汕头市高中质量检测高二数学试题答案与评分细则

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广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试文科数学试卷Word版含答案

绝密★启用前试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二文科数学本试卷共4页，24小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上) 1．已知集合}{11=-<<M x x ，{}24,N x x x Z =<∈，则A. {}0MN = B. N ⊆C. M N ⊆D.M N N =2．设i 是虚数单位，R ∈a ，若(2)i ai +是一个纯虚数，则实数a 的值为A. －12 B. 1- C. 0 D. 13．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是A ．3y x =B ．cos y x =C ．1ln1xy x -=+D ．x y e = 4．双曲线264x －2136y =的离心率为A ．45B ．54 C ．34D ．43 5．已知变量x ，y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A ．－12 B ．0 C ．12D ．16．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为A ．1 B. 2πC. 14π-D ．12π-7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A ．1011B ．56C ．511D ．758．直线x y m -+=0与圆221x y +=相交的一个充分不必要条件是 A ．0m <<1B ．－4m <<2C ．1<mD ．－3m <<19．将函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2π)的图象向左平移 6π个单位后的图象关于原点对称，则函数φ的可能值为(第7题图)A ．6π B ．－6π C ．3π D ．－3π 10．经过函数2y x=-图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S =A ．8B ．4C ．2D ．111．已知向量1,2a b ==且0a b ⋅=，又2,,//c a b d ma nb c d =+=-，则mn等于A. 12-B. 1-C. 1D. 212．已知0a >，函数2324ln ,0()34,0⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩a x x x f x x a x x ，且方程()20f x a +=至少有三个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上)13．如果1sin()22x π+=，则cos()x -= .14．当0x <时，2()f x x x=--的最小值是 . 15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .16．已知正方体ABCD －1111A B C D 的棱长为4，点E 是线段1B C 的中点，则三棱锥1A DED -外接球的体积为 .三、解答题(6小题，共70分。

广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试理科数学试卷 Word版含答案

绝密★启用前试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e2. 复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=( )A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i3. 函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．43πC ．32πD ．76π 4. 下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，00x e≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b=－1C ． x R ∀∈，22x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件5. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12B ．24C ．36D ．486. 已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=( )ABC ．2D7. 已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±8. 在ABC ∆中，A =6π，ABAC =3，D 在边BC 上，且2CD D B =，则AD =( )ABC ．5 D．9. 某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ， 22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(10)-x ，，则数组中的x =( ) A ．32 B ．24 C ．18D ．1610. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2正视图面积等于( )A ．212a B ．214aC 2D 211. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．14032πB ．14032C ．12016π D ．1201612. 已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2|1|,70()ln ,x x f x x e x e，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ．,1][3,)-∞-+∞（UD ．,3]-∞（第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省汕头市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析

广东省汕头市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)eB ．(,)e -∞C ．(0,)eD ．1(,)e e 【答案】A【解析】分析：由题意可得()0f x =即ln x a x=有两个不等的实数解．令ln x g x x =（），求出导数和单调区间、极值和最值，画出图象，通过图象即可得到结论．详解：函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，等价为()0f x =即ln x a x=有两个不等的实数解．令()ln ,0x g x x x =>（），21ln x g x x -'=（），当x e ＞时，0g x g x （）＜，（）'递减；当0x e ＜＜时，0g x g x '（）＞，（）递增．g x （）在x e =处取得极大值，且为最大值1e．当0x y →+∞→，．画出函数y g x =（）的图象，由图象可得10a e ＜＜时，y g x =（）和y a =有两个交点，即方程有两个不等实数解，()f x 有两个零点．故选A ．点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题．2．函数 2,(,]1x y x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1，2)B ．(－1，2)C ．[1，2)D ．[－1，2) 【答案】B【解析】【分析】化简函数为311y x =-+，根据函数的单调性以及y 在(,]x m n ∈时取得最小值0，求出m 的范围. 【详解】函数23(1)31111x x y x x x --+===-+++在区间(－1，＋∞)上是减函数．当x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n]时，min 0y =.所以m 的取值范围是－1＜m ＜2，故选B.【点睛】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目.3．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（） A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵322()f x x ax bx a =+++，∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x 0)＝0是函数f(x)在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．4．已知点(0,1)M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，F 为C 的焦点，过M 点的直线与C 相切于点N ，则FMN ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N 的坐标，进而求得面积.【详解】点()0,1M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上,可得到p=2,方程为：24x y =，切点N （x,y ）,满足24x y =，过M 点的直线设为1,y kx =-和抛物线联立得到2440x kx -+=，2161601k k ∆=-=⇒=±，取k=1,此时方程为()2440,2,1x x N -+=FMN ∆的面积为:1122 2.22N S FM x =⨯⨯=⨯⨯=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.5．复数21i i=+（） A ．2i +B ．1i -C ．1i +D ．2i - 【答案】C【解析】分析：直接利用复数的除法运算得解.详解：由题得22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为：C. 点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.6．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】观察已知中的三个图形，得到每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，由此即可得到答案．【详解】由题意，观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，根据此规律观察四个答案，即可得到A 项符合要求，故选A ．【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中熟记归纳的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某项相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），合理使用归纳推理是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，a =1cos 3B =，则b =（） A ．2 B ．53C ．125D ．4【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔c ⇒=2225411442cos 625325b ac ac B =+-=+-= 所以125b = 【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题．8．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.9．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36332π-+C ．36π+D ．3633π-+【答案】D【解析】【分析】根据(),d P C 可画出满足题意的点P 所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由(),d P C 定义可知，若曲线C 为边长为6的等边三角形ABC ，则满足题意的点P 构成如下图所示的阴影区域其中AE AC ⊥，AD AB ⊥，IH AC ⊥，JG AC ⊥，1AD AE IH JG ====2233DAE ππππ∠=--=Q ，1AD = 21121233S ππ∴=⨯⨯= 6IAH π∠=Q ，1IH = 3AH ∴= 413312S ∴== 又2623HG AC AH =-=- (36231623S ∴=-⨯=-又2616S =⨯= ∴阴影区域面积为：12343336181863333633S S S S S ππ=+++=++-=-即点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为：3633π-+本题正确选项：D【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.10．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．13(,)22-B ．3[1,)2C ．[1,2)D ．3[,2)2 【答案】B【解析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：1()4x f 'x x =-，此函数在(0,)+∞上是增函数，又1'()02f =，因此12x =是()f x 的极值点，它在含有12的区间内不单调，此区间为B ．故选B ．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．11．当(),1,1m n ∈-时，总有33sin sin m n n m -<-成立，则下列判断正确的是（）A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．||||m n > 【答案】C【解析】【分析】构造函数()()3sin 11f x x xx =+-<<，然后判断()f x 的单调性，然后即可判断,m n 的大小. 【详解】令()()3sin 11f x x x x =+-<<，则()2cos 30f x x x '=+>所以()f x 在()1,1-上单调递增因为当(),1,1m n ∈-时，总有33sin sin m n n m -<-成立所以当(),1,1m n ∈-时，()()f m f n <所以m n <故选：C【点睛】解答本题的关键是要善于观察条件中式子的特点，然后构造出函数.12．函数21()log f x x x =-的一个零点落在下列哪个区间（） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点存在原理判断区间端点处函数值的符号情况，从而可得答案.【详解】由()f x 的图像在(0,)+∞上是连续不间断的.且()f x 在(0,)+∞上单调递增，又2(1)log 1110f =-=-<，211(2)log 2022f =-=>, 根据函数的零点存在原理有：()f x 在在(0,)+∞有唯一零点且在(1,2)内.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点所在区间，利用函数的零点存在原理可解决，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知1cos()63πα+=，则5sin(2)6πα+=________．【答案】79-【解析】分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解．详解：由题意25sin(2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366ππππππααααα+=++=+=+=+-，又由1cos()63πα+=，所以22517sin(2)2cos ()12()16639ππαα+=+-=⨯-=-．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．14．球的表面积是其大圆面积的________倍．【答案】4【解析】【分析】设球的半径为R ，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为R ，则球的表面积为24R π，球的大圆面积为2R π，因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.【答案】1【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．【详解】设应从B 校抽取n 人，Q 某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本， 120n 650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为：1．【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知定义在R 上的函数()f x 在导函数为'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当1x >时，'()0f x <，则满足不等式(1)(2)f m f m +≤的实数m 的取值范围是__________．【答案】1[,1]3【解析】分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.详解：由()()2f x f x =-，得函数关于1x =对称，当1x >时，()'0f x <，即()f x 在()1,+∞上单调递减，不妨设()()21f x x =--，则不等式()()12f m f m +≤等价为()()221121m m -+-≤--，即22441m m m -≤+-，即23410m m -+≤，得113m ≤≤，故实数m的取值范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知实数k为整数，函数()324f x x k=-+-，215()422xg x x e x x=-++-（1）求函数()f x的单调区间；（2）如果存在(0,)x∈+∞，使得()()f xg x≥成立，试判断整数k是否有最小值，若有，求出k值；若无，请说明理由（注： 2.71828e=为自然对数的底数）.【答案】（1）函数()f x的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞（2）k的最小值为1【解析】【分析】（1）求导函数后，注意对分式分子实行有理化，注意利用平方差公式，然后分析单调性；（2）由()()f xg x≥可得不等式，通过构造函数证明函数的最值满足相应条件即可；分析函数时，注意极值点唯一的情况，其中导函数等于零的式子要注意代入化简.【详解】解：（1）已知()32f x x k=-，函数的定义域为(0,)+∞，()4f xx'=-=2221x x--=14(1)x x⎛⎫+-⎪=因此在区间(0,1)上()0f x'<，在区间(1,)+∞上()0f x'>，所以函数()f x的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞.（2）存在，(0,)x ∈+∞，使得215()()2322x f x g x e x x k ⇔+-+厔成立设215()222x h x e x x =+-+，只要满足min 1()3k h x …即可 5()2x h x e x '=+-，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增，又3(0)02h '=-<，3(1)02h e '=->，121202h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()02min 00015()222x h x h x e x x ==+-+，又()00h x '=，即00502x e x +-=，所以0052x e x =-. 所以()min 0()h x h x =20005152222x x x =-+-+()2001792x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()min 0323(),28h x h x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()min 011123(),33224h x h x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则()min 011()33k h x h x =…，又k ∈Z . 所以k 的最小值为1.【点睛】本题考查导数的综合运用，难度较难，也是高考必考的考点.对于极值点唯一的情况，一定要注意极值点处导函数等于零对应的表达式，这对于后面去计算函数的最值时去化简有直接用途.18．已知121211151034.z i z i z z z z =+=-=+，，，求【答案】552i -【解析】【分析】把z 1、z 2代入关系式，化简即可【详解】 121212111z z z z z z z +=+=， ()()()()()()122212510345510865510555103486862i i i i z z i z i z z i i i +-+-+∴=====-+++-++ 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+，则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+. 19．为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）815P =；（2）有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【解析】【分析】（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算k 值，和临界值表对比后即可得答案．【详解】（1）依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为a ，b ；矮茎4株，记为A ，B ，C ，D ；从中随机选取2株的情况有如下15种：aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，ab ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ．其中满足题意的共有aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，共8种，则所求概率为815P =．（2）根据已知列联表：∴得2250(1171319) 3.860 3.84130202426k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯⨯，又2( 3.841)0.05P k =…， ∴有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【点睛】本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力． 20．第十二届全国人名代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议（简称两会）分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕，某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类，已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为43，对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人.（1）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动，求这2人全是男生的概率.（2）根据题意建立22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异；（2）27．【解析】【试题分析】（1）可先设男生比较关注和不太关注的人分别为,x y ，则女生比较关注和不太关注的为85,5y y -+，建立方程组11010041085x y x x y y x +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪-⎩，由此可得22⨯列联表为：，然后运用计算公式算出()222001001575102.597 6.6351109025175K⨯-⨯==<⨯⨯⨯，借助表中的参数可以断定没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异；（2）先由分层抽样的知识点算得：在男生和女生中分别抽取的人数为4人、3人，再运用古典概型的计算公式算得其概率242727CPC==.解： (1)设男生比较关注和不太关注的人分别为,x y，则女生比较关注和不太关注的为85,5y y-+，则由题意得：11010041085x yxxyy x+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪-⎩，因此可得22⨯列联表为：∴()222001001575102.597 6.6351109025175K⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异.（2）由分层抽样的知识点可得：在男生和女生中分别抽取的人数为4人、3人.则242727CPC==.21．1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n 个数为n a.在图2的杨辉三角中，第()2n n≥行是()1na b-+展开式的二项式系数01nC-，11nC-，…，11nnC--，记杨辉三角的前．n行所有数之和．．．．．．为n T.（1）求n a和n T的通项公式；（2）当2n≥时，比较na与nT的大小，并加以证明.【答案】（Ⅰ）2na n=，21nnT=-（Ⅱ）n na T<，证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由正方形数的特点知2n a n =，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n 行n 个数的和，由此能求出n a 和n T 的通项公式；（Ⅱ）由24n ≤≤时，n n a T >，5n ≥时，n n a T <，证明：24n ≤≤时，n n a T >时，可以逐个验证；证明5n ≥时，n n a T <时，可以用数学归纳法证明．【详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知2n a n =；由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为01111112n n n n n n S C C C -----=++⋅⋅⋅+=，所以21121222n n n T S S S -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+21n =-.（Ⅱ）24a =，22213T =-=，所以22a T >；39a =，33217T =-=，所以33a T >；416a =，442115T =-=，所以44a T >；525a =，552131T =-=，所以55a T <；636a =，662163T =-=所以66a T <；猜想：当24n ≤≤时，n n a T >；当5n ≥时，n n a T <.证明如下：证法1：当24n ≤≤时，已证.下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，n n a T <.①当5n =时，已证：②假设()*5,n k k k N=≥∈时，猜想成立，即k k a T <，所以221k k <-；那么，()12121221221121k k k k T k ++=-=⋅-=-+>+()22221211k k k k k =++>++=+，所以，当1n k =+时，猜想也成立．根据①②，可知当5n ≥时，n n a T <.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．22．已知数列{}n a 满足111,()(1)2n n n na a a n N n a *+==∈++，（1）求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．【答案】 (1) 2311,49a a ==，猜想21n a n =. (2)见解析.【解析】分析：（1）直接由原式计算即可得出2311,49a a ==，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可.详解：（1）2311,49a a ==，猜想. （2）当时，命题成立；假设当时命题成立，即，故当时，()()2122211111221112k k k k ka k a k a k k k k k +⨯====++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，故时猜想也成立.综上所述，猜想成立，即. 点睛：考查数学归纳法，对数学归纳法的证明过程的熟悉是解题关键，属于基础题.。

