高三数学总复习 9.11直线与圆锥曲线的综合应用教案(2)新人教A版

合集下载

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用

第二课时圆锥曲线的综合应用考点一最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围．解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)．考点二定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值．解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意．当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ，解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)，则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1

第九节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1，则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题．探究一由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12，设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点，故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0，即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值．解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ，则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43，故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。

高中数学直线与圆锥曲线(2)教案新人教A版选修2-1

河北省抚宁县第六中学高中数学选修2-1教案：直线与圆锥曲线（2）教学目标知识与技能综合掌握解决直线与圆锥曲线相交的各类问题的方法；（2）体会数形结合思想、方程思想在解析几何中的应用。

过程与方法诱导式、启发式、探究式以及合作式去熟悉圆锥曲线中解题思想方法。

如数形结合思想、联立方程思想等。

情感态度价值观让学生在解决综合性问题的过程中培养计算的严谨性。

重点充分利用方程组解决直线与圆锥曲线相交的各类问题。

难点方程的化简以及计算。

关键理解圆锥曲线的定义并灵活化简求解方程教学方法及课前准备教学流程一、课堂热身1.已知椭圆两焦点F1(－1,0), F2(1,0), P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,那么该椭圆方程是(A); (B); (C); (D).2.下列双曲线中,以y=±x为渐近线的是(A); (B); (C); (D).3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(A) 2 (B) (C) (D)二、问题探究（1）中点弦问题问题:解决中点弦问题时通常用到哪些方法手段？例1.已知椭圆，过点P（2，1）引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.分析：解：（2）焦点三角形问题问题：什么是焦点三角形？解决焦点三角形问题时常用到哪些方法手段？例2.已知双曲线过点P，它的渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.分析：解：（3）圆锥曲线中的最值问题问题：圆锥曲线中通常会遇到哪些最值问题，通常解决问题的方法手段有哪些？例3.斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求的最大面积。

分析：解：课堂要求学生掌握的内容：充分运用联立方程组解决各类直线与圆锥曲线相交的综合性问题。

课堂同步练习：变式1：已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程。

高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教版A版)

2010年高三第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案（人教版A 版）教学目标：1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法。

2.会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的问题来研究3.能解决直线与圆锥曲线相交所得的弦的有关问题教学重点：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系。

教学难点：①弦长问题 ②中点弦问题教学过程：1.直线与圆锥曲线的位置关系几何角度：直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.无公共点一个公共点两个不同公共点代数角度：直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。

因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.设直线L 的方程为：0=++C By Ax 圆锥曲线C 的方程为：0),(=y x F联立：⎩⎨⎧==++0),(0y x F C By Ax 消y （也可消x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的一元二次方程：02=++c bx ax（1）当a ≠0时，则有下表中的结论：（方程的判别式△=ac b 42-）（2）当a =0时，即得到一个一次方程，则直线L 与圆锥曲线相交，且只有一个交点。

若C 为双曲线，则直线L 与双曲线的渐近线平行。

若C 为抛物线，则直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

即直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但1）相离 3）相交 2）相切不是充分条件．（对于椭圆来说，这个方程二次项系数一般不为0，不过当直线与椭圆相切时，若已知直线过某点，则当点在椭圆外部时，切线有两条；当点在椭圆上时，切线有一条．）注意：直线与圆锥曲线位置关系问题①常利用数形结合方法解决。

②转化为研究方程组解的问题。

例1.直线L ：y=kx+1,抛物线C:x y 42=，当k 为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点。

分析：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查综合分析问题的能力、数形结合的思想及分类讨论思想。

高三数学专题复习直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1

课堂同步练习：3．(2021·高考)直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．假设该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，那么a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由解得a≥1.答案[1，＋∞)4．(2021·高考改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公一一共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公一一共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________．解析|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，那么(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.答案考点探究打破典型例题讲解，先让学生自己考虑，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要标准。

同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。

3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得|AB|＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，那么|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|获得最大值4，∴四边形ABCD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.。

