全国2006年10月高等教育自学考试高等数学(工本)试题答案
06年专升本高数真题答案
共 7 页，第 1 页2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：B【解析】：.B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤1121102.答案：A【解析】： .01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒3. 答案：C【解析】： .1sin lim20-=-→xxx x C ⇒4.答案：B 【解析】：.B nnn n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim 5.答案：B【解析】：.B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 202006. 答案：C 【解析】：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim00--+-+=--+→→ C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim2007. 答案：A【解析】： .A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,24220008.答案：D【解析】： .D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 2229.答案：B 【解析】：.B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2( 10.答案：A【解析】：.A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(233211.答案：C【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等.C ⇒12.答案：C 【解析】：.C e y e y x x⇒>=''<-='--0,013.答案：D 【解析】：.D C e F e d e f dx e f e x x x x x⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(14.答案：B共 7 页，第 2 页【解析】：.B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(15.答案：B【解析】：是常数，所以.⎰ba xdx arcsin B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin 16.答案：C 【解析】：.C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π17.答案：D【解析】：由定积分的几何意义可得D 的面积为.⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒18.答案：B【解析】：.B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{19.答案：B【解析】： .B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(20.答案：A【解析】：令xy e F yz F xyz ez y x F z z x z-='-='⇒-=222,),,(.A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(22221.答案：A【解析】：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= .A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==221122.答案：A【解析】：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x zy x y x y z x y x z 是极大值.⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z A ⇒23.答案：A【解析】：有二重积分的几何意义知：区域D 的面积为.=⎰⎰Ddxdy πA ⇒24.答案：B【解析】：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=.B ⇒25.答案：D【解析】：在极坐标下积分区域可表示为：，在直角坐标系下边界方程为}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，积分区域为右半圆域y y x 222=+D⇒26.答案：D【解析】：： 从1变到0，.L ,1⎩⎨⎧-==x y xx x ⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L 27.答案：C共 7 页，第 3 页【解析】：收敛.⇒<22sin n n ππ∑∞=π12sinn n C ⇒28. 答案：A 【解析】：在收敛，则在绝对收敛，即级数绝对收敛.∑∞=0n nnx a2-=x 1-=x ∑∞=-0)1(n n n a A ⇒29. 答案：C【解析】：dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ .C C y x C x y xxd y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin 30.答案：C【解析】：-1不是微分方程的特征根，为一次多项式，可设 .x xe b ax y -+=*)(C ⇒二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：1【解析】：.1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x 32.答案：123【解析】：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim2222x x x x x x x x x x x x .123341==33.答案：dx x 2412+【解析】： .dx x dy 2412+=34.答案：5,4==b a 【解析】：.b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a 35.答案：)1,1(-【解析】： .)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y 36.答案：2【解析】：.2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f 37.答案：323π【解析】：.3202sin )sin (3023232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x 38.答案：32-e 【解析】： .⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xt x共 7 页，第 4 页39.答案：3π【解析】： .3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a 40.答案：x y z 222=+【解析】：把中的换成，即得所求曲面方程.x y 22=2y 22y z +x y z 222=+41.答案：y x cos 21+【解析】：.⇒+=∂∂y x y xzsin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂42.答案：32-【解析】： .⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()(43.答案：∑∞=+∞-∞∈-02),(,!1)1(n nnx x n 【解析】： .∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n xx x n n x e x f 44.答案：21ln(x+)22(≤<-x 【解析】：,∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x .)22(≤<-x 45.答案：032=-'-''y y y 【解析】：x xe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ .032=-'-''⇒y y y 三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 .xx e x xx 2sin 1lim 3202-→--【解析】： 20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222xe x xe x x e x xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ .161lim 161322lim 220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe 47.求函数的导数.xx x y 2sin 2)3(+=dxdy 【解析】：取对数得 ：，)3ln(2sin ln 2x x x y +=两边对求导得：x x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++='共 7 页，第 5 页所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++='.x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-48.求不定积分.⎰-dx xx 224【解析】：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x tx t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222.C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.计算定积分.⎰--+102)2()1ln(dx x x 【解析】：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x .⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x 50.设 ，其中皆可微，求.),()2(xy x g y x f z ++=),(),(v u g t f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'=.=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'51．计算二重积分，⎰⎰=Dydxdy xI 2其中由所围成.D 12,===x x y x y 及【解析】：积分区域如图06-1所示，可表示为：.x y x x 2,10≤≤≤≤所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydyx dx ydxdy xI .10310323)2(1051042122====⎰⎰x dx x y dx x xx 52．求幂级数的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1【解析】： 令，级数化为 ，这是不缺项的标准的幂级数.t x =-1nn nt n ∑∞=-+0)3(1xx因为 ，313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1limlim 11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nn n n nn nn n n n a a ρ故级数的收敛半径，即级数收敛区间为（-3，3）.nn nt n ∑∞=-+0)3(131==ρR 对级数有，即.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1313<-<-x 42<<-x 故所求级数的收敛区间为.），（42-53．求微分方程 通解.0)12(2=+-+dy x xy dy x 【解析】：微分方程可化为 ，这是一阶线性微分方程，它对应的齐0)12(2=+-+dx x xy dy x 212xx y x y -=+'次线性微分方程通解为.02=+'y x y 2xCy =设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得2)(x x C y =3)(2)(x x C x C x y -'='.C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2故所求方程的通解为.2211xCx y +-=四、应用题（每小题7分，共计14分）54.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月生产成本是（千y x ,5221+-=x x C 元），乙厂月生产成本是（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、3222++=y y C 乙两厂最优产量和相应最小成本.【解析】：由题意可知：总成本，8222221++-+=+=y x y x C C C 约束条件为.8=+y x 问题转化为在条件下求总成本的最小值 .8=+y x C 把代入目标函数得 的整数）.8=+y x 0(882022>+-=x x x C 则，令得唯一驻点为，此时有.204-='x C 0='C 5=x 04>=''C 故 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有.5=x 38,3==C y 所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线和轴所围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.)2)(1(--=x x y x y 【解析】：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕轴旋转一周而得到。
