第二章 随机变量习题
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。
概率论典型例题
20
4
故Y
~
B
⎛ ⎜⎝
3,
1 4
⎞ ⎟⎠
。
于是
C P{Y = 2} =
2⎛ 3 ⎜⎝
1 4
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
9 64
。
注：本例既需要掌握二项分布的由来及其概率分布，还需掌握连续型随机变
量由密度函数求其在某个区间上的取值概率。 有离散也有连续，需要区分清楚，
掌握牢固，这是容易出问题的地方。
解：(1)当 y > 0 时，
FY ( y) = P(Y
≤
y)
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
0
⎞ ⎟⎠
+
P
⎛ ⎜⎝
0
<
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
当 y < 0 时，
=
P(X
<
0) +
⎛ P⎜
⎝
X
≥
1 y
⎞ ⎟ ⎠
=
FX
(0) +1−
FX
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞ ⎟
；
⎠
FY ( y) =
P(Y
≤
X2 0
1
4
9
pk 0.1 0.3 0.3 0.3
注：对离散型随机变量，其函数的分布列的求法比较简单。只要从分布列定
义中包含的两部分：可能取值与对应概率出发，必定能求出。
另外，值得提醒的是，如果分布列中有未知参数，一定要通过分布列的性质
（一般是归一性的应用），将其求出，再进行其他计算。
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
第二章随机变量及其分布习题
第二章随机变量及其分布习题(1)随机变量及其分布1.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律2.分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.0,1,02,21,2,0)(x x x x F （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,sin ,0,0)(ππx x x x x F （3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.21,1,210,21,0,0)(x x x x x F 3.盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.4.已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数.5.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01,1)(2x x c x f ，试求：（1）常数c ；（2）}210{≤≤X P ；（3）X 的分布函数.6.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2),P {0<X ≤3},P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).7.设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π，（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f 求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形。
8.设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）2,1,1)(===k ak X P k 求（1）(5)P X ≥；（2）(3)P X 为的倍数。
随机变量及其分布习题及解答
第二章 随机变量及其分布习题1．设连续型随机变量X 的分布函数为0,,()arcsin ,,(0).1,,x a x F x A B a x a a a x a <−⎧⎪⎪=+−≤<>⎨⎪≥⎪⎩ 求：（1）A 和B ；（2）概率密度．)(x f 2．设连续型随机变量X 的密度函数为)(x f X 230,0,2,x x x e x −<⎧⎪=⎨≥⎪⎩0.求：（1）；（2）32+=X Y 2X Y =的密度函数． 3．随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布)21,0(N ，求22Y X Z +=的概率密度。
4．已知随机变量X 服从区间上的均匀分布，求随机变量)1,1(−122+=X Y 的概率密度函数。
5．设随机变量X 的概率密度为∞<<+=x x x p X 0,)1(2)(2π 求随机变量XY 1=的分布密度函数。
6．袋中有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，令X 表示取出的球的最大号码，求X 的分布律和分布函数。
7、已知随机变量和的概率分布为1X 2X , , ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−4/12/14/1101~1X ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2/12/110~2X 而且1}0{21==X X P .(1) 求和的联合分布.1X 2X (2) 问和是否独立?为什么?1X 2X 8．某仪器装有三只独立工作的同型号电气元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=000600exp(6001)(x x x x f . 试求在仪器使用的最初200h 内，至少有一个电子元件损坏的概率α9．某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7：00，7：15，7:30,…有汽车发出。
如果乘客到达此汽车站的时间X 是在7：00~7：30的均匀随机变量，试求乘客在车站等候（1）不超过5分钟的概率；（2）超过10分钟的概率10．假设电路中装有三个同种电器元件，它们的工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，求电路正常工作时间T 的概率分布。
概率论第二章+习题
第二章 随机变量与概率分布一、单项选择题1．设随机变量?的密度函数p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ?[0、A] 0 其他 , 则常数 A=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、22．设随机变量?的分布列为P{?=k}=C 2k ，k=1,2,…，则常数C= ( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、23A4 A5 A 6A 7A C 8A B C 、P{X=k}= (23 ) (13 )k k=0,1,2,…D 、P{X=k}= (23 ) (13 )k-1 k=0,1,2,…9．设随机变量?的密度函数为p(x)，且p(-x)=p(x)，F(x)是?的分布函数，则对任意的实数a,有( )A 、F(-a)=1- ⎠⎛0a p(x)dxB 、F(-a)=12 - ⎠⎛0a p(x)dx C 、F(-a)=F(a) D 、F(-a)=2F(a)-110．设随机变量 ? 的密度函数为p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧x 0<x ≤12-x 1<x ≤20 其它，则P{?<1.5}等于 ( ) A 、0.875 B 、0.75 C 、⎠⎛01.5(2-x)dx D 、⎠⎛11.5(2-x)dx 二、填空题11．设随机变量?的分布函数为 F(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧0 x<0sinx 0?x<?/21 x ??/2, 则 F(?/4) = 。
12．? ~ N(1,?2) 且 P{1???3} = 0.3，则 P{? ? -1} = 。
13．设随机变量? 的密度函数为 p(x) = c 1+x 2 ，-∞<x<+∞，则常数 c= 。
14. 1516171819 20212223求：（1）常数A ； （2）? 的密度函数p(x)； （3）P{ ? ? 1}。
24．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽，求（1）耗用子弹ζ的分布列；（2）ζE 。
概率论第二章+习题
第二章 随机变量与概率分布一、单项选择题 1．设随机变量的密度函数p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x [0、A]0 其他, 则常数A=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、22．设随机变量的分布列为P{=k}=C2k ，k=1,2,…，则常数C=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、23．设 ~ N (, 2 )，且概率密度 p(x) =16e -(x-2)2/6 ，则正确的为 ( )A 、= 3 , =2B 、=2, =3C 、=2, = 3D 、= 2 , = 34．设随机变量 的密度函数 p(x) = ⎩⎪⎨⎪⎧Asinx ， x [0，]0， 其它 ，则A=( )A 、1B 、1/2C 、1/4D 、2 5．设离散型随机变量X 的分布列为错误!其分布函数为F(x),则 F(3/2) = ( ) A 、 B 、0.3 C 、 D 、6．设随机变量的分布列为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 4P 1/4 1/2 , 则常数 =( )A 、1/8B 、1/4C 、1/3D 、1/2 7．在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为，则击中目标的次数 的概率分布为 ( )A 、二项分布 B(5,B 、普阿松分布P(2)C 、均匀分布 U, 3)D 、正态分布 N(3, 52) 8．某射手对目标独立地进行射击，直到击中目标为止，设每次击中的概率为2/3，则击中目标前的射击次数X 的概率分布为 ( )A 、P{X=k}= C n k (23 ) k (13) n – k, k=0,1,2,…,n B 、P{X=k}= kk!e –1 ,>0, k=0,1,2,…,nC 、P{X=k}= (23 ) (13 )kk=0,1,2,…D 、P{X=k}= (23 ) (13)k-1k=0,1,2,…9．设随机变量的密度函数为p(x)，且p(-x)=p(x)，F(x)是的分布函数，则对任意的实数a,有( )A 、F(-a)=1- ⎠⎛0a p(x)dxB 、F(-a)=12- ⎠⎛0a p(x)dxC 、F(-a)=F(a)D 、F(-a)=2F(a)-110．设随机变量 的密度函数为p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧x 0<x ≤12-x 1<x ≤20 其它，则P{<}等于 ( )A 、B 、C 、⎠⎛0(2-x)dxD 、⎠⎛1(2-x)dx二、填空题11．设随机变量的分布函数为 F(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧0 x<0sinx 0x</21 x/2 , 则F(/4) = 。
