2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第二部分 压轴题(六) Word版含解析
2020届高考数学(文科)金榜冲刺卷(二)(解析版)word版
2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35-3．在ABC V 中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ）A B C ．23 D ．124．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）}{n a 25932a a a =A ．B ．C ．D ．2 【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >> 7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 21222A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C D ．211．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,1-- B ．[]2,0- C ．[]5,1-- D ．[]2,1- 12．若函数()1(2)ln x f x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞- B ．1(,)e -∞- C ．2111(,)(,)4e e e -∞---U D ．211(,)(1,)4e e --⋃+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米．15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小；（2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r . （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．（12分）已知函数． （1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； （2）若，求证：． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．P ABCE -()23xf x xe ax =++()y f x =0x =92a 12a =-()ln 4f x x ≥+（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(]1,2【答案】D【解析】 由集合{}24{|2}x A x x x =≤=≤，(){}{}lg 11B x y x x x ==-=>， 所以{|12}A B x x =<≤I ，故选D.2．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35- 【答案】D 【解析】根据复数除法的运算法则可得，()()()()1i 12i 1i 13i 13i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，由复数实部与虚部的定义可得，复数z 的虚部是35-，故选D. 3．在ABC V中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ） AB．2 C ．23 D ．12【答案】D【解析】因为)1AB =-u u u r，所以()BA =u u u r，所以cos 222BA BC B BA BC ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1sin 2B ==.故选D. 4．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 }{n a 25932a a a =21222【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>.又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选A .7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B 【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z .故选B. 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C【解析】因为FA FB +u u u v u u u v=0，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选C.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C ．2D 【答案】A 【解析】图1连接1BC ,则11BC B C E =I ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,BC C D C D BC ⊥==1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD Q的方程为1x =，①'EE k ∴==，∴直线'EE的方程为y x =+，②由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'EE 与1BD的交点1,33M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2'3E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-【答案】B【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 的对称轴为x=1.因为()f x 在[5,5]-上是增函数,所以()f x 在[5,5]-上是减函数,因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1102x -≤-≤,又因为不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以,当a=0时,不等式()()21f ax f x +≤-显然成立；当0a >时,12222ax a +≥+>,根据题意可得()()()220f ax f f +>=,故不满足题意；当0a <时,12222a ax a +≤+≤+,则02a ≤+且1222a +<,所以20a -≤<.综上，可得实数a 的取值范围是20a -≤≤.12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e-∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e-∞---U D ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意可知211()(1)0xf x ae x x x =-+-='有两个不等根.即21(1)x x ae x x--=,(0,2)x ∈,有一根1x =.另一根在方程21x x e a=-,(0,2)x ∈中,令2()x h x x e =,(0,2)x ∈,2()(2)0x h x e x x +'=>所以()h x 在(0,2)x ∈且1x ≠上单调递增.所以1(1),h e a -≠=即2()(0,)(,4)h x e e e ∈⋃13a e≠.所以a ∈()211,1,e 4e ∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________. 【答案】2【解析】4655102105a a a a +=⇒=⇒=，155335()551,2a a S a a +===⇒=公差为53512.22a a --== 14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米． 【答案】2【解析】Q 半圆的周长为底面圆的周长，设母线为l ，则122,22l r l r ππ⋅=∴=，2213,2r l ππ∴=+⋅⨯2233,1r r ππ∴=∴=，这个圆锥的侧面积是222rl r ππ== ，故答案为2.15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元. 【答案】5000【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30)x y --个遥控火车模型，依题得，实数,x y 满足线性约束条件10128(30)320,300,0,0,x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为160180z x y =++120(30)x y --，化简得240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩40603600z x y =++，作出不等式组240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域(如图所示)：作直线02:603l y x =--，将直线0l 向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大， 由240,30,x y x y +=⎧⎨+=⎩得20,10,x x =⎧⎨=⎩所以(20,10)P ，此时max 402060z =⨯+⨯1036005000+=（元）. 故答案为5000.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112xy x y =-，222x y x y =-，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12P x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x xx x +=++=+….故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .【解析】（1）由222cos sin sin sin cos B A A B C --=,得222sin sin sin sin sin A A B C B +=- 由正弦定理，得222c b a ab -=+，即222a b c ab +-=-,所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,又0C π<<，则23C π=（2）因为6A π=，所以6B π=.所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=.因为1sin 2ABC S ab C ∆===所以2a =.在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=，所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅ 1=4+1+221=72⨯⨯⨯,解得AM =18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180⨯=人， 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人有2120803⨯=人，使用微信的人中青年人有18075%135⨯=人．所以22⨯列联表为：(2)将列联表中数据代入公式可得：()221808055540k 13.3331206013545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于13.33310.828>，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”． (3)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有8064120⨯=人， 中年人有4062120⨯=，记4名青年人的编号分别为1，2，3，4，记2名中年人的编号分别为5，6， 则从这6人中任选2人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，共15个，其中选出的2人均是青年人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，故所求事件的概率为62P 155==． 19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q , ∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥, BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I , AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB , AE PB ∴⊥.（2）当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE ,又Q 平面PAE I 平面ABCE AE =，PO ⊂平面PAE ,PO AE ⊥,OP ∴⊥平面ABCE,OP OB ==QPB ∴=1AP AB ==Q , 31112cos 24PAB +-∴∠==, sin 4PAB ∴∠=.1sin 28PAB S PA AB PAB ∴=⋅∠=V ,又111338P ABC ABC V OP S -=⋅==V Q , 设点C 到平面PAB 的距离为d,335C PABPABV d S -∴===V .20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【解析】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= ,∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+,设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k-++ ,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（12分）已知函数()23xf x xe ax =++．（1）若曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a 的值； （2）若12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【解析】（1）()()12xf x x e a '=++，则()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x =时，3y =，当0y =时，321x a -=+（易知210a +≠） 则切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+．∴211a +=得211a +=±．所以0a =或1-．（2）法一：12a =-时，()3x f x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4x xe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x h x xe x x =---，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001x e x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增． 从而()h x 最小值为()0000000ln 11ln 10xf x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立． 法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，则ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2020年全国高考冲刺压轴卷数学试卷及其详细解析(文)
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3－4a2＝－8。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，求使得16Sn≤31an的正整数n的所有取值。
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 (t为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 。
(1)求直线l和圆C的直角坐标方程；
A.4B.4＋2 C.8D.8＋2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)＝sin(2x－ )＋cos(2x－ )的单调增区间为。
14.已知正数x，y满足3x＋2y＝4。则xy的最大值为。
15.过坐标轴上的点M且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为2 ，则符合条件的点M的个数为。
