北师大版数学必修四课件：第2章§7 向量应用举例
高中数学北师大版必修四第二章：向量应用举例
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积
找出相应关系；④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标 运算找出相应关系；④把几何问题向量化.
跟踪训练2
如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
题型探究
类型一 平面向量在解析几何中的应用 例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，
F分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，FD的方程；
解 由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)， → → 设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则DM∥DE. → → DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
解答
反思与感悟
利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向 量法则进行运算.
跟踪训练 1
在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分
线所在的直线方程. → → 解 AB＝(3，4)，AC＝(－8，6)， ∠A的平分线的一个方向向量为 → → AB AC 4 4 3 1 7 3 a＝ ＋ ＝ ， ＋－ ， ＝－ ， . → → 5 5 5 5 5 5 |AB| |AC| 设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
知识点二
点到直线的距离公式
思考
n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在 → 直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量PM，n有怎样的关系？
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.7.2向量的应用举例课件
-7-
7.2
1 2
向量的应用举例
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
3
3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大 小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不 计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行 四边形法则求两个速度的合速度.
3 4 4 4 1 3
所以������������ = ������������,且 D,E,F,B 四点不共线, 所以四边形 DEBF 是平行四边形.
反思本题是证明图形中线段平行与相等的问题,可以先选择适当的 一组基底,把未知向量逐步向基底方向进行分解,再利用向量相等 来证明四边形DEBF是平行四边形.
1
名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法 则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常 运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两 直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0). ������ · ������ ④求与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ=
典例透析
随堂演练
1
1.向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图 形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中 的一些问题.
高中数学北师大版必修4第2章7《向量应用举例》ppt课件
－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0(即向量b不与坐标轴平行)，则上式可
变形为
x1 y1
＝
x2 y2
，但当两向量与坐标轴平行时，不能应用a∥b⇔
xy11＝yx22，否则容易漏解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
• 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C 上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝ 2AN，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由M→A＝2A→N得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．
∴
x0＝3－2x， y0＝3－2y.
(1)设点P是过点A且与直线l平行的直线上的动点，P点坐 标为(x，y)，直线l的方向向量为v
则A→P＝(x＋1，y－2)． ∵所求直线与直线l平行，∴A→P∥v， 即1×(y－2)－43×(x＋1)＝0， 整理得4x－3y＋10＝0， 这就是所求的过A且平行于l的直线方程．
(2)设Q(x，y)为过点A且垂直于直线l的直线上任一点，则 A→Q＝(x＋1，y－2)为直线l的法向量，∴A→Q⊥v.
联系，将_几_何__问_题__转_化__为_向__量_问__题_________通过向__量_运__算___研究几何
元素之间的关系；还原到几何问题中作答．
• 3．向量在物理中的应用
• 力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的 ___________相类似，可以用向量的方法来解决．
减法与加法
1．若向量
向量在解析几何中的应用
已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正
高中数学北师大版必修四课件 §2.7向量应用举例
4．河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．
解析：设小船的静水速度为 v，依题意|v|＝ 22＋102＝2 26. 答案： 2 26 m/s
5 ．一质点受到平面上的三个力 F 1 ，F 2，F 3( 单位：牛顿) 的作用而处于平衡状态，已知 F 1、F 2 成 60° 角，且 F 1、F 2 的 大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小为________．
1．已知▱ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，试求对 角线AC的长．
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作 为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何
问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的
思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平 行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
解析：由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2 为邻边的平行四边形 的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|· cos 60° ＝4＋16＋8＝28， ∴|F3|＝2 7. 答案： 2 7
6．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b. 若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.
1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是一平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0
|Ax0＋By0＋C| 的距离d＝ A2＋B2 .
2．直线的法向量 (1)定义：称与直线的方向向量 垂直的向量为该直线的法向 量．
(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－
A)，则直线l的法向量n＝ 3．向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何 中的应用；二是在 物理中的应用． (A，B) ．
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
北师版高中数学高一必修4课件2.7.2向量的应用举例
探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当 向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为 代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极 大的方便.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.
明目标、知重点
探究点一 平面向量在几何中的应用
导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点 共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清 晰、简洁直观.其基本方法是： (1)要证明线段 AB＝CD,可转化为证明|A→B|＝|C→D|. (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得A→B ＝λC→D,且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示,
在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, 得－G＝F1＋F2,|F1|＝co|Gs |θ, |F2|＝|G|tan θ, 当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角,α
为锐角),
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 3 km/h.
