第一部分 第二章 §1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式两点间的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式两点间的距离公式在平面直角坐标系中，我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
距离公式也被称为欧几里得距离，在数学中被广泛使用。
首先，我们可以计算出两个直角边AC和CB的长度，然后使用毕达哥拉斯定理求得斜边AB的长度，也就是点A和B的距离。
下面就是距离公式的推导过程：对于直角三角形ABC，直角边AC的长度等于点B的x坐标x2减去点A的x坐标x1，即AC=，x2-x1、同样地，直角边CB的长度等于点B的y坐标y2减去点A的y坐标y1，即CB=，y2-y1根据毕达哥拉斯定理，斜边AB的长度等于直角边AC和CB的长度的平方和的平方根，即AB=sqrt(AC²+CB²)。
将AC和CB的长度代入上式，我们可以得到两点之间的距离公式：AB=sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)上述公式就是平面直角坐标系中两点间的距离公式。
举例来说明距离公式的应用。
假设点A(2,3)和点B(5,7)是平面上的两个点，我们希望计算出这两个点之间的距离。
根据距离公式，我们有AB=sqrt((5-2)²+(7-3)²)=sqrt(3²+4²)=sqrt(9+16)=sq rt(25)=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
距离公式不仅适用于平面直角坐标系，也适用于三维空间中的点之间的距离计算。
在三维空间中，距离公式的形式类似，只是空间中的点需要用三个坐标来表示。
总结一下，平面上的两点间的距离公式为：AB=sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点。
距离公式使用直角三角形的边长关系，根据毕达哥拉斯定理得出两点之间的距离。
距离公式可以帮助我们计算出平面上任意两点之间的距离，对于数学和现实生活中的问题求解都具有重要意义。
高中数学必修课件第二章平面直角坐标系中的距离公式
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。
第二章 §1 1.5 第一课时 两点间的距离公式
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1． 5
平面直角坐标系中的距离公式
两点间的距离公式
第一课时
预习课本P74～75，思考并完成以下问题
(1)数轴上的两点间的距离公式是什么？
(2)平面内两点间的距离公式是什么？
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[新知初探]
两点间的距离公式 1．数轴上： 一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB| ＝
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4．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且 a2＋b2 － c2＋d2 ＝0， 则 A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点 D．原点一定在线段AB的垂直平分线上
解析：选D 由 a2＋b2 － c2＋d2 ＝0得 a2＋b2 ＝ c2＋d2 ，
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用解析法证明几何问题
[典例]
[证明]
求证：等腰梯形的对角线相等．
已知：等腰梯形ABCD.求证：|AC|＝|BD|.
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建 立如图平面直角坐标系． 设A(－a,0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质 知B(a,0)，C(－b，c)． 则|AC|＝ －b＋a2＋c－02＝ a－b2＋c2， |BD|＝ b－a2＋c－02＝ a－b2＋c2， ∴|AC|＝|BD|. 即等腰梯形的对角线相等．
|xB－xA| .
2．平面直角坐标系中： 一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 . 则|AB|＝ ____________________
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
平面直角坐标系中的距离公式(经典)
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为 ： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
2.1.5平面直角坐标系中的距离公式
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
自学导引 1．两点间距离公式 一般地，若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 P1、P2 两点间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离为|OP|＝ x2＋y2.
