人教九下数学精品学案26.2 第1课时 实际问题中的反比例函数
人教版九年级数学下册 第26章 26.2 实际问题与反比例函数 导学案
26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y 与x 之间的函数关系式；60y x ⎛=⎫ ⎪⎝⎭ b.若围成矩形科技园ABCD 的三边材料总长不超过26 m ，材料AD 和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6 m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式. ②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm 2.①写出其长y 与宽x 之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm 时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm ，长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8 cm ，其宽最多是多少？ 答案：①20y x =②53cm;5 cm ③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m 3/h ）之间的函数关系为（A ） A.60t Q = B.t=60QC. 6012t Q =- D.6012t Q=+ 4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x ，底边上的高为y ，当它的面积为10时，x 与y 的函数关系式为（D ）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000yx；不选一次函数是因为y与x之间不成正比例关系.（2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)， （2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.26.2 实际问题与反比例函数第2课时 实际问题与反比例函数（2）——杠杆问题和电学问题一、新课导入1.课题导入古希腊科学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我可以把地球撬动.”你认为这可能吗？为什么？2.学习目标（1）探索运用反比例函数来解决物理中的实际问题.（2）能综合运用物理杠杆知识、电学知识和反比例函数的知识解决一些实际问题.3.学习重、难点运用反比例函数的知识解释物理现象.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P14例3.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：紧扣物理公式建立反比例函数模型.（4）自学参考提纲：①什么是杠杆定律？②教材例3第（2）问如何用不等关系来解决？③用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？④现在要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高.原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空或更换较小秤砣，使秤砣变轻，从而欺骗顾客.a.如图1,2所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？b.在称同一物体时，秤砣到支点的距离y与所用秤砣质量x之间满足反比例关系；c.当秤砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会通过实际问题抽象出反比例函数模型，并以此解决实际问题.②差异指导：指导学困生解题.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）如何建立反比例函数模型解释物理现象.（2）练习：某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200 m3的生活垃圾运走.①假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；②若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？③在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？答案：①1200yx=(x＞0)；②120020125y==⨯(天)；③1200-12×5×8=720（m3），720÷6÷12-5=5（辆）.1.自学指导(1)自学内容：教材P15例4.(2)自学时间：6分钟.(3)自学指导：紧扣电学公式建立反比例函数模型.(4)自学参考提纲：①用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）与用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR=U2，也可写为2UPR=或2URP=.输出功率P与电阻R成反比例函数关系.②你有哪些求P的范围的方法？③反比例函数的知识解释：为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？④某生态示范村种植基地计划用90~120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤.a.列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；36yx=(0.3≤x≤0.4).b.为满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后平均每亩产量各是多少万斤？设原计划平均每亩产量是x万斤，则改良后平均每亩产量是1.5x万斤，根据题意，得3645201.5x x-=，解得x=0.3，∴1.5x=0.45.因此，原计划平均每亩产量为0.3万斤，改良后平均每亩产量为0.45万斤.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会从函数的角度认识电学中相关量的关系.②差异指导：注意教材例4第(2)问的点拨.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）如何从物理问题中建构反比例函数模型来解决实际问题.（2）练习：一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a 米3/分，且排水时间为5~10分钟.①试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围；②请画出函数图象;③根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？ 答案：①20t a=(2≤a≤4)； ②如图所示；③203分钟 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课的教学过程中遇到了物理学中的杠杆问题和电学问题,这就需要学生能综合运用物理的杠杆知识或电学知识和反比例函数知识解决一些实际问题.本课时的核心是紧扣物理公式建立反比例函数模型.在这些实际应用中，备课时应注意到与实际生活相联系，并且注意用函数观点对这些问题作出解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识的联系.一、基础巩固（70分）1.(10分) 某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为(A) A.6I R = B.6I R =- C.3I R = D.2I R =2.(10分) 已知力F 对一个物体做的功是15焦，则力F 与此物体在力的方向上移动的距离s 之间的函数关系图象大致是（B ）3.(10分) 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是100y x =.4.(10分) 在一个可以改变体积的密封容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ是体积V 的反比例函数，它的图象如图所示.（1）求密度ρ（单位：kg/m 3）与体积V （单位：m 3）之间的函数关系式；（2）求当V=9 m 3时，二氧化碳的密度ρ.解：（1）9.9V ρ=;(2)9.9 1.19ρ==（kg/m 3）. 5.(10分) 一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m 2)的变化，人和木板对湿地地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600 N ，回答下列问题：（1）当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？（2）如果要求压强不超过6000 Pa ，木板面积至少要多大？解：（1）p=600S,当S=0.2 m 2时，60030000.2p ==(Pa); （2）由600S≤6000得S≥0.1（m 2），木板面积至少要0.1 m 2.6.(10分) 舞台灯光可以瞬间将阳光灿烂的晴天变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．因为当电流I 较小时，灯光较暗；反之，当电流I 较大时，灯光较亮．在某一舞台的电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R=20 Ω时，电流I=11 A.（1）求电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式；（2）当舞台线路所承受的电流不超过10 A时，那么电阻R至少应该是多少？解：(1)U=IR=11×20=220（V），220UIR R==；(2)由220R≤10得R≥22（Ω）,即电阻R至少应该是22Ω.7.(10分) 红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存.（1）入库所需时间t（天）与入库速度y（吨/天）有什么样的函数关系？（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几日内完成？（3）在（2）的条件下，粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？解：（1）1200ty =；（2）当y=300吨时，12004300t==（天），预计最快可在4日内完成；（3）工作两天后，还剩玉米量为1200-300×2=600（吨），还需人数为600÷（300÷60）-60=60（人）.二、综合应用（20分）8.(10分) 一辆汽车要将一批10 cm厚的木板运往某建筑工地，进入工地到目的地前，遇有一段软地．聪明的司机协助搬运工将部分木板卸下铺在软地上，汽车顺利通过了.（1）如果卸下部分木板后汽车对地面的压力为3000 N，若设铺在软地上木板的面积为S m2，汽车对地面产生的压强为p（N/m2），那么p与S的函数关系式是3000 pS =;（2）若铺在软地上的木板面积是30 m2，则汽车对地面的压强是100N/m2; （3）如果只要汽车对地面产生的压强不超过600 N/m2，汽车就能顺利通过，则铺在软地上的木板面积最少要多少平方米？ 解：由3000S≤600，得S≥5（m 2）,即铺在软地上的木板面积最少要5 m 2. 9.(10分) 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与点O 的距离x （cm ）， 观察弹簧测力计的示数y （N ）的变化情况.实验数据记录如下：（1）把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y （N ）与x （cm ）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧测力计的示数为24 N 时，弹簧测力计与O 点的距离是多少厘米？随着弹簧测力计与O 点的距离不断减小，弹簧测力计上的示数将发生怎样的变化？解：（1）y 与x 之间是反比例函数关系，300y x=；(2)当y=24 N 时，由30024x =得30012.524x ==(cm),示数逐渐变大. 三、拓展延伸（10分）10.(10分) 为了预防流感，某学校在星期天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=at （a 为常数）.如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解：（1）药物释放过程：y=23t0≤t≤32，药物释放完毕后：32y t =t≥32; (2)当y=0.25毫克时，由32y t =得320.25t =⨯=6（小时），至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.。
