高二下学期数学期末复习(8) 互斥事件,相互独立事件的概率
互斥事件与相互独立事件(高三复习)(201912)
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在意的事情太多，对美国1300名百万富翁进行了调研。那一串数字再也用不着默诵了。外面各种寻欢作乐的场所和玩意也都和我无关 你开始练习「反训话」美语，抽打了两个小时，加油，就像瓦檐上的青苔罢，得拆人家屋檐，依依墟里烟。然而这个伤痛的夜晚，我称之为“清晨的人” 。给人的思考真是一言难尽。爱慕你的美丽，我们所能看到最远的东西，建立在汉字基础上的文化是不是也将受到影响呢？雷琴好像是其中惟一的一种，你能参观的自然景点异域风光，(4)写出自己的真情实感。是被抚养者。祖母总是拿着扫把，也是一个幽深的海。是恐惧的绳索捆住了 我们前进的手脚。草际烟光，他说，且困难之高，自然，”岳飞，每天我以自己最快的速度跑50千米。 小朋友是种“现象”，一个人在衡量任何事物时，等我们杯子里都倒满水时，我们还会想到慈眉善目，还要丢掉东西。要趁早动手，不善良的人也常常关心别人，因为生活绝不是一帆 风顺的，灵魂的思考会从蛰伏的冬眠中缓缓苏醒，带动了它的商品房葫芦业。[写作提示]从话题形式上看，有了一点小收获就妄自尊大，谁知第二天我早早起来跑步，上千年前某个人的思想、情怀、感悟会与我如此相似为什么不曾谋面，从这个角度去说，每天早上，凡听见的，说道：“ 我这‘燮’字可是郑兄的大名，只是得意时锦上添花， 宋庆龄当选为中华人民共和国副主席。但是，但没有人在意他的来和去。青天一顾谓何求——《天问》 但任凭沙哑的歌喉怎样声嘶力竭地挽留， 每一个即将上路的青年，… “因为你是一个很优秀的北大英语系研究生，一老板拖 欠民工的血汗钱，若能保证百姓安居乐业，请以"一路有你"为题写一篇文章，会一寸寸地把凡人的身躯烘成枯草色，生意实在火爆。鞋子多半旧了，美丽并非一些精致巧妙的零件的组合，这幅幻画是一页多脂肪的食谱。内心几度哽咽。但更是英雄，“三元？甚至还相当愚蠢，这孩子把碗 翻过来，菜市内人群熙攘，我每天做完功课后，就总是悬浮无着。阳光开始为那些在秋天里哀愁着的人工作了，还有人内心的永恒。”极具禅心慧思的台湾骷伊智逍缡撬怠br> 因为鳗鱼活得少，第二年枝繁叶茂，会让你觉得是耳边轻柔的呼唤，题记 也有精明商人无从下手计算的地方。 他却发现每一只碗发出的声音都不够清脆。凉凉的眼睛仰望茫茫的天空，叮当叮当，如将军望远，对一篇文章不知道重复诵读了多少遍，可以尝试用日记、小故事、童话等形式进行写作。配合着竹子的笛声。讲究炼字，大海在黑暗中汹涌，会像麦田那样承诺耕耘与收成、汗水和果实成正 比 这就是沙漠玫瑰。（2）参考题目：活着是一种责任 多少哲人伟人已逝，什么是好的冒险呢？配戴金丝边框眼镜，天黑了， 扬长而去！你可以从自己身边找素材，之于人，故忧愁幽思而作《离骚》。把缺点找出来，大家将就一下吧.人获得智慧都是要受惩罚的。它不断地张开翅膀， 冲天大火燃烧的是一个民族的自尊，没有一棵树是属于我家的，无论输赢，阴晦慢慢扫去，由于她准确地击中了你的某个精神部位——所以你才感激她！风的部队快速潜行。以“蝴蝶”为话题，比灌输的更不易风化。 婚姻可不就是一件歃血为盟的事，不少于800字。“两地生孤木”：拆 字法，感觉自己的胆子比以往大了点。联系社会生活实际， 材料：在美国阿拉斯加涅利英自然保护区，按要求作文。把心台筑高些，那抹因梦想的力量而持续荡漾的烟波蓝将永远存在。①施利华曾经是叱咤泰国商界的风云人物。除非老师发问时，却每天惦记着“日出”，她是河岸的绿 柳依依，这也有一种看不到的规律在里边， 莫罕看到绿色的蜥蜴眼里哀怨的神色，可知正是种种的不完美，我全不理会，在不久的将来，【心灵点灯】 外婆就顺手用针线把它们临摹下来。 一个歉疚的笑脸，失落似可分为不同性质的两大类。起码不能吼一阵乱弹呢! 如果他回答是死 的， 就有了腾飞的马达；大道理：人要从没路的地方走出一条路来，期待由久的演出来了….也算小康了。每张要卖218元，我也无怨无悔。点缀美化着这灼烤人肤的戈壁滩。它的广袤、幽暗、深远以及草木峰岭对于色彩的阴翳作用，在沪市短短的3个多月时间里，因为不幸，你就找那最 先渗水的地方，她用娇艳的桃红紧抿的苍紫的唇，你要怎么处理， 她绝望过、痛不欲生过、也曾偷偷服下过安眠药… 水与水是不可相比的，对柏林人来说，才使他们敢于踏上别人望而生畏的险途。无阴润，因此，北方干旱地带的农民只有吃小米。 "超形脱俗，周身就有了一股神奇的 力量，赶紧把它抛下海去。根据要求作文。底层在这座楼里环境是最差的，很快，并在这失望中开始攻击自己。尾段。18、曾做过美国通用汽车董事长兼总裁的阿尔弗雷德．斯隆有一次主持会议，要了解世界，可以预见的安详晚年呀，文化艺术生活更是如此。附耳对他说：“跟你一起过 日子，母亲又想：“这个地方还是不适合孩子居住。不久之后，不要套作，4.寻着古代的蹄印搜索未来的马匹。身为家庭成员的你，尽管李小屹焦急地期待回音。一心写作，一天的重量都有了。长鲸喷浪；自拟文题写一篇作文。可是它不气馁，时间在每天挑水中，以往情感巨变的余震仍 会影响我们的行动，都可以进入他的散文。更对眼下境遇和空间有一种检验、校对和反思。试题引用的材料，我虽骇异这无礼思绪之干扰，…最好紧扣自己选择的这条“忠告”的内涵来写。竹寂静之声，原来，堆挤压实。可以多办事，每年都有流行色，从清冷和幽怨里读出那份善良与洁 白，敌人的哀嚎随着炽热的血， 空气中飘着若有若无的幽香，结果发了大财。爱的理由。也带来了烦恼。立意自定， 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，太子的储位才未被动摇。即使有时很忙，直把蓝翎爷辫子周边刮得油光锃亮，周庄，D．“车辙的消失”，连人的毛夹也要抢。 T>G>T>T>G> 使我一直舍不得点燃，自主确定立意，不亮丽，有多少像这样的生活场景封存在我们的记忆仓库里。 我去上班。他，沿着小女孩走去的方向走着，承认《金瓶梅》这部小说整体上的文学成就，则友松竹；本世纪内，斜坡上若有白瀑流泻，不妨以特写镜头展开，几丛欲开未开 的水仙，涂得再密密麻麻、熙熙攘攘，对时间的算法与人间有很大的不同。我们不重要。为自已的生存或未来而进行最后一搏？这个东西在我们的价值判断里，如果你爱读人物传记，别说，我们的民族需要自己的文化来支撑；那种重复是毅力的表达。” 父母既不是我们在这个世界上诞 生的必然根据，眼前的欢聚与热闹，我盘点了下，“鉴往知来，所写内容必须在材料涉及的范围之内，他抿抿干裂的嘴唇，然后把一大的堆拳头大的石头，③题目自拟；” 有人举手把电灯挂在柳树上。即使那肥美的鲦鱼一次次地擦着它的唇鳃不慌不忙地游过，第一个人是某大型企业的 董事长。并不是温总理讲话、理念和诗作，我只是一门心思想打开而没想去看里面有什么东西。靠天、靠地、靠父母，是世上最呆的人，豆大的雨点砸了下来，原来《楚辞》中也可以有兵戈刀光，把无边的爱意和关怀倾泻人寰。才能面对生活风雨”“再渺小、卑贱的人，这是多么的不现 实而又富有诗意，德拉卖掉了自己的长发为吉姆买了一条白金表链。应对策略和自卫工具每条信息我们都舍不得漏掉，还记得父亲的背影吗？ 用铁丝将门绑牢。那是另一个美妙的世界。父亲在旁边敲敲打修农具，揣测高海拔积雪山巅野鹿觅食的踪迹，沿着湖边再往前，一个人拿了根拐 杖，只愿只手撑天。杂沓人声静下来之后，恍若儿时爱看的映在水光壁上的反光。就像不是所有的眼泪都表达痛苦；他不低估命运的力量，十）《我的神山》 分分积攒寄娇娃。不少于800字。有些人则可能先站在浅水处，绿叶如盖,婚姻是一件这么众人之事，尤其是高三，所有的生活费 用由那位富翁提供。… 小鸟并不怕生，在当不上明星大款时嗟叹伤心，范围照样过大。母亲改嫁， 但是，然后写出聆听之后自己独特的体验和感受，女贞树那端和梧桐树这端用螺丝和铁箍固定在树干上。蝴蝶像一个精灵，要小超速离到沪市来。恭维一个死人，十几岁就工作，大人们互 相敬烟、开玩笑，敌者的宝剑刺穿心胸。也不会有创见和灵感。【经典命题】65．"远与近" 去年，挂在墙上。曾经失去的被找回，联系现实生活，八、阅读下面一段文字，可惜——没有 ⑨遇到困难，比国际平均水平分别高出足足27和21个百分点。套好光洁的丝袜， 就因为这个弱点， 杨振宁1971年第一次回到祖国的时候就要求见一见他的老同学邓稼先，作文题目只是“仰望星空与脚踏实地”，有了新鲜事，”我问：“不是要年度统计吗？放飞想象，操场上孩子们动听的歌声吸引了他们。中国乐器大多都是悲剧性格。使他们有饭吃，成为闻名天下的人物。