研究性课题：多面体欧拉定理的发现
思考与例题讲解：研究性课题：多面体欧拉公式的发现(一)第九课时
思考与例题讲解：研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）第九课时一、在教学欧拉公式时应注意些什么？（1）本节课“多面体欧拉公式的发现”，采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点，教学中，教师应充分利用其教学价值.这个课题的重要性不在于定理本身及它的应用，而在于定理的发现及证明.因此，研究的过程也是体验数学大师是如何运用数学思想方法的过程.（2）研究这个课题时，应先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点、棱、面的数目列出表格，让学生观察发现其中的规律后，再举更多的例子验证.进而猜想并验证结论.（3）教学中，应适当介绍数学家等的业绩，增加学生对数学史的了解，学习数学家的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对数学，对科学的热爱和对理想的追求.（4）由于这是一个研究性的课题，学生是研究的主体，所以，在活动中可以让学生充分展开自由的想象，热烈的讨论，相互进行数学交流，教师在进行适当引导的同时，应小心地呵护学生思维的闪光点，通过这个过程的活动进一步培养学生的创新意识.二、欧拉公式的证明欧拉公式V +F －E =2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点.下面，介绍另两种思维方法供参考.证法一：（1）假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V 、E 不变，只是F 少1，于是即证在网络中V －E +F =1.（2）在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E 、F 各加上1，V －E +F 不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络.（3）边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V 不变，E 、F 各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F 、V 各减少1，E 减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉（如图）.（4）最后剩下一个三角形，显然满足V －E +F =1，从而在凸多面体中，V －E +F =2. 证法二：设F 个面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则所有面角总和∑a =（n 1－2）π+（n 2－2）π+…+（n F －2）π=（n 1+n 2+…+n F ）π－2F π=2E π－2F π ①如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n 边形，可得到一个由n 边形围成的网络，内部有V －n 个点.则∑a =（n －2）π+（n －2）π+（V －n ）2π=（n －2）2π+（V －n ）2π②由①、②易得我们所得到的式子.三、欧拉公式的简单应用举例［例1］正二十面体的棱长为a ,连结相对顶点的对角线为b ,求它的体积.解：连结正二十面体的中心与各顶点的线段，将正二十面体分成二十个相等的正三棱锥，这个正三棱锥的侧棱长为2b ,底面半径为33a ,由侧棱长、高、底面半径所组成的直角三角形，求出高h =22)33()2(-b ∴V 正二十面体=20V 正三棱锥=20×2222224365)33()2(4331a b a a b a -=-⋅⨯ ［例2］简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数.解：设面数为F ，顶点数为V ，棱数为E .∵每个面上有5条边，每两边合为一条棱∴E =25F ， 又∵每个顶点处有3条棱，每2个顶点间只有1条棱. ∴E =23V ，V =35F . 又由欧拉公式V +F －E =2得35F +F －25F =2 ∴F =12，V =20，E =30.。
综合实践活动 课题多面体欧拉定理的发现研究过程
综合实践活动：课题多面体欧拉定理的发现研究过程一、引言多面体欧拉定理是数学中的一项重要成果，它揭示了多面体的结构特征与顶点、边和面的关系。
本文将深入探讨多面体欧拉定理的发现研究过程，从历史背景、重要人物、关键实践活动等多个角度进行分析，以期对多面体欧拉定理的研究有更全面、详细、完整的了解。
二、历史背景多面体欧拉定理最早可以追溯到18世纪，当时数学家欧拉第一次提出了这个问题并得出了规律。
然而，在欧拉之前，古希腊数学家已经开始研究多面体，比如柏拉图就研究过正多面体。
多面体欧拉定理的发现离不开这些前人的努力，他们的研究奠定了基础。
三、欧拉的贡献3.1 多面体的定义在研究多面体欧拉定理之前，欧拉首先对多面体进行了界定。
他定义多面体为一个封闭的凸多面体，其由有限个平面多边形围成。
这个定义奠定了欧拉研究的基础。
3.2 欧拉公式的提出欧拉在研究多面体时，发现了一个有趣的公式，即多面体的顶点数、边数和面数之间存在着一个固定的关系：顶点数加上面数等于边数加2。
这个公式后来被称为欧拉公式。
3.3 通过多面体实践验证为了验证欧拉公式的正确性，欧拉进行了大量的实践活动。
他通过构建各种多面体，比如立方体、四面体、正六面体等，计算它们的顶点数、边数和面数，结果都符合欧拉公式的规律。
通过实践活动，欧拉成功地验证了自己的猜想，并得出了多面体欧拉定理。
四、多面体欧拉定理的证明欧拉提出的多面体欧拉定理虽然在实践中得到了验证，但其证明却花费了许多时间。
直到1864年，数学家C.A.根特梅尔提出了一种较为简洁的证明方法，被广泛接受并被视为多面体欧拉定理的正式证明。
4.1 根特梅尔的证明思路根特梅尔的证明思路非常巧妙，他首先考虑了二面体图（dual graph）的概念，即将多面体的面变成图的顶点，将多面体的边变成图的边。
然后，通过对二面体图进行分析，运用图的性质和拓扑学的知识，他得出了多面体欧拉定理的证明。
4.2 证明的要点根特梅尔的证明主要包括以下要点： - 根据二面体图的性质，证明了二面体图的性质与多面体的结构有关。
多面体欧拉公式的发现
多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
多面体欧拉公式的发现”教学设计
多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。
3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。
4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。
三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。
欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。
本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。
同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。
因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。
四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。
本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。
本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。