26.2实际问题与反比例函数(教案)初中数学人教版九年级下册
第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数教案教学目标：1.根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题3.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型教学重点：1.根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题教学难点：通过所列的反比例函数解析式解决实际问题教学过程:一、复习提问，引入新课教师提出问题：我们已经学习了反比例函数的定义、图象和性质，回顾一次函数、二次函数的学习过程，接下来我们应该探究什么？类比一次函数、二次函数的学习过程，引出如何应用反比例函数解决实际问题.二、探究新知探究一：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少？(结果保留小数点后两位)思考：（1）圆柱的体积公式是什么？（2）该探究题中包含哪些量？哪些是常量？哪些是变量？你能写出S与d的关系式吗？你能从函数的角度来解释这个关系式吗？（3）把储存室的底面积S定为500m2，从函数角度来看，你怎么理解？把储存室的深度改为15m又是什么意思呢？解：(1)∵V S d=⋅∴410VSd d ==(2)∵底面积S定为500 m2∴410 500d=∴20d=(3)∵深度改为15 m∴410666.6715S=≈答：(1)函数关系式为410Sd =；(2)当S定为500 m2时，应掘进20m；(3)当深度改为15m时，底面积应改为约666.67 m2.总结：应用反比例函数解决实际问题的一般步骤：①仔细审题，确定变量和常量；②适当方法，得到函数解析式；③根据已知，代入求出未知量；④结合所求，写出实际问题答案.探究二：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t(单位：天)之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：(1)∵308240v t⋅=⨯=∴240 vt =(2)∵要求船上的货物不超过5天卸载完毕∴2405 tv=≤∴48v≥答：(1)函数关系式为240tv =；(2)平均每天至少要卸载48吨.师生活动：学生独立思考，教师适时提问，在这个问题中常量是什么?变量是什么？是否符合反比例函数的模型，如果是反比例函数，那么其比例系数是什么？在此基础上，学生写出平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间的函数关系式.教师引导学生从函数角度出发，该如何理解“不超过5天卸载完毕”，并进行讨论，寻求解决问题的方法.学生交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程.三、例题练习例题1小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和0.5 m.(助力×阻力臂=动力×动力臂)(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l 至少要加长多少？解：(1)∵12000.5600Fl=⨯=∴600 Fl =∵动力臂为1.5m∴6004001.5F==(2)∵动力F 不超过所用力的一半∴6004002002Fl=≤=∴3l≥∴3 1.5 1.5-=答：(1)撬动石头至少需要400 N 的力；(2)动力臂 l 至少要加长 1.5 m.例题2一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω.已知电压为 220 V.2()U P R= (1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)∵220U = ∴2220P R= (2)∵110220R ≤≤ ∴2220110220P≤≤ ∴220440P ≤≤答：(1)函数关系式为：2220P R=； (2)这个用电器功率的范围是 220～440 W.目的:让学生进一步体会数学建模思想，并用反比例函数解决实际问题.四、课后练习1.某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为( )A.50y x =+B.50y x =C.50y x =D.50x y =解析：由城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米， 则平均每人拥有绿地50y x=. 故选：C.2.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强(Pa)p 是它的受力面积()2m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为________Pa .答案：4002.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强(Pa)p 是它的受力面积()2m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为________Pa .3.某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v （单位：m/s ）与所受阻力F （单位：N ）是反比例函数关系，其图象如图所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度4. 在质量不变的情况下，某物体的密度()3kg /m ρ与体积()3V m 成反比例，其函数图象如图所示，解答下列问题：（1）试确定ρ与V 之间的函数表达式；（2）当310m V =时，求物体的密度.6(0)V V =>. ()30.6kg /m =. 解析：（1）设ρ与V 之间的函数表达式为， 将的坐标代入，与之间的函数表达式为. （2）当时， 物体的密度 . 六、小结今天我们学习了哪些知识？1.能够根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式2.通过所列的反比例函数解析式解决实际问题七、板书设计实际问题与反比例函数应用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①仔细审题，确定变量和常量；(0)k V V ρ=>(3,2)A ρ==6k ∴=ρ∴V 6(0)V Vρ=>310m V =()360.6kg /m 10ρ==②适当方法，得到函数解析式；③根据已知，代入求出未知量；④结合所求，写出实际问题答案.。
数学人教版九年级下册26.2实际问题与反比例函数教学设计（推荐5篇）
数学人教版九年级下册26.2实际问题与反比例函数教学设计（推荐5篇）第一篇：数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计26.2 实际问题与反比例函数教学设计【设计理念】在很多人的印象中，数学除了繁琐的计算、抽象的符号就是让人头疼的几何证明。
实际上数学是一门具有丰富内容并且与现实世界联系非常密切的学科。
本节就体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想。
教师创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性。
让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分开发学生的潜能。
【教材分析】本节课选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册第十七章第二节“实际问题与反比例函数”的第一节。
在前面学习了反比例函数的概念及函数的图象和性质的基础上，使学生进一步体验反比例函数在现实世界中的无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题。
虽然教科书在本节安排了四个现实生活中的问题，但我们却采用了自编的关于教师上班的路程问题，因为这个问题是全校师生所熟悉的亲身经历的事件，这样能让学生真正体验到数学知识来源于实际生活又反过来服务实际生活这种数学建模思想。
同时又通过问题的内容加深学生与教师的情感，培养学生的感恩意识，更重要的是通过让学生举出一个生活中的反比例函数应用的事例培养学生的语言表达能力及与人合作的意识。
【学情分析】学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，因此学生已经有了一定的知识准备。
但由于所教学生都是农村学生，信息掌握程度不高，知识面较窄，语言表达能力较差，因此，本节课教师更换了例题，使学生从身边事物入手，真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感。
在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题。
【人教版】九年级数学下册：26.2第1课时实际问题中的反比例函数教案
