山西省榆社中学2017_2018学年高二数学4月月考试题理
山西省晋中市榆社中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若θ∈[0，2π），则θ=（）A．B． C． D．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．68．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x（e为自然数的底数）的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则该函数的单调减区间为（）A．[﹣1，+∞]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣1），（﹣1，2）D．[2，+∞）11．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．212．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f″（x0）=0．已知f（x）=x3﹣x2+3x﹣，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算定积分（x2+sinx）dx=______．14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=______．15．观察下列式子：，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为______．16．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种．三、解答题（共70分）17．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣ax ．若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的最大值． 18．数列{a n }满足a 1=1，na n +1=（n +1）a n +n （n +1），n ∈N *．（1）证明：数列{}是等差数列；（2）设，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．某高校在2015年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；（结果保留1位小数） （Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（ III ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．20．在△ABC 中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ．（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin （2A ﹣）的值．21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． （1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求证：AB ⊥PE ；（3）求二面角A ﹣PB ﹣E 的大小．22．已知f（x）=（x2+ax+a）e﹣x（a＜2，a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年山西省晋中市榆社中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出A，C为类比推理，根据归纳推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可以判断出D为演绎推理．【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；∵由通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）可得D中推理为演绎推理．2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1﹣i）=|1﹣i|+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：由z（1﹣i）=|1﹣i|+i，得==，则z的共轭复数为：．故选：A．3．已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若θ∈[0，2π），则θ=（）A．B． C． D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意可知，实部为0，虚部不为0，根据θ∈[0，2π），求得θ的值．【解答】解：因为是纯虚数（其中i是虚数单位），所以，sin2θ﹣1=0且，∵θ∈[0，2π），∴．故选A．4．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．5．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．6．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．【解答】解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）=x+alnx的导数为：f′（x）=1+，当a≥0时，f′（x）＞0，函数是增函数，当a＜0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：C．9．函数f（x）=（x2﹣2x）e x（e为自然数的底数）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=0可知图象经过原点，以及根据导函数大于0时原函数单调递增，求出单调增区间，从而可以进行判定．【解答】解：因为f（0）=（02﹣2×0）e0=0，排除C；因为f'（x）=（x2﹣2）e x，解f'（x）＞0，所以或时f（x）单调递增，排除B，D．故选A．10．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，则该函数的单调减区间为（）A．[﹣1，+∞]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣1），（﹣1，2）D．[2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可知函数的导函数为=（x0﹣2）（x0+1）2 ，求该函数的单调减区间，即函数的斜率小于0即可，因此使k=（x0﹣2）（x0+1）2小于0即可求出函数的单调减区间．【解答】解：由题意可知函数的导函数为（x0﹣2）（x0+1）2，函数的单调减区间，即函数的导函数小于0即可，因此使（x0﹣2）（x0+1）2≤0，得x0≤2，故答案选B．11．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=lnx，g（x）=x2+a，∴f′（x）=，g′（x）=x，∵l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，∴k=f′（1）=1，又f（1）=0，则切线l的方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，当x=1时，y=1﹣1=0，即切点坐标为（1，0），∵切点（1，0）也在函数g（x）上，即g（1）=+a=0，解得a=﹣，故选：B12．设y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f″（x0）=0．已知f（x）=x3﹣x2+3x﹣，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【考点】函数的值．【分析】结合题意求导可得f″（x）=2x﹣1，从而可求出（，1）是f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心；从而利用对称性求得f（）+f（）=2，f（）+f（）=2，…，从而求得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0解得，x=，f（）=1，由题意知，（，1）是f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心；故f（）+f（）=2，f（）+f（）=2，…，故f（）+f（）+f（）+…+f（）=2016，故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算定积分（x2+sinx）dx=．【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=π．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π15．观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个不等式应该为1+++…+＜．【考点】归纳推理．【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+++…+＜故答案为：1+++…+＜16．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有150种．【考点】计数原理的应用．【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时根据分类计数原理得到结果．【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有C52C32A33=90种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有C 53C 21A 33=60种结果，∴根据分类计数原理知共有90+60=150种， 故答案为：150．三、解答题（共70分）17．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣ax ．若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的最大值． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意f'（x ）≥0，即e x ﹣2x ﹣a ≥0恒成立，可得a ≤（e x ﹣2x ）min ，令h （x ）e x ﹣2x ，利用导数研究起单调性、极值与最值，即可得出． 【解答】解：由题意f'（x ）≥0，即e x ﹣2x ﹣a ≥0恒成立，∴a ≤（e x ﹣2x ）min ，令h （x ）=e x ﹣2x ，则h'（x ）=e x ﹣2．令h'（x ）=0，解得x=ln2．可min ∴a ≤2﹣2ln2．∴a 的最大值为2﹣2ln2．18．数列{a n }满足a 1=1，na n +1=（n +1）a n +n （n +1），n ∈N *．（1）证明：数列{}是等差数列；（2）设，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）由na n +1=（n +1）a n +n （n +1），n ∈N *，两边同除以n （n +1）可得：﹣=1，即可证明．（2）由（1）可得：=n ，可得b n =，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：∵na n +1=（n +1）a n +n （n +1），n ∈N *，∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：=1+（n ﹣1）=n ，∴a n =n 2．∴==，∴数列{b n }的前n 项和S n =+…+=1﹣=．19．某高校在2015年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；（结果保留1位小数）（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（III）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；（Ⅱ）因为在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这三个小组共有60人，利用每一个小组在60人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果；（III）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．【解答】解：（Ⅰ）众数为167.5；中位数为171.7…（Ⅱ）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3第四组的频率为0.04×5=0.2第五组的频率为0.02×5=0.1第三组的人数为0.3×100=30，第四组的人数为0.2×100=20第五组的人数为0.1×100=10，因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组，第四组=2，第五组|PF1|：|PF2|=3：2，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．…（III）设第三组的3位同学为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，第五组的1位同学为C1则从6位同学中抽2位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共15种可能…其中第四组的2位同学B1，B2中至少1位同学入选有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能…所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为…20．