【高考数学】2018-2019学年数学高考二轮复习专题二第3讲平面向量案-文科
【高考数学】2018届高三数学(文)二轮复习课件：专题三三角函数与平面向量3.2(高频考点汇总PPT课件)
π 4 π 4
1 6＋1 7 ＝ ＝5. 1 1－6×1 答案： 7 5
2sinπ－α＋sin 2α 2．(2017· 长沙市统一模拟考试)化简： ＝________. α cos22 解析： 2sinπ－α＋sin 2α 2sin α＋2sin αcos α 4sin α1＋cos α ＝ ＝ ＝4sin α. α 1 1＋cos α cos22 1 ＋ cos α 2 4sin α
(2)(2017· 全国卷Ⅰ)已知
α＝2，则
π cosα－4＝________.
解析： (1)因为
π π α∈4，2，所以
π α∈4，π， 所以
π 2α∈2，2π， 又
π 5 sin 2α＝ 5 ， 故 2α∈2，π，
◎ 变式训练 1．(2017· 江苏卷)若 解析： 因为
π 1 tanα－4＝6，则
tan α＝________.
π 1 tanα－4＝6，
所以 tan
π α－ ＋tan tan 4 π π α＝tanα－4＋4＝ π 1－tanα－4tan
π 3π 5 10 (1)若 sin 2α＝ 5 ，sin(β－α)＝ 10 ，且 α∈4，π，β∈π， 2 ，则 α
＋β 的值是( 7π A. 4 5π 7π C. 4 或 4
) 9π B． 4 5π 9π D． 4 或 4
π α∈0，2，tan
5π 10 2 7π × 10 ＝ 2 ，且 α＋β∈ 4 ，2π ，故 α＋β＝ 4 .
π (2)cosα－4＝cos
π π 2 αcos 4＋sin αsin 4＝ 2 (cos α＋sin α)． 2 5 5 α＝2，知 sin α＝ 5 ，cos α＝ 5 ，
2019年高考数学二轮复习精品资料：专题二 第3讲 平面向量及答案解析
12019年高考数学二轮复习精品资料专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列第3讲 平面向量1．以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； 2．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； 3．向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现．1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22． 4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝⎛⎭⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3．2热点一 平面向量的有关运算【例1】(1) (2018·大连八中)已知向量()1,1=-a ，()3,m =b ，()+∥a a b ，则 （ ） A ．B ．2C ．D ．3(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 (1) 向量()1,1=-a ，()3,m =b ，∴()2,1m +=+a b ， ∵()+∥a a b ，∴1×2＝﹣1（1+m ），∴m ＝﹣3． 故选C ．(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12．答案 (1)C (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【训练1】(2019·广州一模)已知 的边 上有一点 满足 ，则 可表示为( )A ．B ．C ．D ．解析 由题意可知．，故选D ．答案 D热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算【例2－1】(1) (2019·株洲质检)在 中，点 为斜边 的中点， ， ，则 （ ） A ．48B ．40C ．32D ．16(2)(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13．若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析 (1)因为点 为斜边 的中点，所以， 所以，。
高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点， 所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 2.3.3 平面向量学案 理
2.3.3 平面向量1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)，θ＋1，＝2－sin(θ＋φ)，＝2，∴max [答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.[答案] 124．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．[解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →＝(－2，n )．∴AE →·BF →＝－2＋mn ，又知|EF →|＝2，∴|m －n |＝2.①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3.②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. [答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB→(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[答案]3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．。
(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题二第三讲平面向量课件
―→ ―→ (2)如图，在△ABC中，设 AB ＝a， AC ＝b，AP的中点为Q， ―→ BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则 AP 等于 ( )
1 1 A. a＋ b 2 2 2 4 C. a＋ b 7 7
1 2 B. a＋ b 3 3如图，连接BP， ―→ ―→ ―→ ―→ 则 AP ＝ AC ＋ CP ＝b＋ PR ，① ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ AP ＝ AB ＋ BP ＝a＋ RP － RB ，② ―→ ―→ ①＋②，得2 AP ＝a＋b－ RB .③ ―→ 1―→ 1 ―→ ―→ 又 RB ＝ QB ＝ ( AB － AQ ) 2 2 1―→ 1 ＝ a－2 AP ，④ 2 ―→ 1―→ 1 将④代入③，得2 AP ＝a＋b－ a－2 AP ， 2 ―→ 2 4 解得 AP ＝ a＋ b. 答案：C 7 7
[答案] C
(2)(2016· 浙江高考 )已知平面向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2，a· b ＝1，若 e 为平面单位向量，则|a· e|＋|b· e|的最大值是________． [解析] ∵a· b＝|a|· |b|cos〈a，b〉
＝1×2×cos〈a，b〉 1 ＝1，∴cos〈a，b〉＝ ， ∴〈a，b〉＝60°. 2 以 a 的起点为原点，所在直线为 x 轴建立直角坐标系， 则 a＝(1,0)，b＝(1， 3)．设 e＝(cos θ，sin θ)， 则|a· e|＋|b· e|＝|cos θ|＋|cos θ＋ 3sin θ| ≤|cos θ|＋|cos θ|＋| 3sin θ|＝2|cos θ|＋ 3|sin θ|≤ 7.