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆锥曲线的位置关系教案理解析版

基础知识整合１．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax２＋Bx＋C＝0（A≠0），Δ＝B２—４AC.若Δ<0，则直线与圆锥曲线错误!没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点．２．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A（x１，y１），B（x２，y ２），直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x１＋x２，x１x２的值，代入上式计算即可．３．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．（１）利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．（２）点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x１，y１），B（x２，y ２），代入曲线方程，通过作差，构造出x１＋x２，y１＋y２，x１—x２，y１—y２，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法（１）解决焦点弦（过圆锥曲线焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．（２）已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．（３）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．１．直线y＝kx—k＋１与椭圆错误!＋错误!＝１的位置关系为（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定答案A解析直线y＝kx—k＋１＝k（x—１）＋１恒过定点（１,１），又点（１,１）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!>２，所以e＝错误!＝错误!>错误!＝错误!.３．过抛物线y２＝２x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于２，则这样的直线（）Ａ．有且只有一条Ｂ．有且只有两条Ｃ．有且只有三条Ｄ．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为１，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB 的斜率为k，则直线AB为y＝k错误!，代入抛物线y２＝２x，得k２x２—（k２＋２）x＋错误!k２＝0，因为A，B两点的横坐标之和为２．所以k＝±错误!.所以这样的直线有两条．４．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）Ａ．５Ｂ．6 C．7 Ｄ．8答案D解析根据题意，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线方程为y＝错误!（x＋２），与抛物线方程联立错误!消去x并整理，得y２—6y＋8＝0，解得M（１,２），N（４,４），又F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），从而可以求得错误!·错误!＝0×３＋２×４＝8，故选Ｄ．５．（２0１8·山西阳泉质检）椭圆mx２＋ny２＝１与直线x＋y—１＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!，则错误!的值为________．答案错误!解析解法一：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），所以kOM＝错误!＝错误!，kAB＝错误!＝—１，由AB的中点为M可得x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0．由A，B在椭圆上，可得错误!两式相减可得m（x１—x２）（x１＋x２）＋n（y１—y２）（y１＋y２）＝0，则m（x１—x２）·２x0—n（x １—x２）·２y0＝0，整理可得错误!＝错误!.解法二：设A（x１，y１），B（x２，y２），M（x0，y0），联立方程错误!可得（m＋n）x２—２nx＋n—１＝0，所以x１＋x２＝错误!，y１＋y２＝２—（x１＋x２）＝错误!.由中点坐标公式可得，x0＝错误!＝错误!，y0＝错误!＝错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!.6．（２0１8·太原模拟）已知抛物线y２＝４x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案错误!解析因为抛物线y２＝４x的焦点F的坐标为（１,0），当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝４，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k（x—１），与y２＝４x联立，消去x得ky２—４y—４k＝0．设A（x １，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以|y１—y２|＝错误!，因为|AB|＝错误! |y１—y２|＝6，所以４错误!＝6，解和k＝±错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝２错误!，所以△AOB的面积为错误!×１×２错误!＝错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例１已知直线l：y＝２x＋m，椭圆C：错误!＋错误!＝１．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（１）有两个不重合的公共点；（２）有且只有一个公共点；（３）没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组错误!将１代入２，整理得9x２＋8mx＋２m２—４＝0．３方程３根的判别式Δ＝（8m）２—４×9×（２m２—４）＝—8m２＋１４４．（１）当Δ>0，即—３错误!<m<３错误!时，方程３有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．（２）当Δ＝0，即m＝±３错误!时，方程３有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（３）当Δ<0，即m<—３错误!或m>３错误!时，方程３没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通１判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.２依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练１．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F１（—１,0），且点P（0,１）在C１上．（１）求椭圆C１的方程；（２）设直线l同时与椭圆C１和抛物线C２：y２＝４x相切，求直线l的方程．解（１）因为椭圆C１的左焦点为F１（—１,0），所以c＝１．将点P（0,１）代入椭圆方程错误!＋错误!＝１，得错误!＝１，即b＝１，所以a２＝b２＋c２＝２．所以椭圆C１的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由错误!消去y并整理得（１＋２k２）x２＋４kmx＋２m２—２＝0．因为直线l与椭圆C１相切，所以Δ１＝１6k２m２—４（１＋２k２）（２m２—２）＝0．整理得２k２—m２＋１＝0．１由错误!消去y并整理得k２x２＋（２km—４）x＋m２＝0．因为直线l与抛物线C２相切，所以Δ２＝（２km—４）２—４k２m２＝0，整理得km＝１．２综合１２，解得错误!或错误!所以直线l的方程为y＝错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.考向二弦长问题例２（２0１8·北京高考）已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，焦距为２错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，Ｂ．（１）求椭圆M的方程；（２）若k＝１，求|AB|的最大值．解（１）由题意得２c＝２错误!，所以c＝错误!，又e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!，所以b２＝a２—c２＝１，所以椭圆M的标准方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线AB的方程为y＝x＋m，由错误!消去y，可得４x２＋6mx＋３m２—３＝0，则Δ＝３6m２—４×４（３m２—３）＝４8—１２m２>0，即m２<４，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!，则|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝错误!，易得当m２＝0时，|AB|max＝错误!，故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：１直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；２直线过圆锥曲线的焦点.即时训练２．（２0１9·新疆乌鲁木齐联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距为２，且过点错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）过点M（２,0）的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足错误!＋错误!＝t错误!，其中t∈错误!，求|AB|的取值范围．解（１）依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k（x—２）．由错误!得（１＋２k２）x２—8k２x＋8k２—２＝0，∴Δ＝8（１—２k２）>0，解得k２<错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），则错误!由错误!＋错误!＝t错误!得P错误!，代入椭圆C的方程得t２＝错误!，由错误!<t<２得错误!<k２<错误!，∴|AB|＝错误!·错误!令u＝错误!，则u∈错误!，∴|AB|＝２错误!，令y＝２u２＋u—１，其对称轴为u＝—错误!，∴y＝２u２＋u—１在错误!上单调递增，∴0<y<错误!，∴0<|AB|<错误!，故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例３（２0１9·陕西模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p>0），过点M（５，—２）的直线交抛物线C 于A，B两点．（１）若p＝错误!，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；（２）问在抛物线C上是否存在定点N（x0，y0），使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（１）当p＝错误!时，抛物线C的方程为y２＝x，由题意，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!两式相减得（y１—y２）（y１＋y２）＝x１—x２．（*）因为点M（５，—２）恰好是线段AB的中点，所以y１＋y２＝—４，显然直线AB不与x轴垂直，故设直线AB的斜率为k，由（*）式得k＝错误!＝错误!＝—错误!，所以直线AB的方程是y＋２＝—错误!（x—５），即x＋４y＋３＝0．（２）假设在抛物线C上存在定点N（x0，y0）满足题意，设A错误!，B错误!，直线AB的方程为x＝my＋b，联立方程得错误!可得y２—２mpy—２pb＝0，故y３＋y４＝２mp，y３y４＝—２pＢ．由题意知，直线NA与NB的斜率都存在且不为0，由于NA⊥NB，所以kNAkNB＝—１，即kNAkNB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—１，所以错误!＝—１，b＝２p＋my0＋错误!.故直线AB的方程可以写成x＝m（y＋y0）＋２p＋错误!，由于直线AB过点M（５，—２），故有５＝m（—２＋y0）＋２p＋错误!（**），当且仅当y0＝２，p＝２或错误!时，（**）式恒成立．由此可得，１当p＝２时，存在定点N（１,２），使得NA⊥NB；２当p＝错误!时，存在定点N（４,２），使得NA⊥NＢ．触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.即时训练３．（２0１9·福建三明联考）已知A是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点，左焦点F １是线段OA的中点，抛物线y２＝４x的准线恰好过点F１．（１）求椭圆的方程；（２）如图所示，过点A作斜率为k的直线l１交椭圆于点M，交y轴于点N.点P为线段AM的中点，过N作与直线OP垂直的直线l２，证明：对于任意的k（k≠0），直线l２过定点，并求出此定点的坐标．解（１）依题意得抛物线y２＝４x的准线为x＝—１，∴点F１（—１,0），c＝１．∴左顶点为A（—２,0），∴a＝２，即b２＝a２—c２＝３，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设直线l１的方程为y＝k（x＋２），与椭圆的方程错误!＋错误!＝１联立，消去y得（３＋４k２）x２＋１6k２x＋１6k２—１２＝0．设M（x１，y１），则—２＋x１＝—错误!.∵P为线段AM的中点，∴xP＝错误!＝—错误!，yP＝k（xP＋２）＝k错误!＝错误!，∴点P的坐标为错误!.则kOP＝—错误!（k≠0），∴直线l２的斜率为错误!k.又直线l１的方程为y＝k（x＋２），令x＝0，得N（0,２k），∴直线l２的方程为y—２k＝错误!kx，即直线y＝错误!k错误!，∴直线l２过定点，此定点为错误!.（２0１9·武汉模拟）如图，已知抛物线C：x２＝２py（p>0），圆Q：x２＋（y—３）２＝8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P１，P２两点，且|P１P２|＝４．（１）证明：抛物线C与圆Q相切；（２）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，且直线l的斜率k∈（0,１），求错误!的取值范围．解（１）证明：∵|P１P２|＝２p＝４，∴p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y，联立错误!消去x得y２—２y＋１＝0．∵Δ＝0，∴抛物线C与圆Q相切．（２）∵F（0,１），∴设直线l的方程为y＝kx＋１，k∈（0,１），∴圆心Q（0,３）到直线l的距离为d＝错误!，∴|AB|＝２错误!＝４错误!.设M（x１，y１），N（x２，y２），联立错误!消去x得y２—（４k２＋２）y＋１＝0，则y１＋y２＝４k２＋２，∴|MN|＝y１＋y２＋２＝４（k２＋１），∴错误!＝错误!，令t＝错误!错误!，则错误!＝t错误!＝错误!，设f（t）＝２t２—t３错误!，则f′（t）＝４t—３t２．∵错误!<t<１，∴f′（t）>0，∴函数y＝f（t）在错误!上单调递增，∴f错误!<f（t）<f（１），∴错误!<f（t）<１，即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．对点训练（２0１9·合肥模拟）已知椭圆C１：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点与抛物线C２：y２＝２px（p>0）的焦点重合，椭圆C１的离心率为错误!，过椭圆C１的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为４错误!.（１）求椭圆C１和抛物线C２的方程；（２）过点A（—２,0）的直线l与C２交于M，N两点，若点M关于x轴的对称点为M′，证明：直线M′N恒过一定点．解（１）依题意，可得a＝错误!，则C２：y２＝４ax，令x＝c得y２＝４ac，即y＝±２错误!，所以４错误!＝４错误!，所以ac＝２．则错误!解得a＝２，b＝错误!，所以椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，抛物线C２的方程为y２＝8x.（２）证明：依题意可知直线l的斜率不为0，可设l：x＝my—２，设M（x１，y１），N（x２，y２），则M′（x１，—y１），联立错误!消去x得y２—8my＋１6＝0，由Δ>0得m<—１或m>１．因为y１＋y２＝8m，y１y２＝１6，所以m＝错误!，所以直线M′N的斜率kM′N＝错误!＝错误!＝错误!，可得直线M′N的方程为y—y２＝错误!（x—x２），即y＝错误!x＋y２—错误!＝错误!x＋错误!＝错误!x—错误!＝错误!（x—２），所以当m<—１或m>１时，直线M′N恒过定点（２,0）．。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。

2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。

2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。

3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。

4. 直线与圆锥曲线的应用问题。

三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。

2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件和教学素材。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。

3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。

4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。

2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。

2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。

八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。

九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。

2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。

十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。

2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。

3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。

高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容，采用以下教学策略：
（1）通过直观的动态演示，帮助学生理解参数方程的几何意义，增强直观感知；
（2）设计具有层次性的例题和练习，逐步引导学生掌握参数方程的应用；
（3）结合实际情境，激发学生探究参数方程的兴趣，提高学习积极性。
2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）以小组合作的形式，让学生在讨论和交流中，共同探讨参数方程的推导过程，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力；
高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本章节主要围绕“直线和圆锥曲线的参数方程”展开，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握直线、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程；
2.学会运用参数方程解决直线和圆锥曲线的相关问题；
3.能够运用坐标系和参数方程描述直线和圆锥曲线的运动变化；
（8）教学评价：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学：
（1）针对基础薄弱的学生，加强基础知识的学习，提高其学习信心；
（2）针对学有余力的学生，适当拓展课外知识，培养其创新能力和数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例导入，如一颗行星在椭圆轨道上绕太阳运动，引导学生思考如何描述行星的运动轨迹。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
（1）直线和圆锥曲线参数方程的推导过程；
（2）参数方程与普通方程互化的方法；
（3）如何运用参数方程解决实际问题。
2.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨参数方程的内涵和实际应用。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。

教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。

教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。

教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。

1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。

1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。

第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。

2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。

2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。

4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。

5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。

四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。

五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。

2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。

六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。

高考数学总复习教案：9.11直线与圆锥曲线的综合应用(2)

