14.3.1平方差公式
人教版初二数学上册《14.2.1 平方差公式》公开课课件
亲爱的读者： 1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.276.12407:2.164:0.220J2u0l-20:2206:206:26:02Jul-2020:26 亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:26。7.14.202020:267.14.202020:2620:26:027.14.202020:267.14.2020
归纳新知
解决实际问题的关键是根据题意 列出算式，然后根据公式化简算式， 解决问题．
课堂检测
基础题
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(–x＋y)(x–y)
C．(–x–y)(y–x)
D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于( A ) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1
考点探究1 利用平方差公式计算
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4； (2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
巩固练习
D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的 正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1_0____．
14.3 因式分解【教案】八年级上册数学
14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
平方差公式所有公式
平方差公式所有公式1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是最基本的平方差公式，也被称为差平方公式。
它告诉我们，如果要计算一个数的平方与另一个数的平方之差，可以将这两个数的和和差相乘，即可得到平方差的结果。
2. (a + b)² = a² + 2ab + b²这是平方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的平方，可以将这两个数的平方和它们的乘积相加。
3. (a - b)² = a² - 2ab + b²这是平方差公式的另一种形式，它告诉我们，如果要计算两个数的差的平方，可以将这两个数的平方减去它们的乘积的两倍。
4. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的立方与另一个数的立方之差，可以将这两个数的差和它们的平方和乘积相乘。
5. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的立方，可以将这两个数的和和它们的平方差相乘。
6.a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)这是四次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的四次方与另一个数的四次方之差，可以将这两个数的平方差和它们的平方和相乘。
7.a⁴+b⁴=(a²+b²)(a²-b²)这是四次方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的四次方，可以将这两个数的平方和和它们的平方差相乘。
8. a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)这是五次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的五次方与另一个数的五次方之差，可以将这两个数的差和它们的四次方和相乘。
2022—2023学年人教版数学八年级上册14
14.3.2公式法（1）平方差公式教学设计一、教学目标：1．能说出平方差公式的特点．2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．3．初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．5．在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，增强观察能力和归纳总结的能力. 二、重点难点：重点：掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式．难点：使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解．三、教学过程：(一).复习巩固：知识回顾：1、什么叫因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做这个多项式的因式分解.2. 分解因式⑴ 3ab2－3a2b⑵ 12x2+18x+6⑶ 6p(p+q)－4q(p+q)引出问题：如果一个多项式没有公因式，还能分解因式吗？例如：⑷x2 – 4=首先我们来计算(x+2)(x-2)=x2–4因此根据因式分解定义可以得到⑷x2 – 4= (x+2)(x–2）从而引出今天的课题：因式分解—公式法（1）平方差公式.设计意图：回顾因式分解的概念，强调因式分解是把一个多项式转换成几个整式乘积的形式，并且复习提取公因式法因式分解的关键，然后引出新的问题，当没有公因式时如何进行因式分解.着对因式分解的方法提出了新的要求，激发学生的学习兴趣，引发学生思考，从而引出今天的可以，让学生带着问题去学习，提高课堂效率.(二).过程探究1.新课导入：由平方差公式(a+b)(a-b) = a2-b2 （乘法公式）可以得出a2-b2 =(a+b)(a-b) （因式分解）从而总结出：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.表示为：a2 － b2 = (a+b) (a－b)这就是用平方差公式进行因式分解.设计意图：从上面的引例进一步探索平方差公式与因式分解的联系，开门见山，以填空的形式让学生给出a2 － b2 =？？让学生很自然的理解平方差公式的逆运算也是因式分解的形式，进而引出今天的学习重点.2.根据以上计算题思考：（1）观察上面的公式，思考具有什么样形式的多项式才能借助平方差公式进行因式分解呢？（2）因式分解的结果有什么样的形式特征？（3）试试用文字语言描述能用平方差公式分解因式的多项式特点：一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两个平方项异号.设计意图：引导学生用自己的语言叙述所发现的公式特点，允许学生之间互相补充，教师不急于概括，对表现好的同学进行鼓励，引导学生往正确的方向走.让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础.三、探究提升，学以致用练习1:下列多项式能用平方差公式因式分解吗？为什么？①x2+y2 ②x2 － y2③ －x2+y2 ④－x2 － y2例3 分解因式:(1) 4x2–9y²解：a² - b² = ( a + b)( a - b )4x² - 9y²=(2x)²-(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)注意：公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式.