2.已知i为虚数单位，则复数 ＝
A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i
3.已知函数f(x－1)＝x2＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
A.1B.2C.4D.5
4.已知向量|a|＝1，|b|＝ ，且b·(2a＋b)＝3，则向量a，b的夹角的余弦值为
A. B.－ C. D.
A.－ B.－ C.－ D.－
11.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为边长为2的正方形，点A1在底面ABCD内的射影为正方形ABCD的中心，B1C与底面ABCD所成的角为45°，则侧棱AA1的长度为
2020年高考数学(文)金榜冲刺卷(六)(解析版)
2020年高考金榜冲刺卷（六）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B C A B ===⋂，则C 的子集共有（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】因为{}1,2C A B =⋂=，共有两个元素，所以C 的子集共有224=个，故选B ． 2．若a ，b 均为实数，且3i2i 1ia b +=+-，则ab =（ ） A ．2- B ．2C ．3-D ．3【答案】C【解析】因为3221a bii i i+=+=--，所以()()1213a bi i i i +=--=-，因此1,3a b ==-，则3ab =-.故选C.3．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】C【解析】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=， 所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，故选：C.4．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v ，若a v ，b v 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b <v g v 且不反向共线，230a b t =-+<vv g ，得23t <.向量()2,a t =v，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-.故选C.5．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{}n a ，{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n S 是递增数列C ．数列{}n a 的最大项是11aD ．数列{}n S 的最大项是11S【答案】C【解析】因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即78>a a ，所以{}n a 不是递增数列，所以选项A 错误;因为2月23日新增确诊病例数为0，所以3334=S S ，所以数列{}n S 不是递增数列，所以选项B 错误; 因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{}n a 的最大项是11a ，所以选项C 正确;数列{}n S 的最大项是最后项，所以选项D 错误,故选C .6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ）A ．π238+ B ．π+38C ．π24+D ．π+4 【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，原几何体表示左边一个底面边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2的直三棱柱，右边是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，所以该几何体的体积为21122212422V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选D ．7．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(,2)-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞- 【答案】D【解析】 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，若0a =，则目标函数2z x =，即为此时函数在(3,4)A 时取得最大值，不满足条件， 当0a ≠，由2z x ay =+，得2z y x a a =-+， 若0a >，目标函数斜率20a -<，此时平移2zy x a a=-+，得2zy x a a =-+在点(3,4)A 处的截距最大，此时z 取得最大值，不满足条件，若0a <，目标函数斜率20a ->，要使得目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)A 处取得最小值，则21AB k a-<=，即2a <-， 所以实数a 的取值范围是(,2)-∞.8．设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ，∴PQ 是∴F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线，∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∴P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线，∴|OQ |＝a ．故选A ．9．为了得到()2cos 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可将()2sin g x x =的图象（ ） A ．横坐标压缩为原来的13，再向左平移9π个单位长度B ．横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移9π个单位长度 C ．横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标压缩为原来的13，再向右平移9π个单位长度【答案】A【解析】()2sin 2cos 2cos 22g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对于A 选项，()2cos 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标压缩为原来的13，得出2cos 32y x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图象，再向左平移9π个单位长度，得出()2cos 32cos 3926f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于B 选项，()2cos 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标扩大为原来的3倍，得出12cos 32y x π⎛⎫-⎝=⎪⎭的图象，再向右平移9π个单位长度，得到()11292cos 2cos 323549x x x f πππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎛⎫=- ⎭⎪⎝⎝⎪⎭⎝⎭; 对于C 选项，()2cos 2g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的横坐标扩大为原来的3倍，得出12cos 32y x π⎛⎫-⎝=⎪⎭的图象，再向左平移6π个单位长度，得到()1142cos 2cos 32396x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎭; 对于D 选项，()2cos 2g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的横坐标压缩为原来的13，得出2cos 32y x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图象，再向右平移9π个单位长度，得出()52cos 32cos 3926f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选A.10．已知数列{}n a 满足*111,2()n n n a a a n N +==∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201920202a = B ．202020202a = C ．1011202023S =- D ．101020203(21)S =- 【答案】D【解析】因为12nn n a a +=,故1*122(2,)n n n a a n n N +++=≥∈,故11221222n n n n n n n na a aa a a +++++=⇒=. 又11221,22a a a a ==⇒=.故135,,...a a a 成等比数列.246,,...a a a 成等比数列.故100910102020222a a =⨯=.()()1210092310102020122...2222...2S =+++++++++()10101210091010213122 (2)33(21)21-=++++=⨯=--.故选D.11．已知过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2220x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14||||PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，24y x =Q ，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有1121m n p+==， 1m n mn+∴=，则m n mn +=，14||||PM QN ∴+1411m n =+--4545()1m n m n mn m n +-==+--++又11(4)1(4)()m n m n m n +⋅=+⋅+Q 441m n n m =+++5≥+ 得49m n +≥，454m n ∴+-≥，则14||||PM QN +的值不可能为3，答案选A. 12．如图，直角梯形ABCD ，90ABC ∠=o ，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为（ ）AB．2CD【答案】B【解析】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D ABCE '-中，底面ABCE 为边长是1的正方形，侧面D EA '中，DE AE '⊥，且1D E AE '==．∴,,AE D E AE CE D E CE E ''⊥⊥=I ，∴AE ⊥平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN AB ⊥于N ，连D N '，则由AE ⊥平面D CE '，可得D M AE '⊥，∴D M '⊥平面ABCE ．又AB Ì平面ABCE ，∴D MAB '⊥．∴MN AB ⊥，D M MN M '=I ，∴AB ⊥平面D MN '．在D MN '∆中，作MH D N '⊥于H ，则MH ⊥平面ABD '．又由题意可得CE P 平面ABD '，∴MH 即为点C 到平面ABD '的距离．在Rt D MN '∆中，,1D M MN MN '⊥=，设D M x '=，则01x D E '<≤=，∴D N '=．由D M MN D N MH ''⋅=⋅可得x MH =，∴2MH ==≤，当1x =时等号成立，此时D E '⊥平面ABCE ，综上可得点C 到平面ABD '距离的最大值为2．故答案为B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3,0()1,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于____________．【答案】-2【解析】因为()13f =，所以()3f a =-，因此33,0a a =-≥或13,0a a -=-<，解得2a =-.14．设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是____________．（只需填写一个满足条件的m 即可）【答案】12（(0,1)的任意数均可） 【解析】由01xx <-得0<x<1,所以q ：0<x<1，又m 0>，p :0x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q q ，⇒⇒p ，所以0<m<1,满足题意的m=12 （()0,1的任意数均可）.故答案为：12（()0,1的任意数均可）15．A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：∴A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．∴在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A 0纸规格为84.1厘米×118.9厘米，那么A 4纸的长度为____________厘米． 【答案】29.7【解析】由题意，A 0纸的长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，则A 1A 2=A 3=，A 4=（厘米）．故选答案为29.7.16．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为____________．【答案】()(),22,-∞-+∞U【解析】当0x >时，由()()22f x xf x '+<，得()()220f x xf x -'+<， 两边同乘x 得()()2220xf x x f x x '+-<，设()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x =+-'<'恒成立，∴()g x 在(0,)+∞单调递减，由()()22424x f x f x -<-，则()()22424x f x x f -<-，即()()2g x g <，因为()f x 是偶函数，所以()()22g x x f x x =-也是偶函数，则不等式()()2g x g <等价()()2g x g <，即2x >，则2x >或2x <-，即实数x 的取值范围是()(),22,-∞-+∞U ，故答案为()(),22,-∞-+∞U ． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC ∆中，AB =AC =AD 为ABC ∆的内角平分线，2AD =.（1）求BDDC的值； （2）求角A 的大小．【解析】（1）在三角形ABD 中,由正弦定理得：sin sin2BD ABA ADB =, 在三角形ACD 中,由正弦定理得：sin sin2CD ACA ADC =,因为sin sin ,2BD ABADB ADC AC AB DC AC===∴==.（2）在三角形ABD 中,由余弦定理得2222cos1622A A BD AB AD AB AD =+-⋅=-, 在三角形ACD 中,由余弦定理得2222cos722A A CD AC AD AC AD =+-⋅=-,又22162472ABD A CD -==-解得cos 22A =,又0,,,22263A A A πππ⎛⎫∈∴== ⎪⎝⎭. 18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC ==1AB B ⊥C ．（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=o，若直线AB 与平面11BB C C 所成的角为45o ，求三棱锥11A AB C -的体积．【解析】（1）四边形11BB C C 是菱形，11B C BC ⊥∴，1B C AB ⊥Q ，且1BC AB B I =，1B C ∴⊥平面1ABC ，1B C AO ∴⊥，AB AC =Q ，O 是1BC 的中点，1AO BC ∴⊥， 11B C BC O =Q I ，AO ∴⊥平面11BB C C ；（2）由（1）可得AO ⊥平面11BB C C ，则BO 是AB 在平面11BB C C 上的射影，ABO ∴∠是直线AB 与平面11BB C C 所成角，即45ABO ∠=o ，在Rt ABO V中，AO BO ==又160B BC ∠=oQ ，且1BC BB =，1BB C ∴V 是正三角形，12BC BB ==，由棱柱性质得11//A C AC ，及11A C ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，得到11//A C 平面1AB C ，∴三棱锥11A AB C -的体积：111111112132A ABC C AB C A B C C V V V ---===⨯⨯=.19．（12分）互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况； （2）据统计表明，y 与x 之间具有线性关系.∴请用相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断；（若||0.75r >，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系（r 值精确到0.001））∴经计算求得y 与x 之间的回归方程为ˆ 1.382 2.674yx =-，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.（x 值精确到0.01）相关公式：()()niix x y y r --=∑参考数据：()()5166,77i i i x x y y =--=≈∑.