数学分析试题库证明题

合集下载

数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学

姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题号一二三四五六七八总分复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
第2页共2页 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数

数学分析试题及答案解析

2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1。

若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（)。

3。

若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).4。

若收敛，则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分,共15分）1.若在上可积,则下限函数在上( ）A.不连续B. 连续C。

可微D。

不能确定2。

若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A。

在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。

在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定。

3.级数A。

发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。

设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若，则级数一定收敛；B。

若，则级数一定收敛;C。

若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5。

关于幂级数的说法正确的是( ）A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。

的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。

在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1。

2。

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。

2。

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

(本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

数学分析证明题练习

数学分析证明题练习1. 证明题一题目证明：两个实数的和与积的大小关系。

解答设两个实数为$a$和$b$，其中$a\geq b$。

证明两个实数的和大于等于它们的积，即$a+b \geq ab$。

根据已知条件，我们有：$$a \geq b \quad \text{(1)}$$$$ab \geq b^2 \quad \text{(2)}$$根据(1)式，两边同时加上$b$，得：$$a+b \geq b+b$$化简得：$$a+b \geq 2b \quad \text{(3)}$$根据(2)式，两边同时加上$b^2$，得：$$ab+b^2 \geq b^2+b^2$$化简得：$$ab+b^2 \geq 2b^2 \quad \text{(4)}$$由于$a \geq b$，所以$(3)$式和$(4)$式成立，即：$$a+b \geq 2b$$$$ab+b^2 \geq 2b^2$$将上述两个不等式相加，得：$$(a+b) + (ab+b^2) \geq 2b + 2b^2$$化简得：$$a+b+ab+b^2 \geq 2b+2b^2$$再次化简得：$$a+b+ab+b^2 \geq 2(b+b^2)$$由于$(a+b)$和$(ab+b^2)$皆大于等于$2(b+b^2)$，所以可以得出结论：$$a+b \geq ab$$综上所述，两个实数的和大于等于它们的积。

2. 证明题二题目证明：若$f(x)$为可导函数，并且$f'(a) > 0$，则在点$a$的某个邻域内，$f(x)$严格单调递增。

解答根据函数可导的定义，我们有：$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$由于$f'(a) > 0$，则存在一个正实数$k$，使得$0 < k < f'(a)$。

根据上述条件，我们可以找到一个正实数$\delta$，使得对于所有满足$0 < |x-a| < \delta$的$x$，有：$$\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right| < k$$根据定义，上式可以化简为：$$-\delta < \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a) < \delta$$移项得：$$-\delta(x-a) < f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) < \delta(x-a)$$再次移项得：$$f(a)+f'(a)(x-a)-\delta(x-a) < f(x) < f(a)+f'(a)(x-a)+\delta(x-a)$$ 化简得：$$f(a)+[f'(a)-\delta](x-a) < f(x) < f(a)+[f'(a)+\delta](x-a)$$由于$f'(a)-\delta > 0$，所以函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内严格单调递增。

第三学期数学分析(3)试卷

一、填空题(每空3分，共24分)1、设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。

5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。

提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。

5、利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

数学分析9定积分总练习题

第九章定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ，则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa，根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)，即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个，对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。

数学分析试题

测试题第一章实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下：（1）()x e x f =；（2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

