新课标高中一轮总复习理数-第64讲空间向量在立体几何中的应用PPT课件
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《高考数学第一轮复习课件》第64讲 空间向量在立体几何中的应用
③若n1·2=0,则α⊥β;④若n1· n n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A ) A.①③ C.②③ B.①② D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
7
AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二 面角α-l-β的大小为( ) C A.50° B.130° C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是 P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 21 .
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AC=(0,-1,2).
由已知, AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
(2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0)， EF B1F· =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0， 则 B1F ⊥ EF ，所以B1F⊥EF， AF B1F · =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0， 则 B1F ⊥ AF，所以B1F⊥AF.
2.立体几何中的向量方法 (1)线线关系：若不重合的两直线AB、 CD的方向向量分别为 AB 、 . CD 一般关系：设直线AB与CD所成的角为 θ (θ∈[0, ]2)，则cosθ=|cos〈 ,AB CD 〉| =① ②
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD AB ⊥CD
| n B1C | | 1 1| = = = 6， 3 2 | n | | B1C | 3
(1)证明：以D为坐标原点建立空间直角 坐标系，如图. 1 1 则M( 2 ,1,0),N(0, 2 ,1)， A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0), B(1,1,0),B1(1,1,1), 1 1 所以 MN =(- 2 ,- 2 ,1). 在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB， AC 故 1=(-1,1,0)是平面B1D1DB的一个法向量. 1 AC1· =(-1,1,0)· 1 ,- 1 ,1)=0, 又 1 (- 2 2 MN 所以AC1⊥MN . 1 显然MN平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.
高二数学 空间向量在立体几何证明中的应用 PPT课件
10
2
A
BE与DC所成的角为arccos 30 . X 10
D
C1
E
B
C
第24页/共29页
(2)假设存在使CF 面B1DF , 令 | AF | z, Z B1
F ( 2, 0, z),CF ( 2, 2, z),
B1F ( 2, 0, z 2)
A1
由CF • B1F 0 z 2 2z 2 0 F
D为A1C1的中点, E为B1C的中点.
（1）求直线BE与DC所成的角; (2)在线段AA1上是
否存在点F , 使CF B1DF , 若存在,求出AF的长,
若不存在,请说明理由;(3)若F为AA1的中点, 求C
到面B1 FD距离.
Z
B1
A1
D
C1
E
F
B
Y
C A
第23页/共29页 X
解 : (1)以B为原点, BA, BC,BB1分别为x轴, y轴, z轴, 建立空间直角坐标系, AC 2, AB BC 2
D A
平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
于是平面A1BD∥平面CB1D1
第11页/共29页
C1 B1
C B
证明：建立如图所示的
z D1
空间直角坐标系o-xyz
C1
设正方形边长为1， A1
B1
则向量 DA1 (1,0,1)
DB (1,1,0)
oD
y C
设平面 BDA1的法向 A 量为n (x, y, z) 则有 x
0.
B
X
CD A1B,CD DM .
A1B, DM为平面BDM内的两条相交直线,
CD 平面BDM.
高三一轮总复习理科数课件：-空间向量的运算及应用 .ppt..
(6)错误．充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
你是我心中最美的云朵
13
2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A，D→1C，A→1C1是(
)
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
解析：A→1C1＝A→C，又∵AC，D1A，D1C 共面，∴A→C，D→1A，D→1C共面，即A→1C1，
你是我心中最美的云朵
11
「基础小题练一练」 1．判断下列结论是否正确．(打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( ) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( )
(1)求证：BC⊥AM； (2)若 M，N 分别是 CC1，AB 的中点，求证：CN∥平面 AB1M. (3)若二面角 A－MB1－C 的大小为π4，求线段 C1M 的长．
你是我心中最美的云朵
34
解：(1)证明：∵CC1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴CC1⊥BC. ∵AC＝BC＝2，AB＝2 2， ∴△ABC 中，AC2＋BC2＝8＝AB2， ∴BC⊥AC. ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AM⊂平面 ACC1A1， ∴BC⊥AM.
2019高三一轮总复习
数 学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
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题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
精品课件：空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用
• 利用空间向量解决立体几何中平行与垂直 的证明，空间角的求法及探索存在型问题 一直是高考每年必考内容之一，多以解答 题出现，解决时可以用传统的几何方法， 也可以用向量法．
典例 (2013 年高考浙江卷)(本题满分 15 分)如图，在四面体 A -BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2.M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.
• 所以PO⊥底面ABCD.
• 以O为坐标原点，如图②建立空间直角坐 标系O -xyz.