广东省汕头市澄海区2023-2024学年高二上学期期末考试数学含答案

2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二级数学科试题（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．答选择题时，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上．4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B = （）A.{13}x x ≤<B.{04}x x <≤ C.{04}x x << D.{13}x x <<2.在平面直角坐标系中，直线10x +=的倾斜角是（）A.0B.45C.90D.1353.已知复数i(1i)z =-（i 为虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.D.24.已知正项等比数列{}n a 的前2项和为6，4212a a -=，则6a =（）A.128B.64C.32D.165.2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,56.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降2m ，则水面宽度为（）A .2mB.6mC.2mD.86m7.如图，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，点,E F 分别是棱BC ，1CC 的中点，若直线1AC 与平面AEF 交于点M ，则线段1D M 的长度为（）A.322B.2C.5D.4238.设椭圆C ：()22221,0x y a b a b +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上一点，若点2F 关于12PF F ∠的角平分线l 的对称点恰好是点P ，且211249F P F F a ⋅=- ，则C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.37二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.π362f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的图象可由曲线πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到10.已知双曲线C ：221812x y -=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为B.双曲线C 的焦距为C.双曲线C 的离心率为2D.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为11.已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（）A.平面ABC 的一个法向量是()1,1,3- B.AB 与AC是共线向量C.AB 与BC夹角的余弦值是6 D.点A 到直线BC 的距离是612.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A.圆C 的方程是()()224216x y -+-=B.过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为5±D.在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE=三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应横线上．13.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =．14.已知直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，则a =_________．15.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 为正方形11ABB A 的中心，点P 是正方形11BCC B 的中心，则异面直线1D O 与BP 所成角的大小是_______16.已知直线l 与圆O ：²²4x y +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且AB =，则1122341034105x y x y +-++-的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分．17.在区运会的跳高比赛中，甲、乙两名运动员试跳过某个高度成功的概率依次为34，23，且每次试跳成功与否互不影响．（1）求甲试跳两次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功的概率．18.已知等差数列{}n a 前n 项和是n S ，已知243,72a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11415,b a b a ==，求{}n b 前n 项和n T ．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，点E 是PD 的中点．（1）求证：AE CD ⊥；（2）求直线AC 和平面PCD 所成角的大小．20.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c A =．（1）求C ；（2）若c =求△ABC 的周长的最大值．21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 和平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值．22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆E 过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点．（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，过椭圆上的点P 作//AP OM ，且//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二级数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．答选择题时，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上．4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B = （）A.{13}x x ≤<B.{04}x x <≤ C.{04}x x << D.{13}x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得答案.【详解】因为{}|03A x x =<<，{}|14B x x =≤≤所以{}|13A B x x ⋂=≤<故选：A.2.在平面直角坐标系中，直线10x +=的倾斜角是（）A.0B.45C.90D.135【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可求解.【详解】直线10x +=即=1x -的倾斜角为90 ，故选：C.3.已知复数i(1i)z =-（i 为虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】计算出1i z =+，利用复数模长公式求出答案.【详解】2i(1i)i i 1i z =-=-=+，故||z ==故选：C4.已知正项等比数列{}n a 的前2项和为6，4212a a -=，则6a =（）A.128B.64C.32D.16【答案】B 【解析】【分析】设公比为()0q q >，即可得到1a 、q 的方程组，解得1a 、q ，即可得解.【详解】设公比为()0q q >，则126a a +=，4212a a -=，显然10a >，所以11311612a a q a q a q +=⎧⎨-=⎩，解得122q a =⎧⎨=⎩，所以66264a ==.故选：B5.2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5【答案】C 【解析】【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.【详解】因为2()log 5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且2(3)log 320,(4)2110f f =-<=-=>，所以函数零点所在区间为()3,4.故选：C6.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降2m ，则水面宽度为（）A.82mB.6mC.2mD.86m【答案】A 【解析】【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，根据条件求出p ，再解出4y =-时，x 的值，即可求出结果.【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，又由题知，抛物线经过点(4,2)--，所以164p =，得到4p =，所以抛物线方程为28x y =-，当水面下下降2m ，即4y =-，代入28x y =-，解得42x =±，所以此时水面宽度为82故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，点,E F 分别是棱BC ，1CC 的中点，若直线1AC 与平面AEF 交于点M ，则线段1D M 的长度为（）A.2B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线可得242(,,333M ，进而根据空间中点点距离即可求解.【详解】如图，连接1AC ，因为直线1AC 与AF 都在平面11A ACC 内，所以直线1AC 与AF 的交点即1AC 与平面AEF 的交点M ，由于1//EF AA 且112EF AA =，故由三角形相似，可得23AM AF = ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(0,2,1),(0,0,2)A F D ，所以(2,2,1)AF =- ，从而442(,,)333AM =- ，所以M 的坐标为242(,,333M ，所以12D M =,故选:B8.设椭圆C ：()22221,0x y a b a b +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上一点，若点2F 关于12PF F ∠的角平分线l 的对称点恰好是点P ，且211249F P F F a ⋅=- ，则C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.37【答案】A 【解析】【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PF c =，222PF a c =-.然后根据211249F P F F a ⋅=- ，可推得224cos 49c a θ=-.最后根据余弦定理，即可得到关于,a c 的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PF F θ∠=，由已知可得，1122PF F F c ==，根据椭圆的定义有21222PF a PF a c =-=-.又211249F P F F a ⋅=- ，所以224cos 49c a θ=-.在12PF F △中，由余弦定理可得，22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅，即()2222282288cos 89a c c c c a θ-=-=+，整理可得227209c ac a +-=，等式两边同时除以2a 可得，27209e e +-=，解得13e =或73e =-（舍去），所以13e =.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.π62f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的图象可由曲线πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到【答案】BD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以ππππ1sin 2sin 66662f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故B 正确；当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2ππ2,633x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；将πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到πππcos 2sin 2466y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确；故选：BD10.已知双曲线C ：221812x y -=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为B.双曲线C 的焦距为C.双曲线C 的离心率为2D.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】首先求出a 、b 、c ，再根据双曲线的性质一一计算可得.【详解】双曲线22:1812x y C -=，则a =b =，所以c ==，双曲线C的实轴长为2a =，故A 错误；双曲线C的焦距为2c =，故B 正确；双曲线C的离心率2c e a ===，故C 正确；双曲线C的渐近线方程为2b y x x a =±=±，焦点为()±，所以双曲线C 的焦点到渐近线的距离d ==，故D 正确．故选：BCD ．11.已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（）A.平面ABC 的一个法向量是()1,1,3- B.AB 与AC是共线向量C.AB 与BC夹角的余弦值是6 D.点A到直线BC 的距离是6【答案】AD 【解析】【分析】由AB AC λ≠，可判断选项B ；由cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅=⋅，可判断选项C ；设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，求得n，即可判断A ，再利用空间向量法求出点A 到直线BC 的距离，即可判断D ．【详解】由题意知，()1,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()2,1,1BC =-，因为AB AC λ≠ ，所以AB 与AC不是共线向量，即B错误；cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以AB 与BC夹角的余弦值为6-，即C 错误；设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则1y =-，3z =，所以()1,1,3n =-r，即A 正确．因为()1,1,0AB = ，()2,1,1BC =-，所以AB =uu u r ，1AB BC ⋅=-，BC = ，所以点A 到直线BC的距离666d =，故D 正确.故选：AD ．12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A.圆C 的方程是()()224216x y -+-=B.过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为5±D.在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE=【答案】ABD 【解析】【分析】设(,)P x y ，运用两点的距离公式，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；设切点为M ，N ，利用正弦即可求出CAM ∠，由对称性可求得2MAN CAM ∠=∠，从而判断B ；根据题意设出直线l 方程，利用圆心到直线的距离为2，求得切线斜率，可判断C ；取(12,2)D ，(6,2)E ，即可判断D ．【详解】对于A ：在平面直角坐标系xOy 中，()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设(,)P x y2=，化简可得圆C 的方程为()()224216x y -+-=，故A 正确；对于B ：圆心(4,2)C ，半径为4，所以8AC =，过点A 向圆C 引切线，设切点为M ，N ，则41sin 82CAM ∠==，所以π6CAM ∠=，所以π23MAN CAM ∠=∠=，故B 正确；对于C ：过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，由图可知斜率不存在时不满足题意，可设直线l 的方程为2(4)y k x -=+，即240kx y k -++=，则圆心(4,2)C 到直线l 的距离为2，2=，解得15k =±，故C 错误；对于D ：由对称性可知当(12,2)D ，(6,2)E 时，||2||PD PE =，故D 正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应横线上．13.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =．【答案】8【解析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则351712610a a a a a d +=+=+=，所以71101028a a =-=-=，故答案为8.14.已知直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，则a =_________．【答案】1【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，所以()2220a a +-=，解得1a =.故答案为：115.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 为正方形11ABB A 的中心，点P 是正方形11BCC B 的中心，则异面直线1D O 与BP 所成角的大小是_______【答案】π6##30︒【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()2,2,0B ，()2,1,1O ，()1,2,1P ，所以()12,1,1D O =- ，()1,0,1BP =-，设异面直线1D O 与BP 所成角为θ，则11cos 2D O BP D O BPθ⋅===⋅，因为π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π6θ=，即异面直线1D O 与BP 所成角为π6.故答案为：π616.已知直线l 与圆O ：²²4x y +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且23AB =，则1122341034105x y x y +-++-的最大值为________．【答案】6【解析】【分析】1122341034105x y x y +-++-的几何意义为,A B 到直线34100x y +-=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线34100x y +-=的距离的2倍．由题意1OM =，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆，利用圆的性质即可得解.【详解】因为1122341034105x y x y +-++-表示点,A B 到直线34100x y +-=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线34100x y +-=的距离的2倍，又O ：²²4x y +=的圆心为(0,0)，半径为2r =，3AB =，则22()4312AB OM r =-=-=，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆，故点M 到直线34100x y +-=13916=+，所以1122341034105x y x y +-++-的最大值为6，故答案为：6.四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分．17.在区运会的跳高比赛中，甲、乙两名运动员试跳过某个高度成功的概率依次为34，23，且每次试跳成功与否互不影响．（1）求甲试跳两次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功的概率．【答案】（1）1516（2）512【解析】【分析】（1）由题意知事件“甲试跳两次，至少有一次成功”的对立事件为“甲试跳两次，两次都没有成功”，由独立事件及对立事件的概率计算公式得答案；（2）事件“甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功”包含事件“甲试跳成功、乙试跳失败”和事件“甲试跳失败、乙试跳成功”，由独立事件的概率可求得答案.【小问1详解】记“甲在第i 次试跳成功”为事件i A ，“甲试跳两次，至少有一次成功”为事件C .由独立事件的概率计算公式得：P （C ）=()12111151·11441616P A A -=-⨯=-=,【小问2详解】记“乙在第i 次试跳成功”为事件i B ，记“甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功”为事件D ，所以()()()111131125434312P D P A B P A B =+=⨯+⨯=.18.已知等差数列{}n a 前n 项和是n S ，已知243,72a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11415,b a b a ==，求{}n b 前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a +=（2）21nn T =-【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出111,2a d ==，即可求出结果.（2）根据（1）中结果及条件，求出11b =，2q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求出结果.【小问1详解】数列{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，又243,72a S ==，所以132a d +=①，143472a d ⨯+=②，由①②解得111,2a d ==，所以111(1)22n n a n +=+-⨯=.【小问2详解】设等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，由（1）知1151,8a a ==，又11415,b a b a ==，所以11b =，3418b b q ==，得到11b =，2q =，所以1(1)1221112n nn n b q T q --===---.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，点E 是PD 的中点．（1）求证：AE CD ⊥；（2）求直线AC 和平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）根据条件，得出CD ⊥面PAD ，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；（2）利用（1）中结果及条件，得出⊥AE 面PCD ，从而得出ACE ∠为直线AC 和平面PCD 所成的角，在Rt AEC △中，利用AC =AE =1sin 2ACE ∠=，即可求出结果.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，所以PA CD ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥，又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂面PAD ，所以CD ⊥面PAD ，又AE ⊂面PAD ，所以AE CD ⊥.【小问2详解】因为2PA AB AD ===，点E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又AE CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂面PCD ，所以⊥AE 面PCD ，故ACE ∠为直线AC 和平面PCD 所成的角，在Rt PAD △中，2PA AD ==，所以PD =，又AE PD ⊥，点E 是PD 的中点，所以AE ==，在Rt AEC △中，AC =，AE =，所以1sin2AE ACE AC ∠===，又π0,2ACE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，得到π6ACE ∠=，所以直线AC 和平面PCD 所成角的大小为π6.20.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c A =．（1）求C ；（2）若c =求△ABC 的周长的最大值．【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理和基本不等式可求解.【小问1详解】因为2sin c A ，根据正弦定理，可得sinsin a Ac C ==，因为sin 0A >，故sin 2C =，又因为π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =；【小问2详解】由余弦定理22π2cos 73a b ab +-=，可得()237a b ab +-=，由基本不等式，得()()2227324a b a b a b ++⎛⎫≥+-=⎪⎝⎭，当且仅当a b ==时，等号成立，a b +取最大值，此时周长为21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 和平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）π3（32【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，根据条件得到四边形AOEM 为平行四边形，从而有//AM OE ，再利用线面平行的判定定理即可证明结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF 和平面BDF 的法向量1(1,0,0)= n 和22)n = ，再利用面面角的向量法，即可求出结果；（3）设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，根据条件得出()0,2,BE t = ，(22,)PF t λλ= ，再利用PF BE ⊥，得到22t λ=，即可求出结果.【小问1详解】如图，设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点，又四边形ACEF 为矩形，M 是线段EF 的中点，所以//AO ME 且AO ME =，故四边形AOEM 为平行四边形，所以//AM OE ，又OE ⊂面BDE ，AM ⊄面BDE ，所以//AM 平面BDE .【小问2详解】因为面ABCD ⊥面ACEF ，又EC AC ⊥，面ABCD 面ACEF AC =，EC ⊂面ACEF ，所以EC ⊥面ABCD ，又CD CB ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系，因为2AB =，1AF t ==，则(0,0,0),2,0,0),2,2,0),2,2,1),(0,0,1),2,0)C D A F E B ，所以2,2,0)BD = ，(2,0,1)DE = ，2,0)DA = ，()0,0,1AF = ，设平面ADF 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，由1100n DA n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到200z ==⎪⎩，取1x =，又0y z ==，所以1(1,0,0)= n ，设平面BDF 的一个法向量为()2,,n a b c = ，由2200n BD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到22020a b a c -=-+=⎪⎩，取1a =，则1,2b c ==22)n = ，设平面ADF 和平面BDF 的夹角为θ，则1212121cos cos ,21112n n n n n n θ⋅====⨯++⋅ ，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3θ=，即平面ADF 和平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）中空间直角坐标系，知(0,0,0),2,2,0),2,2,),(0,0,),(0,2,0)C A F t E t B ，则()0,2,BE t = ，(2,2,0)AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，得到,,0)P，所以,)PF t = ，由PF BE ⊥，得到PF BE ⊥ ，所以0PF BE ⋅= ，得到220t λ-+=，即22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，得到t.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆E 过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点．（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，过椭圆上的点P 作//AP OM ，且//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意得到a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）设直线AP 的方程为()2OM y k x =+，联立直线与椭圆方程，即可求出P x ，P y ，从而得到BP k ，则14OM ON k k ⋅=-，再设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据14OM ON k k ⋅=-得到22241m k =+，最后根据1212OMN S m x x =⋅- 计算可得；【小问1详解】依题意2222221314c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可得()2,0A -，()2,0B ，设直线AP 的方程为()2OM y k x =+，代入2244x y +=得()222241161640OM OM OM k x k x k +++-=，它的两个根为2-和P x ，可得222841OM O P M k x k -=+，2441O OM P M k y k =+，从而2224411284241OM OM BP OM OM OM k k k k k k +==---+．因为//BP ON ，所以14OM ON k k ⋅=-，若直线MN 的斜率不存在，根据对称性，则P 在椭圆的上（下）顶点处，不妨取P 为上顶点，则12AP k =，由221244y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以2M ⎫⎪⎪⎭或2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以122122OMN S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入2214x y +=，整理得()222418440k x kmx m +++-=，由0∆>，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以()22221112212122241444ONOM k x x k x x m y y m k k k x x x x m m +++-⋅====--，化简得22241m k =+，所以1211122OMN S m x x m =⋅-== .综上可得OMN 的面积等于1，为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。