在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求sin（2A﹣）的值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由BC，AC及sinC=2sinA，利用正弦定理即可求出AB的值；（Ⅱ）由余弦定理表示出出cosA，把BC，AC及AB的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，从而利用二倍角的正弦、余弦函数公式分别求出sin2A和cos2A的值，把所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sin2A和cos2A的值代入即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，则根据正弦定理得：；（Ⅱ）在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，∴根据余弦定理得：=，又A为三角形的内角，则=，从而，则．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，∴令得…∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为．…设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，，所以θ=60°，即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…22．已知f（x）=（x2+ax+a）e﹣x（a＜2，a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数求导，求得函数的单调区间，从而可讨论f（x）的单调性，并求出极值；（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．【解答】解：（1）f′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]令f′（x）=0，得x=0或x=2﹣a＞0=f（0）=a，由表可知f（x）极小（2）设g（a）=（4﹣a）e a﹣2，g′（a）=（3﹣a）e a﹣2＞0，∴g（a）在（﹣∞，2）上是增函数，∴g（a）≤g（2）=2＜3∴（4﹣a）e a﹣2≠3∴不存在实数a使f（x）最大值为3．2016年10月4日。
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（0，2]B．[0，1]C．（0，1]D．[0，2]2．（5分）若直线与直线l 2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（）A．m⊂β，m⊥αB．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥βD．m∥α，m⊥β4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（）A．0或3 B．3 C．0 D．25．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．36 B．48 C．288 D．5768．（5分）将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则θ=（）A． B．C．D．9．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，则f（x）的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．54 B．45 C．27 D．8112．（5分）如图，在矩形ABCD中，点G，H分别在边AD，CD上，AG=GD=DH=DC=8，沿直线GH将△DGH翻折成△D1GH，使二面角D1﹣GH﹣D为直角，点E，F分别在线段AB，CH上，沿直线EF将四边形EFCB向上折起，使B与D1重合，则线段CF=（）A．B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是．15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=．16．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．18．（12分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．（1）当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上（1）证明：平面BEF⊥平面PAD（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinB=4asinB+5asinA．（1）若，求角C的大小；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的棱形，且∠DAB=60°，PB=PC，PD=4，E，F分别是AD，PA的中点．（1）证明：AD⊥平面BEF；（2）若二面角P﹣AD﹣B的大小为30°，求点D到平面PBC的距离．2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（0，2]B．[0，1]C．（0，1]D．[0，2]【解答】解：集合，可得A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1}，B={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选：C．2．（5分）若直线与直线l 2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：直线的斜率为，∵直线与直线l 2的斜率互为相反数，∴直线l 2的斜率．设l2的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，得α=60°．故选：B．3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（）A．m⊂β，m⊥αB．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥βD．m∥α，m⊥β【解答】解：对于A，∵m⊥α，m⊂β，∴α⊥β；对于B，∵m⊂α，m⊥β，∴α⊥β；对于C，∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β；对于D，∵m∥α，∴存在直线n⊂α，使得m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，又n⊂α，∴α⊥β．故选：C．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（）A．0或3 B．3 C．0 D．2【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，若S5=20，即=5a3=20，则a3=4，又由a2，a3，a7成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d），即16=（4﹣d）（4+4d），解可得d=3或0，故选：A．5．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由频率分布直方图得：每周自习时间少于20小时的频率为：0.02×2.5=0.05．∴从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为：p=0.05=．故选：D．6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为x2+（y﹣m）2=1，（x﹣2n）2+y2=9，圆心分别为（0，m），（2n，0），半径分别为1和3，故有=2，∴m2+4n2=4，则=（m2+4n2）（）=（8++）≥×（8+2）=4，当且仅当=时，等号成立，∴的最小值为4．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．36 B．48 C．288 D．576【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1不满足条件k≥5，S=1，k=2不满足条件k≥5，S=4，k=3不满足条件k≥5，S=36，k=4不满足条件k≥5，S=576，k=5满足条件k≥5，退出循环，输出S的值为576．故选：D．8．（5分）将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则θ=（）A． B．C．D．【解答】解：将函数（）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）=cos（2x﹣+θ）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则﹣+θ=kπ，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z，令k=﹣1，可得θ=﹣，故选：D．9．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：半径为4 的半圆围成一个圆锥，如图所示；则该圆锥底面圆的半径r满足2πr=π•4，解得r=2；设圆锥内切球的半径为x，则=tan30°，解得x=rtan30°=2×=，∴内切球的表面积为S=4π•=．故选：B．10．（5分）已知f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，则f（x）的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，可得f（1+1）=2f（1）=﹣4，即f（2）=﹣4，f（1）＞f（2），又f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，即为递减函数，由f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣6，即f（3）=﹣6，又f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0，则f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）=0，则f（﹣3）=6，可得f（x）在[﹣3，3]的最大值为6．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．54 B．45 C．27 D．81【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三棱锥B﹣A 1B1C1，则该几何体的体积为V==3×3×6﹣=45．故选：B．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，点G，H分别在边AD，CD上，AG=GD=DH=DC=8，沿直线GH将△DGH翻折成△D1GH，使二面角D1﹣GH﹣D为直角，点E，F分别在线段AB，CH上，沿直线EF将四边形EFCB向上折起，使B与D1重合，则线段CF=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设CF=x，∵翻折后，B与D′重合，∴BF=D′F，∵AG=GD=DH=DC=8，∠D=90°，∴GH=8，DC=20，HC=12，取GH的中点O，连接OF，∵二面角D1﹣GH﹣D为直角，D′H=D′G，∴D′O⊥GH，∴D′O⊥平面ABCD，在△FHO中，∠OHF=135°，FH=12﹣x，OH=4，由余弦定理可得OF2=OH2+FH2﹣2OH•FH•cos135°=32+（12﹣x）2+8（12﹣x）=x2﹣32x+272，∴D′F2=OF2+D′O2=x2﹣32x+272+32=x2﹣32x+304，∵BF2=BC2+CF2=162+x2=256+x2，∴x2﹣32x+304=256+x2，∴32x=48，解得x=，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=﹣2．【解答】解：根据题意，|MA|=|MB|，∴=，化简得﹣2a=4，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是4．【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z 越小作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z 最大由可得A（2，0），此时z=4．故答案为：4．15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=2．【解答】解：∵向量，均为单位向量且夹角为120°，∴||=||=1，•=||•||cos120°=1×1×（﹣）=﹣，∵（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，∴λ﹣2λ+λ•=λ﹣2λ﹣λ=﹣3，解得λ=2，故答案为：216．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为．【解答】解：如图所示，AB⊥BC，BC=2，AB==，∴△ABC的面积为S=AB×BC=××2=；又，∴≤≤，即，解得，∴﹣1≤a≤0或6≤a≤7；∴所求的概率为P==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．