则 D(－1,0,0)，E(－1， 3，0)，P(0,0,1)，C(－2， 3，0)，
因为 Q 为 PC 中点，所以 Q－1， 23，21.
所以D→E＝(0，
3)知平面 AEF 的法向量为B→1F＝(－2,2，－4)，设平面 B1AE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
∴nn··BA→→1EA＝＝00，，
2y＋z＝0， 即x＋z＝0，
令 x＝2，则 z＝－2，y＝1，∴n＝(2,1，－2)，
∴cos〈n，B→1F〉＝|nn|1··|BB→→11FF|＝
解析：(1)在△ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EF∥AB， 又 AB⊄平面 DEF，EF⊂平面 DEF，∴AB∥平面 DEF.
(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB，DC，DA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)、B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0， 3， 1)，F(1， 3，0)，D→F＝(1， 3，0)，D→E＝(0， 3，1)，D→A＝(0,0,2)．
• 教你一个万能模板
• 已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，△ABC为 等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB ＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC 的中点．
• 利用空间向量解决立体几何中平行与垂直 的证明，空间角的求法及探索存在型问题 一直是高考每年必考内容之一，多以解答 题出现，解决时可以用传统的几何方法， 也可以用向量法．
典例 (2013 年高考浙江卷)(本题满分 15 分)如图，在四面体 A -BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2.M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.
• 所以PO⊥底面ABCD.
• 以O为坐标原点，如图②建立空间直角坐 标系O -xyz.
则 D(－1,0,0)，E(－1， 3，0)，P(0,0,1)，C(－2， 3，0)，
因为 Q 为 PC 中点，所以 Q－1， 23，21.
所以D→E＝(0，
3)知平面 AEF 的法向量为B→1F＝(－2,2，－4)，设平面 B1AE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
∴nn··BA→→1EA＝＝00，，
2y＋z＝0， 即x＋z＝0，
令 x＝2，则 z＝－2，y＝1，∴n＝(2,1，－2)，
∴cos〈n，B→1F〉＝|nn|1··|BB→→11FF|＝
解析：(1)在△ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EF∥AB， 又 AB⊄平面 DEF，EF⊂平面 DEF，∴AB∥平面 DEF.
(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB，DC，DA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)、B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0， 3， 1)，F(1， 3，0)，D→F＝(1， 3，0)，D→E＝(0， 3，1)，D→A＝(0,0,2)．
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• 已知直三棱柱ABC -A1B1C1中，△ABC为 等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB ＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC 的中点．
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用PPT课件
如图所示，以 B 为坐标原点， ，
， 的方向分
别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设 PE＝x(0<x<4)，
又∵AB＝BC＝4，∴BE＝4－x，EF＝x.
在 Rt△PED 中，∠PED＝60°，
∴PD＝ 23x，DE＝12x，
∴BD＝4－x－12x＝4－32x，
∴C(4,0,0)，F(x,4－x,0)，P0，4－32x， 23x.
(2)由(1)的证明，可知 ED⊥DB，A1D⊥平面 BCED. 以 D 为坐标原点，以射线 DB、DE、DA1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图．
设 PB＝2a(0≤2a≤3)，作 PH⊥BD 于点 H，连接 A1H、A1P，
则 BH＝a，PH＝ 3a，DH＝2－a.
解：(1)证明：因为等边△ABC 的边长为 3，且ADDB＝ECAE＝12， 所以 AD＝1，AE＝2.在△ADE 中，∠DAE＝60°， 由余弦定理得， DE＝ 12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3. 因为 AD2＋DE2＝AE2，所以 AD⊥DE. 折叠后有 A1D⊥DE. 因为二面角 A1-DE-B 是直二面角， 所以平面 A1DE⊥平面 BCED. 又平面 A1DE∩平面 BCED＝DE，A1D⊂平面 A1DE，A1D⊥ DE，所以 A1D⊥平面 BCED.
3a 4a2－4a＋5×
2.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3， AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
(1)求二面角 C-DE-C1 的正切值； (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值．
[例 3] 如图，在 Rt△ABC 中，AB ＝BC＝4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥BC 交 AC 于点 F，将△AEF 沿 EF 折起 到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得∠PEB＝60°.