2018-2019年汕头市普通高中教学质量监测高二理科数学答案

汕头市2018~2019学年度普通高中教学质量监测高二理科数学答案二、填空题：每小题5分，满分20分．13．2-； 14．1-； 15．1； 16．12π．二、填空题：每小题5分，满分20分． 13．2-；【解析】可行域如右图阴影部分所示，联立直线方程可求得A(0，4)，B(2,2),O(0，0)，又x y z 2-=，所以4024=⨯-=A z , 2222-=⨯-=B z ，0020=⨯-=O z ,所以2min -==B z z . 14．1-；【解析】();134316log 16,0162=-=-=∴>f;22121,0211-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴<--f ().1212116-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∴f f15．1；【解析】设A 、B 在l 上的投影分别为C 、D ，的中点，是AB M()().22121BF AF AB BF AF AB BD AC AB MN AB +=+=+=∴ ().33cos 2,,222222xy y x xy y x xy y x AB y BF x AF ABF -+=-+=-+===π则由余弦定理得中，设在△ ()()[]()().134221242124212412434422222222=-=+⋅-≥++-=++-=+-=+-+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴xy y x x y y x xy y x xy y x xy y x xy y x BF AF AB MN AB .11,2的最小值为，有最小值时，即，即当且仅当MN ABMN AB BF AF y x x y y x ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===∴ 16．12π【解析】ac c a 422=+ , .sin sin 4sin sin 22C A C A =+∴02cos 2cos =+C A , ()(),0sin 21sin 2122=-+-∴C A1sin sin 22=+∴C A , 1sin sin 4=∴C A , .41sin sin =∴C A()，23211sin sin 2sin sin sin sin 222=+=++=+∴C A C A C A 26sin sin =+∴C A ①,()，21211sin sin 2sin sin sin sin 222=-=-+=-C A C A C Ac a < ， C A sin sin <∴， 22sin sin =-∴A C ②, 联立①②可得22-6sin =A ， 12π=∴A . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，………………………………………………………1分由24=S ，313=S 得12123413+=⎧⎨++=⎩a a a a a ，即112111413+=⎧⎨++=⎩a a q a a q a q ，…………………3分解得11a =，3q =， ………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . ……………………………………………………6分（2）由（1）得322(21)log (21)(21)n n b n a n n +=-⋅=-+， ………………………………7分所以()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， …………………………………………9分所以12111111111123352121n n T b b b n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭………………………10分 1112422n =-<+.…………………………………………………………………………12分 18. 解：（1）证明：因为ABMN 为矩形，所以CN NA ⊥，CM MB ⊥.……………………………1分经过翻折后M ,N 重合于点D ，所以CD DA ⊥，CD DB ⊥.………………………………2分又因为DA DB D ⋂=，DA 、DB ⊂平面ABD ，……………………………………………3分所以CD ⊥平面ABD ，又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABD .……………………………………………4分（2）解法一：在平面ABD 内作DE DB ⊥，由（1）知CD ⊥平面ABD ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.………………………………5分以D 为原点，分别以DE ，DB ，DC 为xyz 轴建立空间直角坐标系如图所示.由32AB AN =，所以设2AB =，3AN =，即(0,0,0)D ，(0,0,1)C ，(0,3,0)B ，7,0)3A …………………………………………6分所以2(,0)33AB =-uu u r ，7(,1)33AC =--uuu r ， 7(,0)33AD =--uuu r ……………………7分设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r.所以20037003y n AB n AC y z ⎧+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎪⎩r uu u r r uuu r ，令1y =，解得4n =r .……………………9分所以3cos ,993AD nAD n AD n⋅-===-⋅uuu r ruuu r r uuu r r ，………………………………………………11分所以AD 与平面ABC………………………………………………12分解法二：32AB AN =，不妨设AB=2，AN=3取AB 的中点E ，连接DE 、CE ，,DA DB E AB DE AB =∴⊥为中点，又在矩形ABCD 中，,C MN E AB CE AB ∴⊥为的中点，为中点，22DE AD AE =-=又设D 到面ABC 的距离为dCD ABD ⊥面C ABD D ABC V V --=又11**33ABDABCSCDS d∴=即1111***3*2*3232d---------------------------------------8分d ∴=---------------------------------------------------------------------------------9分AD ABD θθ=设线与面所成的角为d 则sin =AD --------------------------------------------11分 AD ∴与面ABC ------------------------------------12分解法三：32AB AN =，不妨设AB=2，AN=3取AB 的中点E ，连接DE 、CE ，过D 作DF ⊥CE 于F ，连接FA--------------5分,DA DB E AB DE AB =∴⊥为中点，又在矩形ABCD 中，,C MN E AB CE AB ∴⊥为的中点，为中点，,DE CE DE CE E ⊂⊂⋂=又面CDE ，面CDEAB CDE ∴⊥面，又DF CDE AB DF ⊂∴⊥面，又DF ⊥CE且AB CE E DF ⋂=∴⊥面ABC ----------------------------------------------7分DAF AD ABD ∴∠为线与面所成的角-------------------------------------8分22t 8R DAE AE ⊥∴⊥∆-=2CD 面ABD CD DE 在中,CD=1,DE=DA 113,*22CDEDE CE SCD DE DF CE ∴====**CD DE DF CE ∴==----------------------------------------------------------10分又DA=3sin DF DAF DA ∴∠==---------------------------------------------11分AD ∴与面ABC ------------------------------------12分19.解：（1）产品质量指标值不低于215的[215,225)有40人，[225,235)有10人，即500件产品中的优质品数为50，由样本频率估计总体概率，可估计该企业生产这种产品的优质品率为0.1． ………………2分由题意知随机变量X 服从二项分布，即(3,0.1)X B :，………………3分，所以X 的分布列如下：………………4分X 的数学期望30.10.3EX =⨯=.………………5分（2）由已知数据，可估计该企业生产这种产品的质量指标平均水平为1(17010180451901102001652101202204023010)5001(1718 4.519112016.5211222423)5110002005x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯= …………………………6分由已知散点图数据得，8分则121()()1260ˆ0.452800()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， ……………………………9分 =270.4520063a y b x -=-⨯=-$$ ……………………………10分所以，y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.4563yx =- ……………………………11分当240x =时，得ˆ0.452406345y=⨯-=(min) 可预测当产品质量指标值240x =时生产工时需要45分钟. ……………………12分20. 解： (1)由题意知22222123112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎪⎩，…………………………………………2分解得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=；…………4分 (2)第一种解法：设1122001(,),(,),(,)4A x yB x y N x x -，由,NA mAM =u u r u u u r 得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--, 所以0011134,11m x m x x y m m -+==++(6分)所以00134(,)11-+++m x m x A m m ，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=；……………………………………9分同理，由NB nBM =uu u r uuu r 可得00134(,)11n x n x B n n -+++代入2211612x y +=得 220139964804n n x ++-=，（10分）当m n =时，,A B 两点重合，不合题意，所以m ，n 可看作是关于x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，（11分））（201336(208)04x ∆=+>）所以323m n +=-为定值(12分)第二种解法：当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 的方程为：1x =，22111(1,);(1,(1,1422141612x x N A B x y y x ==⎧⎧⎪⎪⇒-⇒-⎨⎨=-+=⎪⎪⎩⎩又(1,3)M111(0,)(0,33224231(0,)(0,3224m NA mAM m n NB nBM n ⎧+=-⎪⎧=⎪⎪⇒⇒+==-⎨⎨=⎪⎪⎩+=+⎪⎩（6分）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为：(1)3y k x =-+，(1,3)M 在椭圆内，∴直线AB 与椭圆必有两个交点，设1122(,),(,)A x y B x y ，设点001(,)4N x x -22222(1)3(34)8(3)42412011612y k x k x k k x k k x y =-+⎧⎪⇒+--+--=⎨+=⎪⎩ 21212228(3)42412,4343k k k k x x x x k k ---+==++(9分) 由NA mAM NB nBM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1012021,,,,1x x m x M N A B x x n x -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩共线，00013()4124,114x k k x x k ---∴==-+，（10分）10201201201212122200220()(1)22111()8(3)(1)2(42412)2(43)438(3)42412(412)6(41)24246(41)24249632419993x x x x x x x x x x m n x x x x x x k k x k k x k k k k k k k k k x k k k --++--+=+=---++-+----+=+--+----+++-++++===-=--- 综上：m n +是定值，323m n +=-。