3 2 3 15 C.－ D.－ 2 2 ―→ ―→ ―→ ―→ 解析：由已知得 AB ＝(2,1)， CD ＝(5,5)，因此 AB 在 CD
2019届高考数学二轮复习 专题二 第3讲 平面向量学案
第3讲平面向量1．以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； 2．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； 3．向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现．1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ．(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22．4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3．热点一 平面向量的有关运算【例1】(1)(2018·大连八中)已知向量，，，则m =（） A ．−2B ．2C ．−3D ．3(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 (1)向量，，∴，∵，∴1×2＝﹣1（1+m ），∴m ＝﹣3． 故选C ．(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12．答案 (1)C (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【训练1】(2019·广州一模)已知mmmm 的边mm 上有一点mm 满足mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可表示为( ) A ．mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =45mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +15mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =15mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +45mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑解析由题意可知mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +45mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +45(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =15mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +45mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ．，故选D ． 答案 D热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算【例2－1】(1) (2019·株洲质检)在mmmmmm 中，点m 为斜边mm 的中点，|mm |=8，|mm |=6，则mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A ．48B ．40C ．32D ．16(2)(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13．若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为（） A ．4B ．－4C ．94D ．－94解析 (1)因为点m 为斜边mm 的中点，所以mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 所以mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，又mmmmmm 中mm ⊥mm ，所以mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12|mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=32，故选C ．(2)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．答案 (1)C (2)B探究提高 1．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义． 2．进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．3．求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．4．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |． 5．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ． (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2． (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．【训练2】(1)(2015·福建卷)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于（） A ．13B ．15C ．19D ．21(2)(2019·新泰一中)已知向量m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角为120°，且|m ⃑⃑⃑⃑ |=|m ⃑⃑⃑⃑ |=2，那么m ⃑⃑⃑⃑ ⋅(2m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )的值为（） A ．﹣8B ．﹣6C ．0D ．4解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，则AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)．∴点P (1，4)，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB →·PC →的最大值为13．(2)向量m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角为120°，且|m ⃑⃑⃑⃑ |=|m ⃑⃑⃑⃑ |=2，可得m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ =|m ⃑⃑⃑⃑ |⋅|m ⃑⃑⃑⃑ |⋅cos120°=2×2×(−12)=−2，即有m ⃑⃑⃑⃑ ⋅(2m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )=2m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ 2=2×(−2)−4=−8．故选A ． 答案 (1)A (2)A热点三 平面向量与三角的交汇综合【例3】(2017·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中，． 若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π． (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6． ∵f (x )的最小正周期为π，∴．∵，∴．(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π))．∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3． 