【解答】解：（1）根据题意得，==2，==3.8，，，故利润y关于月份x的线性回归方程是；（2）当x=4时，，故可预测4月的利润为730万；当x=5时，，故可预测5月的利润为905万；（3）由1.75x+0.3=10，解得x≈5.5，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．18．（12分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．（1）当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．【解答】解：（1）a=0时，直线m的方程化为：﹣x+3y+6=0，联立，解得，即m与n的交点为（﹣21，﹣9）．当直线l过原点时，直线l的方程为3x﹣7y=0；当直线l不过原点时，设l的方程为，将（﹣21，﹣9）代入得b=﹣12，所以直线l的方程为x﹣y+12=0，故满足条件的直线l方程为3x﹣7y=0或x﹣y+12=0．（2）设原点O到直线m的距离为d，则，解得：或，当时，直线m的方程为x﹣2y﹣5=0，此时m∥n；当时，直线m的方程为2x+y﹣5=0，此时m⊥n．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上（1）证明：平面BEF⊥平面PAD（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD．∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．（2）解：连结AC交BE于M，连结FM．∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA∥FM．∴，又△AME∽△CMB，∴．∴．∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA∥平面BEF．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinB=4asinB+5asinA．（1）若，求角C的大小；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵bsinB=4asinB+5asinA，∴5a2+4ab﹣b2=0，∴b=5a．∵，∴．∵C∈（0，π），∴．（2）∵a=2，∴b=10，∴，∴．当C为锐角时，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴，此时△ABC的周长为．当C为钝角时，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴，此时△ABC的周长为．21．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意知，圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离，所以圆O：x2+y2=9．又圆心O到直线l：y=﹣2x+5的距离，所以．证明：（2）由题意A（﹣3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：y=k1（x+3），由，得，所以，即，所以．由k1k2=﹣3得，将代替上面的k1，同理可得，所以，从而直线．即，化简得．所以直线BC恒过一定点，该定点为．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的棱形，且∠DAB=60°，PB=PC，PD=4，E，F分别是AD，PA的中点．（1）证明：AD⊥平面BEF；（2）若二面角P﹣AD﹣B的大小为30°，求点D到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：取BC中点G，连接GD，GP，BD．在△BCD中，BC=CD，∠DCB=∠DAB=60°，所以△BCD为正三角形．又G为BC中点，BC⊥DG．因为PB=PC，所以BC⊥PG．又DG∩PG=G，故BC⊥平面DGP．因为E，F分别是AD，PA的中点，所以EF∥PD，BE∥DG．又BE∩EF=E，所以平面BEF∥平面PDG又AD∥BC，故AD⊥平面BEF．（2）解：因为AD⊥平面BEF，所以AD⊥EF，AD⊥BE，则∠FEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠FEB=30°．因为PD=4，所以EF=2．因为AB=2AE=2，且∠DAB=60°，所以．所以BF=1，且BF⊥BE．因为AD⊥平面BEF，所以AD⊥BF．所以BF⊥平面ABCD，所以三棱锥P﹣BCD的高为2．于是三棱锥P﹣BCD的体积．在△ABF中，BF=1，AB=2，BF⊥AB，所以．则在△ABP中，．所以，于是△PBC的面积．设点D到平面PBC的距离为d，三棱锥P﹣BCD的体积与三棱锥D﹣PBC的体积相等．所以，故．。
山西省晋中市2017年榆社中学高二下学期期中考试理科数
2016～2017年度高二下学期四月名校期联考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}26A x N x x =∈<，{}38B x N x =∈<<，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A.{}1,2,3,4,5B.{}3,4C.{}1,2,3D.{}4,5,6,72.复数()()141i i z i--=+的共轭复数的虚部为（ ） A.4i -B.4-C.4iD.43.现有这么一列数：2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为 A.916B.1116C.12D.11184.已知球O 的半径为R ，体积为V ，则“R >”是“36V π>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于（ ）A.2B.4C.8D.166.若双曲线22:14x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 上一点，满足120PF PF ⋅=的点P 依次记为1P 、2P 、3P 、4P ，则四边形1234PP P P 的面积为（ ）B. D.7.72x ⎫⎪⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）A.156-B.128-C.28-D.1288.一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h ，宽为b ，此抛物线拱的面积为S ，若3b h =，则S 等于（ ）A.2hB.22hC.232hD.274h 9.现有3个命题：1p ：函数()lg 2f x x x =--有2个零点.2p ：面值为3分和5分的邮票可支付任何()7,n n x N >∈分的邮资.3p ：若2a b c d +=+=，4ac bd +>，则a 、b 、c 、d 中至少有1个为负数.那么，这3个命题中，真命题的个数是（ ） A.0B.1C.2D.310.设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，23a =，()11242n n n n S S n S nS +++-=，则25a 等于（ ） A.2332⨯B.2432⨯C.232D.24211.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ） A.4680B.4770C.5040D.520012.对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使()22ln ln 0x y x ay --=成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若复数32iz i-=-，则z = ． 14.若9个人任意排成一排，则甲排中间，且乙与丙相邻的概率为 ． 15.已知[]x 表示不大于x 的最大整数，设函数()221log 9x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，得到下列结论：结论1：当23x <<时，()max 1f x =-. 结论2：当45x <<时，()max 1f x =. 结论3：当67x <<时，()max 3f x =. ……照此规律，结论6为 ．16.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过抛物线上点()02,P y 的切线为l ，过点P 作平行于x 轴的直线m ，过F 作平行于l 的直线交m 于M ，若5PM =，则p 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）求512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数及展开式中各项系数之和；（2）从0，2，3，4，5，6这6个数字中任取4个组成一个无重复数字的四位数，求满足条件的四位数的个数.18.在ABC △中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，()sin 3sin b A b c B =-. （1）若2sin 3sin A B =，且ABC △的周长为8，求c ； （2）若ABC △为等腰三角形，求cos 2B .19.已知()2,0A ，直线4310x y ++=被圆()()()22:3133C x y m m ++-=<所截得的弦长为P 为圆C 上任意一点.（1）求PA 的最大值与最小值；（2）圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，12AA =，AC BC ⊥，D 是线段AB 上一点.（1）确定D 的位置，使得平面1B CD ⊥平面11ABB A ；（2）若1AC ∥平面1B CD ，设二面角1D CB B --的大小为θ，求证：3πθ<.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，且函数26516y x =-的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求PMN △面积的最小值，并求此时直线l 的方程.22.已知函数()1,x f x e ax a R -=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若[)1,x ∀∈+∞，()ln 1f x x a +≥+恒成立，求a 的取值范围.2016～2017年度高二下学期四月名校期联考数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5：CDBAC 6-10：CABDA 11-12：CA二、填空题14215.当1213x <<时，()max 9f x =根据规律，可以归纳得出结论：n ：当221n x n <<+时，()max 23f x n =-. 16.6三、解答题17.解：（1）∵()51512rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴展开式中3x 的系数为2351522C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令1x =，得各项系数之和为511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（2）若不选0，则有45120A =个；若选0，则有1335180C A =个.故能组成120180300+=个不同的四位数.18.解：（1）由()sin 3sin b A b c B =-，得()3ab b c b =-， ∴3a b c =-，即3a c b +=，∵2sin 3sin A B =，∴23a b =，又3a c b +=，∴48a b c b ++==，∴2b =，∴3a =，3c =. （2）若a b =，则2c b =，∴a b c +=，与三角形两边之和大于第三边矛盾，故a b ≠. 同理可知，c b ≠.故只能是a c =，∵3a c b +=，∴23b a =，∴2222222273cos 229a a a cb B ac a ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭===， ∴217cos22cos 181B B =-=.19.解：（1）∵直线4310x y ++=被圆()()()22:3133C x y m m ++-=<所截得的弦长为， ∴()3,C m -到直线4310x y ++=的距离为123115m -++=，解得2m =或163m =，又3m <，∴2m =.∴AC∴min PAmax PA =（2）由（1）知圆C 的方程为()()223213x y ++-=， 令0x =，得0y =或4y =；令0y =，得0x =，或6x =-. ∴这三个点的坐标为()0,4M ，()0,0O ，()6,0N -. 易知，MON △为直角三角形，且斜边MN = 则MON △5=20.解：（1）当CD AB ⊥时，∵AC BC ⊥，∴由射影定理得2AC AD AB =⨯，∴95AD =. ∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB CD ⊥. ∵1ABBB B =，∴CD ⊥平面11ABB A .又CD ⊂平面1B CD ，∴当95AD =时，平面1B CD ⊥平面11ABB A . （2）以CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()10,4,2B ，()0,4,0B . 连接1BC 交1B C 于点O ，则O 为1BC 的中点. ∵平面1ABC 平面1B CD OD =，且1AC ∥平面1B CD ，∴1OD AC ∥，∴D 为AB 的中点.