《高考数学第一轮复习课件》第64讲_空间向量在立体几何中的应用
y=-4x y=2z， ，
uuu r n ⋅ AP −1× (−1) + (−1) × 4 + 0 × 2 则h= | |= | | |n| (1− ) 2 + 42 + 22 3). ，
1.法向量的有关概念及求法 法向量的有关概念及求法 如果一个向量所在直线垂直于平面，则该 如果一个向量所在直线垂直于平面， 向量是平面的一个法向量. 向量是平面的一个法向量 法向量的求法步骤： 法向量的求法步骤： (1)设：设出平面法向量的坐标 设 设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)； ； (2)列：根据 可列出方程； 列 根据n·a=0且n·b=0可列出方程； 且 可列出方程 (3)解：把z看作常数，用z表示 ； 看作常数， 表示 表示x,y； 解 看作常数 (4)取：取z为任意一个正数 当然取得越特 为任意一个正数(当然取得越特 取 为任意一个正数 殊越好)，便得平面法向量n的坐标 的坐标. 殊越好 ，便得平面法向量 的坐标
7
uuur AC=(0,-1,2).
uuu r uuu r 由已知, 由已知 AP =(-1,-1,0), AB =(-4,-1,0),
设平面ABC的法向量 的法向量n=(x,y,z), 设平面 的法向量
uuu r n· AB =-4x-y=0 uuur 得 则 n· AC =-y+2z=0， ，
如图所示， 分别以AB、 、 如图所示 ， 分别以 、 AC、 AA1所在 所在 直线为x轴 轴建立空间直角坐标系. 直线为 轴 、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 轴 轴建立空间直角坐标系 令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0), ， B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4). uuur (1)可得 DE =(-2,4,0). 可得 又平面ABC的法向量 又平面 的法向量 uuur 为 AA1 =(0,0,4). uuur uuur 因为 DE · AA1 =-2×0+ × 4×0+0×4=0， × × ， 所以DE∥平面ABC. 所以 ∥平面
高考数学一轮总复习课件-空间向量及其在立体几何中的应用
.
拓展延伸 1.最角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这
条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.
2.三余弦公式:cos θ=cos θ1·cos θ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成
的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面
内的直线AC的夹角).
(4)cos<a,b>= |aa||bb=| ④
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32 .
3.与空间向量有关的问题 (1)空间直角坐标系 (i)一般建立右手直角坐标系;(ii)建立的空间直角坐标系必须满足三坐标轴两两 垂直,让尽可能多的点落到坐标轴上或第一象限(第一象限内点的坐标都为正). (2)直线的方向向量和平面的法向量
(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.
由AB1⊥平面A1B1C1得平面A1B1C1⊥平面ABB1,
由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1,
所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.
由B1C1= 5 ,A1B1=2
2 ,A1C1=
21得cos∠C1A1B1=
6
,
解析 (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 又AP∩PD=P,AP、PD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解法一(向量法):在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F. 由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF, 又AD∩AB=A,可得PF⊥平面ABCD. 以 F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,| AB |为单位长,建立如图所示的空 间直角坐标系F-xyz.
高中数学一轮复习空间向量及其运算PPT课件
1.了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表
考 示． 纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O， 再作一条数轴z，使垂之直 与x轴、y轴都 ，这样，它们中的任意两条都互相垂 直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正 方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转 能 与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空 间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所 以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无 关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的 长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确． 答案：D
且模 的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ， 使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．
考 示． 纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O， 再作一条数轴z，使垂之直 与x轴、y轴都 ，这样，它们中的任意两条都互相垂 直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正 方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转 能 与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空 间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所 以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无 关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的 长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确． 答案：D
且模 的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ， 使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线， 则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《空间向量与立体几何》课件ppt
d＝2
21 7.
FC＝
FE2＋EC2＝
7 2.
123456
记CF与平面ABD所成的角为α，
则
sin
α＝CdF＝4
3 7.
所以
CF
与平面
ABD
所成角的正弦值为4 7
3 .
123456
5.(2023·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2， AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到 如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题.
∴AM，PE的交点就是O，连接ME， ∵M是PC的中点， ∴PA∥ME，PA＝2ME， ∴△PAO∽△EMO， ∴MPAE＝OAOM＝21， ∴AO＝2OM.
123456
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝ 2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点.
3x＋y＝0， 3x＋ 3z＝0，
取 n＝(1，－ 3，－1)，
123456
设平面DAE与平面AEC的夹角为θ，
则 cos θ＝|C→→O·n|＝ |CO||n|
3 3×
＝ 5
55，
所以平面 DAE 与平面 AEC 夹角的余弦值为 55.
123456
②直线
AC
与
EB
所成角的余弦值为
6 4.
123456
×x＝ 25x，
设点A到平面PCF的距离为h，由VP－AFC＝VA－PFC，
得13×2x×2＝13×
25x×h，则
h＝2
5 5.
123456
∵点 F 为 AB 的中点，∴点 B 到平面 PCF 的距离
高考数学专题复习《空间向量在立体几何中的应用》PPT课件
π-<n1,n2>
则θ= <n1,n2>
或θ=
,sin θ= sin<n1,n2>
.