【解析】（1）由题可知,52981175x ++++==（百单）,231051575y ++++==（百单）,外卖甲的日接单量的方差为()()()()()22222275727978711105s-+-+-+-+-==甲,外卖乙的日接单量的方差()()()()()22222272737107571523.65s-+-+-+-+-==乙,因为x y =,22s s <甲乙,即外卖甲平均日接单与乙相同,但外卖甲日接单量更集中一些,所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.（2）∴因为()()niix x y y r --=∑由：()()5166,77iii x x y y =--=≈∑,代入计算可得,相关系数660.8570.7577r =≈>,所以可认为y 与x 之间有较强的线性相关关系； ∴令25y ≥,得1.382 2.67425x -≥,解得20.02x ≥,又20.021*******⨯⨯=, 所以当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6006元.20．（12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>将圆228:5O x y +=的圆周分为四等份，且椭圆C 的离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且MN 的中点为01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的垂直平分线为l '，直线l '与x 轴交于点(),0Q m ，求m 的取值范围.【解析】（1）不妨取第一象限的交点为A .由椭圆C 将圆O 的圆周分为四等份，知45xOA ∠=o .所以55A ⎛ ⎝⎭.因为点A 在椭圆C 上，所以2244155a b +=.∴因为e =，所以224a b =.∴ ∴∴联立，解得24a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则2211222244,4 4.x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式相减，得1212121214y y x x x x y y -+=-⨯-+. 又因MN 的中点为01,4P x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1202x x x +=，1212y y +=.所以直线l 的斜率12120121214l y y x xk x x x y y -+==-⨯=--+.当00x =时，直线l 的方程14y =，直线l '即y 轴，此时0m =. 当00x ≠时，直线l '的斜率01l k x '=.所以直线l '的方程为()00114y x x x -=-，即0134y x x =-. 令0y =，则034x x =.因为点01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以2201144x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.所以0x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U，所以034x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U .综上所述，m的取值范围为88⎛- ⎝⎭.21．（12分）函数()11ln 2f x x x =+-， ()221122x g x e x ax a =---（e 是自然对数的底数， a R ∈）． （1）求证： ()()2112f x x ≥--+； （2）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.91=， []2.13-=-，若对任意10x ≥，都存在20x >，使得()()12g x f x ⎡⎤≥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）()22111'x f x x x x-=-=（0x >）.当1x >时， ()'0f x >，当01x <<时， ()'0f x <， 即()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以，当1x =时， ()f x 取得最小值，最小值为()112f =，所以()()12f x f x =≥，又()211122x --+≤，且当1x =时等号成立， 所以， ()()2112f x x ≥--+. （2）记当0x ≥时， ()g x 的最小值为()min g x ，当0x >时， ()f x ⎡⎤⎣⎦的最小值为()min f x ⎡⎤⎣⎦， 依题意有()()min min g x f x ⎡⎤≥⎣⎦，由（1）知()12f x ≥，所以()min 0f x ⎡⎤=⎣⎦，则有()min 0g x ≥，()'x g x e x a =--.令()x h x e x a =--， ()'1x h x e =-，而当0x ≥时， 1x e ≥，所以()'0h x ≥，所以()h x 在[)0,+∞上是增函数，所以()()min 01h x h a ==-. ∴当10a -≥，即1a ≤时， ()0h x ≥恒成立，即()'0g x ≥，所以()g x 在[)0,+∞上是增函数，所以()()2min012a g x g ==-，依题意有()2min102a g x =-≥，解得a ≤≤1a ≤≤．∴当10a -<，即1a >时，因为()h x 在[)0,+∞上是增函数，且()010h a =-<，若22a e +<，即212a e <<-，则()()()()ln 22ln 22ln 20h a a a a a +=+-+-=-+>， 所以()()00,ln 2x a ∃∈+，使得()00h x =，即00xa e x =-，且当()00,x x ∈时， ()0h x <，即()'0g x <；当()0,x x ∈+∞时， ()0h x >，即()'0g x >， 所以， ()g x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数， 所以()()02000min 11022x g x g x e x ax a ==---≥， 又00xa e x =-，所以()()()00000220min 11120222x x x x x g x e x a e e e e =-+=-=-≥， 所以02xe ≤，所以00ln2x <≤．由00xa e x =-，可令()x t x e x =-，()'1xt x e =-，当(]0,ln2x ∈时， 1x e >，所以()t x 在(]0,ln2上是增函数，所以当(]0,ln2x ∈时， ()()()0ln2t t x t <≤，即()12ln2t x <≤-， 所以12ln2a <≤-．综上，所求实数a的取值范围是ln2⎡⎤-⎣⎦．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin 2x y θθθθ⎧=-⎪⎨=++⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程;（2）若直线1l 、2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()23R πθρ=∈，设直线1l 、2l 与曲线C 的交点分别为M 、N （除极点外），求OMN ∆的面积.【解析】（1）由参数方程cos sin 2x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得cos 2sin x y θθθθ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，()()()22222cos sin 4x y θθθθ∴+-=++=，即224x y y +=，化为极坐标方程得24sin ρρθ=，即4sin ρθ=.（2）设点M 、N 的极坐标分别为1,6πρ⎛⎫⎪⎝⎭、22,3πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则14sin 26OM πρ===，224sin3ON πρ===2MON π∠=， 所以，OMN ∆的面积为11222OMN S OM ON ∆=⋅=⨯⨯= 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知a b c R ∈，，，2221a b c ++=． （1）求a b c ++的取值范围；（2）若不等式2|1||1|()x x a b c -++≥-+对一切实数a b c ，，恒成立，求实数x 的取值范围．【解析】（1）由不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=，∴a b c ≤++≤，∴a b c ++的取值范围是[．（2）同理，2222222()[1(1)1]()3a b c a b c -+≤+-+++=．若不等式2|1||1|()x x a b c -++≥-+对一切实数a b c ，，恒成立，则|1||1|3x x -++≥，解集为33(,][,)22-∞-+∞U ．。
2020年全国高考数学临考押题试卷(文科)-含答案与解析
2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。
2020年高考数学(文科)冲刺卷 全国卷(二)
绝密★启用前2020年高考数学(文科)终极冲刺卷全国卷（二）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.复数21i z =+的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合2{|280},{|}P x x x Q x x a =-->=…，若P Q ⋃=R ，则实数a 的取值范围是()A.(,2]-∞-B.(4,)+∞C.(,2)-∞-D.[4,)+∞ 3.已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m =()A.1-B.1C.2D.2-4.在等差数列{}n a 中，232,4a a ==，则10a =( )A.12B.14C.16D.185.某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，种植了两种中药材甲和乙，现分别抽取6户的收入（单位：万元），制成下表：中药材甲种植户收入1x 2x 3x 4x 5x 6x 中药材乙种植户收入 1y 2y 3y 4y 5y 6y 已知12,x x 的平均数为1.35，3456,,,x x x x 的平均数为1.125，123,,y y y 的平均数为1.2，456,,y y y 的平均数为1.22，则种植中药材甲和乙收入的平均数分别为()A.1.2375，1.21B.1.2，1.21C.0.4125，0.403D.2.475，2.426.函数2()ln 1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象大致是() A. B.C. D.7.设l 表示直线,,αβγ，表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若//l α且αβ⊥，则l β⊥B.若//γα且//γβ，则//αβC.若//l α且//l β，则//αβD.若γα⊥且γβ⊥，则//αβ8.如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是()A.6k ≥B.5k ≥C.>6kD.>7k 9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（） A ．23nn a = B ．13n n a -= C ．312n n S -= D ．213n n S -= 10.关于函数π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有下列四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的最小正周期为π2③()f x 在3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的一条对称轴方程为3π8x =其中所有正确结论的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.②③④11.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），1π3F MO ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．2y x =± 12.设函数π()3cosx f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足[]22200()x f x m +<，则m 的取值范围是() A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．(,3)(3,)-∞-+∞UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U13.已知,a b 为实数，直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，则a b +=__________. 14.如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒了300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为__________.15.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点.P 为椭圆C 上的一点，Q 是线段1PF 上靠近点1F 的三等分点，2PQF △为正三角形，则椭圆C 的离心率为________. 16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC =，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3其外接球的体积为________. 17.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知π2A C =+，2sin sin 2sin 3sin B A A C =.（1）求角B 的大小；（2）若4c =，D 是线段BC 上一点，且4BC BD =，求线段AD 的长.18.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n 名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[)50,60内的频数为3.（1）求n 的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n 名参赛人员中，成绩在[)80,90和[]90,100女士人数都为2人，现从成绩在[)80,90和[]90,100的抽取的人员中各随机抽取1人，求这两人恰好都为女士的概率.19.在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，π3DCB ∠=，BCE △为正三角形.。
2020年高考数学(文)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（六）文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．若集合A={x|x ﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（ ） A ．{x|x ＜6} B ．{x|x ＞2}C ．{x|2＜x ＜6}D ．∅【答案】C【解析集合A={x|x ﹣1＜5}={x|x ＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x ＞2}， 所以A∩B={x|2＜x ＜6}2．若复数23201934134i z i i i i i-=+++++++L ，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i + ＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．已知非零向量,a b r r ,满足||4||,a b =r r ||[1b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r 记θ是向量a r 与b r 的夹角，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．13D ．3π 【答案】D【解析】由题意知非零向量a r ，b r 满足4||||b a =r r，b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r ，可得21a b b -=r r r g ，即2cos 1a b b θ=+r r r g ，所以22221111cos 444b b a b bb θ++===+r r r r r r g因为b ⎡∈⎣r ，所以[]21,3b ∈r ，所以21111cos ,4324b θ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦r 因为[]0,θπ∈，且余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减， 所以min 3πθ=4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】B【解析】因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A ．a ab c << B ．ac b c << C ．ab a c << D ．c ac b <<【答案】C【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ； 当0x >时，()ln sin f x x x =+， 可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=， 作出1y x=与cos y x =-图像如图：可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A7．