∴3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,4,2CB =，设平面1CDB 的法向量为()1,,n x y z =， 则13202CD n x y ⋅=+=，且11420CB n y z ⋅=+=， 令4x =，可取平面1B CD 的一个法向量()14,3,6n =-， 而平面1CBB 的一个法向量为()21,0,0n =， ∴124cos ,n n <>=1D CB B --为锐角，∴cosθ=12=>=，∴3πθ<. 21.解：（1）由题意可知，22b =，则1b =，联立()22211x y a a +=>与26516y x =-得422216581490816x x a ⨯⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， 根据椭圆C 与抛物线26515y x =-的对称性，可得2216581490864a ⨯⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭， ∴1656388a 2-=±，又1a >， ∴2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，1222PMN S b a =⨯⨯=△；当直线l 的斜率为0时，1222PMN S a b =⨯⨯=△.②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y kx =，由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22222414414x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴MN =由题意可知线段MN 的中垂线方程为1y x k =-，由22141x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222224444k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴OP ==∴()()()()()22222241414118251445122PMNk k k S MN OP k kk +++=⨯⨯=≥==++++△， 即85PMN S ≥△，当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时PMN △的面积取得最小值85，∵825>，∴PMN △面积的最小值为85，此时直线l 的方程为y x =±. 22.解：（1）()1'x f x e a -=+.（i ）当0a ≥时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增； （ii ）当0a <时，令()'0f x =，则()ln 1x a =-+， 当()'0f x >，即()ln 1x a >-+，函数()f x 单调递增； 当()'0f x <，即()ln 1x a <-+时，函数()f x 单调递减.综上，当0a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是()()ln 1,a -++∞，单调递减区间是()(),ln 1a -∞-+.（2）令1a =-，由（1）可知，函数()1x f x e x -=-的最小值为()10f =，所以10x e x --≥，即1x e x -≥.()ln 1f x x a +≥+恒成立与()ln 10f x x a +--≥恒成立等价，令()()ln 1g x f x x a =+--，即()()()11ln 11x g x e a x x x -=+-+-≥，则()11'x g x e a x-=++.①当2a ≥-时，()111'20x g x e a x a a a x x -=++≥++≥=+≥.（或令()11x x e xϕ-=+，则()121'x x e xϕ-=-在[)1,+∞上递增，∴()()''10x ϕϕ≥=，∴()x ϕ在[)1,+∞上递增，∴()()12x ϕϕ≥=. ∴()'0g x ≥）.∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增， ∴()()10g x g ≥=， ∴()ln 1f x x a +≥+恒成立. ②当2a <-时，令()11x h x ea x -=++，则()2112211'x x x e h x e x x ---=-=， 当1x ≥时，()'0h x ≥，函数()h x 单调递增. 又()120h a =+<，()111111110111n h a e a a a a a a---=++≥-++=+>---， ∴存在()01,1x a ∈-，使得()00h x =，故当()01,x x ∈时，()()00h x h x <=，即()'0g x <，故函数()g x 在()01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()00h x h x >=，即()'0g x >，故函数()g x 在()0,x +∞上单调递增，∴()()()0min 10g x g x g =<=，即[)1,x ∀∈+∞，()ln 1f x x a +≥+不恒成立， 综上所述，a 的取值范围是[)2,-+∞.。
山西省太原市山西大学附中2017-2018学年高二下4月月考数学理试题
山西大学附中2017—2018学年高二第二学期4月（总第二次)模块诊断数学试题（理）考察内容：必修二 选修 2-2一 、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1.曲线()x xe x f =在点()()00f ，处的切线方程为（ ） A.y=x B.y=2x C.x 21y = D.x 31y = 2.函数()x x x f ln 2=的减区间为（ ） A.()e ，0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,e e C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞e e ，- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ，0 3.()=+⎰dx 22-sinx sinx ππ（ ） A.0 B.1 C.2 D.34.曲线x x y +=331在点⎪⎭⎫ ⎝⎛341，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.92 B.91 C.31 D.32 5.已知曲线1y 24++=ax x 在点()()11--f ，处切线的斜率为 8，则()1-f （ ）A.7B.-4C.-7D.46.若10x 1＜＜，下面不等式正确的是（ ）A.()()lgx lg lgx lgx 22＜＜B.()()lgx lg lgx lgx 22＜＜ C.()()22lgx lgx lg lgx ＜＜ D.()()22lgx lgx lgx lg ＜＜7.由“若 a ＞b ，则 a+c ＞b+c ”得到“若 a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是（ ）A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.数学证明8.①已知2q p 33=+，求证：p+q ≤2，用反证法证明时，可假设p+q ＞2；②设 a 为实数， ()a ax x x 2++=f ，求证:()1f 与()2f 中至少有一个不小于21，由反证法证明时可假设 ()()212211≥≥f f ，且，以下说法正确的是（ ） A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确C.①的假设正确，②的假设错误D.①的假设错误，②的假设正确9.函数x ex x y +=2的大致图象是（ ）A B C D10.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧+≥+-=01013223＜，，x e x x x x f ax 在[]22-，上的最大值为 5，则实数 a 的取值范围是（ ）A.[)∞+，2ln 2-B.[]2ln 0，C.(]0-，∞D.[)∞+，2ln -11.点 P 是曲线上0x ln 2-y -x 2=任意一点，则点 P 到直线01y 4x 4=++的最小距离是（ ） A.()2ln -122 B.()2ln 122+ C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ln 2122 D.()2ln 121+12.已知函数()()a2x -2-x ln x 2=f ，（ a 为常数且 a ≠0），若()x f 在0x 处取得极值，且 ()2e 2e x 20++∉，，而()0x ≥f 在[]2e 2e 2++，上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A.24e 2e a +≥B.24e 2e a +＞C.e 2e a 2+≥D.e 2e a 2+＞二 、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.()[][]⎩⎨⎧∈∈=21x x -210x x x 2，，，，f ，则()⎰=20dx x f ____________. 14.已知函数()()0a 4a -x a 3-x x 23＞+=f 有三个零点，则实数 a 的取值范围为__________．15.函数()kx -xlnx x =f 在()∞+，0上是增函数，则实数 k 的取值范围是__________． 16. 已知函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=e e 1x lnx 2a y ，的图象上存在点 P ，函数2--x y 2=的图象上存在点 Q ，且 P 、Q 关于原点对称，则 a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（本小题满分10分）已知函数()2-x 9x 3-x x 23++=f ，求：（1）函数()x y f =的图象在点()()00f ，处的切线方程；（2)()x f 的单调递减区间．18.（本小题满分12分）在直三棱柱中，2AC 31====，BC AB AA ， D 是 AC 的中点．（1）求证：BD A C B 11平面∥；（2）求二面角11B DB A --的余弦值．19.（本小题满分12分）已知函数()x ea 1-x x +=f （e a ，R ∈为自然对数的底数），且曲线 ()x y f =在点()()11f ，处的切线平行于 x 轴．（1）求 a 的值；（2）求函数()x f 的极值．20.（本小题满分 12 分）已知椭圆1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的右焦点为()012，F ，离心率为21e =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线1kx y +=与椭圆相交于 A 、B 两点， M 、N 分别为线段22BF AF ，的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，求 k 的值．21.（本小题满分 12 分）设函数()bx -ax 21-lnx x 2=f ． （1）当a=0，b=-1时，方程()mx x =f 在区间[]2e 1，内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围．（2）令()()()3x 0xa bx ax 21x x 2≤+++=＜f F ，其图象上任意一点()00y x ，P 处切线的斜率21k ≤恒成立，求实数 a 的取值范围．22.（本小题满分 12 分）已知函数()x x -4lnx k 4k x 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f ，其中常数k ＞0. （1）讨论()x f 在（0，2）上的单调性；（2）若[)∞+∈，4k ，曲线()x y f =上总存在相异两点()()2211y x y x ，，，N M 使得曲线()x y f =在 M 、N 两点处的切线互相平行，求21x x +的取值范围．。
山西省榆社中学2017-2018学年高二4月月考数学(理)