②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。
③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。
④强调“协作学习”。
五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。
七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。
研究性课题多面体欧拉定理的发现
•
数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是 橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形 （立体图→平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等 与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我 们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘 连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中 的不变的性质。
归纳小结 1、简单多面体的概念 2、欧拉公式： 3、欧拉公式的证明，其思想是一种拓扑思想—— 化“空间”问题为“平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的思想。
• 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡 献的三位科学家．如图9－104， 是由60个C原 子构成的分子，它是一个形如足球的多面 体．这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一 端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边 形，你能计算出 中有多少个五边形和六边形吗？
球面
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（2）简单多面体概念 表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。 棱柱,棱锥,正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
5.猜想：
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 • 6.证明：
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先以简单的四面体ABCD为例分析证法 去掉一个面BCD，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的 面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为 平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变 为“树枝形”。
研究性课题：多面体欧拉公式的发现1
§38 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）一、素质教育目标(一)知识教学点1．简单多面体的V、E、F关系的发现．2．欧拉公式的猜想五种。
3．欧拉公式的证明。
(二)能力训练点1．能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律。
2．能通过进一步观察验证所得的规律。
3．能从拓朴的角度认识简单多面体的本质。
4．能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想。
5．了解欧拉公式的一种证明思路。
(三)德育渗透点1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学磊师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。
2．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：欧拉公式的发现．2．解决方法：遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程三、课时安排：2课时。
这是本内容的第1课时。
四、教与学过程设计(一)课题导入瑞士著名数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕和从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。
比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化: f(x)---函数； e---自然对数的底数； a,b,c---△ABC的三边等．数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。
其中欧拉公式e iπ+1=0 ,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E+F=2(V、E、F分别表示多面体的顶点、棱和面数。
今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，热烈讨论积极交流。
(二)讲授新课1．填表、观察、找规律（1）填表：先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F及棱数E，填入表1（P56）；（2）观察：继续观察表1的各组数据，试找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（3）分析：（学生讨论）问题1：表1中多面体的面数F都随顶点数V的增大而增大吗？试举例说明。
研究性课题 多面体欧拉公式的发现
研究性课题 多面体欧拉公式的发现【教材分析】教材结合9.8节关于多面体的分类而编，目的在于以学生主动参与的发现式学习活动，培养他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力。
【学情分析】该公式的证明较抽象，前后知识的联系较少，学生理解上有较大难度。
但在前面立几教学中学生已有将空间问题转化为平面问题来研究的降维思想和转化策略的基础，所以本节课采用多媒体辅助教学，降低空间想象的难度，突破降维过程中的变与不变的难点，从而达到降低教学难度的目的。
【教学目标】1、知识目标：培养学生观察，归纳，大胆猜想的能力，了解欧拉公式的发现及其法。
2、能力目标 掌握公式证明体现的思想方法。
使学生领悟转化、化归思想，从空间到平面的降维策略，学会从一般到特殊和特殊到一般的分析问题和解决问题的方法，增强学生应用数学知识解决实际问题的的意识和能力。
3、情意目标 通过教学使学生了解和感知欧拉公式发现的历程，激发学生热爱科学勤奋学习热情，培养学生勇于探索的创新意识。
【教学重点】欧拉公式和它的证明，证明的思想方法是重点。
【教学难点】证明过程是难点。
【教学过程】问题1：下面6个多面体，分别数出它们的顶点数V 、面数F 和棱数E ，并填出表1。
(1) (2) (3)(4) (5) (6) D 1C 1B 1A 1AB CD B 1D 1C 1E 1A 1ABCDE观察表1中各组数据，猜想V 、F 、E 之间的规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
是否任意一个多面体都有上述规律吗？问题是数学的心脏。