概率习题及答案第二章第二章习题
第二章 随机变量及其分布练习题1. 设X 为随机变量，且kk X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 （1）判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。
用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。
求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。
根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且21)0(==X P ，求（1）λ； （2）)1(>X P .8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。
经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 10. 已知X 的概率分布为：X-2 -10 1 2 3 P2a101 3aaa2a试求（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分布。
第二章 《随机变量及其分布》练习题
第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．142．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．343．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.284．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.1257．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( ) A.14 B ．－14 C.54 D ．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6 10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.411．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：D ．无法确定 13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.614.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.556415．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章 《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A ．34 B ．38 C ．13 D ．14[解析] 抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A ．13 B ．25 C ．56 D ．34[解析] 事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13， 3．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28 C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A ． 4．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．E (X )D ．2E (X )[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0. [答案] B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6[解析] ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. [答案] B 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：且η＝2ξ＋3，则E (η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125解析：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( )A ．2B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3，∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－ξ)的值为( )A.14 B ．－14 C.54 D ．－54 解析：∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6解析：X 的取值为6,9,12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( D ．－0.4解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3b ＝0.5.所以a －b ＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：依题意ξ服从两点分布，∴D (ξ)＝m (1－m )，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定解析：E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (ξ)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B 14.随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于( ) A.732 B.932 C.3364 D.5564解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a ＋13＝1，a ＝23. ∵E (ξ)＝2，∴m 3＋2n3＝2.∴m ＝6－2n .∴D (ξ)＝13×(m －2)2＋23×(n －2)2＝23×(n －2)2＋13×(6－2n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2.∴n ＝2时，D (ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2，P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3， P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. [答案] A17.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.6[解析] X 的取值为6、9、12，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115. E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. [答案] A二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________.解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125. 3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，则ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：254.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， 所以E (η)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)． 三、解答题1．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）3A 设“选出的名同学来自互不相同的系”为事件，1203373731049()60C C C C P A C346310()(0,1,2,3)k k c c p xk k c （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.随机变量X 的分布列为数学期望113161236210305E X ．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C ．事件B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ．所以该射手通过测试的概率P (A )＝P (B )＋P (C )＝⎝⎛⎭⎫342＋C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·23＝1316. (2)由题意知，X ＝0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－342＝116；P (X ＝1)＝C 12·34·⎝⎛⎭⎫1－34·⎝⎛⎭⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (A )＝1316. 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数X 的数学期望为E (X )＝0×116＋1×18＋2×1316＝74.3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．[分析] (1)设A 表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P (A )，P (B )，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号歌手且媒体乙未选中3号歌手的概率．(2)先由等可能事件概率计算公式求出P (C )，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．[解析] (1)设A 表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B 表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C 表示事件“媒体丙选中3号歌手”， P (A )＝C 14C 25＝25，P (B )＝C 24C 35＝35，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )(1－P (B ))＝25×(1－35)＝425.