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

汕头市2015-2016学年高中质量检测高二数学答案

参考答案一、ACABD CBADB AC二、13.21 14. 22 15. 94 16. π36 三、解答题17. 已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数）为奇数）n a n a b n n n ((log 21（k *∈N ），求数列{}n b 的前n 2项和n T 2．17.解：（1）由⎩⎨⎧-=-=++1144n n n n a S a S 两式相减得n n n a a a +-=++11， 2分得211=+n n a a ， 3分又1114a S a -==得21=a 4分故数列{}n a 是以2为首项，21为公比的等比数列 5分故21)21(212--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n a 6分（2）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-为偶数）为奇数）n n n b n n (21(22 7分 )()(24212312n n n b b b b b b T +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=- 8分2220212121)32(311-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+++-=n n 9分124131342411)41(12)321(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--+-+-=n nn n n n 12分18解：(1) （填表正确3分，频率分布直方图正确3分）（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 7分则828.1055.1418222020)351715(4022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 10分由%1.0001.0)828.10(2==>K P 11分 %9.99有∴的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系。

12分19.证明：（1）取AD 中点O ，连接PO 、CO ，由，得AD PO ⊥且1=PO 2分又直角梯形中AD AB AD BC ⊥,//，O 为AD 中点，故四边形ABCO 是正方形，故AD CO ⊥且CO=1， 3分故POC ∆中，222PO CO PC +=,即OC PO ⊥， 4分又O CO AD = , 故ABCD PO 平面⊥ 5分PAD PO 平面⊂故侧面PAD ⊥底面ABCD 6分（2）1122121,1122121=⋅⋅=⋅==⋅⋅=⋅=∆∆PO AD S CO AD S PAD ACD 8分PAC ∆中2===PC PA AC ,COD Rt ∆中222=+=OD CO CD , 9分故PCD PAC ∆∆,都是边长为2的等边三角形，故23232221=⋅⋅⋅==∆∆PCD PAC S S 11分 ∴三棱锥ACD P -的表面积32+=S 12分20解：（1）依题意点)0,2(A 、)1,0(B 1分故线段AB 的中点)21,1(E , 2分所求圆E 的半径25=r ， 3分故圆E 的标准方程为()45)21(122=-+-y x 4分（2）依题意，直线2:+=kx y l 5分联立⎩⎨⎧+==+24422kx y y x 整理得01216)41(22=+++kx x k ， 6分此时0)34(162>-=∆k ，又0>k ，故23>k 。

广东省汕头市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 (含答案)

试卷类型：A汕头市2020~2021学年度普通高中期末教学质量监测高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，监考员将答题卡交回．第Ⅰ卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U R =，集合{02},{1}A xx B x x =<<=<∣∣，则集合()U AB =（）A .(,2]∞-B .(,1]∞-C .(2,)∞+D .[2,)∞+ 2.设复数121z i i=--（i 为虚数单位，则||z =（）A .12 B C D .2 3.已知平面向量(,2),(1,1),a k b k ==∈R ，则k ＝2是a 与b 平行的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为4,nn S x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含4n x -的项的系数恰为n S ，则7a =（）A .－96B .96C .－80D .80 5.已知三棱锥P －ABC 中，P A ＝4，AB ＝AC＝BC ＝6，P A ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的体积为（） A .2563π B .256π C .323πD .32π 6.定义2×2知阵12142334a a a a a a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，若cos sin ()cos 2cos sin 2x x f x x x x π⎡⎤-⎢⎥=⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()f x （） A .图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 B .图象关于直线2x π=对称C .在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .周期为π的奇函数 7.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（）A.2B .1 C.D .28.已知数列{}n a 的前n 项和1(21),4n n n a S n n b +=+=，则12232022021111b b b b b b +++=（）A .20212022 B .20202021 C .20192020 D .12021二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.5G 技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范国．目前，我国加速了5G 技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G 手机销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，由上表数据求得线性回归方程为4410ˆyx =+，则下列说法正确的是（）A .a ＝152B .5G 手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台C .y 与x 正相关D .预计12月份该手机商城的5G 手机销量约为318部10.设12,F F 分别是双曲线C ：221x y s t s t-=+-的左、右焦点，且128F F =，则下列结论正确的是（）A .s ＝8B .1F 到渐近线的距离随着t 的增大而增大C .t 的取值范围是（－32，32）D .当t ＝4时，C 的实轴长是虚轴长的11.在棱长为1的正方体1111ABCD ABC D -中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（） A .四面体1B ACM 的体积恒为定值B .直线1D M 与平面1ADC C .异面直线BM 与AC 所成角的范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .当1114AM AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L ．E ．J ．Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f （x ），存在一个点0x ，使得f （0x ）＝0x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（） A .()2x f x x =- B .2()2f x x x π=-+C .221,1()|2|,1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ D .2()2x f x x =-第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知30,cos 265ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，则sin α= ． 14.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A 、B 两点，若||||AF BF =，则y 轴被以线段AB 为直径的圆截得的弦长为．15.六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为．16.已知函数21132,04()sin 2,022x x x x x f x xx π--+⎧---≤⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩，则函数f （x ）的最大值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ，设△ABC 的面积为S ，已知．任选一个条件①()2223316c a b S +=+；②455cos c a b C -=-，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目．（1）求sin B 的值；（2）若S ＝42，a ＝10，求b 的值．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13520,40a a S +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2nn b a =-，求{}n b 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，∠P AB ＝90°，PB ＝PD ，P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）是否存在点F ，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）端午假期即将到来，某超市举办“高考高棕”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若小清、小北均分別消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为2，焦距为（1）求圆C 的方程；（2）过点D （0，3）作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点N 满足ON OA OB =+（O 为坐标原点），求四边形OANB 面积的最大值． 22.（本小题满分12分）已知函数ln ()ln ,()xf x x xg x x=-=．（1）证明：对任意的12,(0,)x x ∞∈+，都有()()12f x g x >；（2）设m ＞n ＞0，比较()(())f m m f n n m n +-+-与22mm n +的大小，并说明理由．高二数学测试参考答案一、单选题 DCCB AAAB 二、多选题CD AD ABD ACD 三、填空310-； 316； 12 1.D【详解】∵集合{02},{1},(,2)A xx B x x A B ∞=<<=<∴⋃=-∣∣．()[2,)U C A B ∞∴⋃=+2.C【详解】复数111132221(1)(1)222i i z i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则||z ==． 3.C【详解】由a 与b 平行得k ×1－2×1＝0，∴k ＝2，所以k ＝2是a 与b 平行的充要条件． 4.B【详解】因为4nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21(4)r r n r r n T C x -+=⋅-⋅，所以当r ＝2时，含4n x -的项的系数恰为2168(1)nC n n ⋅=-，又等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含4n x -的项的系数恰为n S ，所以2776168(1),96n n S C n n a S S =⋅=-=-=．5.A【详解】∵底面△ABC 中，AB ＝AC＝BC ＝6，1cos sin 2BAC BAC ∠∠∴=-∴=， ∴△ABC的外接圆半径为12r == ∵P A ⊥面ABC，∴三棱锥外接球的半径22222216,R 42PA R r ⎛⎫=+=+=∴= ⎪⎝⎭，所以三棱维P －ABC 外接球的体积3425633V R ππ==． 6.A【详解】由题意得()(cos sin )(cos sin )22f x x x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭22cos sin cos2x x x x x =-=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故图象关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称． 7.A【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ，则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+，由切线斜率等于切点的导数值可得11m=，联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB2=． 8.B 【详解】(21)n S n n =+，当2n ≥时，21[2(1)1](1)231n S n n n n -=-+-=-+，所以141nn n a S S n -=-=-，又n b n =，所以122320202021111111111122320202021b b b b b b ++⋯+=⋅+⋅+⋯+⋅ 111111122320202021=-+-+⋯+-=12020120212021-=9CD【详解】由表中数据可知1(12345)35x =++++=，又因为回归方程为4410ˆyx =+，代入回归方程，解得ˆ142y =，所以1(5295185227)1425y a =++++=，得a ＝151，由此知5G 手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，将x ＝7代入回归方程得ˆ318y=，因为44＞0，所以y 与x 正相关， 10.AD【详解】因为2216c s t s t s =++-==，所以s ＝8，故A 正确；因为1F (8,8)t ∈-上单递减，故B 错误；因为双曲线焦点在x 轴上，由00s t s t +>⎧⎨->⎩，且s ＝8，得t 的取值范国是（－8，8），故C 错误；当t ＝4时，C 的实轴长为4，C 的实轴长是虚轴长的倍，故D 正确．11.ABD 【详解】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ，所以11AC //平面1ABC ，所以线段11AC 上的点到平面1ABC 的距离相等，因为三角形1ABC 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点，所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1ADC 所成的角为α，M 到平面1ADC 的距离为d ，则1sin dD Mα=，因为11//AC AC ，所以11AC //平面1ADC ，所以M 到平面1ADC 的距离与1A 到平面1ADC 的距离相等，连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V --=三棱锥三棱锥可得11111133ACD AA D Sd S ⨯=⨯，又111131122sin 60,112222AD CAA D SS =⨯⨯⨯==⨯⨯=，所以d =M 为11AC 的中点时，1D M此时sin α，故B 正确；对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为60°，当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为90°，故C 选项错误；对于D 选项，过点M 作EF //BD ，分别交1111,AD AB 于点E ，F ，连接DE ，BF ，则四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．12.ACD【详解】根据定义可知：若f （x ）有不动点，则f （x ）＝x 有解．A .令2x x x -=，所以22x x =，易知x ＝1是方程的一个解，故f （x ）是“不动点”函数；B ．令22x x x π-+=，所以230x x π-+=，方程的Δ940π=-<，故方程无解，所以f （x ）不是“不动点”函数；C ．当x ≤1时，令221x x -=，所以12x =-或x ＝1，所以f （x ）是“不动点”函数；D ．令22x x x -=，所以3x =±，所以f （x ）是“不动点”函数．310-【详解】20,2663ππππαα<<∴<+< 34cos ,sin 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43135252510=-⨯=-14.【详解】如图所示：由于||||AF BF =，所以l ⊥x 轴，所以圆心坐标为F （1，0），半径为r ＝2，弦长为=15.316【详解】根据题意，分2步分析：①先从6个人里选2人，其位置不变，有2615C =种选法，②对于剩余的四人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有三种站法，被站了自己位置的那个人只能站在另外三个位置中的一个，选定后此时剩下两人只有一种站法，因此四个人调换有3×3＝9种调换方法，故不同的调换方法有15×9＝135种．而基本事件总数为66720A =，所以所求概率为135372016=．16.12【解析】当x ≤0时，1()4f x ≤；当x ＞0时，11sin2()22x x x f x π--+=+，令111111()22222x x x x f x --+--=+=+≥，当且仅当11122x x --=，即x ＝1时取等号，即当x ＝1时，1min()2f x =，令2()sin [1,1]2f x x π=∈-，又因为2max 2()(1)sin 12f x f π===，则2max max 1min ()1()()2f x f x f x ==，故函数f （x ）的最大值是12．四、解答题17.【详解】选择条件①（1）()2223316c a b S +=+，所以()2221316sin 2a cb ac B +-=⨯………………1 整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅．..................2 整理可得3cos 4sin B B =， (3)又sin B ＞0，所以cos B ＞0，所以sin 3tan cos 4B B B ==．………………4 故sin B ＝35．……………………5 （2）由（1）知sin B ＝35，又S ＝42，a ＝10，则1131042225S acsinB c ==⨯⨯=，........................6 解得c ＝14 (7)将S ＝42，a ＝10，c ＝14代入()2223316c a b S +=+中，得()2223141031642b ⨯+=+⨯， (9)解得b =10选择条件②（1）因为5cos 45b C c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=， (1)5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+， (2)即sin (45cos )0C B -=， (3)在△ABC 中，sin 0C ≠，所以4cos 5B =， (4)故3sin 5B ==．……………………5 （2）由（1）知4cos 5B =，又S ＝42，a ＝10，则1131042225S acsinB c ==⨯⨯=，............6 解得c ＝14 (7)由余弦定理得2222cos ac B a c b =+-22242101410145b ⨯⨯⨯=+- (9)b ∴=1018.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，.....................1 则1312220a a a d +=+= (2)511545510402S a d a d ⨯=+=+=，………………3 解得112,2a d ==-........................4 故1(1)142,()n a a n d n n N =+-=-∈* (5)（2）2|122|n n b a n =-=-当6,n n N *≤∈时1122,10n b n b =-=，212221122n n b b n T n n n n +-===-+，……………………8 当n ＞6时，212n b n =-，781086420n n T b b b =+++++++++2221230(6)11602n n n n +-=+-=-+……………………11 所以2211,6,1160,6n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+>⎩．……………………12 19.【详解】解：（1）∵△P AD ≌△P AB （SSS ）∴∠P AD ＝∠P AB ＝90°∴P A ⊥AB ，PH ⊥AD ，又∵AB AD A ⋂=P A ⊥平面ABCD ，BC ⸦平面ABCD∴P A ⊥BC∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC又PA AB A ⋂=，P A ，AB ⸦平面P AB∴BC ⊥平面P AB∴AE ⸦平面P AB ∴AE ⊥BC (2)∵P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点∴AE ⊥PB (3)又PB BC B ⋂=， (4)PB ，BC ⸦半由PBC∴AE ⊥PBC (5)（2）存在定点F ，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， (6)不妨设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），C （0，2，2），D （0，0，2），P （2，0，0），E （1，1，0）(1,1,0),(2,2,2),(2,0,2)AE PC PD ∴==-=-设(0,2,)(02)F λλ≤≤，则(0,2,)AFλ= 设平向AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111020x y y z λ+=⎧∴⎨+=⎩……………………7 令12z =，则11x y λλ=⎧⎨=-⎩ 1(,,2)n λλ∴=-……………………8 设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222222220220x y z x z -++=⎧∴⎨-+=⎩……………………9 令21x =，则2201y z =⎧⎨=⎩ (1,0,1)m ∴=……………………10 ∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，|||cos30||222m n m n λ⋅∴===∣，解得1λ=．..................11 ∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30° (12)20.【详解】解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==．……………………2 所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为1143991()()11440014400P P A P A =-=-=．…………………………4 （2）若小杰选择方案一，设付款金额为X 元，则可能的取值为0、600、700、100032133733101017(0),(600)12040C C C P X P X C C ====== 123377*********(700),(1000)4024C C C P X P X C C ====== (6)故X 的分布列为所以71()060070010007641204040246E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.....................7 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z ＝1000－200Y (8)由已知可得33,10YB ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故39()31010E Y =⨯=．........................9 所以()(1000200)1000200()820E Z E Y E Y =-=-=（元） (10)因为()()E X E Z <， (11)所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．………………………12 21.【详解】（1）设椭圆的焦距为22,23c c c =∴=………………………1 ∵离心率为223,424c a a ⎛⎫∴=∴= ⎪⎝⎭．..................2 2221b a c =-= (3)∴椭圆C 的方程为2214x y +=．..........................................4 （2）,ON OA OB =+∴四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意； (5)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，直线l 与椭圆于()()1122,,,A x y B x y 两点，由()22223142432014y kx k x kx x y ⎧⎪⎨⎪=+⇒++=⎩+=+． (6)由()222Δ(24)1281402k k k =-+>⇒>．………………7 1212222432,1414k x x x x k k +=-=++， (8)12||AB x =-点O 到直线l的距离d =1213||22OAB S d AB x x ==-，Δ1223OANB OAB S S x x ∴==-====10令22k t -=，则22k t =+（由上式知t＞0），2OANB S ∴===．当且仅当94t =，即2174k =时取等号，……………………………11 ∴当k 时，平行四边形OANB 的面积最大值为2……………………12 22.【详解】（1）证明：f （x ）和g （x ）的定义域均为(0,)∞+因为1()x f x x-='，故f （x ）在（0，1）上是单调递増的，在(1,)∞+上是单调递减的………………1 max min ()(1)ln111,|()|1f x f f x ==-=-=，……………………2 ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x '-=，故g （x ）在(0,)e 上是单调递増的，在(,)e ∞+上是单调递减的…………………………3 故max 1()()1g x g e e==<，..............................4 max min ()()g x f x <，所以对任意的12,(0,)x x ∞∈+，都有()()12f x g x >． (5)（2）解：ln()()ln ln 11mf m f n m n m n n m m n m n n n -+--==⋅---，……………………6 且2211m n m m n n m n=⨯++，…………………7 0,10m m n n >>∴->，故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小，令(1)m t t n=>．…………………………8 设21(1)()ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++……………………9 则()()232222121(1)1()11t t t t t G t t t t t '+--++=-=++，……………………10 因为t ＞1，所以()0G t '>，所以函数G （t ）在(1,)∞+上单调递增，故()(1)0G t G >=，所以()0G t >对任意t ＞1恒成立，.....................11 即1ln m m n n m n m n ->+，从而有22()(())f m m f n m m m n m n +-+>-+． (12)。

