四川省眉山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学(理科)试题(解析版)

眉山市高中2020届第四学期期末教学质量检测数学试题卷（理科）2019.07数学试题卷（理科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于（ ） A. -3 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由()13z i i -=+可得z 的表达式，根据复数的乘除运算即可化简z,得出z 的实部. 【详解】由()13z i i -=+可得()3z 131123ii i i+=+=--+=-所以z 的实部为2，故选D. 【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于基础题.2.某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该班学生对新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为17，则抽取的女生人数为（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据某男生被抽中的概率做出样本容量，再结合分层抽样方法做出要抽取的女生数． 【详解】解：设样本容量为a ，某男生被抽中的概率为17，∴128217a =+，得7a =， ∴抽取的女生人数为21732821⨯=+人．故选：B ．【点睛】本题考查分层抽样的方法，是一个基础题，本题解题的关键是求出抽取的学生总数，注意数字的运算不要出错．3.10进位制的数13转换成3进位制数应为（ ） A. 101 B. 110C. 111D. 121【答案】C 【解析】 【分析】进位制是人们利用符号进行计数的科学方法，对于任何一种X 进制， 就表示某一位置上的数运算时逢X 进一位，由此求出结果． 【详解】解：21013131313=⨯+⨯+⨯，(3)13111∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了进位制的应用问题，是人们利用符号进行计数的科学方法，属于基础题． 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：8131626323816642.77++++++≈，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选B【点睛】本题考查了统计的基础知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于基础题，6.从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A. 120种 B. 24种 C. 18种 D. 36种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案，综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题． 7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是31，则判断框中应填入（ ）A. 4A <？B. 4A >？C. 5A <？D. 5A >？【答案】C 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及A 的关系，最终得出选项．【详解】解：经判断此循环为“当型”结构，判断框内为跳出循环的语句第1次循环：3S =，2A =；第2次循环：7=S ，3A =；第3次循环：15S =，4A =；第4次循环：31S =，5A =；此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句“5A <？”5?A ∴<故选：C ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题的关键，属于基础题．8.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定出来x ＝2，类似地不难得到11111+++L＝（ ）C. 12D.12【答案】C 【解析】 【分析】令11(0)111x x +=>++L，即11x x+=，解方程即可得到x 的值. 【详解】令11(0)111x x +=>++L，即11x x +=，即210x x --=，解得x =(x =舍)，故1111211+=++L故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.9.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A. 0.7 B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．10.甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ） A.58B.13C.18D. 38【答案】D 【解析】 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=剟，01}y 剟，写出满足条件的事件是{(,)|01A x y x =剟，01y 剟，12y x -≤，}x y ≤，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x ，乙到的时间为y ，则试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=剟，01}y 剟， 事件对应的集合表示的面积是1S =，满足条件的事件是{(,)|01A x y x =剟，01y 剟，12y x -≤，}x y ≤， 则()1,1B ，1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭，10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则事件A 对应的集合表示的面积是111131122228⨯⨯-⨯⨯=，根据几何概型概率公式得到33818P ==； 所以甲、乙两人能见面的概率38P =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．11.已知定义在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()()cos sin f x f x x x '<，则（ ）23π4πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32π64π⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33π6πf ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用导数判断出函数()g x 的单调性，即可判断个选项． 【详解】解：构造函数()cos ()g x x f x =⋅，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， ()g x ∴在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确的是A ；故选：A【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．12.已知函数()ln ,12,21xx x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩，()()g x f x a =+，若函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 212,e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 12ln 2,e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []221,2ln 2,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. [)221,,2ln 2e e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出函数()ln ,12,21x x x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩的图象，函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点等价于函数()y f x =与函数y a =-在[]2,2x ∈-上有两个交点，利用导数研究函数的单调性及最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()ln ,12,21x x x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩，画出函数图象如下所示：因为()()g x f x a =+，且函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点，所以()f x a =-在[]2,2x ∈-上有两个零点，即函数()y f x =与函数y a =-在[]2,2x ∈-上有两个交点，当12x ≤≤时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，则()ln 10f x x '=+>，即()ln f x x x =在[]1,2上单调递增，()[]0,2ln 2f x ∈；当21x-?