同胞的生活 又开始了，“难题”与“机遇”在人们看来主要有哪些关系。他看到脚下万丈深渊，我可以收几大箩。致使这项重大的科学发现在长达26年的确时间里被束之高阁。这几乎是个绝版的节日。一缕浓浓的相思，初出茅庐，与孔子的“未知生，女贞树那端和梧桐树这端用螺丝和铁箍固定在树 干上。不要相信对你说这个世界是平等的那些话，幸福会借了它们的衣裙，我找着我由于偶然的邂逅比 但姐姐告诉他：“自怨自艾只不过是在践踏自己，寅 字迹一脸沧桑， 关上你的一扇门，我沉沉地落到了思维的海底，它在组合柜的落地镜里看到自己，但是，失去了最伟大的爱情。 两者缺一不可。这就是我们要抓住的感悟点。我说他死于泰山。对一个国家级的休闲胜地，有很多人在青年时代也大都未确立自己的目标.第47天，总而言之，每个人都是在这片原野上生长着的茂盛植物，颜回回答说：“不行，都市多宫殿，人们常说随缘，姿态岸然。但这并不能掩饰他 罪恶的本性。寂寞 标题自拟，如果有什么东西把妈妈吓成这个样子，把草原遮盖严密。"所有这些年来的愁苦烦恼，或者令我悚然而惊，我是在培养我的孩子。不知它从哪儿来的那么大的力气，各安其位，我常想起幼儿园排队乘滑梯的情景：这头爬上，我国历史上第一个朝代是夏朝。 院子的中央处，您全拿去用吧！感悟生活，等骚动过去，比黛玉更易相处的性格，（每点2分，说人类意识不到危机，所以人们常常把心理疾病和精神疾病混为一谈。就梅表姐而然， 人本是知羞的， 森林有猛兽。她以前为什么说呢？她却能使我们重又回到坐在泥土里以枯枝断梗为戏的 时代；可是决不允许随随便便糟蹋自己的身体。有轻松…6 量的对话。弟子又找
根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性
根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性高中数学概率论涉及到事件的互斥与独立性，这两个概念在概率计算中非常重要。
本文将总结和解释这些概念的相关理论。
1. 事件的互斥性互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况。
在数学中，两个事件A和B互斥意味着它们没有公共的结果。
假设事件A是投掷一个骰子得到结果为1，事件B是投掷一个骰子得到结果为6。
由于骰子的结果只能是一个数字，事件A和事件B是互斥的，因为它们不能同时发生。
事件的互斥性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = 02. 事件的独立性独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
在数学中，两个事件A和B独立意味着事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
假设事件A是抽取一张红色扑克牌，事件B是抽取一张黑色扑克牌。
如果每次抽牌后都将抽出的牌放回牌组中，那么事件A和事件B是独立的，因为每次抽牌的结果都不会对下次抽牌的结果产生影响。
事件的独立性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)3. 性质- 互斥事件一定是不独立的，因为它们的发生是互相排斥的。
- 独立事件不一定是互斥的，因为它们的发生可以同时存在。
4. 应用互斥性和独立性概念在实际生活中有广泛的应用。
例如，在进行赌博游戏时，不同的赌注之间往往是互斥的，因为只能选择其中一项进行下注。
另一个应用是在进行统计和概率计算时，需要判断事件之间的互斥性和独立性。
这有助于准确预测事件的发生概率和计算复杂事件的联合概率。
总结根据高中数学概率论定理，我们可以了解事件的互斥与独立性的概念。
互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
这些概念在概率计算和实际生活中都有重要的应用。
相互独立事件和互斥事件的公式
相互独立事件和互斥事件的公式相互独立事件和互斥事件是概率论与数理统计中非常重要的概念。
在实际生活和工作中，这两种事件都有着广泛的应用。
本文将对相互独立事件和互斥事件的公式进行详细的介绍和解释，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、相互独立事件的公式相互独立事件是指两个或多个事件之间不存在任何联系，即一个事件的发生与否不受其他事件的影响。
在概率论中，相互独立事件的概率计算公式如下：P(A∩B) = P(A)×P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
这个公式称为乘法公式，它表明：两个相互独立的事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
需要注意的是，在某些情况下，两个事件的独立性需要通过实验或统计数据来验证。
如果两个事件发生的概率不独立，那么上述公式不再适用。
因此，在进行概率计算时，应该先确定各事件是否相互独立。
在实际应用中，相互独立事件的公式可以用来计算多个事件同时发生的概率。
例如，如果有两个硬币，分别正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，那么同时正面朝上的概率是多少呢？根据乘法公式，P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.5×0.5=0.25，因此同时正面朝上的概率是0.25。
二、互斥事件的公式互斥事件是指两个事件之间有排他性，即两个事件不能同时发生。
在概率论中，互斥事件的概率计算公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率。
这个公式称为加法公式，它表明：两个互斥事件至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和。
需要注意的是，互斥事件的概率计算公式只适用于两个事件。
如果有多个互斥事件，它们至少有一个发生的概率应该通过多次运用公式求和来计算。
在实际应用中，互斥事件的公式可以用来计算多种可能性的总体概率。
互斥事件与相互独立事件(高三复习)(新编教材)
两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件 A1, A2,, An 中的任 何两个都是互斥的，那么就说事件
A1, A2,, An 彼此互斥．
对立事件
其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一
高中数学 第二章 概率章末归纳总结课件 新人教B版选修2-3
部分面积．故选 C．
3．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、
D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概
率是( )
A．23
B．34
C．37
D．1230
[答案] B
[解析] 从六个点中任选 3 个点的方法有 C36＝20 种，能构 成三角形的三点需满足三点不共线的条件，不能是 A、C、E、 F 四点中的三点，也不能是 B、C、D 三点，所以不符合要求的 共有 C34＋1＝4＋1＝5 种方法，则能构成三角形的取法共有 15 种，所以能构成三角形的概率是 P＝1250＝34，故选 B.
分的人数． [解析] ∵考生成绩 X～N(500,502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P＝(550＜x≤600)＝12[P(500－2×50＜x≤500＋2×50)－
P(500－50＜x≤500＋50)]＝12(0.9544－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在 550～600 分的人数约为 25 000×0.135 9＝3
(2)由题意知，需检验产品的件数分别为 4(n≤2)，5 件(n＝
4)，8 件(n＝3)，故 X 的可能取值为 400、500、800，并且 P(X
＝400)＝1－C34(12)3×12－(12)4＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)
＝C34(12)3×12＝14，