12.用空间向量求空间距离
(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则
|·|
点A到平面α的距离为d= ||
.
(2)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平
3
√3
,0, 2
2
.
,
- + 2 = 0,
· = 0,
(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,由
即
2√3 + 3 = 0.
· = 0,
令 y=2,得 n=(-√3,2,1).
∵n·=-√3 ×
PAD.
3
√3
+2×0+1× =0,∴n⊥
2
2
.又 CM⊄平线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( √ )
(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到
α 的距离为
| ·|
d=
.(
||
√ )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,
(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分
都
称为一个半平面.
(2)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形称为二面角,
这条直线称为二面角的 棱 , 这两个半平面 称为二面角的面.棱为l,两
个面分别为α,β的二面角的面,记作 α-l-β ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记
则θ= <n1,n2>
或θ=
,sin θ= sin<n1,n2>
.
12.用空间向量求空间距离
(1)一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则
|·|
点A到平面α的距离为d= ||
.
(2)当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平
3
√3
,0, 2
2
.
,
- + 2 = 0,
· = 0,
(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,由
即
2√3 + 3 = 0.
· = 0,
令 y=2,得 n=(-√3,2,1).
∵n·=-√3 ×
PAD.
3
√3
+2×0+1× =0,∴n⊥
2
2
.又 CM⊄平线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( √ )
(4)设n是平面α的法向量,A是平面α内一点,AB是平面α的一条斜线,则点B到
α 的距离为
| ·|
d=
.(
||
√ )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,
(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分
都
称为一个半平面.
(2)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形称为二面角,
这条直线称为二面角的 棱 , 这两个半平面 称为二面角的面.棱为l,两
个面分别为α,β的二面角的面,记作 α-l-β ,若A∈α,B∈β,则二面角也可以记
人教版数学选择性必修第一册期中复习：空间向量在立体几何中的应用课件
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的
绝对值．
易
错
提
示
注意向量的夹角与异面直线所成的角的区分
• 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，
此夹角就是异面直线所成的角；
• 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角
才是异面直线所成的角．
考点微练
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝
1
3
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
(2)若F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求 的值．
考点二
利用空间向量求线面角(高考热度：)
(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为
的值；若不存在，说明理由．
存在，求
？若
方
法
总
结
立体几何中的探索性问题的求解步骤
(1)假定题中的数学对象存在；
(2)构建空间直角坐标系；
(3)利用空间向量把存在性问题转化为求参数是
空间向量在立体几何中的应用
新课程标准
能用向量方法解决点到直线、点到
平面、相互平行的直线、相互平行的平
面的距离问题和简单夹角问题，并能描
述解决这一类问题的程序，体会向量方
法在研究几何问题中的作用.
考向预测
1.异面直线所成角的求法
命题 2.线面角的求法
角度 3.二面角的求法
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的
绝对值．
易
错
提
示
注意向量的夹角与异面直线所成的角的区分
• 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，
此夹角就是异面直线所成的角；
• 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角
才是异面直线所成的角．
考点微练
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝
1
3
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
(2)若F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求 的值．
考点二
利用空间向量求线面角(高考热度：)
(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为
的值；若不存在，说明理由．
存在，求
？若
方
法
总
结
立体几何中的探索性问题的求解步骤
(1)假定题中的数学对象存在；
(2)构建空间直角坐标系；
(3)利用空间向量把存在性问题转化为求参数是
空间向量在立体几何中的应用
新课程标准
能用向量方法解决点到直线、点到
平面、相互平行的直线、相互平行的平
面的距离问题和简单夹角问题，并能描
述解决这一类问题的程序，体会向量方
法在研究几何问题中的作用.
考向预测
1.异面直线所成角的求法
命题 2.线面角的求法
角度 3.二面角的求法
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A.①③
B.①②
C.②③
D.②④
3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平
面β的法向量为m.若〈n,m〉ห้องสมุดไป่ตู้130°，则二面
角α-l-β的大小为( )
C
A.50°
B.130°
C.50°或130° D.可能与130°毫无关系
因二面角的范围是［0°,180°］，由 法向量的夹角与二面角的平面角相等或互 补可知，二面角的大小可能是130°也可能 是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝 角或锐角.
7
由已知, A P =(-1,-1,0), A B =(-4,-1,0), A C =(0,-1,2). 设平面ABC的法向量n=(x,y,z),
n·A B =-4x-y=0 得 n·A C =-y+2z=0， 则 取x=-1，得n=(-1,4,2).
y=-4x y=2z，
则h= | n A P | = | 1(1)(1)402|
(4)点到平面的距离：若AB是平面α外 的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面 α的法向量为n.