(数学分析习题内容)第二章

第二章数列极限习题2．按 N 定义证明：limn1n 1〔 1〕 nn111N1证明由于n 1n 1n，因此0 ，取，nN ，必有n1 1lim n 1n1nn 1.故 nlim 3n 2n3〔 2〕 n2n 2 123n 2 n 32n 3 2n 3n 5n 5 3证明由于 2n 2 122(2n 2 1) 2( n 2 n 2 1) 2n 22n nNmax{ 1, 3}3n 2 n3 3(n1)，于是0 ，取，nN ，有2n2 12n. 因此2lim 3n 2 n3n2n12lim n!n n〔 3〕 nn! 0n! n(n 1) 1 n 1 2 1 1证明由于n nn n n nnnn nn，于是0 ，取N1n!1lim n! 0nN ，必有 n nn.，因此 n n nlim sin n〔 4〕 nsinn 0 sinnn，于是NnN ，必有证明由于，取，sinn 0n.lim sinn因此 nlim n 0 (a 1)〔 5〕 n a n证明由于 a1 ，设a1 h (h 0) ，于是a n(1 h) n 1 nh n(n 1) h 2h nn(n 1) h 222 ，从而nnn2a n a nn(n 1) 2( n 1)h 22N12h0 ，取h2n N ，，因此，n2n有an (n 1)h2lim.故na n3．依照例 2，例 4 和例 5 的结果求出以下极限，并指出哪些是无量小数列：lim 1lim n 3lim1n3〔 1〕 nn；〔 2〕 n；〔 3〕nlim1lim 1nlim n 10lim 1nnn2；〔 7〕 n2〔 4〕 n3 ；〔 5〕；〔 6〕 nlim 1 lim 1 011 的结果， a解〔〕 nn nn 2〔用例〕，无量小数列22 .1lim n 3 15 的结果， a3 〕〔 2〕 n，〔用例lim 12 的结果， a3 〕，无量小数列 .〔 3〕 n n 3 ，〔用例11n1lim lim4 的结果， q3n3〔 4〕 n n，〔用例 3 〕，无量小数列 .11 n1limlimq〔 5〕n2nn2，〔用例 4 的结果，2〕，无量小数列 .lim n 10 15 的结果， a10 〕.〔 6〕 n，〔用例lim 1 lim n 11a1n 22〔 7〕 n n,〔用例 5 的结果，2 〕 .lim a nak lim a n ka4．证明：假设n，那么对任一正整数，有 k证明 lim a na0, N0, nN , | a n a | ，于是，当 kN由于 n，因此时，必有 nk N ，从而有 | an ka |lim a n k a .，因此k5．试用定义 1 证明：1为极限；〔 2〕数列{ n (1) n} 发散 .〔 1〕数列 n 不以 1证明〔用定义 1 证明〕lim a na0 ，数列 { a n }不以 a 为极限〔即 n〕的定义是：N 0 ，nN ， | an 0a |10 ，取 nN2 N ，有2 ，N〔 1〕取1 111N 1N 1 1 01n 0N 2N22(N1)2n，故数列不以 1为极限.1 1另证〔用定义1’证明〕取 2 ，那么数列n 中满足 n2 的项〔有无量多个〕1显然都落在 1 的邻域 U (1;0 )(1 2,3 2) 之外，故数列n 不以 1为极限.〔 2〕数列 { n(n1 1}，对任何 a1，那么数列 { n (n1)} ={1, 2,3,4,5, 6,R，取1)}中所有满足 “ n 为偶数，且na1〞的项〔有无穷多个〕，都落在a 的邻域nnU ( a;0 )(a 1, a 1) 之外，故数列 { n( 1)} 不以任何数a 为极限，即数列 { n( 1)} 发散.( 1)n16．证明定理，并应用它证明数列 n的极限是 1.定理数列 { a n }收敛于 a 充要条件是：{ a na} lim a na为无量小数列 . 〔即n的充lim (a na) 0要条件是 n〕证明lim a n a0, N0, nN〔必要性〕设 n，由数列极限的定义，| a na | | (a n a) 0 |lim (a na) 0，因此 n.〔充分性〕设lim (a n a)0, N0, nNn，由数列极限的定义，| (a na) 0 | | a na |lim a na，因此 n.，有，有1 ( 1) n1 ( 1) n1( 1) n下面证明：数列n的极限是 1. 由于nn 是无量小数1( 1) nn列，因此数列的极限是 1.lim a nalim | a n | | a |当且仅当 a 为何值时反之也成立？7．证明：假设n，那么n.证明lim a na，由数列极限的定义， 0,N0,n N ，设n| a n | | a || a n a |lim | a n | | a | 但此结论反之不用然成立，比方数列，因此也有 n. {( 1) n } .当且仅当 a = 0 时反之也成立 .lim | a n | 00,N 0,n N ，设n，于是| a n | | a n |lim a na，因此 n.8．按N定义证明：lim ( n 1n )lim 1 2 3nn 3〔 1〕 n；〔2〕 nn 1,n 为偶数a nnn 2 nlim a n1n 为奇数n〔 3〕n，其中| n 1n |11N1n 1nn .0 ，取 2 ，证明〔1〕由于于是| n 1n |1lim (n 1 n)n N ，必有n，从而 n.1 2 3n n(n 1) n 1 n n1〔2〕由于n32n32n 22n 2n ，于是0，取N11 2 3n1lim12 3N ，必有n30n， n，因此n n3| a nn 1111 |n〔 3〕由于当 n为偶数时，n| a n1|n2n n 2n n11n1当 n为奇数时，n n n2n n管 n| a n 1 |1N1，n 为偶数还是奇数，都有n .于是0 ，取| a n 1 |1lim a n 1 n，因此.n习题1．求以下极限：1lim0 ，可得⑴依照例 2 n n a， a n，故不N，必有lim n333n 2 n4n2nlim12nn 2⑵ n 113111n n3lim3n42134n2n312lim ( 2)n n n⑶依照例 4lim q n01，可得n， | q |(2)n n (2)n11lim3lim3n 1n 123n( 2)3n n 13 (33)lim (n2n n) limn2n lim11n nn n n112⑷1n这是由于由例 1lim a n a lim a n a lim (1 1 )1假设n，那么n. 于是由n n，得lim 1111nn.lim ( n 1n 2n 10 )10lim n a1a0 〕⑸ n，由于n〔11 11112n2 1 1lim 2222 nlim 22n11 1 n1 1 3323n1 3n31 1⑹3lim a n alim b nb a b .证明：存在正数，使适合 nN 时，有2．设 n，n，且Na n bn.aa b blim a na a b证明由 ab ，有 2.2 ，由保号性定理，存在由于 na blim b nba bN 1 0 ，使适合nN 1a n22时有. 又由于 n，因此，又存在N 2，使适合nN 2b n a b于是取Nmax{ N 1, N 2}，当 n时有2 . N 时，有ab b na n2.3．设{ a n }为无量小数列，{ b n }为有界数列，证明：{ a n b n }为无量小数列 .证明由于{ b n }为有界数列，因此存在 M0 ，使得| b n|M , n 1, 2,. 由 { a n } 为0,N 0,| a n |M. 从而当nN时，有无量小数列，知n N ，| a n b n | | a n | | b n |M Mlim a n b n，因此n，即 { a n b n } 为无量小数列 . 4．求以下极限lim1 11lim 1 1111112 23n(n 1)1223n n 1nnlim 11 1n 1〔1〕n1 1 1 1 11 248n2 4 8nn2 2 2222 2221 〔 2〕由于2 2n，而111lim 22n11 2 2n2nn21 (n)，于是n，从而lim2 42 822 n2lim221nn22 n〔3〕lim 132n 1 222 nn2lim 5 57 732 2 2 2 2n2111〔 4〕当 n 2时， 2nlim n1 11以 nn.11n2(n1)2〔 5〕由于9 2n 1 2n 332n 3 3232 n 1 2n lim2nn1n1 n11 n1lim n 1 lim n 11，2n，而 n 2 n，所1 n 11 1 0, (n)(2n)2n2nn2，因此lim111 0n2(n1)2 (2n)2nn111nn1〔 6〕由于n 2 nn 2 1n 2 2n 2 nn 21n 2，limnlim1121nn nn 1且n，因此lim1111n 2n 2n 2n12n5．设{ a n } 与{ b n }中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明{ anb n }是发散数列 .a n(b n 0)又问 { a n b n } 和bn可否必为发散数列 .证明〔用反证法证明〕不如设 { a n }是收敛数列，{ b n }是发散数列 .假设数列{ anb n }收敛，那么b n(a n b n )a n收敛，这与{ b n }是发散数列矛盾，因此，数列{ anb n }发散 .同理可得数列{ a nb n }发散 .a n (b n0){ a n b n }b n{ a n }{ b n }和不用然是发散数列 .比方，假设是无量小数列，是有a n (b n0){ a n b n }b n界的发散数列 . 那么和是无量小数列，自然收敛 .b n(a n0)lim a na 0 {b n }{ a n b n }a n但是，有以下结果：若是 n是发散数列，那么和，必然是发散数列 .6．证明以下数列发散：( 1) n n〔 1〕 n 1a n( 1)nn a2n2n 1, ( n)a2 n 12n 1 1证明设n 1 ，那么2n1，而2n，( 1) n n由，定理知n 1 发散 .（2〕 n ( 1)n证明n (1)n的偶数项组成的数列a2n2n，发散，因此n (1) n发散 .cosn〔 3〕4a ncosna8n11, (n)，子列证明设4 ，那么子列a8n 411, ( n)，故 cosn4 发散 .7．判断以下结论可否成立〔假设成立，说明原由；假设不成立，举出反例〕：〔 1〕假设 { a2k 1 } 和{ a 2k }都收敛，那么{ a n }收敛 .解结论不用然成立. 比方，设a n( 1) na 2k1，a 2k 11都收敛，但，那么a n (1) n 发散 .注假设 { a 2k1}和{ a 2 k }lim a 2k 1 lim a 2 k〕，那么 { a n } 收敛 .都收敛，且极限相等〔即 kk〔 2〕假设 { a 3k 2 } ， { a 3k 1 }和{ a 3k }都收敛，且有同样的极限，那么{ a n } 收敛 .证明lim a 3 k 2 lim a 3k1lim a 3 ka0 ，设 kkk，那么由数列极限的定义，知K 10 ，kK 1 ， | a 3 k 2 a |；同样也有 K 20 ， k K 2 ， | a 3 k1a |；K 30 ，kK3，| a3ka |. 取Nmax{ 3K 1 , 3K 2 , 3K 3 } ，当 nN 时，对任意的自然数 n ，假设 n 3k 2 ，那么必有kK 1 ，从而| a na |；同样假设 n 3k 1，那么必有kK 2 ，从而也有| a na |；假设n3k ，那么必有kK 3 ，从而 | a na |. 