∴X 的分布列为
∴P(B)＝P(B1)＋P( B 1B2)＋P( B 1 B 2B3)
＝
P(B1)
＋P(
B
1)·P(B2)
＋P(
B
1)·P(
B
2)·P(B3)
＝
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
高三一轮复习《互斥事件、独立事件与条件概率》
高三一轮复习《互斥事件、独立事件与条件概率》考纲考点：1、互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率2、独立事件的意义，会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率3、条件概率的概念，会用条件概率公式计算条件概率考情分析：互斥事件、独立事件（相互独立事件同时发生、独立重复）与条件概率是高考考查的中点内容，主要以应用题形式考查，以现实生活为背景，但实质仍是对互斥事件、独立事件与条件概率的考查。
考查中选、填、解答题中都可出现。
理科试题中往往与分布列、期望结合起来考查。
试题总体难度不大。
知识点：1、互斥事件： 叫做互斥事件互斥事件A 、B 有一个发生的概率计算公式：，则)(B A P = 。
2、对立事件： 叫做对立事件；A 的对立事件通常用 表示，且)(A p = 。
对立事件与互斥事件的关系： 。
3、独立事件：（1）若A 、B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与B 相互独立，即相互独立事件同时发生的概率满足乘法公式。
（2）独立重复试验：在相同条件下重复做n 次试验，各次试验结果相互不影响，那么就称为n 次独立重复试验。
若每次试验事件A 发生的概率都为p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率)(k P n = 。
4、条件概率：对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，称为事件A 发生的条件下事件B 的 。
记为 ，且)|(A B P = 。
题型一、事件的判断1、下列说法正确的是（ ）A 、事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 恰有一个发生的概率大B 、只有当事件A 、B 为对立事件时，A 、B 中至少有一个发生的概率才等于事件A 发生的概率加上B 事件发生的概率C 、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D 、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件2、从装有3个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的是（ ）A 、至少有一个白球；都是白球B 、至少有一个白球；至少有一个红球C 、至少有一个白球；都是红球D 、恰有一个白球；恰有2个红球3、掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a ，设事件A=“a 为3”，B=“a 为4”，C=“a 为奇数”，则下列结论正确的是（ ）A 、A 与B 为互斥事件 B 、A 与B 为对立事件C 、A 与C 为对立事件D 、A 与C 为互斥事件题型二、互斥事件与对立事件的概率及应用1、中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是73，乙夺得冠军的概率是41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率 。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全1.事件的概率计算：事件的概率是指该事件出现的可能性大小。
对于一个随机试验，事件A的概率可以通过以下公式计算：P(A)=N(A)/N其中，P(A)是事件A的概率，N(A)是事件A发生的次数，N是试验的总次数。
2.互斥事件的概率计算：互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。
对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过以下公式计算：P(A或B)=P(A)+P(B)其中，P(A或B)是事件A或事件B发生的概率。
3.相互独立事件的概率计算：相互独立事件指的是两个事件的发生与另一个事件的发生无关。
对于两个相互独立的事件A和B，它们同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B)其中，P(A和B)是事件A和事件B同时发生的概率。
4.条件概率计算：条件概率指的是在另一个事件发生的条件下，一些事件发生的概率。
对于事件A在事件B已经发生的条件下的概率，可以通过以下公式计算：P(A，B)=P(A和B)/P(B)其中，P(A，B)是事件A在事件B已经发生的条件下的概率。
5.乘法法则：乘法法则指的是两个事件同时发生的概率可以通过条件概率计算得到。
对于事件A和B同时发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A和B)是事件A和事件B同时发生的概率。
6.加法法则：加法法则指的是两个事件至少有一个发生的概率可以通过条件概率计算得到。
对于事件A或事件B发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)其中，P(A或B)是事件A或事件B发生的概率。
7.全概率公式：全概率公式用于计算一个事件在多个互斥事件发生的情况下的概率。
对于事件A在互斥事件B1、B2、..、Bn中发生的概率，可以通过以下公式计算：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，P(A，Bi)是事件A在事件Bi发生的条件下的概率，P(Bi)是事件Bi发生的概率。
高二数学互斥事件 相互独立事件人教版知识精讲
高二数学互斥事件 相互独立事件人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：互斥事件 相互独立事件二. 重点、难点：1. 互斥事件：)()()(B P A P B A P +=+（加法）2. 对立事件：1)()(=+A P A P3. 相互独立事件：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（乘法）4. 电子元件A 、B 接入电路正常工作的概率（1）串联 )()(B P A P P ⋅=（2）并联 )()(1B P A P P ⋅-=【典型例题】[例1] 有三个电器件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，将其中某两个并联后再与第三个串联，求使电路不发生故障的概率最大值。
A. T 1T 2并联B. T 2T 3并联C. T 1T 3并联∴ 846.0)()](1[)(321=⋅-=T P T T P A P 686.0)()](1[)(132=⋅-=T P T T P B P 776.0)()](1[)(231=⋅-=T P T T P C P∴ T 1T 2并联，再与T 3串联，不发生故障概率最大。
[例2] 某射击手，射击一次击中目标的概率为0.8，他连续射击三次。
（1）全部击中的概率（2）击中目标的概率（3）恰有一次击中目标的概率解：三次射击击中的事件依次为A 1、A 2、A 3（1）)()(321A A A P A P ⋅⋅=512.08.0)()()(3321==⋅⋅=A P A P A P（2）B 均不击中33212.0)()()()(=⋅⋅=A P A P A P B P992.0)(1)(=-=B P B P（3）)()()()(321321321A A A P A A A P A A A P C P ++=096.0)2.0(8.0213=⋅⋅=C[例3] 如图所示，为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率，假设各元件正常工作，相互独立，求接入电路后，电路导通的概率。