广东省汕头市2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

广东省汕头市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2．复数21i z i =-（i 为虚数单位），则z 等于（）A ．3B ．C ．2D【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】 ()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3．下列选项中，说法正确的是（）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x AB ∈”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈”，因此“()x A B ∈”是“()x AB ∈”的必要条件，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A ．1B ．13C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：22y x y x⎧=⎨=⎩可得：1100x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为： ()31231200211|333S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A ．203πB ．6πC ．103πD ．163π 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 6．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（）A ．811B ．10C ．24D ．163【答案】A【解析】【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅，由此能求出结果.解：在四面体P ABC -中，ABC 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅ 1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 7．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.8．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -.【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-. 故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.9．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．故选：C ．本题主要考查数学归纳法，属于中档题./10．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D ．2π+ 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB 的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.11．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（）A ．45B ．45-C ．45±D ．35【答案】B【解析】【分析】根据题意可得：tan 2α，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+ 故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 12．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．0x y ±=B ．0y ±=C ．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B【解析】【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，和.故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期期末考试数学含答案

潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．拼音chao 所有字母组成的集合记为A ，拼音yang 所有字母组成的集合记为B ，则A B = （）A ．{}cB ．{}hC ．{}a D ．{}02．设31iiz +=，则z =（）A ．1B ．CD ．23．已知A 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为8，到y 轴的距离为5，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．94．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（）A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于05．设22tan 251tan 25a ︒=-︒，2sin 25cos 25b =︒︒，c =，则有（）A ．b c a <<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．c b a<<6．若等差数列{}n a 的前项和为n S ，且10a >，3100a a +>，670a a <，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（）A ．6B ．7C ．12D ．137．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于点()1,0对称D ．()y f x =的图像关于直线1x =对称8．如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为1S ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为2S ．以此类推，操作n 次，若1220232024n S S S ++⋅⋅⋅+≥，则n 的最小值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b 的取值可以是（）A ．2-B ．C ．2D 10．已知一组样本数据1x ，2x ，…，15x ，其中2i x i =（1,2,,15i =⋅⋅⋅），由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为511．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，12BC AA ==，点P 在线段1AD 上运动（不含端点），则下列说法正确的是（）A ．4,BP ⎡∈⎣B ．三棱锥111B A BC -的体积为83C ．平面11CD P ⊥平面1B CPD ．若点P 是线段1AD 的中点，则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为20π12．设1F ，2F 为椭圆C ：2212516x y +=的两个焦点，()00,P x y 为C 上一点且在第一象限，()11,I x y 为12F PF △的内心，且12F PF △内切圆半径为1，则（）A ．2IP =B ．083y =C ．OI =D ．O 、I 、P 三点共线第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为______．14．已知数列{}n a 为等比数列，11a =，516a =，则3a =______．15．如图，正方形ABCD 中，2DE EC =，P 是线段BE 上的动点且AP xAB y AD =+ （0x >，0y >），则31x y+的最小值为______．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为双曲线C ：2218y x -=上的动点，设P 对圆M ：()2231x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若2a =，ABC △，求ABC △的周长．18．（12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办．展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；（2）用分层抽样的方法从[)20,40，[)80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n b =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）如图，已知长方体1AC 中，1AB BC ==，12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F．（1）求证：1A C ⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面11A B C 的距离；（3）求直线DE 与平面11A B C 所成角的正弦值．21．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP 层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：()1012hb b J J J J ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中0J （单位：元）表示开始卖时的服装价格，J （单位：元）表示经过一定时间t （单位：天）后的价格，b J （单位：元）表示波动价格，h （单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h 的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg 20.3010≈22．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB △的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学参考答案一､单项选择题：1．C 2．B3．C4．A5．D6．C7．D8．B二､多项选择题：9．AC10．AC11．BCD12．BC三､填空题：13．1sin 3y x=14．415．16316．12四、解答题：【解】由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =由正弦定理得：2sin sin cos sin sin B A A A B =，由于sin sin 0A B ≠，则1cos 2B =.因为0A π<<，所以3A π=.由余弦定理得：2222cosA a b c bc =+-，又2a =，则224b c bc =+-①又ABC △，则1sin 2bc A =即1sin 23bc π=4bc =②由①②得228b c +=，则222()28816b c b c bc +=++=+=，则4b c +=.所以ABC △的周长为6．18．【解】（1）由频率分布直方图得：()0.0040.020.0080.002201x ++++⨯=，解得0.016x =，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数0.08300.32500.40700.16900.0411065.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率分布直方图，得数据在[)[)20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2=，则在[)20,40内抽取2人，记为12,A A ，在[)80,100内抽取4人，记为1234,,,B B B B ，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共15个，其中抽取的2人都在[)80,100内的有()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共6个，所以所抽取2人都在[)80,100内的概率62155P ==．19．【解】（1）当1n =时，21112a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得11a =．当2n ≥时，由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭①，可得21112n n a S --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，②①-②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()1120n n n n a a a a --+--=．0n a > ，12n n a a -∴-=．{}n a ∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴数列{}n a 的通项公式1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由（1）可得2(121)2n n nS n +-==，111(1)1n b n n n n ∴==-++1211111111112233411n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111nn n =-=++20．【解】（1）如图，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,0,2,1,0,0,0,1,0,1,1,0A A B D C ，()11,0,2B ，因为E 在1CC 上，故可设()1,1,E t ，又1BE B C ⊥，所以()()10,1,0,1,20120BE B C t t ⋅=⋅-=+-= ，解得12t =，所以11,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1111,1,2,0,1,,1,0,22A C BE DE ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11·1011202A C BE =⨯+⨯+-⨯= ，()11·1110202A C DE =⨯+⨯+-⨯= 11,AC BE AC DE ∴⊥⊥ ，即11,A C BE A C DE ⊥⊥BE DE E = ，,BE DE ⊂平面EBD ．所以1A C ⊥平面EBD ．（2）设平面11A B C 的一个法向量为(),,m x y z = ，()()1111,0,0,0,1,2A B B C ==-，则111·0·0A B m B C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y z =⎧∴⎨=⎩，令1z =，得()0,2,1m = ，()10,0,2AA = ，所以所求的距离为1·AA m d m === （3）由（2）知，()0,2,1m = ，11,0,2ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，ED设与m 所成角为θ，则·1sin 5·m ED m ED θ==所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．21．【解】（1）在()012htb b J J J J ⎛⎫=+-⎪⎝⎭中，070,20,120,10b J J J t ====，则有()1017020120202h⎛⎫=+-⎪⎝⎭，整理得102121h⎛⎫=⎪⎝⎭，即101h=，解得10h =，所以h 的值为10．（2）由（1）知，101220100t J ⎛⎫⎪⎝⎭=+，当60J =时，10201006012t ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，即有105122t⎛⎫= ⎪⎝⎭，取常用对数得：12lg lg 1025t =，解得()10lg 5lg 21110210213.22lg 2lg 20.3010t -⎛⎫⎛⎫==-≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而N t *∈，则14t =，所以服装价格降到60元每件时需要14天．22．【解】（1）解：由题意，椭圆E 的离心率为12，可得12c a =，又由椭圆的定义，可知1248AB AF AF a ++==，所以2a =，所以1c =，又因为222a b c =+，所以23b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）解：设()()1122,,A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，则有122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，故221 1234m AB m +===⨯+，同理，直线l '的方程为11x y m=--，设()33,C x y ，()44,D x y ，则222211112123434m m CD m m++=⨯=⨯++，所以四边形ABCD 的面积：22221117223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯++()()22221172311411m m m m ++=⨯⨯+++-2272113411m m =⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为222221134114911341124m m m m ⎛⎫++-⎪⎛⎫⎛⎫+++-≤= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当21m =时，等号成立，所以227228811493411S m m =≥⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，。