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12．∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6．∴C ＝π6，∴c ＝a ＝3． ∴BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32．探究提高 1．破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化． 2．这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解． 【训练3】(2018·天津七校)在平面直角坐标系mmm 中，已知向量m ⃑⃑⃑⃑ =(cos m ,sin m ),m ⃑⃑⃑⃑ =(1,√3),m ∈(m3,m )．（1）若m ⃑⃑⃑⃑ ⊥m ⃑⃑⃑⃑ ，求m 的值；（2）若m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角为m6，求cos m 的值．解（1）∵m ⃑⃑⃑⃑ ⊥m ⃑⃑⃑⃑ ，∴m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ =0， 又m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ =cos m +√3sin m =2(12cos m +√32sin m )=2cos (m −m3)=0，∴ m −m3=mm +m2(m ∈m )∵ m ∈(m3,m )，∴ m =56m ． （2）m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ =|m ⃑⃑⃑⃑ ||m ⃑⃑⃑⃑ |cosm6=1×2×√32=√3,∴2cos(m−m3)=√3，∴cos(m−m3)=√32，∵ m∈(m3,m)∴m−m3∈(0,2m3)∴sin(m−m3)=12cos m=cos[(m−m3)+m3]=cos(m−m3)cos m3−sin(m−m3)sin m3=0．1．(2018·全国I卷)在△mmm中，mm为mm边上的中线，m为mm的中点，则mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（）A．34mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −14mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B．14mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −34mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑C．34mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D．14mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +34mm⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑2．(2018·全国II卷)已知向量，满足，，则（）A．4 B．3 C．2 D．03．(2018·全国III卷)已知向量，，．若，则m=________．4．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．1．(2018·平遥中学)若向量与满足(m⃑⃑⃑⃑ +m⃑⃑⃑⃑ )⊥m⃑⃑⃑⃑ ，且|m⃑⃑⃑⃑ |=1,|m⃑⃑⃑⃑ |=2，则向量在方向上的投影为（）A．√3B．−12C．－1 D．√332．(2019·内江一模)若|m ⃑⃑⃑⃑ |=1，|m ⃑⃑⃑⃑ |=2，|m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√13，则m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角为（） A ．m6B ．m3C ．m2D ．2m 33．(2019·乐山一模)如图所示，mm 是三角形mmm 的中线，m 是mm 的中点，若mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mmm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mmm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，其中m ,m ∈m ，则m +m 的值为（）A ．−12B ．12C ．−14D ．144．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是____．5．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．1．(2017·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝（） A ．9B ．3C ．109D ．3102．(2018·平遥中学)已知向量m ⃑⃑⃑⃑ =(m +1,2),m ⃑⃑⃑⃑ =(−2,2),若|m ⃑⃑⃑⃑ −2m ⃑⃑⃑⃑ |=|m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ |，则m 的值为（） A ．-3B ．-1C ．1D ．23．(2019·河南联考)若非零向量m ⃑⃑⃑⃑ ，m ⃑⃑⃑⃑ 满足|m ⃑⃑⃑⃑ |=√3|m ⃑⃑⃑⃑ |，且(m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )⊥(m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ )，则m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角的余弦值为（） A ．√63B ．√33C ．−√63D ．−√334．(2017·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b ．(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值．5．(2018·武威十八中)已知函数m (m )=m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ ，其中m ⃑⃑⃑⃑ =(2cos m ,√3mmm 2m ),m ⃑⃑⃑⃑ =(cos m ,1),m ∈m ． （1）求函数m =m (m )的单调递增区间；（2）在mmmm 中，角m ,m ,m 所对的边分别为m ,m ,m ,m (m )=2,m =√7，且m =2m ，求mmmm 的面积．参考答案1．【解题思路】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，之后将其合并，得到mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，下一步应用相反向量，求得mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，从而求得结果． 【答案】根据向量的运算法则，可得mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，故选A ．2．【解题思路】根据向量模的性质以及向量乘法得结果．【答案】因为m ⃑⃑⃑⃑ ⋅(2m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )=2m ⃑⃑⃑⃑ 2−m ⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑⃑ =2|m ⃑⃑⃑⃑ |2−(−1)=2+1=3，所以选B ． 3．