全国2006年10月高等教育自学考试高等数学(工专)试题课程代码00022
全国2006年10月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
（一）（每小题1分，共20分）1.函数y=xsinx 在其定义域内是（ ）A.有界函数B.周期函数C.无界函数D.奇函数 2.函数2x 1x1y --=的定义域是（ ） A.[)(]1,0,0,1- B.[)0,1-C.(][)+∞-∞-,1,1,D.(]1,0 3.函数2e e y xx --=是（ ） A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数4.设|q|<1，则n n q lim ∞→=（ ） A.不存在B.-1C.0D.15.若函数f(x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f(x)在点（x 0, f(x 0)）处的法线的斜率等于（ ）A.)x (f 0'-B.)x (f 10'- C. )x (f 0' D.)x (f 10' 6.设y=x 4+ln3，则y '=（ ）A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnxD. x 4lnx+317.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则y '''=（ ）A.6B.a 3C.0D.6a 38.设⎩⎨⎧-=+=t 1y t1x ，则=dxdy （ ） A.t 1t 1-+ B.- t 1t1-+ C. t 1t1+- D.- t 1t1+-9.函数f(x)=arctgx 在[0，1]上使拉格朗日中值定理结论成立的c 是（） A. ππ-4 B.-ππ-4 C.ππ-4 D.- ππ-410.函数y=x+tgx 在其定义域内（ ）A.有界B.单调减C.不可导D.单调增11.函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ）A.y=1B.x=1C.y=0D.x=0 12.⎰x dx=（ ） A.C x 2+ B.2xC.23x 32D. 23x 32+C 13.设⎰=Φ1x tdt sin )x (，则)x (Φ'=（ ） A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx 14.广义积分⎰-112dx x 1（ ） A.收敛B.敛散性不能确定C.收敛于-2D.发散15.方程组⎩⎨⎧==-8z z 8y 4x 22在空间表示（ ）A.双曲柱面B.（0，0，0）C.平面z=8上的双曲线D.椭圆 16.二元函数xy1cos z =的所有间断点是（ ） A.{}0y 0x |)y ,x (==或 B.{}0x |)y ,x (=C.{}0y |)y ,x (=D.（0，0） 17.设y x z +=，则)1,1(x z ∂∂=（ ） A.4 B.2C.1D.21 18.设（σ）是矩形域：a ≤x ≤b,c ≤y ≤d ，则⎰⎰σσ)(d =（ ）A.a+b+c+dB.abcdC.(b-a)(d-c)D.(a-b)(d-c)19.微分方程x(y ')2-2y y '+x=0是（ ）A.二阶微分方程B.一阶微分方程C.二阶线性微分方程D.可分离变量的微分方程20.等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ ）A.当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B.当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C.当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D.当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散（二）（每小题2分，共20分） 21.=→x1sin x lim 20x （ ） A.2 B.1C.0D.不存在 22.=-→x 1x )x 1(lim （ ） A.e -1B.eC.+∞D.1 23.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x ,则f(x)在x=0是（ ） A.可微的B.可导的C.连续的D.不连续的 24.⎰=+dx 1e e x 2x（ ） A.ln(e 2x +1)+CB.arctg(e x )+CC.arctgx+CD.tge x +C25.函数y=xe -x 的单调增区间是（ ）A.（-∞,+ ∞）B.[)+∞,1C.(]1,∞-D.(1+∞) 26.过两点P 1(1,1,1),P 2(2,3,4)的直线方程为（ ） A.31z 21y 11x -=-=- B.x-1+2(y-1)+3(z-1)=0C.41z 31y 21x -=-=-D.11z 11y 11x -=-=- 27.微分方程0y y =+''的通解为（ ）A.y=sinx+cosxB.y=cosxC.y=sinxD.y=C 1cosx+C 2sinx 28.级数∑∞=1n 2n na sin （ ） A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性不能确定 29.微分方程xy 2y x y 2-='是（ ）A.一阶线性非齐次微分方程B.齐次微分方程C.可分离变量的微分方程D.二阶微分方程 30.当|x|<1时，幂级数1+x+x 2+…+x n +…收敛于（ ） A.x1x 2- B.1-x C.x 1x - D.x11- 二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）31.求xx xx x e e e e lim --+∞→-+. 32.设y=x x (x>0)，求y '.33.求⎰x dx ln x .34.求⎰πθθ402d tg .35.求微分方程sinxcosydx=cosxsinydy 满足初始条件y|x=0=4π的特解. 36.计算二重积分⎰⎰σσ+)(22d )y x (, 其中(σ)是圆环:1≤x 2+y 2≤4.37.判别级数∑∞=-+1n )n 1n (的敛散性.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38.求由抛物线y 2=4ax(a>0)及直线x=x 0(x 0>0)所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.39.求函数f(x)=xln x 的极值. 40.设z=)xy (F , 其中F(u)为可导函数, 求证0y z y x z x=∂∂+∂∂.。
最新10月全国自学考试高等数学(工本)试题及答案解析
全国2018年10月自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________.9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n nx 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
自学考试 《高等数学(工本)》历年真题全套试题
自考00023《高等数学（工本）》历年真题集电子书目录1. 目录 (2)2. 历年真题 (5)2.1 00023高等数学（工本）200404 (5)2.2 00023高等数学（工本）200410 (7)2.3 00023高等数学（工本）200504 (9)2.4 00023高等数学（工本）200507 (11)2.5 00023高等数学（工本）200510 (14)2.6 00023高等数学（工本）200604 (15)2.7 00023高等数学（工本）200607 (18)2.8 00023高等数学（工本）200610 (21)2.9 00023高等数学（工本）200701 (24)2.10 00023高等数学（工本）200704 (26)2.11 00023高等数学（工本）200707 (28)2.12 00023高等数学（工本）200710 (29)2.13 00023高等数学（工本）200801 (34)2.14 00023高等数学（工本）200804 (35)2.15 00023高等数学（工本）200807 (36)2.16 00023高等数学（工本）200810 (38)2.17 00023高等数学（工本）200901 (39)2.18 00023高等数学（工本）200904 (40)2.19 00023高等数学（工本）200907 (42)2.20 00023高等数学（工本）200910 (43)2.21 00023高等数学（工本）201001 (45)2.22 00023高等数学（工本）201004 (46)2.23 00023高等数学（工本）201007 (47)2.24 00023高等数学（工本）201010 (49)2.25 00023高等数学（工本）201101 (50)2.26 00023高等数学（工本）201104 (52)2.27 00023高等数学（工本）201107 (54)2.28 00023高等数学（工本）201110 (55)2.29 00023高等数学（工本）201204 (57)3. 相关课程 (59)1. 目录历年真题()00023高等数学（工本）200404()00023高等数学（工本）200410()00023高等数学（工本）200504()00023高等数学（工本）200507()00023高等数学（工本）200510()00023高等数学（工本）200604()00023高等数学（工本）200607()00023高等数学（工本）200610()00023高等数学（工本）200701()00023高等数学（工本）200704() 00023高等数学（工本）200707() 00023高等数学（工本）200710() 00023高等数学（工本）200801() 00023高等数学（工本）200804() 00023高等数学（工本）200807() 00023高等数学（工本）200810() 00023高等数学（工本）200901() 00023高等数学（工本）200904() 00023高等数学（工本）200907()00023高等数学（工本）200910()00023高等数学（工本）201001()00023高等数学（工本）201004()00023高等数学（工本）201007()00023高等数学（工本）201010()00023高等数学（工本）201101()00023高等数学（工本）201104()00023高等数学（工本）201107()00023高等数学（工本）201110()00023高等数学（工本）201204() 相关课程()2. 历年真题2.1 00023高等数学（工本）200404高等数学（工本）试题（课程代码0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
2006年河南专升本考试高等数学试题和答案
x t sin u 2 du dy 0 8.设 ， 则 2 dx y cos t
A. 解：
（ C.- t
2
）
t2
B.
