高二数学 2.3《等差数列的前n项和》(1课时)教案(新人教A版必修5)

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高中数学新人教A版必修5教案2.3等差数列的前n项和

等差数列的前n 项和一、教材剖析1．教课内容：本节课是高中人教 A 版必修 5 第二章第三节第一课时的内容。

主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。

2．地位与作用本节课是前方所学知识的持续和深入，又是后边学习“等比数列及其前n 项和” 的基础和前奏。

学好了本节课的内容，既能加深对数列相关观点的理解，又能为后边学好等比数列及数列乞降供给方法。

同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形联合、方程思想），所以“等差数列的前n 项和”不论是在《数列》这一章中仍是在高中数学中都有极为重要的地点，拥有承前启后的重要作用。

二、学情剖析1.知识基础：高二年级学生已学习了数列及等差数列相关基础知识，而且在初中已认识特别的数列乞降及小高斯的故事。

2.认知水平与能力：高二学生已初步拥有抽象逻辑思想能力，能在教师的指引下独立地解决问题。

3.学生特色：平行班里有许多学生基础不差且思想较活跃，能带动其余学生踊跃学习，但办理抽象问题的能力还有待进一步提升。

三、目标剖析知识技术目标：1.掌握等差数列前 n 项和公式；2.掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程 ;3. 会简单运用等差数列前n 项和公式 .过程与方法：1．经过平等差数列前n 项和公式的推导, 领会倒序相加乞降的思想方法；2.经过公式的运用领会方程的思想。

感情态度：习兴趣 , 并经过平等差数列乞降历史的认识, 浸透数学史和数学文化.教课要点、难点1、教课要点：等差数列前n 项和公式的推导和应用.2、教课难点：在等差数列前n 项和公式的推导过程中领会倒序相加的思想方法.3、要点、难点解决议略：本课在设计上采纳了由特别到一般、从详细到抽象的教课策略．利用数形联合、类比概括的思想，层层深入，经过学生自主研究，剖析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练联合，进而突出要点、打破教课难点。

四. 教法、学法本课采纳“研究——发现”教课模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的指引 . 学生的学法突出研究、发现与沟通 .五 . 教课过程教课过程设计为六个教课环节：（以以下图）指导思想：就是从特别到一般，由详细到抽象，类比概括总结出指导等差数列前n 项和公式的倒序相加法，而后指引学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中领会方程的思想方法。

人教A版数学必修五2.3《等差数列的前n项和(第一课时)》word教案

2.3 等差数列的前n项和（第一课时）（适合高二年级文科数学）教学内容分析本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。

本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。

等差数列在现实生活中比较常见，因此，等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。

另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。

学生学习情况分析本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。

学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。

但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。

设计思想人本主义学习理论以“人”为中心，把认知和情感合二为一，以便培养出完整的人，强调学生学习内部动机的重要性。

在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学习，教学活动的重心是学生，倡导学生在好奇心的驱使下，进行以经验为中心的“有意义的自由学习”，而不是教师强迫下学生无助地、顺从地学习，教师应成为学生“学习的促进者”。

因此，本节课的教学设计围绕学生展开，在具体问题情境中发现问题，让学生带着思考，经历三个由易到难，由特殊到一般的问题探究，层层铺垫展开学习。

高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n 项和教学目标：1．知识目标： (1)掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程; (2)会简单运用等差数列的前n 项和公式。

2．能力目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、分析、归纳问题的能力。

3．情感目标：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学，热爱数学的情感。

教学重、难点：1.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导与应用；2.教学难点：公式推导过程中的转化思想。

、课型课时：新授课、一课时教学方法：探究法、讲授法教学手段：多媒体教学过程一：知识回顾1、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=2、在等差数列a n 中，若有m +n =p +q , m,n,p,q ∈N +,则a m +a n =a p +a q 二：创设情景，导入新知1、创设情境数学家高斯在上小学时就显示出极高的天赋。