所lim a na以k，即{ a n }收敛 .8．求以下极限：lim1 32n 1〔 1〕 k2 4 2n0 1 3 5 2n 12 4 6 2n解由于1 352n 32n 1113 355 7( 2n 3)(2n 1) ( 2n 1)(2n1)2n 1lim11 3 2n 1lim0而k2n1，因此 2 42nk1 32n11 32n12 42n Sn，设另解由于242n 3 52n1 2 42n ，2 4 2n11T n2n 1 ，那么SnTn .于是S n S n T n S nS n3 52n 1 ，因此2n 1 .〔 2〕答案见教材提示 .lim [( n 1)n ], 01〔 3〕 k(n1)nn [(1 1 ) 1]n [(1 1 ) 1]解nn n1 0, (n)nn 1lim [( n 1)n ]因此， k另解由于1 0 ，因此(n1) 1n1 ，于是(n 1)n1(n 1)nn1，从而(n 1) nn10, (n) .〔 4〕答案见教材提示 .9．设a 1, a 2 ,a m为 m 个正数，证明：lim n a 1n a 2na n nmax{ a 1 , a 2 ,a m }n证明由于 max{ a , a , a}n a n a na nnn max{a , a ,a }12m12n12mlim n n1lim n a 1n a 2na n n max{ a 1 , a 2 ,a m }而n，因此nlim a na10．设 n，证明：lim [ na n ]a〔 2〕假设a0, anlim n a n 1n〔 1〕 n；，那么 n.〔 1 〕因为[ na n]nan[ na n ] 1na n 1 [na n ]a n证明，所以nn. 由于lim na n 1lim a n 1a[ na n ]nnlim a nalimannn，且n，从而n.lim a na0 ，使适合 na a n3 a 〔 2〕由于 n，由定理，存在 NN 时，有22 .na na nn3alim n a lim n 3 a 1limna n 1于是22，并且 n2n2，因此 n.习题1nlim 1 en1．利用 n 求以下极限：nn1 n11lim 11limnlimn1n 11ennn11〔 1〕n 1 n 1n 1n1 lim1lim1111e〔 2〕 nnnnn1n 1n11lim1n e1lim1 nn 1n1〔 3〕n 11 n1lim 1lim 12n2n〔 4〕n n2 n 12n21lim 1en2nlim a n a0, n 1, 2, ，那么注：此题的求解用到事实〔例 1 〕：假设n，且anlim a na. nnlim 11n 2〔 5〕 n1 n1解由于数列n单调增加，且有上界3 ，于是1 n 1 n 21 1n 1n 31, (n)n 2n 2，因此n lim 11 1n 2n2．试问下面的解题方法可否正确：求 lim 2nn解不正确 .lim 2nlim 2n由于极限 n可否存在还不知道〔事实上极限n不存在〕，因此设lim 2nan是错误的 .3．证明以下数列极限存在并求其值：〔 1〕设 a 12, a n 12a n , n1, 2,证明先证数列{ a n }的有界性，用数学归纳法证明： 2是{ a n }的一个上界 .a 122 ，假设an2 ，那么 a n12a n 2 22，因此{ a n }有上界2.an 1a n2a n a na n ( 2 a n ) 0an ，其次证明{ a n }单调增加 .lim a n a2a na n，因此an 1即{ a n }单调增加 .从而{ a n }极限存在，设2 2a n的两端取极限，得n，在an1a 22a，解之得 a = 0 (舍去) 和2lim a n2，因此n.an 12a n 2 2 1注：{ a n }的单调增加也可以以下证明：a na na n2，因此an 1an .1 1 1 1 1 1 1还可以以下获取：a n 2 2 42n2 2 42n2n 1an 1〔 2〕设 a 1c (c 0), a n 1 c a n , n 1, 2,证明先证数列 { a n } 的有界性，用数学归纳法证明：{ a n }的一个上界是1 +c .a 1c1 c ，假设 an1 c ，那么an 1c a n2c1c 22c 11 c ，因此{ a n }有上界 1 + c .其次证明{ a n }单调增加〔用数学归纳法证明〕. a 1ccc a 2 ，假设an 1a n ，于是c a n 1 c a n ，从而c a n 1c a n ，即 a nan 1. 故 { a n } 单调alim a n2 ca n的两端取极限，得2因此{ a n }极限存在，设 nac a ，增加 . ，在an 1a 11 4clim a n 2解之得2 . 由于n，因此a >0 . 故 n.a >cna n(c 0), n 1, 2,〔 3〕n!证明先证{ a n }从某一项今后单调减少. 取自然数N 使得 N > c ，于是当nN时，c n 1cc nccan 1(n 1)! n 1 n!n 1anN1ana n ，即从第 N 项开始 { a n } 单调减少 .由于{ a n }的各项都大于零，因此{ a n }有下界0.从而{ a n }极限存在 .lim a na设n，an 1clim a nn a n的两端取极限，得a0 a ，故 a在10 ，即 n.1 nn111nn 14．利用为递加数列的结论，证明为递加数列 .1 nn 2na n 1，要证：a na n , n 2, 3,n1n1 1证明设，即1nnn 11111n1由于为递加数列，因此有nn 1，n nn2n 11即nn 1，于是n 1n 1n n 2 nn 2 n n 2na n 1 n 1n 2a nnn 1n 1n 1n 1 n 1n 1.n 2 nn(n 2) 1n 1 n 1(n 1) 2其中用到事实：.5．应用柯西收敛准那么，证明以下数列{ a n }收敛：a nsin 1sin 2sin n2222n〔 1〕证明不如设 nm ，那么有| a nsin( m1)sin( m 2)sin na m |2m 12m22nsin(m 1) sin( m 2)sin n 111 2 m 12 m 22 n2 m 1 2m 22n1 11 1 1 11112m 1 2 2 n m 1 2 m 1 2 2 n m 1 2n m1 21 12m 1 2mmN 1， n, mN ，有 | a n a m |{ a n } 收敛 .因此，0 ，取，由柯西收敛准那么，a n1 1112232n 2〔 2〕证明不如设nm，那么有| a n a m |1111) 2(m2) 2n 2(m111 m( m 1) (m 1)( m 2)(n 1)n1111 111 11m m 1 m 1 m 2n 1 n m n mN1n, mN ，有| ana m |，由柯西收敛准那么，{ a n}因此，0 ，取，收敛 .6．证明：假设单调数列 { a n }含有一个收敛子列，那么{ a n }收敛 .证明不如设 { a n } 是单调增加数列，{ a n k }是其收敛子列 . 于是{ a n k }有界，即存在M 0 ，使得a nkM , k 1, 2,. 对单调增加数列{ a n }中的任一项a m必有a ma m kM ，即 { a n } 单调增加有上界，从而收敛 .lim a nl1lim a n7．证明：假设a n，且 na n1，那么 nlim a n l 1lima nlr 1a n 1a nnn1证明由于，因此存在 r 使得. 于是由数列极限a nr的保号性定理〔〕，存在 N0 ，当 n N 时，an 1，anran 1 .从而有a N1ra N 2r 2a N rn N10a na N10, (n)r n N 13a n，因此，，故lim a n0 n.8．证明：假设 { a n }为递加有界数列，那么lim a n sup{ a n }；假设 { a n }为递减有界数列，nlim a ninf{ a n }又问抗命题成立否？那么n.证明证明过程参照教材，定理〔单调有界定理〕.1n 为奇数a n1n 为偶数 lim a n sup{ a n }1抗命题不用然成立 . 比方数列1n ，n，但{ a n }不只一 .9．利用不等式b n 1a n 1( n 1)a n (b a), ba，证明：n 11 n1 11nn为递减数列，并由此推出为有界数列 .n 1a n11b n 1a n 1( n 1) a n ( ba ) ，有证明设n，由不等式b n 1a n 1na n b na n 1a n ba n 1 ，于是b n1na n b na n 1 a n b ，bnnananna n 1 b .a 1 1 n 1, b 1 1n n， ba ，得在上式中令n n n 1 11nn na n 11n 1n1n n 1nn 1 nn n 1n1 n 1 nnnnn nn 1 n1 n 1 n n 1 n 1a nnnnn1n 11即an1an，故n为递减数列 .nn 111 n11111141nnn1为有界数列 .而，因此e(1 1 ) n310．证明：n n1 n 11n证由上题知为递减数列，于是对任何mn有，n 1 1 111nnm 1，令m，取极限得，1 n 11en①n 1nnn1 111 11 11 3 1 1又由于 n nnn n n②n 1 3 ne1111n nn由①、②得，从而e (11 ) n e (11 )n 3nn na 2a 1b 111．给定两正数a 与b (a >b ) ，作出其等差中项2 与等比中项1111b 2a 1b1 ，一般地令a na nb n，bna nb n , n 1, 2,121lim a nlim b n证明： n与 n皆存在且相等 .由于a1b 1，因此有 a n 1a nb n a n a na n，即{ a n }单调减少 .证明22同样可得{b n }单调增加 .a 1a n 1a nb na nb nb n 1b 1{ a n }单调减稀有2于是有，即下界，{b n }单调增加有上界，故 lim a n lim b n皆存在 .n与n在 2a n1anb n的两端取极限，可得lim a n lim b nnn12．设{ a n }为有界数列，记ansup{ a n , a n 1 , } ， a n inf{ a n , a n 1 ,}证明：⑴ 对任何正整数 n ，a nan ；⑵{ a n }为递减有界数列，{ a n } 为递加有界数列，且对任何正整数n ， m 有ana m ；⑶ 设 a 和a分别是{ a n}和 { a n }的极限，那么aa ；⑷{ a n }收敛的充要条件是 aa证 ⑴ 对任何正整数 n ，a nsup{ a n , a n 1 ,} a ninf{ a n , a n 1 , }a n⑵ 由于a nsup{ a n , a n 1 , } sup{ a n 1 , a n 2 ,} a n 1 ，n1, 2,，因此 { a n }为递减有界数列 .由 a ninf{ a n , a n 1 , }inf{ a n 1 , a n 2 , }a n 1，知{ a n }为递加有界数列 .对任何正整数n ， m ，由于 { a n}为递减有界数列，{ a n }为递加有界数列，因此有a na n ma n ma m .n ， m 有anam ，令 na lim aam，即 aam ，⑶ 由于对任何正整数得，nn令 malim a maa .得m，故 a⑷ 设 { a n }lim a n a. 那么0 ， N 0 ， n N ， | a na |，收敛， na a n a.于是有aa na，从而 a lim a n a.