【解题思路】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【答案】由题可得2m ⃑⃑⃑⃑ +m ⃑⃑⃑⃑ =(4,2)，∵m ⃑⃑⃑⃑ //(2m ⃑⃑⃑⃑ +m ⃑⃑⃑⃑ ),m ⃑⃑⃑⃑ =(1,m )，∴4λ−2=0,即λ=12，故答案为12．点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．4．【解题思路】(1)两向量平行，坐标对应成比例；(2)根据数量积定义求出f (x )，再用辅助角公式进行化简．【答案】(1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0．∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6．(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3．∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－23．1．【解题思路】由向量m →与m →满足|m →|＝1，|m →|＝2，且(m ⃑⃑⃑⃑ +m ⃑⃑⃑⃑ )⊥m ⃑⃑⃑⃑ ，求出，由此能求出向量m→在向量m →方向上的投影．【答案】∵向量m →与m →满足|m →|＝1，|m →|＝2，且(m ⃑⃑⃑⃑ +m ⃑⃑⃑⃑ )⊥m ⃑⃑⃑⃑ ， ∴（m→+m →）=m →2+m →⋅m →=m →⋅m →+1＝0，解得， ∴向量m →在向量m →方向上的投影为：|m →|•cos ＜m →，m →＞=|m →|×m→•m →|m→|⋅|m →|=−12=−12．故选B ．2．【解题思路】根据|m→|=1，|m →|=2，对|m →+2m →|=√13两边平方即可求出m →⋅m →=−1， 从而可求出mmm＜m →，m →＞=−12，这样即可求出m →与m →的夹角． 【答案】∵|m→|=1，|m →|=2，|m →+2m →|=√13； ∴(m→+2m →)2=m →2+4m →2+4m →⋅m →=1+16+4m →⋅m →=13；∴m →⋅m →=−1； ∴mmm＜m →，m →＞=m→⋅m →|m →||m →|=−12； 又0≤＜m→，m →＞≤m ，∴m →，m →的夹角为2m3．故选D ．3．【解题思路】在三角形mmm 中m 是mm 的中点，可得mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，然后将其转化到mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上求出m、m 的值【答案】由题知mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=12×(12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=14(mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+12mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =14mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −34mm ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 则m =14，m =−34，故m +m =−12，故选A ． 4．【解题思路】求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，注意θ∈[0，π]．【答案】cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12．解之得λ＝33．故填33． 5．【解题思路】(1)直接利用坐标形式求模公式；(2)根据数量积定义求出f (x )，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简．【答案】(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6．(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1．所以f (x )的最大值为32．1．【解题思路】两向量垂直，两向量的数量积为0．【答案】向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9．则|b |＝（－3）2＋92＝310．故选D ．2．【解题思路】根据向量的坐标的运算得m ⃑⃑⃑⃑ −2m ⃑⃑⃑⃑ =( m +5,−2)．m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ =( m −3,6)，利用向量模长相等列方程即可求解．【答案】由向量m ⃑⃑⃑⃑ =(m +1,2),m ⃑⃑⃑⃑ =(−2,2),可得m ⃑⃑⃑⃑ −2m ⃑⃑⃑⃑ =( m +5,−2)．m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ =( m −3,6)．|m ⃑⃑⃑⃑ −2m ⃑⃑⃑⃑ |=√(m +5)2+(−2)2=√m 2+10m +29，|m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ |=√(m −3)2+62=√m 2−6m +45． 由|m ⃑⃑⃑⃑ −2m ⃑⃑⃑⃑ |=|m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ |，得√m 2+10m +29=√m 2−6m +45，解得m =1．故选C ．3．【解题思路】由(m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )⊥(m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ )可得(m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )∙(m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ )=m ⃑⃑⃑⃑ 2−2m ⃑⃑⃑⃑ 2+|m ⃑⃑⃑⃑ ||m ⃑⃑⃑⃑ |cos m =0，结合|m ⃑⃑⃑⃑ |=√3|m ⃑⃑⃑⃑ |可得结果．【答案】设m ⃑⃑⃑⃑ 与m ⃑⃑⃑⃑ 的夹角为m ，∵(m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )⊥(m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ )，∴(m ⃑⃑⃑⃑ −m ⃑⃑⃑⃑ )∙(m ⃑⃑⃑⃑ +2m ⃑⃑⃑⃑ )=m ⃑⃑⃑⃑ 2−2m ⃑⃑⃑⃑ 2+|m ⃑⃑⃑⃑ ||m ⃑⃑⃑⃑ |cos m =0，cos m =−|m ⃑⃑⃑⃑ |2−2|m ⃑⃑⃑⃑ |2|m ⃑⃑⃑⃑ |⋅|m ⃑⃑⃑⃑ |=m 2√3|m ⃑⃑⃑⃑ |2=−√33，故选D ． 4．【解题思路】(1)根据数量积定义求出f (x )，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简；(2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1可得A ，再利用余弦定理结合均值不等式． 【答案】(1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32． (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3． ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ， ∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)．∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤33． ∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是33．5．【解题思路】（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简m (m )为m sin (mm +m )+m 的形式，将mm +m 代入[2m π−π2,2m π+π2]中，解出m 的范围，由此求得函数的单调区间． （2）利用m (m )=2求得角m 的大小，利用余弦定理和m =2m 列方程组，解方程组求得m 2的值，由此求得三角形的面积．【答案】（1）()2π2cos 22cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=⋅==++=++ ⎪⎝⎭a b ，令，解得，，函数的单调递增区间是（）．（2）∵，∴，即，又∵，∴，∵，由余弦定理得，①，②，由①②得，∴．。