山西省榆社中学2017-2018学年高二4月月考（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若，则A. B. C. D.3.下列求导运算正确的是A. B.C. D.4.已知m为实数，i为虚数单位，若，则A. iB. 1C.D.5.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数a的值为A. B. C. D. 26.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是A.B.C.D.7.设，则的值为A. B. C. D.8.与的关系为A. B.C. D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.观察下列各式：，则A. 28B. 76C. 123D. 19911.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是A. B. C. D.12.已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，图中曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是______ ．14.若由曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积，则______ ．15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______．16.已知边长分别为的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接，则三角形的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，则内切球的半径______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．18.已知函数，在点处的切线方程为，求实数的值；函数的单调区间以及在区间上的最值．19.已知曲线及曲线上一点．求曲线在P点处的切线方程；Ⅱ求曲线过P点的切线方程．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．Ⅰ求的表达式；Ⅱ隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．21.已知函数Ⅰ当时，求在区间上的最大值和最小值；Ⅱ求在处的切线方程；Ⅲ若在区间上，恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数．讨论的单调性；若有两个零点，求a的取值范围．参考答案【解析】1. 解：复数z满足则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：，故选：B利用求的导数的定义，化简求得．本题主要考查了极限及其运算，涉及导数的定义和应用，合理的恒等变形是解决本题的关键，属于基础题．3. 解：对于A：，对于B：，对于C；，对于D：，故选：D．根据导数的运算法则求导即可判断．本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题．4. 解：，，解得：．则．故选：A．由，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5. 解：，，处切线斜率为1，即，，解得．故选：B．求出函数的导数，利用，解a即可．本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力，比较基础．6. 解析：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X轴的面积代数和．即选项D正确．故选D．先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义进行选择即可．本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于基础题．7. 解：根据定积分性质可得，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，，，，故答案选：A．根据定积分性质可得，然后根据定积分可得．本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．8. 解：表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图当时，，故有：故选：B．根据积分所表示的几何意义是以直线及函数或在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9. 解：函数的定义域为：，当时，函数，可得函数的极值点为：，当时，函数是减函数，时，函数是增函数，并且，选项B、D满足题意．当时，函数，选项D不正确，选项B正确．故选：B．利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．10. 解：由于，，，，，，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，，故选B．根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出四个等式即得．本题考查归纳推理的思想方法，注意观察所给等式的左右两边的特点，这是解题的关键．11. 解：，，故答案选B．先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率．12. 解：定义在R上的偶函数，时，恒有，，，，在为减函数，为偶函数，为偶函数，在上为增函数，，即，解得，故选：A根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为，解得即可本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题13. 解：曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是；故答案为：2．利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分．本题考查了定积分的应用求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积．14. 解：由曲线与直线，联立解得，当时，曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积解得，故答案为：3先联立曲线与直线，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，比较基础．15. 解：已知为偶函数，当时，，设，则，，则，．曲线在点处的切线方程是．即．故答案为：．由已知函数的奇偶性结合时的解析式求出时的解析式，求出导函数，得到，然后代入直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．16. 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，根据体积相等可得，即内切球的半径，故答案为．由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径．本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．17. 由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究的正负，即可得到函数的单调增区间是，单调递减区间是．根据的单调性，分别求出、、的值并比较大小，可得在上的最大值是，最小值是．本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．18. 求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出．求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力．19. 由已知可得斜率函数为，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．设切点为，求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程．本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率和方程是解决本题的关键注意区分在点P处与过点P处的切线方程．20. 将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出；利用导数判断的单调性，根据单调性求出的最小值．本题考查了利用导数求函数最值的方法，解析式的求解，属于中档题．21. 当时，由于恒成立，即可得到在区间上单调递性，即可得出最值．分别计算出，利用导数的几何意义可得在处的切线斜率及其方程．函数的定义域为对a分类讨论：当时，利用导数研究其单调性即可得出当时，令，解得进一步分类讨论：当时，即时，当时，即，研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22. 求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；由可知：当时才有两个零点，根据函数的单调性求得最小值，由，求导，由，即可求得a的取值范围．求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．。
山西省榆社县高二数学上学期第一次月考试题(new)
山西省榆社县2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题一、单选题（共12题；共60分）1、下列说法错误的是（ )A、平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点B、经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C、经过两条相交直线,有且只有一个平面D、如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合2、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面,则下列命题正确的是（）A、若m⊂α,n∥α，则m∥nB、m∥α，m∥β，则α∥βC、若α∩β=n，m∥n,则m∥βD、若m⊥α，m⊥β,则α∥β3、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（）A、1：3B、1:( ﹣1）C、1：9D、:24、下列结论正确的是（）A、各个面都是三角形的几何体是三棱锥B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D、圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线5、已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3：1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（)A、π：1B、3π:1C、3π：2D、3π：46、如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆,那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为( )A、 B、 C、 D、7、如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A①②⑥B①②③C④⑤⑥D③④⑤8、三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值为( )A、7B、7。
5C、8D、99、在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（） A、 B、 C、 D、10、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（）A、 B、 C、 D、11、已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′= ，那么原△ABC中∠ABC的大小是( ）A、30°B、45°C、60°D、90°12、一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A、 B、 C、 D、二、填空题(共5题；共20分）13、边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O﹣ABCD的体积是________14、如图所示（单位：cm）,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为________．15、已知轴截面为正方形 EFGH 的圆柱的体积为2π,则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点 G的最短距离是________．16、已知一长方体的体对角线的长为10,这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8,则这个长方体体积的最大值为 ______ ．三、解答题(共6题；共70分)17.（10分）底面半径为3,高为的圆锥有一个内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）。
2017-2018学年山西省榆社中学高三一轮月考调研(新五校联考)理数(含答案)