时，()x f x xe =， ()()1x f x x e '=+，则当21x -≤<-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，即()x f x xe =在[]2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，()1f e =，()11f e-=-，()222f e --=-；所以02ln 2a ≤-≤或212a e e--<-≤-， 所以212e a e -≤<或2ln 20a -≤≤，即[]221,2ln 2,0a e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭U 故选：C【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性最值，考查函数方程思想，转化化归思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上．13.已知复数12z i =-+，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈）．若12z z 为实数，则a 的值为_____． 【答案】4【解析】 【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出实数a 的值.【详解】()()()()1222224z z i a i a a i =-++=--+-Q 为实数，则40a -=，解得4a =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题． 14.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()260.15P P ξξ<=>=，则()24P ξ<<=__________．【答案】0.35 【解析】分析：利用正态曲线的对称性进行求解． 详解：因为()()260.15P P ξξ<=>=，所以该正态曲线关于直线2642x +==对称， 则()()260.7?240.35P P ，ξξ<<=<<=． 点睛：本题考查正态分布、正态曲线的对称性等知识，意在考查学生的用图能力．15.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为______．【答案】367【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，然后根据7个剩余分数的平均分为91，计算出x 的值，然后根据方差公式进行计算即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，∴剩余7个数为87，90，90，91，91，90x +，94，7Q 个剩余分数平均分为91，8790909191(90)94917x ∴+++++++=⨯，解得4x =，即剩余7个数为87，90，90，91，91，94，94，∴对应的方差为22221136[(8791)2(9091)2(9191)2(9491)](16218)777-+-+-+-=++=， 故答案为：367． 【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，利用平均数公式计算出x ，然后根据方差的公式进行计算，考查学生的计算能力．要求熟练掌握相应的平均数和方差公式．16.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】采用构造函数法，设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，则原问题转化为存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，对()g x 求导可判断函数在12x =-处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，即可求解【详解】设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，由题设可知存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，因为()(21)x g x e x '=+，故当21x <-时，()0g x '<，函数()(21)=-x g x e x 单调递减；当21x ≥-时，()0g x '>，函数()(21)=-xg x e x 单调递增；故12min 1()22g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而当0x =时，(0)10g =-<，(1)0g e =>，故当(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，解之得312a e≤<故答案为：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17.某企业生产的A 产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产A 产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[)195,210内，则为合格品，否则为不合格品，表格是甲流水线样本的频数分布表，图形是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据图形，估计乙流水线生产的A 产品的该质量指标值的中位数；（2）设某个月内甲、乙两条流水线均生产了3000件产品，若将频率视为概率，则甲、乙两条流水线生产出的合格产品分别约为多少件？【答案】（1）205.5；（2）2.100，2400． 【解析】 【分析】（1）前三组的频率之和为0.46，中位数位于第四组，设中位数为a ，列出方程级求出中位数．（2）先分别求出甲、乙流水线生产的A 产品为合格品的概率，由此能求出某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A 产品中合格品件数．【详解】解：（1）Q 前三组的频率之和为()0.0120.0320.04850.46++⨯=∴中位数位于第四组，设中位数为a ，则()2050.080.04a -⨯=，解得中位数205.5a =． （2）由题意知甲流水线随机抽取的50件产品中 合格品有：1017835++=件，则甲流水线生产的A 产品为合格品的概率是13575010P ==， 乙流水线生产的A 产品为合格品的概率是()240.0320.0480.08055P =++⨯=， 某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A 产品中合格品件数分别约为：73000 2.10010⨯=，4300024005⨯=． 【点睛】本题考查中位数求法，考查概率的求法及应用，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）237x -；（2）358；（3）1256. 【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为23112rn r r r n T C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得8n =，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式n 的展开式中，令1x =，可得各项系数和.试题解析：展开式的通项为23112rn r r r n T C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，r=0，1，2，…，n 由已知：02012111,,222n n nC C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列,∴ 12112124n n C C ⨯=+,∴ n=8 ,8231812rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）令3r =,32233348172T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, （2）令820y -=,得4r = ，5358T ∴=, （3）令x=1，各项系数和为1256. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19.某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx =-=-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，其中x ，y 为数x ，y 的平均数．【答案】（1）$ 3.421.5y x =+，甲户在2019年能够脱贫；（2）710． 