创设问题情境，让学生在解决问题的过程中去观察、猜想、探索；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探究性学习的习惯，培养和锻炼学生的探究能力。
问题2：下面3个多面体，分别数出它们的顶点数V 、面数F 和棱数E ，并填出表2。
（7） （8） （9）简单直观的问题情景能一下子激发学生探索的兴趣。
学生进入问题情景，发现问题，在问题的驱动下，进入探究性活动。
多面体欧拉定理的发现g
研究性学习课题
二、多面体欧拉公式的发现
问题1：观察以下五个多面体的顶点数V、面数F、 棱数E各是多少？它们之间有没有什么关系？
二、多面体欧拉公式的发现
问题2：是否所有的多面体的顶点数V、面数F和棱数E都满 足V+F-E=2？我们再看看下面的3个多面体，它们的顶点
数V、面数F和棱数E又是多少？
（2）如果一个简单多面体的面 都是m边形，则
解：设C60分子中形状为五边形和六 边形的面各为x个和y个
多面体的顶点数V=60,面数F=x+y
棱数E
代入欧拉公式，可得
6 0(xy)1(36)02 2
另一方面，棱数可以由多边形的边
数来表示，即 1(5x6y)1(360)
2
2
由以上两个方程可解出
x=12，y=20
答：C60分子中形状为五边形和六边 形的面各有12个和20个。
(4)图2中全体多边形的内角和是多少？它是否等于(V-2) × 360
(V-m)×360 +。2(m-2)×180 =。(V-2)×360 。 (5) (E-F)× 360 与(V-2)× 360 之间什么关系？说出理由，利
用这个关系式能导出欧拉公式吗？ (E-F)×360 =。(V-2)×360 。
。
。
(n1-2)×180 +(n2-2)×180 +...+(nF-2)×180 =
。 (n1+n2+...+nF-2F)×180
。
(2)n1+n2+...+nF和多面体的棱数E有什么关系？说出理由.上述内角和
是否等于（E-F)× ?
360
(第30课)多面体欧拉定理的发现(2)
课 题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现 (二)教学目的：会用欧拉公式解决实际问题 教学重点：欧拉定理的应用教学难点：在具体问题中会利用顶点V 、面数F 、棱数E 的关系互化 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E 有关系式： 2V F E +-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()161632f p =+-=二、讲解范例：例1 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nFE =（1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE = （2） 由（1）（2）得：2EF n =，2E V m =代入欧拉公式：222E EE m n+-=． ∴11112m n E+-= （3）， ∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，（若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的）∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E+-=>，∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤． 同样若3m =可得35n ≤≤．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯ （2），由（1）（2）得：12x =，20y =∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数解：由题意设每一个面的边数为m ,则(2)20F m ππ-=， ∴(2)20F m -=，∵2mFE =，∴10EF =+, 将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,则62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m +=（1）, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥， ∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时（1）中m 无整数解； 当5n =,由（1）得3m =, ∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =.三、小结 ：欧拉定理的应用；会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题 四、课后作业：⒈ 一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4证明：∵23FE ＝ ，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 ⒉ 设一个凸多面体有V 个顶点，求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360°解：设此多面体的上底面有V 上个顶点，下底面有V 下个顶点 将其下底面剪掉，抻成平面图形则 V 上·360°＋（V 下－2）·180°＋（V 下－2）·180° ＝（V 上＋V 下－2）·360° ＝（V －2）360°⒊ 有没有棱数是7的简单多面体？说明理由 证明：∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点， ∴没有棱数是7的简单多面体⒋ 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边 证明：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的∴不存在这样的多面体五、板书设计（略）六、课后记：。
综合实践活动 课题多面体欧拉定理的发现研究过程
综合实践活动课题多面体欧拉定理的发现研究过程一、研究背景多面体是几何学中的一个重要概念，它是由平面多边形围成的空间图形。
欧拉定理是关于多面体的一个重要定理，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理被认为是几何学中最优美的定理之一，因此对其进行深入研究具有重要意义。
二、研究目的本研究旨在通过综合实践活动，探究多面体欧拉定理的发现过程，并深入分析其数学原理和应用价值。
三、研究方法本研究采用综合实践活动作为主要研究方法。
首先，通过制作模型来深入了解多面体的特征和性质；然后，通过观察模型并进行计算，逐步发现欧拉定理；最后，通过讨论和总结来深化对欧拉定理的认识。
四、制作模型1.材料准备我们需要准备以下材料：彩纸、剪刀、胶水、牙签等。
2.制作过程首先，我们根据需要制作不同种类的多面体模型，并按照要求进行剪裁、折叠和粘合，最终得到一个完整的多面体模型。
3.观察特征通过观察模型，我们可以发现多面体有以下特征：（1）由平面多边形围成。
（2）每个顶点被围绕着若干个面和若干条边。
（3）每条边连接两个顶点，并被两个面共享。
五、发现欧拉定理1.欧拉定理的表述欧拉定理是指：对于任意一个凸多面体，它的顶点数、边数和面数满足以下关系式：顶点数-边数+面数=22.推导过程我们可以通过观察模型并进行计算来推导出欧拉定理。
以正四面体为例，它有4个顶点、6条边和4个三角形面。
根据欧拉定理，我们可以得到：4-6+4=2即验证了欧拉定理的正确性。
六、深入分析欧拉定理的原理和应用价值1.原理分析欧拉定理是基于拓扑学的概念推导而来。
它表明了凸多面体中各元素之间的关系，并且具有普适性和可推广性。
2.应用价值欧拉定理在数学、物理、计算机科学等领域具有广泛应用。