2017-2018学年山西省榆社中学高三一轮月考调研（新五校联考）理数一、选择题：共12题每题5分共60分1．集合,则A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算、一元二次不等式.因为,所以2．函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数的性质.由题意可得,所以,故答案为D.3．A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查定积分..4．已知函数且).若,则A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】本题主要考查分段函数、对数函数.因为且),所以,则,则5．已知函数,给出下列两个命题:命题:若,则;命题.则下列叙述错误的是A.是假命题B.的否命题是:若,则C.D.是真命题【答案】D【解析】本题主要考查常用逻辑用语、对数与指数函数,考查了逻辑推理能力.由指数函数与对数函数的性质可知,函数是增函数,且,所以,若,则,则p是假命题,显然q是真命题,故是假命题,则答案为D.6．设偶函数的定义域为,且时,的图象如图所示,则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查函数的图象与性质.因为偶函数的定义域为,且时,的图象如图所示,所以不等式的解集是.7．已知函数的零点为,设,则的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查对数函数的性质、函数与方程.由对数函数的性质可知,函数是增函数,又因为,所以,则<0,所以.8．设函数在区间内有极值点,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值.,因为函数在区间内有极值点,所以函数在区间内有实根,又因为,所以由二次函数的性质可得,求解可得.9．已知函数满足:时,,且.若函数恰有5个零点,则A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的图象与性质、函数与方程.由可知函数的图象关于直线x=a对称,,可得函数的增区间是,减区间是,又因为,所以函数在R上3个零点,因为函数恰有5个零点,且,所以由函数的对称性可知,a=1.10．函数的部分图象大致是【答案】B【解析】本题主要考查函数的图象与性质.因为,所以函数是奇函数,故排除C; 令x=,则y<0,排除A;显然,当x>时,y>0,故排除D,则答案为B.11．已知函数且),则“函数在上单调递增”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查复合函数的单调性、充分条件与必要条件,考查了逻辑推理能力.因为函数在上单调递增,所以,则,因此“函数在上单调递增”是“”的必要不充分条件.12．设函数,,,,若,使得直线的斜率为0,则的最小值为A. B. C. D.2【答案】C【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了恒成立问题与存在问题.由二次函数的性质可知,当时,,则在上是减函数,在上是增函数,则,因为,使得直线的斜率为0,所以,求解可得,则的最小值为.二、填空题：共4题13．若函数,则 .【答案】3【解析】本题主要考查分段函数求值、指数与对数.因为,所以,则14．已知“”是“”的充分不必要条件,且,则的最小值是 .【答案】【解析】本题主要考查充分条件与必要条件,考查了逻辑推理能力.由可得,因为“”是“”的充分不必要条件,所以,又因为,所以的最小值是.15．函数在上的最大值是 .【答案】【解析】本题主要考查导数、函数的性质与最值.,令,则,即函数在上是减函数,且,所以当0<x<1时,,当时,,所以当x=1时,函数取得最大值为.16．设函数,集合,若是的真子集,则实数的取值构成的集合是 .【答案】【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了分类讨论思想.,令,,当a=1时,不等式无解,则是空集,易知M不是空集,则P是M的真子集成立;当a>1时,,因为是的真子集,所以,无解;当a<1时,,因为是的真子集,所以,若0<a<1,则,无解;若a=0,则则满足题意;若a<0,,而,所以P不是M的子集,不满足题意.综上,a的取值集合是三、解答题：共6题17．设函数的定义域为集合,集合.(1)若,求;(2)若,且,求.【答案】(1)由,得,∵,∴,∴.(2)∵,且,∴,∴即,∴,∴,∴或.【解析】本题主要考查指数函数、集合的基本运算、一元二次不等式.(1)由指数函数的性质与一元二次不等式的解法求出集合,再利用交集的定义求解即可;(2)由题意可得,即可求出a的值,则结论易得.18．已知,函数,设:若函数在的值域为,则:函数的图象不经过第四象限.(1)若,判断的真假;(2)若为真,为假,求实数的取值范围.【答案】(1)若,对应的值域为,∴为真.若,当时,,∴为真.(2)∵,∴若为真,则,即.若为真,则当时,,即,∴,又,∴.因为为真,为假,所以一真一假.若真假,则有;若假真,则有.综上所述,实数的取值范围是.【解析】本题主要考查函数的的性质与值域、命题真假的判断、逻辑联结词,考查了逻辑推理能力.(1)当时,易得命题p,q均为真;(2)易得函数在上是增函数,值域为,若为真,则,得m的取值范围;若为真,则当时,恒成立,求出m的取值范围;易得以一真一假,则结论易得.19．已知是奇函数.(1)求的值;(2)若函数的图象关于点对称,,求的值.【答案】(1)因为是奇函数,所以,即,整理得,又,所以.(2)因为,所以函数的图象关于点对称,即.因为的图象关于点对称,所以,又函数的图象关于点对称,所以,所以.【解析】本题主要考查函数的图象与性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意,化简可得a=1;(2)由对称性求出b,则结论易得.20．函数,其中,且.(1)若,求不等式的解集.(2)若对任意都有,求实数的取值范围.【答案】(1)∵,∴的定义域为,由,得,解得,即所求不等式的解集为.(2)∵,∴,得,∵,∴,∵对任意都有,∴对任意都有,设函数,则函数的对称轴为,∴函数在上单调递增,∴,即,又,∴.故实数的取值范围是.【解析】本题主要考查对数函数、函数的图象与性质.(1)由题意可得,求解可得结论;(2)易得,由对数函数的单调性可得对任意都有, 设函数,再利用二次函数的性质求解即可.21．已知函数.(1)若函数在区间上单调递增,求的取值范围;(2)设函数,若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.【答案】(1)由得,∴在上单调递增,∴,∴,∴的取值范围是.(2)∵存在,使不等式成立,∴存在,使成立,令,从而,,∵,∴,∴,∴在上单调递增,∴,∴.∴实数的取值范围为.【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了恒成立问题与存在问题、转化思想.(1)易得,则,所以,可得结论;(2)易得存在,使成立, 令,求导并判断函数的单调性,即可求出最大值,则可得结论.22．已知函数的图象在处的切线过点.(1)若时,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明:.(提示)【答案】∵,∴,由,曲线在处的切线过点,∴,得.(1)∵,∴,令,得,解得或2,∴的极值点为或2.(2)∵是方程的两个根,所以,∵,∴,∴是函数的极大值,是函数的极小值,∴要证,只需,=令,则,设,则,函数在上单调递减,∴,∴.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与极点,考查了转化思想与换元法.(1),由条件,利用直线的斜率公式可得,结合求出a、b的值,判断函数的单调性,即可得极值;(2)是方程的两个根,结合根与系数的关系,是函数的极大值,是函数的极小值,化简可得, 令,则, 设,再求导判断函数的单调性并求出最大值,即可得出结论.。
山西省应县2017-2018学年高二数学上学期第四次月考试题 理
摘要：本智能识别小车以STC89C52单片机为控制芯片，以直流电机，光电传感器，超声波传感器，电源电路以及其他电路构成。
系统由STC89C52通过IO口，通过红外传感器检测黑线，利用单片机输出PWM脉冲控制直流电机的转速和转向，循迹由TCRT5000型光电对管完成。
一、系统设计1、小车循迹，避障原理这里的循进是指小车在白色地板上寻黑线行走，通常采取的方法是红外探测法。
红外探测法，即利用红外a在不同颜色的物体表面具有不同的反射性质的特点，在小车行驶过程中不断地向地面发射红外光，当红外光遇到白色地板时，发生漫反射反射光被装在小车上的按收管按收；如果遇到黑线则红外光被吸收，小车上的接收管接收不到红外光，单片机就是否收到反射回来的红外光为依据来确定黑线的位置和小车的行走路线。
红外探测器探测距离有限一殷最大不应超过3cm。
而避障则是通过超声波模块不断向前方发射超声波信号，通过接收反射回来的超声波信号，从而实现的避障。
当前方有障碍物时，超声波会向单片机串口发送一串数字，这些数字就是当前小车距离障碍物得距离。
当串口接收到信号时，会引发串口中断，单片机通过读取距离值，并且对此数值进行分析是不是距离小车很近，是的话就进行转向；否则继续循迹。
当小车遇到第一个障碍后，就计数一次，这样当遇到第二个障碍物时，小车就可以以不同的形式躲避障碍物了。
2、选用方案（1）：采用成品的小车地盘，通过改装来完成任务；（2）：采用STC89C52单片机作为主控制器；（3）：采用7V电源经7805稳压芯片降压后为其他芯片及器件供电。
（4）：采用TCRT5000型红外传感器进行循迹；（5）：L298N作为直流电机的驱动芯片；（6）：通过对L298N使能端输入PWM来控制电机转速和转向；3、系统机构框图如下所示：超声波模块主控制芯片STC89C52红外传感器直流电机L298N稳压电源模块电压比较器二、硬件实现及单元电路设计与分析1、微控制模块设计与分析微控制器模块我们采用STC89C52。
2017_2018学年高二数学4月月考试题文无答案
山西省榆社中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 文一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.设复数 满足(1)1i z -= （是虚数单位），则 等于（ ）A ．B ．C ．12D 2.已知复数()()()是虚数单位，i R a i a a z ,242∈++-=,则“2a =”是“为纯虚数”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件 3．下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r|越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．以上错误结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34．点的极坐标为5π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭,则的直角坐标为A. (1,B. (-C.)1- D. ()5．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线6．直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( )A. y ＝－13x ＋13 B. y ＝－13x ＋1 C. y ＝3x －3 D. y ＝13x ＋1 7．在极坐标系中,直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, 为极点,则AOB ∠的大小为 A. π3 B. π2 C. 2π3 D. 5π68、在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（ ） A. B. C. D.9.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）A.52B.107C.54D.109 10．设曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x y ′＝3y后得到曲线方程为y ＝sin x ，则曲线C 的周期为( ) A.π2 B ．4π C ．2π D ．π11、执行如图的程序框图，则输出的值为A. 1B. 32C. 12- D. 0 12、在极坐标系中，，则的形状为 ( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若复数满足，，则的虚部为。
山西省榆社中学2017_2018学年高二数学4月月考试题理
山西省榆社中学学年高二数学月月考试题理题号-一--二二三总分得分、选择题（本大题共小题，共分）若复数满足：丨• u. ■-］，则复数在复平面内对应的点在T △ X ） 若『京兀1 =》，则.11：：A K —^0Jf(x)dx I Jf(x)dxibf(x)dx-Jf(x)dx411..第一象限 .第二象限.第三象限.第四象限2. 3.F 列求导运算正确的是I.::一：毙1I1X4.rm + 2i 已知为实数，为虚数单位，若.U ■. ■- - - J ：!,则——2—五5.已知曲线ii '： I=聲■ +仇在点. 处切线的斜率为，则实数的值为X 亠16.-1用表示图中阴影部分的面积，则的值是Jf(x)dx匚a7. 设“,(x- L x E [L 2]4 TL.-- .--■■2 3 2I i8. | •与| 的关系为D；■:\'1' ■:，则不等式L 後J I A 的解集为则I •的值为-1兀4—-—4 3兀一49.函数ii 、・： 的图象大致为11.设点是曲线? =上的任意一点,兀2ir点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是12. 已知定义在上的偶函数，其导函数为；当 时，恒有［m —a ，若£、填空题（本大题共小题，共分）13. 如图所示，图中曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是.14. 若由曲线.J 与直线■■/ -■-，及轴所围成的平面图形的面积，则 y -.15. 已知i 「，为偶函数，当八"时，iz 厂…，则曲线' 心|在点门处的切线方程是. 16. 已知边长分别为.的三角形面积为，内切圆的半径为，连接，则三角形]] 丨] ] ] 2S-，.:- '的面积分别为.，由;:=-■ ： :" ： 得=，类比得四222222 玄十b+c面体的体积为，四个面的面积分别为 ，则内切球的半径 三、解答题（本大题共小题，共分）17. 已知0亦；：r ；"& ：＞■ ■：：!o求的单调区间；求函数 在上的最值.18.已知函数iiv \ .1\卜，在点亠! I b 1.1处的切线方程为■■■■■ I 1 ，求实数 的值； 函数的单调区间以及在区间 2讨上的最值.1q i)11 （-口 -）19. 已知曲线■■及曲线上一点山I；.■j-求曲线' 『:卜I在点处的切线方程；n求曲线丫L过点的切线方程.20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设- 5为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.1求的表达式；n隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值.21. 已知函数il'：；；；」、：-二1'：IlZ. ! I当卩-时，求在区间| ' ''| 上的最大值和最小值；n求■■:1 i'1■:1一:在飞-：.处的切线方程；川若在区间工 r」;上，n- 「恒成立，求实数的取值范围.22. 已知函数i'.\. , - 沁'讨论的单调性；若有两个零点，求的取值范围.答案和解析【答案】。
