概率第四章

布律.我们称X和Y各自的分布律为(X,Y)关于X和Y的边 关于X 关于 缘分布律,分别记为 缘分布律 P(X=xi)= pi· , i=1,2,…, P(Y=yj)= p·j , j=1,2,….
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概率论与数理统计
如果已知(X,Y)的联合分布律pij,可以得 到它与边缘分布律的关系如下:
p i⋅ = P ( X = x i ) = P ( X = x i , U{Y = y j })
我们称(X,Y)为具有参数的二维正态分布 二维正态分布.常记作 二维正态分布 （X，Y）～ 试求二维正态分布的随机变量的边缘密度函数.
2 N ( µ 1 , µ , σ 12 , σ 2 , ρ ).
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概率论与数理统计
例4.2.6 设二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
1 f ( x, y ) = e 2π
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概率论与数理统计
例4.2.4 设随机变量X及Y的分布律分别为
X P -1 0 1 0.25 Y P 0 1
0.25 0.5
0.5 0.5
且P(XY=0)=1，试求二维随机变量(X,Y)的 联合分布律.
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概率论与数理统计
4.2.3
二维连续型随机变量的边缘密 度函数
设(X,Y)是二维连续型随机变量,其联 合密度函数为f(x,y).这时X及Y也是连续型随 机变量,也有各自的概率密度函数f X (x)和 f Y (y),我们分别称f X (x)和 f Y (y)为(X,Y)关 于X和Y的边缘密度函数或边缘密度.
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概率论与数理统计
由分布函数的定义可得到联合分布函 数和边缘分布函数的关系为:
FX1 (x1 ) = P(X1 ≤ x1 ) = P(X1 ≤ x1, X2 < +∞,L, Xn < +∞) = F(x1,+∞,L,+∞), FX2 (x2 ) = P(X2 ≤ x2 ) = P(X1 < +∞, X2 ≤ x2 ,L, Xn < +∞) = F(+∞, x2 ,L,+∞), L, FXn (xn ) = P(Xn ≤ xn ) = P(X1 < +∞, X2 < +∞,L, Xn ≤ xn ) = F(+∞,L,+∞, xn ).
第4章 多维随机变量及其分布
§4.1 多维随机变量及其联合分布 4.1
在许多实际问题中，随机试验的结果往往需 要用两个或更多的随机变量才能描述.本章讨论 多维随机变量的概率分布及其相关性质.
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概率论与数理统计
定义4.1.1 定义4.1.1 设Ω={ω}是随机试验E的基本 事件空间, X1(ω), X2(ω),…, Xn(ω)均 为定义在Ω上的随机变量,则称由它们构成 的一个n维向量(X1, X2,…, Xn )为一个n n 维随机向量,亦称为n 维随机变量 n 维随机变量. 维随机向量
xi ≤ x yi ≤ y
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概率论与数理统计
对于连续型随机变量(X,Y)，如果它的联 合密度函数为f(x,y)，则有 +∞ +∞ f ( x, y ) ≥ 0, ∫ −∞ dx ∫ −∞ f ( x, y )dy = 1. （4.1.5） 分布函数F(x,y)的形式为 x y F ( x, y) = P( X ≤ x, Y ≤ y) = ∫ du∫ f (u, v)dv.（4.1.6） −∞ −∞ 且在密度函数f(x,y)的连续点处，有
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概率论与数理统计
与一维随机变量类似，我们首先来讨论多 维随机变量的分布函数. 定义4.1.2 定义4.1.2 设(X1 ,X2,…, Xn )是n维随机变 量，则称n元函数
F(x1 , x 2 ,Lx n ) = P(X1 ≤ x1 , X2 ≤ x 2 ,L, Xn ≤ x n )（4.1.1）
x1 xn
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概率论与数理统计
关于二维随机变量（X，Y）的分布函数 F(x,y),有 P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)－F(x2,y1)+F(x1,y1)－F(x1,y2)
y
. y2
（4.1.2）
x1 x2
y1
o
x
图4.1.1
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概率论与数理统计
F（x,y）具有如下的基本性质:
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概率论与数理统计
当n=2时,有
FX ( x ) = P( X ≤ x ) = P ( X ≤ x , Y < +∞ ) = F( x ,+∞ ), FY ( y) = P ( Y ≤ y) = P ( X < +∞ , Y ≤ y) = F( +∞ , y).