2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤 第一步： 建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步： 进行有关代数运算 ． 第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何关系 ． 想一想：平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关吗？ 提示 无关．在计算公式中 x2 与 x1，y2 与 y1 的位置可以互换， 不影响计算结果． ．
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
规律方法 (1)如果给出的方程不是一般式，应将方程化成一般 式方程． (2)若点 P 在直线上，d＝0，距离公式仍成立．
规律方法
(1)求平行线间的距离，通常转化为其中一条直线上
任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间的距离与在其中 一条直线上的点的选取无关； (2)本题也可利用两平行线间的距离公式直接推导得出． 一般地，已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋ C2＝0(C1≠C2)， P(x0， 0)是直线 l2 上的任意一点， Ax0＋By0 设 y 则 ＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，于是 P(x0，y0)到直线 l1：Ax＋By |Ax0＋By0＋C1| |C1－C2| ＋C1＝0 的距离 d＝ ＝ 2 2 2 2. A ＋B A ＋B
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
2.1．5 平面直角坐标系中的距离公式（1）教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB |＝|x B －x A |，|CD |＝|y D －y C |.②B 到原点距离是5.③|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.④略．应用示例例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．课堂练习：P74练习1课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．课后作业：P77习题2—1 A 组10,11,12.2.1．5 平面直角坐标系中的距离公式（2）教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P (0,5)到直线y ＝2x 的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为(x 0，y 0)，直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 应用示例例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为|PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2， 则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程．解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5. (2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．课堂练习：P76练习2课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．课后作业：P77习题2—1 A 组第13题；B 组第1,2题．。
平面直角坐标系中的距离公式
平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
平面直角坐标系由x轴和y轴构成，每个点都有唯一的坐标表示(x,y)。
设两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据勾股定理，两点之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)根据这个公式，我们可以计算出平面直角坐标系中任意两点之间的距离。
下面我们通过几个例子来说明如何使用距离公式。
例1：计算两点之间的距离设点A(2,3)和点B(5,7)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
例2：判断点的位置关系设点A(0,0)和点B(3,4)。
我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
根据公式：d=√((3-0)²+(4-0)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
如果我们进一步观察可以发现，点A到原点(0,0)的距离也是5个单位。
这说明点A和点B在平面上的位置关系是相等距离，也即位于同一个圆上。
这是因为在平面直角坐标系中，两点之间的距离就是它们在平面上的直线距离。
所以两点的距离可以帮助我们判断它们在平面上的位置关系。
例3：计算线段长度除了计算两点之间的距离，距离公式还可以用于计算线段的长度。
线段的长度是线段上各个点之间的距离之和。
设有线段AB的两个端点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
要计算线段AB的长度，可以计算每个相邻点之间的距离，然后将它们的距离相加。
设有n个相邻点，距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) + ... + √((xn - xn-1)² + (yn - yn-1)²)这样就可以计算出线段的长度。
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式
平面直角坐标系中的距离公式和中点公式在平面直角坐标系中，有两个常用的公式，分别是距离公式和中点公式。
这些公式用于计算平面上两点之间的距离和两点的中点坐标。
1.距离公式：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设有平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则两点之间的距离为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过将两点的坐标差值平方相加，再开平方来计算出两点之间的距离。
例如，有两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2.中点公式：在平面直角坐标系中，给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，可以使用中点公式来计算这两点的中点坐标。
中点是连接两个点的线段的中心点，它的坐标可以通过坐标平均值来计算。
中点坐标的x坐标为两个点的x坐标之和的一半；中点坐标的y坐标为两个点的y坐标之和的一半。
中点的x坐标：x=(x1+x2)/2中点的y坐标：y=(y1+y2)/2例如，给定两个点A(2,3)和B(5,7)，我们可以使用中点公式来计算它们之间的中点坐标：x=(2+5)/2=7/2=3.5y=(3+7)/2=10/2=5因此，点A和点B之间的中点坐标为P(3.5,5)。
中点公式可以用于计算线段的中点坐标，并且在几何学和数学中经常被使用。
距离公式和中点公式在平面直角坐标系中具有广泛的应用。
它们可以用于解决几何问题，例如计算两点之间的距离或线段的中点。
另外，它们也可以扩展到三维坐标系中，并用于计算空间中两点之间的距离和中点坐标。
除了在数学和几何学中的应用，距离公式和中点公式在计算机图形学和计算机视觉等领域也有重要的应用。
在这些领域中，这些公式用于计算物体之间的距离、图像边界的中点等。
1.5 平面直角坐标系中的距离公式
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业:
A2 B2 d AB Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此
例2、已知点A（1，3），B（3，1）， C（-1,0），求三角形ABC的面积.
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
y
O
l1:2x-7y+8=0 P(3l2,:0)2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修一
D.2 7
).