2
2t
D. 2t
1 B. [1,1] C. [0,1] 2 解： 0 x 1 1 2 x 1 1 B .
A. [ ,1]
2 2
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
B. D.
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b a b
b
23 设 D 为圆周由 x y 2 x 2 y 1 0 围成的闭区域 ，则 A.
dxdy
D
（
）
| f ( x) g ( x) | dx 解：由定积分的几何意义可得 D 的面积为 | f ( x) g ( x) | dx D .
1 dx x
22.函数 z 2 xy 3x 3 y 20 在定义域上内 A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值
2 2
（
）
解：
（ 6 x 0, 2 x 6 y 0 ( x, y) (0,0) 2 6, x y x 2 2 z z 6, 2 是极大值 A . 2 xy y
2
D. [1,2]
2.函数 y ln( x 1 x) ( x ) 是 A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数
2 2
2
（ D. 既奇又偶函数
）
解： f ( x) f ( x) ln( x 1 x) ln( x 1 x) ln 1 0 A . 3. 当 x 0 时， x sin x 是 x 的 A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 （ D. 等价无穷小 ）
自考高数工本试题及答案
自考高数工本试题及答案自考高等数学（工本）试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)答案：C2. 微积分基本定理指出，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx等于（）。
A. f(a) + f(b)B. f(a) - f(b)C. f(x)在[a, b]上的最大值D. f(x)在[a, b]上的某个值答案：D3. 曲线y = x^2在点（1, 1）处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 以下哪个选项不是二阶常系数线性微分方程的特征方程（）。
A. r^2 + 1 = 0B. r^2 - 1 = 0C. r^2 + 4r + 3 = 0D. r^2 - 4 = 0答案：C5. 函数f(x) = ln(x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, ∞)D. [0, ∞)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→0) [x^2 sin(1/x)] = _______。
答案：07. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的拐点是_______。
答案：(3, 24)8. 根据定积分的性质，若∫[a, b] f(x) dx = 5，且f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a, b] x f(x) dx = _______。
答案：≤59. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解是_______。
答案：y = C1 * e^r1x + C2 * e^r2x，其中r1, r2是特征方程r^2 - 2r + 1 = 0的根。
10. 利用分部积分法计算∫x e^x dx的结果是_______。
答案：x e^x - e^x + C三、解答题（共75分）11. （15分）计算定积分∫[0, 1] x^2 dx，并说明其几何意义。
最新10月自考高等数学(工专)试题及答案解析
2018年10月自考高等数学(工专)试题课程代码：00022一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为( )A. f (x )=e -x (-∞,+∞)B. f (x )=cot x (0,π)C. f (x )=sin x1 (0,+∞) D. f (x )= x 1 (0,+∞) 2.函数y =lg(x -1)的反函数是( )A.y =e x +1B.y =10x +1C.y =x 10-1D.y =x -10+1 3.级数∑∞=+1)1(1n n n 的前9项的和s 9为( ) A.9001 B.32 C.0.9 D.14.下列无穷限反常积分收敛的是( ) A.⎰+∞dx x 211 B.⎰+∞dx x11 C. ⎰+∞xdx ln 1 D. ⎰+∞dx e x 1 5.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x A 000000,则行列式|-2A |的值为( )A.2xyzB.-2xyzC.8xyzD.-8xyz二、填空题(本大题共10小题,每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.=+∞→xx x arctan lim _______. 7.设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+.0,2sin ,0,,0,1x xx x k x e x 在x =0处连续,则常数k =______.8.⎰=-dx x 211________.9.设y =e x +sin x ,则dy =______.10.曲线y =2ln 33-+xx 的水平渐近线方程为________. 11.设函数)2)(1()(-+=x x x x f ,则方程0)(='x f 的两个根所在的区间分别为_______.12.A ,B 均为3阶方阵,且|A |=3,|B |=-2,则|B A '|=_______.13.设方程y -xe y =0确定了隐函数y =y (x ),则dxdy =_______. 14.=⎰→x dt t x x 20cos 0lim _______. 15.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1021,则矩阵X =______. 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分，共48分)16.求极限3lim xe xx +∞→. 17.求曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在6π=t 处相应的点处的切线方程和法线方程. 18.求不定积分⎰-.)sin (cos 2dx x x19.求微分方程x e x y y sin cos -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解.20.已知⎪⎩⎪⎨⎧π≤<ππ-π≤≤-=,2,2,2,sin )(x x x x x x f 求⎰ππ-2.)(dx x f21.确定函数0)(x x8x 2y >+=的单调区间. 22.求曲线2x e y -=的拐点.23.用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.x x x ,x x x ,x x x 05231322321321321四、综合题(本大题共2小题,每小题6分，共12分)24.求函数x x f(x)-+=1在区间[-5,1]上的最大值和最小值.25.求由曲线xy =1与直线y=2,x =3所围成的平面图形的面积.。
高等数学(工本)自考题-6_真题(含答案与解析)-交互
高等数学(工本)自考题-6(总分100, 做题时间90分钟)一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)1.函数定义域是( )A．(x，y)|1≤x2+y2＜4 B．(x，y)|1＜x2+y2≤4C．(x，y)|1＜x2+y2＜4 D．(x，y)|1≤x2+y2≤4SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] 主要考查的知识点为函数的定义域．[要点透析] 由题意知故选C.2.下列结沦不正确的是( )A．点(0，0)是曲线y=x2的驻点B．x=0是函数y=x2的极小值点C．y=0是函数y=x2的极小值D．点(0，0)不是曲线y=x2的拐点SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] 主要考查的知识点为函数的极值．[要点透析] 函数y=x2的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．3.交换积分顺序，则( )SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] 主要考查的知识点为交换积分顺序．[要点透析] 由二重积分可知，积分区域D：0＜x＜1，，如下图所示，故原积分．4.微分方程y″=e x的通解是( )A．e x+C1x+C2B．e xC．e x+C1x D．e x+C1 SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] 主要考查的知识点为微分方程的通解．[要点透析] y″=e x，两边同时积分y′=e x+C1，两边再同时积分y=e x+C1x+C2．5.设无穷级数收敛，则( )A．p＞1 B．p＜-1C．p＜1 D．p＞-1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] 主要考查的知识点为p级数．[要点透析] 无穷级数，当-p＞1，即P＜-1时收敛，故选B．二、填空题6.过点(1，4，-1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为______．SSS_FILL分值: 2答案:x-1=0[解析] 主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面．[要点透析] 因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其万程为Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，-1)，所以A+D=0，即A=-D，因此所求平面方程为x-1=0．7.设函数z=e xy(x2+y-1)，则______．分值: 2答案:e xy(x2y+2x+y2-y)[解析] 主要考查的知识点为函数的一阶偏导数．[要点透析] 函数z=e xy(x2+y-1)，则ye xy(x2+y-1)+e xy(2x)=e xy(x2y+y2-y)+2xe xy=e xy(x2y+2x+y2-y)8.设∑为平面x+y+z=1，第一卦限中的部分，对面积的曲面积分______．SSS_FILL分值: 2答案:[解析] 主要考查的知识点为面积的曲面积分．[要点透析]9.已知y1=e x，y2=x2是微分方程y′+P(x)y=Q(x)的两个特解，则Q(x)=______．SSS_FILL分值: 2答案:[解析] 主要考查的知识点为微分方程的特解．[要点透析] 将y1=e x，y2=x2代入微分方程y′+P(x)y=Q(x)得解方程组得10.无穷级数的和为______．分值: 2答案:[解析] 主要考查的知识点为无穷级数的和．[要点透析]故所求无穷级数的和为三、计算题11.求过点(2，4，-1)并且与直线平行的直线方程．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为利用直线间的关系求直线方程．[要点透析] 直线的方向向量为因为所求的直线过(2，4，-1)，故其方程式为12.