设计意图：让学生在交流中归纳能用平方差公式分解因式的多项式特点,强化认知，教师引导归纳，判断是否能用平方差公式的依据是首先必须得是一个二项式并且符号相反，还能写成平方的形式，观察，抓住公式的特点，使得运算达到事半功倍的效果.练习2: 分解因式(1) a2 －b2 (2) 9a2-4b2例3 分解因式:⑵ (x+p)2 – (x+q)2解：原式=【(x+p)+(x+q)】【 (x+p)– (x+q)】= (x+p+ x + q) (x+p–x–q)= (2x+p+ q) (p–q)注意：公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式、多项式.设计意图：培养学生的学会用整体法的意识，深化对平方差公式在因式分解中的应用.凡是能满足公式特点的都能用公式求解，进一步强调公式字母 a , b可以是具体数，也可以是单项式、多项式，加深学生的印象.练习3. 把下列各式因式分解1)( x + z )²- ( y + z )²2)4( a + b)² - 25(a - c)²设计意图：一讲一练，让学生有充分的时间去体会平方差公式在因式分解中的应用.在这里学生容易把题目跟整式乘法中完全平方公式混淆，教师要及时发现并纠正学生潜意识的错误，并且不断让学生重复运用平方差公式进行因式分解的关键点.第二题中要将系数一起写成平方的形式，让学生对用平方差公式进行因式分解有更进一步的了解.例4 分解因式(1) x4 －y4 (2) a3b–ab小结：1.因式分解的步骤:①提取公因式②公式法.2.因式分解要彻底，应进行到每一个因式不能分解为止.练习4: 分解因式(3) x2y– 4y(4) –a4 +16设计意图：结合上节课提取公因式的内容，将两个内容衔接到一起，引导学生在解决问题的时候要先观察是否能有公因式，总结因式分解的步骤是先提取公因式再套用公式.一道题进行因式分解要分到不能再分为止，例如例题4的（2）.一边讲题一边和学生总结做题注意点，然后立即练习巩固，强化认知.四、课堂小结：1.利用平方差公式分解因式:a2－b2=（a+b)(a-b).2.因式分解的步骤:①提取公因式②公式法.3.因式分解要彻底，应进行到每一个因式不能分解为止.4.计算中应用因式分解,可使计算简便.设计意图：学生归纳总结本节课的主要内容—平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验，交流在探索过程中的心得和体会，也不断积累数学活动经验．拓展训练：1. 分解因式：（1） m3– 4m（2）47.52 –42.52（3）a (a+b)2－a2. 对于任意的自然数n,(n+7)2 －(n － 5)2 能被24整除吗? 为什么?设计意图：随着问题难度的层层递进，对公式的应用要求更高，通过拓展练习，让不同层次的学生都有提高，教师更深入了解学生对本节知识的掌握情况．5.作业布置：课本相应习题。
14.3 因式分解 第2课时 用平方差公式分解因式
(2)是4的倍数．理由：∵
＝8k＋4＝4(2k＋1)，∵k为非负整数，∴4(2k＋1)是4
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1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 ——弗莱格 2、重复是学习之母。 ——狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 ——利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 ——B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ——洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 ——阿卜· 日· 法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 ——乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 －茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 －－屠格涅夫 13、成功＝艰苦劳动＋正确方法＋少说空话 －－爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 －《真心英雄》 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8．成功，往往住在失败的隔壁！ 1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己． 2 0．命运是那些懦弱和认命的人发明的！ ２1．人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ ２2．世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的． ２3．昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金． ２4．一直割舍不下一件事，永远成不了! ２5．扫地，要连心地一起扫！ ２6．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． ２7．当你停止尝试时，就是失败的时候． ２8．心灵激情不在，就可能被打败． ２9．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ ３0．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． ３1．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． ３2．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． ３3．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 ３4．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． ３5．为成功找方法，不为失败找借口． ３6．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 ３7．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ ３8．不一定要做最大的，但要做最好的． ３9．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ ４0．成功是动词，不是名词！ 20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
14.3.2因式分解公式法—平方差公式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积。
注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。
平方差公式的特点：
（1）两项的多项式; （2）两项都是平方项或是都能化为平方项; （3）两项的符号相反.
下列多项式能转化成( )2－( )2的形式吗？
如果能，请将其转化成( )2－( )2的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12
★分解因式应分解到各 因式都不能再分解为止.