同理可得nalim a naan，因此 a反之，设aa .lim a n alim a n a a0， N0 ， n N ，由 n， n，得有aa n a及aa n a，从而aa n a n a n a总练习题1．求以下数列的极限：lim n n 3 3n〔 1〕 n解当 n3 时，有 n 33n ，于是3n3nnn33nn2 3n3 n23,(n)，因此lim n n 3 3n3nlim n 5〔 2〕 n e n解设 e 1 h ，那么当n6 时，e n(1 h)n1 nh n(n 1) h 2h nn(n 1) ( n 5) h 62!6!，于是555n6! n0, ( n)limnnn(n 1)( n 2)(n 3)(n6e4)( n 5) h，因此 ne na nn 5lima nn 5 e n 1e 1e n lim n( n 1) 5解法 2 用习题 7的结论.设， nan 1ne，从而limn 5lim a ne nnn.n 5lim ( nn )5lim n 1 5nen(e )解法 3 用习题 2⑸的结果a nn5an 11 (1 1 5解法 4 用单调有界定理.e na ne ). 因为令，那么nlim (1 1) 5 1 e(1 1 )5enn ，因此存在 N 0 ，当 nN 时， n，从而当 nN 时，a n 1 1 (1 1 5 1) N 起数列{ a n}递减，且有下界 0，因此{ a n }收敛 .a ne n. 于是从 n设lim a naa n 11(11) 5 a n的两端取极限，得 a 1 a0 .n，在等式ene ，因此 alim ( n 22 n 1 n )（ 3〕 nlim ( n 2 2 n 1n ) lim [( n 2n 1) ( nn 1)]解 nn11limnn 2n 1n 1n2．证明：lim n 2 q n 0 (| q | 1)（ 1〕 n 证明当 q 0 时，结论成立 .1111 h, hq n1当| q | 1时，有 | q |(1 h) n，令 | q |，于是有，而由牛顿n(1 h) nn(n 1)(n2) h 3二项式定理，当3 时有3!，从而0 n 2 q nn 2 n 20 (n)(1 h) n n(n 1)(n 2)h 33!，因此lim n 2 q nnlim n 2 q n lim (n)2 (sgn q) nnn( 1 ) n另解用习题 2⑸的结果| q |lim lg n0, (1)〔 2〕 n n证明由于 lg xx, x 0 ，于是lg n 2 lg n2 n 20, (n)lg nnn n1n2limn，因此 n .lim 1〔 3〕 n n n!n nn!证明先证明不等式：3.nnn!n 1时，显然不等式成立；假设 3 成立，当 n + 1用数学归纳法证明，当时nn 1 nn(n 1)! (n 1) n!(n 1)n (n 1) n33n1n 1 n 13 3n11nn 1n 1 3n1 31n) limn!nn! 0, (nn故不等式3成立.由此可得n，因此 nn!另解用数学归纳法证明不等式：nn!nlim a na3．设n，证明：lima 1a 2a nalim a na〔 1〕 nn〔又问由此等式可否反过来推出n〕证明lim a n a0, N 1 0, n N 1 ，| a n a |2. 从而当由于 n，于是有nN1 时，有a 1a 2a naa 1 a 2a n nan n| a 1 a | | a 2a | | aN 1a || aN 11a | | a N 1 2 a || a na |nn A n N 1 Ann2n 2A | a 1a | | a 2 a || aN 1a |limA其中是一个定数 . 再由 nn，知存在AN 2，使适合nN2 时， n2 . 因此取Nmax{ N 1, N 2 }，当 nN 时，有a 1a 2a na Ann222.na 1 a 2a n. 比方an( 1)limn反过来不用然成立不收敛，但 n.lim a nlim a 1 a 2a n 练习：设 n，证明： n n(2) 假设an0 (n1, 2,lim n a 1a 2 a n a)，那么 n证明先证算术平均值—几何平均值—调停平均值不等式：nna 1a 2a n a 1 a 2a n1 1 1na 1a 2a nna 1a 2a na 1 a 2a n算术平均值—几何平均值不等式：n1 a 1 a(a 1 a 2 )22a 1a2 时成立 .2对任何非负实数a1 ，a2 有，其中等号当且仅当由此推出，对4 个非负实数a1 ，a2 ，a3 ，a4 有1111 (a11( a 1a 2 a 3a 4 )4[( a 1a 2 ) 2 (a 3a 4 ) 2 ]2a 2 a 3a4 )2a 1a 2a 3a 42222a 1 a 2 a 3a 424na 1a 2 a n a 1 a 2a n按此方法连续下去，可推出不等式n对所有n2k〔k 0, 1, 2,〕都成立，为证其对所有正整数n都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：假设不等式对某个 n (2)成立，那么它对 n1也成立 .设非负实数 a 1 , a 2 ,a n1( a 1 a 2 a n 1 ), a n 1 ，令n 1，那么有1a 1 a 2an 111a 1 a 2an 1(a 1a 2a n 1 )n)n(a 1 a 2)(n 1nan 1n111(a 1(a 1a 2a n 1 ) n 1a 2a n 1 )1 成立，从而整理后得n 1，即不等式对 n对所有正整数 n都成立 .nna 1a 2a n1 1 1几何平均值—调停平均值不等式a 1 a 2a n的证明，可令y i1x i ，再对 y i 〔 i1, 2,, n〕应用平均值不等式 .由 a n0 (n 1, 2,lim a n a 0lim 11假设 ana na .由上一小题的) ，知 n. 0 ，那么结论，有nna 1a 2a n a 1 a 2 a na, (n)1 11na 1 a 2a nlimnlim11a1 1111 1nn1a 1a 2a na 1 a 2a na而n，因此lim n a 1 a 2 a na.n假设alim a n0 ，那么0,N 1 0, nN 1 ， a n. 从而当 n N 1 时，0，即n有na 1 a 2 a nn a 1 a 2a NaN 1a n na 1 a 2a Nnn N 1111n N 1N 1na 1 a 2a Nnna 1 a 2 a NnA11其中Aa 1a 2a N 1N 1lim n A 12N 2，使适合，是定数，故n，于是存在n N 2 时，nA 2 . 因此取Nmax{ N 1, N 2 }，当 nN 时，有na 1 a 2 a n nAlim n a 1 a 2a n 02，故 n4．应用上题的结论证明以下各题：1 1 1 1lim 2 3 n 0〔 1〕 nn111 1 11a nlim a n limlim 2 3n证明令 n ，那么 n nn ，因此 nn.lim n a 1 (a 0)（ 2〕 n 证明令a1a ，an1, n 2, 3, lim a n1，那么 n ，从而lim n alim n a 1a 2a n lim a n 1nnnlimnn 1〔 3〕 n证明令a11， a nn , n 2, 3, lim a n 1n 1，那么 n，于是lim n n lim n 1 2 3 4n 1lim n a 1a 2a nlim a n1nn123nnn.lim1 0〔 4〕 nn n!证明a n1, n 1, 2,lim a n 0令n，那么 n，因此lim n1 lim n1lim n 111 lim1n n! n1 2 3 nn2nnnlim nenn!〔 5〕nn n 11 n 1a n1, n 2, 3,lim a n e证明n 1n 1，因此令，那么 nn n234n 1n 1lim n n lim n lim n 234 5 n limn en n!n n! n2 3 4n 1 nn 1n na n1 n 1a n, n 1, 2,limlim 1e另证n!na n 1nn 1 . 于是令，那么lim n lim n a nlim n a 2 a 3a nlima nenn n! nna 1 a 2a n 1na n 1.lim1233nn1〔 6〕 nn证明lim n n1lim 1233nnlim n n 1由于n，因此 nnnlim bn 1a (b n0)lim n b nanb n〔 7〕假设，那么nlim nb n lim n b 2 b 3 b n 1 n b 1lim n b 2 b 3 bn 1lim n b 1证明nn b 1 b 2b nn b 1 b 2b nnlimbn 11 anb nlim (a na n 1 )da n dlim〔 8〕假设n，那么nn证明设a1lima nlim a 0(a 1 a 0 ) (a 2 a 1 )(a na n 1)nnnnnlima 0lim (a 1 a 0 ) ( a 2a 1 )( a n a n 1 ) 0 lim ( a n a n 1 ) dnnnnnlim ( a n b n ) 0lim a nlim b n5．证明：假设{ a n }为递加数列，{b n }为递减数列，且 n，那么 n与n都存在且相等 .证明因为lim ( a n b n ) 0b n }有界，于是存在 M，使得n，所以 { a nM a n b nM . 从而有anMb n Mb 1 ， b n anMa 1M，因此{ a n }lim a nlim b n又因为为递增有上界数列，{ b n }为递减有下界数列，故 n与n都存在 .lim a n lim b nlim (a n b n ) 0lim a n lim b nnnn，因此nn.6．设数列{ a n }满足：存在正数，对所有n 有MA n | a 2 a 1 | | a 3a 2 | | a n a n 1 | M证明：数列 { a n } 与{ A n } 都收敛 .证明数列{ A n }单调增加有界，故收敛.由柯西收敛准那么，0, N，当m n N 时，| AmA n | . 于是| a m a n | | a ma m 1 | | a m 1 a m 2 || a n 1 a n | A m A n因此由柯西收敛准那么，知数列{ a n } 收敛 .a 0,0, a 11 a an 1 12a na n , n 1, 2,7．设a ，2，证明：数列{ a n } 收敛，且其极限为an 11a na na na n{ a n }证明因为2，故数列有下界.an 11 111a n21a n22，于是a n1a n，即数列{ a n }单调减少，从而数列 { a n}收敛 .lim a nA，由 an 11 a na n ，得 2a n a n 12，两端取极限得，设 n2 a n2 A 2A 2，解得 Alim a n .，因此 na nan 1bn 1b n2a n 1 b n 18．设a1b 1，记 2an 1bn 1 ，n2, 3,.，证明：数列{ a n } 与 { b n } 的极限都存在且等于a 1b 1 .b n2a n 1 bn 1 a n 2 1 b n 2 1 (a n 1b n 1 ) 22a n 1 bn 1a n 1b n 1a n 1bn 1a n 1bn 1证由于an 1bn 12a n 1b n 1 an 1bn 1b nb nan 1bn 1a na nbn 122, 3,1，因此， n数列{ a n }是递减的：an 1a nb na n a na n221, 2,，n。

