2018年广东省广州市广雅中学高二上学期数学期中试卷和解析(文科)

2017-2018学年广东省广州市广雅中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0 2．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b3．（5分）某程序框图如图所示，若输出的结果是30，则判断框中填入的条件可以是（）A．i＞5？B．i＞4？C．i≥4？D．i≥3？4．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1705．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x（x∈R），则下列结论错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）在区间[0，]上是减函数C．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的图象向右平移可以得到g（x）=cos（2x﹣）的图象7．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①“x（x﹣1）＜0”是“x≥0”的必要不充分条件；②“sinα=”是“α=”的充分不必要条件；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是假命题．A．3 B．2 C．1 D．08．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形9．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为2，底面是边长3的等边三角形，则该三棱柱外接球的体积为（）A．πB．πC．8πD．36π11．（5分）直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数y=m x﹣1（m＞0，m≠1）过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+a﹣1）2+（y+b﹣1）2=25的内部或圆周上，则的取值范围为（）A．[，]B．（0，]∪[，+∞）C．（0，]D．[，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在相应的横线上）13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：．14．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．15．（5分）如图，一栋建筑物AB高（30﹣10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD 的高为 m ．16．（5分）对于函数y=f （x ），部分x 与y 的对应关系如表：若数列{x a }满足x 1=1，且对任意n ∈N *，点（x a ，x a +1）都在函数y=f （x ）的图象上，则x 1+x 2+x 3+…+x 2018= ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，a 5=9且是a 2和a 3的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式． （2）设数列{b n }满足b n，求{b n }的前n 项和T n18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c=2，C=． （1）若=1，求△ABC 的周长； （2）求a +sinB 的取值范围．19．（12分）某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分别直方图：（1）补全频率分布直方图，并求n，p的值．（2）从年龄在[40，50]岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45]岁的概率．（3）求[25，55]岁的人群中“低碳族”平均年龄的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．21．（12分）已知直线x﹣y+3=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程．（2）过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y=x2相交于M，N两点（异于原点）．证明：以MN为直径的圆与圆C相交．（3）若抛物线y=x2上任意三个不同的点P、Q，R，满足直线PQ和PR都与圆C 相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明．22．（12分）定义在R上的函数（a、b∈R，a≠0）是奇函数，当且仅当x=1时f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）若函数在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省广州市广雅中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．2．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b【解答】解：选项A错误，比如取a=π，b=，显然满足a＞b＞0，但不满足sina ＞sinb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a＞log2b；选项C错误，由函数y==在[0，+∞）上单调递增可得＞；选项D正确，由函数y=在R上单调递减可得（）a＜（）b；故选：D．3．（5分）某程序框图如图所示，若输出的结果是30，则判断框中填入的条件可以是（）A．i＞5？B．i＞4？C．i≥4？D．i≥3？【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=2，i=2，第2次：s=6，i=3，第3次：s=14，i=4，第4次：s=30，i=5，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出s的值为30．则判断框中填写的应该是i＞4？故选：B．4．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x（x∈R），则下列结论错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）在区间[0，]上是减函数C．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的图象向右平移可以得到g（x）=cos（2x﹣）的图象【解答】解：∵函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，故它的最小正周期为=π，故A正确；在区间[0，]上，2x∈[0，]，故f（x）在区间[0，]上是减函数，故B 正确；令x=0，可得f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于直线x=0对称，故C正确；把f（x）的图象向右平移可以得y=cos（2x﹣）的图象，故D错误，故选：D．7．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）①“x（x﹣1）＜0”是“x≥0”的必要不充分条件；②“sinα=”是“α=”的充分不必要条件；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是假命题．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：①x（x﹣1）＜0可得0＜x＜1，“x（x﹣1）＜0”是“x≥0”的充分不必要条件，故①错误；②sinα=可得α=2kπ+或2kπ+，k∈Z，“sinα=”是“α=”的必要不充分条件，故②错误；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题为：若xy≠0，则x2+y2≠0正确，故③错误．故选：D．8．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．9．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为=，阴影部分的面积为，∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为：，故选：D．10．（5分）设四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为2，底面是边长3的等边三角形，则该三棱柱外接球的体积为（）A．πB．πC．8πD．36π【解答】解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，有：OA=r，由于三棱柱的高为2，∴OD=1，又在正三角形ABC中，AB=3，则AD=，∴在直角三角形ADO中，OA2=OD2+AD2有r2=12+（）2，∴r=2，则这个三棱柱的外接球的体积为V=×r3=．故选：A．11．（5分）直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数y=m x﹣1（m＞0，m≠1）过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+a﹣1）2+（y+b﹣1）2=25的内部或圆周上，则的取值范围为（）A．[，]B．（0，]∪[，+∞）C．（0，]D．[，+∞）【解答】解：函数y=m x﹣1（m＞0，m≠1）过同一个定点（1，1），直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数y=m x﹣1（m＞0，m≠1）过同一个定点（1，1），可得a+b=7，该定点始终落在圆（x+a﹣1）2+（y+b﹣1）2=25的内部或圆周上，∴a2+b2≤25，则看成是（a，b）到Q（﹣4，0）的斜率．