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A ．225B ．310C ．110D ．325【答案】C【解析】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =.10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y+==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =， 得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()33331313lg 210,lg lg lg100,202222822h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Q ，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=. 故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A【解析】由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 12．已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞【答案】B【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 二、填空题13． 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--， 当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=． 14．在三角形ABC 中，若(AC)0,(cos18,cos 72)CB AB AB ⋅+==︒︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，1||2CB =u u ur 米，则三角形ABC 内切圆的面积__________ （平方米） 【答案】380π【解析】因为()0CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，所以()()AB AC AB AC -+=u u ur u u u r u u u r u u u r g ， 所以AB AC =u u u r u u u r 又因为(cos18,cos 72)AB =︒︒u u ur ，所以1AB ====u u ur由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅即222111211cos 2A ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以7cos8A=，因为22sin cos1A A+=，所以15sin8A=，设三角形的内切圆的半径为R，则()11sin22ABCS bc A a b c R==++V，即1151111112822R⎛⎫⨯⨯⨯=⨯++⎪⎝⎭，解得15R=，所以221532080S Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭，15．如图，在平面直角坐标系xOy，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D四点，且它们具有相同的焦点12,F F，点12,F F分别在,AD BC上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e⋅=______________.【答案】1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x ya ba b+=>>，()222222221,,0x ya ba b-=>设点()0,B c y，由点B既在椭圆上也在双曲线上，则有222211222111yca ba c b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac cy aa a a-===-222222222221yca bc a b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a cy aa a a-===-则()22212121212c a ac ca aa a a a++=+=，即2121211c c ca a a a⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪⎪⎝⎭⎝⎭121e e∴=16．如图，四棱锥P ABCD-中，底面为四边形ABCD.其中ACDV为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.设三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的体积分别是12,V V，三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的外接球的表面积分别是12,S S.对于以下结论：①12V V<；②12V V=；③12V V >；④12S S <；⑤12S S =；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤【解析】不妨设2AD =,又ACD V 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又DB DC DB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.化简可以得433DB =,∴90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD V 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S =.故⑤正确. 三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （3）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=.因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.（2）因为()2224nnna ==，所以2124n na a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232n n S T =. （3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 则()2333nm kn m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．如图，四棱锥P 一ABCD 中，AB =AD =2BC =2，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，△PBD 为正三角形．且P A =23． （1）证明：平面P AB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A -CDE 的体积．【解析】（1）AB AD ⊥Q ，且2AB AD ==，22BD ∴=，又PBD ∆为正三角形，22PB PD BD ∴===，又2AB =Q ，3PA =∴2PBA π∠=，AB PB ∴⊥，又AB AD ⊥Q ，//BC AD ，AB BC ∴⊥，PB BC B =I ，AB ∴⊥平面PBC ，又AB ⊆Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，设BD ，AC 交于点O ，//BC AD Q ，且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ，//PB Q 平面ACE ，//PB OE ∴，则2DE PE =，又点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 111482233239A CDE E CDA ACD V V S h --∆∴===⨯⨯⨯⨯=g ，即四面体A CDE -的体积为89． 19．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份x （年） 1 2 3 45维护费y （万元） 1.1 1.6 2m2.8已知2y =.（I ）求表格中m 的值；（II ）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率； （Ⅲ）求y 关于x 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式： ()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【解析】（Ⅰ）由 1.1 1.62 2.82 2.55m y m ++++==⇒=．（Ⅱ）5年中平均每台设备每年的维护费用不超过2万元的有3年，分别编号为,,a b c ；超过2万元的有2年，编号为,D E ．随机抽取两年，基本事件为()()()(),,,,,,,a b a c a D a E ，()()(),,,,,b c b D b E ，()(),,,c D c E ，(),D E 共10个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则A 包含的基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a D a E b D b E c D c E D E 共7个，故()710P A =． （Ⅲ）3x =，2y =，29,6x xy ==511.1 3.26101434.3i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑∴51522134.3300.43554ˆ5i i i i i x y nxy bx nx ==--===--∑∑，20.43ˆ30.71ˆa y bx=-=-⨯= 所以回归方程为0.4301ˆ.7yx =+． 由题意有 4.290.430.7159.980.43x x +>⇒>≈， 故第10年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元20．已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【解析】方法一：（1）如图设BOE α∠=,则()22Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 21．已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x bg x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为,l ρθ=被圆C 截得的.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C=解得33m m ==-或.（Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==23．已知()2121f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()(1)f x f >； （Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->. （1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >.(2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-.综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤.因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43m n +≥≥.。
高考文科数学押题卷(带答案)
文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3根据表中数据， 下列说法正确的是( )A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2C ．3π8D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a ＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF1||AF2|＝( )A ．13B ．12C ．23 D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
2020高考文科数学全真押题卷含解答
数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+p(B)。
如果事件A、B相互独立，那么P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P(k)=C k p k(1-p)n-kn n一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给γ β n n出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合 U={0，1，2，3，4，5}，集合 M={0，3，5}，N={1，4，5}，则 M I ( N )u（A ）{5} （B ）{0，3} （C ）{0，2，3，5} （D ） {0，1，3，4，5}2．函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + 3x - 9 ，已知 f ( x ) 在 x = -3 时取得极值，则a =（A ）4（B ）3 （C ）5 （D ）23．已知θ 是锐角，那么下列各值中，sin θ + cos θ 能取到的值是（A ） 43（B ） 34（C ） 53（D ） 124．若命题甲的逆命题是乙，命题甲的否命题是丙，则命题乙是命题丙的（A ）逆命题 （B ）逆否命题（C ）否命题 （D ）否定5．函数 f ( x ) =1的定义域为log (- x 2 + 4 x - 3)2（A ） (1,2) U (2,3)（B ） (-∞,1) U (3, +∞)（C ）（1，3）（D ）[1，3]6．已知直线 m 、n ，平面α 、β 、 ，则α ⊥ β 的一个充分不必要条件为（A ） α ⊥ γ ， ⊥ γ （B ）α I β = m ， ⊥ m ， ⊂ β（C ） m // α ，m ⊥ β（D ） m // α ，m // β2x+π⎪⎝12,0⎫⎪成中心对称（D）关于直线x=π成轴对称1247．设a>0，不等式|ax+b|<c的解集是{x|-2<x<1}，则a:b:c等于（A）1:2:3（B）2:1:3（C）3:1:2（D）3:2:18．等差数列{a}中，若an4+a+a+a+a=120，则S68101215的值为：（A）180（B）240（C）360（D）7209．y=2sin⎛⎫的图象是：⎝3⎭（A）关于原点成中心对称（B）关于y轴成轴对称（C）关于点⎛π⎭1210．在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1－y).若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则（A）－1<a<1（B）0<a<2（C）-1<a<322（D）-3<a<12211．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）C12A4A414128（B）C12C4C414128（C）C14C12C84A33（D）C12C4C4A314128312.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α,β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（A）f(sinα)>f(cosβ)（C）f(cosα)>f(cosβ)（B）f(cosα)<f(cosβ)（D）f(sinα)<f(cosβ)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2020届全国Ⅱ卷高考压轴卷数学文科试卷(Word版含解析)
参考答案
1. 【答案】A 【解析】 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
2. 【答案】A 【解析】
z
=
1−i 1+ 2i
=
(1− i)(1− 2i) (1+ 2i)(1− 2i)
=
−1− 3i 5
=
−
1 5
5. 【答案】B
7 / 17
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【解析】
由题意得： −a = (1, −1) ， b − a = (2, m −1)
−a = 2 ， b − a = 4 + (m −1)2
( ) cos = (−a) b − a =
2 − m +1
= 2 ，解得： m = 1
已知数列{an}满足 a1 = −2 ， an+1 = 2an + 4 ．
（1）证明：an + 4 是等比数列；
3 / 17
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
（2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 18. （本小题 12 分）
如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC， AB ⊥ BC ，D 为 AC 的中 点， AA1＝AB＝2, BC＝3.
1
A.
B. 1
C. 3
3
D. －1
5.