数学分析试卷及答案6套

数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+L 收敛. 四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221limnn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x L 之和是a ，求函数u =.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22C xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部. 数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f xy z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章

第十六章多元函数的极限与连续一、证明题1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }⊂E,p ≠p 0. ∞→n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞→n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集.5. 证明:(1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集;(2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集;(3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集.6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之.7. 证明定理16.4(有限覆盖定理):8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A;2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ϕ=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→.9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 222(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.12.设f(x,y)=()()⎪⎩⎪⎨⎧=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22试讨论它在(0,0)点的连续性.13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续.14. 证明:若D ⊂R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.15. 若一元函数ϕ(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)=ϕ(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续?16. 设(x,y)=x y11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0⨯,证明f 在D 上不一致连续.17. 设f 在R 2上分别对每一自变量x 和y 是连续的,并且每当固定x 时f 对y 是单调的,证明f 是R 2上的二元连续函数.二、计算题1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。

数学分析试题库--证明题.doc

数学分析题库（1-22 章）五．证明题1．设 A， B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何a A, b B 有 a（2）对任何0 ，存在 x证明： sup A inf B.2. 设 A， B是非空数集，记S Ab ；A, y B ，使得B ，证明：Y x .（1）sup S max sup A, supB；（2）inf S min inf A,inf B3.按N 定义证明lim 5n2 n 2 5n 3n 2 2 34. 如何用ε -N 方法给出lim a n a 的正面陈述？并验证| n2 | 和 | ( 1)n | 是发散数列 .n5. 用方法验证：limx 2 x 23 . x( x 2 3x 2)x 16．用M 方法验证：lim x 1 .x x21 x 27 . 设lim ( x) a ，在 x0某邻域 U ( x 0 ;1 ) 内( x) a ，又 lim f ( t) A .证明x x0 t alim f ( ( x)) A .x x08. 设f (x)在点x0 的邻域内有定义 . 试证：若对任何满足下述条件的数列x n，（1）x n U ( x0 ) ， x n x0，（2）0 x n 1 x0 x n x0，都有 lim f ( x n ) A ，n则 lim f ( x) A .x x09.证明函数x3 , x为有理数，f (x)0, x为无理数在 x00 处连续，但是在x00 处不连续.10. 设f ( x)在（ 0，1）内有定义，且函数e x f (x) 与 e f ( x)在（0，1）内是递增的，试证 f (x) 在（ 0， 1）内连续 .11. 试证函数 y sin x 2 ，在 [0, ) 上是不一致连续的.12. 设函数 f (x) 在（a,b）内连续，且 lim f ( x) = lim f ( x) =0，证明 f ( x) 在（a,b）内有最x a x b大值或最小值 .13. 证明：若在有限区间（ a,b ）内单调有界函数 f (x) 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的 .14 . 证明：若 f (x) 在点a处可导，f（x）在点a处可导.15. 设函数 f (x)在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若f (a) f (b) 证明，对一切 x (a, b) 均有f (x) < f (a) f (b)16. 设函数 f ( x) 在 [a, ] 内可导，并且 f (a) < 0 ，试证：若当 x (a, ) 时，有f (x) > c > 0 则存在唯一的(a, ) 使得 f ( ) 0 ，又若把条件 f ( x) > c 减弱为f / (x) > 0(a < x <+ ) ，所述结论是否成立？17.证明不等式e x 1 x x2 ( x 0)218. 设f为( , ) 上的连续函数，对所有x, f (x) 0 ，且lim f (x) lim f ( x) 0 ，x x证明 f (x) 必能取到最大值.19. 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导, 且 f (0) 0 ， f (1) 1， f (0) f (1) 0 ，则存在c (0,1) 使得 | f (c) | 2 .20.应用函数的单调性证明2xsin x x, x (0, );2m 1 0（ m 为实数），21. 设函数f ( x) x sin x , x0, x 0试问：（1） m 等于何值时， f 在 x 0 连续；（2） m 等于何值时， f 在 x 0 可导；（3） m 等于何值时， f 在 x0 连续；22. 设 f (x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足条件 f (x) a ， f (x) b ，其中 a, b 都是非负常数， c 是 (0,1) 内的任一点，证明f (c)2ab223. 设函数 f ( x)在[ a, b] 上连续，在（ a,b ）内二阶可导，则存在 (a, b) 使得f (b) 2 f (a b)f (a)(b a) 2 f ( )2424. 若 f (x) 在点 x 0 的某个领域上有 (n 1) 阶连续导函数 , 试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式 .25. 用泰勒公式证明 : 设函数 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 a, b 内二阶可导 , 则存在( a, b) ,使得f (b)a b)(b a) 2f ' '( ) .2 f (f ( a)4226. 设函数 f ( x) 在 0,2 上二阶可导 , 且在 0,2 上 f (x) 1 , f ' ' (x) 1. 证明在 0,2 上成立f '' (x)2 .27. 设 f 是开区间 I 上的凸函数 , 则对任何 ,I , f 在 ,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在 L>0 , 对任何 x ' , x ' ', ,成立f ( x ' ) f ( x) '' L x 'x ''.28. 设 f (x) 在 [ a, ] (a 0) 上满足 Lipschitz条件： | f (x) f ( y) | k | xy |, 证明f (x) 在 [ a, ] 上一致连续 .x29. 试证明方程 xnx n 1x 1在区间 ( 1,1) 内有唯一实根。