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：P(AB)＝2121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m∴ P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为 P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率P n (k)＝k P k (1-P)n-kP n (k)＝k P k (1-p)n-k 可以看成二项式［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是( )A.2-P1-P2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)E⋃，而解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件FE⋃)＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，P(FE⋃)＝1-P1-P2+P1P2.故选C.这样，P(F解法二：记号同解法一，所求事件为EF，由于E与F独立，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解 (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)+P(C)+P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概念是0.152.说明题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.例3甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.解 (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0，A 1，A 2，A 3；乙恰投中0次，1次，2次，3次为事件B 0，B 1，B 2，B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2利用公式可求得P(E)＝0.243例4 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解 (1)可以认为机床的工作是相互独立的.设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.(2)“3台机床中至少有一名不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++) ＝1-P(321A A A ) ＝1-P(1A )P(2A )P(3A )＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) ＝0.997即3名机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.【难题巧解点拨】例1 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?解 A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972P(A)＝1-P(A )＝0.0028.说明 出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法.例2 设在一袋子内装有5只白球和5只黑球，从袋子内任取5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋中，求这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率②至少有一次取得白球的概率解 本题考查事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.设取得一次白球的事件为A ，A 在一次试验中发生的概率P ＝0.5，所以取得白球3次的概率即A 在5次独立实验中恰好发生3次的概率.C 530.53(1-0.5)5.3＝0.3125≈0.31至少有一次取得的白球的概率为1-C 500.50(1-0.5)5＝0.96875≈0.97例3 每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.解 (1)P ＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝41×51＝201 (2)P ＝1-C 40(1-41)4(41)0＝1-(43)4＝256175评析：(1)为相互独立事件同时发生；(2)为n 次独立重复实验恰好发生k 次的事件，也可由P ＝C 41(41)1(43)3+C 42(41)2(43)2+C 43(41)3(43)+C 44(41)4(43)0求解.【课本难题解答】有甲、乙、丙三批罐头，每100个，共中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.解 (1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03(2)1-0.993≈0.03【命题趋势分析】本节主要了解互斥事件与相互独立事件的意义：会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；了解独立重复试验，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【典型热点考题】例1 将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )A.21 B.83 C.52D.1解 掷一枚硬币一次看作一次试验，出现上面事件为A ，则P(A)＝21，而连掷4次可看作4次独立重复实验，所求问题即为4次独立重复试验中事件A 恰好发生2次的概率是多少，根据n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式P n (k)＝k P k (1-P)n-k得到：P 4(2)＝C 42·(21)2·(21)2＝83∴应选B.例2 生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为( )A.1-(98%)4B.(98%)4+(98%)3·2%C.(98%)4D.(98%)4+C 41(98%)3·2%解 生产一件产品看作一次试验，产品为次品，记作事件A ，则所求问题就是4次独立重复试验中事件A 发生一次或不发生的概率.由公式 P n (k)＝k P k (1-p)n-k.得：P ＝C 40(2%)·(1-2%)4+C 41(2%)(1-2%)3＝(98%)4+C 41(98%)3·2% ∴应选D.本周强化练习： 【同步达纲练习】一、选择题1.若事件P 与Q 独立，则P 与Q ；P 与Q ；P 与Q 相互独立的对数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.下列正确的说法是( ) A.互斥事件是独立事件 B.独立事件是互斥事件C.两个非不可能事件不能同时互斥与独立D.若事件A 与事件B 互斥，则A 与B 独立.3.一个均匀的正四体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P 、Q 、R 表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是( )A.P 、Q 、R 不相互独立B.P 、Q 、R 两两独立C.P 、Q 、R 不会同时发生D.P 、Q 、R 的概率是314.一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是( ) A.第一次摸出是白球与第一次摸出是黑球B.摸出后不放回.第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球C.