经济学专业数学函数的微分配套课件

3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如,
y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
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三、微分公式与微分运算
1．基本初等函数的微分公式
(参看课本表格)
2．函数和、差、积、商的微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
即
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d y f ( x0 ) x
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线性主部
说明:
y f ( x0 ) x o( x) d y f ( x0 )x
f ( x0 ) 0
时,
当
y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x
第二章
第五节 函数的微分
（ Function’s Differential ）
一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、本章小结与思考题
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一、微分的定义（Definition of Differentials）
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 当x在 其
sin 2 x
，求 dy .
sin 2 x
解法一 应用微分形式不变性(视 sin 2 x 为中间变量)
dy e
sin2 x
dsin x e
2
2sinx dsin x
sin 2 x
e
解法二
sin2 x
2sinx cos xdx sin 2xe
因
dx
dy f x dx
sin 2 x
( x
很小)
1 x
证明: 令 得
f ( x) (1 x)

f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x x
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1 x
x
例5 半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.01 厘米，问其面积增长的精确值为多少？其近似值又为多少？ 解
面积 s πr 2 ， r0 10cm, r 0.01cm
所以
x 0 时
与
是等星期五
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例 1 求函数 y x3 在 x0 2, x 0.02 时的增量与微分.
解 (1)
函数的增量 y x0 x x03 ，
3
又 x0 2, x 0.02 ,
(2)
故
y 2.02 2 0.242408
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x ) y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 的可导, 且
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定理 函数 在点 处可导,
在点 且
可微的充要条件是 即
四、微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
1 3
2 3
1 1+sin 2 x d 1+sin 2 x 3

2 1 1+sin 2 x 3 2sinxcosxdx 3
1 1+sin 2 x sin2xdx 3

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2 3
例 4 设函数 y y( x) 由方程 xe y ln y 5 0 所确定，求 dy .
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当 f x e
所以
sin 2 x
时， f x e
sin2 x
2sin x cos x sin 2 xe
sin 2 x
dy sin 2x e
dx .
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例 3 设 y 3 1 sin 2 x ，求 dy .
解
dy d 1+sin 2 x
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例7 计算
解:
的近似值 .
(243 2)
1 5
35 243
2 1 3 (1 )5 243
1 2 3 (1 ) 5 243
(1 x) 1 x
3.0048
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内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 • 可导 可微
(C 为常数)
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3．复合函数的微分法则
分别可微 ,
的微分为
则复合函数
f (u ) ( x ) dx
d y f (u ) du
du
微分形式不变性
例1
解法1： 解法2：
求

2 xe
x2
2
1 ex
dx
利用“微分形式不变性”
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例 2 设 y f x e
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) ( lim 0 ) x 0 x
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
当 很小时,
切线纵坐标的增量
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
记
y x d x
称 x 为自变量的微分,
则有 从而 记作
o

x0
x
d y f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
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例如,
y x3 ,
dy
x2 dx 0.02
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d tan x 3 sec x 2. d sin x
1 3. d( cos 2 x C ) sin 2 x d x 2
4. 设 求 解: 方程两边求微分,
2 2
由方程
确定,
得
当
3 x d x 3 y d y 3 cos 3x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
2. 微分运算法则
微分形式不变性 :
d f (u ) f (u ) d u
( u 是自变量或中间变量 )
3. 微分在近似计算中的应用
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课后练习
习题2-4 1；4； 5
思考与练习
1 1. d(arctan e x ) 1 e 2 x de x
e x 2 x d x 1 e
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 得增量 时, 面积的增量为
取
x
x0
x0 x
2 A x0
( x ) 2
时为 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在
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x0 x
的微分
定义 若函数
在点
的增量可表示为
A x o(x )
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数
3 3
2 函数微分 dy y x x x 3x0 x,
0
又 x0 2, x 0.02 ，
故
dy 3 22 0.02 0.24
比较 y 与 dy 知 y dy 0.002408 较小.
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二、微分的几何意义
d y f ( x0 )x tan x
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例6 求 解: 设
的近似值 .
f ( x) sin x ,
dx
取
则

180
29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 ( 0.0175) 2 2

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y f ( x) 在点
记作
可微, 而 即
称为
的微分,
d y A x
定理 函数 在点 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
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定理 函数 在点 处可导,
在点 且
可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则
解
将方程 xe y ln y 5 0 两端对 x 求微分得
d xe y d ln y 0
1 e dx xde dy 0 y
y y
1 e dx xe dy dy 0 y
y y
上式中解出
ye y dy dx y 1 xye
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f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
使用原则:
1) f ( x0 ) , f ( x0 ) 好算 ; 2) x 与 x0 靠近 .
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特别当
x0 0 , x