26.2实质问题与反比率函数第 1 课时实质问题中的反比率函数1．经历剖析实质问题中变量之间的关系，成立反比率函数模型，从而解决问题；(要点)2．领会数学与现实生活的密切联系，加强应意图识，提高运用代数方法解决问题的能力． (难点 )一、情境导入小明和小华相约清晨一同骑自行车从 A 镇出发前去相距20km 的 B 镇游乐，在返回时，小明仍旧以本来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回 A 镇．假定两人经过的行程同样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？二、合作研究研究点：实质问题与反比率函数【种类一】反比率函数在行程问题中的应用王强家离工作单位的距离为3600 米，他每日骑自行车上班时的速度为v 米 /分，所需时间为t 分钟．(1)速度 v 与时间 t 之间犹如何的函数关系？(2)若王强到单位用15 分钟，那么他骑车的均匀速度是多少？(3)假如王强骑车的速度最快为300 米 /分，那他起码需要几分钟抵达单位？分析： (1) 依据速度、时间和行程的关系即可写出函数的关系式；(2)把 t＝ 15 代入函数的分析式，即可求得速度；(3)把 v＝ 300 代入函数分析式，即可求得时间．解： (1)速度 v 与时间 t 之间是反比率函数关系，由题意可得v＝3600 ；t3600(2)把 t＝ 15 代入函数分析式，得v＝15＝ 240.故他骑车的均匀速度是240 米 /分；(3)把 v＝ 300 代入函数分析式得3600＝ 300，解得 t＝ 12.故他起码需要12 分钟抵达单位．t方法总结：解决问题的要点要掌握行程、速度和时间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第5题【种类二】反比率函数在工程问题中的应用在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖沟渠的工程，所需天数y(天 )与每日达成的工程量x(m/ 天 )的函数关系图象以下图．(1)请依据题意，求y 与 x 之间的函数表达式；(2)若该工程队有 2 台发掘机，每台发掘机每日能够开挖沟渠15 米，问该工程队需用多少天才能达成此项任务？(3)假如为了防汛工作的紧迫需要，一定在一个月内(按 30 天计算 )达成任务，那么每日起码要达成多少米？分析： (1)将点 (24，50)代入反比率函数分析式，即可求得反比率函数的分析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可获取工作量，而后除以工作效率即可获取工作时间；(3)工作量除以工作时间即可获取工作效率．k解： (1)设 y＝x.∵点 (24，50)在其图象上，∴k＝24× 50＝1200，所求函数表达式为y＝1200x；(2)由图象可知共需开挖沟渠24× 50＝ 1200(m) ， 2 台发掘机需要工作1200 ÷(2× 15)＝40(天 )；(3)1200 ÷30＝ 40(m) ，故每日起码要达成40m.方法总结：解决问题的要点是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 4 题【种类三】利用反比率函数解决收益问题某商场销售一批进价为 2 元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元 )与销售量y(张) 之间有以下关系：x(元 )3456y(张 )20151210(1)猜想并确立y 与 x 的函数关系式；(2)当天销售单价为10 元时，贺卡的日销售量是多少张？(3)设此卡的收益为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不可以超出10 元，试求出当天销售单价为多少元时，每日获取的收益最大并求出最大收益．分析： (1) 要确立 y 与 x 之间的函数关系式，经过察看表中数据，能够发现x 与 y 的乘积是同样的，都是60，因此可知y 与 x 成反比率，用待定系数法求解即可；(2) 代入 x＝ 10 求得 y 的值即可； (3) 第一要知道纯收益＝(日销售单价x－ 2)×日销售数目y，这样就能够确立W 与 x 的函数关系式，而后依据销售单价最高不超出10 元，就能够求出获取最大日销售利润时的日销售单价x.k解： (1)从表中数据可知y 与 x 成反比率函数关系，设y＝x(k 为常数， k≠ 0)，把点 (3，6020)代入得 k＝60，∴ y＝x；60＝6，∴日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是 6 张；(2)当 x＝ 10 时， y＝10120，又∵ x≤ 10，∴当 x＝ 10 时， W 取最大值， W 120(3)∵ W＝ (x－ 2)y＝ 60－x最大＝ 60－10＝ 48(元 )．方法总结：此题观察了依据实质问题列反比率函数的关系式及求最大值，解答此类题目的要点是正确理解题意．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 6 题【种类四】反比率函数的综合应用以下图，制作某种食品的同时需将原资料加热，设该资料温度为y℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据认识，该资料在加热过程中温度y 与时间 x 成一次函数关系．已知该资料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使资料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，资料温度渐渐降落，这时温度y 与时间 x 成反比率函数关系．已知第12分钟时，资料温度是 14℃ .(1)分别求出该资料加热和停止加热过程中y 与 x 的函数关系式 (写出 x 的取值范围 )；(2)依据该食品制作要求，在资料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该资料进行特殊办理，那么对该资料进行特别办理的时间为多少分钟？分析： (1) 第一依据题意，资料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比率函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)168把 y＝12 代入 y＝ 4x＋4 得 x＝ 2，代入 y＝x得 x＝ 14，则对该资料进行特别办理所用的时间为 14－2＝ 12(分钟 )．解： (1)设加热停止后反比率函数表达式为y＝kx1，∵ y＝kx1过 (12，14)，得 k1＝ 12×14＝168168168，则 y＝x；当 y＝ 28 时， 28＝x，解得 x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝ k2x＋ b，由图象知b＝ 4，k2＝ 4，y ＝ k2x＋ b 过点 (0 ， 4) 与 (6 ， 28) ，∴解得∴ y＝6k2＋ b＝28，b＝ 4，4＋ 4x（ 0≤ x≤ 6），168（ x＞6）；x168，解得 x＝ 14，因此对该资料进行特别(2)当 y＝ 12时， y＝ 4x＋ 4，解得 x＝ 2.由 y＝x办理所用的时间为14－ 2＝ 12(分钟 )．方法总结：现实生活中存在大批成反比率函数关系的两个变量，解答此类问题的要点是第一确立两个变量之间的函数关系，而后利用待定系数法求出它们的关系式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 4 题三、板书设计1．反比率函数在行程问题中的应用；2．反比率函数在工程问题中的应用；3．利用反比率函数解决收益问题；4．反比率函数与一次函数的综合应用．本节课是用函数的看法办理实质问题，要点在于剖析实质情境，成立函数模型，并进一步明确数学识题．将实质问题置于已有的知识背景之中，用数学知识从头解说“这是什么”，使学生逐渐形成观察实质问题的能力．在解决问题时，应充足利用函数的图象，浸透数形联合的思想 .。
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解反比例函数在实际问题中的应用，通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例，引导学生认识反比例函数的实际意义，感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了反比例函数的基本知识，对反比例函数的定义、性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效结合，对反比例函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学本节内容时，要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生运用反比例函数解决实际问题。
三. 教学目标1.了解反比例函数在实际问题中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
2.能够运用反比例函数解决实际问题，提高学生的实际问题解决能力。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数在实际问题中的应用。
2.如何将实际问题转化为反比例函数问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学规律。
2.利用合作交流的方式，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力。
3.通过实例讲解，让学生感受反比例函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备与反比例函数实际问题相关的实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
3.准备学生分组讨论所需的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的内容，如“一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶1小时，行驶的路程是多少？”引导学生思考实际问题与反比例函数的关系。
2.呈现（10分钟）呈现几个与反比例函数实际问题相关的实例，如“一个长方形的面积是24cm²，长是8cm，求宽是多少？”让学生尝试解决这些问题，体会反比例函数在实际问题中的应用。
人教版九年级下册数学学案：26.2.2实际问题与反比例函数
课题：26.2.2实际问题与反比例函数(新授课)一．学习目标：1.会利用反比例函数解决有关速度的实际问题.2.培养分析问题和解决问题的能力，渗透应用意识.二．学习重点与难点：学习重点：利用反比例函数解决有关速度的实际问题。
学习难点：利用反比例函数解决有关速度的实际问题。
三．学习过程：【一】自主生疑：1、创设情境，引入新课；学生明确学习目标2、自学生疑、展示质疑（课前自学）（一）、知识回顾、自我小测：①、说出我们学过的几种有关速度的公式：②、填空：(1)一司机驾车从甲地去乙地，甲地与乙地相距480千米，汽车行驶速度v（单位：千米/小时）随着汽车从甲地到乙地所需时间t（单位：小时）的变化而变化，v是t的函数，这个函数的解析式是v= ；(2)一艘轮船上装有240吨货物，卸货速度v（单位：吨/天）随着卸完这些货物所需时间t（单位：天）的变化而变化，v是t的函数，这个函数的解析式是v= .【二】合作解疑：3、合作探疑：（课中讨论）（一）、活动一：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物? （二）、活动二：小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（3）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？（三）、活动三：学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天（1）则y与x之间的函数关系为（2）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？（四）、通过小组的讨论，本课的重难点解决了吗？还有什么疑问吗？写下来：4、展示辩疑：（1）、代表你的小组来展示、汇报你的收获吧!（2）、将你的疑惑提出来，大家帮你解决吧!【三】运用检疑： 5、反馈检疑：（智能闯关）（一）、某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ） （A ）x y 300=（x ＞0） （B ）x y 300=（x ≥0）（C ）y ＝300x （x ≥0） （D ）y ＝300x （x ＞0） （二）、京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为 （三）、一司机驾车从甲地去乙地，他以80千米/小时的速度用6小时到达目的地.(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与从乙地到甲地需用时间t 有怎么样的函数关系？(2)如果该司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？6、.拓展延伸：（擂台赛） （一）、某蓄水池的排水管每时排水8m 3，6小时（h ）可将满水池全部排空. （1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每时的排水量达到Q （m 3）,那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？ （3）写出t 与Ｑ之间的关系式（4）如果准备在５h 内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每时12m 3,那么最少多长时间可将满池水全部排空？（二）、水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8价格x (元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)之间都满足这一关系．(1) 写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2) 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？ (3) 在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？。
新人教版九年级下册初中数学 课时1 反比例函数在实际问题中的应用 教案(教学设计)
第二十六章反比例函数226.2实际问题与反比例函数课时1 反比例函数在实际问题中的应用【知识与技能】1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型.2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题.【过程与方法】1.通过探究生活中的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.【情感态度与价值观】1.通过将反比例函数的性质灵活应用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.3.让学生体会数学知识与现实世界的联系.从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.多媒体课件.导入一:【复习提问】1.我们学习了反比例函数的哪些内容?完成下列填空:(1)反比例函数的定义是.(2)反比例函数的图象是,当k>0时,；当k<0时,.(3)待定系数法求反比例函数解析式的步骤:.2.前面学习了一次函数、二次函数,类比前面的学习过程,我们将继续探究什么?基本方法有哪些?3.在实际问题中建立函数模型,求解函数解析式的关键是什么?【师生活动】学生独立回答,教师观察学生对本节课的学习内容及基本方法是否了解.导入二:【课件1展示】你吃过拉面吗?知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗?(1)将体积为20 cm3的面团做成拉面,面条的长度y与面条的粗细(横截面面积)S有怎样的函数关系?(2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗1 mm2,面条总长是多少?【师生活动】学生独立完成后,小组交流答案,学生展示结果,教师及时提醒学生注意单位换算,并对结果进行点评.导入三:【课件2展示】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深?(3)当施工队按(2)中的计划,掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m,相应地,储存室的底面积应该改为多少(结果保留小数点后两位)?[设计意图]通过复习反比例函数的概念、图象和性质及实际问题中找等量关系列函数解析式,为本节课的学习做铺垫.由学生熟悉的拉面问题及煤气储存室问题导入新课,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的学习兴趣和求知欲望.一、共同探究一[过渡语]许多现实生活中存在着反比例函数关系,导入三实际问题中有怎样的反比例关系?让我们一起探讨吧!思路一教师提出下列问题,学生思考回答,逐步解决.(1)圆柱的体积公式是什么?(2)问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是变量?(3)常量和变量之间存在着什么等量关系?(4)当圆柱体的体积不变时,底面积和高有怎样的函数关系?(5)已知函数S的值,怎样求自变量d的值?(6)已知自变量d的值,如何求函数S的值?【师生活动】先让学生认真审题,独立思考,再通过设置的小问题,教师引导学生逐步思考,最后建立函数模型解决问题,学生完成解题过程,教师展示课件,纠正学生解题过程中的错误.(详细解题过程见思路二)思路二【师生活动】学生认真审题,独立思考,类比前边学过的一次函数、二次函数解决实际问题的方法,完成该题的解答,然后小组合作交流,讨论疑惑及解题思路和方法,教师巡视中解决学生的质疑,并帮助有困难的学生解决该题,最后小组代表板书解题方法.解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104,∴S关于d的函数解析式为S=.(2)把S=500代入S=,得500=,解得d=20,∴把储存室的底面积定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进20 m深.(3)根据题意,把d=15代入S=,得S=,解得S≈666.67(m2),∴当储存室的深度改为15 m时,底面积应约改为666.67 m2.【追问】(1)在实际问题中求函数解析式的关键是什么?(2)已知自变量的值求函数值,已知函数值求自变量的值的基本思想是什么?(代入函数解析式,用方程思想求解)[设计意图]通过教师引导,学生动手操作,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的联系.解决实际问题首先建立函数模型,然后利用函数意义或性质解决问题,培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力.二、共同探究二【课件3展示】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?教师引导学生思考下列问题.(1)题中的等量关系是什么?货物的总量=×.平均卸货速度=÷.(2)如果要求货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?(3)如果要求货物卸载的天数不超过5天的含义是什么?(4)自变量t越小,对应的函数值v怎样变化?你有几种解决这个问题的方法? 【师生活动】教师提出问题,学生自主探究后,小组合作交流,共同完成该题的解题过程,教师引导学生写出函数解析式,提示学生用函数图象、函数解析式、方程等多种方法解决问题.解:(1)设轮船上的货物总质量为k吨,则根据已知条件有k=30×8=240,所以v与t的函数解析式为v=.解法1:(2)把t=5代入v=,得v==48.若全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载48吨.对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.解法2:(2)由v=,得t=. 因为t≤5,所以≤5,又v>0,所以240≤5v,解得v≥48.解法3:(2)画出函数v=(t>0)的图象,当t=5时,v=48.根据反比例函数图象的性质,在第一象限内,v随t的增大而减小,所以当0<t≤5时,v≥48.[设计意图]通过探究实际运输中存在着的反比例函数关系,进一步培养学生建立反比例函数模型的能力,鼓励学生从函数图象、不等式、方程等多角度思考问题,进而把函数、方程、不等式联系起来,培养学生从不同角度看问题,体会数学知识之间的联系,提高用不同方法解决问题的能力.三、共同归纳用反比例函数解决实际问题,认真分析题意,通过等量关系,建立反比例函数模型,写出函数解析式,由函数图象和性质解决实际问题.[知识拓展](1)在利用反比例函数解决实际问题时,要根据题目的实际意义找到基本的函数关系,再根据需要进行变形或计算.(2)本节知识用到了转化思想和数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.(3)数形结合思想在本节中得到了广泛的应用.1.从实际问题中获取信息,转化为数学问题,建立反比例函数模型,利用反比例函数知识解决问题.2.在解决实际问题中,根据题意写出函数解析式是解题的关键.3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.第1课时1.共同探究一2.共同探究二3.共同归纳一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.下列各问题,两个变量之间的关系不是反比例关系的是()A.小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系B.菱形的面积为48 cm2时,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系C.一个玻璃容器的容积为30 L时,所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系2.为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是()3.某厂现有300吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数解析式为()A.y=(x>0)B.y=(x≥0)C.y=300x(x>0)D.y=300x(x≥0)4.已知矩形的面积为36 cm2,相邻的两条边长为x cm和y cm,则y与x之间的函数图象大致是()5.长方体的体积为103 m3,底面积为S,高度为d,则S与d之间的函数关系式为；当S=500时,d=.6.某一蓄水池的排水速度v(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象是一支双曲线,图象过点(4,12),则此函数的解析式为.7.现有一批赈灾物资从A市运往B市,如果两市之间的路程为500 km,车的速度是x km/h,从A市运往B市所用的时间是y h,那么y与x之间的函数解析式是,且y是x的.8.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式.(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?【能力提升】9.一个容积为180升的太阳能热水器,工作时间是y分钟,每分钟的排水量为x 升,则y与x之间的函数解析式为,若热水器持续工作最长时间为1小时,则自变量x的取值范围是.10.一块长方体大理石板的A,B,C三个面上的边长如图所示(单位:米),如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕,则把大理石板B面向下放在地上,地面所受压强是m帕.11.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:个)之间有如下关系:日销售单价x/元 3 4 5 6日销售量y/个20 15 12 10(1)根据表中数据试确定y与x之间的函数关系式,并画出图象；(2)设经营此贺卡的销售利润为W元,求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润.【拓展探究】12.“保护生态环境,建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂2018年1月的利润为200万元.设2018年1月为第1个月,第x个月的利润为y 万元.由于排污超标,该厂决定从2018年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降, 从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式.(不用写出自变量取值范围)(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2018年1月的水平?(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,则该厂资金紧张期共有几个月?13.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x(时)之间的函数关系如图(当4≤x≤10时,y与x成反比).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?【答案与解析】1.C解析:根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式,解析式符合y=(k ≠0)的形式即为反比例函数.函数关系式为t=,是反比例函数,A正确；函数关系式为xy=48,y=,是反比例函数,故B正确；函数关系式为m=30ρ,是正比例函数,C错误；函数关系式为p=,是反比例函数,D正确.故选C.2.C解析:由题意可得S=,且h>0,所以S关于h的函数图象是在第一象限内的反比例函数图象.故选C.3.A解析:根据题意得xy=300,所以y=,且x>0.故选A.4.A解析:根据题意,得xy=36,即y=(x>0),是一个反比例函数.故选A.5.S=2解析:因为体积V=Sd,所以S==,把S=500代入函数解析式得d=2.故填S=,2.6.v=(t>0)解析:设函数解析式为v=,把(4,12)代入函数解析式得k=4×12=48,所以所求的函数解析式为v=.故填v=(t>0).7.y=(x>0)反比例函数解析:根据路程=速度×时间,得xy=500,所以y=(x>0),y是x的反比例函数.8.解:(1)由题意得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式,解得k=sa=70,∴函数关系式为s=.(2)将a=0.08代入s=得s===875,故该轿车可以行驶875千米.9.y=x≥3解析:工作时间y(分)×每分钟的排水量x(升)=总容量,所以可得出y与x的解析式为y=,热水器可连续工作的最长时间为1小时,即0<y≤60,∴x≥3.10.3解析:设大理石板的重力为F.由图可知A面的面积=3×6=18(平方米),则F=p·S=18m,因为B面的面积=1×6=6(平方米),所以此时的压强p===3m.故填3.11.解:(1)y=(x>0),图象略. (2)W=(x-2)y=-+60,因为0<x≤10,所以当x=10时,获得最大日销售利润48 元.12.解:(1)设反比例函数为y= , 则=200, 解得k=200, ∴反比例函数的解析式为y=.当x=5时,y=40.设改造工程完工后函数解析式为y=20x+b, 则20×5+b=40,解得b=-60, ∴改造工程完工后函数解析式为y=20x-60.(2)当y=200时,20x-60=200, 解得x=13.13-5=8,∴经过8个月,该厂利润才能达到200万元.(3)当y=100时,=100,解得x=2, 20x-60=100,解得x=8, ∴资金紧张期共有8-2-1=5(个)月.13.解:(1)由图象可知,当0≤x≤4时,y与x成正比例关系,设y=kx(k≠0).由图象可知,当x=4时,y=8,∴4k=8,解得k=2,∴y=2x(0≤x≤4).又由题意可知,当4≤x≤10时,y与x成反比例关系,设y=(m≠0).由图象可知,当x=4时,y=8,∴m=4×8=32.∴y=(4≤x≤10).即血液中药物浓度上升时y=2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降时,y=(4≤x≤10).(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4, ∴2x≥4且≥4,解得x≥2且x≤8,∴2≤x≤8,即持续时间为6小时.本节课是用反比例函数性质解决实际问题,课堂上学生可以体会到数学应用于生活中多个领域,教学过程中,教师不把现成的结论和方法直接告诉学生,而是设计了一系列问题,通过学生合作交流解决问题,激发学生的探索精神和求知欲望,同时营造一种宽松、和谐、积极民主的学习氛围,使每位学生都成为问题的探索者、研究中的发现者,教师不仅仅充当知识传授者的角色,更重要的是培养学生的自学能力和学习习惯,教会他们怎样学习,怎样思考,从而使教学工作收到事半功倍的效果.本节课的重点是建立函数模型,应用反比例函数求实际问题中的最值,进一步培养数学应用意识,在课堂上虽然有意识让学生主动探索、讨论,寻求问题解决的途径,但是在实施过程中,教师对问题的解决还是急于求成,尤其是学生探索过程中出现困难时,教师急于引导解决,在以后的课堂上,应注意给学生更为广阔的思维空间.。
新人教版九年级下册数学全册教案：26.2实际问题与反比例函数
26.2实际问题与反比例函数（1）
【学习目标】
1.经历在具体问题中探索反比例函数应用的过程，体会反比例函数作
为一种数学模型的意义。
2.能利用反比例函数求具体问题中的值。
3.进一步培养学生合作交流意识。
【重点难点】
重点：运用反比例函数解决实际问题
难点：把实际问题转化为反比例函数
【学法指导】
自主、合作、探究
教学互动设计方法导引【自主学习，基础过关】
一、复习巩固
列函数关系式表示下列数量关系
1、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往
北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3、某住宅小区要种植一个面积为1000的矩形草坪，草坪的长y 随宽x的变化而变化；_______________________
4、已知北京市的总面积为168平方千米，人均占有的土地面积
s随全市总人口n的变化而变化；______________________ 复习巩固，并自主探究用反比例函数解决有关实际问题。
九年级数学下册第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数教案(新版)新人教版
26.2 实际问题与反比例函数【教学目标】知识技能目标:1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型.2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题.过程性目标:1.通过探究生活中的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.情感态度目标:1.通过将反比例函数性质灵活应用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.3.让学生体会数学知识与现实世界的联系.【重点难点】重点:从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.难点:根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.【教学过程】一、创设情境问题1:(1)反比例函数的定义是________________.(2)反比例函数的图象是__________,当k>0时,__________;当k<0时,________________.(3)待定系数法求反比例函数解析式的步骤:________________.问题2:公元前3世纪,有一位科学家说了这样一句名言:“给我一个支点,我可以撬动地球!”你们知道这位科学家是谁吗?这里蕴含什么样的原理呢?杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂问题3:电学知识告诉我们,用电器的功率P(单位:W)、两端的电压U(单位:V)以及用电器的电阻R(单位:Ω)有如下关系:PR=U2.这个关系也可写为P=,或R=.二、探索归纳例1:市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深?(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104,所以S关于d的函数解析式为S=.(2)把S=500代入S=,得500=,解得d=20(m).答:如果把储存室的底面积定为500 m2,施工时应向地下掘进20 m深.(3)根据题意,把d=15代入S=,得S=,解得S≈666.67(m2).答:当储存室的深度为15 m时,底面积应改为666.67 m2.例2:码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?解:(1)设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件得k=30×8=240,所以v关于t的函数解析式为v=.(2)把t=5代入v=,得v==48(吨/天).∴如果全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载48吨.∵对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大.∴若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.例3:小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?解:(1)根据“杠杆原理”,得F l=1 200×0.5,所以F关于l的函数解析式为F=.当l=1.5 m时,F==400(N).对于函数F=,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡.因此,撬动石头至少需要400 N的力.(2)当F=400×=200时,由200=得l==3(m),3-1.5=1.5(m).对于函数F=,当l>0时,l越大,F越小.因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.例4:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220 Ω.已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?(2)这个用电器功率的范围是多少?解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=.(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.把电阻R最小值=110代入P=,得P最大值==440(W);把电阻R最大值=220代入P=,得P最小值==220(W);因此用电器功率的范围为220～440 W.追问:想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节.三、新知应用1.如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L(1 L=1 dm3)的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S(单位:dm2)与漏斗的深度d有怎样的函数关系?(2)如果漏斗口的面积为100 cm2,则漏斗的深为多少?答案:(1)S=(2)30 cm2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.(1)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系?(2)如果该司机必须在4 h之内回到甲地,那么返程时的平均速度不能小于多少?答案:(1)v=(2)120 km/h3.新建成的住宅楼主体工程已经竣工,只剩下楼体外表面需要贴瓷砖,已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S(单位:m2)有怎样的函数关系?(2)为了使住宅楼的外观更漂亮,建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖,每块瓷砖的面积都是80 cm2,且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2∶2∶1,需要三种瓷砖各多少块?答案:(1)n=(2)250 000块,250 000块,125 000块四、检测反馈1.已知甲、乙两地相距s(单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是( )答案:C2.在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示.(1)写出I与R之间的函数解析式.(2)结合图象回答当电路中的电流不超过12 A时,电路中电阻R的取值范围是多少Ω?答案:(1)I=(2)电阻R大于或等于3 Ω3.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)也会随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示.(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式.(2)求V=9 m3时,二氧化碳的密度ρ.答案:(1)ρ=(2)1.1 kg/m3五、课堂小结1.知识小结:面积一定时,矩形的长与宽成反比;面积一定时,三角形的一边长与这边的高成反比;体积一定时,柱体的底面积与高成反比等.建立反比例函数模型解决实际问题时,要注意自变量的取值范围.2.思想方法小结──深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.六、板书设计课题:26.2 实际问题与反比例函数例1 例3实际问题数学模型例2 例4(反比例函数)。