广东省汕头市高二下学期期末质量监测数学理试题 Word版含答案

汕头市2015-2016学年高二下学期期末质量监测数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1·集合A ＝｛x ｜ln 0x ≥｝，B ＝｛x ｜x 2＜16｝，则A B ＝（） A ．（1，4） B ．［l ，4） C ．［l ，＋∞） D ．［e ，4）2．复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭A ．一3一4iB ．一3＋4iC ．3一4iD ．3＋4i3·函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条称轴间距离为（） A 、3π B 、43π C 、32π D 、76π4．下列命题中，是真命题的是（） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．已知a ，b 为实数，则a 十b ＝0的充要条件是ab＝一1 C ．2,2xx R x ∀∈> D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是a b ＞1的充分条件 5．现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是（）A.12 B ．24 C ．36 D ．48 6.已知向量a ＝(1, x)，b ＝(1, x 一1)，若(2)a b a -⊥，则｜2a b -｜＝（）A.B. C. 27.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>C 的渐近线方程为（）A. y ＝14x ±B. y ＝13x ±C. y ＝12x ± D. y ＝x ±8.在△ABC 中，,6A AB π==，AC ＝3，D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，则AD ＝（）A.B. C. 59.某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，33(,)x y ），…若程序运行中输出的一个数组是 (x ，一10)，则数组中的x ＝（）A. 32B. 24C. 18D. 1610.如图1，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上，当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于（）11.已知函数f(x)＝cos (sin )(0)x x x ωωωω+>，如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f(x 0）0()(2016)f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（） A 、14032π B 、14032 C 、12016π D 、1201612.已知函数，设a 为实数，若存在实数m ，使f(m)一2g(a )＝0则实数a 的取值范围为（）A.［－1，＋∞)B.［－1, 3］C.（一∞，－1］U ［3，＋∞)D.（一∞，3]第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省汕头市高二数学下学期期末教学质量监测试题理(

广东省汕头市2015-2016学年高二数学下学期期末教学质量监测试题理（扫描版）2015--2016年高二年级期末统考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13、,22 14、},3|{≥m m 或[)+∞∈,3m ， 15、34π， 16、160- 三、解答题.17、解：(1)当1n =时，111231,1S a a =-∴=…………（1分）当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -=…………（3分） ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=…………（4分）设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=…………（5分）所以12)1(23+=-+=n n b n …………（6分）⑵由（1）可知道：1232135721,33333n n n nn n c T ++==++++L …………（7分） 1232135721,33333n n n n n n c T ++==++++L ①234113572133333n n n T ++=++++L ②，…………（8分）由①-②得，132312)31........3131(2132++-++++=n n n n T …………（9分） 131231131131231++--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=n nn …………（10分） 131231131++-⎪⎭⎫⎝⎛-+=n nn …………（11分）所以223n n n T +=-…………（12分） 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，ο90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB∆与PAD∆都是等边三角形.（1）证明：CDPB⊥；（2）求二面角BPDA--的余弦值.证明：（1）取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形…………（1分）过P作⊥PO平面ABCD,垂足为点O，由PAB∆与PAD∆都是等边三角形.不难得到PDPBPA==,所以ODOBOA==,…………（2分）即点O为正方形ADEB的对角线交点，故BDOE⊥…………（3分）所以⊥OE平面PBD，又⊂PB平面PBD，所以PBOE⊥…………（4分）因为EO,分别是BCBD,的中点，所以CDOE//,所以CDPB⊥；…………（6分）（2）由（1）知，可以O为坐标原点，OPOBOE,,为zyx,,轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设2=AB，则点)0,0,2(-A,)0,2,0(-D,)2,0,0(P…………（7分）所以)0,2,2(-=,)2,0,2(=,…………（8分）设平面PAD的一个法向量为),,(zyxn=所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅2222zxyx，取1=x得到1,1-==zy，所以)1,1,1(-=…………（9分）又⊥OE平面PBD，所以可以取平面PBD的一个法向量)0,0,1(=…………（10分）由图像可知，该二面角为锐角，可设为θ所以3cos3n mn mθ⋅===⋅r u rr u r.…………（12分）19. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75(1)完成被调查人员的频率分布直方图；(2)若从年龄[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.解：(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图……………（2分）……………（5分）(2)ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………（6分）()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=……………（7分）()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=……………（8分）()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=……………（9分） ()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=……………（10分）所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望是0123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.……………（12分）20.如图，已知抛物线21:4C y x=的焦点为F，椭圆2C的中心在原点，F为其右焦点，点M为曲线1C和2C在第一象限的交点，且5||2MF=．（1）求椭圆2C的标准方程；（2）设,A B为抛物线1C上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y x=上，(3,2)P为定点，求PAB∆面积的最大值．解：（1）设椭圆2C的方程为22221(0)x ya ba b-=>>，半焦距为c．由已知，点(1,0)F，则1c=．………………（1分）设点00(,)M x y00(,0)x y>，据抛物线定义，得0||1MF x=+．由已知，512x+=，则032x=．从而0046y x==3(6)2M．………………（2分）设点E为椭圆的左焦点，则(1,0)E-，237||1622ME⎛⎫=++=⎪⎝⎭．据椭圆定义，得752||||622a ME MF=+=+=，则3a=．……………（4分）从而2228b a c=-=，所以椭圆2C的标准方式是22198x y+=．……（5分）（2）设点(,)D m m，11(,)A x y，22(,)B x y，则2211224,4y x y x==．两式相减，得2212124()y y x x-=-，即1212124y yx x y y-=-+．因为D为线段AB的中点，则122y y m+=．21.已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+ （1）求曲线()y f x =在点())1(,1f 处的切线方程; （2）证明：()1f x >. 解：(1)显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，………(1分)且11'222()ln x x x xe xe ef x e x x x ---=++……………(3分) 所以切线斜率e f k ==)1(/，且2)1(=f ……………(4分) 所以曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为)1(2-=-x e y 即02=+--e y ex ……………(5分)（2）由题意知12ln 1)(1>+⇔>-xe x e xf x x由于0,0>>xe x ，该不等式可以转化为如下等价的不等式:e e x x x x 2ln ->,即证对于,0>∀x 不等式e ex x x x2ln ->恒成立。

广东汕头18-19学度高二下年末教学质量监测-数学(理)

广东汕头18-19学度高二下年末教学质量监测-数学（理）高二级理科数学本试卷共4页，21小题，总分值150分、考试用时120分钟、本卷须知1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上、不按要求填涂的，答案无效、3、非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、不按以上要求作答的答案无效、4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答、漏涂、错涂、多涂的答案无效、5、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回、参考公式：假设圆柱体的底面积为S ，高为h ，那么锥体的体积为sh v =、【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、设复数i i z )2(+=(i 为虚数单位)，那么复数z 的虚部是( ) A 、2i B 、-1C 、2D 、12、假设集合{}0P y y =≥，PQ Q =，那么集合Q 不可能是 ( )A 、{}2,y y x x R =∈ B 、{}2,xy y x R =∈ C 、{}lg ,0y y x x => D 、{}3,0y y x x -=≠ 3、一个几何体的三视图如下图，那个几何体的体积为h =( )A BC 、D 、 4、假设△ABC 的对边分别为a 、b 、c 且1a =，45B ∠=，2ABC S =△，那么b =( )A 、5B 、25 CD、(第3题图)5、向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，那么+p q 的值为 ( ) AB 、13 C、 56、以下结论正确的选项是( )①“a=1”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 ②函数)62sin()(π-=x x f 最小正周期为π,且图像关于直线3π=x 对称③线性回归直线至少通过样本点中的一个 ④12,-∈∀x R x ≥0的否定是1,20R x x -∃∈≤A 、②B 、②④C 、①②③D 、①②④7、执行右图中的程序框图，假设p =0.8，那么输出的n =( ) A 、2 B 、3 C 、5 D 、4 8、设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，那么实数a 的取值范围是( )A 、3(1,log 2)--B 、3(0,log 2)C 、3(log 2,1)D 、3(1,log 4)(第7题图)【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、本大题分为必做题和选做题两部分、 (一)必做题(9~13题) 9、123)1(xx -的展开式中常数项是_______.(用数字作答) 10、点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，那么z =x +y 的最大值为 .11、双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，那么，它的两条渐近线方程为、12、设函数2,0,()0,0,()(),0,x x f x x f x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩且为奇函数，那么(3)g = 、 13、、1233,10,21,,S S S =++==++++==++++++=那么n S = 、(二)选做题(14~15题，考生只能从中选做一题)14、(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么|AB |的最小值为__________、15、(几何证明选做题)如图，半径是O 中，AB 是直径，MN 是过点A 的⊙O 的切线，,AC BD 相交于点P ，且030DAN ∠=，2,9CP PA ==，又PD PB >，那么线段PD的长为、(第15题图) 【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分. 解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

广东汕头21-22学度高二下年末教学质量监测-数学(理)

广东汕头21-22学度高二下年末教学质量监测-数学（理）高二级理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生第一检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试终止后，将答题卡交回．参考公式：若圆柱体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为sh v =．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数i i z )2(+=(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( ) A ．2i B ．-1C ．2D ．12．若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能是 ( )A ．{}2,y y x x R =∈B ．{}2,xy y x R =∈C ．{}lg ,0y y x x =>D ．{}3,0y y xx -=≠3．一个几何体的三视图如图所示，已知那个几何体的体积为103h =( )A 32B 3C ．33D ．534．若△ABC 的对边分别为a 、b 、c 且1a =，45B ∠=，2ABC S =△，则b =() A ．5B ．25C 41D ．52(第3题图)5．已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 ( ) A 5B ．13 C 13． 56．下列结论正确的是( )①“a=1”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 ②函数)62sin()(π-=x x f 最小正周期为π,且图像关于直线3π=x 对称③线性回来直线至少通过样本点中的一个 ④12,-∈∀x R x ≥0的否定是1,20R x x -∃∈≤A ．②B ．②④C ．①②③D ．①②④7．执行右图中的程序框图，若p =0.8，则输出的n =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．4 8．设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范畴是( )A ．3(1,log 2)--B ．3(0,log 2)C ．3(log 2,1)D ．3(1,log 4)(第7题图)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． (一)必做题(9~13题) 9．123)1(xx -的展开式中常数项是_______.(用数字作答) 10．点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z =x +y 的最大值为 .11．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，那么，它的两条渐近线方程为．12．设函数2,0,()0,0,()(),0,x x f x x f x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩且为奇函数，则(3)g = ． 13．]n n ．123[1][2][3]3,[4][5][6][7][8]10,[9][10][11][12][13][14][15]21,,S S S =++==++++==++++++=那么n S = ．(二)选做题(14~15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为__________．15．(几何证明选做题)如图，半径是33O 中，AB 是直径，MN 是过点A 的⊙O 的切线，,AC BD 相交于点P ，且030DAN ∠=，2,9CP PA ==，又PD PB >，则线段PD的长为．(第15题图)三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