(2)P (C )＝C 25C 36＝12，由已知得X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝(1－25)(1－35)(1－12)＝325，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25(1－35)(1－12)＋(1－25)×35×(1－12)＋(1－25)(1－35)×12＝1950， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×(1－12)＋25(1－35)×12＋(1－25)×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325，∴X 的分布列为E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.114.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] 设A 、B 、C 、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，A －、B －、C －、D－分别为A 、B 、C 、D 的对立事件(例如A －表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，P (A －)＝14，P (B －)＝12，P (C －)＝23，P (D －)＝34. (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W ，则由题设条件知W ＝ABC ＋AB C －D ＋A B －CD ＋A －BCD ＋A－B C －D ，∵A 、B 、C 、D 各事件相互独立，∴P (W )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －)·P (D )＋P (A )·P (B －)·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C )·P (D )＋P (A －)·P (B )·P (C －)·P (D )＝34×12×13＋34×12×23×14＋34×12×13×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P (ξ＝2)＝P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝14×12＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B －C －)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C －)＝34×12×13＋34×12×23＝38. P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.。
第二章 随机变量及其分布 习题
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量、离散型随机变量及其分布规律一、判断题 随机变量X 的分布规律1． 表 是变量X 有{}3,2,1,0,652=−==k k k X P ，则它2.若对随机是随机变量X 的分布规律3.若对随机变量X 有{},5,4,3,2,1,251=+==k k k X P 则它是随机变量X 的分布律 二、填空题1.设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P ⋯⋯===,4,3,2,1,,则=a 2.设随机变量X 的分布律为{}⋯⋯===−,2,1,!3k e k k X P kλ，则=λ3.设离散型随机变量X 服从两点分布，且()()()=====1,041X P X P X P 则4.设随机变量(),,~p n b X 且已知()()(),3221=====X P X P X P 则n = p =5.某试验的成功概率为43，失败概率为41，若以X 表示试验者首次成功所进行的试验次数，则X 的分布律为6.设随机变量X 服从二项分布(),,2p b 随机变量Y 服从二项分布若()p b ,3。
若(),951=≥X P 则()=≥1Y P三、在15件同类型的零件中有2件次品，从中取3次，每次任取1件，作不放回抽取。
以X 表示取出的次品的个数。
1．求X 的分布律 2.画出分布律的图形四、一大楼装有5个同类型的供水设备。
调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻, 1.恰有2个设备被使用的概率是多少？2.至少有3个设备被同时使用的概率是多少？3.至多有3个设备被同时使用的概率是多少？五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问： 1.在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ 2.在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？六、某商店过去的销售记录表明，某种商品每月的销售数可用参数10=λ的泊松分布描述，为了以99%以上的把握该种商品不脱销，每月该种产品的库存量为多少件？七、设X 服从泊松分布，其分布律为{}⋯===−,1,0,!k k e k X P k λλ ,当k 为何值，()k X P =最大？第二节 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度一、判断题：1.(),.102,212,0⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−−<=x x x x F 是某个随机变量的分布函数。
概率论 第二章+习题
第二章 随机变量与概率分布一、单项选择题1．设随机变量的密度函数p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x[0、A] 0 其他, 则常数 A=( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、22．设随机变量的分布列为P{=k}=C2k ，k=1,2,…，则常数C= ( )A 、1/4B 、1/2C 、1D 、23．设 ~ N (, 2 )，且概率密度 p(x) =16e -(x-2)2/6 ，则正确的为 ( ) A 、= 3 , =2 B 、=2, =3 C 、=2, = 3 D 、= 2 , = 34．设随机变量 的密度函数 p(x) = ⎩⎪⎨⎪⎧Asinx ， x[0，]0， 其它，则A=( )A 、1B 、1/2C 、1/4D 、2 5．设离散型随机变量X 的分布列为错误!其分布函数为F(x),则 F(3/2) = ( ) A 、 B 、0.3 C 、 D 、6．设随机变量的分布列为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 4P 1/4 1/2 , 则常数 = ( )A 、1/8B 、1/4C 、1/3D 、1/2 7．在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为，则击中目标的次数 的概率分布为 ( )A 、二项分布 B(5,B 、普阿松分布P(2)C 、均匀分布 U, 3)D 、正态分布 N(3, 52) 8．某射手对目标独立地进行射击，直到击中目标为止，设每次击中的概率为2/3，则击中目标前的射击次数X 的概率分布为 ( )A 、P{X=k}= C n k (23 ) k (13 ) n – k , k=0,1,2,…,nB 、P{X=k}= kk! e –1 , >0, k=0,1,2,…,n C 、P{X=k}= (23 ) (13 )k k=0,1,2,…D 、P{X=k}= (23 ) (13 )k-1 k=0,1,2,…9．设随机变量的密度函数为p(x)，且p(-x)=p(x)，F(x)是的分布函数，则对任意的实数a,有( )A 、F(-a)=1- ⎠⎛0a p(x)dx B 、F(-a)=12 - ⎠⎛0a p(x)dx C 、F(-a)=F(a) D 、F(-a)=2F(a)-110．设随机变量 的密度函数为p(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧x 0<x ≤12-x 1<x ≤20 其它，则P{<}等于 ( )A 、B 、C 、⎠⎛0(2-x)dxD 、⎠⎛1(2-x)dx二、填空题11．设随机变量的分布函数为 F(x)= ⎩⎪⎨⎪⎧0 x<0sinx 0x</21 x/2, 则 F(/4)= 。
第二章随机变量及其分布练习题
第二章随机变量及其分布练习题1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是〔 〕Ａ．1.4 Ｂ．0.9Ｃ．0.6 Ｄ．0.48 2．设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于〔 〕 Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．7163．设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X ＋2)的值为 ( )．A.113 B ．9 C.133 D.734．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为〔 〕Ａ．abＢ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --5．某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )A ．0.015B ．0.005 6．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于〔 〕 Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()．A.35 B.25 C.110 D.598．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，则P(B|A)＝()．A.18 B.14 C.25 D.129．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．A.12p B．1－p C．1－2p D.12－p10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6.假设μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝( ) A．0.135 9 B．0.135 8C．0.271 8 D．0.271 611．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜．依据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()．A．0.216 B．0.36 C．0.432 D．0.648 12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：处字迹模糊，但能断定这两个“？〞处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________．