摸出后放回，第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球D.一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球5.某产品合格率为0.9，下列事件可看作独立重复试验( ) A.一次抽3件，都是合格品 B.一次抽3件，只有2件合格品 C.抽后放回，连续抽三次都是次品D.抽出后，合格品就不放回，是次品就放回，连续抽三次，三次都是合格品6.一批产品100件，其中5件是次品，从中任取三件，恰有一件是次品的概率是( ) A.C 31·0.05·(1-0.05)2B.51C.1005×3D.310025.915C C C7.推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是( )A.6B.5C.4D.38.甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为P ，乙不能解出的概率为q ，那么两人都能解出此题的概率是( )A.pqB.p(1-q)C.(1-p)(1-q)D.1-(1-p)(1-q)9.一批产品共有100个，次品率3%，从中任取3个恰有1个次品的概率是( )A.C 310.03(1-0.03)2B.C 31(0.03)2(1-0.03)C.C 31(0.03)3D.310019713C C C10.10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是( )A.［1-(65)10］5B.［1-(65)5］10C.1-［1-(61)10］5D.1-［1-(65)5］10二、填空题1.两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为.2.一个工人看管10部机器，在某段时间里一部机器需要人照看的概率为31，则在这段时间内，有四部机器需要照看的概率是.3.100个大小一样的球，其中红球90个，白球10个，现从中任取10个球.(1)若取后放回去，连续10个都是红球的概率＝；(2)若取后不放回，连续取10个都是红球的概率＝.4.每次射击打中目标的概率为0.2，如果射击6次，则至少打中两次的概率＝.5.某工人出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率＝.6.一批棉花中任抽一纤维，长度小于45厘米的概率是0.75，则任抽3根纤维，两根小于45厘米，一根不小于45厘米的概率是.7.盒中有7个白球和3个黑球，从中连续取两次，两次都是白球.(1)如第一个取出后不放回，再取第二个，此时概率为；(2)如第一个球取出后放回，然后再取第二个，此时概率为.8.某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为.三、解答题1.两位乒乓球运动员水平相当，甲四次中胜乙三次的概率与甲八次中胜乙五次的概率哪种大?2.三位同龄工人参加人寿保险，在一年中，每人的死亡率都是0.01，年初交10元保险金，如一年内死亡，则发给家属100元.(1)一年中，保险公司亏本的概率?(2)保险公司一年中要付出200元的概率是多少?3.两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已用完，第二个抽屉还剩2个的概率?【素质优化训练】1.某厂正常用水(一天内用水在额定量之内)的概率为43，求在六天内至少四天用水正常的概率.2.一盒中装有20个弹子球，其中10个红球，6个白球，4个黄球，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率.3.甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率? (2)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率?(3)比赛以乙比甲为3比1胜出的概率?4.现有一题面向全班50名同学征求解答，假定每人独立解出此题的概率为0.1，问此题能否在该班独立被解答的概率达95%?5.某人在车站上等车，可坐任何车回家，已知半小时内电车到站的概率为21，公交车到站的概率为41，计算此人十分钟内能乘回家的概率.【生活实际运用】船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费.据预测下月好天气的概率是0.6，坏天气的概率是0.4，问应如何作出决策?解 因为天气好坏是不确定因素，因此作决策时存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好的效益，但必须使效益的期望值是最高的.要作出是否出海的决策，其主要依据是效益的高低，根据题意，不出海的效益是-1000元，而出海的效益要视天气而定，有60%的概率获5000元的收益，有40%的概率获-2000元的收益，故可求得出海效益的期望值.E ＝5000×60%+(-2000)×40% ＝2200(元).显然高于不出海的收益-1000元.故选择出海.【知识验证实验】证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.证 将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.【知识探究学习】从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计鱼池中共有多少条鱼.解 依次捕鱼的情况有r 个结果，因是有放回地捕鱼，所以每次捕得都有n 种可能，共有n r 个结果，其中有记号的鱼出现k 次的基本事件数目为C r k n 1r (n-n 1)r-k，那么概率为P k (n)＝r(n n 1)k (1-nn 1)r-k. 为了求P k (n)的最大值时的n ，我们设x ＝nn 1，考察函数f(x)＝x k (1-x)r-k,x ∈(0,1). 而f(x)＝kk r k r k )(1--［(r-k)x ］k ［k(1-x)］r-k≤kk r k r k )(1--｛［∑=-k i k r 1)(x+∑-=-kr i x k 1)1(］/k+(r-k)｝k+(r-k)＝k k-r(r-k)-k［rx k k r x k r k )1()()(--+-］k+r-k＝rk r k rk r k --)(. 当且仅当(r-k)x ＝k(1-x)，即x ＝r k 时，上式等号成立，即rk＝x 时，f(x)达到最大.于是^n ＝［k r n 1］时，P k (n)达到最大值，这样我们把［k rn 1］作为鱼池中鱼数n 的估计量.在题中^n ＝10010001200⨯＝12000(条).[参考答案]【同步达纲练习】一、1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C二、1.P(A ·B)+P(A ·B )＝0.26 2.0.227 3.0.349，0.330 4.0.34 5.0.410 6.0.422 7.(1)157 (2)0.49 8.C 75·0.95·0.12三、1.C 43·(21)3·21＝41.C 85(21)5(21)3＝327，前者概率大于后者2.(1)1-(1-0.01)3＝0.0297 (2)C 32·(0.01)2·0.99＝0.0002973.C 85·0.55(1-0.5)3＝327 【素质优化训练】 1.C 64(43)4(41)2+C 65(43)5·(41)+C 66(43)6＝0.83 2.P ＝420410110310C C C C ＝32322 3.(1)P ＝(53)3＝12527 (2)P ＝C 53(53)3(52)2＝625216 (3)P ＝C 43(52)3(53)1＝62596 4.P ＝1-0.950＝0.995＞0.95. 故能够. 5.P ＝21×41+21×(1-41)+(1-21)×41＝85或者P ＝21+41-21×41＝85.。
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算实例解析
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算实例解析概率与统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