第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）141～144页（理）147～150页1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．答案：y 2＝12x解析：双曲线x 24－y 25＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x.2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．答案：x 24＋y 216＝1解析：双曲线方程可化为y 212－x 24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x 24＋y 216＝1.3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝________．答案：4解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝2，p ＝4.4. 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．答案：－2解析：设点P(x ，y)，其中x ≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1).PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2. 5. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的轨迹．当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线． 2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．3. 平面解析几何研究的两个主要问题 (1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2) 通过曲线的方程研究曲线的性质．4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4) 化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1 最值问题例1 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．解：(1) 设椭圆左焦点为F(－c ，0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2＋c ）2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m(m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2，得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12AB ·d ＝36·（m －4）2＋12－m 2.其中m ∈(－23，0)∪(0，23)．令u(m)＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23]，u ′(m)＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)·(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.变式训练如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.AT ：x a 2c ＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，解得交点C(2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2)，代入①得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2（a 2－c 2）2（a 2＋c 2）2＝1，满足①式，则C 点在椭圆上，即A 、C 、T 三点共线．(2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF ∽△ECF.∵ BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝23 5c ，S △ABC ＝12·2c ·4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·23 5c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.只须求x 0＋2y 0的最大值，(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c. (解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c.当t ＝6c ，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c. ∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1.P 点坐标为⎝⎛⎭⎫63，63. 题型2 定值问题例2 如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0，a 、b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b<t 1<a.点A 1、A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A 、B 、C 、D 四点．(1) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2) 设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A′，B ′，C ′，D ′四点，其中b<t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．(1) 解：设A(x 1，y 1)，B(x 1，－y 1)，又知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a)．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A(x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x<－a ，y<0)．(2) 证明：设A′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(4m ，0)(m ＞0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 若θ＝90°，1MF ＋1NF ＝5 29，求实数m ； (3) 试问1MF ＋1NF 的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．解：(1) ∵ c ＝4m ，椭圆离心率e ＝c a ＝45，∴ a ＝5m.∴ b ＝3m.∴ 椭圆C 的标准方程为x 225m 2＋y 29m 2＝1.(2) 在椭圆方程x 225m 2＋y 29m 2＝1中，令x ＝4m ，解得y ＝±9m5.∵ 当θ＝90°时，直线MN ⊥x 轴，此时FM ＝FN ＝9m 5，∴ 1MF ＋1NF ＝109m .∵1MF ＋1NF ＝5 29，∴ 109m ＝5 29，解得m ＝ 2. (3)1MF ＋1NF的值与θ的大小无关．证明如下：(证法1)设点M 、N 到右准线的距离分别为d 1、d 2. ∵MF d 1＝45，NF d 2＝45，∴ 1MF ＋1NF ＝54⎝⎛⎭⎫1d 1＋1d 2. 又由图可知，MFcos θ＋d 1＝a 2c －c ＝9m4，∴ d 1⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＝9m 4，即1d 1＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1. 同理，1d 2＝49m ⎣⎡⎦⎤45cos （π－θ）＋1＝49m (－45cos θ＋1)． ∴ 1d 1＋1d 2＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＋49m (－45cos θ＋1)＝89m . ∴1MF ＋1NF ＝54·89m ＝109m. 显然该值与θ的大小无关．(证法2)当直线MN 的斜率不存在时，由(2)知，1MF ＋1NF的值与θ的大小无关．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k(x －4m)，代入椭圆方程x 225m 2＋y 29m 2＝1，得(25k 2＋9)m 2x 2－200m 3k 2x ＋25m 4(16k 2－9)＝0. 设点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)， ∵Δ＞0恒成立，∴ x 1＋x 2＝200mk 225k 2＋9，x 1·x 2＝25m 2（16k 2－9）25k 2＋9.∵MF 25m 4－x 1＝45，NF 25m 4－x 2＝45， ∴ MF ＝5m －45x 1，NF ＝5m －45x 2.∴1MF ＋1NF ＝15m －45x 1＋15m －45x 2＝10m －45（x 1＋x 2）1625x 1x 2－4m （x 1＋x 2）＋25m2＝90k 2＋9081mk 2＋81m ＝109m . 显然该值与θ的大小无关．题型3 定点问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1) 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫2 322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k＝－724.所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2) 设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k (x －m)，即kx －y ＋n－km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1km ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等．故有|－3k －1＋n －km|k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪－4k －5＋n ＋1k m 1k 2＋1，化简得(2－m－n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无穷多解，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0，解得点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－32，132或⎝⎛⎭⎫52，－12. 备选变式（教师专享）已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM 为y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. ∵ k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. ∴直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. (理)题型4 轨迹问题例4 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解：如题图，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．根据已知，设A(－c ，0)，C ⎝⎛⎭⎫c 2，h ，E(x 0，y 0)，其中c ＝12|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由AE →＝λEC →，即(x 0＋c ，y 0)＝λ⎝⎛⎭⎫c 2－x 0，h －y 0，得x 0＝（λ－2）c 2（1＋λ），y 0＝λh 1＋λ.不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则离心率e ＝c a .由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e ＝ca 代入双曲线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧e 24－h 2b 2＝1，①e24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－2λ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ＋12h 2b 2＝1，②由①式得h 2b 2＝e 24－1， ③将③式代入②式，整理得 e 24(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－3e 2＋2.由已知23≤λ≤34，所以23≤1－3e 2＋2≤34，解之得 7≤e ≤10，所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.(ⅰ) 求圆M 的方程；(ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝yx ＋4、k 2＝yx －4. 由题意知yx ＋4·yx －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(2) (ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3. 设M(a ，2a ＋3)(a ＞0)，则圆M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫3r 22，得a ＝r 2.所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r22＋(y －r －3)2＝r 2. (ⅱ)假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立．由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋（b －3）＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 所以⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．学生错解：解：(1) 略(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M(x 1，0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1，4k ＋m)，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)，方程无解．故不存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.审题引导： (1) 建立方程组求解参数a ，b ，c ；(2) 恒成立问题的求解；(3) 探索性问题的一般解题思路．规范解答：解：(1) 因为AB ＋AF 2＋BF 2＝8，即AF 1＋F 1B ＋AF 2＋BF 2＝8，(1分) 又AF 1＋AF 2＝BF 1＋BF 2＝2a ，(2分) 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，(3分)所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.(5分)因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，(6分) 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)(7分) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)．(9分)假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．(10分) 设M(x 1，0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1，4k ＋m)，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)(12分)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.(13分)故存在定点M(1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.(14分)错因分析：本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M 必在x 轴上．同时不会利用恒成立求解．1. 已知抛物线y 2＝2px(p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫0，23 解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b.将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p)x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p)．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p)2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p(2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.2. 已知抛物线y 2＝2px(p ≠0)及定点A(a ，b)，B(－a ，0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫a ，2pa b 解析：设M ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，M 1⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，M 2⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，由点A 、M 、M 1共线可知y 0－b y 202p －a ＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pay 0－b，同理由点B 、M 、M 2共线得y 2＝2pa y 0. 