【精选高中试题】广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试理科数学试卷 Word版含答案

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e2. 复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=( )A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i3. 函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．43πC ．32πD ．76π 4. 下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，00x e≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b=－1C ． x R ∀∈，22x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件5. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12B ．24C ．36D ．486. 已知向量(1,),(1,1),a x bx ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=( )ABC ．2D 7. 已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±8. 在ABC ∆中，A =6π，AB AC =3，D 在边BC 上，且2CD D B =，则AD =( )ABC ．5D ．9. 某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ， 22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(10)-x ，，则数组中的x =( ) A ．32 B ．24 C ．18D ．1610. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于()A ．212a B．214aC 2D 2a11. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．14032πB ．14032C ．12016π D ．1201612. 已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2|1|,70()ln ,x x f x x e x e，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使 ()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ．,1][3,)-∞-+∞（U D ．,3]-∞（第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

汕头市2021-2022学年度普通高中毕业班教学质量监测数学试题参考答案及评分标准(2)(1)

汕头市2021-2022学年度普通高中毕业班教学质量监测数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．()1,1- 14．20 15．0.25 16．6 (2分），21n n -+ (3分）1．若集合{|1},{|12}A x x B x x =>=-<<，则=B AA.{|12}x x <<B. {|12}x x -<<C. {|12}x x x >-≠且D. {|1}x x >- 1．【答案】D 【解析】AB ={|1}{|12}{|1}x x x x x x >-<<=>-．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1)43z i i -=-，则z =A ．72i +B ．72i -C ．12i +D ． 12i -2．【答案】A 【解析】由题意可得：()()431437122i i i i z i -+-+===-． 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知5606S a ==，，则（）A ．12n a n =-B ．10 16a =C ．2210n S n n =-D ．1050S =3．【答案】D 【解析】由题知，5161510056S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，∴26n a n =-，24265.2n n S n n n -+-=⋅=-，1050S =．4．已知),2(,23sin ππαα∈=，则=-)6cos(πα A.1-B. 0C. 12D.324．【答案】B 【解析】32sin ,(,)223ππααπα=∈∴=，cos()cos 0.62ππα-== 5．某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85．【答案】C 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，事件C 既用现金支付又用非现金支付，事件D 为买菜后支付.则()()()P(D)P A P B P 1C =++=，因为()()P A 0.2,P 0.1C == 所以()P B 0.7=．6. 金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为A.423B. 83C. 823D. 1636．【答案】C 【解析】222182222(2)33V =⨯⨯⨯-=．7．已知1313422,3,4a bc===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. c b a <<7．【答案】B 【解析】123111334442422893c ab ==<==<==．8．已知函数3()(3)1xf x e x a x =++-+在区间(0,1)上有最小值，则实数a 的取值范围是A. (,2)e -B. (,1)e e --C. (1,2)D. (,1)e -∞- 8．【答案】A 【解析】2()3(3)x f x e x a '=++-在区间(0,1)上单调递增，由题意只需(0)0,f '<且(1)0,f '>即2e a -<<．这时存在0(0,1)x ∈，使得()f x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0[,1)x 上单调递增，即函数()f x 在区间(0,1)上有最小值． 9．某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则A ．该次数学史知识测试及格率超过90%.DA BCFEB ．该次数学史知识测试得满分的同学有15名.C ．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数.D ．若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名. 9．【答案】AC 【解析】由图知，及格率为18%92%-=，故A 正确.该测试满分同学的百分比为18%32%48%---12%=，即有12%15018⨯=名，B 错误. 由图知，中位数为80分，平均数为408%6032%80⨯+⨯+48%10012%72.8⨯+⨯=分，故C 正确.由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有1500(48%12%)900⨯+=，故D 错误. 10．对于函数()sin cos f x x x =，x R ∈，则A. ()f x 的最大值为1B. 直线34x π=-为其对称轴C. ()f x 在[0,]2π上单调递增D. 点(,0)2π为其对称中心10．【答案】BD 【解析】1()sin cos sin 22f x x x x ==，()f x 的最大值为12，故A 错误； ()f x 在[0,]4π上单调递增，在[,]42ππ上单调递减，故C 错误；31()42f π-=为最大值，故B 正确；()02f π=，故D 正确．11．如图，平行四边形ABCD 中，2,4,3AB AD BAD π==∠=，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F ，则A ．BF 在AB 方向上的投影为0.B ．1233AF AB AD =+.C ．2AF AB =.D ．27.AF =11．【答案】AB 【解析】平行四边形ABCD 中，2,4,3AB AD BAD π==∠=，所以DB ==所以AB BD ⊥，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F ，所以BF 在AB 方向上的投影为0，所以A 正确；23AF AE =，12AE AB AD =+，∴1233AF AB AD =+．所以B 正确；221212121()242 4.3333332AF AB AB AD AB AB AD AB =+=+=⨯+⨯⨯⨯=，所以C 不正确；A1A1因为23BF DB ==，所以AF ==，所以D 不正确；12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为底面ABCD 111,(0,1)D Q D A λλ=∈，N 为线段AQ 的中点，则A. CN 与QM 共面B. 三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关C. 13λ=时，过,,A Q M 三点的正方体的截面周长为D. 14λ=时， AM QM ⊥12．【答案】ABC 【解析】显然MN ∥CQ ，所以CN 与QM 共面，所以A 正确；A DMN N ADM V V --=，N 到平面ABCD 的距离为定值12，ADM ∆的面积为定值14，所以B 正确；13λ=时，过,,A Q M 三点的正方体的截面ACEQ 是等腰梯形，周长为2l ，所以C 正确； 14λ=时， 2222219251121,1,()()1216162416AM AQ QM ==+==++=222AM QM AQ +>，AM QM ∴⊥不成立，所以D 不正确．13．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若(1)0f -=，则满足()0f m >的实数m 的取值范围是 .13．【答案】(1,1)-【解析】由题意偶函数()f x 在[,0)-∞上单调递增，(1)0f -=；()f x 在[0,)+∞上单调递减，(1)0f =，()0f m ∴>的实数m 的取值范围是(1,1)-．14．()()8x y x y +-的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）14．【答案】20【解析】由题意，8()x y -展开式通项为818(1)k k k k k T C x y -+=-，,08k N k ∈≤≤．当7k =时，777888T C xy xy =-=-；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y +-的展开式中27x y 项为72627(8)2820x xy y x y x y ⋅-+⋅=，系数为20． 15．“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A 、B 两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A 、B 两位同学抽到同一本书的概率为 .15．【答案】14【解析】每位同学从这4本书中随机抽取1本，基本事件总数为2416=个，A 、B 两位同学抽到同一本书，基本事件有4个，所以A 、B 两位同学抽到同一本书的概率为41164P ==.16．设数列{}n a 满足11a =，23a =且2122n n n a a a ++-+=，则43a a -= ，数列{}n a 的通项n a = .16．【答案】26, 1.n n -+【解析】2122n n n a a a ++-+=，设1n n n b a a +=-，则12n n b b +-=，且1312b =-=，所以数列{}n b 是等差数列，12n n n b n a a +∴==-，4336a a b ∴-==，21213212,()()()12[123(1)] 1.n n n n a a a a a a a a n n n -≥=+-+-++-=+++++-=-+11a =也满足2 1.n a n n =-+所以数列{}n a 的通项2 1.n a n n =-+17．（10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为224,4,81n S S a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，当2n ≥时，1331log log n n n b a a +⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．解:（1）设数列{}n a 公比为q ，因为数列{}n a 正项等比数列，0q ∴>，............1分，224381a a a ==.2319a a q ∴==，............................................2分，又()212114S a a a q =+=+=，，............................................3分，2149q q +∴=，解得3q或34q =-(舍)，11a ∴=...........................................4分，13n n a -∴=........................................................................5分，（2）由（1）知13n n a -=，13n n a +∴=33111112,log log (1)1n n n n b a a n n n n+≥===---，............................................6分，且11b =，所以2n ≥时，1211111112231n n T b b b n n =+++=+-+-++--............................................7分，12n=-.......................................................................................................8分，ACD B当1n =时111T a ==也适合12n T n=-，............................................9分，所以12n T n=-........................................................................10分. 18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c .已知2cos cos cos b B c A a C =+；（1）求B ；（2）若2,a b =设D 为CB 延长线上一点，且AD AC ⊥，求线段BD 的长． 18．解:（1）方法一：2cos cos cos b B c A a C =+，由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==得，.................................................................1分， 2sin cos sin cos sin cos B B C A A C =+......................................................................2分，sin()sin()sin C A B B π=+=-=...............................................................................................3分，因为0B π<<，所以sin 0B ≠....................................................................................4分，1cos 2B ∴=3πB ∴=........................................................5分；方法二： 2cos cos cos b B c A aC =+，由余弦定理：222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab +-+-+-===得...................1分，2222222222222222a c b b c a a b c bb c a b ac bc ab b+-+-+-⋅=⋅+⋅==................................................2分，222a c b ac ∴+-=.................................................................................................................3分，2221cos 22a cb B ac +-∴==......................................................................................................4分，因为0B π<<，3πB ∴=........................................................5分； (2)如图所示，由（1）知3πABC ∠=，2,a BC b CA ====由正弦定理：sin sin BC CA BAC ABC =∠∠得2sin sin3BAC∠.......................6分，sin BAC ∴∠=分， 4πBAC ∴∠=或34πBAC ∠=（舍去）...............................................8分， 53412πππC π∴∠=--=........................................................9分， AD AC ⊥，所以由cos CA C CD ∠=得cos()64CACD CB BD ππ=+=+................................10分，26cos()64BD ∴+=++分，4BD ∴=+........................................................12分.（本题解答方法较多）19．（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.(1)根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为p (每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率)，中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元，若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数X (元)的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：)20k19解:(1)22⨯列联表如下：.................................................................................................................3分，（以上数据除“90”外，每个数据填对得0.5分）()22901220401830605238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯......................................4分， 14405.830 3.841247=≈>......................................5分，因此有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.......................................6分，(2)X 可能取值为650，700，750，800，且10201903p +==，......................................7分，()33311650()327P X C ===， ()223122700()339P X C ==⨯=，()123124750()339P X C ==⨯⨯=，()03328800()327P X C ===，......................................9分，（以上概率计算，每个正确得0.5分）所以X 的分布列为1248()650700750800279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯..............................11分. 750=..............................12分.20．（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB 是圆柱底面圆O 的直径，点D 在11A B 上，且113A D DB =．若AC BC =，（1）求证：平面COD ⊥平面11ABB A ；（2）求平面COD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值．20．(1)证明:在ABC ∆中，AC BC =，.......................................................1分且AB 是圆柱底面圆O 的直径，即OA OB =，CO AB ∴⊥，..........................................2分，又由已知1AA ABC ⊥，CO ABC ⊂平面，1CO AA ∴⊥， ...................................................3分，且1ABAA A ∴=，11CO A ABB ∴⊥平面..........................................................................4分，又CO COD ⊂平面，所以平面COD ⊥平面11ABB A . ...................................................5分，（2）解：因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱且AB 是圆柱底面圆O 的直径，所以1CA CB CC 、、两两垂直.以C 为原点，1CA CB CC 、、的方向为x y z 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示） ...................................................6分，设=4AC BC =，则1AB AA =(0,0,0),(4,0,0),(2,2,0),C A O D ∴...............7分，显然(4,0,0)CA =是平面11CBB C 的一个法向量，...............................................................8分，设平面COD 的一个法向量为(,,)n x y z =(2,2,0),(1,3,CO CD ==由220,30n CO x y n CD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩...............9分，令1z =，得x y ==-(22,n ∴=- ...................................................10分，设平面COD 与平面11CBB C 所成锐二面角为θ，则8cos cos ,4CA n CA n CA nθ⋅=<>===⨯...............................................11分，所以平面COD 与平面11CBB C ....................................12分，（本题有多种解答方法）21．（12分）已知椭圆E：22221(0)x y a b a b +=>>1)2P 在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作直线l 的垂线，垂足为Q ，试探究：||OQ 是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由．21解：（1）椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率c e a=又222a b c =+，可知222a b =，...................................................................................1分，将P 点的坐标1)2代入椭圆得2231124a b +=，......................................................2分，联立解得：22a =，21b =，...................................................................................3分，故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=....................................................................................4分.（2）∴当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y kx m =+，联立直线l 和椭圆E 的方程，得2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()222214220k x kmx m +++-=，.............................5分，因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点，即方程有两个相等的根，()()222216421220k m k m ∴∆=-+-=，化简并整理，得2221m k =+．.......................6分,因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为：()11y x k=--，联立()11,,y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩221()11km k m Q k k-+∴++点.......................7分, 2222222222222222222(1)()1(1)(1)1(1)(1)(1)1km k m k m k m k m m OQ x y k k k k -++++++++∴=+====++++，..........8分, 把2221m k =+代入上式得，OQ .......................9分,∴当切线l 的斜率为0时，直线:1l y，过点()1,0M 作直线l 的垂线为：1x =，即此时(1,1)Q 或(1,1)Q -，OQ ...........................................................10分,∴当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()1,0M 作直线l 的垂线为：0y =，即此时Q或(，OQ ...........................................................11分,综上所述，OQ ...........................................................12分. 22．（12分）已知函数()ln ,(0,)f x x x =∈+∞，2()1,g x x x x R =-+∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-在区间(0,)+∞上的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数()f x ，()g x 的图象都相切． 22（1）解:2()()()ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，0x >，..................................1分,1(21)(1)()21x x h x x x x+-'∴=-+=-，..................................2分,由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >．所以()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．..................................3分,()=(1)1h x h ∴=-极大值，无极小值．..................................4分；（2）（方法一）证明：设直线l 与()ln f x x =相切于点00(,ln )x x ，00x >．...................5分, 则直线l 的斜率001()kf x x ，所以直线l 的方程为0001ln ()y x x x x ，...............6分,又因为直线l 与()g x 的图象相切，联立00021ln ()1y x x x x yx x 得201(1)2ln 0x x x x .................................7分,由2001(1)4(2ln )0x x ∆得0200124ln 70x x x .................................8分,212()4ln 7F x xx x，0x >，32(21)(1)()x x F x x.............................9分, 由()0F x '<得01x <<；由()0F x '>得1x >，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，.............................10分, 所以min ()(1)10F x F ==-<.因为()2e 870F >->，()242e e 2e 1516150F -=+->->；所以()F x 在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点．即0x 有且只有两个不同的值..............11分,故有且只有两条直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切．.......................................12分.（2）（方法二）证明：设直线l 分别切()f x ，()g x 的图象于点()11,ln x x ，()2222,1x x x -+，…………5分由111()f x x '=，得l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，即l ：111ln 1y x x x =⋅+-；…………6分由22()21g x x '=-，得l 的方程为()()()22222121y x x x x x --+=--，即l ：()222211y x x x =--+.…………………………………………………………………7分比较l 的方程，得21212121ln 11x x x x ⎧=-⎪⎨⎪-=-+⎩，消去2x ，得()211211ln 204x x x ++-=. ………………………………………………………8分令22(1)()ln 24x F x x x +=+-（0x >），则3311(21)(1)()22x x x F x x x x ++-'=-=.………………9分当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，…………………………………10分所以min ()(1)10F x F ==-<.因()24422e e 7e 152e e 202444F --+=-++-=>，()()22e ln e 20F >-=，所以()F x 在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，即1x 有且只有两个不同的值.………11分，故有且只有两条直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切. …………………12分.。