在概率与统计的研究中，事件的互斥与独立是两个基本的概念。
本文将通过实例解析，详细介绍互斥事件和独立事件的概率计算方法。
1. 互斥事件的概率计算实例解析互斥事件指的是两个事件之间不可能同时发生的情况。
以抛掷一枚硬币为例，事件A表示硬币正面朝上，事件B表示硬币反面朝上。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥事件。
当两个事件是互斥事件时，它们的概率计算方法如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B)例如，如果硬币是均匀的，则硬币正面朝上的概率P(A) = 1/2，硬币反面朝上的概率P(B) = 1/2。
因此，硬币正面朝上或者反面朝上的概率为：P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1由此可见，两个互斥事件的概率之和等于1。
2. 独立事件的概率计算实例解析独立事件指的是两个事件之间的发生与否互不影响的情况。
以从一副标准扑克牌中抽取一张牌为例，事件A表示抽到红心牌，事件B表示抽到大于等于10的数值牌。
由于抽取一张红心牌与抽取一张大于等于10的数值牌之间没有影响，所以事件A和事件B是独立事件。
当两个事件是独立事件时，它们的概率计算方法如下：P(A 且 B) = P(A) × P(B)例如，一副标准扑克牌中有13张红心牌，一共有52张牌，所以抽到红心牌的概率P(A) = 13/52。
而大于等于10的数值牌有10张，所以抽到大于等于10的数值牌的概率P(B) = 10/52。
因此，抽到一张红心牌且大于等于10的数值牌的概率为：P(A 且 B) = P(A) × P(B) = (13/52) × (10/52) ≈ 0.049由此可见，两个独立事件的概率之积等于它们各自的概率乘积。
综上所述，概率与统计中的事件互斥与独立是两个基本的概念，其概率计算方法分别为P(A 或 B) = P(A) + P(B)和P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
高中数学细说“互斥”与“相互独立”事件专题辅导
细说“互斥”与“相互独立”事件万晓红事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念，虽然它们都是针对两个事件而言，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件可以同时发生，并且一个事件发生与否对另一事件的发生没有影响，一般来说，两个事件不可能既是互斥事件又是相互独立事件，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果这些事件是同一个随机试验的不同结果，或同一结果的不同试验，并且其中没有不可能事件）为研究前提的。
在解题过程中，如不注意区分这两个概率念，便会弄混事件的关系，错误地使用概率加法或乘法公式，导致结果出错。
例1 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为A+B 。
∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=825.03.07.0C 2.08.0C 223223=⨯⨯+⨯⨯。
错因剖析：本题错解的原因在于把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的事件和。
正解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为事件AB ，则P （AB ）=P （A ）·P （B ）=169.03.07.0C 2.08.0C 223223=⨯⨯⨯⨯⨯。
例2 某家庭电话在家中有人时，打进的电话铃响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？错解：设电话铃响第一声时被接的概率为P （A 1）=0.1；电话铃响第二声时被接的概率为P （A 2）=0.3；电话铃响第三声时被接的概率为P （A 3）=0.4；电话铃响第四声时被接的概率为P （A 4）=0.1，所以在电话铃响前4声内被接的概率是：P=P （A 1）·P （A 2）·P （A 3）·P （A 4）=0012.01.04.03.01.0=⨯⨯⨯。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
高二数学 独立事件概率 知识精讲 人教版
高二数学 独立事件概率 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：独立事件概率互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率二. 重点1. 互斥事件只有一个发生的概率如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．2. 相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．【典型例题】例1.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=例2.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.总之，男女生相差6名.例3.某种零件经过三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？（结果精确到0.01）解：记第一道工序合格为事件A ，第二道工序合格为事件B ，第三道工序合格为事件C ，则P （A ）=95%，P （B ）=98%，P （C ）=99%，且事件A 、B 、C 相互独立。
10.3互斥事件和相互独立事件的概率
10.3.2互相独立事件的概率乘法公式 情境导入 甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球， 2个黑球,从这两个坛子里分别摸出1个球，他们都是白球的 概率是多少？ 知识探究 我们把“从两个坛子里分别摸出一个球，且从甲坛子 里摸出白球”，叫做事件A，把“从两个坛子里分别摸出一 个球，且从乙坛子里摸出白球”叫做事件B。很明显，A、B 两个事件发生的概率互相没有影响。这样，我们给出独立 事件的定义：事件Ａ是否发生对事件Ｂ发生的概率没有影 响，这两个事件叫做相互独立事件。 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与 B , A 与B、 A 和B 也都是相互独立。
10.3互斥事件与相互独立事件的概率
10.3.1互斥事件的概率加法公式 情境导入
3 ，李华被 本次班长竞选，王明被选为班长的概率为 A
选为班长的概率为 1
10 ，说说王明或李华被选为班长的概率为
2 多少？ 知识探究 事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的事件 叫做互斥事件。如果事件Ａ和Ｂ不能同时发生，且A或者B必然 有一个发生，那么事件A和B互为对立事件。事件A的对立事件 A 通常记作 。 如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生的概率，等 于事件A、B分别发生的概率的和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)
两个相互独立事件同பைடு நூலகம்发生的概率，等于每个事件发生 的概率的积，即 P（A•B）=P（A）•P（B）
高中数学概率《事件的相互独立性》复习
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)相互独立事件的判断. (2)相互独立事件概率的计算. 2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想 求概率. 3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.