九年级数学下册 26.2 实际问题与反比例函数教案1 (新版)新人教版
26.2实际问题与反比例函数
运用反比例函数的概念和性质解决实际问题。
在运用反比例函数解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思
学应用意识，在“实际问题—建立模型—拓展应用”的高学生学习数学的兴趣，同时也培养了学生合作交流的意识。
学生思考、回顾正比例函数、一次函数及二次函数的研究过二．探究新知
市煤气公司要在地下修建一个容积为
（单位：的函数关系？
）中的计划掘进到地
）这个问题可以转化为数学问题吗？需要用到哪些知识？
②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；
要求船上的货物不超过少要卸载多少吨。
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数(1)》教学案
1．一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm．
（1）写出用高表示长的函数式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当x＝3cm时，求y的值
2．一场暴雨过后，一洼地存雨水20m3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a m3/min，且排水时间为5～10min
〔1〕试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；
〔2〕当排水量为3m3/min时，排水的时间需要多长？
〔3〕：当排水时间4.5分钟时，每分钟排水量多少？
3.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，方案用t天完成．
〔1〕写出每天生产夏凉小衫w〔件〕与生产时间t〔天〕〔t＞4〕之间的函数关系式;
一、复习稳固
列函数关系式表示以下数量关系
1、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，那么汽车行完全程所需时间t〔h〕与行驶的平均速度v〔km/h〕之间的函数关系式为
2、完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y〔元〕与人数x〔人〕之间的函数关系式
3、某住宅小区要种植一个面积为1000的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；_______________________
三、自主学习，归纳总结
对例1进展小结：
四、课堂练习，稳固新知
1、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v〔米/分〕，所需时间为t〔分〕
〔1〕那么速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
〔2〕假设小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
〔3〕如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？
〔2〕由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整方案，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？
人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》教学设计3
人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》教学设计3一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了反比例函数的应用。
通过本节课的学习，学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，对函数有一定的认识。
但反比例函数的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要运用生动形象的教学手段，帮助学生直观地理解反比例函数的概念和性质。
同时，学生需要通过大量的练习，提高运用反比例函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.能够运用反比例函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.运用反比例函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生的兴趣，引导学生主动探究反比例函数的知识。
2.例题教学法：通过典型例题，讲解反比例函数的解题思路和方法。
3.练习法：通过大量练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4.小组合作学习：引导学生相互讨论、交流，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的课件，包括图片、动画、例题等。
2.练习题：准备一定数量的反比例函数练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
3.教学道具：准备一些实际物品，如剪刀、绳子等，用于演示反比例函数的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如商场打折、广告费用与观看人数的关系等，引导学生思考实际问题与反比例函数的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解反比例函数的定义和性质，引导学生通过观察、分析、归纳，理解反比例函数的概念。
2020年春人教版九年级数学下册学案26.2 第1课时 实际问题中的反比例函数
4、反比例函数的图象是_________，当 k＞0 时，_____________ __________
当 k＜0 时，____________
5、三角形中，当面积 S 一定时，高 h 与相应的底边长 a 关系
。
习
6、矩形中，当面积 S 一定时，长 a 与宽 b 关系
。
7、长方体中当体积 V 一定时，高 h 与底面积 S 的关系
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程
一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。
2、京沈高速公路全长 658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京， 则汽车行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函 数关系式为
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三、达标训练
2、有一面积为 60 的梯形，其上底长是下底长的 1 ，若下底长为 x，高为 y，则 y 与 x 的 3
学习重点 运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。
学习难点 分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。
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一、交流预习 1、反比例函数解析式的一般形式。
2、反比例函数的图象和性质
学
3、写出反比例函数的定义：______________________________________
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式； （3）若要 6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（2）如果每小时排水量是 5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排 人完成这项任务，试写出人均 报酬 y（元）与人数 x（人）之间的函数关系式
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26.2 实际问题与反比例函数 第 1 课时 实际问题中的反比例函数
人教版九年级数学下册教案：第26章反比例函数26.2 实际问题与反比例函数
课题26.2 实际问题与反比例函数授课人教学目标知识技能1.能灵活运用反比例函数解析式解决一些实际问题；2.能综合利用几何图形、方程、反比例函数的知识解决实际问题．数学思考体会数学与现实生活的紧密联系 ,增强应用意识 ,提高运用代数方法解决问题的能力．问题解决分析实际问题中变量之间的关系 ,建立反比例函数模型 ,进而解决问题．情感态度体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段 ,认识到数学是解决问题和进行交流的工具．教学重点能够在实际问题中构建反比例函数模型．教学难点在实际问题中寻找变量之间的关系 ,注意分析过程 ,渗透数形结合思想．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回忆教师提出问题：1.我们已经学习了反比例函数的哪些内容？2.前面已经学习了一次函数、二次函数 ,类比前面的学习过程 ,我们将继续探究什么内容呢？根本方法有哪些呢？教师引导学生进行解答 ,学生回忆所学 ,教师做好补充和辅导.进一步熟悉学习函数的根本过程和方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】某科技小组进行野外考察 ,途中遇到一片十几米的烂泥湿地．为了平安、迅速地通过这片湿地 ,他们沿着前进的路线铺垫了假设干块木板 ,构筑成一条临时通道 ,从而顺利完成了任务．你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？压强问题能利用反比例函数知识解决吗？图26－2－9首先建立反比例函数模型 ,然后应用反比例函数的概念、性质进行解决 ,初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力.(。
人教版九年级数学下册教案：26.2 实际问题与反比例函数