(秋季版)2017-2018学年高二数学4月月考试题 理
山西省祁县中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数2+3i 的共轭复数是（ ）A. -2+3iB. 2-3iC. -2-3iD. 3-2i 2.下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( )A ．f(x)＝－cosxB ．f(x)＝－x 3C ．f(x)＝sinx －xD ．f(x)＝1x3.下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ） A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类比推出:向量,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c . B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b. C.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类比推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球面的方程为2222x y z r ++=. D.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类比推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.4.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个5.下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a. 在这个推理中( )A ．大前提正确，结论错误B ．大前提错误，结论错误C ．大、小前提正确，只有结论错误D ．小前提与结论都是错误的6.如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为ln 30x y +=,那么（ ） A. 0()0f x '< B. 0()0f x '> C.0()0f x '= D. ()f x '在0x x =处不存在7.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是( )8.由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ）A ．174B ．154C ．1ln 22D ．2ln 29.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) A. 自然数,,a b c 都是奇数B. 自然数,,a b c 都是偶数C. 自然数,,a b c 至少有两个偶数或都是奇数D. 自然数,,a b c 至少有两个偶数 10. 若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,0] B ．[0,2] C ．[－2,2] D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)11.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．74-或25-64 B ．1-或25-64 C ．74-或7 D ．1-或21412. 以圆x 2＋y 2－2x －2y －1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )A ．84B ．78C ．81D ．76 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________. 14.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花， 要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．15.0cos()cos66limx x xππ∆→+∆-∆的值为 ___ . 16.已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x∈（－∞，0）时不等式f （x ）＋xf′（x ）<0成立，若a ＝30.3·f（30.3），b ＝(log π3）)3(log π⋅f ， c ＝(log 391)·f (log 391).则a ，b ，c 的大小关系是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 已知3211()(4),xf x t dt t =-⎰求)()1(i f i f ⋅-的值（其中i 为虚数单位）18.（本小题满分12分）已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间．19.（本小题满分12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）20.（本小题满分12分） 已知:当*n N ∈时，有1111111,2342121232n n S T n n n n n n=-+-++-=+++-+++；（1）求1212,,,;S S T T数学（理）试题共4页 第3页（2）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明.21.（本小题满分12分） （1）（用综合法证明）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，证明：△ABC 为等边三角形。
山西省榆社中学2017-2018学年高一数学4月月考试题
山西省榆社中学2017-2018学年高一数学4月月考试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时间120分钟．满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分)1.的值等于A. B. C. D.2.在0到范围内，与角终边相同的角是A. B. C. D.3.已知角是第二象限角，且，则A. B. C. D.4.若是第三象限角，则下列各式中不成立的是A. B.C. D.5.若，则A. B. C. D.6.已知扇形的周长为12cm，面积为，则扇形圆心角的弧度数为A. 1B. 4C. 1或4D. 2或47.已知角的终边过点，且，则m的值为A. B. C. D.8.已知，则的值为A. B. C. D.9.下列函数中既是奇函数又是最小正周期为的函数的是A. B.C. D.10.要得到的图象，只需将函数的图象A. 向右平移个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向左平移个单位，再向下平移1个单位11.已知函数的部分图象如图所示，，则正确的选项是A. B.C. D.12.函数的单调减区间为A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知，且，那么的值等于______14.已知，则 ______ ．15.将函数的图象向左平移m个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是______ ．16.在下列四个命题中：函数的定义域是；已知，且，则的取值集合是；函数的图象关于直线对称，则a的值等于；函数的最小值为．把你认为正确的命题的序号都填在横线上______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. （10分）已知，且．由的值；求的值．18.（12分）已知，且．求的值；若，求的值．19. (12分)函数，其部分图象如图所示．求函数的解析式；当时，求的取值范围．20. (12分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数的解析式；将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象若图象的一个对称中心为，求的最小值．21. (12分)已知函数．1求函数的最小正周期和单调递增区间；2若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围，并求的值．22.(12分)已知函数，若，且在区间上递减．求的值；求；解不等式．答题纸本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时间120分钟．满分150分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13_________________________ 14____________________________15_________________________ 16____________________________三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）20.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）22.（本小题满分12分）答案一、选择题 1.A2.C3.A4.B5. B 6.C7.B8.B9.B10.B 11A12.B二，填空题1.2， 3 . 4.三，解答题17.解：由，得，又，则为第三象限角，所以．．18. 解：，且，．，，．19. 解：根据函数的部分图象，可得，求得，再根据五点法作图可得，故当时，，即．20解：根据表中已知数据，解得数据补全如下表：且函数表达式为由Ⅰ知，得因为的对称中心为．令，解得．由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得由可知，当时，取得最小值．21.解：函数．化简可得：函数的最小正周期，由时单调递增，解得：函数的单调递增区间为：．函数所在上有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个交点令，22.解：；，由，取，得：由于在区间上单调递减，，解得．，为的一个中心的横坐标，，则，又．．由，可得，，不等式的解集为．。
山西省榆社中学高二数学下学期期中试题 理
山西省榆社中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时间120分钟．满分150分．考试范围：选修2—2全部，选修2—3第一章一、选择题（本题共12小题，共60分）1.复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知，则A. B. 1 C. 0 D.3.曲线在点处的切线方程为A. B.C. D.4.已知命题：“若，则实数中至少有一个不小于0”，用反证法证明该命题时的假设为A. 假设都小于0B. 假设中至少有一个不大于0C. 假设中至多有一个不小于0D. 假设中至多有一个不大于05.已知，则A. 1B. 2C. 3D. 46.用数学归纳法证明，在验证成立时，左边的项是A. 1B.C.D.7.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位A. 85B. 56C. 49D. 288.设，则二项式的常数项是A. 240B.C.D. 609.函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是A. B. C. D.10.如图，在矩形OABC内：记抛物线与直线围成的区域为图中阴影部分随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是A. B.C. D.11.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，恒不为0，当时，，且，则不等式的解集是A. B.C. D.12.直线分别与曲线交于A、B，则的最小值为A. 3B. 2C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.计算 ______14.函数在上的最小值是______ ．15.已知的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中x的系数为______ 用数字作答16.直线与函数的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限，求的坐标；若直线，且l也过切点，求直线l的方程．18.（12分）已知函求函的值域；求函的图象与x轴围成的面积．19.（12分）已知，且．Ⅰ求n的值；Ⅱ求的值．20.（12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？21.（12分）已知函数为常数．若在处有极值，求a的值并判断是极大值点还是极小值点；若在上是增函数，求a的取值范围．22.（12分）已知函数为实数讨论函数的单调区间；求函数的极值；求证：答案一选择题1B 2B 3C 4A 5D 6C 7C 8D 9D 10B 11D 12C 二，填空题13, 14 , 115, 280 16，（-2,2）三，解答题17,解：由，得，由已知得，解之得．当时，；当时，．又点在第三象限，切点的坐标为；（5分）直线的斜率为4，直线l的斜率为，过切点，点的坐标为直线l的方程为即．（10分）18，解：，函数在单调递增，，，函数的值域为；分函数的图象与x轴围成的面积．分19解：Ⅰ根据题意，由得：即解之得：或舍去．．分Ⅱ当时，由已知有，令得：，令得：，．