苏北四市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试

苏北四市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试
（满分160分，考试时间120分钟）
参考公式：锥体的体积公式：1
3
V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．
． 1．设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ． 2
．已知集合{2}A a =，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ． 3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ．
4．在ABC △的边AB 上随机取一点P , 记CAP △和CBP △的面积分别为1S 和2S ，则
122S S >的概率是 ．
5．已知双曲线
22
221x y
a b
-=的一条渐近线方程为20x y -=， 则该双曲线的离心率为 ．
6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ． 7．函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．
8
1，则此三棱锥 的体积为 ．
9．在ABC △中，已知3AB =，o 120A =，且ABC △的面积
，则BC 边长为 ．
10．已知函数()2f x x x =-
，则不等式)(1)f x f ≤的
解集为 ．
11．已知函数()2sin(2)(0)4
f x x ωωπ
=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在
[11]-，上的单调增区间为 ．
12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ．
13．在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且
3AD AE = ，3BC BF = ．若向量AB 与DC 的夹角为60
，则AB EF ⋅ 的值为 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离
之和为22a b +的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．
（1）若⊥a b ，求sin cos sin cos θθ
θθ
-+的值；
（2）若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4
θπ
+的值.
（第6题图）
16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点E ，F 分别是棱PC ，AC 的中点．
（1）求证：PA //平面BEF ；
（2）若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．
17．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．
（1）求θ关于x 的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线
部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？
P A B C F E （第16题图）
(第17题图)
18．(本小题满分16分) 已知ABC △的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ⊙．（1）若直线l 过点C ，且被H ⊙截得的弦长为2，求直线l 的方程；
（2）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点
M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C ⊙的半径r 的取值范围．
19．(本小题满分16分)已知函数325
()2
f x x x ax b =+++（a ，b 为常数），其图象是曲线C ．
（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；
（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，
在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分
16
分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，
2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．
（1）若数列{}n a 为等差数列．
（ⅰ）求数列的通项n a ；
（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b
前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；
（2）若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．
苏北四市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
数学Ⅱ（附加题）
注意事项
1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。

本卷满分为40分，考
试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位
置作答一律无效。

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．
．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分） 如图，锐角ABC ∆的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若50C ∠= ，求DEF ∠的度数．
B ．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）
设矩阵00a b ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2
214
x C y '+=：，求a b +的值．
C ．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程是x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
，（t 为参数）；以O
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4
ρθπ
=+．由直
线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
D ．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,
证明：2222111
()a b c a b c
+++++≥
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．某品牌汽车4S 店经销A ，B ，C 三种排量的汽车，其中A ，B ，C 三种排量的汽
F E D C B A (第21(A)图)
车依次有5，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．
（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；
（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．
23．已知点(1,0)A -，(1,0)F ，动点P 满足2||AP AF FP ⋅=
． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）在直线l ：22y x =+上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，
N ．问：是否存在点Q ，使得直线MN //l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。