2019年高考数学二轮复习名校精品资料 专题2.3 平面向量专题 Word版含解析
-2019高考数学二轮复习名校课堂专题2.3 平面向量（总 分：150分，考试时间：120分钟）1真题感悟 真题回放1.(2018年新课标Ⅱ文)已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】由题意,a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2＋1＝3.2. 2018年浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2-4e •b +3=0，则|a -b |的最小值是（ ）A ．3-1B ．3+1C ．2D ．2- 3 【答案】A【解析】由b 2-4e •b +3=0，得(b -e )·(b -3e )=0，∴（b -e ）⊥（b -3e ），如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为π3，则a 的终点在不含端点O的两条射线y =±3x （x ＞0）上．不妨以y =3x 为例，则|a -b |的最小值是（2，0）到直线3x -y =0的距离减1．即|23|3+1-1=3-1．故选A ．3．（2018年北京）设向量a =（1，0），b =（-1，m ）．若a ⊥（m a -b ），则m = ． 【答案】-1【解析】向量a =（1，0），b =（-1，m ）．m a -b =（m +1，-m ）．∵a ⊥（m a -b ），∴m +1=0，解得m =-1．故答案为-1．4.(2018年新课标Ⅲ文)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________. 【答案】12【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c ∥(2a ＋b ),得14＝λ2,解得λ＝12.2热点题型题型一：平面向量的概念以及线性运算例1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【答案】A【解析】：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣=﹣×（+）=﹣，故选：A．题型二：平面向量基本定理及坐标表示例2．（2018•南开区三模）向量，，在单位正方形网格中的位置如图所示，则•（）= 3 ．【分析】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．【答案】：3【解析】如图建立平面直角坐标系，则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3， 2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量的坐标运算，包括向量的加法运算、数量积的坐标运算，关键是正确建立坐标系，将向量坐标化，再进行运算．变式训练2（2018•新余二模）已知向量，，，若，则= ．【答案】题型三平面向量的数量积例3（2018年天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，→OMNA，则→BC·→CN=2→MA，→BM=2→值为（）A．-15 B．-9 C．-6 D．0【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．【答案】C∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠M ON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．变式训练4（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是 3 ．【答案】，3【解析】：如图所示，建立直角坐标系，不妨取=（2，1），=（1，2），则===．向量，所张成的平行四边形的面积S=••sin=×=5×=3．故答案分别为：，3．3新题预测1.如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【答案】A【解析】：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；又，；∴===．故选：A．2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，，则的最大值是（）A．B．C．D．1【答案】：A=||2﹣||•||cos＜，（）＞=1﹣×cos＜，（）＞，∴当＜，（）＞=180°时，取最大值1+．故选：A．专项训练平面向量一.选择题1. （2018•延安模拟）在△ABC中，点D在边AB上，=，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．+【答案】：B【解析】∵，∴，解得．∴．故选：B．2. （2018•山西一模）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（）A．+B．﹣﹣C．﹣+D．﹣【答案】：C3. （2018•玉溪模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】：A【解析】∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A．4. （2018•泸州模拟）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||=，则）的取值范围是（）A．[0，12] B．[0，] C．[0， 6] D．[0，3]【答案】：A5. （2018•资阳模拟）平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（）A．B．2 C．D．【答案】：D【解析】∵，．∴=，∴⇒则λ+μ=．故选：D．6. （2018•洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k的值为（）A．B．C．2 D．【答案】：B【解析】∵平面向量，，，∴=（2+k，﹣1+k），∵，∴，解得k=．∴实数k的值为．故选：B．7. （2018•曲靖一模）如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．﹣ C．D．﹣【答案】：D=+（﹣）=﹣+；又=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=﹣+=﹣．故选：D．8.（2018•惠州模拟）在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3，=2，则=（）A．﹣B．﹣ C．D．【答案】：C【解析】如图，；∴；∴；∴===．故选：C．9. （2018•琼海模拟）如图，ABCD是边长为8的正方形，若DE=，且F为BC的中点，则=（）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】：D10. （2018•宁城县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【答案】：C【解析】：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选：C．