已知向量 a
= (−1,1) ， b
= (1, m) ，若向量 −a
与b
−a
的夹角为 4
，则实数 m
2020年高考数学金榜冲刺卷解析06
2020年高考数学金榜冲刺卷（六）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +【答案】D【解析】 ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.2．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为( )A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A【解析】因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=，所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A3．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝12x ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【解析】图一与幂函数图像相对应，所以应为④；图二与反比例函数相对应，所以应为③；图三与指数函数相对应，所以应为①；图四与对数函数图像相对应，所以应为②． 所以对应顺序为④③①②，故选D ．42，其八个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．6π B ．8π C ．2πD ．4π【答案】A【解析】因为正方体的顶点都在同一个球面上，所以该正方体的对角线的长度是此球体的直径.设该球的半径为r ，2， 所以()()()()222222222r =++， ∴246r =，所以该正方体的外接球的表面积为24=6r ππ． 故选：A ．5．已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F -，()20,3F ，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【解析】由双曲线的定义可得3c =，24a =，即2a =，222945b c a =-=-=，且焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为：22145y x -=，故选：C ．6．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，15p =，则方差()D X 等于( ) A ．35B ．45C ．125D ．2【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望()3E X np ==,所以二项分布的方()()()121315D X np p p =-=-=，应填选答案C ． 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于时，，所以，解得.8．已知单位向量a r ，b r 满足||3a b -=r r，若a c -r r ，b c -r r共线，则||c r的最小值为（ ）A 3B ．1C 3D ．12【答案】D【解析】设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,OC c =u u u r r ,由单位向量a r ,b r满足||3a b -=r r 得||||1OA OB ==u u u r u u u r ,120AOB ∠=︒,由a c -r r ,b c -r r 共线,得CA u u u r ,u u rCB 共线,所以点C 在直线AB 上,所以当OC AB ⊥时||c r取得最小值12.故选：D9．将()22221f x x x =+的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ） A ．函数()y g x =的最小正周期是π ? B ．函数()y g x =的一条对称轴是8x π=C ．函数()y g x =的一个零点是38π D ．函数()y g x =在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 214f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()2sin 2112sin 2444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.则函数()g x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项说法正确；当8x π=时，242x ππ+=，函数()y g x =的一条对称轴是8x π=，B 选项说法正确；当38x π=时，24x ππ+=，函数()y g x =的一个零点是38π，C 选项说法正确；若5,128x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则532,4122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；本题选择D 选项.10．已知定点(1,0)A -，点B 在圆22:2150C x y x +--=上运动，C 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BC 于点P ，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2214x y +=C ．22143y x +=D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题可知，圆22:(1)16C x y -+=，圆心(1,0)C ，4r =，||||PA PB =，||||||||PA PC PB PC ∴+=+4||2AC =>=，所以点P 的轨迹是以原点为中心，,A C 为焦点的椭圆， 所以24a =，2a =，22c =，1c =，23b ∴=，所以动点P 的轨迹方程E 为22143x y +=，故选：A ．二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．抛物线y 2=2x 的焦点坐标为 ． 【答案】（，0）．【解析】抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p =1，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为（，0）．12．代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为_____． 【答案】0【解析】∵（1﹣x ）（1+x ）5＝（1﹣x ）（0155C C +•x 25C +•x 235C +•x 345C +•x 455C +•x 5），∴（1﹣x ）（1+x ）5 展开式中x 3的系数为135C ⨯-125C ⨯=0．故答案为：0．13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________. 【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2.14．在ABC ∆中，3A π=，4AB =，ABC ∆的面积为3a =__________．【答案】3【解析】由题设可得1sin 232S bc A ∆==1342322b b ⨯==，故由余弦定理可得116424232a =+-⨯⨯⨯=3 15．对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈，给出如下三个结论：①如果{}21,B b b n n N ==+∈，那么B M ⊆；②若{}2,C c c n n N ==∈，对于c C ∀∈，则有c M ∈；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈. ④如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈ 其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③【解析】对①：对21,b n n N =+∈，总是有()22211b n n n =+=+-，1,n n z +∈，故B M ⊆，则①正确； 对②2,c n n N =∈，若2c n M =∈，则存在,x y Z ∈，使得()()222x y n x y x y -==+-，因为当,x y 一个是偶数，一个是奇数时，x y +是奇数，x y -也是奇数，故()()x y x y +-也是奇数，而显然2n 是偶数，故()()2n x y x y ≠+-，故2c n M =∉，故②错误； 对③如果1a M ∈，2a M ∈，不妨设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()()()22222212112212121221a a x y xy x x y y x y x y M =--=+-+∈，故12a a M ∈，故③正确；对④同理，设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()2222221211221212121222a a x y x y x x y y x x y y +=-+-=+-+-+，故不满足集合M 的定义，故④错误.综上所述，正确的是①③. 故答案为：①③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）如图，已知四棱锥P －ABC D 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点.(1)求证：AE //平面PDC ；(2)若BC ＝CD ＝PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（215【解析】（1）证明：取PC 的中点F ，连结DF 、EF ，E Q 是PB 的中点，//EF BC ∴，且2BC EF =， //AD BC Q ，2BC AD =，//AD EF ∴，且AD EF =， ∴四边形ADFE 是平行四边形，//AE DF ∴，又DF ⊂平面PDC ，//AE ∴平面PDC ．（2）解：PD DC =Q ，PDC ∴∆是等腰三角形， DF PC ∴⊥，又//AE DF ，AE PC ∴⊥，PD ⊥Q 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，BC ∴⊥平面PDC ，DF ⊂Q 平面PDC ，BC DF ∴⊥，BC AE ∴⊥，又AE PC ⊥，AE ∴⊥平面PBC ，连结EC ，AC ，则AEC ∠就是直线AC 与平面PBC 所成角， 设2PD CD BC ===，在Rt PCB ∆中，解得22=PC 3PB =3EC =，在Rt ADC ∆中，解得5AC =∴在Rt AEC ∆中，315cos 5EC ECA AC ∠===， ∴直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值为155．17．（本小题14分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果）【答案】（1）35（2）见解析，1．（3）12x x ＞．【解析】（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35． （2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）343615C C ==，P （ξ＝1）21423635C C C ⋅==，P （ξ＝2）12423615C C C ⋅==， ∴ξ的分布列为：∴E （ξ）＝015⨯+135⨯+215⨯=1． （3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而12x x ＞．18．（本小题14分）在①34b a =，②333a b =，③224a b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断{}n c 是否是递增数列，请说明理由．已知{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是正项等比数列，111a b ==，__________，*()n n n c a b n =∈N ．判断{}n c 是否是递增数列，并说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析【解析】因为{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，所以11n a n n =+-=． 设{}n b 的公比为q ，若选①，由34b a =，得11344,2,2,2n n n n b a q b c n --=====⋅，1121(1)22(1)n n n n c n n c n n -+⋅==<+⋅+，则1n n c c +<，所以{}n c 是递增数列． 若选②，由3333a b ==，得31,1,1,n n b q b c n ====， 则11n n c n c n +=<=+，所以{}n c 是递增数列． 若选③，由2242a b ==，得211111,,,2222n n n n n b q b c --====， 11221(1)21n n n n c n nc n n -+⋅==+⋅+…，则1n n c c +≥，所以{}n c 不是递增数列．19．（本小题15分）已知函数()1x af x x e=-+（,a R e ∈为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.【答案】（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【解析】（1）由()1x a f x x e =-+,得()1xa f x e '=-． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =． （2）()1x af x e'=-,①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数, 所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值． 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值． （3）当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111x g x f x kx k x e=--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤． 又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二:（1）（2）同解法一． （3）当1a =时,()11x f x x e=-+． 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e-=（*） 在R 上没有实数解． ①当1k =时,方程（*）可化为10xe =,在R 上没有实数解． ②当1k ≠时,方程（*）化为11x xe k =-． 令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min 1g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程（*）无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -． 综上,得k 的最大值为1．20．（本小题14分）已知椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的长轴长为6且经过点8(1,)3P ，过点P 并且倾斜角互补的两条直线12,l l 与椭圆M 的交点分别为,B C （点B 在点C 的左侧），点(7,0)E -. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）求证：四边形PEBC 为梯形.【答案】（Ⅰ）22198x y +=（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）因为椭圆M ：22221x y a b+=(0)a b >>的长轴长为6且经过点8(1,)3P ，所以223,1641.9a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得23,8.a b =⎧⎨=⎩ 所以椭圆M 的方程为22198x y +=. （Ⅱ）证明：依题意，直线12,l l 的倾斜角均不为90o ，且直线12,l l 的斜率互为相反数．