设(x ，y)是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p －x ，即y 1y 2＝y(y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b，y 2＝2pay 0，则(2px －by)y 20＋2pb·(a －x)y 0＋2pa·(by －2pa)＝0. 当x ＝a ，y ＝2pab时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎫a ，2pa b . 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1，0)． (1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解：(1) 设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x.(2) 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4，直线MO 的方程：y ＝－y 1x ，将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立解得A 点坐标⎝⎛⎭⎫4y 21，－4y 1.同理可得B 点坐标⎝⎛⎭⎫4y22，－4y 2，则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21，整理得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0，故直线AB 恒过定点(1，0)．4. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB.(1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程； (2) 若Rt △MAB 面积的最大值为278，求a ；(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．解：(1) 由题，a 2＝c 2＋1，d ＝a 2c ＝c 2＋1c ＝c ＋1c≥2，当c ＝1时取等号，此时a 2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 不妨设直线MA 的斜率k>0，直线MA 方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，①x 2a 2＋y 21＝1，②① 代入②整理得(a 2k 2＋1)x 2＋2a 2kx ＝0，解得x A ＝－2a 2ka 2k 2＋1，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2k a 2k 2＋1，1－a 2k 2a 2k 2＋1，由MA ⊥MB 知直线MB 的斜率为－1k ，可得B(2a 2ka 2＋k 2，k 2－a 2a 2＋k2)，则MA ＝1＋k 2·2a 2ka 2k 2＋1，MB ＝1＋1k 22a 2k a 2＋k 2＝k 2＋12a 2a 2＋k 2. 则S △MAB ＝12MA ·MB＝12(1＋k 2)4a 4k （a 2k 2＋1）（a 2＋k 2）＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a 4a 2⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋（a 4＋1）＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a 4a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋（a 4－2a 2＋1）.令k ＋1k＝t(t ≥2)，则S △MAB ＝2a 4ta 2t 2＋（a 2－1）2＝2a 4a 2t ＋（a 2－1）2t≤2a 42a （a 2－1）＝a 3a 2－1. 当t ＝a 2－1a 时取“＝”，∵ t ＝a 2－1a ≥2，得a>2＋1.而(S △MAB )max ＝a 3a 2－1＝278，故a ＝3或a ＝3±29716(舍)．综上a ＝3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y 轴上．当k ＝1时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2a 2＋1，1－a 2a 2＋1，直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 2＋1.下面证明A 、Q 、B 三点共线：∵ k AQ ＝1－a 2k 21＋a 2k 2－1－a 21＋a 2－2a 2k 1＋a 2k 2＝（1－a 2k 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（1＋a 2k 2）－2a 2k （1＋a 2）＝k 2－1k （1＋a 2），k BQ ＝k 2－a 2a 2＋k 2－1－a 21＋a 22a 2kk 2＋a 2＝（k 2－a 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（a 2＋k 2）2a 2k （1＋a 2）＝k 2－1k （1＋a 2）.由k AQ ＝k BQ 知A 、Q 、B 三点共线，即直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 2＋1.5. 设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．(1) 求证：1a 2＋1b2＝1；(2) P 是椭圆E 上异于A 1、A 2的一点，若直线PA 1、PA 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →·ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由． (1) 证明：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，A 1、A 2与B 分别为椭圆E 的左、右顶点与上顶点，所以A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B(0，b)，直线A 2B 的方程是x a ＋yb ＝1.因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，所以11a 2＋1b 2＝1，即1a 2＋1b2＝1. (2) 解：设P(x 0，y 0)，则直线PA 1、PA 2的斜率之积为kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝－13，x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以b 2＝13a 2.结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43.所以椭圆E 的方程为x 24＋3y 24＝1. (3) 解：设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2a 2＋（kx ＋m ）2b 2＝1.化简得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ>0)．∴ x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2km b 2＋a 2k 2＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.因为OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0.结合(1)的1a 2＋1b 2＝1，得m 2＝1＋k 2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k2＝1，所以直线l 与圆C 相切．② 若直线l 的斜率不存在，设直线l 为x ＝n.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b1－n 2a 2.∴ |n|＝b·1－n 2a2，∴ a 2n 2＝b 2(a 2－n 2)．解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．6. 已知曲线C 上动点P(x ，y)到定点F 1(3，0)与定直线l 1∶x ＝433的距离之比为常数32.(1) 求曲线C 的轨迹方程；(2) 以曲线C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r>0)，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程．解：(1) 过点P 作直线的垂线，垂足为D. |PF 1||PM|＝32，（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32，所以该曲线的方程为x24＋y 2＝1.(2) 点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.由已知T(－2，0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴ TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54·⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15.由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15.计算得，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35. 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.1. 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.(1) 求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(2) 设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． (1) 证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0, 则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，所以y′＝12x, 所以，直线AM 的斜率为k AM ＝12x 1,所以，直线AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又x 21＝4y 1, 所以，直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1) ①，同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2) ②，②－①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x ＝x 1＋x 22，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2) 解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k ≠0). 所以k MF ＝2－2k ＝－1k ，则直线MF 的方程为y ＝－1k x ＋1，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝－1k x ＋1消去y ，得x 2＋4k x －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0, 所以x 3＋x 4＝－4k ，x 3x 4＝－4，又|AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(k 2＋1)，|CD|＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2＝（1＋1k2）（x 3－x 4）2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（x 3＋x 4）2－4x 3x 4]＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，因为k MF ·k AB ＝－1，所以AB ⊥CD ，所以S ACBD ＝12|AB|·|CD|＝8⎝⎛⎭⎫1k 2＋1()k 2＋1＝8·⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥32, 当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.2. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝63，一条准线方程为x ＝362(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设G 、H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG ⊥OH. ① 当直线OG 的倾斜角为60°时，求△GOH 的面积；② 是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．解：( 1) 因为c a ＝63，a 2c ＝362，a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝3，b ＝3，所以椭圆方程为x 29＋y 23＝1.(2) ① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 29＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝910，y 2＝2710，由⎩⎨⎧y ＝－33x ，x 29＋y 23＝1，得⎩⎨⎧x 2＝92，y 2＝32，所以OG ＝3105，OH ＝6，所以S △GOH ＝3155.② 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则OG·OH ＝R·GH ，因为OG 2＋OH 2＝GH 2，故1OG 2＋1OH 2＝1R2，当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为y ＝kx, 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2G＝91＋3k 2，y 2G＝9k 21＋3k2，所以OG 2＝9＋9k21＋3k 2，同理可得OH 2＝9k 2＋93＋k2，(将OG 2中的k 换成－1k 可得) 1OG 2＋1OH 2＝49＝1R 2，R ＝32，当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得1OG 2＋1OH 2＝49＝1R 2，故满足条件的定圆方程为：x 2＋y 2＝94.3. 已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1.又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B(如图)．(1) 当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； (2) 当FA →＝λAP →，求λ的最大值．解：(1) ∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠POx ＝30°，即b a ＝tan30°＝33. ∴a ＝3b.又a 2＋b 2＝4，∴a 2＝3，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2) 由已知l ：y ＝a b (x －c)，与y ＝b ax 解得P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c . 由FA →＝λAP →，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋λ·a 2c 1＋λ，λ·ab c 1＋λ. 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c 2＋λa 2)2＋λ2a 4＝(1＋λ)2a 2c 2.∴(e 2＋λ)2＋λ2＝e 2(1＋λ)2.∴λ2＝e 4－e 2e 2－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－e 2）＋22－e 2＋3≤3－2 2. ∴λ的最大值为2－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .(1) 求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1) 设点P(x ，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA 得y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)．(2) 设P(x 1，x 21)，Q(x 2，x 22)，M(x 0，y 0)，由PQ →＝λOA →可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＋x 1＝－1，由O 、M 、P 三点共线可知，OM →＝(x 0，y 0)与OP →＝(x 1，x 21)共线，∴ x 0x 21－x 1y 0＝0，由(1)知x 1≠0，故y 0＝x 0x 1，同理，由AM →＝(x 0＋1，y 0－1)与AQ →＝(x 2＋1，x 22－1)共线可知(x 0＋1)(x 22－1)－(x 2＋1)(y 0－1)＝0，即(x 2＋1)[(x 0＋1)·(x 2－1)－(y 0－1)]＝0，由(1)知x 2≠－1，故(x 0＋1)(x 2－1)－(y 0－1)＝0，将y 0＝x 0x 1，x 2＝－1－x 1代入上式得(x 0＋1)(－2－x 1)－(x 0x 1－1)＝0，整理得－2x 0(x 1＋1)＝x 1＋1，由x 1≠－1得x 0＝－12，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ，∵ PQ ∥OA ，∴ OP ＝2OM ，∴ PO →＝2OM →，∴ x 1＝1，∴ P 的坐标为(1，1)．1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3. 定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．请使用课时训练(B)第11课时(见活页)．[备课札记]。