明目标、知重点
跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速
为4 3 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方 向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示,设此人的实际速度为O→B,水流速度为O→A.
明目标、知重点
1234
1234
3. 正 方 形 OABC 的 边 长 为 1, 点 D 、 E 分 别 为 AB 、 BC 的 中 点 , 试 求
高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例课件北师大版必修4
-
7 2
,-2
,则������������与������������(
)
A.不共线
B.平行
C.相交
D.以上均不对
解析:������������ =
2,
8 3
, ������������=(-3,-4),
由于 2×(-4)=83×(-3),因此,������������ ∥ ������������.
探究一
探究二
探究三
(方法二)设正方形边长为1,
由图形知������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
������������ ,
������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
1 2
+
1 2
������������
·������������
+
1 2
������������
·12
������������
=0+12 − 12+0
=0,
因此������������ ⊥ ������������,
即 AF⊥DE.
探究一
探究二
探究三
反思感悟 用向量证明平面几何问题的方法
用向量证明平面几何问题的方法,常见思路有两种. (1)向量的线性运算法: 选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算 或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法: 建立适当的平面直角坐标系→把相关向量坐标化→向量的坐标 运算找相应关系→把向量问题几何化
第二章 平面向量(第7课时)平面向量的数量积
2
a b a b cos
a b a b cos
2
3 6 0 =0
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的数量积
例题讲解
[例1] 已知 a 3， b 6，当①a b，②a b，③a与b的夹角是 60时，分别求a b的值。
③ a与b的夹角
向量a, b的夹角记作 a, b
新知自解
向量的夹角
a
b
（）定义：已知非零向量 1 a 和（如图所示），作 b OA a, OB b, 则∠AOB =叫做向 量a, b的夹角。 （0 ）
同向； 注意：①当 0时， 向量a和b
②当 时，向量a和b反向；
③当
aa （目的：求模长） （3） a ____________________________ （4） cos a b ( a b 0)（目的：求夹角） a b ____________________________
（5）对任意两个向量a, b，有 a b a b ，当且仅当 a b时等号成立
3
a b a b cos
a b a b cos
3
3 6
1 =9 2
新余市第六中学 高中数学 必修④
向量的数量积
性质
a cos （目的：求射影） （ 1）若e是单位向量，则e a ________________________
（2） a b a b ___________________________ 0 （目的：证垂直）
同向，则它们的夹角 0 解： ①当a b时，若a与b
a b a b cos
2.7向量应用举例2.7.1点到直线的距离公式教案北师大版必修4
2.7.1 点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题图1①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动:①教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x 0,y 0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量. 设n =(a,b),因为n ·v =(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,所以n ⊥v ,故称n 为直线l 的法向量,与n 同向的单位向量为 n 0=),(||2222ba b b a a n n ++=.于是,点M(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM 在n 0方向上射影的长度: d=｜PM ·n 0｜=｜(x 0-x,y 0-y)·(|),2222ba b ba a ++.|)(||)()(|22002200ba by ax by ax ba y yb x x a ++-+=+-+-=又因为P(x,y)为l 上任意一点,所以c=-(ax+by).②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 证明:方法一:如图3.图3作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴A D=BC,AF=BE由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图4.图4以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 这个“三步曲”用流程图表示为:讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略. 应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成. 解:由点到直线的距离公式,得d=512|12112|22=++⨯+⨯,所以点P(1,2)到直线l 的距离为5.点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路. 变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a 平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由已知,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=+=,2,1,02,12k h k h 即平移公式为⎩⎨⎧+=+=,2',1'y y x x即⎩⎨⎧-=-=,2',1'y y x x 代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1), 即y′=f(x′-1)+2.∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2. 答案:C例2 如图5,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断AR ,AT 与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图5,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,则AC =a +b . 由于与AC 共线,所以我们设r=n(a +b ),n∈R . 又因为=-=（a -21b ),与共线, 所以我们设=m =m(a -21b ). 因为=+,所以r=21b +m(a -21b ), 因此n(a +b )=21b +m(a -21b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a ,b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n . 解得n=m=31.所以AR =31.同理,=31. 于是=31.所以AR=RT=TC. 点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练如图6,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.