14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，假设该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，假设中奖，商场返回忆客现金100元．某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．18．某公司“咨询热线〞共有8路外线，经长期统计发觉，在8点到10点这段时间内，外线同时打入情况如下表所示：同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0．13 0．35 0．27 0．14 0．08 0．02 0．01 0 0〔1〕假设这段时间内，公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞，求上述情况下公司形象的“损害度〞．〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内，同时打入数X的均值．19．某仪表厂从供给商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，假设3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．(1)假设该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)假设该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列与期望．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件，当天营业结束后检查存货．假设发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。
第二章随机变量习题
第二章 随机变量练习六()(),0,1,2,3,42i C X P X i i C ===1、设随机变量的分布列为，求的值2、在50件同类产品中有5件次品，从中任取5件，一次抽一件，不放回抽样，以X 表示5次抽取出的次品个数，求X 的分布列。
3、一个盒子中有5只同样大小的球，编号为1、2、3、4、5。
从中同时取出3只球，以X 表示取出球的最小号码，求X 的分布列。
4、掷一枚不均匀的硬币，设出现正面的概率为P(0<P<1),设X 为一直掷到正、反面都出现所需的投掷次数，求X 的分布列。
5、某地区有5个加油站，调查表明在任一时刻每个加油站被使用的概率为0.1，问在同一时刻。
（1） 恰有2个加油站被使用的概率是多少？（2） 至少有3个加油站被使用的概率是多少？（3） 至多有3个加油站被使用的概率是多少？练习七1、 设10件产品中有2件次品，每次抽取一件，不放回抽样，直到取到正品为止，设X 为抽取次数，求（1）X 的分布列；（2）X 的分布函数；（3）P{X=3.5},P{X>-2},P{1<X<3}.X ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩212(1-),1x 22、设随机变量的概率密度为f(x)=,求X 的分布函数F(x)x0,其他3、设连续型随机变量X 的分布函数为22,0()0,0x A Be x F x x -⎧⎪+≥=⎨⎪<⎩ 求（1）A,B;(2)随机变量X 的概率密度函数；（3）P X <<2(110,12),120X N ≤≤≤ 4、设随机变量求（1）P{X 105},P{100<X };(2)确定最小的x,使P{X>x}0.0510.05,0.0610.050.12μσ==±5、由某机器生产的螺栓的长度服从的正态分布，规定长度在内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率6、公共汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的，设男子的身高X N(170,36),问应如何选择车门的高度？练习八1、 设随机变量X 的分布列为X -3 -1 0 1 222123X X =-+=-12试求（1）Y 的分布列；（2）Y 的分布列()()22ln X Y e Y X ==- 2、设随机变量X U(0,1),求1的密度；的密度()()2212Y X Y X =+= 3、设随机变量X N(0,1),求1的密度；的密度(),.x -∞<<+∞34、设随机变量X 的概率密度为f x 求Y=X 的概率密度.(),05,0,x e x X -⎧>=⎨⎩2、设随机变量的概率密度为f x 求Y=X 的概率密度其他。
第二章随机变量及其概率习题
习题二 一、填空题1. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = 2______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c2. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k .3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F .4. 设随机变量X ~B (2, p ), Y ~B (3, p ), 若95)1(=≥X P , 则)1(≥Y P = 19/27 . 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥Y P Y P . 5. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 223e -. 6. 已知连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>+=-0 ,00,)(2x x Be A x F x ，则=A 1 ，=B 1- ，=<<)221(x P 41---e e ，=)(x f⎩⎨⎧≤>-0 ,00,22x x e x . 7. 设随机变量X 的概率密度函数⎩⎨⎧∈=其它 ,0]2,0[ ,)(x Ax x f , 则=A 0.5 ,)(x F =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<2,120 ,4,02x x xx ； =≤)21|(|x P116.8. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=其它若若 ,0]6,3[ ,9/2]1,0[ ,3/1)(x x x f ，若k 使得32)(=≥k X P , 则k 的取值范围是13k ≤≤.9. 某公共汽车站有甲，乙，丙三人，分别等1，2，3路车，设每人等车的时间（分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，则三人中至少有两人等车时间不超过2分钟的概率为__0.352_____.10. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为___3/5__.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤k .P{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k }= P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk . 11. 设),(~2σμN X 则X Y μσ-=服从的分布为 )1,0(~N Y .12. 设),(~2σμN X 则Y aX b =+服从的分布为 ),(22σ+μa b a N . 13. 若随机变量X ~),2(2σN ,且P (2<X <4)=0.3, 则P (X <0)= 0.2 . 14．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c 3 . 15. 设随机变量X 和2X Y =的概率分布分别为12210120.10.20.3XPp p --3140.60.2Y P p则123,,p p p 分别为0.3，0.1，0.2．16. 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2X Y =在(0,4)内的概率密度）（y f Y 为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，）（ ,040 41y y y f Y 。
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ? 1) =95, 则P(Y ? 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ? a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ? x 2) = ________.解. P(X ? a) = F(a) P(X = a) = P(X ? a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ? x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ?－1或k ? 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k= 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216?, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ? x ? e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(?, ?2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则? = ______, ? = _______.解.21/3 ? ?213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______.iii. U= X 2+ Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=2210)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+?) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则?, c 一定满足(A) ? > 0 (B) c > 0 (C) c ? > 0 (D) c > 0, 且 ? > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以?可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为?(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = ? = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2(D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ 其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X,Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是 (A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ? 