2016-2017学年青海省西宁市高一(下)期末数学试卷及答案

2016-2017学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若a＞b，c∈R，则下列不等式中成立的是（）A．ac＞bc B．C．D．ac2≥bc22．（5分）把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上都不对3．（5分）不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1＝0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方4．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝（）A．5B．±5C．±3D．35．（5分）下列叙述错误的是（）A．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C．两个对立事件的概率之和为1D．对于任意两个事件A和B，都有P（A∪B）＝P（A）+P（B）6．（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都为a，灯塔A在C的北偏东30°，B在C 的南偏东60°，则A，B两灯塔之间距离为（）A．2a B．a C．a D．a7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5B．5，5C．3，7D．5，78．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1，则输出的S＝（）A．2B．3C．4D．59．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°B．b＝18，c＝20，B＝60°C．a＝15，b＝2，A＝90°D．a＝4，b＝3，A＝120°10．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表如下：由表中数据，得到线性回归方程＝﹣2x+（∈R），由此估计山高为72km处气温的度数是（）A．﹣10B．﹣8C．﹣6D．﹣411．（5分）已知直线y＝3﹣x与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）恒成立，则a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥﹣2C．a≥﹣D．a≥﹣3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）△ABC为钝角三角形；且∠C为钝角，则a2+b2与c2的大小关系为．14．（5分）将某班的60名学生编号为：01，02，03，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是．15．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{a n}的通项公式为．16．（5分）若a＞0，b＞0，a与b的等差中项是5，则ab的最大值是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．18．（12分）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a8，求数列{b n}前n项和T n．20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．21．（12分）在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．22．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；（2）若f（1）＝3，a＞0，b＞0，求的最小值．2016-2017学年青海省西宁市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】R3：不等式的基本性质．【解答】解：∵a＞b，故当c＝0时，ac＝bc＝0，故A不成立．当b＝0 时，显然B、C不成立．对于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．2．【考点】C4：互斥事件与对立事件．【解答】解：把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C．【点评】本题考查对立事件、互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．3．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【解答】解：取坐标原点，可知原点在直线x+y﹣1＝0的左下方∵（0，0）代入，使得x+y﹣1＜0∴不等式x+y﹣1＞0表示的平面区域在直线x+y﹣1＝0的右上方．故选：C．【点评】本题考查二元一次不等式表示的平面区域，通常以直线定界，特殊点定区域，属于基础题．4．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得a5＝a1q4，即9＝1•q4，解得q2＝3，∴a3＝a1q2＝3，故选：D．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．5．【考点】2K：命题的真假判断与应用；C4：互斥事件与对立事件．【解答】解：根据概率的定义可得若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故A正确．根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，且两个对立事件的概率之和为1，故B、C正确．对于任意两个事件A和B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），只有当A、B是互斥事件时，才有P（A∪B）＝P（A）+P（B），故D不正确，故选：D．【点评】本题主要考查事件的概率的定义、互斥事件和对立事件的定义、互斥事件和对立事件的概率计算公式的应用，属于基础题．6．【考点】HU：解三角形．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；由图可知：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝a2+a2＝2a2，∴A，B两灯塔之间距离为AB＝a．故选：C．【点评】本题考查了解三角形的实际应用问题，关键是如何把实际问题转化为数学问题，是基础题．7．【考点】BA：茎叶图．【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y＝5，则乙组数据的平均数为：66，故x＝3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．8．【考点】EF：程序框图．【解答】解：执行程序框图，有S＝0，K＝1，a＝﹣1，代入循环，第一次满足循环，S＝﹣1，a＝1，K＝2；满足条件，第二次满足循环，S＝1，a＝﹣1，K＝3；满足条件，第三次满足循环，S＝﹣2，a＝1，K＝4；满足条件，第四次满足循环，S＝2，a＝﹣1，K＝5；满足条件，第五次满足循环，S＝﹣3，a＝1，K＝6；满足条件，第六次满足循环，S＝3，a＝﹣1，K＝7；K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．9．【考点】HU：解三角形．【解答】解：对于A，a＝8，b＝16，A＝30°，∴由正弦定理＝得：sin B＝1，∴B＝90°，此三角形只有1解；对于B，b＝18，c＝20，B＝60°，∴由正弦定理＝得：sin C＝＝＞，∵b＜c，∴60°＝B＜C，∴C有2个值，此三角形有2解；对于C，a＝15，b＝2，A＝90°，由勾股定理知，该三角形只有1解；对于D，a＝4，b＝3，A＝120°，由A＝120°知B只能是锐角，∴B有1解．故选：B．【点评】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理的应用问题，是中档题．10．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：由题意，＝＝10，＝＝40，代入到线性回归方程＝﹣2x+，可得＝60，∴＝﹣2x+60，∴由＝﹣2x+60＝72，可得x＝﹣6，故选：C．【点评】本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：如图所示，△OAB对应的区域为Ω1，△OBC对应的区域为Ω2，联立，解得C（1，2），∴S△OBC＝×3×1＝，S△OAB＝×3×3＝，由几何概型可知，该点落在区域Ω2的概率为：P＝＝．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是中档题．12．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）成立，则等价为a≥对于一切x∈（0，）成立，即a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，）成立，设y＝﹣x﹣，则函数在区间（0，〕上是增函数∴﹣x﹣＜﹣2＝﹣，∴a≥﹣．故选：C．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法，进行转化，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角∴cos C＜0∵∴a2+b2＜c2，故答案为：a2+b2＜c2【点评】本题考查的重点是余弦定理的运用，考查三角函数的符号，属于基础题．14．【考点】B4：系统抽样方法．【解答】解：用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，随机抽得的一个号码为04则剩下的四个号码依次是16、28、40、52．故答案为：16、28、40、52【点评】系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．15．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}是公差d≠0的等差数列，∵a2，a4，a8成等比数列，∴＝a2a8，∴（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），化为2d2﹣4d＝0，解得d＝2或d＝0（舍）．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．故答案为：a n＝2n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：a＞0，b＞0，a与b的等差中项是5，可得a+b＝10，由ab≤（）2＝25，当且仅当a＝b＝5取得最大值25，故答案为：25．【点评】本题考查等差数列中项的定义，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有，解可得x＝1，y＝3；（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共＝10种，而二人都来自高校C的情况有＝3种；则这二人都来自高校C的概率为．【点评】本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算，难度不大，注意组合数公式的运用．18．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【解答】解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D．则A，B，C，D互为互斥事件，则有P（A）＝，P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝，P（D∪C）＝P（D）+P（C）＝，P（B∪C∪D）＝1﹣P（A）＝1﹣＝，解得：P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝．∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，．【点评】本题考查了等可能事件的概率，考查了互斥事件的概率加法公式，关键是明确互斥事件和的概率等于概率的和，是中档题．19．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，可得n＝1时，a1＝S1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立．则a n＝2n，n∈N*；（2）由（1）知a n＝2n，可得b1＝a1＝2，b4＝a8＝16，设等比数列{b n}的公比为q，则q3＝＝8，可得q＝2，数列{b n}前n项和T n＝＝2n+1﹣2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．21．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题22．【考点】3V：二次函数的性质与图象；7E：其他不等式的解法；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）由f（x）＞0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）＝0的两根，由根与系数的关系可得，解得；（2）f（1）＝3得a+b＝2，∵a＞0，b＞0∴＝（a+b）（）＝（5+）（5+2）＝；当且仅当b＝2a时取得等号．∴的最小值是．【点评】此题考查了一元二次不等式与方程根的关系以及利用基本不等式求代数式的最小值；关键是适当变形．。