数学分析练习题

数学分析练习题函数函数概念1．证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ； (2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++）. 2．求证 ||||||1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + +.3．求证||max(,)22a b a b a b + -=+ ； ||min(,)22a b a b a b + -=- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.8．判别下列函数的奇偶性： (1) 42()12x f x x = + - ；(2) ()sin f x x x = + ；(3) 22()x f x x e - = ；(4) ()lg(f x x = .9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：(1) 2()cos f x x = ； (2) ()cos sin 23x xf x = +2 ；(3) ()cos f x x π= 4；(4) ()f x . 10．证明 2()1x f x x=+在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21()f x x =在(0,1)无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和.14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上 (1) ()f x 不是奇函数；(2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.复合函数与反函数1．设()1x f x x 1-=+，求证 (())f f x x = . 2．求下列函数的反函数及其定义域： (1) 112y x x x= (+) , 1 < < +∞ ；(2) 12x x y e e x - = ( - ) , -∞ < < +∞ ；(3) 2,1,,4,2,4.xx x y x x x -∞ < < ⎧⎪= 1≤ ≤⎨⎪ < <+∞⎩3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数.4．设2,0,1,0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ⎧⎧ = = ⎨⎨ > - > ⎩⎩求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设()f x ，求n f ff x () () 次.6．设 ()|1|||f x x x + - 1 - ＝，试求n f ff x () () 次.7．设 1()f x x =1-，求(())f f x ，((()))f f f x ，1()()f f x .初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1) ||y x = ； (2) []y x x = - ；(3) tan ||y x = ；(4) y (5) 2sin y x = ；(6) sin cos y x x = | | + | |.2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系.3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数[()()()()y f x g x f x g x 1=+ ±- ] 2的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.4．作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ； (2) 1sin y x =. 5．符号函数0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ⎧⎪= = = ⎨⎪- < ⎩试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；(2) ]22x y x ⎡⎤= [ - ⎢⎥ ⎣⎦.数列的极限1．用定义证明下列数列的极限为零： (1) 21lim 1n n n →∞+ +；(2) sin lim n n n →∞；(3) lim n n π→∞；(4) 2(1)lim nn n n →∞ + - - 1；(5) lim n →∞；(6) 10lim !nn n →∞；(7) lim 1n n na a →∞ ( > ) ； (8) !lim n n n n →∞； (9) 2123lim n nn →∞ + + + +；(10) 1lim 1n n a a n -→∞(+ ) , >. 2．用定义证明： (1) 223lim 21n n n n →∞+3= 2- ；(2) lim n →∞ 1 ；(3) lim n n x →∞ = 1 ，其中 1,1,n n n nx n n n-⎧ ⎪⎪ = ⎨+ ⎪ ⎪⎩为偶数，为奇数；(4) lim n n x →∞ = 3 ，其中 31,1(1,2,)22n n k n x n k k n n k ⎧⎪ 3 = ⎪3 + ⎪== 3 + = ⎨⎪⎪ = 3 + ⎪⎩，，. 3．用定义证明：(1) 若lim n n a a →∞= ，则对任一正整数k ，有lim n k n a a +→∞= ；(2) 若lim n n a a →∞= ，则lim |n n a a →∞|| = | .反之是否成立？(3) 若lim n n a a →∞= ，且a b > ，则存在N ，当n N > 时，有n a b > ；(4) 若lim n n a a →∞= ，且0n a >，则n .4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ∃ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N ≥ 时,有n x a ε |-|<； (2) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N > 时,有n x a ε ≤ |-|；(2) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N > 时,有n x a M ε < |-|（M 为常数）. 5．若 {}n n x y 收敛，能否断定{}n x 、{}n y 也收敛？ 6．设 (1,)n n x a y n ≤ ≤ = 2, ，且lim ()0n n n y x →∞- = ，求证：lim n n x a →∞= ，lim n n y a →∞= .7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3232321lim 32n n n n n n →∞ + - + 2 - +；(2) 11(2)3lim (2)3n nn n n ++→∞- +- + ； (3) 112lim 1144nn n→∞1 + + +2 1+ + + ； (4) lim )n n →∞+ 10 .8．求下列极限： (1) 111lim ()12(1)n n n →∞ + + + 2 3 + ；(2) 222111lim ()(1)(2)nn n n →∞+ + + + ； (3) 2lim n n →∞++；(4) 21321lim ()222nn n →∞- + + +； (5) lim (1cos n n →∞；(6) lim n →∞ ；(7) lim nn 2→∞2 ) ；(8) lim [(1)]n n n n n →∞+ - ，01a < < ；(9) lim 2n n n→∞132-124；(10) 11lim n n →∞35 (2-)；(11) lim n →∞； (12) n .9．证明：若{}n a ，{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则{}n n a b ± 是发散数列；又问{}n n a b 和(0)n n n a b b ⎧⎫ ≠ ⎨⎬⎩⎭是否也是发散数列？为什么？ 10．设(1)n n x = - ，证明{}n x 发散. 11．若12,,,m a a a 为m 个正数，证明：12lim max(,,,)m n a a a →∞.12．设lim n n a a →∞= ，证明：(1) []lim n n n aa n→∞ = ；(2) 若0,0n a a > > ，则1n.13．利用单调有界原理，证明lim n n x →∞存在，并求出它：(1) 122,x xn = 3, ； (2) 1,2,n x x n = 3, ；(3) nn c x n = （c>0）！； (4) 101,1,1,1n n n xx x n x -- = 1= + = 2, + . 14．若11,0(),x a y b a b = > 0 = > <11,2n nn n x y x y ++ + =证明：lim lim n n n n x y →∞→∞= .15．证明：若0n a > ，且1lim 1nn n a l a →∞+ = > ，lim n n a →∞ = 0.16．设lim n n a a →∞= ，证明：(1) 12lim nn a a a a n→∞ + + +=；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若0n a > ，则n a . 17．应用上题的结果证明下列各题：(1) 113lim n n n→∞11+ ++ +2 = 0 ； (2) 1(0)n a > ；(3)1n ；(4) 0n ；(5) lim n n n →∞+ += 1 ；(6) 若1lim ()n nn nba b b +→∞ = >0，则n a .18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) { ；(2) {}n！； (3) {}ln n ； (4) 113n11+ ++ + 2.19．利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+ = ⎪⎝⎭，求下列极限：(1) 1lim 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 1lim 11n n n →∞⎛⎫ + ⎪+⎝⎭； (3) 1lim 12n n n →∞⎛⎫ + ⎪⎝⎭；(4) 21lim 1nn n →∞⎛⎫ + ⎪⎝⎭.函数的极限1．用极限定义证明下列极限： (1) 2131lim 29x x x →- - = - ；(2) 2331lim 69x x x → -= - ； (3)12x → ； (4) 1(2)(1)lim 03x x x x →--= - ；(5) 23x → ；(6) 21(1)1lim 21x x x x →-= - ； (7) 23lim 9x xx →= ∞ - ； (8) 1lim 12x x x →∞-= + ； (9) 2lim 1x x xx →∞ + = ∞ + ；(10) 225lim 11x x x →∞ - = - .2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2201lim 21x x x x → - - - ；(2) 2211lim 21x x x x → - - - ；(3) 3230(1)(13)lim 2x x x x x → - + - + ；(4) 1x → ；(5) 3x → ； (6) 22356lim x x x x x → - + - 8 + 15；(7) 11lim 1n m x x x → - - （,n m 为正整数）；(8) 4x → .3．设()0f x > ，证明：若0lim ()x x f x A → = ，则0lim x x → n ≥ 2.4．证明：若0lim ()x x f x A → = ，则0lim |()|||x x f x A → = ，但反之不真.5．求下列函数字所示点的左右极限：(1) 21,()1,2,1,x f x x x x ⎧ 0 , > ⎪= 1 , = ⎨⎪ + < ⎩ 在=1x ；(2) 21sin ,(),x x f x xx x ⎧, > 0⎪ = ⎨⎪ 1+ , < 0⎩在=0x ； (3) 2||1(),1x f x x x = + 在=0x ；(4) 11()[],f x x x = - 在1=x n，n 是正整数；(5) 2,()0,,0,x x f x x x x ⎧ 2 , > 0⎪= 0 , = ⎨⎪ 1+ < ⎩ 在=x 0 .6．求下列极限： (1) 221lim 21x x x x →∞ - - - ；(2) lim x →+∞；(3) lim x x →+∞) ；(4) lim x x →-∞) ；(5) 223lim x x xx→∞ + ；(6) 2sin lim 4x x xx →+∞- ； (7) cos lim x x xx→-∞-；(8) lim x →+∞.7．用变量替换求下列极限： (1) 01lim []x x x+→ ；(2) 0lim ln (0)ax x x a +→ > ； (3) ln lim 0ax xa x →+∞( > ) ；(4) 1lim xx x →+∞.8．设()f x 在(,)a +∞ 上单调上升，lim n n x →∞= +∞，若lim ()n n f x A →∞= ，求证：lim ()x f x A →+∞=（A 可以为无穷）.9．设()f x 在集合X 上定义，则()f x 在X 上无界的充要条件是：存在,n x X ∈ 1,2,n = ，使lim ()|n f x →∞| = +∞ .10．利用重要极限求极限： (1) 0sin 2lim x xx→；(2) 220sin lim (sin )x x x → ；(3) 0tan 3lim sin 5x xx→； (4) 32sin sin lim x x xx → - 2；(5) 20cos 5cos 3lim x x xx → -；(6) 3tan sin lim x x xx → - ； (7) 0arctan lim x xx→ ；(8) 0x → ；(9) 0x → ；(10) 0cos(arccos )lim x n x n x→( )为奇数；(11) 4tan 1lim 4x x x ππ→--； (12) sin lim ,sin x mxm n nxπ→（为整数）； (13) 2cos lim 2x x x ππ→-；(14) 1lim sin x x x→+∞ ；(15) lim x →+∞；(16) lim sin (x n π→+∞( )为整数；(17) lim xx x -→∞2⎛⎫ 1 ⎪ ⎝⎭－；(18) 10lim (1)xx nx n → + ( )为整数；(19) cot 0lim (1tan )x x x → + ；(20) 101lim ()1x x x x→+ -；(21) 2132lim ()31x x x x -→+∞+ -； (22) tan 2lim (sin )x x x π→； (23) 2221lim 1x x x x →∞⎛⎫- ⎪ - ⎝⎭；(24) lim 1nx n x n →+∞+⎛⎫⎪-⎝⎭.11．证明01limcos x x→不存在 .12．证明0lim ()x x D x → 不存在，其中1,(),.x D x x ⎧ = ⎨ 0 ⎩为有理数，为无理数13．求极限lim cos cos cos 242n n x x x→+∞ . 14．