11. （2018•马鞍山三模）已知两点M（﹣1，0），N（1，0）若直线3x﹣4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）B．（﹣∞，﹣25]∪[25，+∞） C．[﹣25，25] D．[﹣5，5]【答案】：D12.（2018•济宁二模）设非零向量，，满足=0，||=2，＜，＞=120°，则||的最大值为（）A．1 B．C．D．2【答案】：C【解析】：如图所示构造△ABC，使=，=，=，||=2，∠BAC=60°，∴＜，＞=180°﹣∠BAC=120°，△ABC中，由正弦定理得，====，∴||=sinB，当sinB=1，即B=90°时，||取得最大值为．故选：C．二、填空题13. （2018•开封三模）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2|=1，则||= ．【答案】：14.（2018•乐山三模）在边长为3的正三角形ABC中，D是BC上的点，=2，则•= 【答案】：【解析】：如图，∵；∴；∴====．故答案为：．15. （2018•静海区校级模拟）已知A，B，C为单位圆O上任意三点，=0，=，=﹣，若OA的中点为E，则的值为．【答案】：．OA的中点为E（﹣，﹣）；∴=（﹣，﹣﹣1，）•（1，﹣1）=﹣++1=．故答案为：．16.（2018•呼和浩特一模）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．【答案】：．整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．。
【2019年高考二轮课程】数学 全国通用版 平面向量 教案
2019年高考二轮复习平面向量一、高考回顾向量主要以客观题形式出现,属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式，二要准确计算。
主要考察的内容为向量的数量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记先平方后开方的思路，便能直捣黄龙，一举破题。
另外，虽然近几年高考题中平面向量较难知识以及能力考察题型相对较少，但是备考方面还是应当提高训练难度，对如常规的模型化问题，套路化问题要做到考必会，会比拿分的水平。
如建系解决棘手数量积问题，再如解析几何中的夹角问题，垂直(平行问题)等都要做到烂熟于胸。
至于等和线、奔驰定理、“四心”问题、极化恒等式等进阶知识则引人因地因时制宜。
)垂直——夹角公式——二、知识清单1.思维导图2.知识再现一、平面向量的线性运算与有关定理1．向量的线性运算交换律：；与的相反向量的和的运算叫作与与向量的积的运算(1)时，与的方向相同；当与的方向相反；当时，；；特别提醒：1).关于向量的模的两个关系式：对于任意两个向量，都有：①.；②．2).当不共线时：①的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．2．向量中的有关定理(1)向量共线的判定定理和性质定理①判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数使得，则向量与共线．②性质定理：若向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，使得.③是平面上三点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得(如图所示)．(2)平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，其中是一组基底．特别提醒：(1).零向量不能作为基底向量，基底不是唯一的，只要是同一个平面内不共线的向量均可作为一组基底．(2).由平面向量基本定理可知，如果对于一组基底，有，则可以得到.3．平面向量的坐标表示与坐标运算(1)平面向量运算的坐标表示已知，已知，其中已知，则(2)平面向量共线的坐标表示：若，则（交叉相乘相等）.提醒：当且仅当时，与等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．二、平面向量的数量积及其应用 1．向量的夹角 (1)夹角的定义和范围(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件： ①.与的夹角是锐角且与不共线． ②.与的夹角是钝角且与不共线.特别提醒：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是与的夹角，才是与的夹角．2．平面向量数量积的有关概念(1)数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫作与的数量积，记作，即.规定：.(2)数量积的几何意义：数量积等于的模与在的方向上的投影的乘积． 特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定.已知两个非零向量和，作,则叫做与的夹角与夹角的范围， 与同向时，,反向时； 当时,两向量垂直,记作：。
2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量课件
误区警示
1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点 (1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3) 平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及 其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题 a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质 有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.
3 2 sin
2ωx－12＝sin2ωx＋π6－12，
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)， 且a∥b，则m＝___－__6___.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若 向量a＋b与a垂直，则m＝___7_____.
(2)因为a2＝bc，所以cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋2cb2c－bc≥2b2c－bcbc＝ 12(当且仅当b＝c时，取等号)． 因为0<A<π，所以角A的取值范围是0，π3. 由正弦定理，知0<absin B＝sin A≤ 23，所以absin B的取值范围 是0， 23.
A平．面1直角坐标系(图略)，则A(0B,1).1，16B(2,0)，C
1，12
，所以
→ OP
＝
1 2
→ OC
＝
C12.14，14，
D．－12
A→P＝12，－34，
故A→P·O→P＝12，－34×12，14＝116.
题组突破
【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习：专题二第三讲 平面向量-含解析
|e1＋λe2|＝ ＝ ＝ ，
∴ －λ＝2× ×cos60°＝ ，解得λ＝ .
[答案]
考点一 平面向量的概念及线性运算
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．
[答案]C
3．(2017·河南郑州质检)已知P为△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2 ＋ ＝(λ＋1) ＋ ，且
△PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为________．
[解析]∵D为AB的中点，∴2 ＝ ＋ ，
又∵2 ＋ ＝(λ＋1) ＋ .
∴ ＋ ＋ ＝(λ＋1) ＋
∴ ＝λ ，又△PBA与△PBC的面积相等，
[答案]A
4．(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 · 的值为()
A．－ B.