设函数z=f(e xy，x+y)，其中f是可微函数，求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为复合函数一阶求导．[要点透析] =xe xy f1+f213.设函数f(x，y，z)=x2+2y2+2xyz，求f(x，y，z)在点p(-1，1，2)处的梯度．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为函数的梯度．[要点透析] ，，则，，故gardf(-1，1，2)={2，0，-2}．14.设函数z=ycosx，求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为函数的高阶偏导数．[要点透析]15.求曲面z=2x2+y2在点(1，1，3)处的切平面方程．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为曲面的切平面方程．[要点透析] 令F(x，y，z)=2x2+y2-z，故所求切平面方程为4(x-1)+2(y-1)-(z-3)=0．16.计算二重积分，其中D是由x+y=-1，x=0，y=0所围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为二重积分的计算．[要点透析] 积分区域D，如下图所示，于是17.设Ω是由旋转抛物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所围成的区域，求三重积分.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为柱坐标下二三重积分的计算．[要点透析] 积分区域Ω，如下图所示.Ω在Oxy坐标面上的投影域为D：xyx2+y2≤1，18.计算对弧长的曲线积分，其中L为螺旋线x=cost，y=sint，z=2t(0≤t≤π)的一段．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为对弧长的曲线积分．[要点透析]19.计算曲线积分，其中L为上半圆x2+y2=4和y=0所围成的曲线，取逆时针方向．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为用格林公式计算曲线积分．[要点透析] 令P(x，y)=x2y，Q(x，y)=-xy2，则，将L所围成的积分区域记为D，根据格林公式有20.求微分方程y′=e x-y满足初始条件y(0)=1的特解.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为可分离变量微分方程求特解．[要点透析] y′=e x-y，即e y dy=e x dx两边同时积分得e y=e x+C，将初始条件y(0)=1代入得C=e-1，故微分方程的特解为e y-e x-e=-1．21.判定级数的收敛性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为无穷级数的敛做性(比较判刖法)．[要点透析] 由于当x＞0时，sinx＜x，所以，令，又因为是等比级数，其中，故收敛级数．由比较判别法可知收敛．22.设函数f(x)=x2(0≤x≤π)展开成为余弦级数为，求系数a．2SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为傅里叶系数．[要点透析]四、综合题23.设矩形的周长为4，如何选取矩形的长和宽．能使得矩形的面积最大．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为条件级值.[要点透析] 设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则S=xy，x+y=2 构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-2)解方程组可得驻点x=1，y=1，λ=-1．由于驻点惟一，且实际问题存在最大值，故(1，1)是问题的最大值点，最大值为S=1．24.求平面2x+2y+z=4在第一卦限部分的面积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为重积分的应用．[要点透析] 设所求曲面∑的面积为S，∑在Oxy面上投影区域为D：x+y≤2，则有∑：z=4-2x-2y，(x，y)∈D，故25.将函数展开成(x+1)的幂级数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[考点点击] 主要考查的知识点为幂级数的展开式．[要点透析]1。
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理
理科数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）· P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则 （A ）=N M ∅ （B ）M N M =（C ）M N M =（D ）=N M R（2）已知函数xe y =的图像与函数)(xf y =的图像关于直线x y =对称，则 （A ）∈=x e x f x()2(2R ） （B ）2ln )2(=x f ·x ln （0>x ）（C ）∈=x e x f x (2)2(R ）（D ）+=x x f ln )2(2ln （0>x ）（3）双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（A ）41-（B ）－4 （C ）4 （D ）41 （4）如果复数)1)((2mi i m ++是实数，则实数m =（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2（5）函数)4tan()(π+=x x f 的单调增区间为（A ）∈+-k k k ),2,2(ππππZ（B ）∈+k k k ),)1(,(ππZ（C ）∈+-k k k ),4,43(ππππZ （D ）∈+-k k k ),43,4(ππππZ （6）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则（A ）41（B ）43 （C ）42 （D ）32 （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π（8）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0. 如果平面向量b 1、b 2、b 3满足 i i i a a b 且|,|2||=顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i =1，2，3，则（A ）0321=++-b b b （B ）0321=+-b b b（C ）0321=-+b b b（D ）0321=++b b b（10）设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则 131211a a a ++=（A ）120（B ）105（C ）90（D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但 不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A ）58cm 2 （B ）106cm 2（C ）553cm 2（D ）20cm 2（12）设集合}5,4,3,2,1{=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中 最大的数，则不同的选择方法共有 （A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在横线上.（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 .（14）设x y z -=2，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥-,1,2323,12y y x y x 则z 的最大值为 .（15）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）（16）设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ= .三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时,2cos2cos CB A ++取得最大值,并求出这个最大值.（18）（本小题满分12） A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数. 求ξ的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分） 如图，1l 、2l 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM = MB = MN .（Ⅰ）证明NB AC ⊥；（Ⅱ）若60=∠ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=. 求：（Ⅰ）点M 的轨迹方程；（Ⅱ）|OM |的最小值. （21）（本小题满分14分） 已知函数.11)(ax e xx x f --+=（Ⅰ）设0>a ，讨论)(x f y =的单调性；（Ⅱ）若对任意)1,0(∈x 恒有1)(>x f ，求a 的取值范围. （22）（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项的和,3,2,1,32231341=+⨯-=+n a S n n n（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设,,3,2,1,2 ==n S T n nn 证明：∑=<ni i T 123.2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一．选择题（1）B （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B （7）C （8）A （9）D （10）B （11）B （12）B 二．填空题 （13）3π（14）11（15）2400（16）6π三．解答题（17）解：由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有.2sin 2cosA CB =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212A A +-= .23)212(sin 22+--=A当.232cos 2cos ,3,212sin 取得最大值时即C B A A A ++==π（18分）解：（Ⅰ）设A 1表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2， B 1表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i = 0，1，2，依题意有.943232)(,9432312)(21=⨯==⨯⨯=A P A P .2121212)(.412121)(10=⨯⨯==⨯=B P B P所求的概率为P = P （B 0·A 1）+ P （B 0·A 2）+ P （B 1·A 2）=942194419441⨯+⨯+⨯ .94=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B （3，94） ,729125)95()0(3===ξP ,243100)95(94)1(213=⨯⨯==C P ξ,2438095)94()2(223=⨯⨯==C P ξ.72964)94()3(3===ξPξ的分布列为ξ 0123p72912524310024380 72964数学期望.34943=⨯=ξE （19）解法： （Ⅰ）由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN l 1 = M ，可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM = MB = MN ， 可知AN = NB 且AN ⊥NB 又AN 为 AC 在平面ABN 内的射影， ∴ AC ⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB ，∴ AC = BC ，又已知∠ACB = 60°，因此△ABC 为正三角形。