设直线PB 的方程为8(1)(0)3y k x k =-+>，由228(1),31.98y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得2228(89)18()948803k x k k x k k ++-+--=. 当∆>0时，设1122(,),(,)B x y C x y ，则2129488189k k x k --⋅=+，即212948889k k x k--=+. 因为直线PC 过点P ，且斜率为-k ， 所以直线PC 的方程为8(1)3y k x =--+． 同理可得222948889k k x k+-=+． 所以直线BC 的斜率2121212188(1)(1)33BCk x k x y y k x x x x --+----==--21212232(2)18996389k k x x k k x x k-+-+===--+.因为直线PE 的斜率80131(7)3PEBC k k -===--，所以//PE BC . 又因为1(7)8PE >--=，26BC a <= ，所以PE BC ≠．所以四边形PEBC 为梯形 21．（本小题14分）定义：若各项为正实数的数列{}n a 满足*1(N )n n a a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”.已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图象上. （1）试判断数列{}21n x +*()N n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记lg(21)n n y x =+*()N n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；（3）从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y L ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,,,n n n z y z y z y ===L.若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值． 【答案】（1） 是，理由祥见解析；（2） 证明祥见解析，；（3） k =6,m =3.【解析】（1）答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列.理由：1(,)n n x x +Q 点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列.证明（2）*1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈Q ，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+==Q ,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列. 1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.（3）由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 11121312m k -∴=-． 化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤.又101m -=或时，113122k m -+>, ∴12,3m m -==即.131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,{ 2.m k =∴=。
卷06-2020年高考数学(文)冲刺逆袭必备卷(解析版)
2020年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷06（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}x B x =∈Z |2≤，若A B I 只有4个子集，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．[0,1]D ．(0,1]【答案】D【解析】【分析】 根据题意解出{}A B x a x =∈Z |≤≤2I ，A B I 只有4个子集，则元素有两个，可解出a 的范围.【详解】集合{|}A x Z x a =∈≥，集合{4}{}xB x x x =∈Z |2≤=∈Z |≤2， {}A B x a x =∈Z |≤≤2IA B I 只有4个子集，则A B I 中元素只能有2个，即{1}A B =2I ，，所以01a <≤，故选：D.【点睛】本题考查集合的运算及集合的关系，根据集合子集个数求参数取值，先确定集合元素再求取值范围即可，属于基础题.2．已知复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-，给出下列命题：①12z z >；②12||||z z >；③复数1z 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数2z 的虚部为0. 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据复数的基本性质可判断①错误；化简复数1z 和2z ，求出模可判断②正确；求出复数1z 与其共轭复数在复平面内的点可得关于实轴对称，③正确；根据负数的定义可得④正确．【详解】由复数1(1)3z i i +=-，复数22(1)z i i =-， 可得复数()()1313=1212i i i z i i ---==-+，复数2(2)=2z i i =-， 对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；对于②: 1z = 22z =，12||||z z >,∴②正确；对于③: 复数112z i =-与其共轭复数112z i =+，在复平面内的点分别为()()121,2-，，，关于实轴对称,∴③正确；对于④:复数22z =为实数，虚部为0,∴④正确.综上,真命题3个，故选：C.【点睛】本题考查复数有关命题的真假判断与应用，考查的知识点有复数的概念、复数的模、共轭复数、复数的几何表示等，属于基础题.3．已知某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)，则7.5x =的预报值是（ ）A ．0.9B ．0.9-C ．1D ．1-【答案】B【解析】【分析】 根据数据中心点代入线性回归方程可得ˆ 4.8a=，代入7.5x =可得预报值. 【详解】某一组散点数据对应的线性回归方程为ˆˆ0.76yx a =-+，数据中心点为(5,1)， 则有ˆ10.765a=-⨯+，可得ˆ 4.8a =， 所以ˆ0.76 4.8yx =-+， 则7.5x =的预报值是ˆ0.767.5 4.80.9y=-⨯+=-， 故选：B.本题主要考查的是线性回归方程的应用，掌握线性回归方程的性质是解题的关键，属于基础题. 4．若函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选D5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．B ．C ．3 D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，则CD=1，BC=AD BD=BE=CF=结合图形可得,△AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，由勾股定理得AB3==，AC最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.6．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724- B ．524- C ．524 D ．724【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得tan 2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=， ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下： 3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =； 3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 8．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】D【解析】【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n n a =-+，解不等式求得结果.【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6， 使得301x x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n n a n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11，故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.9．吴老师的班上有四名体育健将张明、王亮、李阳、赵旭，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4×100米接力队，吴老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的对话： 张明：我不跑第一棒和第二棒；王亮：我不跑第一棒和第四棒；李阳：我也不跑第一棒和第四棒；赵旭：如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒.吴老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在吴老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是A ．张明B ．王亮C ．李阳D ．赵旭【答案】C【解析】很明显张明跑第三棒或第四棒，若张明跑第三棒，则由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒，而李阳不跑第一棒和第四棒，则无法安排李阳，可见张明跑第三棒不可行，则张明跑第四棒.由王亮不跑第一棒和第四棒可知王亮跑第二棒或第三棒，若王亮跑第三棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第二棒，而赵旭要求如果王亮不跑第二棒，我就不跑第一棒，则赵旭无法安排；故王亮跑第二棒，由李阳不跑第一棒和第四棒可知李阳跑第三棒，此时赵旭跑第一棒，所有人员安排完毕.跑第三棒的人是李阳.故选C ． 10．已知12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若||2ON =（O 为坐标原点），则||OM =（ ）A ．2B ．2CD ．【答案】D【解析】【分析】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P 根据题目条件可得2||MF MP =，利用11||22ON PF ==,可得2112||4MF MF F P ON -===，根据椭圆的几何性质21+8MF MF =，解出122=6MF MF =，，利用余弦定理解三角形可得||OM .【详解】延长2F N ,交1MF 的延长线于点P .因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥,所以2||MF MP =.所以，2111||MF MF MP MF F P -=-=,因为,O N ，分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F △的中位线， 所以11||22ON PF ==, 所以，2112||4MF MF F P ON -===①，12,F F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上一点，12F F =21+8MF MF =②， 由①②可得，122=6MF MF =，， 根据余弦定理可得222122121122cos32F F MF MFMF FF F MF+-∠=⋅=，||OM===故选：D.【点睛】本题考查椭圆性质的应用及余弦定理的应用，属于综合题，解题的关键在于根据平面几何知识及椭圆几何性质解出焦点三角形，再利用余弦定理解三角形即可，属于中等题.11．函数()()23xf x x e=-，关于x的方程()()210f x mf x-+=恰有四个不同实数根，则正数m的取值范围为( )A．()0,2B．()2,+∞C．3360,6ee⎛⎫+⎪⎝⎭D．336,6ee⎛⎫++∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt-+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e xf ex x=+-=+-'，令()0f x'=，得3x=-或1x=，当3x<-时，()0f x'>，函数()f x在(),3-∞-上单调递增，且()0f x>;当31x-<<时，()0f x'<，函数()f x在()3,1-上单调递减;当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e>+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23xf x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.12．等腰直角三角形BCD 与等边三角形AB D 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A B ．2C D 【答案】A 【解析】 【分析】设E 为B D 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为B D 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以sin 2AOADO AD∠==，可得AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ，过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，sinCE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,sin 1)AC α=-u u u r ，(3,1)BA =u u u r ，(2,cos )BD α=u u u r，若,,B C D 三点共线，则tan(2019)πα-=_____.【答案】2- ； 【解析】 【分析】根据向量共线的共线定理建立方程关系，可解出tan α，结合三角函数的诱导公式进行化简即可． 【详解】∵B 、C 、D 三点共线，∴()=BD xBC x BA AC =+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即（2，cos α）=x （4，sin α）， 则2＝4x ，cos α=x sin α，得x =12，即cos α=12sin α，得tan α=2， 则tan （2019π-α）=tan （-α）=-tan α=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题是平面向量共线（平行）的坐标运算及同角三角函数关系及诱导公式的综合题，考点较多，属于中等题.14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且△ABC 的面积S =14abc ，则角B =__________． 【答案】π3【解析】111sin 2sin 442S abc abc ab C c C =⇒=⇒=， 代入2sin 2A +c (sin C −sin A )=2sin 2B 中，得sin 2A +sin 2C −sinAsinC =sin 2B ， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可将上式化简为a 2+c 2−ac =b 2， 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB ， 所以有cosB =12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3. 15．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4【解析】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4.故答案为：4 16．