C. D.
[解析]解法一：∵ ＝ － ，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，
∴ · ＝( － )
＝ ×1×1× － ＋ － ×1×1× ＝ － ＋ － ＝ ，选B.
∴ · ＝( ＋ )·
＝ · ＋ 2
＝| || |cos60°＋| |2
＝ a2＋a2＝ a2.故选D.
[答案]D
3．(2017·福建龙岩二模)已知向量 与 的夹角为60°，且| |＝3，| |＝2，若 ＝m ＋n ，且 ⊥ ，则实数 的值为()
A. B.
C．6D．4
[解析]由题意知 · ＝3×2×cos60°＝3.又∵ ＝m ＋n ， ⊥ ，∴ · ＝(m ＋n )·( － )＝n 2＋(m－n) · －m 2＝0，又∵| |＝3，| |＝2， · ＝3，∴4n＋3(m－n)－9m＝n－6m＝0，∴ ＝ .故选A.
2019年高考数学(文科)二轮复习：专题2 第3讲 平面向量
第3讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则( ) A.a⊥b B.|a|＝|b| C.a∥bD.|a|>|b|解析 由|a ＋b|＝|a －b|两边平方，得a 2＋2a·b＋b 2＝a 2－2a·b＋b 2，即a·b＝0，故a⊥b. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b)·a＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R)，且AD → ·AE→＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC→－13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x)，b ＝(3，－3)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x 的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－3cos x ，∴3sin x＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x＋π6＝π，∴x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x∈[0，π]，∴x－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f(x)≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f(x)取得最小值－2 3.考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λ a.(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a⊥b ⇔a·b＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y)，则|a|＝a·a＝x 2＋y 2.(2)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面向量的有关运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC.若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b， 所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC →＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB → ，AD →作为基底，∵M，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →， 因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD→ ， 又AC → ＝AB → ＋AD →， 因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算【例2－1】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB⊥BC，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO<AF ，而∠AFB＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC →)＝OB → ·CA →＝ |OB → ||CA →|·cos∠AOB<0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB<BG＝GD<OD ，而OA<AF ＝FC<OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|， 而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设E(t ，0)，t∈[0，1]， 则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面向量数量积的性质【例2－2】 (1)(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2017·哈尔滨模拟)平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b|的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n 2＝0， ∴t|m||n|cos〈m ，n 〉＋|n|2＝0，由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b|cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b|·（a ＋b ）·a |a ＋b||a|＝a 2＋a·b |a|＝16＋a·b4＝5；∴a·b＝4.又(a －2b)2＝a 2－4a·b＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a－2b|＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b ⇔a·b＝0⇔|a －b|＝ |a ＋b|.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a . (2)|a±b|＝（a±b）2＝a 2±2a·b＋b 2. (3)若a ＝(x ，y)，则|a|＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2015·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP→＝AB → |AB → |＋4AC →|AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2017·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b)·(a －2b)＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C(0，t)，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t)，则AP → ＝AB → |AB → |＋4AC →|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t(0，t)＝(1，4). ∴点P(1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t＝13， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ， 则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. ∵(2a＋b)·(a－2b)＝－332，∴2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三 平面向量与三角的交汇综合【例3】 (2017·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx)，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f(B)＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f(x)＝m·n＝23sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c. ∵f(B)＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a＝3，∵sin B＝3sin A ，∴b＝3a ，∴b＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A＝π6.∴C＝π6，∴c＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝cacos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a.解 因为AB → ·AC →＝－6，所以bccos A ＝－6，又因为S △ABC ＝3，所以bcsin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A<π，所以A ＝3π4.又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29， 所以a ＝29.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b|＝|a －b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b|＝|a －b|等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC＝BA → ·BC→ |BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.答案 A2.(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件. 答案 A3.(2017·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x)，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b)⊥c，则|b|＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x)，c ＝(1，－1)， ∴2a＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b)⊥c，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b|＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13， ∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2017·安徽江淮十校联考)已知平面向量a ，b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°，∴∠OBA＝30°.∵|a|＝|OA →|＝3， ∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin∠OAB，|b|＝|OB → |＝6·sin∠OAB≤6. 答案 C二、填空题6.(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m)，且a⊥b，则m ＝________.