边缘分布函数作为分布函数,仍然具有 一般分布函数的基本性质.
j=1 +∞
= ∑ P (X = x i , Y = y j ) = ∑ p ij , i = 1,2, L ,
j=1 j=1
+∞
+∞
同理
p ⋅ j = ∑ p ij , j = 1,2, L.
i =1
+∞
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概率论与数理统计
(X,Y)的联合分布律和边缘分布律:
X Y y1 y2 x1 p11 p12
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概率论与数理统计
例4.1.4 设随机变量(X,Y)的联合密度函数 为
1 1 − ( x + y), 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2, f ( x , y) = 3 0, 其他. 试求 : (1)(X, Y)的分布函数F( x, y); 1 (2)概率P(X + Y ≤ 1), P(Y ≤ 2X), P(Y ≤ 1 | X < ). 2
M
x2 p21 p22
… … …
xi pi1 pi2
… … …
p·j
p⋅1 = ∑ pi1
i
p⋅2 = ∑ pi 2
i
M
yj
M
p2j
M
…
M
pij
M
…
M
p ⋅ j = ∑ p ij
i
M
p1j
M
pi· 4-20
M
p1⋅ = ∑ p1 j
j
M
p 2⋅ = ∑ p 2 j
j
M
…
M
pi⋅ = ∑ pij
j
M
…
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概率论与数理统计
例4.2.1 在例4.1.1中,求（X，Y）的边缘 分布函数.
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概率论与数理统计
4.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律
类似于边缘分布函数的讨论,二维离散型随机变 量(X,Y)除了具有联合分布律 P(X=x i ,Y=y j )=p i j ,
i,j=1,2,…外,作为随机变量X和Y,也有各自的概率分
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概率论与数理统计
§4.2 边缘分布
4.2.1 边缘分布函数
n维随机变量(X1,X2,…,Xn)作为一个整体,具有联 合分布函数F(x1,x2,…,xn).然而X1,X2,…,Xn都是随机 变量,各自也具有它们的分布函数.如果把X1,X2,…,Xn 各自的分布函数记为F(x1),F(x2),…,F(xn).则分别称 边 为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)分别关X1,X2,…,Xn的边 缘分布函数. 缘分布函数
为n维随机变量(X1 , X2, …, Xn )的联合分 联合分 布函数或分布函数 布函数 分布函数.
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概率论与数理统计
如果每个Xi都是离散型的随机变量，则 维离散型随机变量； 称(X1 ,X2,…, Xn )是n维离散型随机变量 若存在一个非负可积函数f(x1,x2,…,xn) 使得 F ( x1 , x 2 ,L x n ) = ∫ −∞ dt 1 L ∫ −∞ f ( t 1 ,t 2 ,L ,t n )dt n , 则称(X1 ,X2,…, Xn )是n维连续型随机变量, n维连续型随机变量, 并称f (X1 ,X2,…, Xn )是它的联合概率密度 联合概率密度 函数或联合密度函数 函数 联合密度函数.
(1) 0 ≤ F( x , y ) ≤ 1. ( 2) F( x , y ) 是 x或 y的单调非降函数 .即对任意固定的 y, 当 x 1 < x 2 时, F( x 1 , y ) ≤ F( x 2 , y ); 对任意固定的 x ,当 y 1 < y 2 时, F( x , y 1 ) ≤ F( x , y 2 ). (3) 对于任意固定的 x或 y, F( x ,−∞ , ) = 0, F( −∞ , y ) = 0. F( −∞ ,−∞ , ) = 0, F( +∞ ,+∞ ) = 1. ( 4) F( x , y ) 关于 x或 y右连续 , 即对任意固定的 y, F( x + 0, y ) = F( x , y ); 对任意固定的 x , F( x , y + 0) = F( x , y ).
x2 + y 2 − 2
(1 + sinx ⋅ sin y ),−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞,
试求边缘密度函数 f X ( x ), f Y ( x ).
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例4.2.7 设二维随机变量（X，Y）的联合 密度函数为 24 y( 1 − x ) 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ x
∂ 2 F ( x, y ) = f ( x, y ) ∂x∂y
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（4.1.7）
概率论与数理统计
若G是XOY平面上的一个区域，则有
P(( X , Y ) ∈ G ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy