1.1 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合1
北师大版初三上册数学菱形的性质与判定知识点
北师大版初三上册数学菱形的性质与判定
知识点
知识点
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
课后练习
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北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义
菱形的性质 菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲两个条件缺一Fra bibliotek可.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形
的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不
一定是菱形.
感悟新知
例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分 ∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
感悟新知
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对
是轴对称图形，对称轴是对角线所在 的直线
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
1.1《菱形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第3课时)
第一章特殊的平行四边形1.1 菱形的判定和面积第3课时一、教学目标1．巩固对菱形的性质定理和判定定理的理解。
2．认识菱形的性质定理和判定定理的区别，正确应用有关定理。
3．运用菱形的性质定理和判定定理解决一些问题。
二、教学重点及难点重点：熟悉菱形的性质定理和判定定理。
难点：灵活运用菱形的性质定理和判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《菱形的判定》微课五、教学过程【复习引入】在学习本节课之前，请同学们首先回顾一下菱形的性质和判定．师生活动：教师出示问题，学生回顾菱形的性质和判定，教师找学生代表回答．答：1．菱形的性质定理:(1)菱形的四条边相等(2)菱形的对角线互相垂直2．菱形的判定方法：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）判定定理2：四条边相等的四边形是菱形．这节课我们研究对菱形性质和判定的综合运用。
设计意图：通过复习菱形的性质和判定为本节课的学习作准备．【探究新知】做一做如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？师生活动：教师出示问题，引导学生完成解答．答：是菱形；理由：设两张等宽的纸条的宽为h，因为纸条的对应边平行，所以AD∥BC，AB∥DC．所以四边形ABCD是平行四边形．又因为S□ABCD=BC·h=AB·h，所以BC=AB．所以平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．设计意图：巩固学生对菱形判定定理的理解．运用菱形的定义解决问题，也提供了一种制作菱形的方法。
【典例精析】例如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm．求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．师生活动：教师分析、引导学生完成解题过程．分析：本例是菱形性质的应用和菱形面积的计算；学生对于第（1）个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程可能不够规范；对于第（2）个问题，教师要注意引导学生用简便方法，并总结菱形面积的计算方法．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直），DE=BD=×10=5(cm)（菱形的对角线互相平分）．∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）．（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE=BD×AE=10×12=120(cm2)．总结菱形面积的计算方法：（1）一边长与两对边之间的距离（即菱形的高）的积；（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；（3）两条对角线长度乘积的一半．设计意图：本例是菱形性质的应用与菱形面积的计算。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
1.1.1 菱形的性质与判定 课件
B
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
=
− =
∴AC=2OA=6
− =
A
O
D
C
新知讲解
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
1.1.1 菱形的性质与判定
北师版九年级上册
教学目标
1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中进
一步发展学生的逻辑推理能力。
新知导入
平行四边形有哪些特征?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征?
对边平行且相等
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知讲解
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
几何语言:
A
B
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
注意：定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”.
新知讲解
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你
平行四
边形
对角相等邻角互补
对角线互相平分
四个角是直角
矩形
对角线相等
新知导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你
能发现它们有什么样的共同特征？
通过观察发现这些平行四边形的邻边都相等，这就是本节课
1.1 菱形的性质与判定(3)
12．(2014·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，若 过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( C ) 12 24 A．4 B. 5 C. 5 D．5 13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝ 6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为( B ) A．22 B．24 C．48 D．44
17 ．如图 ，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形 ， ∠ BAD ＝ 60° ， 对角线 AC 与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△COF； (2)若∠EOD＝30°，求CE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠ OCF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA) 1 (2)∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝ ∠BAD＝30°，∵∠EOD＝30°，∴ 2 ∠AOE＝90°－30°＝60°，∴∠AEF＝180°－∠DAO－∠AOE＝180° 1 －30°－60°＝90°.∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，∴OD＝ AD＝1， 2 3 ∴AO＝ AD2－OD2 ＝ 3 ，可求AE＝CF＝ ，EF＝2OE＝ 3 ，在Rt△CEF 2 中，CE＝ EF2＋CF2＝ 3 21 （ 3）2＋（ ）2＝ 2 2