据传说，老师在数学课上出了这样一道题：“1+2+3+……+100=？”，对于十岁左右的孩子来说这个题目是比较困难的，但高斯很快就得到了正确答案。

提问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？思考：1+2+3+.......+101=?2、导入新知①等差数列前n 项和——公式推导（倒序相加）n n a a a a S ......321+++= ①121......a a a a S n n n n +++=-- ②则①+②可得()n n a a n S +=12 即 ()21n n a a n S += 有因为()d n a a n 11-+= 所以()d n n na S n 211-+= 强调：在n n S a d n a ,,,,1五个量中，能知三求二。

（分析公式的特点，熟练记忆所学公式.三：应用举例，巩固新知例：在等差数列{n a }中，已知d=2，n=15，n a =-10，求1a 及n S 四：跟踪练习，巩固所学练：已知等差数列{n a }中，1a =1，n a =19，n S =100，求d 与n 五：小结归纳，扩展深化1、掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(5) 新人教A版必修5

等差数列的前n项和第一课时一、教材分析1.教材地位与作用本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1．从特殊到一般的研究方法；2．等差数列的基本元表示；3．逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2.教学目标知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

3.教学重点、难点•等差数列前n项和公式是重点。

•获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。

如果直接介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。

所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。

为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成三、学法分析建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。

在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程1．问题呈现泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

人教A版高中数学必修5第二章数列2.3 等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和一.学习目标：1.理解数列前n项和Sn的概念，并掌握Sn与an的关系.2.通过等差数列前n项和公式的推导体会倒序相加的思想.3.会选择恰当的公式解决简单的等差数列求和问题.4.体会两组公式分别从哪些角度反映了等差数列的性质.二．教学重点、难点：1.教学重点：掌握数列的前n项Sn与an的关系、差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题，体会两组公式所反映出的等差数列的性质是本节课的重点.2.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得是难点.三.新课内容：1.数列的前n项和①Sn=_______________②Sn与an的关系③题型练习：已知数列{an}的前n项和Sn=n2则通项公式an=_______2.你能快速求出1+2+3+...+100=?3.这种方法能推广到求一般的等差数列求前n项和？为什么？Sn=a1+a2+a3+...+an4.等差数列前n项和公式Sn=_______5.题型练习:已知等差数列{an}中①a1=-4,a8=-18则S8=______②S10=120,则a2+a9=______③a7=2,则S13=_______※该公式从哪个角度体现了等差数列的性质？6.等差数列的前n 项和Sn=________7.题型练习：已知等差数列{an}中①a1=-16,d=4,则S6=_______;Sn=_______②上式中，当n 取何值时，Sn取到最小值？※该公式从哪个角度说明了等差数列的性质？三.课堂小结、作业1.课堂小结：2.作业：课本44页例3、例4以及45页的练习题.3.思考：题型练习3中的第二问可否从通项公式着手解答？四.板书设计五.教学反思。

人教版A版高中数学高二版必修五2.3等差数列前n项和(说课教案)

等差数列的前n项和说课稿一、背景分析1．教学内容分析《等差数列的前n项和》是按照从特殊到一般的探究方式，引导学生采用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，并体会公式的一些应用，同时让学生探究等差数列的前n 项和公式与关于n的二次函数之间的联系。

2．在教材中的地位等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

3．重点、难点定位重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。

难点：等差数列前n项和公式推导方法及它与二次函数的关系。

二、学生学情分析1、知识准备学生已经学习了等差数列的通项公式和性质，数列的和等有关内容。

2、能力储备学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到。

3、学生情况我所在的学校是省示范性高中，学生基础还不错，经过近几年的课改，已经形成了较浓的自主探究氛围与合作交流意识。

这些都为本节课突破难点提供了有利条件。

三、教学目标1、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个量；（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情感与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