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ? 0} = 1/2 (B) P{X + Y ? 1} = 1/2 (C) P{X －Y ? 0} = 1/2 (D) P{X －Y ? 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ? 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ? 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ? y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-=0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度. i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P XPii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ? 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ? 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x x x F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ? x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ? x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ? x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －? < x < +? 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －? < x < +?, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== .(其中?(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30)=88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少 ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少 iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ? 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ? 0时, F(x) = 0当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9?时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx Fππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ? 1时, 关于X 的条件分布.解. X(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y XP1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P 所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ? 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ? 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z D 210. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i. ⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ? 0 或 x ? 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii. ⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ? 0 或 y ? 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。
第2章随机变量及其分布习题答案
第2章随机变量及其分布习题答案第⼆章随机变量及其分布§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解： 1112(1)121,.993θθθθ+-++-=∴=±⼜因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以 13θ=.2. 解：设X 表⽰任取3次,取到的不合格品数，则 1）有放回 33()0.20.8,0,1,2,3.k k k P X k C k -=== 即X 的分布律为 X 0 1 2 3 P12564125481251212512）⽆放回 328310(),3,4,5.kkC C P X k k C-===即X 的分布律为 X 0 1 2 P 1571571514. 解：设X 表⽰直⾄取到⽩球为⽌,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4P521031531015. 解：由全概率公式得42(2)()(2|)111113().423448k P Y P Xk P Y X k =======++=∑§2.2 0-1分布和⼆项分布习题1. 解：设A 表⽰“10件中⾄少有两件⼀级品”,则P （A ）=1()P A -=1=--6.04.04.0911010C 0.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 5 6.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.077763. 解：设A 表⽰“4个灯泡中⾄少有3个能使⽤1500⼩时以上”,则4. 解：1）设A 表⽰“恰有3粒种⼦发芽”,则003764768.002.098.0)(2335==C A P2）设B 表⽰“⾄少有4粒种⼦发芽”,则=+=544598.002.098.0)(C B P 0.996§2.3 泊松分布习题1. 解：设A 表⽰“⼀页上⾄多有⼀个印刷错误”,则 010.20.20.20.2()(1)(0)(1)0.9820!1!P A P X P X P X ee--=≤==+==+=2.解：1）设X 表⽰5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X = 22(),0,1,2,3,4,5,6.!kP X k e k k -===2）设A 表⽰“5分钟内⾄多接到3个电话”,则∑2!2-ek k=0.8571或4()(3)1(4)1k P A P X P X +∞==≤=-≥=-∑2!2-ek k=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A 表⽰“中午12时⾄下午3时没有急症病⼈”, 则~(1.5),X π1.51.5()(0)0.223.0!P A P X e-====2）设B 表⽰“中午12时⾄下午5时⾄少有2个急症病⼈”,则~(2.5),X π12.52.5()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.0!1!P B P X P X P X ee--=≥=-=-==-§2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）≥<≤<≤<=2,121,2110,310,0)(x x x x x F312)()(0)(1),221(14)(2),22(14)(1)(2).3P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==2. 解：X 0 1 2 3 4 5P 54.0 6.04.0415C 23256.04.0C 32356.04.0C 4456.40.0C 56.00.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03223.021086.01001.000)(x x x x x x x x F ＜3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 §2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）?? =?=?=101231,1)(c dx cx dx x f2）30,0(),011,1x F x x x x=≤)41()21()2141(=-=≤≤F F x P 22219()1()1().33327P X P X F >=-≤=-= 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则00012l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),10,1,2211,210,,2.2x x x F x F F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====----====解得2）,01()()2,120,x x f x F x x x <'==-≤其它3）2111117P ()1P ()1F()1().222=-=-= 3. 解：1）12011()2,~(3,),44P A xdx Y B ==则 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 P642764276496412）设B 表⽰“对X 的三次独⽴重复观测中事件A ⾄多出现两次”,则3163()1()1(3)1().464P B P B P Y =-=-==-= 4.设最⾼洪⽔位为X,河堤⾄少要修c 单位⾼,由题意得：32()1()10.0110.c P X c P X c dx c x>=-≤=-≤?≥?P X dx >==设A 表⽰“3次独⽴观测中⾄少有两次观测值⼤于3”,则223321220()()().33327P A C =+=2. 解：有实根的条件：2(4)44(2)01K 2,K K K -??+≥?≤-≥或所求概率为 3P (K 2.5dx ≥=521）=5 3. 解：1）33001,|1 3.33xxk k kedx ek +∞--+∞=-==?=?即2）23 4.561.5(1.52)3.xP x edx e e ---≤≤=1(200)1,600x P X e dx e--≤==-?设A 表⽰“3只独⽴元件⾄少1只在最初200⼩时内出故障”,则13311)(1)(1)(---=-=-=eeA P A P .