解得A（3，4），B（4.3），=k AQ=，=k BQ=则的取值范围为[，]．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．﹣2＜a＜2 D．a＞2或a＜﹣2【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调①当a=0时，f（x）=，其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=∴a＜2综上可得，a＜2故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在相应的横线上）13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：51．【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51故答案为：5114．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得：+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案为：15．（5分）如图，一栋建筑物AB高（30﹣10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为60m．【解答】解：设AE⊥CD，垂足为E，则在△AMC中，AM==20，∠AMC=105°，∠C=30°，∴，∴AC=60+20，∴CE=30+10，∴CD=30﹣10+30+10=60，故答案为：60．16．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：若数列{x a}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x a，x a+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+…+x2018=7549．【解答】解：∵数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f （x）的图象上，∴x n=f（x n），+1∴x1=1，x2=f（1）=3，x3=f（3）=5，x4=f（5）=6，x5=f（6）=1，x6=f（1）=3，x7=f（3）=5，…，∴数列{x n}是周期数列，周期为4，一个周期内的和为：1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2017+x2018=x1+x2+503（x2+x3+x4+x5）=1+503（3+5+6+1）+3=7549．故答案为：7549．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，a5=9且是a2和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列{b n}满足b n，求{b n}的前n项和T n【解答】解：（1）∵a 5=9且是a2和a3的等比中项．∴，∴6d2﹣43d+72=0，即d=6或d=2，∵等差数列{a n}的各项均为正数，∴d=2∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1，（2）由（1）得S n=，S n+1=（n+1）2，∴b n=，∴{b n}的前n项和T n=1﹣++…+﹣=1﹣=．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，C=．（1）若=1，求△ABC的周长；（2）求a+sinB的取值范围．【解答】解：（1）由平面向量数量积的定义可得=，所以，ab=2，由余弦定理可得4=c2=a2+b2﹣2abcosC==（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣6=4，所以，，因此，△ABC的周长为；（2）由正弦定理可得，∴，所以，=====，∵，∴，所以，，则，∴，即，因此，的取值范围是．19．（12分）某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分别直方图：（1）补全频率分布直方图，并求n，p的值．（2）从年龄在[40，50]岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45]岁的概率．（3）求[25，55]岁的人群中“低碳族”平均年龄的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【解答】解：（1）第二组的概率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，所以第二组的矩形的高为：=0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n=，因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65．（2）因为年龄在[40，45]岁的“低碳族”与[45，50]对的“低碳族”的人数的比为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45]中有4人，[45，50]中有2人，设[40，45]中的4人为a，b，c，d，[45，50]中的2人为m，n，则选取2人作为领队的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），（c，d），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），（m，n），共15种．其中恰有1人年龄在[40，45]岁的情况有（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（d，m），（d，n），共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45]岁的概率p=．（3）[25，55]岁的人群中“低碳族”平均年龄的估计值为：=27.5×0.04×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.03×5+47.5×0.02×5+52.5×0.01×5=36.5．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，所以，则直角三角形△ABD的面积为，由FM∥PO得：21．（12分）已知直线x﹣y+3=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程．（2）过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y=x2相交于M，N两点（异于原点）．证明：以MN为直径的圆与圆C相交．（3）若抛物线y=x2上任意三个不同的点P、Q，R，满足直线PQ和PR都与圆C 相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4y+m=0化为x2+（y﹣2）2=4﹣m，r=，可得d==，又d2+（）2=r2，∴r==1，解得m=3，∴x2+（y﹣2）2=1为所求．（2）证明：设过原点O的切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离=1，∴k=±，∴设过原点O的切线方程为y=±x，与函数y=x2，联立可得x=±，可得M（，3），N（﹣，3），可得以MN为直径的圆心为D（0，3），半径为，DC=1，DC可得以MN为直径的圆与圆C相交；（3）解：设P（a，a2），Q（b，b2），R（c，c2），可得k PQ=a+b，直线PQ的方程为y﹣a2=（a+b）（x﹣a），即为y=（a+b）x﹣ab，同理可得，直线PR的方程为y=（a+c）x﹣ac，直线QR的方程为y=（b+c）x﹣bc，∵直线PQ和PR都与圆C相切，，．即为b2（1﹣a2）﹣2ab+a2﹣3=0，c2（1﹣a2）﹣2ac+a2﹣3=0，即有b，c为方程x2（1﹣a2）﹣2ax+a2﹣3=0的两根，∴b+c=，bc=，∴由圆心到直线QR的距离为d===1，∴直线QR与圆C相切．22．（12分）定义在R上的函数（a、b∈R，a≠0）是奇函数，当且仅当x=1时f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）若函数在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，得b=0，∴，若a＜0，则函数的定义域不可能为R，又a≠0，∴a＞0，当x≤0时，f（x）≤0，当x＞0时，，当且仅当ax2=1，即时，f（x）取得最大值，依题意可知，∴a=1，综上所述，a=1，b=0．（2）由（1）得令g（x）=0，即化简得x（mx2+x+m+1）=0∴x=0或mx2+x+m+1=0，若0是方程mx2+x+m+1=0的根，则m=﹣1，此时方程mx2+x+m+1=0的另一个根为1，不符合题意．∴函数在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点等价于方程mx2+x+m+1=0在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实数根．①当m=0时，得方程mx2+x+m+1=0的根为x=﹣1，不符合题意．②当m≠0时，则：当△=1﹣4m（m+1）=0时，得若，则方程mx2+x+m+1=0的根为，符合题意若，则方程mx2+x+m+1=0的根为，不符合题意∴．当△=1﹣4m（m+1）＞0，即时，令ϕ（x）=mx2+x+m+1由，解得﹣1＜m＜0；综上所述，所求实数m的取值范围是﹣1＜m＜0或．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。