14．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，
有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角 形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是( A．3 B．4 C．1 D．2 ) A
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC 的两个外角 ， AD 平分∠ FAC ， CD 平分∠ ECA. 求证：四边形 ABCD 是菱 形． 解： ∵∠ B ＝ 60° ， AB ＝ AC ， ∴ △ ABC 为等边三角形 ， ∴ AB ＝ BC ， ∴∠ BAC ＝ ∠ ACB ＝ 60° ， ∴∠ FAC ＝ ∠ ACE ＝ 120° ， ∴∠ BAD ＝
1.1.3菱形的性质和判定(教案)
这些核心素养目标与新教材的要求相符，有助于学生全面发展，提高解决问题的综合能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握菱形的性质，包括对角线互相垂直平分、对角线分成的四个三角形面积相等、对边相等且平行、对角线长度相等。
-有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
-对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
-四边相等的四边形是菱形。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生能够理解菱形的性质，形成对菱形特征的直观感知，提高空间想象能力。
2.发展学生的逻辑思维能力：在教学过程中，引导学生运用定义、性质和判定方法分析、解决问题，培养严谨的逻辑思维和推理能力。
最后，总结回顾环节，学生们对菱形性质和判定的掌握程度总体较好。但在课后，我会继续关注他们的学习反馈，了解他们在学习过程中遇到的困难和问题，并及时给予指导。
1.1.3菱形的性质和判定（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学教材《几何与图形》中的1.1.3节：“菱形的性质和判定”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.菱形的性质：
-对角线互相垂直平分；
-对角线将菱形分成的四个三角形面积相等；
-菱形的对边相等，且对边平行；
-菱形的对角线长度相等。
2.菱形的判定：
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们积极参与，互相交流，充分发挥了团队协作精神。然而，我也发现有些小组在讨论过程中偏离了主题，导致讨论效果不佳。针对这一问题，我将在接下来的教学中加强对学生讨论方向的引导，确保讨论内容与教学目标紧密结合。
1.1.3菱形的性质与判定的综合应用
第一章特殊的平行四边形1.1.3菱形的性质与判定的综合应用午井初中杨乃荣一、学生知识状况分析学生的知识技能分析：经过八年级下册平行四边形相关知识的学习，学生已经基本掌握了平行四边形的相关性质及判定；本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。
学生的活动经验分析：在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。
在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。
二、教学任务分析教科书对于本部分的安排，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。
基于以上任务分析，本节课的三维目标定为：1.知识与技能能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的两种求法。
2.过程与方法经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感态度与价值观在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
教学重难点：能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习回顾、加深记忆；第二环节：创设情境，导入新课；第三环节：动手操作、拓展提高；第四环节：课堂练习、效果检测；第五环节：课堂小结；第六环节：分层作业。
第一环节 复习回顾、加深记忆1、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6.(1)AD ＝6，DC ＝6，BC ＝6.（菱形的四条边都相等）(2)对角线AC 与BD 的位置关系是互相垂直平分.(3)若∠ADC ＝120°，AC ＝ 63.2、在□ABCD 中添加一个条件，使其成为菱形（菱形的判定定理） BC AB =BD AC ⊥学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.第二环节 创设情境，导入新课1、平行四边形的面积等于底乘以高.2、菱形是特殊的平行四边形，那么它的面积等于底乘以底上的高.思考：如果知道菱形的对角线的长度能否计算出它的面积？（等于四个小直角三角形的和）归纳：菱形面积的计算公式：①如图，S 菱形ABCD ＝AB·DE ，即菱形的面积等于底乘高；A D CB CD②S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. 3.典型例题：例 如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm.求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD,即∠AED=90°， DE=12BD ×10=5（cm ） ∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：12().AE cm ==∴AC=2AE=2×12=24(cm)（2）S 菱形ABCD = S △ABD + S △CBD=2×S △ABD =2×12×BD ×AE = BD ×AE=10×12=120(cm 2).设计意图：通过例题让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。
1.1 菱形的性质与判定_第3课时_课件(3)
四、效果检测
效果检测答案： 1. 120， 1 0 3 2. 16 3. B 4. 提示(1)SAS证明全等，(2)对应边相等 ☆知者加速2：如图，在Rt△ABC=90°， BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC 和AB于点D、E，点F在DE延长线上， 且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。——佚名 3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。——普里尼 4、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。——爱因斯坦 5、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。——佚名 6、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼· 罗兰 7、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。——塞内加 8、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。——恰普曼 9、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。——朱熹 10、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 11、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特 12、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。——佚名 13、立志不坚，终不济事。——朱熹 14、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。——孟子 15、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。