基础巩固
1.掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点 或6点”，则事件A，B的关系是 A.互斥但不相互独立
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解 记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则 D＝ A B，所以 P(D)＝P( A B)＝P( A )·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
延伸探究 本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？
解 记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一 则事件 E 包括 A B，A B ，AB，且它们彼此为互斥事件. 所以 P(E)＝P( A B＋A B ＋AB)＝P( A B)＋P(A B )＋P(AB)＝0.5×0.6＋ 0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8. 方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙 两种保险都不购买”为对立事件. 所以 P(E)＝1－P( A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝12×1165＝1352.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机
床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ， 4
解 记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出 密码”. 两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.
互斥事件与相互独立事件(高三复习)
Ⅱ.互 斥 事 件 ：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生
. 相互独立事件指在不同试验下的两个事件互不影响 ：
P( A B) (1) A、B相互独立时：
( 2 ) A1 , A2 , , An 彼此独立：
P ( A) P ( B )
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
独立重复试验如果在 1Fra bibliotek次试验中某事件发生的概率是 P ，那 么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的 概率 k k n k Pn (k) C n P (1 P) （k＝0,1,2,…，n） 说明：⑴独立重复试验，是在同样的条件下重复 地、各次之间相互独立地进行的一种试验； ⑵每一次独立重复试验只有两种结果，即某事件 要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发 生的概率都是一样的； (3)此公式仅用于独立重复试验．
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言呐刚刚心申沉浸,几乎是瞬息间就找到了参悟道则の切入点.而且,申魂历上の消耗,相比在外界,简直能够说是忽略不计了.“继续！”鞠言惊喜之中,将杂念祛除出脑泊.进展申色.虽然是远不能与参悟普通道则相比,但呐碎片空间の道则,乃是混元至高道则.能够参悟一条,对修行者而言 都有巨大の进步.要知道,便是许多善王级の道法修行者,都没有掌握哪怕一条至高道则.事实上,寻常の善王,平事连感悟至高道则の机会都没有.那混鲲兽の价值为何极其珍贵,堪称无价之宝?就是由于,通过混鲲兽,修行者能够尝试参悟其体内残存の至高道则.而一般の善王,又哪里有机会 参悟?所以,便是在暗混元空间,也只有那些混元无上级の存在,参悟至高道则の机会才会比较多.当然了,普通の道法善王,即便有参悟の机会,但想参悟至高道则也是异常艰难の.以鞠言呐样の天赋,在最初刚刚接触碎片空间白色区域至高道则の事候,都无比の吃历.而拥有混元碎片の鞠言, 相比其他人,确实是有了一个得天独厚の巨大优势.混元碎片内の至高道则,不仅更为完整,而且数量极多.暗混元空间の善王们,包括诸多混元无上级善王,也没有鞠言の呐种优势.暗混元空间应该从未毁灭过,所以也就没有混元破灭后遗留下来の遗迹,自然也就没有混元碎片.明混元空间中, 由于混元多次大破灭,便有很多混韩了混元核心の难以毁灭の碎片留存了下来.混元碎片の价值,在暗混元空间,绝对是能够称之为无价之宝の.如果鞠言の混元碎片暴露出去,那恐怕会引起整个暗混元空间の震动.那些混元无上级强者,甚至是天庭大王,恐怕都要忍不住出手抢夺了.所以,在 没有真正碾压一切の实历之前,鞠言不能将混元碎片暴露在人前.法辰王国修炼秘境内の鞠言,全申贯注の沉浸在参悟至高道则之中.事光荏苒！转眼,几个月の事间便是悄然过去了.而在呐数月の事间里,鞠言仅仅才用了一颗红毛果来恢复消耗の申魂历.呐若是在外界,呐自然是不可能の事 情.在外界,怕是一天の事间就要消耗一颗红毛果才能让鞠言持续の参悟至高道则.而最为叠要の不是红毛果の消耗多少,乃是参悟至高道则の进度.“呼！”几个月后の呐一天,鞠言轻轻呼出一口气,他睁开双目,眼申异常の明亮.“成功参悟了一条至高黑道则！”鞠言轻声说道.“太不可思 议了！”“按呐种进度,一千年の事间,俺得参悟多少至高道则?”鞠言眼申晶亮.“俺与红叶王国尹红の实历差距,本也不是非常大.若正面交手,尹红不可能直接碾压俺.俺不敌他,但是坚持一段事间必是能做到.俺の乾坤千叠击,对他也有威胁.”“等俺参悟多一些数量の至高道则,就能正 面击败他！可惜,俺没有与他真正の交手,无法精确演算出他の战斗历,只能大致上の粗略估算了.”鞠言眯了眯眼睛.鞠言粗略の推算,如果自身能够掌握超过二拾条至高黑道则,就能与尹红正面一战.若能掌握三拾条以上の至高道则,就差不多能够击败尹红战申.“若是……俺能掌握超过伍 拾条至高道则.那么,碾压尹红也未必不能够！”鞠言心脏也是‘咚咚’の猛跳起来.(本章完)第三零陆零章白驹过隙当然,那红叶王国战申尹红并不能算是鞠言最想要斩杀の目标.鞠言最想击杀の,是红叶王国创国老祖红叶大王.尹红虽然在战申榜排位赛期间偷袭了鞠言,可鞠言心中恨意最 浓の是红叶大王.然而对红叶大王の实历究竟有多强,鞠言并无清晰の认识.对尹红,鞠言好歹能粗略估算出他の实历,可对红叶大王,鞠言就连粗略の估算都无法做到了.天庭大王の实历究竟有多强,鞠言不得而知.总之,必定是要比尹红强出很多,也定是比方烙老祖呐样の善王强大很多.否则, 方烙老祖在红叶大王面前不会那么忍气吞声.“俺现在能做の,就是继续参悟至高道则.”“借助法辰王国の修炼秘境,一千年事间,俺要尽可能の参悟更多の至高道则.待俺从修炼秘境出去,即便仍不能击杀红叶大王,但也不能仍是任由对方揉捏.”鞠言眸子闪了闪.他琛琛の吸了口气,申念 再度进入碎片空间,沉浸在那片黑色の至高道则区域.在进入修炼秘境之前,鞠言只掌握了一条至高黑道则,而正是由于掌握了呐条至高黑道则,令鞠言在暗混元空间道法上也达到了善王级,并且能施展出乾坤千叠击呐样の杀招.进入修炼秘境,约莫是四个月左右の事间,鞠言掌握了第二条至 高黑道则.如此,又是数月事间过去,鞠言掌握了第三条至高黑道则.至高级の道则,虽是没有明确の属性区别,但其本质也是不同の.不管是在暗混元还是明混元,那天地之间无穷无尽の道则之历,本也都是源于至高道则.事光如白驹过隙,悄然中飞速の流逝着.转眼,鞠言已是在法辰王国修炼 秘境内修行了伍百年の事间.呐伍百年事间,对整个混元空间来说,不过弹指一瞬.伍百年事间过去,混元空间,几乎是没有发生哪个变化.上届战申榜排位赛,也过去伍百年の事间里,在混元空间,仍然有许多の修行者,谈论着关于鞠言战申の事情.鞠言战申参加战申榜排位赛之前,毫无名气,没 有哪个人知道呐位来自龙岩国の鞠言战申.然而,鞠言战申在战申榜排位赛中大放异彩,接连击败强敌证明了自身强大无比の实历.若不是最后发生红叶王国要灭杀鞠言战申の事情,鞠言战申很可能击败玄秦尪国の肖常崆战申进入战申榜前拾.虽是数百年过去,但是
数学高二期末考知识点概率
数学高二期末考知识点概率概率是数学中非常重要的一个概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。
在高二的数学学习中，概率也是一个重要的考点。
本文将详细介绍高二数学期末考试中涉及的概率知识点。
一、基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一个数值。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
而对于某个事件A来说，其概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能性。
二、事件的互斥和独立在概率中，事件的互斥和独立是两个重要的概念。
1. 互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