新人教A版(选修2-1)《直线与圆锥曲线》word教案

学校：临清一中学科：数学编写人：牛玉清审稿人：张林点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计。

高三数学总复习直线与圆锥曲线的综合应用教案

芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学总复习0直线与圆锥曲线的综合应用教案〔1〕A版答案：解析：∵双曲线方程可化为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.∴左焦点坐标为.2.双曲线－＝1的渐近线方程为________．答案：y＝±2x解析：∵a＝2，b＝4，∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.3.假设双曲线－y2＝1的一个焦点为(2，0)，那么它的离心率为________．答案：解析：依题意得a2＋1＝4，a2＝3，故e＝＝＝.4.(选修11P39习题2(2)改编)双曲线的焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为，那么双曲线的标准方程为______________________.答案：－＝1解析：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1.由题意，得解得∴焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1.5.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，那么△PF1F2的面积等于________．答案：24解析：由P是双曲线上的一点和3PF1＝4PF2可知，PF1－PF2＝2，解得PF1＝8，PF2＝6.又F1F2＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.1.双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的间隔的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的间隔叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≤－a或者者x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或者者y≥a对称性对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0) 顶点顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A20，a渐近线y＝±x y＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．[备课札记]题型1求双曲线方程例1双曲线的离心率等于2，且经过点M(－2，3)，求双曲线的标准方程．解：假设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由可得＝2，即c＝2a.又M(－2，3)在双曲线上，∴－＝1,∴4b2－9a2＝a2b2①.∵c＝2a，∴b2＝3a2，代入①得a2＝1，b2＝3.∴双曲线方程为x2－＝1.同理，假设双曲线方程为－＝1，那么双曲线方程为－＝1.双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，假设顶点到渐近线的间隔为1，求双曲线方程．解：由题意知：右顶点坐标为(a，0)，其到渐近线的间隔为d＝＝＝1，故a＝2.又渐近线方程为y＝±x，所以b＝，所以双曲线方程为－＝1.题型2求双曲线的根本量例2双曲线的焦点在x轴上，两个顶点间的间隔为2，焦点到渐近线的间隔为.(1)求双曲线的标准方程；(2)写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：(1)依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0,b>0)，那么2a＝2,所以a＝1.设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线的方程为bx－ay＝0，那么焦点到渐近线的间隔d＝＝b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.(2)双曲线的实轴长为2，虚轴长为2，焦点坐标为(－，0),(，0)，离心率为，渐近线方程为y＝±x.如图，F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.假设MF2＝F1F2，那么C的离心率是________．答案：解析：设双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－＋＝1.①双曲线渐近线为y＝±x，由得Q.由得P，∴PQ的中点坐标为.由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.直线F1B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F2M＝.由MF2＝F1F2得＝＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.题型3与椭圆、抛物线有关的根本量例3双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有一样的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)由题意，椭圆4x2＋9y2＝36的焦点为(±，0)，即c＝，∴设所求双曲线的方程为－＝1，∵双曲线过点(3，－2)，∴－＝1,∴a2＝3或者者a2＝15(舍去)．故所求双曲线的方程为－＝1.(2)由(1)可知双曲线的右准线为x＝.设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，那么p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝－x.双曲线C与椭圆＋＝1有一样的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．解：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆方程＋＝1，求得两焦点为(－2，0)、(2，0)，∴对于双曲线C：c＝2.又y＝x为双曲线C的一条渐近线，∴＝，解得a2＝1，b2＝3.∴双曲线C的方程为x2－＝1.1.双曲线C：－＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，那么C的方程为________．答案：－＝1解析：∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.2.假设双曲线－＝1的离心率e＝2，那么m＝________．答案：48解析：根据双曲线方程－＝1知a2＝16，b2＝m，并在双曲线中有a2＋b2＝c2，∴离心率e＝＝2＝4＝m＝48.3.双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，假设PF1⊥PF2，那么PF1＋PF2＝________．答案：2解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为PF1－PF2＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，那么(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.4.双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，那么该双曲线的离心率为________．答案：解析：由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝.5.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公一一共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，假设PF＝5，那么双曲线的渐近线方程为________．答案：y＝±x解析：设点P(m，n)，依题意得，点F(2，0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且PF＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.6.椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，假设以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(a－c)，那么椭圆的离心率e的取值范围是________．答案：解析：因为PT＝－〔b－c〕2)(b＞c)，而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为.依题意有，≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0①.又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1②，联立①②，得≤e＜.1.双曲线－＝1上一点P到右焦点的间隔是实轴两端点到右焦点间隔的等差中项，那么P点到左焦点的间隔为________．答案：13解析：由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，那么|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.2.△ABC外接圆半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，那么过点A且以B、C为焦点的双曲线方程为______________．答案：－＝1解析：∵sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，AC＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，sin∠ACB＝sin(60°－∠BAC)＝sin60°cos∠BAC－cos60°·sin∠BAC＝×－×＝，∴AB＝2Rsin∠ACB＝2××＝6,∴2a＝|AC－AB|＝14－6＝8，∴a＝4，又c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，∴所求双曲线方程为－＝1.3.根据以下条件，求双曲线方程．(1)与双曲线－＝1有一一共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线－＝1有公一一共焦点，且过点(3，2)．解：解法1：(1)设双曲线的方程为－＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为－＝1.(2)设双曲线方程为－＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.(2)设双曲线方程为－＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1.4.双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的间隔等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)假设△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．解：(1)依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为：x2－＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝·＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的间隔之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的间隔〞．假设定义中的“绝对值〞去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2.区分双曲线与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1，椭圆的离心率e∈(0，1)．3.双曲线方程的求法(1)假设不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)；(2)与双曲线－＝1有一一共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；(3)假设渐近线方程为mx＋ny＝0，那么双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．[备课札记]。