已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为________．1 【解析】 【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.【详解】假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则有0000212022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2221x y -+=，圆心为()2,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2222MC x y =-+，又22y x =，所以()()222222=2413MC x y x x x =-+-+=-+，2min3MC∴=，即min MC，所以min 1MN =，1. 【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 满足：11223111,(1)(2)3n n a a a a a a a n n n +=+++=++L . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122311111n n a a a a a a ++++<L . 【答案】（1）n a n =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知利用递推关系式推出1(1)(2)n n a a n n n +=+≥，化为111n n a a n n +⋅=+，令n n ab n =，则11b =，且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11n n b b +-=，进一步推出1n n b a n ==，，即可得到{a n }的通项公式； （2）根据（1）求出12231111n n a a a a a a ++++L ，然后利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）由122311(1)(2)3n n a a a a a a n n n ++++=++L 得： 122311(1)(1)(*)3n n a a a a a a n n n -+++=-+L ，两式相减得：1(1)(2)n n a a n n n +=+≥.当1n =时，122a a =满足此式，故对*n N ∈，有1(1)n n a a n n +=+，化为111n n a a n n +⋅=+. 令nn a b n=，则11b =， 且11n n b b +=与11n n b b -=相减得：11()0,0n n n n b b b b +--=≠，故11n n b b +-=，即212311k k b b b --====L ，故n 为奇数时，1n n b a n ==，.又21b =，故22221k k b b b -====L ，故n 为偶数时，1n n b a n ==，，故n a n =.（2）由（1）可得：122311*********(1)n n a a a a a a n n ++++=+++⨯⨯⨯+L L 1111112231n n =-+-++-+L1111n =-<+. 【点睛】本题考查数列的求和，数列递推式，涉及到的知识点有根据数列的和之间的关系类比着往前或往后写一个式子，两式相减得到数列的项之间的关系，构造新的关系式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点．（1）求证：1//BD 平面ACE ； （2）求证：1BD AC ⊥【解析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ， 因为底面ABCD 为菱形，所以O 为BD 中点， 因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD ，OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE ，（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1BB AC ⊥，因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以1BB AC ⊥，BD AC ⊥，1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ， 所以AC ⊥平面11BDD B ，因为1BD ⊂平面11BDD B ，所以1AC BD ⊥。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第二部分·刷题型压轴题 含答案解析
压轴题(二)12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF ＝∠OAF ，△OAF 的面积为33，则双曲线C 的方程为( )A.x 236－y 212＝1B.x 23－y 2＝1 C.x 212－y 24＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 D解析 因为e ＝c a ＝233，所以ba ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝33，所以tan ∠AOF ＝b a ＝33，所以∠AOF ＝π6， 又因为∠AOF ＝∠OAF ，所以|AF |＝|OF |＝c ，∠OAF ＝π6，∠AFO ＝2π3. 又因为S △OAF ＝33， 所以12·c ·c ·sin 2π3＝3 3.所以c 2＝12，a 2＝34c 2＝9，b 2＝13a 2＝3. 所以双曲线C 的方程为x 29－y 23＝1.16．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线x ＝0，y ＝0和y ＝b 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为________．答案 43πa 2b解析 如题图，A 点在双曲线上，B 点在渐近线上，则图中圆环的面积为πx 2A－πx 2B ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2y 2A b 2＋a 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫ay A b 2＝πa 2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为a 、高为b 的圆柱的体积，所以此冷却塔的体积为πa 2b ＋13πa 2b ＝43πa 2b .20．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点M (－2,0)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点，且椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)矩形ABCD 的四个顶点均在椭圆C 上，求矩形ABCD 的面积的最大值． 解 (1)依题意，M (－2,0)是椭圆C 的左顶点，所以a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)由对称性可知，设A (x 0，y 0)，其中x 0y 0≠0，则B (－x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，D (x 0，－y 0)，所以|AB |＝2|x 0|，|AD |＝2|y 0|， S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 因为S2矩形ABCD＝16x 20y 20，又y 20＝1－x 204，所以S 2矩形ABCD ＝16x 20y 20＝－4x 40＋16x 20＝－4(x 20－2)2＋16，而x 20∈(0,4)，故当x 20＝2时，S 2矩形ABCD 取得最大值16，所以矩形ABCD 的面积的最大值为4.21．(2019·河南开封三模)已知函数f (x )＝e x －a ，g (x )＝a (x －1)(常数a ∈R 且a ≠0)．(1)当g (x )与f (x )的图象相切时，求a 的值；(2)设h (x )＝f (x )·g (x )，若h (x )存在极值，求a 的取值范围．解 (1)设切点为A (x 0，e x 0－a )，因为f ′(x )＝e x ，所以过A 点的切线方程为y －e x 0＋a ＝e x 0 (x －x 0)，即y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x 0－a ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e x 0＝a ，e x 0－x 0e x 0－a ＝－a ， 解得a ＝e.(2)依题意，h (x )＝a (x －1)(e x －a )，则h ′(x )＝a (x e x －a )，当a ＞0时，令φ(x )＝x e x －a ，则φ′(x )＝(x ＋1)e x ，令φ′(x )＞0，则x ＞－1，令φ′(x )＜0，则x ＜－1，所以当x ∈(－∞，－1)时，φ(x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，φ(x )单调递增．若h (x )存在极值，则φ(x )min ＝φ(－1)＝－1e －a ＜0，所以a ∈(0，＋∞)，又a ∈(0，＋∞)时，φ(a )＝a (e a －1)＞0，所以，a ∈(0，＋∞)时，φ(x )在(－1，＋∞)存在零点x 1，且在x 1左侧φ(x )＜0，在x 1右侧φ(x )＞0，即h ′(x )存在变号零点．当a ＜0时，h ′(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若h (x )存在极值，则h ′(x )max ＝h ′(－1)＝a (－1e －a )>0，即－1e －a <0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0，又a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0时，φ(a )＝a (e a －1)>0，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0时，φ(x )在(－1，＋∞)存在零点x 2，且在x 2左侧φ(x )<0，在x 2右侧φ(x )>0，即h ′(x )存在变号零点．所以，若h (x )存在极值，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪(0，＋∞)．。
2020届高考数学压轴必刷题 专题06数列(文理合卷)(含答案)
2020届高考数学压轴必刷题专题06数列(文理合卷)1．【2019年浙江10】设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b时，a10＞10 B．当b时，a10＞10C．当b＝﹣2时，a10＞10 D．当b＝﹣4时，a10＞10【解答】解：对于B，令0，得λ，取，∴，∴当b时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，a n＝2＜10，∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴， (10)∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，，a n+1﹣a n＞0，{a n}递增，当n≥4时，a n1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．故选：A．2．【2018年浙江10】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q＝﹣1时，a1+a2+a3+a4＝0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．3．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n2n+1﹣1，（n∈N+），则a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．4．【2017年上海15】已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]＝a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a＝0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．5．【2016年浙江理科06】如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|＝a，|OB1|＝c，|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|＝b，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|＝d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得，，两式相加可得，2，即有h n+h n+2＝2h n+1，由S n d•h n，可得S n+S n+2＝2S n+1，即为S n+2﹣S n+1＝S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，A n B n B n+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，…，A n B n为直角边，即有h n+h n+2＝2h n+1，由S n d•h n，可得S n+S n+2＝2S n+1，即为S n+2﹣S n+1＝S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．故选：A．6．【2016年新课标3理科12】定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．7．【2016年上海理科17】已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【解答】解：∵，S，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2，D不成立．故选：B．8．【2015年上海理科17】记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1＝a12﹣4≥0，△2＝a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22＝a1a3，即a3，则a32＝（）2，即方程③的判别式△3＝a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．9．【2015年上海理科18】设P n（x n，y n）是直线2x﹣y（n∈N*）与圆x2+y2＝2在第一象限的交点，则极限（）A．﹣1 B．C．1 D．2【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y趋近于2x﹣y＝1，与圆x2+y2＝2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2＝2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴1．故选：A．10．【2013年新课标1理科12】设△A n B n∁n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n∁n的面积为S n，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，a n+1＝a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解答】解：b1＝2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1＝2a1﹣c1﹣a1＝a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n（b n+c n﹣2a n），∵b1+c1＝2a1，∴b1+c1﹣2a1＝0，∴b n+c n﹣2a n＝0，∴b n+c n＝2a n＝2a1，∴b n+c n＝2a1，由此可知顶点A n在以B n、c n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1，∴a1﹣b n，∴b n+1﹣a1，∴b n﹣a1，∴，c n＝2a1﹣b n，∴[][][]单调递增（可证当n＝1时0）故选：B．11．