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汕头市2015-2016学年普通高中教学质量监测高二文科数学答案与评分标准一、ACABD CBADB AC二、13.21 14. 22 15. 94 16. π36 注： 13题填0.5不扣分；15题，写成假分数8136等，只要约分最后是94不扣分，但如果写0.4或0.44要扣分； 16题填113.04 或3334⨯π 不扣分。

三、解答题 17.解：（1）由⎩⎨⎧-=-=++1144n n n n a S a S 两式相减得n n n a a a +-=++11， 2分（若式子是114---=n n a S ，则需2≥n ，没写则此处扣1分）得211=+n n a a ， 3分又1114a S a -==得21=a 4分故数列{}n a 是以2为首项，21为公比的等比数列 5分（此处没明确表达则没能得1分）故21)21(212--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n a （没化到最后一步不扣分） 6分（2）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-为偶数）为奇数）n n n b n n (21(22 7分（1分主要是给对数式的运算）)()(24212312n n n b b b b b b T +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=- 8分2220212121)32(311-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+++-=n n 9分（若能明确分成等差数列和等比数列的和，则8分点处没列出也不扣分，直接给9分）（若求和时分成等差数列和等比数列单独求和，则求和正确各给2分）124131342411)41(12)321(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--+-+-=n nn n n n 12分（最后两步三个式子各1分，最后一项中写n )41(34也不扣分）18解：(1) （填表正确3分，频率分布直方图正确3分）(填表错一个数据扣1分，扣完3分为止；频率分布直方图纵坐标画对了，有没有涂黑、是否用实线都得满分)（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 7分则828.1055.1418222020)351715(4022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 10分 (代公式1分，计算结果1分，判定大于的值1分)由%1.0001.0)828.10(2==>K P 11分 %9.99有∴的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系。

12分（假设没写扣1分，最后结果是正确的，但中间步骤缺少的，每缺少一步扣1分）19.证明：（1）取AD 中点O ，连接PO 、CO ，由PA PD ==，得AD PO ⊥且1=PO 2分又直角梯形ABCD 中AD AB AD BC ⊥,//，O 为AD 中点，故四边形ABCO 是正方形，故AD CO ⊥且CO=1， 3分故POC ∆中，222PO CO PC +=,即OC PO ⊥， 4分又O CO AD = ,故ABCD PO 平面⊥ 5分PAD PO 平面⊂故侧面PAD ⊥底面ABCD 6分法二：通过证明AB ⊥侧面PAD 得证。

（2）1122121,1122121=⋅⋅=⋅==⋅⋅=⋅=∆∆PO AD S CO AD S PAD ACD 8分 PAC ∆中2===PC PA AC ,COD Rt ∆中222=+=OD CO CD , 9分故PCD PAC ∆∆,都是边长为2的等边三角形，故23232221=⋅⋅⋅==∆∆PCD PAC S S 11分 ∴三棱锥ACD P -的表面积32+=S 12分20解：（1）依题意点)0,2(A 、)1,0(B 1分故线段AB 的中点)21,1(E , 2分所求圆E 的半径25=r ， 3分故圆E 的标准方程为()45)21(122=-+-y x 4分 (备注：如果最终结果写为一般方程，这一分不给)法2：依题意点)0,2(A 、)1,0(B 1分故线段AB 的中点)21,1(E ,设圆E 的方程为0x 22=++++F Ey Dx y圆E 过点)0,2(A 、)1,0(B⎩⎨⎧=++=++∴01042F E F D 2分(备注：如果没求出AB 中点E 的坐标，仅代入两点坐标这一步，也给1分)因为AB 为直径，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21212-E D 解得D=-2,E=-1 从而F=-E-1=0 3分因此圆E 的方程为0-2-x 22=+y x y故圆E 的标准方程为()45)21(122=-+-y x 4分（2）依题意，直线2:+=kx y l 5分联立⎩⎨⎧+==+24422kx y y x 得4）2（422=++kx x 6分化简得 01216)41(22=+++kx x k ，此时0)34(162>-=∆k ，解得23或23>-<k k 。

7分设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则2214116kk x x +-=+ 8分 2214112kx x += 9分 4)1()(2212212121++++=+=⋅x x k x x k y y x x ON OM 10分04141622=+-=kk 由0>k 得2=k 11分故所求直线l 的方程是22+=x y . 12分(备注：如果答案为22+±=x y ，则这一分不给)21解：（1）依题意1)(-='xe xf ， 1分令0)(<'x f 得0<x令0)(>'x f 得0>x 3分 (写对一个给1分)故函数)(x f 在()0,∞-单调递减，在()+∞,0单调递增 4分故函数)(x f 的极小值为1)0(=f ，没有极大值。

5分 (没写”没有极大值”不扣分)另：(1) 依题意1)(-='xe xf ， 1分令f ′(x )＝0，得x ＝0 1分 x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：2分,个别错酌情扣分)故函数)(x f 的极小值为1)0(=f ，没有极大值。

5分（2）依题意对)()(,x g x f R x ≥∈∀,即n x m x e x+-≥-)1(，即0≥--n mx e x 恒成立. 6分令n mx e x u x --=)(，则m e x u x -=')(① 若0≤m ，则0)(>'x u ，)(x u 在R 上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去。

7分② 若0>m ，令0)(='x u 得m x ln =当0)(>'x u ，即()m x ln ,∞-∈时，)(x u 单调递减；当0)(>'x u ，即()+∞∈,ln m x 时，)(x u 单调递增。

故0ln ln )(ln )(ln min ≥--=-⋅-==n m m m n m m e m u x u m故m m m n m ln 2⋅-≤+ 9分令m m m m q ln 2)(⋅-=，则m m q ln 1)(-='当),0(e m ∈时，0)(>'x q ，)(x q 单调递增；当()+∞∈,e m 时，0)(<'x q ，)(x q 单调递减故e e e e e q x q =⋅-==ln 2)()(max ，即e n m ≤+，即n m +的最大值是e 。

12分请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. 解：（1）证明：连接EO 1分DE AD ,是⊙O 的切线090=∠=∠∴DEO DAO , 2分00180,180=∠+∠=∠+∠∴AOE ADE DEO DAO 4分∴D E O A ,,,四点共线. 5分(2)连接AE ， 1=CE ,∴3=AO , 32=AB 6分AB 是圆O 的直径，090=∠∴AEB030=∠∆B ABE Rt 中，，故321==AB AE ,3=BE 7分ADE ∆中，030=∠=∠=∠B DEA DAE0120=∠∴ADE 8分1232330cos 210===∴AE AD 9分又由切割线定理得4412=⨯=⋅=CB CE AC故112=-=-=AD AC CD 10分解法2：连接OE∵OB=OE ∴∠OEB=∠B=30º -------------6分∵DE 是圆O 的切线∴∠OED=90º 故∠CED=180º-90º-30º=60º -----------------8分又DA 也是圆O 的切线∴∠CAB=90º∴∠C=60º ------------------9分∴△CED 是等边三角形，故CD=CE=1 ------------------10分解法3：连接AE∵DA 是圆O 的切线 ∴∠CAE=∠B=30º -------------6分又DE 也是圆O 的切线∴DA=DE ，故∠DEA=∠CAE=30º∴∠ADE=120º ∴∠CDE=60º -----------------8分又∵∠CAB=90º，∠B=30º∴∠C =60º ------------------9分∴△CED 是等边三角形，故CD=CE=1 ------------------10分23解：（1）y x ==θρθρsin ,cos 1分∴曲线C 的直角坐标方程为：01=-+y x 2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=1sin cos sin 2cos 22ααααyx 3分得曲线D 的直角坐标方程为1)2(22=+-y x 5分（2）法1：曲线D 是以点D ()0,2为圆心，1为半径的圆。

圆心D 到直线01=-+y x 的距离22212=-=d 8分由勾股定理得222)21(r d AB =+，解得2=AB . 10分法2：联立⎩⎨⎧=+-+-=1)2(122y x x y 得交点A 、B 的坐标为()()1,2,0,1- 8分故2=AB 10分24解：（1）（法一）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤=+--=)2(22)22(2)2(2222)(x x x x x x x f ， 3分故22)(max ==M x f 5分（法二）((()-f x x x x x =--+≤+ 3分当且仅当x ≤ 4分故22)(m a x ==M x f 5分（2） ()t t x f R x )22(,2+-≥∈∀恒成立，又由（Ⅰ）知22)(min -=x f 6分故22)()22(min 2-=≤+-x f t t 7分即022)22(2≤++-t t 8分2t ≤≤故t 的取值范围是[]2,2 10分。

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