高考数学讲义直线与圆锥曲线.参考教案

【例1】直线2y kx =+与椭圆2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】将2y kx =+代入2213x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130(62)12(13)12(31)0k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >．设()()A A B B A x y B x y ，，，，则226231313A B A Bk x x x x k k +=-=++，．由1OA OB ⋅=u u u r u u u r，得2A B A B x x y y +=．而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++222236253(1)221331k k k k k k -=+⋅-⋅+=++．于是2253131k k -=+．解得6k =±．故k 的值为6±．【答案】6±【例2】已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．直线与圆锥曲线.参考教案O xyBA【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过()2210F m -，，所以2212m m -=，得22m =又因为 1.m >所以 2.m =故直线l 的方程为210.x y --=⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点，由2AG GO =u u u r u u u r ，2BH HO =u u u r u u u r ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x xy y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴210x y --=；⑵(12)，．【例3】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．y xDMNB A O【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【解析】⑴由已知，2,3a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．由方程组 2233412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()2234312x kx ++=，即()2234830k xkx ++=．所以 28334M kx k =-+，所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭．所以 222832333448334DNk k k k kk -+==+．直线DN 的方程为 334y x k=+．令0y =，得43,03k B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =43343k k-⋅-=．【答案】⑴22143x y +=；⑵4．【例4】直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，222214121112S b b b b b b =⋅-=-+-=，当且仅当21b b -即22b =（负值舍去）时，S 取到最大值1；⑵联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=，于是22222(8)16(1)(41)1241kb b k AB kk --+=+=+，又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211b Sd AB k ===+，解得：212k =，362b =．故直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =．【答案】⑴2b =时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =．【例5】已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()20,3F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵24,3a c == ∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，5AB = 若1122PAB S AB d ∆== ∴55d =∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是2255555=> ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解由0∆=解得22n =（设负）此时，l '与l 间距离为222155-<∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模【解析】⑴∵22b d ==，∴2b =．∵63c e a ==，∴2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y +=．⑵i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为22233x y b += …………①易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，222222212122724824||()()(11)23344b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==∴1b =ii ）显然OA u u u r 与OB u u ur 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM u u u u r，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：21212323,24b b x x x x +==则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．【答案】⑴221124x y +=；⑵i ）1b =；ii ）221λμ+=．【例7】已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =所以1c =，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+又2222212121212||()()()()AB x x y y x x k x x =-+-=-+-22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅422222644(412)1(34)34k k kk k -=+-++即2222212112(1)||13434k k AB k k k ++=+⋅=++ 又圆O 的半径22|00|||11k k k r k k⨯-+==++ 所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅222112(1)||2341k k k k+=⋅⋅++226||162347k k k +==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得211k =，221817k =-（舍）所以2||221k r k ==+，故圆O 的方程为2212x y +=． ⑵解法二：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ 所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++2212143t t +=+ 所以2112216162||||2437AOBt S FO y y t ∆+=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，解得211,t =221718t =-（舍）又圆O 的半径为22|001|111t r t t-⨯+==++ 所以21221r t ==+，故圆O 的方程为：2212x y +=【答案】⑴22143x y +=；⑵2212x y +=．【例8】已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．⑴求椭圆C 的方程； ⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+ 由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅--> 整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++且2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=．所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【答案】⑴22143x y+=；⑵12y x =．【例9】已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =，又因为点()11A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即219116x +=，解得17x = 则点A 的坐标为732⎫⎪⎪⎝⎭，或732⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l 的方程为77210x y -+=或677210x y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，，当AB 的方程为0x =时，43AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=，所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k +=+++=+，因为()()2212123AB x x y y =-+-22226201344k k k k -⎛⎫+- ⎪++⎝⎭216813k -<<，所以258k <<．因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k+==+，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+，因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(()2332λ∈-U，．综上，实数λ的取值范围为())2332-U，．【答案】⑴直线l 的方程为677210x y -+=或677210x y +-=．⑵实数λ的取值范围为()2332-U，．【例10】已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． l NMD BSyxOA 【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，福建高考【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而101633k M ⎛⎫⎪⎝⎭，．由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-=．设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+，即2222841414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，，又()20B ，．故直线BS 的方程为()124y x k=--．由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+．又0k >，∴1611618233333k k MN k k =+⋅=≥，当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，14k =，此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2，所以T 在平行于BS 且与BS 2的直线l 上．设直线:0l x y t '++=， 242=解得32t =-或52t =-． ①当32t =-时，由2214302x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；②当52t =-时，由2214502x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB∆的面积等于15．法二： ⑴同法一⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴220014x y =-．故2000200012244SA SOy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--．设103MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则0M y >，0N y <．则9110106442233N N N M SA SO y y y y k k ⋅=⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=．故()()823M N M N MN y y y y =+-⋅-=≥，当且仅当()43M N y y =-=时等号成立．即MN 的长度的最小值为83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10433N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=．由22014x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x tx t ++-=，当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()226420440t t ∆=--=，解得5t =±．当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522d +=；当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522d -=∵15TSO S ∆=，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【答案】⑴椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【例11】已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，东城二模【解析】⑴由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为6311b ==+，所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． ⑶当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上．由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r 2225125334344(43)m m m +=-=--++．因为20m ≥，所以21133044(43)m --<+≤．所以54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭u u u u r u u u r ．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M ，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ．所以OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【答案】⑴椭圆C 的方程为22143x y +=；⑵OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例12】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为23的椭圆，其方程为2214x y +=．QPOy x⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r．由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例13】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线:2l y kx =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=u u u r u u u r？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为23的椭圆，QPOy x其方程为2214xy +=． ⑵将2y kx =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得 1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 又()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++ ③若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，得12120x x y y += 将②、③代入上式，解得62k =±．又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将62k =±代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵62k =±．【例14】已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +u u u r u u u r与(31)a =-r ，共线． ⑴求椭圆的离心率；⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，，证明22λμ+为定值．【考点】直线与椭圆【难度】4星【题型】解答【关键字】2005年，全国高考【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)(0)x y a b F c a b+=>>，，，则直线AB 的方程为y x c =-，代入22221x y a b +=，化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，则22222121222222a c a c a b x x x x a b a b-+==++，．由1212()(3,1)OA OB x x y y a +=++=-u u u r u u u r r ，，，OA OB +u u u r u u u r 与a r 共线，得12123()()0y y x x +++= 又1122y x c y x c =-=-，， ∴12123(2)()0x x c x x +-++=，∴1232x x c +=，即222232a c c ab =+，所以223a b =，∴226a c a b -，故离心率6c e a ==⑵由⑴知223a b =，所以椭圆22221(0),(,0)x y a b F c a b+=>>可化为22233x y b +=．设()OM x y =u u u u r，，由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，，∴1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩．∵()M x y ，在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=．即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=① 由⑴知222212331222c x x a c b c +===，，，22222122238a c a b x x c a b -==+， 212121212121233()()43()3x x y y x x x c x c x x x x c c +=+--=-++222393022c c c =-+=，又22222211223333x y b x y b +=+=，，代入①得221λμ+=．故22λμ+为定值，定值为1．【答案】⑴离心率6e c a ==⑵22λμ+为定值1．【例15】已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P (2,1)且离心率2e 2=．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅u u u r u u u r为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星【题型】解答【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知可得2222222211a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得 224,2a b ==．所求椭圆的方程为22142x y +=．⑵设1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+．222222(1)(12)4240240y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，于是2122412k x x k +=-+，21222412k x x k -=+，2221212121223(1)(1)(1)12k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+ 21122121212(,)(,)()MA MB x m y x m y x x m x x m y y ⋅=--=-+++u u u r u u u r22222222443121212k mk k m k k k --=++++++2222(241)412m m k m k +-+-=+2222211(241)(21)(241)42212m m k m m m k +-+-+-+-=+227212(241)212m m m k +=+--+ MA MB ⋅u u u v u u u v是与k 无关的常数，∴7202m +=∴74m =-，即7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，1516MA MB ⋅=-u u u v u u u v ．当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程为1x =-．此时点,A B 的坐标分别为661,,1,22⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．综上，在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【答案】⑴22142x y +=．⑵在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【例16】若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】将2y kx =+代入226x y -=，化简得22(1)4100k x kx ---=，150k ∆=⇒= 双曲线的渐近线的斜率为1±，2y kx =+过定点(02)，，数形结合即可得151k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．【答案】151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【例17】过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】垂直于x 轴的弦所在的直线，另两条大致如图所示．O yx【答案】3；【例18】过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】两条切线、两条与渐近线平行的直线．【答案】4453⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭，；【例19】若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】对应方程有一正根一负根，只需122501x x k -=<-，解得k 的取值范围为(11)-，．【答案】(11)-，【例20】若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-，又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<．【答案】51k <<【例21】已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】将y kx b =+代入双曲线方程消去y 得222(21)4(21)0k x kbx b -+++=，当2120k -=即2k =时，若0b =，则y kx b =+为双曲线的渐近线，与双曲线无公共点；当2120k -≠即2k ≠时，依题意有2222164(21)(21)0k b k b ∆=--+≥，化简得： 22221k b +≤对所有实数b 恒成立，而221b +的最小值为1，所以必须221k ≤恒成立，解得22k ，又2k ≠，于是可得k 的范围为22(，．此题也可以画图，用数形结合的思想进行解答．【答案】22⎛ ⎝⎭，【例22】已知以原点O 为中心，()50F，为右焦点的双曲线C 的离心率52e =． ⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y +=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH △的面积．EO yxH GMN l 2l 1【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，重庆高考【解析】⑴设C 的标准方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则由题意5c =，又52c e a ==， l 1l 2NMGHxyO EQ因此2a =，221b c a =-=，C 的标准方程为2214x y -=．