(5)9(a+b)2-4(a-b)2.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
(3)x4-16
解：原式 =(x2)2-42
(4)2x3-8x
解：原式=2x (x2-4) 2_ 2 2 2 =2x (x 2 ) =(x +4)(x -4) =(x2+4)(x+2)(x-2) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公 因式,应先提取公因 式,然后再进一步 分解因式,直到 不能分解为止.
4、公因式如何确定?
数、字母
新知探究
平方差公式：
整式乘法
2 2 + (a b)(a b) = a - b
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a - b = ( a+ b)( a - b)
2 2
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式与立方差公式
平方差公式与立方差公式平方差公式和立方差公式是数学中常用的公式，它们在解决数学问题时起着重要的作用。
本文将详细介绍这两个公式及其应用。
1. 平方差公式平方差公式是指两个数的平方之差可以表示为两个数的和与差的乘积。
具体表达式如下：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式可以通过展开左边的乘积来证明。
假设a和b为任意实数，我们有：(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2平方差公式的应用非常广泛。
例如，在代数中，它可以用于因式分解和多项式的简化。
在几何中，它可以用于求解平方差、差平方以及差的平方。
此外，这个公式还可以用于化简复杂的数学问题，使计算更加简便和高效。
2. 立方差公式立方差公式是指两个数的立方之差可以表示为两个数的和与差乘积的特殊形式。
具体表达式如下：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - b^3同样地，我们可以通过展开左边的乘积来证明这个公式。
假设a和b为任意实数，我们有：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 - b^3立方差公式的应用同样非常广泛。
在代数中，它可以用于因式分解和多项式的简化，特别是在解决立方差形式的方程时非常有用。
在几何中，它可以用于求解立方差和差立方。
此外，这个公式还可以用于计算体积差或体积和的问题。
综上所述，平方差公式和立方差公式是数学中重要的公式，它们在代数和几何中都有广泛的应用。
掌握了这两个公式，我们能够更加方便、高效地解决数学问题。
因此，深入理解和熟练运用这两个公式对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文对您理解平方差公式与立方差公式有所帮助，并能在数学学习和应用中得到实际运用。
14.3.1 平方差公式(2)
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于 他们的平方差
例1.利用平方差公式计算
1. (5 6 x)(5 6 x)
2. ( x 2 y)(2 y x)
3. (m n)(m n)
例2.
1 1 1. ( x y )( x y ) 4 4
2. (ab 8)(ab 8)
平方差公式（一）
有一个财主，他看中了王老汉一块 边长为x米的正方形土地，有一天，他 王老汉说：“我这块地和你的地比较正 好是一边减少5米，而另一边增加5米， 与你换一块，你也没有吃亏，你看如 何？”王老汉一听觉得没有吃亏，就答 应了，后来他把这件事对阿凡提讲了， 阿凡提一听说：“王老汉你上当了！”， 王老汉非常吃惊。同学们，你能告诉王 老汉这是为什么吗？
本课总结
1、什么是平方差公式？ 2、运用公式要注意什么？
小结
相同为a
适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a季节到了，幸福村的人们 都用篾席制成的粮屯来储存粮 食。假设粮屯的高度一定，小 明觉得用四根竿子将粮屯绷成 底面为正方形的柱体储粮较多， 而销量认为把同样长的篾席绷 成底面为长方形的柱体储粮较 多。谁的说法正确？
根据平方差公式的特点，编一些能 利用平方差公式计算的题目。
规则：以四人小组为单位，各小组 把编好的题目写在练习本上，用实物 投影来展示给大家回答。
3. (m n)(m n) 3n
2
(a b c)(a b c)
(a b) c
2
2
2
2
a ba b c
2
a 2ab b c
2
(a+b+c)(a-b-c)=？
新人教版数学八上教案：14.2.1平方差公式备课资料教案
第十四章 14.2.1平方差公式
知识点1：平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.
归纳整理:在根据平方差公式进行计算时,要注意必须满足以下条件:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一个是相同的项,另一个是互为相反数的项;②公式的右边是两个数的平方的差的形式,而且是用相同的项的平方减去互为相反数的平方.用式子可以这样表示:(△+○)(△-○)=△2-○2,此时的△和○可以代表单项式,也可以代表多项式.
知识点2：利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式,可把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式,从而达到简便运算的目的,此法体现了转化的思想.
考点：利用平方差公式计算
【例】计算:
(1)100.5×99.5;(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5);(3)(x2+yz)(x2-yz).
解:(1)100.5×99.5=(100+0.5)(100-0.5)=1002-0.52=9999.75;
(2)(a+3)(a-3)-(a+2)(a-5)=a2-32-(a2-3a-10)=a2-9-a2+3a+10=3a+1;
(3)(x2+yz)(x2-yz)=(x2)2-(yz)2=x4-y2z2.