分20,解：名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有4种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有种．有种分从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有种分配方法分21 解：，分这时，．，当时，当时，是的极大值点．分在上恒成立，，即．在上恒成立，，即a的取值范围为分22,解：由题意得当时，恒成立，函数在R上单调递增，当时，由可得，由可得，故函数在上单调递增，在上单调递减；分函数的定义域为，由可得；由，可得．所以函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在取得极大值，其极大值为．分证明：当时，，由知，在处取得极小值，也是最小值，且，故，得到．由知，在处取得最大值，且，故，得到．综上．分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山西省榆社中学2017-2018学年高二数学4月月考试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若，则A. B. C. D.3.下列求导运算正确的是A. B.C. D.4.已知m为实数，i为虚数单位，若，则A. iB. 1C.D.5.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数a的值为A. B. C. D. 26.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是A.B.C.D.7.设，则的值为A. B. C. D.8.与的关系为A. B.C. D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.观察下列各式：，则A. 28B. 76C. 123D. 19911.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是A. B. C. D.12.已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，图中曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是______ ．14.若由曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积，则 ______ ．15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______．16.已知边长分别为的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接，则三角形的面积分别为，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为，则内切球的半径______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．18.已知函数，在点处的切线方程为，求实数的值；函数的单调区间以及在区间上的最值．19.已知曲线及曲线上一点．求曲线在P点处的切线方程；Ⅱ求曲线过P点的切线方程．20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．Ⅰ求的表达式；Ⅱ隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．21.已知函数Ⅰ当时，求在区间上的最大值和最小值；Ⅱ求在处的切线方程；Ⅲ若在区间上，恒成立，求实数a的取值范围．22.已知函数．讨论的单调性；若有两个零点，求a的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. B3. D4. A5. B6. D7. A8. B9. B10. B11. B12. A13. 214. 315.16.17. 解：依题意得，，定义域是分，令 0'/>，得或；令，得，且函数定义域是，函数的单调增区间是，单调递减区间是分令，得舍，由于函数在区间上为减函数，区间上为增函数，且，在上的最大值是，最小值是分18. 解：因为在点处的切线方程为，所以切线斜率是----------------------分且，求得，即点----------------------分又函数，则----------------------分所以依题意得----------------------分解得----------------------分由知所以----------------------分令，解得或当或；当所以函数的单调递增区间是单调递减区间是----------------------分又所以当x变化时，和变化情况如下表：所以当时，，----------------------分19. 解：，．则在处直线的斜率，所求直线的方程为．设切点坐标为，则直线l的斜率，，，解得或．，所求直线的方程为，所求直线斜率，于是所求直线的方程为，即．综上所述，所求直线的方程为或．20. 解：每年能源消耗费用为，建造费用为6x，．，令得或舍．当时，，当时，．在上单调递减，在上单调递增．当时，取得最小值．当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．21. 解：当时，．对于恒成立，在区间上单调递增．．．．在处的切线方程是，即；函数的定义域为．当时，恒有，函数在区间上单调递减．要满足在区间上，恒成立，则即可，解得．实数a的取值范围是．当时，令，解得．当时，即时，在区间上有，此时在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．当时，即，在区间上有，此时单调递增，不合题意．综上可知：实数a的取值范围是．22. 解：由，求导，当时，，当单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，，恒成立，当单调递减，综上可知：当时，在R单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；若时，由可知：最多有一个零点，当时，，当时，，当时，，当，且远远大于和x，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在是增函数，，，即，设，则，求导，由，，解得：，的取值范围．方法二：由，求导，当时，，当单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，，恒成立，当单调递减，综上可知：当时，在R单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；若时，由可知：最多有一个零点，当时，由可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．的取值范围．【解析】1. 解：复数z满足则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：，故选：B利用求的导数的定义，化简求得．本题主要考查了极限及其运算，涉及导数的定义和应用，合理的恒等变形是解决本题的关键，属于基础题．3. 解：对于A：，对于B：，对于C；，对于D：，故选：D．根据导数的运算法则求导即可判断．本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题．4. 解：，，解得：．则．故选：A．由，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5. 解：，，处切线斜率为1，即，，解得．故选：B．求出函数的导数，利用，解a即可．本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力，比较基础．6. 解析：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X轴的面积代数和．即选项D正确．故选D．先将阴影部分的面积用定积分表示，然后根据定积分的意义进行选择即可．本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负积分的几何意义强调代数和，属于基础题．7. 解：根据定积分性质可得，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，，，，故答案选：A．根据定积分性质可得，然后根据定积分可得．本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．8. 解：表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，表示的几何意义是以直线及函数在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图当时，，故有：故选：B．根据积分所表示的几何意义是以直线及函数或在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9. 解：函数的定义域为：，当时，函数，可得函数的极值点为：，当时，函数是减函数，时，函数是增函数，并且，选项B、D 满足题意．当时，函数，选项D不正确，选项B正确．故选：B．利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．10. 解：由于，，，，，，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，，故选B．根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出四个等式即得．本题考查归纳推理的思想方法，注意观察所给等式的左右两边的特点，这是解题的关键．11. 解：，，故答案选B．先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率．12. 解：定义在R上的偶函数，时，恒有，，，，在为减函数，为偶函数，为偶函数，在上为增函数，，即，解得，故选：A根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为，解得即可本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题13. 解：曲线方程为，则围成封闭图形阴影部分的面积是；故答案为：2．利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分．本题考查了定积分的应用求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积．14. 解：由曲线与直线，联立解得，当时，曲线与直线及y轴所围成的平面图形的面积，解得，故答案为：3先联立曲线与直线，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，比较基础．15. 解：已知为偶函数，当时，，设，则，，则，．曲线在点处的切线方程是．即．故答案为：．由已知函数的奇偶性结合时的解析式求出时的解析式，求出导函数，得到，然后代入直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．16. 解：由条件可知，三角形的面积公式是利用的等积法来计算的．根据类比可以得到，将四面体分解为四个小锥体，每个小锥体的高为内切球的半径，根据体积相等可得，即内切球的半径，故答案为．由三角形的面积公式可知，是利用等积法推导的，即三个小三角形的面积之和等于大三角形ABC的面积，根据类比推理可知，将四面体分解为四个小锥体，则四个小锥体的条件之和为四面体的体积，由此单调内切球的半径．本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推导的．17. 由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究的正负，即可得到函数的单调增区间是，单调递减区间是．根据的单调性，分别求出、、的值并比较大小，可得在上的最大值是，最小值是．本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．18. 求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出．求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力．19. 由已知可得斜率函数为，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．设切点为，求出切点坐标，即可求曲线过点P处的切线方程．本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率和方程是解决本题的关键注意区分在点P处与过点P处的切线方程．20. 将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出；利用导数判断的单调性，根据单调性求出的最小值．本题考查了利用导数求函数最值的方法，解析式的求解，属于中档题．21. 当时，由于恒成立，即可得到在区间上单调递性，即可得出最值．分别计算出，利用导数的几何意义可得在处的切线斜率及其方程．函数的定义域为对a 分类讨论：当时，利用导数研究其单调性即可得出当时，令，解得进一步分类讨论：当时，即时，当时，即，研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22. 求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；由可知：当时才有两个零点，根据函数的单调性求得最小值，由，求导，由，即可求得a的取值范围．求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．。