自考高等数学(工专)全章节考试试题及答案解析
第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。
它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。
本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。
重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。
1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x∈D),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。
∀（对任意）x∈D,∃!(有唯一)y与x对应。
y所对应的取值范围称为函数的值域。
当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。
函数的表示法主要有两种。
其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。
例如y=f(x)=e x,符号函数，其中后者是分段函数。
其二是图示法。
如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。
给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。
应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。
1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≤f(x2);称函数在区间I（含于定义域内）单调减，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≥f(x2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I称为单调区间。
判断一个函数f(x)在区间I是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。
2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。
如果∀x∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。
判断一个函数的奇偶性时一般用定义。
在几何上，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。
06年《高等数学》试题及答案
2006年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（ ）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（ ）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（ ） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 得分 评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （ ） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （ ）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （ ）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线 解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内 （ ）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （ ） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （ ）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （ ）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是 （ ） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为 （ ）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （ ）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解： 令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （ ）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 （ ） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值 解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=⎰⎰Ddxdy （ ）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为 （ ）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（ ）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（ ）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 （ ）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分 评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示， 可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解： 令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。
高等数学(工本)00023历年试题及参考答案
高等数学(工本)历年试题及参考答案 自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆.19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Cdy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
2006年河南省“专升本”《高等数学》试题及答案
2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一、单项选择题（每题2分，共计60分，在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分）1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ） A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.)1lg()(2x x x f -+=在),(+∞-∞是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解：01lg )1lg()1lg()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： 1sin lim 2-=-→xxx x ， C ⇒.4.=+∞→nnn n sin 32lim（ ）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax在0=x 处连续，则 =a （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在1=x 可导 ，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（ ）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则M 的坐标（ ） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,5422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty duu x t ，则=dx dy （ ）A. 2tB. t 2C.-2tD. t 2- 解：D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.已知x x x fn ln )()2(=-，则=)()(x fn （ ）A.211x+ B. x1 C. x ln D. x x ln解：B xx fx x f x x x fn n n ⇒=⇒+=⇒=--1)(ln 1)(ln )()()1()2(.10.233222++--=x x x x y 有 （ ） A. 一条垂直渐近线，一条水平渐近线 B. 两条垂直渐近线，一条水平渐近线 C. 一条垂直渐近线，两条水平渐近线 D. 两条垂直渐近线，两条水平渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→∞→2122lim ,4lim ,2lim )2)(1()3)(1(2332 .11.在下列给定的区间满足罗尔中值定理的是 （ ）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x y C.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =解： 由罗尔中值定理 条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞为 （ ）A. 单增且凹B. 单增且凸C. 单减且凹D. 单减且凸解： C e y e y xx ⇒>=''<-='--0,0.13.⎰+=C x F dx x f )()(曲线 ，则⎰=--dx e f e x x )( （ ） A.C eF exx++--)( B. C eF exx+---)(C. C eF x+-)( D. C e F x+--)(解：D C e F e d e f dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设函数xe xf =-')12( ，则 =)(x f （ ）A. C e x +-1221 B. C ex +-)1(212 C.C ex ++1221 D. C ex ++)1(212解：D C ex f e x f e x f x x x ⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15.=⎰baxdx dxdarctan （ ）A.x arctanB. 0C. a b arctan arctan -D. a b arctan arctan +解：⎰b a xdx arctan 是常数，所以 B xdx dxd ba ⇒=⎰0arctan . 16.下列广义积分收敛的为 （ ）A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（ ）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b a dx x f x g )]()([D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 方程02=-xyz ez确定函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （ ）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D.)12(+z x y解： 令⇒-='-='⇒-=xy e F yz F xyz e z y x F zz x z 222,),,(A z x z xy xyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(22221.设函数xy y x z +=2 ，则===11y x dz（ ）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上 （ ）A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值 解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23由012222=+--+y x y x 围成的闭区域D ，则=⎰⎰Ddxdy （ ）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24累次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx 0)0(),(交换后为 （ ）A. ⎰⎰a x dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.二重积分⎰⎰20sin 20)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 在直角坐标系下积分区域可表示为（ ）A. ,222y y x ≤+ B. ,222≤+y xC. ,222x y x ≤+ D. 220y y x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 坐标从点)0,1(A 到)1,0(B 的有向线段，则⎰-+Ldy dx y x )( （ ）A. 2B.1C. -1D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0 ，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数绝对收敛的是 （ ） A ．∑∞=1sin n nπ B ．∑∞=-1sin )1(n n nπC ． ∑∞=-12sin)1(n n nπD ． ∑∞=0cos n n π解： ⇒<22sinnnππC nn ⇒∑∞=12sinπ.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在 2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n n n x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A.C y x =sin cos B. C y x =cos sin C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C x y xx d yy d ⇒=+⇒-=⇒ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2，特解用特定系数法可设为 （ ）A.x e b ax x y -+=*)(B. xe b ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxey -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xeb ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每题2分，共30分）31.设 ,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f ，则=)(sin x f _________ 解：1)(sin 1}sin |=⇒≤x f x .32.若=--+→xx x x 231lim 22=_____________ 解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xx x x x x123341==.33.已知x y 2arctan =，则=dy __________解：dx xdy 2412+=.34.函数 bx x a x x f ++=23)(，在1-=x 处取得极值-2，则_______,==b a . 解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(2.5,4==⇒b a . 35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设)(),(x g x f 是可微函数，且为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππ)sin(32x x _________解：3202sin)sin(023232ππππππππ=+=+=+⎰⎰⎰⎰---x xdx dx x x x .38.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________解：⎰⎰⎰⎰--=--=+==-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 已知 }1,1,2{},2,1,1{-==b a，则向量a 与b 的夹角为=__________解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.空间曲线⎩⎨⎧==022z xy 绕x 轴旋转所得到的曲面方程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +即得所求曲面方程x y z 222=+. 41. 函数y x x z sin 22+=，则 =∂∂∂yx z 2_________解：⇒+=∂∂y x x xz sin 22y x yx z cos 22==∂∂∂ .42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 1211122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在0=x 处的展开成幂级数为________________解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnnxx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nxn xn x.45.通解为xxeC e C y 321+=-的二阶线性齐次常系数微分方程为_________解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分） 46． xx e x xx 2sin1lim3202-→--解：2304232161lim3222lim 81lim 2sin1lim2222xexxex xex xx e x xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.设xx x y 2sin 2)3(+=， 求dxdy解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：xx x xx x x y y3322sin )3ln(2cos 2122++++='所以]3322sin )3ln(2cos 2[)3(222sin 2xx x xx x x x x y x+++++='x x x x x x x x x x x2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求 ⎰-dx x x224解：⎰⎰⎰⎰-===-=dt t tdt tdt ttdx xxtx )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 222C xx x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin22sin 2249.求⎰--+12)2()1ln(dx x x解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+111102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x xdx dx x x ⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx..50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 是可微函数，求 yzx z ∂∂∂∂,解：xv v g xu u g xy x y x f xz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中:D 由直线1,2,===x x y x y 所围成的闭区域.解：积分区域如图所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==1222xxDydy x dx ydxdy x I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx52．求幂级数nn nx ∑∞=--+0)1()3(11解： 令t x =-1，级数化为 nn nt ∑∞=-+0)3(11，这是不缺项的标准的幂级数.因为 313)3(11)3(1lim)3(1)3(1limlim11=--+-=-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n a a ρ，xx故级数nn nt ∑∞=-+0)3(11的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn n x ∑∞=--+0)1()3(11有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xCy =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每题7分，共计14分）54.某公司甲乙两厂生产一种产品，甲乙两厂月产量分别为y x ,千件；甲厂月产量成本为5221+-=x x C ，乙厂月产量成本为3222++=y y C ；要使月产量为8千件，且总成本最小，求甲乙两厂最优产量和最低成本？解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x . 问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .由8=+y x 得x y -=8，代入得目标函数为0(882022>+-=x x x C 的整数）. 则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故5=x 使C 得到极小唯一极值点，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以 甲乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38成本单位. 55.求曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得的体积. 解：平面图形如下图所示：此立体可看作x 区域绕y 轴旋转一周而得到。
(整理)全国年10月高等教育自学考试高等数学(工本)试题
高等数学（工本）试题课程代码：00023请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．在空间直角坐标系中，点（-1, 2, 4）到x 轴的距离为A ．1B ．2C D 2．设函数(,)z f x y =在00(,)x y 某领域内有定义，则(0,0)|x y z x∂=∂ A ．0(,)(,)lim h f x h y f x y h→+- B ．0(,)(,)limh f x h y h f x y h →++- C ．00000(,)(,)lim h f x h y h f x y h →++- D ．00000(,)(,)lim h f x h y f x y h →+- 3．设积分曲线22:1L x y +=，则对弧长的曲线积分()L x y ds +=⎰A ．0B ．1C ．πD ．2π4．微分方程xy y '+A ．可分离变量的微分方程B ．齐次微分方程C ．一阶线性齐次微分方程D ．一阶线性非齐次微分方程 5．已知函数()f x 是周期为2π的周期函数，它在[)-π,π上的表达式为0,π0()1,0πx f x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则(2π)S =A ．0B ．12C ．1D ．2非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6．已知向量{3,7,6}=-α与向量{9,,18}k =β平行，则常数k =__________.7．已知函数cos xz e y =，则2z x y ∂∂∂=__________. 8．设积分区域222:9x y z Ω++≤，三重积分222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下三次积分为__________.9．微分方程2x y y e ''+=的一个特解y *=__________.10．已知无穷级数2312341333n n u ∞==++++∑，则通项u n =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求直线19211x y z -+==--与直线42112x y z --==的夹角. 12．设f 是可微的二元函数，并且22(,)z f x y x y =-+，求全微分dz .13．已知方程225xy e x y z z -+--=确定函数(,)z z x y =，求,z z x y ∂∂∂∂. 14．设函数(,)arctany f x y x =，求梯度grad (,)f x y . 15．计算二重积分221D dxdy x y+⎰⎰，其中积分区域22:12D x y +≤≤. 16．计算三重积分xdv Ω⎰⎰⎰，其中积分区域Ω是由0,1,0,1,0x x y y z =====及24x y z ++= 所围.17．验证对坐标的曲线积分22L xy dx x ydy +⎰与路径无关，并计算(2,2)22(1,1)I xy dx x ydy =+⎰.18．计算对坐标的曲面积分222()()()I x yz dydz y xz dxdz z xy dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=及0,2z z ==所围柱体表面的外侧. 19．求微分方程22(4)(4)x dy y dx +=+的通解.20．求微分方程220y y y '''-+=的通解.21．判断无穷级数1n n -∞= 22．求幂级数121nn x n ∞=+∑的收敛半径和收敛域.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求函数22(,)654161415f x y xy x y x y =--+--的极值.24．求由平面0,1z x y =+=及曲z xy =面所围立体的体积.25．将函数()sin 2f x x =展开为x 的幂级数.全国2012年7月高等教育自学考试高等数学(工本)试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
2006年安徽专升本高数答案
安徽省2006年普通高等学校专升本招生考试高等数学参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1、C2、D3、B4、A5、C6、B7、D8、C9、A 10、A 二、填空题（每小题3分，共30分）11．13−12.2 13.12 14.（1，-3）15.2xe C ++ 16.21y − 17.1y x e e e =+−18. 1 19. A-E 20. 0.25三、计算题（本大题共9小题）21.解：原式=()222sin limsin x x xx x →∞−+=sin lim sin x x xx x→∞−+=sin 1limsin 1x x x x x→∞−+=122.解：方程两边取对数得 ln y x =ln()x y + 方程两边对x 求导得1''.ln y y y x x x y++=+ 整理得 ()ln 1()'.()x y x x y x y y x y x x y +−−+=++所以()()ln 1dy x y x y dx x x y x −+=+−⎡⎤⎣⎦23.解：原式=121(1)(1)x x x e dx x e dx −+−∫∫=1212101(1)(1)xx x x e x e dx e x e dx −++−−∫∫ =2()1e − 24.解：2222ln 2arcsin 2()x zy x Sec x y y∂=•+•+∂Q2222sec ()xz y x y y ∂=++∂在定义域内连续2222222ln 2arcsin 2sec ()2sec ()x z z dz dx dy y x x y dx y x y dyx y ⎡⎤∂∂⎡⎤∴=+=+++++⎥⎣⎦∂∂⎥⎦ 25.解：13(2)1lim 3(3)3n n n n l n +→∞+==+Q113,3(2)nn n x R l n ∞=∴==+∑即幂级数在（-3,3）内收敛且收敛半径为3。
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
2006年高考数学及答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）＝P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i3i31-+等于（A ）i （B ）－i （C ）3+i （D ）3－i (2)设集合A={x ｜｜x －2｜≤2,x ∈R},B={y ｜y=2x -,－1≤x ≤2},R (A ∩B)等于（A ）R (B){x ｜x ∈R,x ≠0} (C){0} (D) (3)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（A ）－2(B)2 (C)－4 (D)4(4)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a=b;命题q ：222()22a ba b++≤则p 是q 成立的 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)函数y =⎩⎨⎧-≥0,,0,22＜x x x x 的反函数是（A ）y =⎪⎩⎪⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(B)y =⎩⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(C) y =⎪⎩⎪⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(D)y =⎩⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(6)将函数y =sin ωx (ω＞0)的图象按向量a =(6π-，0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（A ）y =sin(x 6π+) (B) y =sin(x 6π-)(C) y =sin(2x 3π+)(D) y =sin(2x 3π-)第（6）题图 （7）若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y －8=0垂直，则l 的方程为（A ）４x －y －3=0 (B)x +4y －5=0 (C)4x －y +3=0 (D)x +4y +3=0(8)设α＞0，对于函数f (x )=xax sin sin +(0＜x ＜π)，下列结论正确的是（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）有最大值且有最小值 （D ）既无最大值又无最小值(9) 表面积为２3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(A)π32 (B)π31 (C)π32 (D)π332(10)如果实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-,01,01,01y x y y x 那么2x －y 的最大值为(A)2 (B)1 (C)－2 (D)－3(11) 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于∆A 2B 2 C 2的三个内角的正弦值，则(A) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是锐角三角形 (B) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是钝角三角形(C) 111C B A ∆是钝角三角形，∆A 2B 2 C 2是锐角三角形(D) 111C B A ∆是锐角三角形，∆A 2B 2 C 2是钝角三角形(12)在正方体上任选３个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等．腰三角形的概率为 (A)71 (B)72 (C)73 (D)742006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）设常数a ＞0，（ax 2+x1）4展开式中x 3的系数为23,则∞-n lim (a+a 2+…+a n)= .(14)在平行四边形ABCD 中，AB =a , AD =b , AN =3, NC ,M 为BC 的中点，则MN =.(用a ,b 表示)（15）函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ，若f (1)=－5,则f (f (5))= .