§2.7 正态分布习题1. :(1)(0.022.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;P X <<=Φ-Φ=-=解( 1.850.04)(0.04)( 1.85)(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838. P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-= 2. 解：101)(716)(12)(2)(1)3(2)(1)10.97720.841310.8185;X P X P -<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=10222)(102)()2()120.748610.4972;333x P x P --<=<=Φ-=?-=103)()0.9()0.9,(1.28)0.9,1.28,13.84.3P X αααα-<=?Φ=Φ≈-==反查表得故得3. 解：设X 表⽰螺栓长度，则：10.05(10.050.12)(2)2(2)120.977210.9544.0.06X P X P --<=<=Φ-=?-=4. 解：30(30)()2(1.5)10.8664,2020X P X P ≤=≤=Φ-=设A 表⽰“三次测量中⾄少有⼀次误差的绝对值不超过30cm ”3()1()1(0.1336)0.9976.P A P A =-=-=§2.8 随机变量函数的分布习题 1. 解：1）Y -3 2 5 6 P161 164 167 1642） Z 1 2 3 4 9 P1621641651641612. 解： 3110≤≤?≤≤y x , 当31≤≤y 时，11()();2y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤= ='==;当13,y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.故Y 的密度函数为1,13()20,Y y f y ?≤≤?=其它22222()2()22()()()(),,()(),.Y X yy yY Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R µσµσµσµσµ∈'===∈?3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为第⼆章随机变量及其分布复习题⼀选择题1. B2. B3. C4. D5. C ⼆填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592. 27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 611. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表⽰两次调整之间⽣产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k kP X k C k -===设A 表⽰“5道选择题⾄少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）⼀天中必须有油船转⾛意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞(查泊松分布表)2) 设设备增加到⼀天能为y 艘油船服务,才能使到达港⼝的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥?-≥?≤+≥?≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+?>dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=?b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥≥?≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表⽰“100个男⼦中与车门碰头⼈数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -?-∞<≤??=??-<<+∞??011(2)P Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==故Y的概率分布律为Y-1 1P1/2 1/2Y的分布函数为0,11(),1121,1YyF y yy<-=-≤<≥。
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题1．假设X 是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，而X Y -=1，已知{}75.029.0=≤X P ，则满足{}25.0=≤K Y P 的常数k= ．2．设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p= ．3．设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X 的分布函数为 ．4．设随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=，，若；，若；，若；，若3 131 210 20 0x x x x x x F ，则P {}25.0<≤X = ．5．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 .6．设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ .7．若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 8 ．设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ .9．若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 10．已知离散型随机变量X 的可能取值为5202，，，-，相应的概率依次为a 1，a 23，a45，a87，求)0|2|(|≥≤X X P = . 11．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x f ，Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则)2(=Y P = . 12．已知随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则2/X e Y =的概率密度)(y f Y ＝ .二、选择题1．设随机变量X 和Y 相互独立，其分布函数相应为)(1x F 和)(2y F ，则随机变量{}Y X U ,max =的分布函数为=)(u F （ ）． (A) {})(),(max 21u F u F ； (B) {})(1),(1min 21u F u F --； (C) )()(21u F u F ； (D) ()[]()[]u F u F 211 11---．2．设随机变量),(~2σμN X ，则随σ的增大，概率{}σμ≤-X P （ ）． (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定．3．假设X 是只有两个可能值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，且X 和Y 相互独立，则随机变量Y X +的分布函数（ ）．(A) 是阶梯函数； (B) 恰好有一个间断点；(C) 是连续函数； (D) 恰好有两个间断点． 4．下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是（ ）． (A)211)(x x F +=； (B)x x F arctan 2143)(π+=；(C)⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,10,0)(x x x x x F ； (D) x x F arctan 21)(π+=．5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110200)(x x xx x F ，则)(x F （ ）． （A ）是随机变量的分布函数 ； （B ）不是随机变量的分布函数； （C ）是离散型随机变量的分布函数；（D ）是连续型随机变量的分布函数 ．6．已知随机变量X 的分布列为： ,2,1,0,!2)(===k k Ck X P k ，则常数C 等于（ ）． （A ）1-e ； （B ）2-e ； （C ）3-e ； （D ）4-e ．7．设21,X X 是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为)(),(21x f x f ，分布函数分别为)(),(21x F x F ，则（ ）．（A ）)(32)(3121x f x f +必为某一随机变量的概率密度； （B ）)()(21x f x f 必为某一随机变量的概率密度； （C ）)()(21x F x F +必为某一随机变量的分布函数； （D ）)()(21x F x F -必为某一随机变量的分布函数.8．设随机变量Y X ,相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则（ ）．(A)1,2==b a ； (B) 2,1==b a ； (C) 1,2=-=b a ； (D) 2,1-==b a ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数9．设X 为随机变量, 若矩阵的概率为0.5, 则（ ）．(A) X 服从区间[0,2]上的均匀分布； (B) X 服从二项分布B(2, 0.5)； (C) X 服从参数为1的指数分布； (D) X 服从标准正态分布．10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110200)(x x xx x F ，则)(x F （ ）． （A ）是随机变量的分布函数； （B ）不是随机变量的分布函数； （C ）是离散型随机变量的分布函数； （D ）是连续型随机变量的分布函数 ．11．已知随机变量X 的分布列为： ,2,1,0,!2)(===k k Ck X P k ，则常数C 等于（ ）． （A ）1-e ； （B ）2-e ； （C ）3-e ； （D ）4-e ．12．设随机变量X 服从参数为0>λ的泊松分布, 设8.0)11(=≤=X X P ，则λ等于（ ）．（A ） 0.8； （B ） 2 ； （C ） 4 ； （D ） 0.25．13．已知)7,1(~23N X ，则)21(<<X P 等于（ ）．（A ）)1()2(Φ-Φ； （B ）)1()2(3Φ-Φ； （C ）21)1(-Φ； （D ）)2()3(33Φ-Φ．14．设随机变量X 的任一线性函数0,≠+=a b aX Y 则下面命题不成立的是（ ）． (A) 如果X 是连续型随机变量, 则Y 也是连续型随机变量； (B) 如果X 是泊松分布, 则Y 也是泊松分布； (C) 如果X 是均匀分布, 则Y 也是均匀分布；(D) 如果X 是正态分布, 则Y 也是正态分布． 