例如，在计算机图形学中，欧拉定理可以用于三维建模和渲染；在物理学中，欧拉定理可以用于描述多面体的力学特性等。
七、总结与展望本研究通过制作模型和计算验证，深入探究了多面体欧拉定理的发现过程，并分析了其原理和应用价值。
研究性课题多面体欧拉定理的发现
研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的发现.教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。
种种磨难，并没有把欧拉搞垮。
大火以后他立即投入到新的创作之中。
资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。
他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。
他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。
多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
多面体欧拉定理的发现
欧拉---16 岁获得硕士学位；
去世后还留下100多篇待发表；
b、c 表示△ABC，用∑表示求和，用i 表示虚数单位等；
方法、欧拉方程、欧拉定理。
2 、欧拉眼中的简单多面体
棱
柱
棱
锥
正多面体
简单多面体
凸多面体 充气后
01
在立体几何多面体 的研究中欧拉首
02
先发现并证明了欧 拉定理。今天我们 沿
03
01 欧拉公式的发现和证明是 得益于“多面体的表面都 是用橡皮薄膜制作的”这 一观念上的创新，是得益 于“向它们内部冲气”和 “底面剪掉，然后其余各 面拉开铺平”这一方法的 创新。
02 希望同学们能够象欧拉那 样善于思考、乐
于创新！
六
、
作
业
：
以正六面体为例验证多面体
欧
拉
定
理
单击此处添加副标题内容
着他的足迹也来探 索这个公式。
二、观察归纳
1、填表
正多面体
顶点数V
面数F
棱数E
正四面体
4
正六面体
68
正八面体
126 1220
正十二面体 3012
30 正二十面体
2、结论：
4 6
8
12 20
V+F–E＝2
3、验证提高
简单多面体
顶点数V
面数F
棱数E
N棱锥
N+1
N+1
2N
N棱柱
2N
N+2
3N
V、F、E 间的关系
V+F–E＝2
三、欧拉猜想
简单多面体的顶点数V、棱数E、及
面数F间有关系：V+F－E=2
§9.10多面体欧拉定理的发现
§9.10 研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标： 1. 通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2. 体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3. 通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体. 这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60 中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系. 我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2. 实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体 F V E四面体 4 4 6正方体 6 8 12五棱柱7 10 15四棱锥 5 5 8非凸多面体 6 6 10正八面体8 6 12“屋顶”体9 9 16截顶立方体7 10 15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。
这说明了什么？好像隐约透露出某种联系. 为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E 增加的顺序重排，得：多面体 F V E四面体 4 4 6四棱锥 5 5 8 非凸多面体 6 6 10正方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15 截顶立方体7 10 15“屋顶”体9 9 16 观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V 随E的增加而增加。
《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明
假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现一、教学目的1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。
2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；4、让学生再次体验几何体的美；5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。
二、教学重点1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。
三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。
四、教学过程t教案设计说明本节课设计为“研究性学习课题”。
以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。
本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。
在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。
并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。
在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。
其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。
通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。
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(不成立)
由观察发现并非对所有的多面体上述规律都成立。那么它对什么样的多面体一定成立呢？
拓扑变换：假定多面体的表面是用橡胶薄膜(不会破裂)做成的，对它们内部充气，观察变形情况：
一、简单多面体及欧拉定理
1、简单多面体：多面体表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体。
(棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体等都是简单多面体。)
①什么叫简单多面体的概念问题。所谓简单多面体即是：
多面体经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体称为简单多面体。
②经过观察、归纳、猜想，我们发现了简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间的一般规律：即
欧拉定理：简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足：
V+F-E=2
欧拉示性数f(p)=V+F-E
简单多面体的欧拉示性数f(p)=V+F-E =2
③根据欧拉定理，我们可解决简单多面体的一此实际问题。
注意：在利用欧拉公式解决问题时，计算棱数方法可从两个方面考虑：
(i)E=各面多边形边数总和除以2；
(ii)E=各顶点棱数总和除以2..