图6证明:设BE 、CF 相交于点H,并设AB =b ,=c ,AH =h ,则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b . 因为BH ⊥,⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简,得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥.所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.例3 如图7,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.图7活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),BA =(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+BA )=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ). 同理,'CC =(-2,23ac ). 因为BB′⊥CC′,所以-44922a c +=0,a 2=9c 2.所以5499||||22222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效. 变式训练(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大?并求出这个最大值.图8解:方法一,如图8.∵⊥,∴·=0.∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -, ∴·=(-)·(-) =·-·AC -·+·AC =-a 2-AP ·+AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -)=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0. 方法二:如图9.图9以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为(x,y), 则Q(-x,-y).∴BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),=(-c,b),PQ =(-2x,-2y). ∴BP ·CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ2a bycx -=, ∴cx-by=a 2cos θ. ∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,PQ 与的方向相同时,BP ·CQ 最大,其最大值为0. 知能训练1.如图10,已知AC 为⊙O 的一条直径,∠ABC 是圆周角. 求证:∠ABC=90°.图10证明:如图10. 设AO =a ,OB =b ,则=a +b ,=a ,BC =a -b ,|a |=|b |. 因为AB ·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, 所以AB ⊥BC .由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.图11证明:如图11.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3nm a +). 当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3nm a +), 故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF的重心相同即可.课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.作业课本习题2—7 A组1,2.设计感想1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算例1 如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=++.图12证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.从而AH=DC.又DC=OC-OD=OC+OB,得=OA+AH=OA+DC,即OH =++.2.证明线线平行例 2 如图13,在梯形ABCD 中,E,F 分别为腰AB,CD 的中点.求证:EF∥BC,且||=21(||+|BC |).图13证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0), 又E,F 是中点,∴EA +EB =0, 且EF =21(ED +). 而+EC =+++ =+=(1+λ),∴=21λ+.EF 与BC 无公共点, ∴EF∥BC.又λ＞0, ∴||=21(|BC |+|λBC |)=21(||+|BC |). 3.证明线线垂直例3 如图14,在△ABC 中,由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE,且AD 与BE 交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.图14证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC, 有·=0,·AC =0. 又AH =+CH ,BH =BC +CH ,故有(+)·BC =0,且(BC +)·=0,两式相减,得CH ·(CB -CA )=0,即CH ·AB =0,∴CH ⊥AB . 4.证明线共点或点共线例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的32.图15解:已知:△ABC 的三边中点分别为D,E,F(如图15).求证:AE,BF,CD 共点,且CD CG BF BG AE AG ===32. 证明:设AE,BF 相交于点G,AG =λ1, 由定比分点的向量式有BG =111111λλλ+=++BA +)1(211λλ+, 又F 是AC 的中点,BF =21(BA +), 设BG =λ2BF , 则111λ++)1(211λλ+=22λ+22λ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2)1(2,21121121λλλλλ ∴.32,32,2)1(21121111====⇒+=+BF BG AF AG 即λλλλλ 又=CE CA 32)(2132)2(31111=+∙=+=++λλ, ∴C,G,D 共线,且32===CD CG BF BG AE AG . 二、备用习题1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB =a ,=b ,=c,则|a -b +c |=___________.2.已知|a |=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,则使λb -a 与a 垂直的λ=____________.3.在等边△ABC 中,AB =a ,BC =b ,CA =c ,且|a |=1,则a ·b +b ·c +c ·a =__________.4.已知三个向量=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),且A,B,C 三点共线,则k=__________.5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC 是对角线,E 是AC 的中点,过点E 作MN 交AD 于点M,交BC 于点N,试运用向量知识证明AM=CN.图166.已知四边形ABCD 满足|AB |2+|BC |2=|AD |2+|DC |2,M 为对角线AC 的中点.求证:||=||.7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 参考答案: 1.2 2.2 3.-23 4.-2或11 5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E(2,2b a ).