81πB ． 27πC ． 54πD ．18π考点： 圆锥的计算．分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解答： 解：圆锥的侧面积=2π×6×9÷2=54π．故选C ．点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．23、（2013年河北）如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C = 30°，CD = 23.则S 阴影=A ．πB ．2πC ．23 3D ．23π 答案：D解析：∠AOD ＝2∠C ＝60°，可证：△EAC ≌△EOD ，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD ＝2，S 扇形AOD ＝2602360π⨯＝23π24、(2013•遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A．cm B．（2+π）cmC．cmD．3cm考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．分析：通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AC（A）=120°，点B两次翻动划过的弧长相等，则点B经过的路径长=2×=π．故选C．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B运动的路径，注意熟练掌握弧长的计算公式．25、（2013•南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（）A．150πcm2B．300πcm2C．600πcm2D．150πcm2考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：烟囱帽所需要的铁皮面积=×20×2π×15=300π（cm2）．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26、（德阳市2013年）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是＿＿＿答案：4 3解析：扇形的周长为：1204821803Rπππ⨯==，所以R＝4327、（2013•广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是3cm．考点：圆锥的计算．分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答：解：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==4cm，∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．28、（2013•巴中）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于2π．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．解答：解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．故答案为：2π．点评：本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．29、（2013•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2．考点：扇形面积的计算．专题：数形结合．分析：在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．解答：解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm，则S扇形OAB==，S△OBC=OC×BC=2，故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=+2．故答案为：+2．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式，难度一般．30、（2013四川南充，13，3分）点A,B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC=36°，则弧BC的长为__________cm.答案：6π解析：设圆心为O，则∠BOC＝72°，所以，弧BC的长为7215180π⨯＝6π31、（2013济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm，∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm，∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：=（cm）．故答案是：．点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解题的难点是推知点A′是斜边AB的中点，同时，这也是解题的关键．32、（2013聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为cm．考点：圆锥的计算．分析：首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．解答：解：扇形的弧长是：=50πcm，设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得：r=25．故答案是：25．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．33、（2013•呼和浩特）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．解答：解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=πR，∴n=180°．故答案为：180．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．34、（2013•泸州）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为3cm．考点： 圆锥的计算．分析： 首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．解答： 解：圆心角是：360×（1﹣）=240°， 则弧长是：=12π（cm ），设圆锥的底面半径是r ，则2πr=12π，解得：r=6， 则圆锥的高是：=3（cm ）．故答案是：3．点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．35、(2013河南省)已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝【解析】有扇形的弧长公式180n r l π=可得：弧长120481801803n r l πππ⨯⨯=== 【答案】83π36、（2013•徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 15 cm ．考点： 弧长的计算．分析： 运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径．解答： 解：扇形的弧长公式是L==， 解得：r=15．故答案为：15．点评： 此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．37、（2013•常州）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5π cm ，扇形的面积是 15π cm 2（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．分析：根据扇形的弧长公式l=和扇形的面积=，分别进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π（cm），根据扇形的面积公式，得S扇==15π（cm2）．故答案为：5π，15π．点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．38、（2013四川宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是4π．考点：弧长的计算；等边三角形的性质．分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．解答：解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案是：4π．