设点A到平面α的距离为d,则d等于 A B 在n上的射影的绝对值.
即d=|| A B |cos〈A B ,n〉|=⑩ | A B n | .
|n |
(5)异面直线间的距离：若异面直线
AB、CD的方向向量分别为 、A B，nC⊥D ，
|n |
(1)2 42 22
= 3 = 21 .
21 7
1.法向量的有关概念及求法 如果一个向量所在直线垂直于平面，则该 向量是平面的一个法向量. 法向量的求法步骤： (1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)； (2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程； (3)解：把z看作常数，用z表示x,y； (4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好)，便得平面法向量n的坐标.
| AB n | 2
=④ | A B | | n |.
特殊关系：(ⅰ)AB⊥α A∥B n 存 在实 数λ，使 =AλBn(用于证明线面垂直)；
(ⅱ)AB∥α A⊥B n A·nB =0(用于证明线 面平行).
(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平 面β的法向量为m.
一 般 关 系 : 设 以 α,β 为 面 的 二 面 角 为 θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉⑤ 相等或互. 补
当 二 面 角 为 锐 ( 直 ) 二 面 角 时 ， cosθ=|cos 〈n,m〉|=⑥ | n m | .
| n || m |
当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦ | n m. |
| n || m |
特殊关系:(ⅰ)α⊥β n⊥m ⑧ n·m=. 0
(用于证明面面垂直)；
(ⅱ)α∥β n∥m 存 在 实 数 λ ， 使 ⑨ (用于n=证λm明面面平行).
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向 量为n，下列结论成立的是( C) A.若a∥n,则a∥α B.若a·n=0,则a⊥α C.若a∥n,则a⊥α D.若a·n=0,则a∥α
由方向向量和平面法向量的定义 可知应选C.对于选项D，直线a 平面α 也满足a·n=0.
2.已知α、β是两个不重合的平面，其方向向量 分别为n1、n2,给出下列结论： ①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β, ③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β. 其中正确的是( A)
2.立体几何中的向量方法
(1)线线关系：若不重合的两直线AB、
CD的方向向量分别为 A B 、C D .
θ (θ∈一[0般, 关]2 )系，：则设co直sθ线=|cAoBs〈与CD,所A B成的C〉D角| 为
=①
| AB CD | | A B || C D |
.
特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD A B ⊥C D
新课标高中一轮总复习
理数
第九单元
直线、平面、简单几何 体和空间向量
第64讲
空间向量在立体几何中 的应用
1.了解直线的方向向量与平面的法向 量的概念；能用向量语言表达线线、线面、 面面的垂直与平行关系；能用向量方法证 明有关线、面位置关系的一些定理(包括 三垂线定理).
2.能用向量法求空间角、空间距离， 体会向量法在研究立体几何中的工具性作 用.
n⊥A B，又MC∈D AB，P∈CD，则异面直线
AB、CD间的距离d=
1.1 | M P n |
|n |
典例精讲
题型一利用空间向量证明平行和垂直关系
例1 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，
△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且 AB=AA1 ， D 、 E 、 F 分 别 为 B1A 、 C1C 、 BC 的中点. (1)求证:DE∥平面ABC； (2)求证:B1F⊥平面AEF.
4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的
夹角等于120°，则直线l与平面α所成的
角等于
.30°
由题设，l与α所成的角 θ=90°-(180°-120°)=30°.
5. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 各 顶 点 的 坐 标 分 别 是 P(-1,0,0) ， A （ 0 ， 1 ， 0 ） ， B （ -4 ， 0 ， 0），C（0，0，2），则该三棱锥底面 ABC上的高h= 2 1 .
又平面ABC的法向量 为 A A 1 =(0,0,4).
因为 D E ·A A 1 =-2×0+ 4×0+0×4=0，
所以DE∥平面ABC.
(2) B 1 F =(-2,2,-4), E F =(2,-2,-2), A F =(2,2,0)， B1F·E F =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，
② ABCD=0 (用于证明线线垂直);
(ⅱ)AB∥CD A B∥ C D 存在实数λ,使③ (用于A B证=明λ C线D 线平行).
(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方 向向量为 A B ，平面α的法向量为n.
一般关系:设直线AB与平面α所成的角 为θ(θ∈[0, ])，则有sinθ=|cos〈 A,nB〉|
如 图 所 示 ， 分 别 以 AB 、 AC 、 AA1 所 在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),
B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4). (1)可得 D E =(-2,4,0).