——武者小路实笃 16、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。——但丁 17、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。——陀思妥耶夫斯基 18、功崇惟志，业广惟勤。——佚名 19、能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。——雨果 20、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。——王守仁 21、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。——米南德 22、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。——黑格尔 23、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。——梭罗 24、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。——乔· 贝利 25、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。——爱因斯坦 26、意志的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。——罗洛· 梅 27、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。——武者小路实笃 28、有志者事竟成。——佚名/JINGDIANTYPE.html 29、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。——金斯莱 30、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。——果戈理 31、一个崇高的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。——华兹华斯 32、穷且益坚，不坠青云之志。——王勃 33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名 37、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。——奥斯特洛夫斯基 38、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头，缓步的骆驼继续向前。——萨迪 39、天行健，君子以自强不息。——文天祥 40、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它——歌德 41、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。——雨果 42、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。——贝多芬 43、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。——约翰逊 44、告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。——巴斯德 45、即使遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。——佚名 46、我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。——费尔巴哈 47、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。——高尔基 48、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。——奥斯特洛夫斯基 49、思想的形成，首先是意志的形成。——莫洛亚 50、只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。——歌德
数学菱形判定知识点总结
数学菱形判定知识点总结一、菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。
2. 对角线相等：菱形的对角线长度相等。
3. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。
4. 相邻角互补：菱形的相邻角互补，即相邻的两个角的和为180°。
二、菱形的判定方法1. 利用对角线判定菱形：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；即AC=BD，则ABCD为菱形。
2. 利用边长判定菱形：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形；即AB=BC=CD=DA，则ABCD为菱形。
3. 利用角度判定菱形：如果一个四边形的相邻角互补且对角线相等，则这个四边形是菱形；即∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°，并且AC=BD，则ABCD为菱形。
三、菱形的性质1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直；即AC⊥BD。
2. 对角线平分：菱形的对角线互相平分；即AC=BD。
3. 角性质：菱形的内角为90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
4. 边长性质：菱形的四边相等；即AB=BC=CD=DA。
四、菱形的应用1. 解题方法：在解题过程中，如果遇到了菱形的相关问题，可以根据菱形的判定方法和性质来解答。
通过判定四边形是否满足菱形的条件，再根据菱形的性质进行推理和计算，从而得出答案。
2. 几何证明：在几何证明中，菱形的性质和判定方法经常被应用。
可以利用菱形的对角线垂直、对角线平分等性质，来推导出与菱形相关的定理和结论。
3. 建模应用：菱形作为一种特殊的几何图形，在建模过程中也有着特殊的应用。
例如在建筑、设计等领域中，可以利用菱形的性质和特点来构建特定的结构和图案。
五、拓展延伸菱形是一种特殊的四边形，它的性质和应用涉及到了数学的多个知识点。
在学习菱形的基础上，可以进一步拓展延伸相关的数学知识，例如平行四边形、矩形、正方形等特殊的四边形，从而更好地理解和运用几何知识。
最新北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定优秀课件(3课时)
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
平行四边形的性质： 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 角：对角相等,邻角互补.
5.菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝__3_0_°___.
B
O
A
C
D
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的
四个内角度数分别为_60_°__、__6_0°__、__1_2_0°__、__1_2_0°__.
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交
于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
E
D
1
O
2
F
C
4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且 AB=BD,DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
A
D
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
O
E
∴四边形OCED是平行四边形， B
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,
∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
D
∴AC=2OA= 6 3 （菱形的对角线相互平分）.
归纳 若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较 短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成 四个全等的含30°角的直角三角形.