点评：本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．39、（2013•衡阳）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是48πcm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥形小漏斗的侧面积=×12π×8=48πcm2．故答案为48πcm2．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长40、（2013•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为π．（结果保留π）考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．专题：计算题．分析：连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．解答：解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．41、用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为8cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．解答：解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，列出关系式解答：=2πx，又∵n=216，r=10，∴（216×π×10）÷180=2πx，解得x=6，h==8．故答案为：8cm．点评：考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答．42、（2013•遂宁）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是7.2．（π≈3.14，结果精确到0.1）考点：扇形面积的计算；旋转的性质．分析：扇形BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积．解答：解：由题意可得，AB=BB'==，∠ABB'=90°，S扇形BAB'==，S△BB'C'=BC'×B'C'=3，则S阴影=S扇形BAB'﹣S△BB'C'=﹣3≈7.2．故答案为：7.2．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴影部分面积的表达式．43、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：综合题．分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2，过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD==10π．故答案为：10π．点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．44、（2013•昆明）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB=90°得到AB为⊙O的直径，则OB=AB=2cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r，连结AB，如图，∵扇形OAB的圆心角为90°，∴∠AOB=90°，∴AB为⊙O的直径，∴AB=4cm，∴OB=AB=2cm，∴扇形OAB的弧AB的长==π，∴2πr=π，∴r=（cm）．故答案为．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．45、（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是﹣1≤S＜﹣．考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．分析：首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．解答：解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG==．设∠DCG=θ，则由题意可得：S=2（S扇形CDE﹣S△CDG）=2（﹣×1×）=﹣，∴S=﹣．当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．当r=时，DG==1，∵CG=1，故θ=45°，∴S=﹣=﹣1；若r=2，则DG==，∵CG=1，故θ=60°，∴S=﹣=﹣．。
2013年各地中考题类型与圆有关的计算
与圆有关的计算一、选择题1．（2013湖北襄阳，12,3分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）B的长为π==2AB==3×3===2．（2013牡丹江，6,3分）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面A ．B．C．D．围成的面积．解答：+2a=++2×二、填空题3．（2013湖南郴州，16,3分）圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为3cm．以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是﹣1≤S＜﹣．DG==﹣××=﹣r=﹣=，∵﹣﹣．的取值范围是：﹣＜﹣故答案为：﹣＜﹣5．（2013湖南娄底，17,4分）一圆锥的底面半径为1cm，母线长2cm，则该圆锥的侧面积为2πcm2．6．（2013湖北恩施州，15,3分）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为6+π．∴扇形的弧长为：7. （2013湖北黄石，14,3分）如右图，在边长为3的正方形ABCD 中，圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 分别与DA 、DC边相切，圆2O 分别与BA 、BC 边相切，则圆心距12O O 为 . 答案：6-解析：过O 1，O 2分别作O 1M ⊥CD, O2N ⊥BC ，垂足为M,N设圆O 1半径为R,圆O 2半径为r, 则DO 1，BO 2又解得R ＋12O O8．（2013年哈尔滨市，16，3分）一个圆锥的侧面积是36π cm 2，母线长是12cm ，则这个圆锥的底面直径是 cm ． 考点：弧长和扇形面积C AB分析：本题考查圆锥形侧面积公式，直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解题关键答案：设母线长为R，底面半径为r，则底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，由题知侧面积36 =πr12，所以r =3，底面直径是69．（2013绥化，11,3分）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是24π，36π，πcm2．（结果保留π）=++=••π•4=π。
中考数学专题复习第23章 与圆有关的计算(含解析)
第二十三章 与圆有关的计算18. （ 山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则»BC的长为（ ）A.πB.2π D.3π D.5π【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以»BC的长l »BC=12032180ππ=.【答案】B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。
14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π)解析：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 答案：π2点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.14．( 重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）解析：根据扇形的面积公式即可求出。
答案：3π点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。