解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m＝2.答案 27.(2017·德州模拟)已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×1×12＝1， 又|a ＋2b|2＝a 2＋4b 2＋4a·b＝12，所以|a ＋2b|＝12＝2 3.答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC → ，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM →， 即3CM → ＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD → ＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35. 答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2x ，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin 2x ＝1.又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f(x)的最大值为32. 10.(2017·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x)，f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值； (2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a＝(－sin x ，cos x)，b ＝(－sin x ，3sin x)，则f(x)＝a·b＝sin 2x ＋3sin xcos x ＝12(1－cos 2x)＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k∈Z)，f(x)取最大值是32. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A＝π3. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc≥2bc，∴bc≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立). ∴S＝12bcsin A ＝34bc≤3 3. ∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.11.已知函数f(x)＝2cos 2x ＋23sin xcos x(x∈R). (1)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝2，若向量m ＝(1，sin A)与向量n ＝(2，sin B)共线，求a ，b 的值.解 (1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x＋π6≤π2＋2k π，k∈Z， 解得k π－π3≤x≤k π＋π6，k∈Z， 因为x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6. (2)由f(C)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， 而C∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， 所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3. 因为向量m ＝(1，sin A)与向量n ＝(2，sin B)共线，所以sin A sin B ＝12. 由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。
高考数学二轮复习 第三讲 平面向量
高考数学二轮复习 第三讲 平面向量一、选择题1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：解法一 由|a ＋b |＝|a －b |，平方可得a·b ＝0, 所以a ⊥b .故选B. 解法二 根据向量加法、减法的几何意义可知|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b .故选B.答案：B2. (2014·北京卷)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)解析：因为2a ＝(4，8)，所以2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．故选A. 答案：A3．设向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ·(a －b )＝0，则a 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案：B4．(2014·山东卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3解析：因为cos a ，b ＝a ·b |a |·|b |，所以cos π6＝3＋3m232＋m 2，解得m ＝ 3.故选B.答案：B5．已知：OA →＝(－3，1)，OB →＝(0，5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294解析：设点C (x ，y )， AC →＝OC →－OA →＝(x ＋3，y －1)，∵AC →∥OB →，∴x ＋3＝0.∴x ＝－3. 又BC →＝OC →－OB →＝(x ，y －5)，AB →＝(3，4)， 又∵BC →⊥AB →， ∴3x ＋4(y －5)＝0. ∴y ＝294.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294. 答案：B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β，若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |＞0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a∘b ＝( )A.12 B ．1 C.32 D.52解析：解法一 因为b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ≤cos θ＜1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，所以b ∘a ＝12.|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a ||b |cos θ＝2cos2 θ＜2，且a ∘b ＝2cos2 θ＞1，所以1＜a ∘b ＜2，故有a ∘b ＝32.故选C.解法二 a ∘b ＝|a ||b |cos θ＝k 12，b ∘a ＝|b ||a |cos θ＝k 22，两式相乘得cos2 θ＝k 1k 24，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，k 1，k 2均为正整数，于是22＜cos θ＝k 1k 22＜1，所以2＜k 1k 2＜4，所以k 1k 2＝3，而|a |≥|b |＞0，所以k 1＝3，k 2＝1，于是a ∘b ＝32，选C.答案：C二、填空题 7．(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案：228．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．解析：如图，作DF ⊥AB 交AB 延长线于D ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62.由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，故x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 329．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则点D 的坐标为________．解析：平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝OB →－OA →＝OC →－OD →⇒OB →＋OD →＝OA →＋OC →，∴OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，即点D 坐标为(0，－2)． 答案：(0，－2)三、解答题10．已知向量OP →＝(cos x ，sin x ), OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33sin x ，sin x ，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当OP →⊥OQ →时，求锐角x 的值．解析：(1)f (x )＝－33sin x cos x ＋sin 2x ＝12－33⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝12－33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．(2)当OP →⊥OQ →时，f (x )＝0，即12－33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝32，又π3<2x ＋π3＜4π3，故2x ＋π3＝2π3，故x ＝π6.11．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．解析：(1)∵a 与b 互相垂直，则a·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0＜φ＜π2，0＜θ＜π2，∴－π2＜θ－φ＜π2.∴cos(θ－φ)＝1－sin2（θ－φ）＝31010. ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝55×31010＋255×1010＝22.。
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- 1 - 第3讲 平面向量
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现
.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )
A.a ⊥b
B.|a |＝|b |
C.a ∥b
D.|a |>|b | 解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b .
答案 A
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，
因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 7
3.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB →
(λ∈R)，且AD → ·AE →
＝－4，则λ的值为________. 解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
. 答案
311 4.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].
(1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.
解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，
∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.。