高中数学 2.3等差数列及其前n项和教案新人教A版必修5

《等差数列及其前n 项和》导学案教学目的：掌握等差数列及其前n 项和应用教学重点：掌握等差数列及其前n 项和教学难点：应用教学过程：知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义(2)等差中项2．通项公式34已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ．(3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ．(4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．二课前热身1．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )A ．1B ．18C ．21D ．272．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．143．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 44．设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5＝________. 5．在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是________．三、考点剖析：1、考点一：等差数列的判断与证明____例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，且a n a n ＋1＝4S n ＋λ(λ为常数)．(1)求证：数列{a 2k －1}是等差数列，并求出这个数列的通项公式；(2)是否存在λ，使得{a n }是等差数列，并说明理由．[规律方法]随堂练：1.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．2、考点二：_等差数列基本量的计算________________例2、 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．5B ．10 C.52 D ．54(2)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n >0的最小正整数n 为( )A ．7B ．8C ．9D ．10[规律方法]随堂练：2.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.3、考点三：等差数列的性质及最值________________例3、已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21[规律方法]随堂练：3.等差数列{a n }前17项的和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( )A ．3B ．6C ．17D ．514.数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0.(1)求数列的前n 项和S n ；(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围．四、课堂小结：画思维导图五、当堂落实：1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 5a 9＝15，且1a 1a 5＋1a 5a 9＋1a 9a 1＝35，则S 9＝( ) A ．27 B ．24C ．21D ．182．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或73．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．4．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .。

高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案新人教A版必修5

高中数学《2.3等差数列的前n 项和》第1课时教案新人教A 版必修5课题：2.3.1等差数列的前n项和（1）主备人：执教者：【学习目标】掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.【学习重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.【学习难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.【授课类型】新授课【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。

【学习方法】诱思探究法【学习过程】一、复习引入： “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高 )()()()(223121nnn n nna a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21nna a n S+= 由此得：2)(1n na a n S+=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n-+= 用上述公式要求nS 必须具备三个条件：na a n ,,1但dn a an)1(1-+= 代入公式1即得：2)1(1d n n na S n -+=此公式要求nS 必须已知三个条件：个性设计da n ,,1 （有时比较有用）三、特例示范课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与na 之间的关系：由nS 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，na =nS -1-n S ，即na =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .四、课堂小结1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n-+= 五、作业布置: 课时作业2.3.1六、课后反思：。

2019-2020年高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案新人教A版必修5

2019-2020年高中数学《2.3等差数列的前n项和》第1课时教案新人教A版必修5【学习目标】掌握等差数列前项和公式及其获取思路；会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.【学习重点】等差数列前项和公式的理解、推导及应用.【学习难点】灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题.【授课类型】新授课【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。

【学习方法】诱思探究法∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴ 由此得：从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2．等差数列的前项和公式2：用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）三、特例示范课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n ≥2时，=-，即=.四、课堂小结 1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2：五、作业布置: 课时作业2.3.12019-2020年高中数学《2.3等差数列的前n 项和》第1课时评估训练新人教A 版必修51．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是 ( )．A ．12B ．24C ．36D ．48解析由S 10＝a 1＋a 102，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( )．A ．9B ．8C ．7D ．6解析此数列为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8得到k ＝8. 答案 B3．已知等差数列{a n }中，a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为 ( )．A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15解析由a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝a 1＋a 102＝a 3＋a 82＝－2＝－15.答案 D4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝________. 解析 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39. 答案 395．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 解析由a 6＝S 3＝12可得{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝2，故易得a n ＝2n . 答案 2n6．已知等差数列{a n }中， (1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6；(2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)S 4＝4a 1＋－2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，∴d ＝3. 故S 6＝6a 1＋－2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·32＋nn －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(3)由S n ＝n a 1＋a n2＝n －512＋2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.综合提高限时25分钟7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m 等于 ( )． A ．38B ．20C ．10D ．9解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，得：2a m －a m 2＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即m －a 1＋a 2m －12＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C. 答案 C8．等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上( )．解析由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，及d <0，a 1>0知，d 2<0，a 1－d2>0，排除A 、B.对称轴n ＝－a 1－d2d ＝d －2a 12d>0，排除D. 答案 C9．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案 1510．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．解析由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝a 1＋b 1＋a 100＋b 1002＝50×(25＋75＋100)＝10 000.答案 10 00011．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．解由题意知，S n ＝a n ＋12，得：S n ＝a n ＋24.∴a 1＝S 1＝1.又∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]，∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.12．(创新拓展)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12(c ＝0舍去)．。

