小学六年级立体图形三视图及展开图

立体图形三视图及展开图一、知识点(一)三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察，角度不同，看到的风景就会不同。

比如：我们可以从正面看、上面看、左面看，看到的图形分别称为正视图、俯视图和左视图，并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的。

对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积(二)正方体的展开图展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等，我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面(三)长方体的展开图：观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即S上＝S下＝长×宽，S左＝S右＝宽×高，S前＝S后＝长×高。

(四)判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断。

二、题型(一)展开图与对立面【例1.1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。

则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________。

【答案】后面、上面、左面【解析】易知“你”、“程”相对，“前”、“锦”相对，“祝”、“似”相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面。

【例1.2】一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下。

现在每方格内都填上相应的数字。

已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是___________。

【答案】3、1、2【解析】面上的数是“0”，与“B”相对的面上的数是“2”，与“C"相对的面上的数是“1”。

所以A、B、C内的三个数字依次是3、1、2。

【例1.3】将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )。

【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D，易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B。

【例1.4】下图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有______条棱。

【答案】20【解析】此立体图形，示意图如下，共20条棱。

【例1.5】一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是___________，___________，___________。

【答案】B与D相对，E与A相对，C与F相对【解析】第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B出现了2次，那么由第一种摆放可知，B不与A相对，也不与F相对；由第二种摆放可知，B不与C相对，也不与E相对。

那么在所有的字母中，B只能与D相对。

第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E出现了2次，那么由第二种摆放可知，E不与B相对，也不与C相对；由第三种摆放可知，E不与D相对，也不与F相对。

那么在所有的字母中，E只能与A相对。

正方体有三个对面，因B与D相对，E与A相对，那么第三组对面上一定是C与F相对。

【例1.6】把1至6各一个数字分别写在正方体的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图(a)所示，从另一个角度看到的三个面如图(b)所示，那么图(b)中的“？”代表的数字是_______。

【答案】2【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b；而5对面是2，所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2。

【例1.7】图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母？【答案】A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E【解析】由已知条件，标有C、D的两个面不能相对，那么或A的对面标有D，或B的对面标有D。

如果标有D、A的两个面相对，那么“标有C、D的两个面不能相对”，“标有E、A的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足。

注意到当D在朝右的面，E在朝上的面时，F在朝前的面上，那么只能是标有E、C的两个面相对，而标有F、B的两个面相对。

经检验，这种情况满足题目要求。

如果标有D、B的两个面相对，那么由于标有E、A的两个面也不能相对，于是标有A的对面就是标有F的面，而标有C的对面就是标有E的面。

此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上。

我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符。

综上所述，满足题意的答案只有一个：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E。

【例1.8】小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排(如图)，那么这五颗骰子底面上的点数之和是______。

【答案】16【解析】根据已知推出(4，5)(1，3)(2，6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6＋1＋5＋2＋2＝16。

【例1.9】如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF六个字母。

其中A与D相对，B与E相对，C与F相对。

现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】字母A【解析】发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致，那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变。

所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致。

再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A。

【例1.10】如图，在一个正方体的表面上写着1～6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6，现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示，如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上(写出字母代号)？【答案】A【解析】对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面。

如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1、A、B的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A、B、C的三个面也两两相邻。

此时，写有1的面与A面、B面都相邻，C 面也与A面、B面都相邻，因此写有1的面与C面相对，即C面上写的是4。

观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B面相对，因此B面上写的是5。

则立方体展开图就如图4所示。

还剩下A面与D面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6。

由于1面、5面与A面两两相邻，把这三个面还原到立方体中。

在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上。

在展开图中以1面为朝前的侧面，A面为下底面，则5面恰好在朝左的侧面上。

此时1面，5面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A面上就是6。

【例1.11】下图是正方体，四边形APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来。

【答案】见解析【解析】截线在展开图中如图所示；【例1.12】下图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形，现在将其沿实线折叠，还原成原来的立体图形。

那么立体图形的体积等于_______。

【答案】4【解析】根据实线还原，体积为4。

(二)三视图求表面积【例2.1】下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是( )。

【答案】C【解析】5个在原图均已看到，易知C符合要求。

【例2.2】右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图形是____号。

【答案】②【解析】从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③，所以正确答案是图②【例2.3】图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为__________。

【答案】34【解析】按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积。

【例2.4】用棱长是1cm的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是_____cm²。

【答案】46cm²【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形，面积是9cm²。

如图2，从四个侧面看去，看到的7块小正方形，面积是7cm²。

所以立体图形的表面积为9×2＋7×4＝46cm²。

【例2.5】如图，把19个边长为1cm的正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______cm²。

【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54cm²。

【例2.6】下图是由18个棱长为1cm的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是______cm²。

【答案】48【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为1×(8＋7＋9)×2＝48cm²【例2.7】由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有___个正方体，它的表面积是____。

【答案】10；34【解析】第一层有8个，第二层有2个，共10个。

其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为1×l×(4＋5＋8)×2＝34。

【例2.8】如图，有9个边长为1m的正方体，如图所示堆成一个立体图形。

该立体图形的表面积等于____m²。

【答案】38【解析】利用三视图，从前面、右面、上面看依次如图所示。

所以该立体图形的表面积是(6＋6＋7)×2×1²＝38m²。

【例2.9】用若干个棱长为lcm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积(含下底面面积)等于_______cm²。

【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面、左面与右面、上面与下面的表面积分别相等。

所以我们只要知道前面有11个正方形、右面有8个正方形、上面有11个正方形，就可求出它露在外面的面共计(11＋8＋11)×2＝60个正方形，所以它的表面积是60×1²＝60cm²。