例如，掷骰子时，出现点数是奇数和出现点数是偶数是互斥事件，因为同时出现奇数和偶数是不可能的。
2. 独立事件指的是两个事件发生与否互不影响。
例如，抽取扑克牌时，第一次抽到红桃的概率是1/4，如果将抽到的牌放回，再进行第二次抽取，第二次再抽到红桃的概率仍然是1/4，两次事件是独立的。
三、事件的组合与计算在概率计算中，我们经常需要对多个事件进行组合与计算。
1. 事件的并集与交集：事件A和事件B的并集表示事件" A或B发生"，记作A∪B；事件A和事件B的交集表示事件"A和B同时发生"，记作A∩B。
2. 事件的对立事件：对于事件A来说，与事件A互斥且必然发生的事件称为事件A的对立事件，记作A'。
事件A与其对立事件的概率之和等于1，即P(A) + P(A') = 1。
四、条件概率与独立性条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
如果两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，则称事件A与事件B是相互独立的。
独立事件的特点是，两个事件发生与否互不影响。
五、排列与组合排列与组合是求解事件发生次序和选择个数的问题，它们在概率中也有一定的应用。
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高二下学期数学期末复习（8）
互斥事件，相互独立事件的概率
一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、
相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率．
二．知识结构：
1．事件的和：
设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个 发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，
在同一试验中， 12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生.
2．互斥事件与彼此互斥：
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥.
3．互斥事件有一个发生的概率：
如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和
即 ()()()P A B P A P B +=+ .
如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A ++
+=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=.
4．相互独立事件
事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件.
设,A B 是两个事件，那么A B ⋅表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生.
5．相互独立事件发生的概率
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.
()()()P A B
P A P B ⋅=⋅. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅
⋅=.
即：如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生
的概率的积.
说明：①事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：
()()()()P A B P A P B P A B +=+-⋅.
②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件
不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概
率 没有影响.
6．独立重复试验.
独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验
中发生的概率都是一样的.
一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发
生k 次的概率为()(1)k k n k n n P k C P P -=-，()(1)
k k n k n n P k C P P -=-可以看成二项式 [(1)]n P P -+的展开式中的第1k +项.
三．基础训练：
1．下列正确的说法是
（ ） ()A 互斥事件是独立事件；
()B 独立事件是互斥事件；
()C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立； ()D 若事件A 与B 互斥，则A 与B 独立.
2．10张奖券中含有3张中奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率是（ ）
()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯
()C 310 ()D 2173310
3A A A 3．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人 在不同的3天参加劳动的概率为 （ ） ()A 73 ()B 353 ()C 4930 ()D 70
1 4．两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已 用完，则第二个抽屉还剩两个的概率是 ．
四．例题分析：
例1．证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比 赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.
例2．设一台机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，一周5 个
工作日里无故障可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少？
例3．一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．如果甲队全投3分球，则有8 次
投篮机会．如果甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0.8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．某地区的年降水量，在100～150毫米范围内的概率是0.15，在150～200毫米范围内的概 率是0.24，在200～250毫米范围内的概率是0.20，在250～300毫米范围内的概率是0.17， 则年降水量在200～300毫米范围内的概率是
（ ） ()A 0.17 ()B 0.20 ()C 0.56 ()D 0.37
2．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次 取到合格品的概率是2P ，第3次取到合格品的概率是3P ，则
（ ） ()A 23P P > ()B 23P P = ()C 23P P < ()D 不能确定
3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一 个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的 概率为
（ ） ()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 44
9 4．推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了有95%的把握 摧毁工事，至少需要发射炮弹的个数是
（ ） ()A 6 ()B 5 ()C 4
()D 3
5．某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为 .
6．10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 ．
7．每周甲去某地的概率是
41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：
(1)一周内甲、乙同去某地的概率；
(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.
8．甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为
53，乙每盘胜率为5
2(和棋不算)， 求：（1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率？
（2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率？
（3）比赛以乙比甲为3比1胜出的概率？。