用定义证明：(1) 若lim ()x af x → = +∞ ，lim ()x ag x A → = ，则lim ()()]x af xg x → [+ = +∞ ；(2) 若lim ()x af x → = +∞ ，lim ()x ag x A → = ( >0) ，则lim ()()]x af xg x → [ = +∞ .15．若lim ()x f x A →+∞= ，lim ()x g x B →+∞= ，证明：lim ()()]x f x g x AB →+∞[ = .16．证明lim ()x f x A →+∞= 的充要条件是：对任何数列()n x n → +∞ →∞ ，有(()n f x A n ) → →∞ .17．证明0lim ()x x f x +→ = +∞ 的充要条件是：对任何数列0()n x x n → →∞ ，有 (()n f x A n ) → →∞ .18．设函数()f x 在(0,) +∞ 上满足方程(2)()f x f x = ，且lim ()x f x A →+∞= ，证明：(),(0,)f x A x ≡ ∈ +∞ .无穷小量与无穷大量的比较1．当0x → 时，以x 为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin sin x x 2 - 2 ； (2) 1(1)1x x- - +；(5) ln (1)x + ；1; (8) 1x e - .2．当x →±∞ 时，以x 为标准求下列无穷大量的阶： (1) 26x x + ；(2) 2454x x x + 6 - ；； (5) 32123x x x ++ - ；(6) 21arctan x x.3．当0x → 时，下列等式成立吗？ (1) 2()()o x o x = ； (2) 2()()O x x = ο ； (3) 23()()x o x o x = ； (4) 2()()o x o x x= ；(5) 2()()()o x o x o x= ； (6) 2()()o x O x = . 4．试证下列各题：(1) 32sin ()(0)x O x x + →；(2) 32322()()x x O x x + = →∞； (3) 0(())(())(())o g x o g x o g x x x ± = (→)； (4) ()()()00m n n o x o x o x x m n + = (→) , > > ； (5) ()()()00m n m n o x o x o x x m n + = (→) , > > . 5．证明下列各式：(1) tan (0)x x x → ； (2) arcsin (0)x x x → ； (3) arctan (0)x x x → ； (4) 21cos (0)x x x 1- → 2； (5) (0)x e x x - 1 → ；(6) (1)(0),a x x x α+- 1 → α ≠ 0其中. 6．运用等价无穷小量求极限：(1) 2arctan lim cos x x x x→∞1- ； (2) 0x →；(3) 2ln(1)lim sin x x x x → +；(4) 201lim sin x x e x x→ - .7．设0()()()f x g x x x → ，证明：()()(())f x g x o f x - = 或()()(())f x g x o g x - = .8．设x a → 时，1()f x 与2()f x 维等价无穷小，1()g x 与2()g x 是等价无穷大，且22lim ()()x af xg x → 存在，求证1122lim ()()lim ()()x ax af xg x f x g x →→ = .函数的连续性1．用定义证明下列函数在定义域内连续：(1) y (2) 1y x =； (3) ||y x = ；(4) 1sin y x= .2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1()f x x x = +； (2) 2()(1)xf x x =+；(3) 21()cos f x x= ；(4) ()[][]f x x x = + -；(5) sin ()||xf x x =； (6) ()sgn |f x x = |； (7) ()sgn(cos )f x x = ； (8) ()ln f x x1=； (9) ,||1,()1,|1x x f x x ≤ ⎧ = ⎨ |>⎩；(10) cos ,||1,()21,|1x x f x x x π⎧≤ ⎪ = ⎨⎪ | -| |>⎩；(11) sin ,,()0,x x f x x π ⎧ = ⎨⎩为有理数为无理数；(12) ,,(),x x f x x x ⎧ = ⎨- ⎩为有理数为无理数.3．当0x = 时下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使()f x 在0x = 连续：(1) ()f x ；(2) tan 2()xf x x=； (3) 1()sin sin f x x x= ；(4) ()xf x x 1 = (1+).4．设()f x 是连续函数，证明对任何0c > ，函数,(),()(),(),,()c f x c g x f x f x c c f x c - < -⎧⎪= || ≤ ⎨⎪ > ⎩是连续的.5．若()f x 在0x 点连续，那么()f x | | 和2()f x 是否也在0x 点连续？反之如何？ 6．若函数()f x 字0x = 点连续，而()g x 在0x = 点不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否连续？又若()f x 和()g x 在0x 点都不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否必不连续？7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.8．若()f x 在[,]a b 连续，恒正，按定义证明1()f x 在,a b [ ] 连续.9．若()f x 和()g x 都在[,]a b 连续，试证明max(()())f x g x , 和min(()())f x g x , 都在[,]a b 连续.10．证明：设()f x 为区间(,)a b 上单调函数，若0,x a b ∈ ( ) 为()f x 的间断点，则必是()f x 的第一类间断点.11．若()f x 在[,]a b ,12n a x x x b < < < < < ，则在12[,]x x 中必有ξ ，使得 12()[()()()]n f f x f x f x nξ1= + ++ .12．研究复合函数f g 和g f 的连续性. 设(1) 2()sgn ,()1f x x g x x = = +； (2) 2()sgn ,()1)f x x g x x x = = (-.13．证明：若()f x 在[,]a b 连续，且不存在,]x a b ∈ [ ，使()f x = 0 ，则()f x 在[,]a b 恒正或恒负.14．设()f x 为[,]a b 上的递增函数，值域为[(),()]f a f b ，证明()f x 在[,]a b 上连续. 15．设()f x 在[,)a +∞ 上连续，且0()(0)f x x x ≤ ≤ ≥ ，若10a ≥ ，1()(1,2,)n n a f a n + = = .求证：(1) lim n n a →∞存在；(2) 设lim n n a l →∞= ，则()f l l = ；(3) 如果将条件改为0()(0)f x x x ≤ < > ，则0l = . 16．求下列极限：(1) 11lim 2x x x →+⎛ ⎪+⎝⎭；(2) 1lim arctan cos x x x→+∞ ( ) ；(3) 21lim (cos )x x x → ；(4) 20cos 5lim 1ln(1)x x e x x x → + + + -.17．证明方程30(0)x px q p + + = > 有且只有一个实根.实数的完备性1．求数列的上、下确界： (1) 11;n x n=-(2) [2(2)];nn x n =+-(3) 2211,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ =(4) 1[1(1)];n n n x n+=+-(5) n x =(6) 12cos .13n n n x n π-=+ 2．设()f x 在D 上定义，求证： (1) sup{()}inf ();x Dx Df x f x ∈∈-=-(2) inf{()}sup ().x Dx Df x f x ∈∈-=-3．设sup E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞=；又若E β∈，则情形如何?4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．实数完备性基本定理1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明．5．若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)． 6．有界数列{}n x 若不收敛，则必存在两个子列,)k k n m x a x b b →→ (α≠．7．求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列．8．设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上有界．9．设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在(,)[,]c c a b δδ-+⋂上无界．10．设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x ax bf x f x +-→→ 存在． 11．设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义()|(0)(0)|.x f x f x ω=+--求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个．12．设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞存在．实数完备性续1，设()f x 在(,)a b 连续，求证：()f x 在(,)a b 一致连续的充要条件是lim ()x a f x +→与lim ()x bf x -→都存在， 2．求证数列1n x n=+++当n →∞时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 012(||1,||);n n n k x a a q a q a q q a M =++++<≤(2) 2sin1sin 2sin 1;222n n nx =++++ (3) 11111(1).23n n x n+=-+++- 4．证明0lim ()x x f x →存在的充要条件是：对任意给定0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<5．证明()f x 在0x 点连续的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<6．证明下列极限不存在： (1) 12cos ;13n n n x n π-=+(2) n x =(3) sin(n x = (4) cos ;n x n = (5) tan .n x n =7．设()f x 在(,)a +∞上可导，|'()|f x 单调下降，且lim ()x f x →+∞存在，求证lim '()0x xf x →+∞=．8．设()f x 在(,)-∞+∞可导，且|'()|1f x k ≤<，任给0x ，令1()(0,1,2,),n n x f x n += =求证，(1) lim n x x →∞存在；(2) 上述极限为()x f x =的根，且是唯一的． 9．设()f x 在[,]a b 满足条件：(1) |()()|||,,[,],1;f x f y k x y x y a b k -≤- ∀∈ 0<< (2) ()f x 的值域包含在[,]a b 内．则对任意0[,]x a b ∈，令1()(0,1,2,)n n x f x n +==，有(1) lim n x x →∞存在；(2)方程()x f x =的解在[,]a b 上是唯一的，这个解就是上述极限值．闭区间上连续函数的性质1．设()f x 在[,]a b 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使0lim ()()n x f x f x →∞=，求证0lim n x x x →∞=2．设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设 (1) min ()max ();a x ba x bf x p f x ≤≤≤≤<<(2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠，求证：()f x p =的根只有有限多个．3．设()f x 在[,]a b 连续，()0f a <，()0f b >，求证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，且()0()f x x b ξ><≤．4．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证：必存在区间[,]αβ，满足条件：(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =；(2) ()m f x M <<，当(,)x αβ∈．5．()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+． 6．设()f x 在[,]a b 上连续，且取值为整数，求证：()f x ≡常数． 7．设()f x 在(,)a b 上一致连续，,a b ≠±∞，证明()f x 在(,)a b 上有界； 8．若函数()f x 在(,)a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K ，使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b -≤- ∈证明：()f x 在(,)a b 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都一致连续，则()f x 在[,]a b 上也一致连续．10．设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x →-∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在(,)-∞+∞上一致连续．11．若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则()f x 在X 中一致连续．12．求证：()f x x =在(0,)+∞上一致连续．13．设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim '()x f x →+∞=+∞，求证：()f x 在(,)a +∞上不一致连续．14．求证：()ln f x x x =在(0,)+∞上不一致连续．微分中值定理及应用微分中值定理1．证明：（1）方程330x x c -+=（c 是常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程nx 0px q ++=（n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