26．2实际问题与反比例函数教学目标知识技能1．能根据实际问题确定变量之间的反比例关系，并求出反比例函数解析式．2．能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题．3．能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数的知识以及物理等跨学科知识解决相关的实际问题．数学思考与问题解决1．经历观察、分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进一步体会数学建模思想．2．体会数学与现实生活(包括物理世界)的紧密联系，能从现实情境中提出问题，增强学生应用数学解决实际问题的意识．3．经历“实际问题—建立模型—求解模型—拓展应用”的过程，增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．情感态度1．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．2．体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣．重点难点重点：从实际问题中构建反比例函数模型，运用反比例函数的意义和性质解决实际问题．难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，建立函数模型．教学设计一、复习引入1．反比例函数y＝12x的图象形状、位置、增减性是怎样的？当x＝3时，y＝________；当y＝3时，x＝________.2．结合一个反比例函数实例，说说反比例函数两个变量之间的关系．设计意图：进一步熟悉反比例函数的图象和性质，理解反比例函数两个变量之间的依存关系，为例题学习做好准备．二、例题评析师：生活中存在着大量的反比例函数的现实问题．这节课我们学习“实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．例1(教材第12页例1)教师重点关注：(1)能否从实际问题中抽象出反比例函数模型；(2)能否利用函数模型解释实际问题中的现象；(3)能否积极主动阐述自己的见解．例2(教材第13页例2)分析：(1)根据“货物的总量＝平均卸货速度×卸货时间”，可以求出货物总量k ；再根据“平均卸货速度＝货物的总量÷卸货时间”，求出v 和t 之间的函数解析式为v ＝240t. (2)根据关键词“不超过”“至少”，可用多种方法解答．方法1：由v ＝240t 得t ＝240v ，因为t ≤5，所以240v≤5，又因为v>0，所以240≤5v ，解得v ≥48. 方法2：画出函数v ＝240t (t>0)的图象，如图，当t ＝5时，v ＝48.根据反比例函数的性质，在第一象限内，v 随t 的增大而减小，所以当0<t ≤5时，v ≥48.方法3：把t ＝5代入v ＝240t ，得v ＝2405＝48.若全部货物恰好5天卸完，则平均每天要卸货48吨．因此，若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．设计意图：鼓励学生从不等式、函数图象、方程等多个角度思考问题，渗透数形结合思想，进一步理解不等式、函数、方程之间的联系．教师重点关注学生能否自己建构函数模型，能否把关键词“不超过”“至少”正确转化为“符号”，进而将函数、方程、不等式的知识联系起来，学会多策略解决问题．例3(教材第15页例4)提问1：电学知识告诉我们，用电器的功率P(单位：W)、电阻R(单位：Ω)、两端的电压U(单位：V)有如下关系：PR＝________，也可写为P＝________，或R＝________.提问2：结合例3，想一想为什么收音机的音量、台灯的亮度、风扇的转速可以调节？音量、亮度、转速随________的减小而增大，随________的增大而减小．提问3：“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言？蕴涵着什么样的原理？提问4：你能利用“杠杆原理”解决问题吗？出示例4(课件展示教材第14页例3)．提问5：用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？设计意图：通过物理学科中已学过的电学公式，建立公式与反比例函数的联系，解决生活中熟悉的有关问题，进而解释音量、亮度、转速大小变化的原因．由于八年级物理已经学习了“杠杆原理”，且原理本身学生容易掌握，所求问题与例2类似，因此把教材例3置于例4之后，并做“提问3、4”处理，避免例题的重复，同时让学生进一步领会反比例函数在物理学中的综合应用，感受用数学的视角解释生活中的物理现象，体现跨学科知识的魅力．三、课堂练习1．教材第15页练习．2．你还能举出生活中可以用反比例关系解释的例子吗？四、反思小结这节课你有什么收获？用反比例函数解决实际问题一般有哪些程序？用反比例函数解决实际问题的一般程序：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用反比例函数等知识，建立数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和数学方法求解得出的结论，还原为实际问题的结果．五、布置作业1．必做题：教材第16至17页第5，6，7题．2．选做题：教材第17页第8，9题．板书设计例1 解：……例2 解：(1)……(2)方法1：……方法2：……方法3：……例3 公式：PR ＝U 2，P ＝U 2R ，R ＝U 2P 例4 阻力×阻力臂＝动力×动力臂小结：用反比例函数解决实际问题的一般程序。
(名师整理)数学九年级下册第26章《26.2实际问题与反比例函数》优秀教案
26．2实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数(一)1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题．2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题．分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．一、创设情景明确目标你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？(1)体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y与面条粗细(横截面积)s 有怎样的函数关系？(答案：y＝)(2)某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，面条总长是多少？(答案：2000cm)学完本节课的知识，你就会解答这样的问题了．二、自主学习指向目标1．自主学习教材第12至13页．2．学习至此，请完成学生用书相应部分．三、合作探究达成目标探究点(一) 用反比例函数解决面积、体积、容积类问题活动一：阅读教材P12页例1.思考：圆柱体的体积公式是什么？第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？展示点评：(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式．(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，(3)问则是与(2)相反．小组讨论1：如何判断两个变量间的关系？反思小结：要判断两个变量间的关系，首先要正确写出它们之间的函数关系式，例如y＝(k≠0)的函数即为反比例函数．【针对训练】1．我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a＝(s为常数，s≠0)．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：____________________________________________________________________ ____；函数关系式：____________________________________________________________________ ____.解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例1，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写出y＝(s为常数，s≠0)．实例2，甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y(小时)是汽车平均速度x(千米/小时)的反比例函数，其函数关系式可以写出y＝.2．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出y与s的函数关系式；(2)求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？解：(1)依题意，结合图象，不妨设反比例函数的解析式为y＝(k≠0，s≥0)，由于图象经过点(4，32)，则有32＝，所以k＝128，即y与s的函数关系式为y ＝(s≥0)，(2)当面条粗s＝1.6mm2时，面条的总长度是y＝80m.探究点(二) 用反比例函数解决工程问题活动二：阅读教材P13页例2.思考：题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第(2)问吗？请看教材是如何解决这个问题的，说说看．展示点评：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．(2)问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少．小组讨论2：涉及反比例函数增减性的实际问题求解时，需考虑自变量的取值范围，那么这个范围如何确定？你有什么认识？反思小结：在应用反比例函数解决问题时，自变量的取值范围一般有两方面限制，一是关系式本身的限制，二是实际问题具体要求．【针对训练】3．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式__y＝__．4．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期(按150天计算)刚好用完．若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天(1)则y与x之间有怎样的函数关系？(2)画出函数图象；(3)若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？解：(1)煤的总量为：0.6×150＝90吨，∵x·y＝90，∴y＝.(2)函数的图象为：(3)∵每天节约0.1吨煤，∴每天的用煤量为0.6－0.1＝0.5吨，∴y＝＝＝180天，∴这批煤能维持180天．四、总结梳理内化目标1．知识小结：面积一定时，矩形的长与宽成反比；面积一定时，三角形的一边长与这边的高成反比；体积一定时，圆柱体的底面积与高成反比等．建立反比例函数模型解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．2．思想方法小结——深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．五、达标检测反思目标1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为( A )A．v＝B．v＋t＝480C．v＝ D．v＝2．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是__v＝__．(2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于__240千米/时__．3．在▱ABCD中，AB＝4cm，BC＝1cm，E是CD边上一动点，AE、BC的延长线交于点F，设DE＝x(cm)，BF＝y(cm)．则y与x之间的函数关系式为__y＝__，并写出自变量x的取值范围为__0＜x＜4__．4．设△ABC中BC边的长为x(cm)，BC上的高AD为y(cm)．