(16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图，正方体的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 在同侧.正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到a 的距离分别为1,2和4.P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面a 的距离可能是： ① 3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号．．）三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知43π＜a ＜π，tan a +cot a =－310.（Ⅰ）求tan a 的值；（Ⅱ）求)4sin(282cos 112cos 2sin 82sin 522π--++a aa a a 的值.（18）（本小题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.（Ⅰ）写ξ出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求ξ的数学期望E.（要求写出计算过程或说明道理）(19)(本小题满分12分)如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，PA =1,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O .(Ⅰ)证明 P A ⊥BF ；(Ⅱ)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小.(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)在R 上有定义，对任意实数a ＞0和任意实数x,都有f (ax )=af (x ). (Ⅰ)证明f (0)=0;(Ⅱ)证明f (x )=⎩⎨⎧<≥,0,,0,x hx x kx 其中k 和h 均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k ＞0时，设1()()()g x f x f x =+ (0)x >,讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性求极值.(21)(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=12,S n =n 2a n －n (n －1),n =1,2…(Ⅰ)写出S n 与S n －1的递进关系式(n ≥2),并求S n 关于n 的表达式; (Ⅱ)设1()n n n S f x xn+=，()n n b f p '= (P ∈R)，求数列{b n }的前n 项和T n .(22)(本小题满分14分) 如图，F 为双曲线C :22221xya b-= (a ＞0,b ＞0)的右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点，已知四边形OFPM 为平行四边形|PF|=λ|OF|. (Ⅰ)写出双曲线C 的离心率e 与λ 的关系式;(Ⅱ)当λ=1时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝12,求此时的双曲线方程.2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 1 14.41(b －a ) 15. 51-16. ①③④⑤提示：11i i===-故选A2．解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。
高等数学(工本)自考题-11_真题(含答案与解析)-交互
高等数学(工本)自考题-11(总分100, 做题时间90分钟)一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的1.设同量a={2，1，-1}与y轴正向的夹角为β，则β满足______A．0＜β＜ B．β=C．＜β＜π D．β=πSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] 设y轴正向的矢量为=(0，y，0)(y＞0)则cosβ=(y＞0)∴cosβ∈(0，+∞)故β∈(0，)答案为A．2.函数f(x，y)=在(0，0)点______• A.连续• B.不连续• C.可微• D.偏导数存在SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 3答案:A[解析] ∴f(x，y)在(0，0)点连续当x≠0，y≠0时，不存在不存在从而f(x，y)=在(0，0)点不可微．答案为A．3.设积分区域D是由直线x=y，y=0及x=所围成，则二重积分dxdy的值为______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 3答案:D[解析] ．答案为D4.微分方程xy"-y'=0的通解是______A．y= B．y=C1x2+C2C．y= D．y=C1x+C2e xSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 3答案:B[解析] 令y'=P，则y"=P∴xp·-p=0∴y=C1x2+C2．答案为B．5.在下列无穷级数中，收敛的无穷级数是______A． B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 3答案:C[解析] A．为调和级数，∴不收敛．B．的前n项和：故不收敛．C．为P级数∴P=＞1故其收敛．D．其一般项在n→∞时为un=→∞≠0故不收敛．答案为C．二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案1.已知=3，=5，=-6，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:[解析]则=36-9-25=2=9+25-2=32则．2.设函数z=2x2-3y2，则全微分dz=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:4xdx-6ydy[解析] z=2x2-3y2zx =4x zy=-6y∴dz=4xdx-6ydy．3.设B是由y=，y=x和x=2所围成的平面区域，求二重积分xydxdy=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:[解析]4.微分方程y"+y=8的一个特解y"=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:8[解析] 易知其齐次方程的特征方程为：r2+1=0∴r1,2=±i故可设其特解y*=m∴(m)"+m=8∴m=8∴y*=85.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π)上的表达式为(常数k≠0)则f(x)的傅里叶级数的和函数在x=π处的值为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:[解析] 本题是有关傅里叶级数的问题．x=π是[-π，π)的端点，所以三、计算题1.求过点(3，3，-2)并且与平面2x-y+z-3=0垂直的直线方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:所求直线的方向向量为{2，-1，1}所以所求直线方程为．2.设z=arctan，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:∴3.求函数f(x，y，z)=x2-y+z2在点P(2，-1，2)处沿方向L={2，-1，2}的方向导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:∵∴4.求函数z=x2-y2在点(1，1)处，沿与x轴正向成60°角的方向l的方向导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查函数在某点处的方向导数zx =2x，zy=-2y，又α=，，故=zx(1，1)cosα+zy(1，1)cosβ=．5.计算积分I=SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:6.计算Ω：x2+y2+z2≤1SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查三重积分的计算．用球坐标系：7.算对弧长的曲线积分，其中C是圆周x2+y2=1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:原式8.计算(x+2y)dx+xdy，其中L是从点(0，1)沿曲线=1(x≥0)到点(1，0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5L的参数方程为，0≤t≤，故(x+2y)dx+xdy=(cos3t+2sin3t)(-3cos2tsint)+3sin2tcos4t]dt==．9.求微分方程y"-2y'-3y=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:特征方程为r2-2r-3=010.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：y"+4y'+29y=0，y|x=0=0，y'|x=0=15．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查微分方程的求解．与原齐次方程对应的特征方程为r2+4r+29=0此方程的解为r1=-2+5i，r2=-2-5i．故所给方程的通解为y=e-2x(C1cos5x+C2sin5x)y'=5e-2x(-C1sin5x+C2cos5x)-2e-2x(C1cos5x+C2sin5x)=e-2x[(-5C1-2C2)sin5x+(5C2-2C1)cos5x]把初始条件y|x=0=0，y'|x=0=15代入上面两式解得C1=0，C2=3故所求特解为y=3e-2x sin5x．11.判断无穷级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:∵∴由达朗贝尔判别法得，原级数收敛．12.求幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5令x-3=t，原级数转化为(1)故级数(1)的收敛半径R=1．当t=1时级数(1)成为∵，又收敛，故级数收敛．当t=-1时，级数(1)成为是交错级数，收敛，因此级数(1)的收敛域为[-1，1]，即原级数当-1≤x-3≤1时收敛，从而原幂级数的收敛域为[2，4]．四、综合题1.求函数f(x，y)=x2+xy+y2-6x-3y的极值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:得驻点(3，0)∵fxx (x，y)=2 fxy(x，y)=1 fyy(x，y)=2而B2-AC=1-4=-3＜0 A=2＞0∴f(x，y)在(3，0)处取得极小值为f(3，0)=-9．2.设Ω为曲面x2+y2=az与z=2a-(a＞0)所围的封闭区域，求Ω的表面积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查曲面积分的求解．由于表面由抛物面与锥面两部分构成．记抛物面部分面积为S1，锥面部分面积为S2，则S=S1+S2．故S=S1+S2=πa2．3.将函数f(x)=展开为x的幂级数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:设1。