C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=．⑵解法一：如图，由题意点()E E E x y ，在直线111:44l x x y y +=和222:44l x x y y +=上，因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=．故点M 、N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=．设G 、H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点，由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22G E E y x y =+，22H E Ey x y =--．设MN 与x 轴的交点Q ，则在直线44R E x x y y +=中，令0y =得4Q Ex x =（易知0E x ≠）．注意到2244EE x y -=，得 1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =⋅⋅-=⋅++-△222424E E R E x x x y =⋅=-．解法二：设()E E E x y ，，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得()2112214E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-．因21x x ≠，则直线MN 的斜率21E 21E4y y xk x x y -==--．故直线MN 的方程为()114EEx y y x x y -=--，注意到1144E E x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=．下同解法一．【答案】⑴C 的标准方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为20x y -=和20x y +=；⑵2．【例23】已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，33x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，北京高考【解析】法一：⑴由题意得233.a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1a =，3c =．所以2222b c a =-=．所以双曲线C 的方程为2212y x -=．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得：()222000344820x x x x x --+-=．因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且2002x <<，所以20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->．设A B ，两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，则01220434x x x x +=-，2012208234x x x x -=-．因为cos OA OBAOB OA OB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦2200220082280334x x x x --=+=-，所以AOB ∠的大小为90︒．法二： ⑴同法一．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上，圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=，得 ()22200344820xx x x x --+-=， ①()22200348820xy y y x -+-+=． ②因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，所以2340x -≠．设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则2012208234x x x x -=-，2012202834x y y x -=-．所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．所以AOB ∠的大小为90︒．（因为22002x y +=且000x y ≠，所以22000202x y <<<<，，从而当20340x -≠时，方程①与方程②的判别式均大于0）【答案】⑴2212y x -=;⑵AOB ∠的大小为90︒．【例24】已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【考点】直线与双曲线【难度】4星【题型】解答【关键字】2009年，江西高考【解析】⑴由已知得2(30)F b ，，083A b y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--，令0x =得09y y =，即20(09)P y ，，设P x y （，），则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=，即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．⑵在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =，则不妨设()20B b ，，()20D b ，，于是直线QB 的方程为：112)2y x b x b =++，直线QD 的方程为：)1122y x b x b=-，可得11202by M x b ⎛ +⎝，，11202by N x b ⎛- -⎝，，则以MN 为直径的圆的方程为： 2111122022by by x y y x b x b ⎛++= +-⎝，令0y =得222122122b y x x b =-，而11Q x y （，）在22221225x y b b -=上，则222112225x b y -=，于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【答案】⑴22221225x y b b -=；⑵以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【例25】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”【考点】直线与抛物线【难度】5星【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】设(1)P a a -，，200()A x x ，，则由PA AB =且三点共线可得B 点的坐标为 200(221)x a x a --+，，由B 点在抛物线上知： 2222000021(2)44x a x a x ax a -+=-=-+，整理得：22002410x ax a a -++-=．从而知0x 为方程222410x ax a a -++-=的解，当此方程有解时，对应的点(1)P a a -，为“A 点”．而此方程的判别式222168(1)8(1)0a a a a a ∆=-+-=-+>恒成立，故选A ．该题是所有选择题中最难的，也可以算是唯一的难题，解决直线与圆锥曲线问题的常规方法联立方程利用韦达定理不适合此题，所以需要将题目的条件进行合适的转化．【答案】A ；【例26】如图抛物线1C ：22y px =和圆2C ：22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（）A ． 24pB ． 23pC ． 22pD ．2pODC B Ayx【考点】直线与抛物线【难度】星【题型】选择【关键字】2010年，宣武一模【解析】此题宜取特殊值．不妨设直线l 的方程为2px =，于是分别联立l 与12,C C ，解得,,,,,,,222222p p p p p p A p B C D p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是2224p p p AB CD ⋅=⋅=u u u r u u u r ．【答案】A ；【例27】已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+=u u u r u u u u r _______．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得2MP MQ ==u u u r u u u u r，从而222221111122p p pMPMQ+=+=u u u r u u u u r ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得：222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ+=+-+-+u u u r u u u u r22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++，代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r ．综上知，222111p MP MQ+=u u u r u u u u r ．【答案】21p ；【例28】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差是1．⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，湖北高考【解析】⑴设()P x y ，是曲线C 上任意一点，那么点()P x y ，满足：22(1)1(0)x y x x -+-=>，化简得24(0)y x x =>．⑵设过点(0)M m ，(0)m >的直线l 与曲线C 的交点为12()A x y ，，22()B x y ，，设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，216()0t m =+>△，于是121244y y ty y m +=⎧⎨=-⎩①又12(1)FA x y =-u u u r ，，22(1)FB x y =-u u u r ，， 12121212120(1)(1)()10FA FB x x y y x x x x y y ⋅<⇔--+=-+++<u u u r u u u r②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212104444y y y y y y ⎛⎫⋅+-++< ⎪⎝⎭ 2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦ ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+< ④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切，成立等价于 2610m m -+<，即322322m a -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(0)M m ，，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r，且m 的取值范围是()322322-+，．【答案】⑴24(0)y x x =>；⑵()322322-+，．【例29】已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅=u u u r u u u r ，求BDK △的内切圆M 的方程．【考点】直线与抛物线【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭ 令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-u u u r，，22(1)FB x y =-u u u r ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-u u u r u u u r故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+= 又由①知：2214(4)4473y y m +=±-⨯=± 故直线BD 的斜率：21437y y =±- 因而直线BD 的方程为：3730x y +-=，3730x y --=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去），故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2014届高三数学总复习 9.11直线与圆锥曲线的综合应用教案1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________．答案：y 2＝12x解析：双曲线x 24－y25＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x.2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．答案：x 24＋y216＝1解析：双曲线方程可化为y 212－x24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x 24＋y216＝1.3. 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝________．答案：4解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p 2＝2，p ＝4.4. 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→²PF 2→的最小值为________．答案：－2解析：设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，由双曲线方程得y2＝3(x 2－1).PA 1→²PF 2→＝(－1－x ，－y)²(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA 1→²PF 2→取得最小值－2.5. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的轨迹．当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线． 2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2) 通过曲线的方程研究曲线的性质． 4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4) 化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1 最值问题例1 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．解：(1) 设椭圆左焦点为F(－c ，0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2＋c ）2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2，得m ＝0(舍去)或k ＝－32. 此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以AB ＝1＋k 2²|x 1－x 2|＝396²12－m 2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12AB ²d ＝36²（m －4）2＋12－m 2.其中m ∈(－23，0)∪(0，23)．令u(m)＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23]，u ′(m)＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)²(m－1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.变式训练如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0.AT ：x a 2c ＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，解得交点C(2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2)，代入①得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2（a 2－c 2）2（a 2＋c 2）2＝1，满足①式，则C 点在椭圆上，即A 、C 、T 三点共线． (2) 解：过C 作CE⊥x 轴，垂足为E ，则△OBF∽△ECF.∵ BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.此时C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝23 5c ，S △ABC ＝12²2c ²4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5，S △APC ＝12d ²AC ＝12²x 0＋2y 0－2c 5²23 5c ＝x 0＋2y 0－2c 3²c.只须求x 0＋2y 0的最大值，(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2²2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 20＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t2－2c 2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t≤6c.当t ＝6c ，代入原方程解得x 0＝y 0＝63c.∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1.P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.题型2 定值问题例2 如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0，a 、b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b<t 1<a.点A 1、A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A 、B 、C 、D 四点．(1) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2) 设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A′，B ′，C ′，D ′四点，其中b<t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．(1) 解：设A(x 1，y 1)，B(x 1，－y 1)，又知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a)．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A(x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x<－a ，y<0)．(2) 证明：设A′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(4m ，0)(m ＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若θ＝90°，1MF ＋1NF ＝5 29，求实数m ；(3) 试问1MF ＋1NF的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．解：(1) ∵ c＝4m ，椭圆离心率e ＝c a ＝45，∴ a ＝5m.∴ b＝3m.∴ 椭圆C 的标准方程为x 225m 2＋y29m 2＝1.(2) 在椭圆方程x 225m 2＋y29m2＝1中，令x ＝4m ，解得y ＝±9m5.∵ 当θ＝90°时，直线MN⊥x 轴，此时FM ＝FN ＝9m 5，∴ 1MF ＋1NF ＝109m .∵ 1MF ＋1NF ＝5 29，∴ 109m ＝5 29，解得m ＝ 2. (3) 1MF ＋1NF的值与θ的大小无关．证明如下：(证法1)设点M 、N 到右准线的距离分别为d 1、d 2. ∵ MF d 1＝45，NF d 2＝45，∴ 1MF ＋1NF ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫1d 1＋1d 2.又由图可知，MFcos θ＋d 1＝a 2c －c ＝9m4，∴ d 1⎝ ⎛⎭⎪⎫45cos θ＋1＝9m 4，即1d 1＝49m ⎝ ⎛⎭⎪⎫45cos θ＋1. 同理，1d 2＝49m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45cos （π－θ）＋1＝49m (－45cos θ＋1)．∴ 1d 1＋1d 2＝49m ⎝ ⎛⎭⎪⎫45cos θ＋1＋49m (－45cos θ＋1)＝89m . ∴ 1MF ＋1NF ＝54²89m ＝109m. 显然该值与θ的大小无关．(证法2)当直线MN 的斜率不存在时，由(2)知，1MF ＋1NF的值与θ的大小无关．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k(x －4m)，代入椭圆方程x 225m 2＋y29m2＝1，得(25k 2＋9)m 2x 2－200m 3k 2x ＋25m 4(16k 2－9)＝0. 设点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)， ∵Δ＞0恒成立，∴ x 1＋x 2＝200mk 225k 2＋9，x 1²x 2＝25m 2（16k 2－9）25k 2＋9. ∵MF 25m 4－x 1＝45，NF 25m 4－x 2＝45， ∴ MF ＝5m －45x 1，NF ＝5m －45x 2.∴1MF ＋1NF＝15m －45x 1＋15m －45x 2＝10m －45（x 1＋x 2）1625x 1x 2－4m （x 1＋x 2）＋25m 2＝90k 2＋9081mk 2＋81m ＝109m . 显然该值与θ的大小无关．题型3 定点问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1) 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2 322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724.所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2) 设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k(x －m)，即kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1km ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2的距离相等．故有|－3k －1＋n －km|k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －5＋n ＋1k m 1k2＋1，化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无穷多解，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0，解得点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.备选变式（教师专享）已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ 点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM 为y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. ∵ k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k2.∴直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. (理)题型4 轨迹问题例4 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解：如题图，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．根据已知，设A(－c ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，h ，E(x 0，y 0)，其中c ＝12|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由AE →＝λEC →，即(x 0＋c ，y 0)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－x 0，h －y 0，得x 0＝（λ－2）c 2（1＋λ），y 0＝λh 1＋λ.不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则离心率e ＝ca.由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e ＝ca代入双曲线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧e 24－h2b2＝1，①e 24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－2λ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ＋12h2b2＝1，② 由①式得h 2b 2＝e24－1， ③将③式代入②式，整理得 e 24(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－3e 2＋2.