图17又设M(x 2,b),N(x 1,0),则=(x 2,0),CN =(x 1-a,0). ∵∥EN ,=(2a -x 2,-2b ),EN =(x 1-2a ,-2b ), ∴(2a -x 2)×(-2b )-(x 1-2a )×(-2b )=0. ∴x 2=a-x 1. ∴||=22x =|x 2|=|a-x 1|=|x 1-a|.而|CN |=21)(a x =|x 1-a|, ∴|AM |=||,即AM=CN.6.证明:设AB =a ,BC =b ,=c ,DA =d ,∵a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).∴a 2+b 2+2a ·b =c 2+d 2+2c ·d .① ∵||2+|BC |2=||2+||2, ∴a 2+b 2=(-d )2+(-c )2=c 2+d 2.②由①②,得a ·b =c ·d .图18∵M 是AC 的中点,如图18所示, 则=21(d -c ),=21(b -a ). ∴||2=BM 2=41(b 2+a 2-2a ·b ), ||2=2=41(d 2+c 2-2c ·d ). ∴|MB |2=|MD |2. ∴||=||.7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′, ∴OA =λ''O (λ∈R ,λ≠0),OB =μ''B O (μ∈R ,μ≠0). , |||||||||||||||''||''|OB OA OB OA OB OA B O A O ===λμμλ 当与''O ,OB 与''B O 均同向或反向时,取正号,即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=∠A′O′B′. 当与''O ,OB 与''B O 只有一个反向时,取负号,即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′). ∵∠AO B,π-∠A′O′B′∈(0,π),∴∠AOB=π-∠A′O′B′.∴∠AOB+∠A′O′B′=π.∴命题成立.。
北师大版数学必修四课件：2.7向量应用举例
uur
整理得4x-3y+10=0,这就是所求的过A且与l平行的直线方程.
uuu r (2)设Q(x,y)为直线l上一动点，则AQ =(x+1,y-2)，点Q在 r uuu r 过A且垂直于l的直线上，当且仅当 ugAQ 0, 转化为坐标
【审题指导】要判断哪根绳受力最大，则需比较
uuu r uuu r uuu r OA 、 OB 、 OC 的大小，可借助物理的相关知识结
合向量的运算解决.
r r r 【规范解答】设OA，OB，OC三根绳子所受力分别是 a,b,c ，
则 a b c 0， a,b 的合力为 c a b, c c ， 如图，在平行四
共线(点)问题
证明共线(点)问题的策略
解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为
基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，
把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相 等建立方程，从而解出相关参数的值.
uuu r uuu r AC BD，
uuu r uuu r AC BD.
方法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，
如图所示：
设A(a,b),B(0,0),C(c,0),则由|AB|=|BC| 得a2+b2=c2.
uuu r uur uuu r AC BC BA c,0 a, b c a, b ， uuu r uuu r uur BD BA BC a, b c,0 a c, b . uuu r uuu r ACgBD (c a, b)g a c, b c 2 a 2 b 2 0. uuu r uuu r AC BD,
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的应用举例
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
AB a , AD b , AR r , 解：设
由于 AR
则 与AC 共线，故设r n(a b ), n R 共线，
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
作业：
课本P116 1,2
教学反思：
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
D E R F T B
AC a b
又因为 ER与EB
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r b m (a b ) A 2 2
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（ ） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。
高中数学第2章平面向量7向量应用举例课件北师大版必修4
向量在物理中的应用
某人在静水中游泳，速度为 4 3km/h. (1)如果他径直游向河对岸，水的流速为 4 km/h，他实际沿什么方向前进？速 度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的 余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？ 【精彩点拨】 解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有 关运算求解．
阶
阶
段 一
§7 向量应用举例
段 三
7．1 点到直线的距离公式
阶 段 二
7．2 向量的应用举例
学 业 分 层 测
评
1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点) 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际 问题．(难点) 3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．
∴d＝|P→M·n0|.
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作 为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点 之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向 量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 3 N，则两
已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线．
图2－7－1
1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的 基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果 还原为几何关系．
2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC是直角三角形，则A→B·B→C＝0.( ) (2)若A→B∥C→D，则直线AB与CD平行．( ) (3)向量A→B，C→D的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．( ) (4)直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量是(A，B)．( )
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及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素. 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
向量在物理中的应用
例3 一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到 达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o， 并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 分析
PQ y0 - y1
PQ x0 - x1
例题讲解
例1 求P 1, 2 到直线l： 2 x y 1 0的距离.
