新课标高中一轮总复习理数-第64讲空间向量在立体几何中的应用PPT课件

A.①③
B.①②
C.②③
D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平
面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二面
角α-l-β的大小为( )
C
A.50°
B.130°
C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
因二面角的范围是［0°,180°］，由 法向量的夹角与二面角的平面角相等或互 补可知，二面角的大小可能是130°也可能 是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝 角或锐角.
② ABCD=0 (用于证明线线垂直);
(ⅱ)AB∥CD A B∥ C D 存在实数λ,使③ (用于A B证=明λ C线D 线平行).
(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方 向向量为 A B ，平面α的法向量为n.
一般关系:设直线AB与平面α所成的角 为θ(θ∈[0, ])，则有sinθ=|cos〈 A,nB〉|
新课标高中一轮总复习
理数
第九单元
直线、平面、简单几何 体和空间向量
第64讲
空间向量在立体几何中 的应用
1.了解直线的方向向量与平面的法向 量的概念；能用向量语言表达线线、线面、 面面的垂直与平行关系；能用向量方法证 明有关线、面位置关系的一些定理(包括 三垂线定理).
2.能用向量法求空间角、空间距离， 体会向量法在研究立体几何中的工具性作 用.
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向 量为n，下列结论成立的是( C) A.若a∥n,则a∥α B.若a·n=0,则a⊥α C.若a∥n,则a⊥α D.若a·n=0,则a∥α
由方向向量和平面法向量的定义 可知应选C.对于选项D，直线a 平面α 也满足a·n=0.
2.已知α、β是两个不重合的平面，其方向向量 分别为n1、n2,给出下列结论： ①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β, ③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A)
当 二 面 角 为 锐 ( 直 ) 二 面 角 时 ， cosθ=|cos 〈n,m〉|=⑥ | n m | .
| n || m |
当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦ | n m. |
| n || m |
特殊关系:(ⅰ)α⊥β n⊥m ⑧ n·m=. 0
(用于证明面面垂直)；
(ⅱ)α∥β n∥m 存 在 实 数 λ ， 使 ⑨ (用于n=证λm明面面平行).
如 图 所 示 ， 分 别 以 AB 、 AC 、 AA1 所 在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),
B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4). (1)可得 D E =(-2,4,0).
(4)点到平面的距离：若AB是平面α外 的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面 α的法向量为n.
设点A到平面α的距离为d,则d等于 A B 在n上的射影的绝对值.
即d=|| A B |cos〈A B ,n〉|=⑩ | A B n | .
|n |
(5)异面直线间的距离：若异面直线
AB、CD的方向向量分别为 、A B，nC⊥D ，
又平面ABC的法向量 为 A A 1 =(0,0,4).
因为 D E ·A A 1 =-2×0+ 4×0+0×4=0，
所以DE∥平面ABC.
(2) B 1 F =(-2,2,-4), E F =(2,-2,-2), A F =(2,2,0)， B1F·E F =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，
n⊥A B，又MC∈D AB，P∈CD，则异面直线
AB、CD间的距离d=
1.1 | M P n |
|n |
典例精讲
题型一利用空间向量证明平行和垂直关系
例1 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，
△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且 AB=AA1 ， D 、 E 、 F 分 别 为 B1A 、 C1C 、 BC 的中点. (1)求证:DE∥平面ABC； (2)求证:B1F⊥平面AEF.
2.立体几何中的向量方法
(1)线线关系：若不重合的两直线AB、
CD的方向向量分别为 A B 、C D .
θ (θ∈一[0般, 关]2 )系，：则设co直sθ线=|cAoBs〈与CD,所A B成的C〉D角| 为
=①
| AB CD | | A B || C D |
.
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD A B ⊥C D
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由已知, A P =(-1,-1,0), A B =(-4,-1,0), A C =(0,-1,2). 设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
n·A B =-4x-y=0 得 n·A C =-y+2z=0， 则 取x=-1，得n=(-1,4,2).
y=-4x y=2z，
则h= | n A P | = | 1(1)(1)402|
|n |
(1)2 42 22
= 3 = 21 .
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1.法向量的有关概念及求法 如果一个向量所在直线垂直于平面，则该 向量是平面的一个法向量. 法向量的求法步骤： (1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)； (2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程； (3)解：把z看作常数，用z表示x,y； (4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好)，便得平面法向量n的坐标.
| AB n | 2
=④ | A B | | n |.
特殊关系：(ⅰ)AB⊥α A∥B n 存 在实 数λ，使 =AλBn(用于证明线面垂直)；
(ⅱ)AB∥α A⊥B n A·nB =0(用于证明线 面平行).
(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.
一 般 关 系 : 设 以 α,β 为 面 的 二 面 角 为 θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉⑤ 相等或互. 补
4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的
夹角等于120°，则直线l与平面α所成的
角等于
.30°
由题设，l与α所成的角 θ=90°-(180°-120°)=30°.
5. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 各 顶 点 的 坐 标 分 别 是 P(-1,0,0) ， A （ 0 ， 1 ， 0 ） ， B （ -4 ， 0 ， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 2 1 .