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得ˆb与ˆa 的值，得到线性回归方程，取5x =求得y 值，说明甲户在2019年能否脱贫；（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解． 【详解】解：（1）根据表格中数据可得，1234542x +++==，25283235304y +++==，1125228332435317ni i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，222221123430nii x==+++=∑，所以1222153174302ˆ3.453042ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅-⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑，$5ˆ30 3.421.52a y bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程$ 3.421.5y x =+， 当5x =时，$38.5y =（百元）， 38503747>Q ，∴甲户在2019年能够脱贫；（2）设没有脱贫的2户为A ，B ，另3户为C ，D ，E ，所有可能的情况为：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共有10种可能． 其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．∴至少有一户没有脱贫的概率为710． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，属于中档题． 20.甲、乙两人射击，已知甲每次击中目标的概率为14，乙每次击中目标的概率为13． （1）两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率；（2）若制定规则如下：两人轮流射击，每人至多射击2次，甲先射，若有人击中目标即停止射击． ①求乙射击次数不超过1次的概率；②记甲、乙两人射击次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）12；（2）①58，②分布列见解析，218． 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率的公式计算即可， （2）①利用互斥事件的概率的公式计算即可②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．列出分布列，求出数学期望． 【详解】解：（1）事件A =“甲每次击中目标”，事件B =“乙每次击中目标”． 故两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率()1111111432P P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”， 所以乙射击次数不超过1次的概率()3235114348P P A B A =-⋅⋅=-⨯⨯=； ②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．7分()()114P P A ξ===， ()()3112434P P A B ξ==⋅=⨯=，()()321134348P P A B A ξ==⋅⋅=⨯⨯=，()()323344348P P A B A ξ==⋅⋅=⨯⨯=， 则分布列为：故甲乙射击总次数ξ的数学期望为：()111321123444888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题． 21.已知函数()()()32211,3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=.（1）求a ，b 的值；（2）若函数()()()212g x f x c x x =+++在区间()1,2上单调递增，求实数c 的取值范围．【答案】（1）183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）c ≥． 【解析】 【分析】（1）由导数的运算法则可得22()21f x x ax a '=-+-．由于函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．可得()()1211f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，解出即可；（2）首先求出()g x 的导数，依题意，任意()1,2x ∈使不等式()2220g x x cx '=++≥恒成立，即任意()1,2x ∈时，22x c x +≥-恒成立．记()2x x xϕ=+，利用导数研究()x ϕ的单调性，求出()x ϕ的最小值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()2221f x x ax a '=-+-由()()1112f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩得22210803a a a a b ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩即183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）由（1）得()3218233g x x cx x =+++，()222g x x cx '=++ 依题意，任意()1,2x ∈使不等式()2220g x x cx '=++≥恒成立 即任意()1,2x ∈时，22x c x+≥-恒成立． 记()2x x x ϕ=+，则()222221x x x xϕ-'=-=，(x ∈时，()0x ϕ'<，)x ∈时，()0x ϕ'>所以()x ϕ在(上递减，在)2上递增，()minx ϕϕ==．2c ∴-≤，c ∴≥【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线方程，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.已知函数()()2ln 1f x x a x =+-，其中0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()21ln 202f x -<<． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据a 的范围，解出关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； （2）求出2222222()(1)2(1)f x lnx a x lnx x =+->+-，令2()2(1)g x lnx x =+-，1(1)2x <<，根据函数的单调性证明出结论即可．【详解】解：（1）()2ln 2f x x ax ax a =+-+Q ，()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'∴=+-=>当2a >时，()248420a a a a ∆=-=->，即时，令()0f x '=，得：1x =2x =， ()f x ∴的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．（2）由（1）可知()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'=+-=>，①当()248420a a a a ∆=-=-„即02a <„时，()0f x '>，()f x ∴的单调递增区间是()0,∞+，此时()f x 不存在极值，②当()248420a a a a ∆=-=->时，即2a >时，令()0f x '=得1x =2x =；()f x ∴的单调递增区间是()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．则()f x 在1x x ==2x x =处取得极小值，因为2a >，所以2202a a a <-<，0a <<，所以21x <证明：()f x Q 在()2,x +∞单调递增，且21x <，()()210f x f ∴<=， ()f x Q 有两个极值点1x ，2x ， 2a ∴>，2112x ∴<<．()()()2222222ln 1ln 21f x x a x x x =+->+-，令()()2ln 21g x x x =+-，112x ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ()()()2211410x g x x x x-'=+-=> ()g x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()11ln 222g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()21ln 22f x ∴>-，综上可知：()21ln 202f x -<<． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，属于中档题．。