教
学
过
程
1、已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点都有4条棱，
试问这是几面体？
答案：∵多面体每个面有3条边，∴E=3F/2，又每个顶点有4条棱，
∴E=4V/2，又V+F-E=2，解得：E=12，F=8，V=6。
∴这个多面体是正八面体。
4、一个多面体共有10个顶点，每个顶点都有4条棱，面的形状只
有三角形和四边形，求作一个符合条件的模型，并说明作法。
作法：取一正方体，在相对的两个面的外侧各取一点，与该点最近面的顶点连线组成一个十二面体即为所求。
重
难
点
重点
欧拉公式的应用
难点
欧拉定理的推导
教学方法
学案导学法、多媒体教学法
教
学
过
程
一．设置情景：
思考：
1、什么是简单多面体？
2、简单多面体的顶点数V、南数F、棱数E之间有何关系？
二．课堂讨论：
复习回顾：
在平面几何中，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等。按边数可对多边形分类，同类的多边形具有某些相同的性质(如内角和相等)。n边形的内角和等于(n-2)180o
答案：去掉一线段，少掉一个点。F1=0不变，V-E值不变。
V+F-E有何变化？
答案：V+F1-E值不变
最后剩下AB：V=2、E=1、F1=0、V+F1-E=1，再加上去掉一个面
V+F-E=2
对简单多面体都可用此方法，最后剩下一线段而得结果。
三、知识应用
例1：下列说法：
①只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理
欧拉公式的证明方法很多，下面仅讨论其中两种思路。
思路1：
1、将多面体压缩为平面图形
①表示任意一个简单多面体②表示一个由若干多边形组成平面图形
引伸思考。
教
学
过
程
它们这之间有何对应关系？
答案：(V、E不变，F少1)
①能压缩为②吗？
答案：(能)
2、变形中的对应关系
①多面体变形为平面图形，多面体的顶点、棱和面变为平面图形中的什么？
③式子①、②有什么关系？从该关系能推出什么结论？
答案：③、显然(E-F)×360ｏ=(V-2)×360ｏ，由此可得V+F-E=2。
注意：各面多边形边数与棱数的关系为：各多边形边数之和/2=E
思路2：
以四面体ABCD为例说明：
1、如图：去掉一个面BCD，压缩成平面图形
变形后V、F、E有何变化？
答案：V、E不变，F1=F-1
2、已知一个凸多面体的面都是五边形，求证：V-3F=4
证明：∵多面体的每个面都有五条边，∴E=5F/2，又V+F-E=2，
∴V+F-5F/2=V-3F/2=2，∴V-F=4
五、课堂小结
本节课主要采用诱导启发形式，引导学生由特殊情况的分析，归纳猜想出简单多面体顶点数、面数、棱数之间的一般规律。培养学生分析问题、解决问题的能力。本节课解决了：
3、研究简单多面体欧拉定理有什么重要意义？
上述欧拉公式是通过观察、归纳、猜想得到结果，通过证明以后就成为欧拉定理。
以前我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积、全等度量问题，而欧拉定理与度量无关，事实上该问题在引导我们进入一个新的几何领域：拓扑学。用一种可随意变形但不撕破或粘连的材料(如橡皮泥)做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变性质。
得：(5x+6y)/2= (3×60)/2②
解方程组①、②得：x=12，y=20
所以C60分子中有12个五边形，20个六边形。
四、随堂练习
1、一个简单多面体的各个面都是三角形，证明它的顶点数V、
面数F的关系为F=2V-4
证明：∵多面体的每个面都有3条棱，每相邻两个面的
两条边重合为一条棱，∴E=3F/2，又由V+F-E=2，∴F=2V-4
答案：(顶点、棱和面变为：顶点、边、多边形)
②变形中多面体的面数F、顶点数V、棱数E，同平面图形中多边形的个数、顶点数、边数有什么关系？
答案：(顶点数=顶点数V；边数=棱数E；多边形的个数=面数F-1)
3、变形前后角的计算
怎样用面数F、顶点数V、棱数E表示多面体各面的内角总和？
答案：①、式子(E-F)×360ｏ就是用棱数和面数表示多面体各面的内角总和