12．( 山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．12． 【解析】每段弧的长为180n Rl π=＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．【答案】π【点评】此题主要考查圆的弧长公式180n Rl π=．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆．8．（ 四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CE而∠COB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60CEo＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·22＝2π3．B图2【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．23.（ 贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）解析： （1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积.解：（1）填2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =21CD ×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.B图2第23题图AC13. ( 山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A.1 B.23C. 3D. 32【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=41S △ABC=.3【答案】选C 。
备考2013中考数学试题考点解析《圆》
2012中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12O O =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。
故选B 。
3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC于点D ，则∠CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°【答案】【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【分析】连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠CAP=∠ACO 。
∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC 。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。
故选C。
4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为A. D.【答案】B。
解读《2013年北京中考试题第25题》1
【2013年北京中考试题】25．对于平面直角坐标系x O y 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ， 使得∠APB = 60°，则称P 为⊙C 的关联点.已知点D (21，21)，E (0，－2)，F (23，0). （1）当⊙O 的半径为1时， ① 在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ； ② 过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO = 30°，若直线l 上的点P (m ，n )是⊙O 的关联点，求m 的取值范围； （2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.【解读北京中考题第25题】本题考查学生对“新定义”的理解。
第一步：初步理解“新定义”通过对特殊点D 、E 、F 的判断，来理解“关联点”；在判断三个点是否是关联点时，发现：（1）圆内的点一定是“关联点”；（2）圆上的点一定是“关联点”；（3）圆外的点到圆心一定距离内的点是“关联点”。
第二步：进一步理解“新定义”（1）在圆外取一点P ，向圆作“切线”，切点分别为M 、N 时，发现∠APB= 60°存在，必须∠MPN ≥60°；（2）根据圆的及切线的特点，若点P 是最远的“关联点”，则OP = 2，故“以O 为原点，2为半径的圆及内部都是关联点”。
第三步：应用结论解决问题由于线段EF 都是圆的“关联点”，故点E 、F 也是关联点，设圆心为C ，半径为r ，则CE ≤2r ，CF ≤2r ，所以CE + CF ≤4r ，又因为在平面内任意三点满足：CE + CF ≥EF ，∴ 4r ≥EF ，且点C 在线段EF 上时，这些圆满足“线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点”的所求圆.【解法归类】【第二问】：【方法1】：当OP = 2时，过点P 向⊙O 作两条切线PA ，PB （A ，B 为切点），则∠APB = 60°，∴ 点P 为⊙O 的关联点.事实上，当0≤OP ≤2时，点P 是⊙O 的关联点；当OP ＞2时，点P 不是⊙O 的关联点.∵ F (23，0)，且∠GFO = 30°，∴ ∠OGF = 60°，OF = 23，OG = 2.如图，以O 为圆心，OG 为半径作圆，设该圆与l 的另一个交点为M.当点P 在线段GM 上时，OP ≤2，当P 是⊙O 的关联点.当点P 在线段GM 的延长线或反向延长线上时，OP ＞2，当P 不是⊙O 的关联点.连接OM ，可知△GOM 为等边三角形.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，可得∠MON = 30°，ON =3，∴ 0≤m ≤3.【方法2】：若点P 是⊙O 的关联点，过P 向圆引切点PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则有∠MPN ≥∠APB = 60，连接OP ，OM ，∵在Rt △PMO 中，∠MPO ≥30°，∴ sin ∠MPO =OPOM ≥21，由于OM = 1，∴ OP ≤2， ∵ G (0，2)，∴ OG = 2，∴ G 是关联点；设点P 1在直线l 上，且OP 1 = 2，作PH ⊥x 轴，则△GOP 1为等边三角形，∴ ∠P 1OH = 30°，∴ P 1 (3，1)，∵ 线段GP 1都是⊙O 的关联点，∴ 0≤m ≤3，【方法3】：若点P 是⊙O 的关联点，过P 向圆引切点PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则有∠MPN ≥∠APB = 60°，连接OP ，OM ，∵在Rt △PMO 中，∠MPO ≥30°，∴ sin ∠MPO =OPOM ≥21，由于OM = 1，∴ OP ≤2， ∵ l GF ：233+-=x y ， ∴ 设P (m ，233+-m )，则有OP =22)233(+-+m m ≤2， 化简，得：m (m 3-)≤0，∴ 0≤m ≤3，【第三问】：【方法1】：设该圆圆心为C.根据②可得，若点P 是⊙C 的关联点，则0≤PC ≤2r .由题意，点E ，F 都是⊙C 的关联点，∴ EC ≤2r ，FC ≤2r ，∴ EC + FC ≤4r ，又∵ EC + FC ≥EF （当点C 在线段EF 上时，等号成立），∴ 4r ≥EF ，∵ E (0，2-)，F (23,0)，∴ EF = 4，∴ r ≥1.事实上，当点C 是EF 的中点时，对所有r ≥1的⊙C ，线段EF 上的所有点都是⊙C 的关联点， 综上所述，r ≥1.【方法2】：根据题意，设所求⊙C 半径为r ，则⊙C 内及圆上的点都是关联点，若P 是圆外的点，作切线PM ，PN ，则∠MPN ≥60°， ∴ 在Rt △PCM 中，∠MPC ≥30°，∴sin ∠MPC =CPCM ≥21，由于CM = r ，∴ CP ≤2r ， 故，若点P 是⊙C 的关联点，则CP ≤2r ，∵ 线段EF 上所有点都是⊙C 的关联点，则线段EF 在以C 为圆心，半径为2r 的圆内， ∴ 只有EF 为该圆直径时，半径最小，∵ EF = 4，∴ 4r ≥4，即r ≥1.【方法3】：设该圆圆心为C.根据②可得，若点P 是⊙C 的关联点，则PC ≤2r .由题意，点E ，F 都是⊙C 的关联点，∴ EC ≤2r ，FC ≤2r ，∴ 半径取最小时点C 在EF 的垂直平分线上，∵ 线段EF 上所有点都是⊙C 的关联点，∴ 当r 最小时，点C 就是垂直平分线与EF 的交点，即EF 的中点为C ，∵ EF = 4，∴ 2r min = 2，即r min = 1，∴r ≥1.【方法4】：设该圆圆心为C.根据②可得，若点P 是⊙C 的关联点，则PC ≤2r .设圆心C (x ，y )，半径为r ，则CE ≤2r ，CF ≤2r ，∴ CE 2 =22)2(++y x ≤4r 2，CF 2 =22)32(y x +-≤4r 2，，∴ 8r 2≥4421234222++++-y y x x=8)1(2)3(222+-+-y x ≥8，∴r≥1.【后继】只要直线与圆取得特殊，还会得出许多问题。
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与圆有关的计算