【2012年浙江理科07】设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n＝na1d n2+（a1）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选：D．12．【2012年上海理科18】设a n sin，S n＝a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【解答】解：由于f（n）＝sin的周期T＝50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25＝0，a26，a27，…，a49＜0，a50＝0且sin，sin但是f（n）单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选：D．13．【2012年北京理科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．14．【2011年上海理科18】设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i＝1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【解答】解：依题意可知A i＝a i•a i+1，∴A i+1＝a i+1•a i+2，若{A n}为等比数列则q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选：D．15．【2018年江苏14】已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．【解答】解：利用列举法可得：当n＝26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41；2，4，8，16，32．S26，a27＝43，⇒12a27＝516，不符合题意．当n＝27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前27项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…41，43；2，4，8，16，32．S27546，a28＝45⇒12a28＝540，符合题意，故答案为：27．16．【2017年上海10】已知数列{a n}和{b n}，其中a n＝n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则．【解答】解：∵a n＝n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴．∴b1＝a1＝1，b4，b9，b16．∴b1b4b9b16．∴2．故答案为：2．17．【2016年浙江理科13】设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则a1＝，S5＝．【解答】解：由n＝1时，a1＝S1，可得a2＝2S1+1＝2a1+1，又S2＝4，即a1+a2＝4，即有3a1+1＝4，解得a1＝1；由a n+1＝S n+1﹣S n，可得S n+1＝3S n+1，由S2＝4，可得S3＝3×4+1＝13，S4＝3×13+1＝40，S5＝3×40+1＝121．故答案为：1，121．18．【2016年上海理科11】无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n＝1时，a1＝S1＝2或3；若n＝2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n＝3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n＝4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．19．【2015年江苏11】设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+…+2+1．当n＝1时，上式也成立，∴a n．∴2．∴数列{}的前n项的和S n．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．20．【2015年新课标2理科16】设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝﹣1，a n+1＝S n+1S n，则S n＝．【解答】解：∵a n+1＝S n+1S n，∴S n+1﹣S n＝S n+1S n，∴1，又∵a1＝﹣1，即1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴n，∴S n，故答案为：．21．【2013年江苏14】在正项等比数列{a n}中，，a6+a7＝3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1，q＝2，故其通项公式为a n2n﹣6．记T n＝a1+a2+…+a n，S n＝a1a2…a n＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6．由题意可得T n＞S n，即，化简得：2n﹣1，即2n1，因此只须n，（n＞1），即n2﹣13n+10＜0，解得n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：1222．【2013年新课标2理科16】等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1+45d＝0，S15＝15a1+105d＝25，∴a1＝﹣3，d，∴S n＝na1d n2n，∴nS n n3n2，令nS n＝f（n），∴f′（n）＝n2n，∴当n时，f（n）取得极值，当n时，f（n）递减；当n时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，故nS n的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．23．【2012年新课标1理科16】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为．【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝183024．【2011年江苏13】设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．【解答】解：方法1：∵1＝a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6＝a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1＝1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7＝a1q3≥3，∴q3≥3，q，方法2：由题意知1＝a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q，故q的最小值是：．故答案为：．25．【2011年上海理科14】已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以|Q0P1|，故答案为：．26．【2010年浙江理科14】设n≥2，n∈N，（2x）n﹣（3x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|（0≤k≤n）的最小值记为T n，则T2＝0，T3，T4＝0，T5，…，T n…，其中T n＝．【解答】解：根据Tn的定义，列出Tn的前几项：T0＝0T1T2＝0T3T4＝0T5T6＝0…由此规律，我们可以推断：T n故答案：27．【2010年浙江理科15】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．【解答】解：因为S5S6+15＝0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理得2a12+9a1d+10d2+1＝0，此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有△＝（9d）2﹣4×2×（10d2+1）＝d2﹣8≥0，整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2则d的取值范围是．故答案案为：．1．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝1830，故选：D．2．【2014年新课标2文科16】数列{a n}满足a n+1，a8＝2，则a1＝．【解答】解：由题意得，a n+1，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8，解得a7；令n＝6代入得，a7，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1故答案为：．3．【2010年天津文科15】设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0＝．【解答】解：因为≧8，当且仅当4，即n＝4时取等号，所以当n0＝4时T n有最大值．故答案为：4．。
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压轴题(六)
12．将三个边长为2的正方形，按如图所示的方式剪成6部分，拼接成如图所示的形状，再折成一个封闭的多面体，则该多面体的体积为( )
A ．4
B ．2 6 C.733 D.56
3 答案 A
解析 该多面体是一个大的四面体减去三个小的四面体，其中大四面体的底面是边长为32的正三角形，其余三条棱长均为3；三个小四面体的底面是边长为2的正三角形，其余三条棱长均为1，所以V ＝13×3×12×3×3－3⎝ ⎛⎭⎪
⎫
13×1×12×1×1＝4.故选A.
16．(2019·杭州摸底考试)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，则双曲线E 的离心率e ＝________；若双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，则实数m 的取值范围是________．
答案 3 (－3,5)
解析 因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以b
a ＝22，所以e ＝c a ＝
a 2＋
b 2a 2＝
1＋b 2a 2＝
1＋(22)2＝3.又双曲线E 的实轴长为2，所以
2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3,0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，
所以需满足条件⎩
⎨⎧
32＋02
－2×3＋4×0＋m >0，
(x －1)2＋(y ＋2)2
＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值范围是(－3,5)．
20．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，12，左焦点为F (－3，0)．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为1
2的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．
解 (1)由题意得椭圆E 的右焦点为(3，0)，c ＝3，则由椭圆的定义得， (3＋3)2＋14＋1
2＝2a ，
解得a ＝2.又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)过F (－3，0)且斜率为1
2的直线的方程为 y ＝1
2(x ＋3)，
联立，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12(x ＋3)，
x 2
4＋y 2＝1，
消去x ，得8y 2－43y －1＝0，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
y 1＋y 2＝3
2，
y 1y 2＝－1
8，
∴|y 1－y 2|＝5
2，
∵A 是椭圆E 的右顶点，∴|AF |＝2＋3，
∴△AMN 的面积S ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝12×(2＋3)×52＝25＋15
4.
21．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f (x )＝2a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1x ln x ＋1，a ∈R .
(1)若直线l 与曲线y ＝f (x )恒相切于同一定点，求直线l 的方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≤e x －1
x 恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)因为直线l 与曲线y ＝f (x )恒相切于同一定点，所以曲线y ＝f (x )必恒过定点，
由f (x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ln x ＋1，a ∈R ，令⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1x ln x ＝0，得x ＝1，故得曲线y ＝f (x )
恒过的定点为(1,1)．
因为f ′(x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln x x 2＋1x －1x 2，所以切线l 的斜率k ＝f ′(1)＝0，
故切线l 的方程为y ＝1.
(2)因为当x ≥1时，f (x )≤e x －1
x 恒成立， 所以e xf (x )≤e x 恒成立，
即e x －e [2a (x －1)ln x ＋x ]≥0在[1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝e x －e [2a (x －1)ln x ＋x ]， 则g ′(x )＝e x
－e ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ln x ＋1－1x ＋1， 令h (x )＝g ′(x )＝e x －e ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ln x ＋1－1x ＋1，
则h ′(x )＝e x －2a e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋1x 2(x ≥1)．
①当a ≤0时，显然h ′(x )＞0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，故h (x )＝g ′(x )≥h (1)＝0，
所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (1)＝0.从而，当x ≥1时，f (x )≤e x －1
x 恒成立．
②当0＜a ≤14时，令t (x )＝h ′(x )＝e x －2a e ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1x 2(x ≥1)，则t ′(x )＝e x ＋
2a e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 2＋2x 3＞0， 所以t (x )在[1，＋∞)上单调递增，
故t (x )＝h ′(x )≥t (1)＝e(1－4a )≥0，同①可证，当x ≥1时，f (x )≤e x －
1
x 恒成立．
③当a ＞1
4，即4a ＞1时，由②可知t (x )在[1，＋∞)上单调递增，因为t (1)＝e(1－4a )＜0，
又t (4a )＝e 4a
－2a e ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋116a 2＞e 4a －2a e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
4a ＋14a ＝e 4a －e ＞0，故必存在x 0∈
(1,4a )使在[1，x 0)上t (x )＜0，即h ′(x )＜0，因此h (x )在[1，x 0)上单调递减，所以x
∈(1，x0)时，h(x)＜h(1)＝0，即g′(x)＜0，所以g(x)在(1，x0)上单调递减，g(x)＜
g(1)＝0，即e x－e[2a(x－1)·ln x＋x]＜0，即f(x)＞e x－1
x，因此f(x)≤
e x－1
x在x∈(1，x0)
上不恒成立．
综上可得，实数a的取值范围为a≤1 4.。