三、解答题1．一个正立方体容器盛有3/4的液体, 假设在其6个侧面（含上、下两个底面）的随机部位出现了一个小孔，液体经此小孔流出．求剩余液体液面的高度X 的分布函数)(x F ．2．假设一装置启动后无故障工作的时间X （小时）服从指数分布，平均无故障工作的时间为2百小时；每次启动（在无故障的情形下）只需工作10小时便自行关机．试求该装置每次启动无故障工作的时间Y 的分布函数．3．设试验E 是一伯努利试验，其成功的概率为p, 而失败的概率为q=1－p ．现在将E 独立地一次接一次地进行直到成功或完成n 次试验为止，其中n ≥2是给定的自然数．试求所作试验次数X 的概率分布．4．假设某自动生产线上产品的不合格品率为0.02，试求随意抽取的30件中， (1) 不合格品不少于两件的概率α；(2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的概率β．5．假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？6．假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3天及多于3天亏损2万元．求所创利润的概率分布．7．某生产线平均每三分钟生产一件产品，假设不合格品率为0.01．问为使至少出现一件不合格品的概率超过95%最少需要多长时间？8．假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为λ的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p ．分别以X 和Y 表示一日内到过该商店的顾客中购货和未购货的人数，分别求X 和Y 的概率分布．9．假设一商店每周（7天）平均售出56台电冰箱，其中因为质量问题要求返修的占5‰ ．试求一个季度（90天）售出的电冰箱中返修件数X 的概率分布．10．假设随机变量X 服从正态分布)9 108(，N ，求满足{}01.0 =≥-a a X P 的常数a ． 11．假设随机测量的误差()210,0~N X ，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的绝对误差大于19.6的概率α的近似值．12．设)(1x F 和)(2x F 都是随机变量的分布函数，a 和b 是非负常数且1=+b a ，证明)()()(21x bF x aF x F +=具有随机变量的分布函数的基本性质．13．假设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，)(x F 是其分布函数，证明随机变量Y =)(X F 在区间(0,1)上服从均匀分布．14．设随机变量X 的概率密度函数为xx e e Cx f -+=)(试求：（1）常数C ；（2）在对X 进行的5次独立观察中，X 的取值都小于1的概率． 15．连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.16．设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P （3）))(1(2)|(|a F a X P -=>17．一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4．从中任意取2个球，以X 记取出的球中小的号码．求X 的分布列与分布函数.18．使用了t 小时的计算机，在以后t ∆小时内损坏的概率等于)(t o t ∆+λ，其中λ为不依赖于t 的常数，假设在不相重叠的时间内，计算机损坏与否相互独立，求计算机在T 小时内损坏的概率.19．过平面上一点)1,0(任作一直线L 与x 轴的夹角为α，设α服从区间),0(π上的均匀分布，求（1）此直线在x 轴上的截距Z 的概率密度； （2）截距Z 在1到2之间的概率.20．设离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,0,)(===n ap n X P n ，而且X 取奇数值的概率为73，试求常数a, p 的值. 21．设随机变量t 服从数学期望为21的指数分布，求方程042=++tx x 有实根的概率. 22.设随机变量X 的概率密度为∞<<∞-=-+-x e x f x x,1)(122π试求：（1）2X Y =的概率密度；（2）)211(+<<X P 23． 设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x e x f x ,21)(||, 求（1）||X Y =的分布函数)(y F Y ； （2）证明对任意的实数0,0>>b a ，均有 )()|(b Y P a Y b a Y P ≥=≥+≥. 24．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他08131)(32x x x f()x F 是X 的分布函数，求随机变量()x F Y =的分布函数.25．假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间为5小时, 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而无故障的情况下工作2小时便关机, (1)试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数)(y F Y ，(2) 求Ye Z =的分布函数，并判断Z 是否为连续型随机变量.26．设随机变量X 的可能取值为 ,,,2,1k ，且 ,2,1,21)(===k k X P k ，令 ⎩⎨⎧-=是奇数如果是偶数如果X 1X 1Y试求二次方程022=++Y t t 无实根的概率.27． 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x ， 试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度. 28．设随机变量X 的概率密度函数为xx ee Cx f -+=)( 试求：（1）常数C ；（2）在对X 进行的5次独立观察中，X 的取值都小于1的概率；（3）求)0(>X P ．29．过平面上一点)1,0(任作一直线L 与x 轴的夹角为α，设α服从区间),0(π上的均匀分布，求（1）此直线在x 轴上的截距Z 的概率密度； （2）截距Z 在1到2之间的概率.30． 设X X 1n ,, 为i.i.d. ~ 0-1分布（即贝努利分布），参数为p. 试对固定正整数k ≤ n ，求（1）P X k i i n ()==∑1；（2）P X k X i n i n(,)===∑11；（3）P( min{n: )},2,1,0k n X n ==≠. 31．设X 为只取正整数值的随机变量，则下列命题等价： (1)X 服从几何分布．(2) ,1,0,)()|(=>=>+>n m m X P n X n m X P ． (3) ,1,0,,2,1)()|(====>+=n m m X P n X n m X P ．。
第二章 随机变量及其分布习题
第二章 随机变量及其分布习题一 、填空题1. 设随机变量ξ的分布律为NaK P ==)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。
2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率分布为 。
3.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。
4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ⎝⎛≥+<≤-<≤--<=221321110)(x b a x a x ax x F ，且21)2(==ξP ，则___________________,______,的分布律为ξ==b a 5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(2x x kex f x则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则________)2(______,)5(=≤==ξξP P7. 设随机变量ξ的概率密度为8)1(2)(--=x kex f （+∞<<∞-x ），则=k 。
8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x f x，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y ηϕ 10. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧>><<=其他)0,0(,10)(k b x kx x f b，且________________,,75.0)21(===>b k P 则ξ 二 、选择题1 .kk p x P 2)(==ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（ ） （A ）k x 非负 （B ）k x 为整数（C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（ ）一定成立（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负(D) )(x f 在），（∞∞-内连续3.如果)(x F 是（ ），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（ ） （A ）非负函数 （B ）连续函数（C ）有界函数 （D ）单调减少函数 4.下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数(A))(x F = ⎩⎨⎧≥<010x x e x（B ）G(x)= ⎩⎨⎧≥<-01x x e x(C)=Φ)(x ⎩⎨⎧≥-<010x ex x(D) H(x)= ⎩⎨⎧≥+<-0100x ex x 5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他11),(22y x y x f π则ηξ与为（ ）的随机变量（A ）独立同分布 （B ）独立不同分布（C ）不独立同分布 （D ）不独立也不同分布三、计算题1. 掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。
第二章随机变量及其分布作业册习题解答
§1 随机变量 一、单项选择题
§2 随机变量的分布函数
§3 离散性随机变量及其分布律
（1）解应选（B）。
方法一由于在选项（A）中， F(+) = 0 1，在选项（C）中， F (+) = 1 1，在选项（D） 2
−1, 中，取 f (x) = 2,
0,
1 x 2
+
3 x 4 ，则 f (x)dx = 1，但当1 x 2 时， F(x) =1− x 0 ，因此选 −
~19~
此所求的概率为
P
1 2
X
2
=
2
f (x)dx =
1 2
21
5
xdx =
6 1
2
16
（3）当 x 0 时， F(x) = 0 ；当 0 x 2
3 时， F(x) =
x
f (t)dt =
x 1 xdx = x2 ；当
−
06
12
x 2 3 时， F(x) = 1，即 X 的分布函数为
= P( −4) + P( 4) = + 2e−2xdx = e−8 4