事实上我们已看到了不同类型的多面体，它们的欧拉示性数也不同。数学家欧拉正是在研究多面体的分类时发现欧拉定理的。
二、证明欧拉定理：
前面我们通过观察的方法，归纳出了欧拉公式。但我们仅对某些简单多面体进行了验证，还缺乏针对一般简单多面体的证明。
多面体是立体图形，如果能将它转化为平面图形，而又使原来的顶点、面、棱，在不变其数量的条件下转化为平面图形中相应的点、多边形、线段，则会使问题变为我们所熟悉的关于平面图形的证明。
教
学
过
程
VF-E-1=V+F1-E
2、将平面图形外围线段逐一去掉，直至剩下树枝形图
变形后V、F、E有何变化？
答案：去掉一条棱，少掉一个面。V不变，F1-E值不变。F1=0
V+F-E有何变化？
答案：V+F1-E值不变
3、再将剩下树枝形图中线段逐一去掉，直至剩下AB
变形后V、F、E有何变化？
=360o(f1n1+f2n2+...+fknk)/2-360o(f1+f2+...+fk)=(E-F)360o
②式子(V-2)×360ｏ表示什么？你能结合变形后的平面图形作出解释？
答案：②把多面体压缩到一个边数为n的多边形内，对多边形面，封闭内的（V-n）个顶点，每个顶点为周角360o。∴内角和为(V-n)360o。而封闭的n边形上n个顶点内角和为(n-2)180o,再加上去掉一个n边形内角和为(n-2)180o,∴总内角和为:(V-n)360o+(n-2)360o=(V-2)360o。
教
学
过
程
数一数正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，填下表：
观察表中的各组数据你能发现表中V、F和E之间有什么规律？
写出你的猜想!
猜想：V+F-E=2
观察下面几个棱柱、棱锥，检验猜想中的规律对它们是否成立？
(成立)
再观察下面几个多面体，检验猜想中的规律对它们是否成立？
(成立)
教
学
过
程
是否对所有的多面体上式规律都会成立？
教案：
课题
研究性课题：多面体欧拉定理的发现
时间
地点
多媒体教室
授课教师
黄玉山
教学
目标
知识目标
简单多面体及欧拉公式，应用欧拉公式解题
能力目标
通过引导学生发现欧拉公式，训练学生观察、归纳、猜想能力，培养学生独立思考、发现问题和解决问题能力
德育目标
培养学生善于思考、敢于发现的精神，培养学生对科学的探索精神，了解由特殊到一般的科学发现之路，激发学生的创新意识，体会数学理论的应用价值，激发学生对数学的热爱及探索精神
在立体几何中，多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。
在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数、面数和棱数之间具有特定的关系。
给出五个正多面体：观察顶点数V、面数F、棱数E间关系。
备注：
情景设置：
思考两个问题，并给出两个简单多面体的变形演示引入。
复习引入新课
2、欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系式：V+F-E=2
该式子称欧拉公式
令f(p)=V+F-E,则f(p)称作欧拉示性数。显然简单多面体的欧拉示性数f(p)=2
除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。
教
学
过
程
带洞面体
f(p)=16+16-32=0
双锥面体
f(p)=7+8-12=3
②、式子(V-2)×360ｏ就是用顶点数表示多面体各面的内角总和。
①式子(E-F)×360ｏ表示什么？你能结合变形前的多面体作出解释？
答案：①由变形前的多面体，设共有F个面，有f1个面为n1边形，有f2个面为n2边形...有fk个面为nk边形。则多面体总内角和为：
f1(n1-2)180o+f2(n2-2)180o+...+fk(nk-2)180o
②所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理
③所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理
④所有多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理