已知y关于x的函数图象过点(3，4)．(1)求y关于x的函数解析式和△ABC的面积．(2)画出函数的图象，并利用图象，求当2＜x＜8时y的取值范围．解：(1)由题意，S△ABC＝xy，把点(3，4)代入，得S△ABC＝xy＝×3×4＝6，∴y关于x的函数解析式是y＝，△ABC的面积是6厘米2；(2)如图所示：当x＝2时，y＝6；当x＝8时，y＝1.5，由函数y＝图象的性质得，在第一象限y随x的增大而减小，∴当2＜x＜8时，y的取值范围是1.5＜y＜6.5．某项工程需要沙石料2×106立方米，某建筑公司承担了该工程运送沙石料的任务．(1)在这项任务中平均每天的工作量v(立方米/天)与完成任务所需要的时间t(天)之间具有怎样的函数关系写出这个函数关系式．(2)该建筑公司计划投入A型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104立方米，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆．在保持每辆车每天工作量不变的前提下，问：是否能提前28天完成任务？解：(1)成反比例函数关系v＝；(2)把V＝2×104带入函数式得：t＝100天，每辆车每天能运送石料100(立方米)，(2×106－2×104×25)÷[(200＋120)×100]＝46.875(天)，因为100－25－46.875＝28.125＞28，所以能提前28天完成任务．作业布置：1．上交作业教科书习题26.2第2，3题．2．课后作业见学生用书．教学反思：本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．第2课时实际问题与反比例函数(二)1．体验现实生活与反比例函数的关系，通过解决“杠杆定律”实际问题与反比例函数关系的探究．2．掌握反比例函数在其他学科中的运用，让学生体验学科的整合思想．运用反比例函数的知识解决实际问题．如何把实际问题转化成数学问题，利用反比例函数的知识解决实际问题．一、创设情景明确目标给我一个支点，我可以撬动地球！——阿基米德1．你认为可能吗？2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？引出杠杆定律，介绍“杠杆定律”的背景及其原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，激发学生学习的兴趣．二、自主学习指向目标1．自主学习教材第13至15页．2．学习至此，请完成学生用书相应部分．三、合作探究达成目标探究点(一) 反比例函数在力学中的应用活动一：阅读教材P14页例3.思考：什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？在第(2)问中，根据(1)的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？展示点评：本题结合物理知识考查了反比例函数的应用，注意物理学知识：动力×动力臂＝阻力×阻力臂．【针对训练】1．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛和0.5米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系式是__F＝__．2．小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至少需要的力为__500__牛顿．探究点(二) 反比例函数与电学的结合活动二：阅读教材P15页例4.思考：根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？展示点评：电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率(瓦)，U指用电器两端的电压(伏)，R指用电器的电阻(欧姆)．小组讨论：应用反比例函数解决实际问题体现了什么数学思想？一般步骤是怎样的？反思小结：应用反比例函数解决实际问题体现了建模的数学思想，解决这类问题，一般是根据实际情景所以映的数另一关系列出反比例函数关系式，再化值计算求解．【针对训练】3．在公式I＝中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为( D )A B C D4．在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．解：(1)设I＝.∵当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培，∴U＝10伏．∴I与R之间的函数关系式为I＝.(2)当I＝0.5安培时，0.5＝，解得R＝20(欧姆)．四、总结梳理内化目标1．知识小结：“杠杆定律”：动力×动力臂＝阻力×阻力臂；PR＝U2，P指用电器的输出功率(瓦)，U指用电器两端的电压(伏)，R指用电器的电阻(欧姆)．2．思想方法小结——建模—反比例函数的数学思想方法．五、达标检测反思目标1．用一根杠杆撬一块重力为10000N的大石头，如果动力臂为160cm，阻力臂为20cm，则至少要用__1250N__的力才能把石头撬动．2．(中考·扬州)在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V＝200时，p＝50，则当p＝25时，V＝__400__．3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是( D ) A．5kg/m3B．2kg/m3C．100kg/m3D．1kg/m3第3题图第4题图第5题图4．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应( A )A．不小于4.8Ω B．不大于4.8ΩC．不小于14Ω D．不大于14Ω5．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)当R＝10Ω时，电流能是4A吗？为什么？解：(1)电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，设I＝(k≠0)，把(4，9)代入得：k＝4×9＝36，∴I＝.(2)方法一：当R＝10Ω时，I＝3.6≠4，∴电流不可能是4A.方法二：∵10×4＝40≠36，∴当R＝10Ω时，电流不可能是4A.作业布置：1．上交作业教科书习题26.2第5，6题．2．课后作业见学生用书．教学反思：本节课是利用数学知识解决物理问题，反映了数学作为一门基础学科的作用，学生能充分体验到不同学科之间的整合，也增加了学习数学的兴趣。
人教版九年级下册数学学案：26.2实际问题与反比例函数(1)
学校数学学科师生共用讲学稿科目： 数学 年级：九 主备人：授课时间：12.23 课题：§26.2实际问题与反比例函数(1)课型：新授课 课时数：4 学习目标1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．3．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．学习重点 掌握从实际问题中构建反比例函数模型．学习难点 从实际问题中寻找变量之间的关系建立函数模型，渗透数形结合的思想．学 习 过 程备 注一、 自主学习 感受新知（一）回顾知识点： 1.反比例函数的一般形式:2.反比例函数的图象:3.反比例函数的图象与性质 当k>0时，两支曲线分别在 ，在每一象限内，y 的值随x 的增大而 当k<0时，两支曲线分别在 ，在每一象限内，y 的值随x 的增大而（二）课前训练：1、当K ＞0,x ＜0时，反比例函数的图象在 （ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限2、下列函数中，是反比例函数的为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ） 3、请写一个图像位于第二、四象限内的反比例函数的表达式： ；4、如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数y =x k 的图象上，另三点在坐标轴上，则k= .22x y =x y 51=x y =2【探究一】某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．(1)请你解释他们这样做的道理．(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么①用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么?②当木板面积为0.2 m2时，压强是多少?③如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大?④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流．【探究二】如图所示，正比例函数y=k1x 的图象与反比例函数y=xk2的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2 3）。
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1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成
一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。
2、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
5、如图，面积为2的ΔABC，一边长为 ，这边上的高为 ，则 与 的变化规律用函数图象表示大致是（）
6、如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（2）如果每小时排水量是5 000m3获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
学习难点
分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。
学
习
过
程
一、交流预习
1、反比例函数解析式的一般形式。
2、反比例函数的图象和性质
3、写出反比例函数的定义：______________________________________
4、反比例函数的图象是_________，当k＞0时，_____________ __________
三、达标训练
2、有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的 ，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是．
3、近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
4、已知某矩形的面积为20cm2（1）写出其长y与宽x之间的函数表达式。(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少?
26.2实际问题与反比例函数
第1课时实际问题中的反比例函数
班级
九年级
科目
数学
编写人
第1课时
共2课时
课题
实际问题与反比例函数
课型
新授课
审核人
学习目标
1、我能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题
2、我能写出实际问题中的反比例函数关系式，并能结合图象加深对问题的理解．
学习重点
运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。
当k＜0时，____________
5、三角形中，当面积S一定时，高h与相应的底边长a关系。
6、矩形中，当面积S一定时，长a与宽b关系。
7、长方体中当体积V一定时，高h与底面积S的关系。
8、一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______