解： x0 1, y0 2 , A 2 ,B 1,C 1. 由点到直线的距离公式，得 d 2 1 1 2 1 2 1
么？
几何问题向量化 向量运算关系化
向量关系几何化.
铁路
仓库
l
仓库
点到直线的距离
一定是垂 线段哟！
l
.M
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
.M
o
(x0,y0)
x
点到直线的距离公式 已知点M(x0, y0)和直线l:Ax+By+C=0.
则P点到直线 l 的距离d为:
d=
Ax 0 + By 0 + C A +B
d PM n0 x0 x , y0 y A x 0 x B y0 y A B
2 2
, 2 2 2 2 A B A B A B A2 B 2
Ax0 By0 Ax By
又因为P x , y 为l 上任意一点，所以c Ax By , Ax0 By0 C 故d . 2 2 A B
又 CH CA CB CH CB CA CB 0 ,
即CH AB 0 ,所以CH AB， CH AB ,又CF AB , 所以C，H，F 三点共线，H 在CF 上.
C D
H
A F
B
思考3
根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何
问题的基本思路吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉
y
n
.
o
P(x0,y0) M(x0,y0)
x
y
n
.
A B n0 , 2 2 n A B A2 B 2 于是，点M x0 , y0 到直线 n PM 在n0 方向上射影的长度 : .
o
P(x0,y0)
M(x0,y0)
x
l: Ax+By+C=0
l : Ax By C 0的距离等于向量
§7 向量应用举例
1.知识目标： （1）掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法 和向量方法的区别与联系. （2）会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实
际问题.
2.能力目标：培养应用所学知识灵活解决问题的能力，培 养观察、分析、比较和判断的习惯，增强战胜困难的信心. 3.情感目标：培养学生的创新意识和乐观地对待困难的人 生观. 【重点】体会向量在解决平面几何问题和物理问题中的作
特别提醒 在使用该公式前，须将直线方程化为一般式． A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不
用此公式计算距离．
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y P (x0,y0) y=y1 Q (x0,y1) y (x1,y0) Q P(x0,y0) x
o
x
o
x=x1
用.
【难点】用向量表示几何关系.
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几 何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及 数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向 量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需
要我们几何问题的基本思路是什
E
H F
D
B
几何语言 .
证明 设AD,BE交于点H，以下只需 证明点H 在CF 上.因为AD BC ,BE CA, 所以 AH CB 0 ,BH CA 0.
CH CB CA CH CA CB CA 0， 两式相减，得CH CB CA 0， E
2 2
思考2
如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？
证明：M x0 , y0 是直线外一定点， P x, y 是直线上任意一点，由直 线l : Ax By C 0, 可以取它的 方向向量v= B, A .一般的，称与 直线的方向向量垂直的向量为该 直线的法向量.
2 2
5,
所以P 1, 2 到直线l的距离为 5 .
【技巧方法】 认清公式的形式，找准每一个变量代表 的数值，准确带入，精确计算.
课堂练习1
求下列各点到相应直线的距离
①P 0,3 ,3x + 4y = 0; ②P -2,0 ③P 0,0
12 5
④P -1,-2 , x + y = 0; ⑤P 2,3 , x -1 = 0;
9 , 4x + 3y -1 = 0 : 5 37 65 , 4x + 7y = 37; 65
3 2 2
1
⑥p 1,-1 , y + 2 = 0. 1
向量在几何中的应用
例2
已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点。 C
思路分析
解决此类问题一般是将相关的线 段用向量表示，利用向量的三角形法 则和平行四边形法则，题目中的已知 条件进行运算，得出结果，再翻译成 A
北
要求飞机从B地到C地的位移，需要
解决两个问题： ⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度 ⑵求BC与基线的夹角. C
西
B D
60o 60o
东
A
南
解：设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意， AB的方向是北偏西60o， AB km； AC的方向是 南偏西60o， AC km.所以BAC 60o . 过点B作东西基线的垂线，交AC 于D， 则ΔABD为正三角形.所以BD CD 1000km， 1 CBD BCD BDA 30o.所以ABC 90o. 2 3 o BC AC sin 60 =2000 BC =1000 3km. km , 2 答：飞机从B地到C 地的位移大小是1000 3km， 方向是南偏西30o .