解析:易知两直线之间的距离的最大值为 P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公
式得|PQ|= (2+ 1)2 + (-1-3)2=5.故直线 l1 ,l2 之间的距离 d 的取值范围为(0,5],
所以 0<
3 2 1
- 2 - 4
所以当 =
3
,即
2
≤
1
1
,0<S≤
.
4
8
9
m=4时,△ABC 的面积
S 最大.
=
=
-1
,即
4-1
| -3 +2|
,
10
x-3y+2=0.
1.此题要求△ABC面积的最大值,可转化成求点B到直线AC的距离的最大
值.
2.在解题过程中将得到的式子进行转化,利用函数的思想把问题转化成二
|AC|= (4-5)2 + (1-5)2 = 17,
2
2
|BC|= (4-1) + (1-4) = 18,
因为|AB|=|AC|≠|BC|,
所以△ABC 为等腰三角形.
(2)AB 边的中点 M 的坐标为
9
3, 2
,
2
由两点间的距离公式得|CM|= (3-4) +
2
9
-1
2
=
53
.
2
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用两点间的距离公式求出两
分别对应相等.
2.一般地,与已知直线l的距离为d(d>0)的直线有两条,且都与l平行.求其方
程时,可利用平行直线系方程的设法,设出其方程,再利用两条平行直线间
平面直角坐标系中的距离公式 高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
例24 求下列各组平行直线间的距离：(1)，；(2)，；(3)，；
解：(2)将所给直线方程化为一般式，得，.根据两条平行直线间的距离公式，得即与间的距离为
例24 求下列各组平行直线间的距离：(1)，；(2)，；(3)，；
解：(3)将直线的方程化简，得，根据两条平行直线间的距离公式，得即与间的距离为
思路二：面积法
x
y
O
等面积法求出
求出
求出
利用勾股定理求出
求出点的坐标
求出点的坐标
N
探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？
如图所示，设是直线上任意一点，我们可以把线段的长理解成向量在直线的法向量方向上的投影向量的长度.
因为点在直线上，所以，
那么两点间的距离，
可以理解成向量的长度,即
即
而
则
方法1：向量法
从平面向量的知识来看，对于坐标平面内的两点
对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法.
可以理解为向量在轴上的投影数量的绝对值
则，.
可以理解为向量分在轴上的投影数量的绝对值
设向量和分别是与轴和轴正方向相同的单位向量
（1）点 到 轴的距离 ；
（2）点到 轴的距离 ；
（3）点 到直线 的距离 ；
（4）点到直线 的距离 .
平面上一点到几种特殊直线的距离
例23 求点到下列直线的距离： (1)；(2)；(3)
解：(1)根据点到直线的距离公式，得即点到直线的距离为
探索新知
PART 02
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式，如下图，如何表示两点间的距离公式呢？
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)
1 所以|AM|＝ |BC|. 2
[悟一法] 1．坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，
用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面
图形的几何性质的方法． 2．坐标法解决几何问题的步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
a＝5， 得 b＝1，
∴M1 的坐标(5,1)，
同理可得M关于y轴对称点M2(－3,5)， 由两点式可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0， 设M1M2与l和y轴交点分别为P、Q，
则由平面几何知识可知， 此时 P， 即为满足条件的点， Q 7 7 方程 x＋2y－7＝0 中，令 x＝0，得 y＝ ，∴Q(0， )， 2 2
c＋m n m n 可得 D( ， )，E( ， )， 2 2 2 2 c＋m m c 所以|DE|＝| － |＝ ， 2 2 2 1 所以|DE|＝ |AB|， 2 即三角形中位线的长度等于底边长度的一半.
[研一题] 一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直
[例4]
线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线 所在直线的方程．
2
[研一题] [例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴．
[自主解答] (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， |1－2－3| 由点到直线的距离公式得d1＝ 2 2＝2 2. 1 ＋－1
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得 |2＋1| d2＝ 2 2＝3. 0 ＋1 法二：如图，∵y＝－1 平行于 x 轴， ∴d2＝|－1－2|＝3.