点拨:(1)可以变形为(100+0.5)(100-0.5)后用平方差公式;(2)中前面一算式可以用平方差,后一算式用多项式乘法展开后合并同类项;(3)中分别把x2,yz看作公式中的a,b,然后套用公式.。
平方差公式原理
平方差公式原理平方差公式是数学中一个重要的公式，用于解决在代数运算或解方程过程中出现的平方差式。
通过平方差公式，我们可以简化计算过程，更快地求解问题。
本文将介绍平方差公式的原理及其应用。
1. 平方差公式的定义平方差公式是指将两个数的平方之差表示为一个乘积的形式。
具体表达式如下：(a + b)(a - b) = a^2 - b^22. 平方差公式的推导过程为了更好地理解平方差公式，我们可以通过代数运算对其进行推导。
假设有两个数a和b，则：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2通过上述两个式子，我们可以看出：(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2= 4ab因此，我们可以得到平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^23. 平方差公式的应用平方差公式在代数运算和解方程中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
3.1 求两个数的差的平方在解决一些代数运算题目中，我们常常需要计算两个数的差的平方。
通过平方差公式，我们可以直接将差的平方表示为一个乘积的形式，减少计算的步骤和复杂度。
例如，对于两个数a和b，我们需要求解它们的差的平方时，可以直接利用平方差公式：(a - b)^2 = a^2 - b^23.2 解二次方程在解二次方程的过程中，平方差公式也起到了重要的作用。
通过平方差公式，我们可以将二次方程转化为一元一次方程，从而更方便地求解。
例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而可以得到方程的解x = 2或x = 3。
3.3 化简数学式子在化简数学式子的过程中，平方差公式也可以发挥作用。
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b
2
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。 注意： ①公式中的字母a、b可以表示数，也可表示式（单 项式、多项式等）； ②要符合公式结构特征才能运用公式，否则仍用多 项式相乘法则。
作业：作业本。
再 见！
(a b)(a b)
中间两项是同类项，且系数互为相 反数，和为零，所以只剩首尾两项。
平方差公式： (a b)( a b) a b
2
2
文字叙述：两个数的和与这两个数的 差的积，等于这两个数的平方差。
注意：
①公式中的字母a、b可以表示数，也可表示式（单项式、 多项式等）；
②要符合公式结构特征才能运用公式，否则仍用多项式相 乘法则。
(a+2b)2-(2c)2
=a2+4ab+4b2-4c2
例2：计算
102 98
1 1 99 100 2 2
( y 2)( y 2) (2 y 1)(2 y 1) (2 x 3)(2 x 3) (2 x 1)(x 1)
巩固：
P181
安全文明网 / 2016文明驾驶考题
2 2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 再举几个类似于上述的几个式子 算一算，是否也有同样的规律？
验证：
为何具备这些特 点？
左边是两个二项式相乘，并且 右边是乘式中两项的平方 这两个二项式中有一项完全相 差（相同项的平方减去相 2=a2-b2 同，另一项互为相反数； 解：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b 反项的平方）
a
b
a 2 b2
2 2
结果
3x 2a
2 ( 3 x ) 2 9 x 4 2
2 2 2 2 ( 2 a ) b 4a b b
( x 2 y)( x 2 y) x 2 y
(a+2b+2c)(a+2b-c) a+2b c
( x) 2 ( 2 y ) 2
x2 4 y2
安全文明考试网 / 2016文明驾驶模拟考试
解释：
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗？
根据S长方形＝S大正方形－S小正方形，得到：
(a+b)(a-b)= a2 -
b2
小结：
Hale Waihona Puke 谈一谈：你这一节课有什么收获？
平方差公式：(a b)( a b) a 2
应用：
例1、运用平方差公式计算： (2) (b 2a)(2a b) (1) (3x 2)(3x 2)
(3) ( x 2 y)( x 2 y)
(4) (a 2b 2c)(a 2b - 2c)
(a b)(a b) (3x 2)(3x 2) (b 2a)(2a b)
探究题：
计算下列多项式的积，你能发现它们运算的各 因式与结果各有什么规律吗？
( x 1)(x 1)
x - x x -1 x -1
2 2
(m 2)(m 2)＝m 2 2m 2m - 4 m 2 - 4
(2 x 1)(2 x 1)
4x - 2x 2x - 1 4x - 1