第二章随机变量及其分布

(1)多样性 (2)随机性
⒉分类
离散型 非离散型
连续型 奇异型
第2.2节、离散型随机变量的概率分布 一、定义: 只可能取有限个或至多可列个值的随机变量.
二、概率分布: 设随机变量X一切可能值为x1,x2,...,xn,...,则
pk=p(x=xk),k=1,2,...,n,...,称为X的概率函数或概率分布.
XP(X=1)=0p, P 1-p
P(X=0)p1=1-0p-,1所分以布,X的概注种p的率:对0概-分立1率分布结分布为果布用:,“.于成描功述”实概验率只为有参两数
特别:
X
x0
x1
P 1-p p
两点分布
例2.2.3 假定一个实验成功的概率为p(0<p<1),不断重复 进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布.
解:设X表示实验次数,X取值为1,2,...,n,..., P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ..., P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p, 则X 的概率分布为: 几何分布 P{X=n}=qn-1p, (n=1,2,...)
Possion分布 定义:若随机变量X的概率分布为P( X m ) m e ( m 0,1,2,,n,),
m! 则称X服从参数为λ的Possion分布,记为X~P(λ).
例2.2.4 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的 概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.
解:X的可能取值为0,1,2,3,4,5, 设事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai相互独立,
P(X=0)= P(A1A2 A3A4 A5) =(1-0.6)5 =0.45 C50 0.6 0 ( 1 0.6 )5
例如:一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件, 取得合格 品件数X,以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布, X对应的实验次数为n=4, “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)
例2.2.5 袋内有 5个黑球，3个白球，每次抽取一 个，不 放 回，
所以,X的概率分布为 X 0
12 3
P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2) Y的可能取值为1,2,3,4,
P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为
Y1
2 3 4 (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)
设A表示出现奇数点,则P(A)=P{X∈A}
=P{X=1}+P{X=3}+P{x=5}=1/3
注意:
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:
(1)确定随机变量ຫໍສະໝຸດ 所有可能取值;(2)利用古典概型计算每个取值点的概率
(3)列出随机变量的概率分布表..
例2.2.2.某实验成功的概率为p,现进行一次实验,求实验结果的概率分布 解:设随机变量X表实验结果, X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“成 功”
第二章 随机变量及其分布
第2.1节 随机变量
例2.1.1 (1)随机的掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,
ω: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点
X(ω): 1
2
3
4
5
6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射
击次数，则 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ......
X(ω) 1
2 ...... n ......
(3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达
车站,ω表示该旅客的候车时间, ω 候车时间
一.随机变量的概念:
X(ω) [0, 10]
1.定义:取值具有随机性的变量称为随机变量, 它是定义在样本空间上的实单值函数 . 随机变量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示
即:
P(X i)C
i 5
0
.
6
i(1 0.6) 5 i
i=0,1,2,3,4,5
P(X=4) C54 0.6 4 ( 1 0.6 )1 P(X=5) C55 0.6 5 ( 1 0.6 )0
一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复进行n次,
这n次中实验成功的次数X服从的分布为: 记为 X~B(n,p)
直 到 取得黑球为至。记X为取到白球的数目，Y为抽取次数，
求X、Y 的概率分布及至少抽取 3次的 概率。 解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56,
P( X m ) Cnm pm( 1 p )nm m 0,1,2,...,n
注:(1)随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数; (2)该实验模型称为n次独立重复实验模型或n重Bernoulli实验模型; (3)若A和Ac是n重Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二 者中任意一个,p是“成功”的概率.
P(X=1)= P( A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5
类推得:
A1 A2 A3 A4 A5 ) =5×0.6×(1-0.6)4 C51 0.6 1 ( 1 0.6 )4
P(X=2) C52 0.6 2 ( 1 0.6 )3 P(X=3) C53 0.6 3 ( 1 0.6 )2
P 5/8 15/56 5/56 1/56
=6/56
课堂练习:
1. P{ X i } 2ai ,i 1,2,, 求常数a.
2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分 布列:0.1,0.2,0.3,0.4.
或者 X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ... 三、3.性质:(1)pn≥0,n=1,2,... (2)p1+p2+...+pn+…=1
(3)P{X∈A}= P{x xi}
xiA X 1 2 3 4 5
6
例1(1)中X的概率分布
为
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6