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提示：能，|AC|＝|x2－x1|，|BC|＝|y2－y1|. 由勾股定理得|AB|＝ x2－x12＋y2－y12. |AC|2＋|BC|2＝
两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式 |AB|＝
x2－x12＋y2－y12 .
在平面几何中，求点P到直线l的距离的方法是：先 过点P作l的垂线PH，垂足为H，再求PH的长度即可．那么， 在平面直角坐标系中，如何用坐标法求出点P(x0，y0)到直
[例3]
求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程化为一
般式，然后直接利用点到直线的距离公式求解，对于
(2)(3)题中的特殊直线，也可以借助图像求解．
[精解详析]
(1)由点到直线的距离公式知d＝ 5.
|2×－1＋2－10| 10 ＝ ＝2 2 5 2 ＋1
2．应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)特别地，当点P0在直线上时，点P0到该直线
的距离为0.
(2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一
般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距
离．
[例1]
(1)求直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴
的交点之间的距离；
(2)已知点A(a，－5)与B(0,10)间的距离是17，求a 的值； (3)求直线l：y＝x被两条平行直线x＋y－2＝0和x＋
[一点通]
下几点
使用点到直线的距离公式时应注意以
(1)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方
程化为一般式，再利用公式求距离． (2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此 公式仍然适用．
(3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而 直接求出，如： ①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； ③点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0 －a|；
6．已知点(a,2)(a>0)到直线x－y＋3的距离为1，求a的 值． 解：由点到直线的距离公式得
|a－2＋3| d＝ ＝1. 2 '即|a＋1|＝ 2. 解得a＝ 2－1或a＝－ 2－1. ∵a>0， ∴a＝ 2－1.
[例4]
已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x
＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的 d1 1 距离为d2，且d ＝2，求直线l的方程． 2 [思路点拨] 设P为l上任一点，根据点到直线的距离
B(a,0a－b2＋c2，
|BD|＝ b－a2＋c－02＝ ∴|AC|＝|BD|. 即等腰梯形的对角线相等．
a－b2＋c2.
4．已知AO是△ABC边BC的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2) 证明：以O点为原点，BC所在直线为x轴
[一点通]
求两条平行直线间的距离有两种思路：
(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的 距离； |C1－C2| (2)利用公式d＝ 2 2 求解，但需注意两直线方程 A ＋B 都化为一般式，且x，y的系数对应相等．
7．两条平行直线3x＋4y＝0与3x＋4y－5＝0间的距离等 于 _______． 解：由两平行线间的距离公式
线Ax＋By＋C＝0的距离呢？
问题1：点(x0，y0)到x轴，y轴的距离怎样用坐标表
示？
提示：点(x0，y0)到x轴的距离是|y0|，点(x0，y0)
到y轴的距离是|x0|.
提示：点(x0，y0)到x轴的距离是|y0|，点(x0，y0)到y轴的距 离是|x0|. 问题2：点(x0，y0)到直线x＝a，y＝b的距离是多少？ 提示：|x0－a|，|y0－b|. 问题3：如何求点到直线的距离呢？ 提示：转化为点点距，即过点作直线的垂线，点与垂足 的距离．
则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2.
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
[一点通]
(1)解析法证明几何问题的步骤：
①建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件； ②进行有关的代数运算； ③把代数运算结果“翻译”成几何关系． (2)重点提示：坐标法证明几何问题，如果题目中
没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则
是：尽量利用图形中的对称关系．
3．用解析法证明：等腰梯形的对角线相等． 解：已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD
＝BC，求证：AC＝BD.
证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中 点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知
公式求出d1，d2，代入d2＝2d1，化简求解．
[精解详析]
设P(x，y)为l上任一点．
|7x＋8y＋9| |7x＋8y－3| 则d1＝ 2 2 ，d2＝ 2 2 . 7 ＋8 7 ＋8 d1 1 由d ＝2，即d2＝2d1，得
2
|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9| ∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)或7x＋8y－3 ＝－2(7x＋8y＋9)． 化简得l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
(2)法一：直线方程化为一般式x－2＝0. 由点到直线的距离公式知 |－1＋0×2－2| d＝ ＝3. 2 2 1 ＋0
法二：∵直线x＝2与y轴平行，
∴由图(1)知d＝|－1－2|＝3.