【基础知识回顾】
一、 正多边形和圆：
1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r 表示
3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形
【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】
二、 弧长与扇形面积计算：
Qo 的半径为R ，弧长为l ，圆心角为n 2，扇形的面积为s 扇，则有如下公式： L= S 扇= =
【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带学位
3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择
4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】
三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S 圆柱侧=
⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=
2、如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r 高位h ，则有： ⑴S 圆柱侧= 、 ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=
【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条2、圆锥的高h ，母线长l ，底高半径R 满足关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l 是圆锥的 扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l ，底面半径为R ，侧面展开图扇形的圆心角度数为n 若l=2r ，则n= c=3r,则n= c=4r 则n= 】
【典型例题解析】
考点一：正多边形和圆 例1 （2012•咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ． 2π
B ．23π
C ．2π
D ．23
π
考点：正多边形和圆．
分析：由于六边形ABCDEF 是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S 阴影=S △OAB -S 扇形OMN ，进而可得出结论．
对应训练
1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ）
A ．2a 2
B ．3a 2
C ．4a 2
D ．5a 2
点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S △ABC 的值是解题关键． 考点二：圆周长与弧长
例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）
A ．10π
B ． 3
C ．3
D ．π
点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A 所经过的路径为以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧长．
对应训练
3.（2012•广安）如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有π的式子表示）
考点三：扇形面积与阴影部分面积
例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边△AEF ，交BC 边于E ，
交DC 边于F ；又以A 为圆心，AE 的长为半径作 EF
．若△AEF 的边长为2，则阴影部分的
A ．0.64
B ．1.64
C ．1.68
D ．0.36
点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S △ECF -S 弓形EGF 是解题的关键．
对应训练
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ． 23π
点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式．
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例4 （2012•永州）如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
对应训练
1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△
AB′C′，则 BB
'的长为（ ） A ．π B ． 2π
C ．7π
D ．6π
2.（2012•临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中
阴影部分的面积之和为（）
A．1 B．
2
C． D．
3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于．
4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．【备考真题过关】
一、选择题
1.（2012•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）
A．6cm B．12cm C．cm D．6cm
2.（2012•漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）
A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm
A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2012•鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（）
A．4
3
πB．
5
3
πC．2π D．3π
5．（2012•黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）
A ．4-π
B ．4-2π
C ．8+π
D ．8-2π 6．（2012•黄石）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ． 43π
-B ．43π
-C ．432π
-D ．43π
7. （2012•娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
8．（2012•连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．πcm
D ．2πcm 9．（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）
A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300° 10． （2012•宁波）如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（ ）
A ．
B ．2 a
C ．2 a
D ．
11．（2012•宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ） A ．24.0 B ．62.8 C ．74.2 D ．113.0
12．（2012•龙岩）如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ）
A ．10π
B ．4π
C ．2π
D ．2
二、填空题
径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．
22. （2012•贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC
26．（2012•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm2．
27．（2012•孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 cm3（结果不作近似计算）．
三、解答题
28.（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，
，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB
AD AC
交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB•AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．。