第3课时 菱形的性质与判定的综合
第3课时菱形的性质与判定的综合1.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( D )(A)10 (B)8 (C)6 (D)52.如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( B )(A)矩形(B)菱形(C)一般四边形(D)只有一组对边平行的四边形3.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则该菱形两邻角度数比为( C )(A)3∶1 (B)4∶1 (C)5∶1 (D)6∶14.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是( C )(A)AE=AF (B)EF⊥AC(C)∠B=60° (D)AC是∠EAF的平分线5.(2018甘孜州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥AD于点E,交BC于点F,则EF的长为.6.如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为52 cm.7.如图,已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角线AC,BD相交于点O,点E在AB上,且BE=BO,求∠EOA的度数.解:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,AC⊥BD,因为∠BAD=80°,所以∠BAO=∠BAD=×80°=40°,所以∠ABO=90°-∠BAO=50°,因为BE=BO,所以∠BEO=∠BOE=(180°-∠ABO)=×(180°-50°)=65°,所以∠EOA=90°-∠BOE=25°.8.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF∥AB,与AD相交于点F.求证:四边形ABEF是菱形.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AF∥BE,所以∠FAE=∠BEA,因为AE平分∠BAF,所以∠BAE=∠FAE,所以∠BAE=∠BEA,所以BA=BE,又因为EF∥AB,所以四边形ABEF为平行四边形,所以平行四边形ABEF 为菱形.9.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( C )(A)28°(B)52°(C)62°(D)72°10.(2018益阳)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC;②四边形ADEF为菱形;③S△ADF∶S△A B C=1∶4.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)11.(2018贺州改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CE∥AB,交DO的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若四边形AECD的面积为24,=,求BC的长.(1)证明:因为点O是AC中点,所以OA=OC,因为CE∥AB,所以∠DAO=∠ECO,在△AOD和△COE中,所以△AOD≌△COE(ASA),所以OD=OE,所以四边形AECD是平行四边形,因为O,D分别是AC,AB的中点,所以OD是△ABC的中位线,所以OD∥CB,因为∠ACB=90°,所以∠AOD=90°,即AC⊥DE,所以四边形AECD是菱形.(2)解:在Rt△AOD中,=,设OD=3x,OA=4x,则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,由题意可得,S菱形AECD=DE·AC=×6x×8x=24,解得x=1,所以OD=3,因为OD是△ABC的中位线,所以BC=2OD=2×3=6.12.(拓展探究题)已知,△ABC≌△DBC,AD平分∠BAC,AD交BC于点O.(1)如图1,求证:四边形ABDC是菱形;(2)如图2,点E为BD边的中点,连接AE交BC于点F,若∠AFO=∠ADC,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段,并说明理由.(1)证明:因为△ABC≌△DBC,所以AB=BD,AC=CD,所以∠BAD=∠BDA,∠CAD=∠CDA,因为AD平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAC,所以∠ADB=∠ADC,在△ADB和△ADC中,所以△ADB≌△ADC(ASA),所以AB=AC,所以AB=BD=CD=AC,所以四边形ABDC是菱形.(2)解:因为四边形ABDC是菱形,所以∠ADC=∠ADB,因为∠AFO=∠ADC=∠ADB,∠AFO+∠EFO=180°,所以∠EFO+∠EDO =180°,所以∠FED+∠FOD=180°,因为四边形ABDC是菱形,所以AD⊥BC,即∠FOD=90°,所以∠FED=90°,即AE⊥BD,因为BE=ED,所以AB=AD,所以AB=AD=BD,所以△ABD是等边三角形,∠ABD=60°,所以∠EBF=∠ABD=×60°=30°,所以在Rt△BEF中,BF=2EF,因为∠FBA=∠FAB=30°,所以FA=FB,因为AC∥BD,AB∥CD,所以∠FAC=180°-∠AED=180°-90°=90°,∠ACF=∠EBF=30°,所以在Rt△AFC中,CF=2AF=4EF.综上所述,长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF,AF,CF.。
北师大版九年级数学上册 菱形的性质与判定 第3课时 课件
E D
F
又∵ AF=CE，∴ AF=CE=AE， ∴ △AEF是等边三角形， ∴ EF=AF=AC=CE，
C
A
图9
∴ 四边形ACEF是菱形.
课堂小结
1. 通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？ 2. 请从以下三个方面进行总结：
知识收获、方法收获、关注问题. 3. 总结完成后请小组内进行交流.
回忆：菱形有哪些性质？
回顾复习
2. 如图2所示，在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式 1：一组邻边相等；
B
添加方式 2：AC⊥BD.
A
C
D 图2
回忆：菱形有哪些判定定理？
典例精讲
例1 如图3，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中 对角线BD长为10 cm.
求：（1）对角线AC的长度；
图3
典例精讲
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，即∠AED=90°，
DE= 12BD =12×10=5（cm）， ∴在 Rt△ADE中，由勾股定理可得：
AE AD2 DE2 132 52 12 （cm）.
图3
∴ AC=2AE=2 ×12=24 （cm）.
典例精讲
ห้องสมุดไป่ตู้
例1 如图3，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中
且AF=CE.
B
求证：四边形ACEF是菱形.
E D
F
C
A
图9
当堂训练
证明：∵ DE垂直平分BC，∴ BE=CE，∴∠B=∠BCE.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，