故填 e−8 。
三、解（1）由
+
f (x)dx = 1 ，得1 =
2
3
3Cxdx = 18C ，故 C =
1
。
−
0
18
（2）由（1）知
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 6
x,
0 x2
3 ，由于 X 是连续型随机变量，因
0, 其他
a
+
+
a
F(−a) = − (−t)dt = (t)dt = (t)dt − (t)dt
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第二章 随机变量习题一. 填空1. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ= 2 。
2. 设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则当1215x x <<<时，12()P x X x ≤≤=21(1)4x - ；当1215x x <<<时，12()P x X x ≤≤= 11(5)4x - 。
3. 随机变量(,4)X N μ ，则2X Y μ-=N （0，1） 。
4. 已知10件产品中有3件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），则所取到的3件产品中合格品数X 的概率分布为 B （3，0.7） 。
5. 设随机变量X 的概率密度函数为201()0x x f x <<⎧=⎨⎩其他，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“12X ≤”出现的次数，则(2)P Y == 9/64 。
6. 设随机变量2(,)X N μσ ，且()()P x c P X c ≥=≤，则c = μ 。
7. 设随机变量X 的分布函数为10.411()0.81313x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的分布律为 。
8. 设随机变量(2,)X B p ，(3,)Y B p ，若5(1)9P X ≥=，则(1)P Y ≥= 19/27 。
9. 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p = 1/2 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5 。
10. 设随机变量X 的概率密度函数为101()29360x f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他，若存在k 使得()23P X k ≥=，则k 的取值范围是 [1,3] 。
11.设201()10c x f x x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪⎩其他是随机变量X 的概率密度函数，则c = 4π 。
二. 单项选择1. 设随机变量X 的概率密度函数为()X f x ，23Y X =-+的概率密度函数为（ B ）。
（A ）13()22X y f --- （B ）13()22X y f -- （C ）13()22X y f +--（D ）13()22X y f +- 2. 设随机变量2(,)X N μσ ，其概率密度函数()f x 的最大值为（ D ）。
（A ） 0 （B ） 1 （C ）（D ）3. 若随机变量(1,1)X N ，密度函数()f x ，分布函数()F x ，则有（ C ）。
（A ）(0)(0)P X P X ≤=≥ （B ） ()1()F x F x =--（C ）(1)(1)P X P X ≤=≥ （D ） ()()f x f x =-4. 设随机变量2(,)X N μσ ，则随着σ的增大，概率()P X μσ-<（ C ） （A ）单调增大 （B ）单调减少 （C ）保持不变 （D ）增减不定5. 设随机变量()X f x ，满足()()f x f x =-，()F x 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ B ）。
（A ）0()1()aF a f x dx -=-⎰（B ）01()()2a F a f x dx -=-⎰ （C ）()()F a F a -= （D ）()2()1F a F a -=- 6. 7. 8. 9. 10. 三. 计算1. 设()f x 是随机变量X 的概率密度，试求其中的未知参数a 。
已知3(),xf x aex -=-∞<<+∞；解：由概率密度的性质，可见1=()f x dx +∞-∞⎰=330223xx a edx a e dx a +∞+∞---∞==⎰⎰ 因此 32a =。
2. 设随机变量X 的分布函数为1()ln 1a x F x bx x cx d x e d x e ≤⎧⎪=++<≤⎨⎪>⎩（1）求常数,,,a b c d ；（2）求X 的密度函数。
解：（1）由连续型分布函数的性质有(10)(1),(0)(),()0,()1F F F e F e F F +=+=-∞=+∞=于是有01c d a be ce d d a d +=⎧⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎩即 0,1,1,1a b c d ===-=（2）因()F x 连续，且只有两个不可导点，故为连续型随机变量的分布函数，其X 的密度函数ln 1()()0x x ef x F x <<⎧'==⎨⎩其他。
3. 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x =012120xx x x ≤<⎧⎪-≤≤⎨⎪⎩其他求 （1）X 的分布函数()F x ；（2）(112),(1232)P X P X -≤≤≤≤ 解 （1）()()()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰由()f x 定义中的分段点0,1,2x x x ===，因此把X 的分布函数()F x 分为(,0),[0,1),[1,2),[2,)-∞+∞四个区间来求解因此 当0x <时，()()0xF x f t dt -∞==⎰，当 01x ≤<时，00()()()x F x f t dt f t dt -∞=+⎰⎰=00x tdt +⎰=212x ，当 12x ≤<时，0101()()()()xF x f t dt f t dt f t dt -∞=++⎰⎰⎰=1010(2)x tdt t dt ++-⎰⎰=21212x x -+-， 当 2x ≥时，01201()()()()()xF x f t dt f t dt f t dt f t dt -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰+2()xf t dt ⎰=1210(2)0tdt t dt ++-+⎰⎰=1即 X 的分布函数为22001012()12112212x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩（2） 1(112)()(1)(1)2P X F F P X -≤≤=--+=- =121()f x dx -⎰+(1)P X =-由于X 是连续型随机变量，故(1)P X =-=0 故1(112)()(1)(1)2P X F F P X -≤≤=--+=-=121()f x dx -⎰=110()()f x dx f x dx -+⎰⎰=18 同理 321213()()22P X f x dx ≤≤=⎰=13121(2)xdx x dx +-⎰⎰=344. 设离散型随机变量X 的概率分布为 (),0,1,2,nP X n a p n ===⋅⋅⋅ 而且X 取奇数值的概率为37，试求常数,a p 的值。
解：由离散型随机变量的性质，知1()11n n n P X n ap ap∞∞======-∑∑ 于是 1a p =- ①又 03(21)7k P X k ∞==+=∑，即21037k k ap ∞+==∑，故有 21317app =- ②于是由①，②得13,44a p == 5. 设随机变量Y 服从参数12λ=的指数分布，试求关于未知量x 的方程 2230x Yx Y ++-=没有实根的概率。
解：方程 2230x Yx Y ++-=没有实根的充分必要条件是判别式24(23)0Y Y ∆=--< 即28120Y Y -+<解上面不等式得 26Y <<，于是要求方程没有实根的概率即求概率(26)P Y <<，又随机变量Y 服从12λ=的指数分布，故Y 的密度函数为 1210()20y e y f y -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他所以方程没有实根的概率为(26)P Y <<=1662221()2y f y fy e dy -=⎰⎰=13e e --- 6. 若随机变量X 服从均值2，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3P X <<=，则(0)P x < 是 。
解 ：因为随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，所以0222(0)()()1()P X σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ又 42222(24)()()()(0)P X σσσ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=2()0.50.3σΦ-=从而 2()0.8σΦ=故 0222(0)()()1()P X σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=1-0.8=0.27. 假设随机变量X 在区间(0,5)上服从均匀分布，试求一元二次方程24420t Xt X +++=（1）有两个不同实根的概率，（2）有重根的概率。
解 因随机变量X 在区间(0,5)上服从均匀分布，所以其分布函数为00()()5515x x F x P X x o x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩ 一元二次方程根的判别式为216163216(2)(1)X X X X ∆=--=-+ （1） 因为一元二次方程有两个不同的实根，则16(2)(1)0X X ∆=-+>当且仅当 20X ->，可见该一元二次方程有两个不同实根，即2X >。
于是一元二次方程有两个不同实根的概率为3(0)(2)1(2)5P P X F ∆>=>=-=（2）因为一元二次方程有重根，当且仅当16(2)(1)0X X ∆=-+=，即2X =。
因此，所给一元二次方程有重根的概率为 (0)(2)0P P X ∆====四. 证明1. 设随机变量X 服从参数λ=2的指数分布，证明：21xY e -=-在区间（0，1）上服从均匀分布。
证明：因为2100xx e x F x -⎧->=⎨≤⎩21x y e -=-是单调增函数，1ln(1)2x y =-，则 2()()(1)x G y P Y y P e y -=≤=-≤=01(ln(1)21P X y ⎧⎪⎪≤--⎨⎪⎪⎩，故00()0111y G y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩从而y 的概率密度函数为101()0y g y <<⎧=⎨⎩其他 即y 在区间（0，1）上服从均匀分布。