由已知23≤λ≤34，所以23≤1－3e 2＋2≤34，解之得 7≤e ≤10，所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.(ⅰ) 求圆M 的方程；(ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.由题意知y x ＋4²y x －4＝－14，即x 216＋y24＝1(x≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y24＝1(x≠±4)．(2) (ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3. 设M(a ，2a ＋3)(a ＞0)，则圆M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2.所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(ⅱ)假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k³r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1r ＋（b －3）＝r 1＋k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．学生错解：解：(1) 略(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0，y 0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M(x 1，0)，则MP →²MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1，4k ＋m)，由MP →²MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)，方程无解．故不存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.审题引导： (1) 建立方程组求解参数a ，b ，c ；(2) 恒成立问题的求解；(3) 探索性问题的一般解题思路．规范解答：解：(1) 因为AB ＋AF 2＋BF 2＝8，即AF 1＋F 1B ＋AF 2＋BF 2＝8，(1分) 又AF 1＋AF 2＝BF 1＋BF 2＝2a ，(2分) 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，(3分)所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y23＝1.(4分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.(5分)因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0，y 0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)(7分)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)．(9分) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．(10分)设M(x 1，0)，则MP →²MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1，4k ＋m)，由MP →²MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)(12分)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.(13分)故存在定点M(1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.(14分)错因分析：本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M 必在x 轴上．同时不会利用恒成立求解．1. 已知抛物线y 2＝2px(p≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b.将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p)x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p)．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p)2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p(2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.2. 已知抛物线y 2＝2px(p≠0)及定点A(a ，b)，B(－a ，0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A 、M 、M 1共线可知y 0－b y 202p －a ＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b，同理由点B 、M 、M 2共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y)是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y(y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pa y 0，则(2px －by)y 20＋2pb²(a－x)y 0＋2pa²(by－2pa)＝0.当x ＝a ，y ＝2pab 时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1，0)． (1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解：(1) 设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2＝1，p ＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.(2) 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4，直线MO 的方程：y ＝－y 1x ，将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立解得A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－4y 1.同理可得B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 22，－4y 2，则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 2－4y 1，整理得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0，故直线AB 恒过定点(1，0)．4. 已知椭圆E ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足MA⊥MB.(1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程；(2) 若Rt △MAB 面积的最大值为278，求a ；(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．解：(1) 由题，a 2＝c 2＋1，d ＝a 2c ＝c 2＋1c ＝c ＋1c≥2，当c ＝1时取等号，此时a 2＝1＋1＝2，故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 不妨设直线MA 的斜率k>0，直线MA 方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，①x 2a 2＋y 21＝1，②① 代入②整理得(a 2k 2＋1)x 2＋2a 2kx ＝0，解得x A ＝－2a 2ka 2k 2＋1，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2k a 2k 2＋1，1－a 2k 2a 2k 2＋1，由MA⊥MB 知直线MB 的斜率为－1k，可得B(2a 2k a 2＋k 2，k 2－a2a 2＋k2)，则MA ＝1＋k 2²2a 2k a 2k 2＋1，MB ＝1＋1k 22a 2k a 2＋k 2＝k 2＋12a 2a 2＋k 2.则S △MAB ＝12MA ²MB＝12(1＋k 2)4a 4k （a 2k 2＋1）（a 2＋k 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2a 4a 2⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋（a 4＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2a 4a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋（a 4－2a 2＋1）. 令k ＋1k＝t(t≥2)，则S △MAB ＝2a 4t a 2t 2＋（a 2－1）2＝2a 4a 2t ＋（a 2－1）2t≤2a 42a （a 2－1）＝a3a 2－1. 当t ＝a 2－1a 时取“＝”，∵ t ＝a 2－1a ≥2，得a>2＋1.而(S △MAB )max ＝a 3a 2－1＝278，故a＝3或a ＝3±29716(舍)．综上a ＝3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y 轴上．当k ＝1时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2a 2＋1，1－a 2a 2＋1，直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 2＋1.下面证明A 、Q 、B 三点共线：∵ k AQ ＝1－a 2k 21＋a 2k 2－1－a21＋a2－2a 2k 1＋a 2k 2＝（1－a 2k 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（1＋a 2k 2）－2a 2k （1＋a 2）＝k 2－1k （1＋a 2）， k BQ ＝k 2－a 2a 2＋k 2－1－a 21＋a 22a 2k k 2＋a 2 ＝（k 2－a 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（a 2＋k 2）2a 2k （1＋a 2）＝k 2－1k （1＋a 2）. 由k AQ ＝k BQ 知A 、Q 、B 三点共线，即直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 2＋1. 5. 设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a ＋y2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．(1) 求证：1a 2＋1b2＝1；(2) P 是椭圆E 上异于A 1、A 2的一点，若直线PA 1、PA 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →²ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．(1) 证明：已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，A 1、A 2与B 分别为椭圆E 的左、右顶点与上顶点，所以A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B(0，b)，直线A 2B 的方程是x a ＋yb ＝1.因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，所以11a 2＋1b 2＝1，即1a 2＋1b2＝1. (2) 解：设P(x 0，y 0)，则直线PA 1、PA 2的斜率之积为kPA 1²kPA 2＝y 0x 0＋a ²y 0x 0－a ＝y 2x 20－a2＝－13，x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以b 2＝13a 2.结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43.所以椭圆E的方程为x 24＋3y24＝1.(3) 解：设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x2a2＋（kx ＋m ）2b 2＝1.化简得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ>0)．∴ x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2km b 2＋a 2k 2＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.因为OM →²ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0.结合(1)的1a2＋1b2＝1，得m2＝1＋k2.圆心到直线l的距离为d＝|m|1＋k2＝1，所以直线l与圆C相切．②若直线l的斜率不存在，设直线l为x＝n.代入x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b1－n2a2.∴|n|＝b²1－n2a2，∴ a2n2＝b2(a2－n2)．解得n＝±1，所以直线l与圆C相切．6. 已知曲线C上动点P(x，y)到定点F1(3，0)与定直线l1∶x＝433的距离之比为常数32.(1) 求曲线C的轨迹方程；(2) 以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与曲线C交于点M与点N，求TM→²TN→的最小值，并求此时圆T的方程．解：(1) 过点P作直线的垂线，垂足为D.|PF1||PM|＝32，（x－3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－433＝32，所以该曲线的方程为x24＋y2＝1.(2) 点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点M在椭圆C上，所以y21＝1－x214.由已知T(－2，0)，则TM→＝(x1＋2，y1)，TN→＝(x1＋2，－y1)，∴TM→²TN→＝(x1＋2，y1)²(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－⎝⎛⎭⎪⎫1－x214＝54x21＋4x1＋3＝54²⎝⎛⎭⎪⎫x1＋852－15.由于－2<x1<2，故当x1＝－85时，TM→²TN→取得最小值为－15.计算得，y1＝35，故M⎝⎛⎭⎪⎫－85，35.又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝1325.故圆T的方程为(x＋2)2＋y2＝1325.1. 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B 两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.(1) 求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；(2) 设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．(1) 证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，所以y′＝12x, 所以，直线AM 的斜率为k AM ＝12x 1,所以，直线AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又x 21＝4y 1,所以，直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1) ①，同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2) ②，②－①并据x 1≠x 2得点M 的横坐标x ＝x 1＋x 22，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列．(2) 解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k≠0).所以k MF ＝2－2k ＝－1k ，则直线MF 的方程为y ＝－1kx ＋1，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝－1k x ＋1消去y ，得x 2＋4k x －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0, 所以x 3＋x 4＝－4k ，x 3x 4＝－4，又|AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(k 2＋1)，|CD|＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2＝（1＋1k 2）（x 3－x 4）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（x 3＋x 4）2－4x 3x 4]＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，因为k MF ²k AB ＝－1，所以AB⊥CD ，所以S ACBD ＝12|AB|²|CD|＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1()k 2＋1＝8²⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋2≥32,当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.2. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝63，一条准线方程为x ＝362(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设G 、H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG⊥OH. ① 当直线OG 的倾斜角为60°时，求△GOH 的面积； ② 是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．解：( 1) 因为c a ＝63，a 2c ＝362，a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝3，b ＝3，所以椭圆方程为x 29＋y23＝1.(2) ① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 29＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝910，y 2＝2710，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，x 29＋y23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝92，y 2＝32，所以OG ＝3105，OH ＝6，所以S △GOH ＝3155.② 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则OG²OH＝R²GH，因为OG 2＋OH 2＝GH 2，故1OG 2＋1OH 2＝1R2，当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为y ＝kx,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2G ＝91＋3k 2，y 2G ＝9k 21＋3k 2，所以OG 2＝9＋9k 21＋3k 2，同理可得OH 2＝9k 2＋93＋k 2，(将OG 2中的k 换成－1k可得)1OG 2＋1OH 2＝49＝1R 2，R ＝32，当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得1OG 2＋1OH 2＝49＝1R 2，故满足条件的定圆方程为：x 2＋y 2＝94.3. 已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线x 2a 2－y2b2＝1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l⊥l 1.又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B(如图)．(1) 当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；(2) 当FA →＝λAP →，求λ的最大值．解：(1) ∵双曲线的渐近线为y ＝±bax ，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠POx ＝30°，即b a ＝tan30°＝33. ∴a ＝3b. 又a 2＋b 2＝4，∴a 2＝3，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2) 由已知l ：y ＝a b (x －c)，与y ＝b a x 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .由FA →＝λAP →，得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c ＋λ²a 2c 1＋λ，λ²ab c 1＋λ. 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c 2＋λa 2)2＋λ2a 4＝(1＋λ)2a 2c 2.∴(e 2＋λ)2＋λ2＝e 2(1＋λ)2.∴λ2＝e 4－e 2e 2－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－e 2）＋22－e 2＋3≤3－2 2.∴λ的最大值为2－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .(1) 求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1) 设点P(x ，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA 得y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x≠0且x≠－1)．(2) 设P(x 1，x 21)，Q(x 2，x 22)，M(x 0，y 0)，由PQ →＝λOA →可知直线PQ∥OA，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＋x 1＝－1，由O 、M 、P 三点共线可知， OM →＝(x 0，y 0)与OP →＝(x 1，x 21)共线，∴ x 0x 21－x 1y 0＝0，由(1)知x 1≠0，故y 0＝x 0x 1，同理，由AM →＝(x 0＋1，y 0－1)与AQ →＝(x 2＋1，x 22－1)共线可知(x 0＋1)(x 22－1)－(x 2＋1)(y 0－1)＝0，即(x 2＋1)[(x 0＋1)²(x 2－1)－(y 0－1)]＝0，由(1)知x 2≠－1，故(x 0＋1)(x 2－1)－(y 0－1)＝0，将y 0＝x 0x 1，x 2＝－1－x 1代入上式得(x 0＋1)(－2－x 1)－(x 0x 1－1)＝0，整理得－2x 0(x 1＋1)＝x 1＋1，由x 1≠－1得x 0＝－12，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ， ∵ PQ ∥OA ， ∴ OP ＝2OM ， ∴ PO →＝2OM →， ∴ x 1＝1，∴ P 的坐标为(1，1)．1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． (1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3. 定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ，k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．请使用课时训练(B)第11课时(见活页)．[备课札记]。

高三数学总复习 9.11直线与圆锥曲线的综合应用教案(2)新人教A版

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1

高中数学 直线与圆锥曲线(2)教案 新人教A版选修2-1

高三数学第一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教版A版)

高三数学专题复习 直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1

直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆锥曲线的位置关系教案理解析版

2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的位置关系教案

高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案

直线与圆锥曲线的位置关系教案

高考数学总复习教案：9.11直线与圆锥曲线的综合应用(2)

新人教A版(选修2-1)《直线与圆锥曲线》word教案

高三数学总复习 直线与圆锥曲线的综合应用教案

高考数学讲义直线与圆锥曲线.参考教案

高中数学直线与圆锥曲线(2)教案新人教A版选修2-1

高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系教案(人教版A版)

高三数学专题复习直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

高三数学总复习直线与圆锥曲线的综合应用教案