数学分析三试卷及答案

《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。

解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解：对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。

解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解：设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……(3分）构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

《数学分析》试题(含答案)

考试科目：数学分析(I)一、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。

21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章)五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。

证明：.inf sup B A =证由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。

若B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。

若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈0sup .x A >同理可证（2）. 3。

按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 证 35232522---+n n n)23(3432-+=n n≤2234n n⋅ （n>4） n32=，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,35232522---+n n n 〈ε。

注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式nn G 32)(=仍是无穷小数列。

4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。

答 a a n n ≠∞→lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得｜a a n -'｜≥0ε数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞→lim .（1）a n a n ∀=.2，0ε∃=41，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥||212a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥41，于是{2n ｝为发散数列。

《数学分析》部分证明题

《数学分析》部分证明题⼀、证明题(18分) ⼗六章1、（10分）证明函数11sin sin 0,0(,)00,00,0x y x y y x f x y x y x y ?+≠≠?=??=≠≠=?当当或在原点的极限是0. 2、(8分)证明lim()x y x xy y →→++=222173、证明：f x y x y y x x y x y x y (,)sin sin ,,,,,=+≠≠=≠≠=110000000当当或在(0,0)的极限为零。

（10分） 4.设f(x,y) 在集合G ?R 2 上对x 连续,对y 满⾜利普希茨条件即f x y f x y L y y (,)(,)'-''≤'-''试证 f 在G 上处处连续⼗七章1、设,?ψ是任意的⼆阶可导函数,证明()()y y z x x xψ=+ 满⾜022222222=++y z y y x z xy x z x 2、（8分）设22()4x b a tz -=证明z t a z t=222 3、(10分)设sin (),sin sin z x F u u y x =+=- 证明sec xzx+secy z y =14.证明函数2222222,0;(,)0,0x yx y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.证明函数222222(0;(,)0,0,x y x y f x y x y ?++≠?=??+=?在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点偏导数不连续,⽽f 在(0,0)可微.6.证明:若⼆元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导函数x f 与y f 有界,则f 在()U P 内连续.7.证明:可微函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数的充要条件是:(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=8.设(,)f x y 可微,(,)(cos sin ,sin cos )g u v f u v u v θθθθ=-+,求证2222()()()()x y u v f f g g +=+9.设(,)f x y 可微,1l 与2l 是2R 上的⼀组线性⽆关向量.试证明:若(,)0(1,2)i l f x y i ≡=,则(,)f x y ≡常数.10.若(,)f x y 在区域D 上存在偏导数,且0x y f f =≡,则(,)f x y ≡常数.11.设,x y f f 和yx f 在点00(,)x y 的某领域内存在, yx f 在点00(,)x y 连续,证明00(,)xy f x y 也存在,且0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.12. 设,x y f f 在点00(,)x y 的某领域内存在且在点00(,)x y 可微,则有0000(,)(,)x y y x f x y f x y =. 13.设f 在点000(,)P x y 可微,且在0P 给定了n 个向量(1,2,,)i l i n = ,相邻两个向量之间的夹⾓为2n π.证明:01()0i nl i f P ==∑.14.设(,)f x y 为n 次齐次函数,证明()(1)(1)m xy f n n n m f x y+=--+?? . 15. 证明2222221sin ,0,(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0,0)处可微.16、设 12n2n 1n1n112n 111x x x u=x x x x x x－－－，证明：()1 nk 1ku0;x ?=?∑＝ ()2 ()nkk 1k n n 1u x u.x 2=∑＝－ 17、若函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微．18、若函数(,,)f x y z 在点0000(,,)P x y z 可微，则f 在点0P 处沿任⼀⽅向l 的⽅向导数都存在，且 0000()()cos ()cos ()cos l x y zf P f P f P f P αβγ=++ (1),其中cos ,cos ,cos αβγ为⽅向l 的⽅向余弦．19、设⼆元函数(,)z f x y =在凸开域D ?R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对D 内任意两点0(,),(,)P a b Q a h b k D ++∈，存在某θ(01)θ<<，使得(,)(,)(,)(,)x y f a h b k f a b f a h b k h f a h b k kθθθθ++-=+++++(,)(,)gradf h k ξη=?.20、设(,)u u x y =可微，在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==下，证明222221+??? =??? +??? y u x u u r r u θ. 21、⼗⼋章1、(10分)试证：所有切于曲⾯z xf yx=()的平⾯都相交于⼀点。

数学分析试题库证明题

数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学

数学分析试题及答案解析

数学分析证明题练习

第三学期 数学分析(3)试卷

数学分析9定积分总练习题

数学分析试题

(数学分析习题内容)第二章

数学分析试卷及答案6套

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章

数学分析试题库--证明题.doc

数学分析练习题

数学分析三试卷及答案

《数学分析》试题(含答案)

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

《数学分析》部分证明题

第三学期数学分析(3)试卷