(3)法一：由点到直线的距离公式，得 |－1×0＋2－1| d＝ ＝1. 0＋1 法二：∵直线y－1＝0与x轴平行． ∴由图(2)知d＝|2－1|＝1.
在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公
式|AB|＝|xB－xA|.在平面直角坐标系中，怎么求任意 两点间的距离呢？ 问题1：若两点A(－5,1)，B(6,1)，它们的距 离是多少呢？ 提示：因为A、B两点所在直线与x轴平行，故 |AB|＝|6－(－5)|＝11.
问题2：若A(x1，y1)，C(x2，y1)， B(x2，y2)，能否求出|AC|，|BC|，|AB|?
2
＝
(3)先求两直线的交点，由
y＝x， 为(1,1)，由 x＋y－4＝0，
y＝x， x＋y－2＝0，
解得交点
解得交点为(2,2)． 2－12＋2－12＝
∴所求线段的长度为d＝
2.
[一点通]
两点间的距离公式是利用代数法研
究几何问题的最基本的公式之一，利用代数法解决几何
6－1 5 法二：∵kAC＝ ＝ ， 2－－2 4 －3－1 4 kAB＝ ＝－5， 3－－2 ∴kAC·AB＝－1，即AB⊥AC. k ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， ∴|AB|＝|AC|， 因此△ABC是等腰直角三角形．
由|PA|＝|PB|得x＝1，所以所求点为P(1,0)，且 |PA|＝ 1＋12＋0－22＝2 2.
2．已知△ABC中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判断 △ABC的形状．
解：法一： ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， 又|BC|＝ 3－22＋－3－62＝ 82， 即AB2＋AC2＝BC2，且|AB|＝|AC|， 因此△ABC是等腰直角三角形．
建立直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(x，y)， 由两点间距离公式得 |AB|2＝(x＋a)2＋y2， |AC|2＝(x－a)2＋y2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2x2＋2y2＋2a2， |AO|2＝x2＋y2， |OC|2＝a2， |AO|2＋|OC|2＝x2＋y2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2).
法二：因为l1∥l2， 所以可设l1的方程为x＋y＋c＝0. |c－－1| 所以l1与l2的距离为 ＝ 2， 1＋1 |c＋1|＝2，所以c＝1或c＝－3. 从而l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
1．利用点到直线的距离公式和平行线间距离公 式求距离时，应首先将方程化为一般式，否则不能硬代 入求值，防止出现错误．
点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d， |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 则d＝ .
1．两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也 可写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
y－4＝0所截得的线段的长度．
[思路点拨] 利用条件确定点的坐标，再代入两点
[精解详析]
(1)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为
2 (－1,0)，与y轴的交点为(0，－m)， ∴两交点之间的距离为d＝ 4 1＋m2. (2)由两点间的距离公式可得d2＝a2＋152＝172， ∴a＝± 8. 2 2 －1－0 ＋0＋m
2．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思
路
④点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0
－b|.
5．求点P(3，－2)到下列直线的距离d.
(1)3x－4y＋1＝0；(2)y＝4；(3)x＝0.
解：(1)根据点到直线的距离公式得 |3×3－4×－2＋1| 18 d＝ ＝5. 2 2 3 ＋－4 (2)∵直线y＝4平行于x轴， ∴d＝|4－(－2)|＝6. (3)d＝|3－0|＝3.
中的距离问题往往最后都要转化为此公式解决．
1．已知点A(－1,2)，B(2，
7 )，在x轴上求一点
P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解：设所求的点为P(x,0)，于是有 |PA|＝ |PB|＝ x＋12＋0－22＝ x－22＋0－ 72＝ x2＋2x＋5， x2－4x＋11，