高中数学 2.3等差数列的前n项和教案(3) 新人教A版必修5 教案

“等差数列的前n 项和”教案、教案说明及点评一、教材分析 ● 教学内容《等差数列前n 项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。

● 地位与作用本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。

对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用。

二、学情分析● 知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。

● 认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。

● 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用数形结合的方法解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

三、目标分析 1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： ● 知识技能(1)掌握等差数列前n 项和公式;(2)掌握等差数列前n 项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n 项和公式。

● 数学思考(1) 通过对等差数列前n 项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法； (2) 通过公式的运用体会方程的思想；(3) 通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。

● 解决问题创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n 项和n n a a a a s ++++=......321的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力。

● 情感态度结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

2012高中数学教案 2.3等差数列的前n项和(第1课时)(人教A版必修5)

2.3等差数列的前n 项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n 项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法教学过程：一、复习引入：首先回忆一下前几节课所学主要内容： 1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．几种计算公差d 的方法：① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n --4．等差中项：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++Λ321称为数列{}n a 的前n 项和，记n S .“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法二、讲解新课：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n 项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明：n n n a a a a a S +++++=-1321Λ ①1221a a a a a S n n n n +++++=--Λ ② ①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--Λ ∵ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：na a n ,,1 但dn a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式三、例题讲解例1 一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S答：V 形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n解之得：3,921-==n n （舍去）∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.例3一凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n －2)·180＝100n ＋2)1(-n n ×10，求得n 2－17n ＋72＝0, n ＝8或n ＝9,当n ＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n ＝8.例4在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求1a ，d 求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一由343841151296=+=+++d a a a a a .由d a S 2192020120⨯+=d a 190201+=)384(51d a +=345⨯=170=法二由)(10202)(20120120a a a a S +=⋅+=，而201129156a a a a a a +=+=+，所以17201=+a a ，所以170171020=⨯=a 小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用q p n m a a a a +=+)(q p n m +=+这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．四．巩固练习1．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和解：由1007<n 得 72147100=<n∴正整数n 共有14个，即M 中共有14个元素即：7，14，21，…，98 ，是以7为首项，98为末项的等差数列。

2022年高二人教A版必修5系列教案：2.3等差数列前n项和

等差数列的前n项和（第一课时）教学设计【教学目标】一、学问与技能1.把握等差数列前n项和公式；2.体会等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简洁运用等差数列前n项和公式。

二、过程与方法1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观结合具体模型,将教材学问和实际生活联系起来,使同学感受数学的有用性,有效激发学习爱好,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

【教学重点】等差数列前n项和公式的推导和应用。

【教学难点】在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】本课在设计上接受了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用数形结合、类比归纳的思想，层层深化，通过同学自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，挂念同学理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】多媒体软件，电脑【教学过程】一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，…我们称a1+a2+a3+…+a n 为数列{a n}的前n项和，用s n表示，记s n=a1+a2+a3+…+a n，如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。

二、问题牵引，探究发觉问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。

传奇陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），铺张之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？即: S100=1+2+3+······+100=？有名数学家高斯小时候就会算，有名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

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课题: §3.3 等差数列的前n 项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●三维目标
知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。

●教学重点
等差数列n 项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和
寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--
∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)(1n n a a n S += 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+
= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n
. Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4 Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+
= Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记。