第二章随机变量及其分布

定义:设随机试验 E 的样本空间 {} ,如果对任意 的基本事件 ,有一个实数 X X () 与之对应,就 称 X 为随机变量.
通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.
• 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示 事件{e|X(e)∈L}.
X0 1
2
3
4
P p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
• 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4. • 以p=1/2代入得
X0 1
2
3
4
P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例: 设随机变量 X 具有分布律
2
2
15 15 5
P(1 X 2) P(X 1) P(X 2) 1 2 1 15 15 5
§2 0-1分布和二项分布
§2 .1 0-1分布(两点分布)
如果随机变量 X 只取两个值,就称 X 服从两点分布, 一般两点分布取值为 0 和 1,分布律为:
X
0
1
Pk
1-p
p
例: 射手每次射击的成绩在 9.5 环以上时被认为
解 X 的分布律为:
P( X
k)
C5k
C 34k 35
， k
0，1，
，5
C4304
例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律.
解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分 布律为
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95
•若定义随机变量Y
为
Y
Y ()
1, 0,
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05 •从中看到X,Y都服从(0-1)分布
§2.2 贝努里试验和二项分布
将试验重复进行 n 次,每次试验中事件 A 或 者发生,或者不发生.如果每次试验的结果互不影 响,则称这 n 次试验是相互独立的.在 n 次重复、 独立试验中,不管哪一次试验,事件 A 发生的概率 保持不变,即不管在哪一次试验中都有 P( A) 来自百度文库, P( A) 1 p .
例：设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品,
从中随机抽取一件,令
1， 取到合格品 X 0，取到不合格品
则 X 是一个随机变量，它只取两个可能值 0 和 1.
如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为
不合格品,样本空间可表示为 {1, ,10},其中 i 表 示取到第 i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
X
0
1
Pk
0.1 0.6+0.3
取得合格品的概率为 P(X 1) 0.9
• 例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中 随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.
•若定义随机变量X为
0,
X X () 1,
关系为
X
(
i
)
1, i 1, ,8
0,
i
9,10
例：考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是 X 0,1,2, .
例：观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间.
例：记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X，则 X 也是一个随机变量，它的取值范围也是一 个区间.
分布律还可以简单地表示为：
X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk …
分布律具有以下性质:
1. pk 0, k 1，2，
2. pk 1 k 1
例:实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能 正常工作.某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求 取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律.
独立试验序列是贝努里(Bernoulli)首先研究 的,故也称为贝努里试验.贝努里试验是一种很重 要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用.在 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数 X 是一个随 机变量,如果每次试验中A发生的概率为 p,称 X 服
P(X k) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
1 2
X
5) 2
和
P(1
X
2) .
解（1）由分布律的性质,得
.
5
5
56
P(X k) ak a 1
k 1
k 1
2
从而
a 1 15
(2) P(1 X 5) P(X 1) P(X 2) 1 2 1
§1.2 离散型随机变量
定义：如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个(即可以和自然数集 N {1,2, ,n, }中的元素 1-1 对应),则称 X 为离散 型随机变量.
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1, x2 , ,X 取值为 xk 的概率为
P(X xk ) pk , k 1,2, . 称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律.
第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量的概念与离散型随机变量
§1.1 随机变量的概念
• 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念.
在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 如计算机,可以用一个代码与之对应.同样,建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究.
射击成功.如果每次射击成功的概率为 0.45,令
X
1, 当射击成功 0, 否则
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk 0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.